Download pdf - Beberapa Ulasan Baru Tentang Struktur Aljabar Tensor PAPERS/PERT Vol. 9 (2) Aug. 1986/15...aljabar pengecutan tensor, istilah hasil darab terkedalam, ds2sebagaipembeza dan struktur

Pertanika 9(2), 241-255 (1986)

Beberapa Ulasan Baru TentangStruktur Aljabar Tensor

SHAHARIR BIN MOHAMAD ZAIN dan MURIATI BTE MUKHTARfabatan Matematik,

Pusat Pengajian KuantitatifUniversiti Kebangsaan Malaysia,

Bangi, Selangor, Malaysia.

kata Kunci: Tensor; isomorfisma; tarikan balik; tolakan ke depan; pengecutan; hasil darabterkedalam; ruang Riemannan; metrik Riemannan.

ABSTRAK

Dalam bidang aljabar tensor klasik, masih terdapat banyak konsep yang belum diformulasi-kan dengan menggunakan konsep-konsep di dalam aljabar multilinear dan analisis atas manifold.Oleh itu, kami cuba menformulasikan semula hal yang dipersoalkan dalam analisis tensor klasikdan beberapa persoalan lain yang kami cam dan leraikan. Persoalan-persoalan tersebut: maknakesetaraan tensor peringkat satu dengan vektor, struktur tarikan balik dan tolakan ke depan, strukturaljabar pengecutan tensor, istilah hasil darab terkedalam, ds2sebagaipembeza dan struktur aljabartensor relatif serta ketumpatan tensor.

ABSTRACT

In the field of classical tensor algebra, there still exists a few concepts that have not been for-mulated by using concepts of multilinear algebra and analysis on manifolds. Hence, we have tried toreformulate some matters that arise in classical tensor analysis and a few others that we had identifiedand resolved. These being: the meaning of the equivalence of first order tensor with vector; the pullback and push forward structure, the structure of contraction of tensors, the inner product term, ds"as a differential and the algebraic structure of relative tensors and tensor densities.

1. PENDAHULUAN

Usaha ke arah memahami dan menyatukananalisis tensor klasik ke dalam domain analisissejagat dan aljabar multilinear telah dilakukansejak tahun lima puluhan lagi. Walaupunbegitu,sebagaimana yang telab diperkatakan olehShaharir (1984), masih banyak konsep yang ter-dapat di dalam aljabar tensor klasik yang belumdiformulasikan dengan memuaskan denganmenggunakan jargon-jargon dan konsep-konsepdi dalam aljabar multilinear dan analisis atasmanifold. Di dalam kertas ini kami cuba men-jawab sebahagian besar daripada hal yang di-persoalkan itu dan juga persoalan-persoalan lainyang telah kami cam dan leraikannya. Per-soalan-persoalan yang kami leraikan ialahmakna kesetaraan tensor peringkat satu denganvektor, struktur tarikan balik dan tolakan kedepan dalam konteks topologi aljabar, strukturaljabar pengecutan tensor, kesesuaian istilah'hasil darab terkedalam*' di dalam analisis

tensor klasik dengan hasil darab terkedalam didalam analisis fungsian, ds2 sebagai pembezadan struktur aljabar tensor relatif serta ke-tumpatan tensor.

2. KESETARAAN TENSORPERINGKAT SATU DENGAN VEKTOR

Di sini kami akan menjelaskan hubungansebenar antara tensor peringkat satu denganvektor. Memanglah sudah terkenal yang ruangvektor V berisomorfisma dengan ruang dualnyaV* (lihat umpamanya Dodson dan Poston(1979)). Mengikut takrifnya, unsur V* berupatensor kovarian peringkat satu. Oleh itu tensorkovarian peringkat satu berisomorfisma denganvektor.

Sementara itu memanglah juga terkenalyang V berisomorfisma dengan (V*)* atau ring-kasnya V** menerusi pemetaan v h+ v**

SHAHARIR BIN MOHAMAD ZAIN DAN MURIATI BTE MUKHTAR

(lihat umpamanya Spivak (1970)). Ini menun-jukkan tensor kontravarian peringkat satu(unsur V**) juga berisomorfisma dengan vektor.

Sekarang kami akan membuktikan bahawadua isomorfisma di atas berbeza di antara satudengan lain. Perbezaan ini akan menjadi jelasapabila kita mempertimbangkan perkaraberikut.

Andaikan iy : V -K V** sebagai suatupemetaan yang ditakrifkan sebagaii v ( v ) U ) = \ (v)untukvG V, X e V * .

Jelaslah bahawa i adalah suatu isomor-fisma. Kami akan menunjukkan bahawa, bagisebarang pemetaan linear f : V -* W, gam-barajah berikut kalis tukar tertib.

w

v**

f*

w**

Rajah 2.1

Iaitu, kami akan tunjuk

w v

Di sini f** ditakrifkan sebagai

(f**(S))(\) - s(f*(x))umuk xew*,sev**dan f* : W* -t V* ditakrifkan sebagai(f* ( X)) (u) - X (f(u)), u 6V, X GW*.Pertimbangkan

vdan v G V

= i v (v ) ( f (V)). takriff**= (f*(X ))(v)ptakrifiv

= X (f(v)), takriff*

Sementara itu,= (iw

f(v))( X ), XGW* dan v GV= X(f(v)),takrifiw

Jadif** o i y = i w = iwo f : iaitu gambarajalkalis tukar tertib.

Sekarang pertimbangkan gambarajah 1kut pula.

iV*

\/

g -

w w*

Rajah 2.2

Kami akan membuktikan bahawa tidak wuisomorfisma iv : V -• V* yang memtgambarajah pada rajah 2.2 di atas kalis txtertib untuk sebarang f yang linear. Kami ]timbahgkan kasusV =W" = W, iaitu gambarajah berikut:

i x

g=(f

Rajah 2.3

H'

(f*) ~!Kami hendak tujuk »y°f

untuk suatu f dengan sebarang i ^

Seperti yang disyorkan oleh Spivak (1<^mbil f(x) = 2x, x e M dan sebarang isonfisma i^(( maka jelaslah f linear dani i/ o .f = 2ij^ sedangkan

242 PERTANIKA VOL. 9 NO. 2, 1986

BEBERAPA ULASAN BARU TENTANG STRUKTUR ALJABAR TENSOR

v-1

Dengan itu kita membuat kesimpulantidak wujudnya sebarang isomorfisma yangdapat membuat gambarajah pada rajah 2.3kalis tukar tertib, untuk semua f. Ini dengansendirinya menunjukkan bahawa tidak wujudisomorfisma iy : V -• V* yang dapat mem-buat gambarajah pada rajah 2.2 kalis tukartertib untuk sebarang V, W dan f linear.

Dengan penjelasan dua jenis isomorfisma diatas, satunya yang menyebabkan gambarajah2.1 kalis tukar tertib dan yang lainnya tak kalistukar tertib, amatlah wajar masing-masingdigelar isomorfisma bersahaja dan isomorfismatak bersahaja. Hal ini ada dibincangkan didalam Abraham & Marsden (1978) dan Spivak(1970), dan di sini kami telah memperincikanpandangan mereka itu.

Kita boleh membuat kesimpulan bahawasebarang isomorfisma (jika ia berlaku) di antaraV dan V* merupakan isomorfisma tidak ber-sahaja kerana kegagalannya membuat gamba-rajah pada rajah 2.2 kalis tukar tertib; semen -tara isomorfisma di antara V dengan V * *berupa isomorfisma bersahaja.

Perbezaan di antara kedua-dua isomor-fisma ini juga jelas apabila kita mempertim-bangkan isomorfisma di antara V dengan V*;iaitu:

B : ee i—> e'dengane'(e.) = 5'!.

Isomorfisma yang tertakrif seperti ini ber-gantung kepada pemilihan asas V; umpamanyajika kita pilih e • {^e^.., ^ e J maka kitadapati isomorfisma yang lain pula iaitu:

B ' : e i—• e*

2e'sehinggakan

Ini berlainan dengan isomorfisma di antaraV dengan V**, kerana untuk itu kita tidak perlumembuat sebarang pemilihan asas.

Daripada hujah-hujah di atas jelaslah ter-dapat perbezaan di antara kedua-dua jenis iso-morfisma ini. Pencaman V dengan V* jarang

diamalkan kerana sebab di atas dan juga keranajika kita mempertimbangkan ruang vektor ber-matra tidak terhingga isomorfisma di antara Vdengan V* ini mungkin tidak wujud sama sekali(lihat Dodson & Poston (1979)). Oleh itu didalam analisis, V dengan V** dibezakan; se-dangkan V dengan V** tidak dibezakan lang-sung. Dengan ini pencaman klasik "tensorperingkat satu ialah vektor" haruslah difahamisebagai "tensor kontravarian peringkat satu itu-lah vektor".

3. STRUKTUR TARIKAN BALIK DANTOLAKAN KE DEPAN DI DALAM

ANALISIS TENSOR

Di sini kami mengkaji kesesuaian atautidaknya istilah Tarikan Balik dan Tolakan keDepan di dalam analisis tensor daripada sudutteori kategori dan topologi aljabar. Operasi-operasi ini terdapat di dalam analisis tensormoden seperti Spivak (1965, 1970) danAbraham & Marsden (1978).

Sifat kefungtoran Tolakan ke Depan(fungtor kovarian) dan Tarikan Balik (fungtorkontravarian) memang sudah diketahui umum(lihat Spivak (1965, 1970) dan Abraham &Marsden (1978)) sungguhpun mereka telahmenyalahgunakan simbol fungtor sebenar yangterbabit di sini, dengan menamakan <|> * atau$ * t sebagai Tarikan Balik (sebenarnya * sahajayang betul) dan <£> * atau <I>* t sebagai Tolakanke Depan (sebenarnya * sahaja yang betul).

Ini menimbulkan percanggahan tatanama"tensor kovarian" dan "tensor kontravarian"klasik dari segi pandangan kefungtoran sepertiyang telah dibicarakan oleh Spivak (1970),Shaharir (1984) dan Muriati (1984). Hal initidaklah kami minati lagi. Kami lebih berminatkepada struktur aljabar pengoperasi TarikanBalik * dan Tolakan ke Depan * itu. Apakah

'tatanama ini bersesuaian dengan tatanamaTarikan Balik dan Tolakan ke Luar di dalamtopologi aljabar? Untuk memudahkan perbin-cangan, kami perturunkan takrif-takrif yangberkenaan dahulu.

PERTANIKA VOL. 9 NO. 2, 1986 243


Takrif 3.1 (Tolakan ke Depan dan TarikanBalik dalam analisis tensor)

Jika <$> : M — • N difeomorfisma dan

t € ' I [(M), Tolakan ke Depan * (bintang

ditakrifkan sebagai

, - 1

dengan

C l

(3.1)

U l

c

mC

Tarikan Balik * (bintang atas) ditakrifkan se-bagai

untuk

t =

j (N)

(Takrif ini berupa perbalusan kepada (takrif-takrif dalam susastera yang telah dirujuk diatas).

Takrif 3.2 (Tolakan ke Luar dan TarikanBalik dalam topologialjabar)

Andaikan K suatu kategori. Pertimbangkanrajah 3.1 dan 3.2 di bawah. Gambarajah padarajah 3.1 digelar Tolakan ke Luar untuk i ^ ig ,jikkaa) gambarajah itu kalis tukar terbit, iaitu

*V°*i" U 2 ° Vb) Uj, u 2 memenuhi sifat semesta-^> untuk

sifat (a); iaitu jika gambarajah pada rajah3.2 kali tukar tertib, maka wujud suatumorfisma unik v : C •* C sehinggakanvou { as v r vou2 = v 2 ( i r i f l u J t u 2 , Vjdanv^ morfisma untuk K). Lihat rajah 3.3yang merupakan ikhtisar kepada a) dan b)di atas.

Rajah (3.2)

^ c

Rajah (3.3)

Sekarang kami perturunkan takrif TarilBalik. Pertimbangkan rajah (3.4) dan (3.Gambarajah (3.4) digelar Tarikan Balik (uni t > i 2 ) jikkaa) gambarajah itu kalis tukar tertib, iaitu

b) u i ( u 2 memenuhi sifat semes.ta- 4> unsifat (a); iaitu jika gambarajah pada ra(3.4) kalis tukar tertib maka wujud sumorfisma unik v: C -> C sehinggau io V = v r U 2 ° v ~ V2* ^ m a t r a J a n 3.6 ymerupakan ikhtisar kepada a) dan b) ini.



i,

<ru9

Rajah (3.4)

*i

. 7)

Aa/aA f5.6)

(Takrif-takrif di atas telah dipetik daripadaBrown (1968) dan Mitchell (1965)). 4. STRUKTUR ALJABAR

PENGECUTAN TENSOR

Mengikut satu pandangan moden, penge-Dari segi topologi aljabar, kami dapati isti-

lah dalam takrif 3.1 tidak tepat kerana kedua-dua pemetaan itu sebenarnya Tarikan Balik cutan medan tensor berupa suatu operasi yangdalam takrif 3.2 (lihat rajah (3.7) dan (3.8)). membabitkan suatu pemetaan, (Lihat ThirringMalah pertimbangkan kategori manifold ter- (1978)),bezakan dengan difeomorfisma atasnya.Memadai ambil manifold tempatan^/mdaoN n,(Lihat rajah (3.7) dan (3.8)).

• 3 ;:;<*>yang J [ (M) berupa suatu set semua medan



tensor jenis (r, s) atas manifold M. Di dalamsuatu sistem koordinat piawai jika

. ® d x

3. ®dx

maka

a

®dx

3 i

.®dxJs);

iaitu

Vfi (T)=T *k

C - l

•jk-lj

j i£

9i

• j i < .®dx J s - l

£ = 1 , . . . , r ; k = 1 , 2 , , s .

Hubungan di antara takrif ini dengan takrifklasik itu jelas, sebab komponen V^(T) ialah

it . . . i j i . . . i ,1 £—l £ r ~ l

T yang sama dengan

*1 * V ^k- 1 J Jk * " ' s- 1komponen tensor T yang dikecutkan secaraklasik (Lihat Lawden (1962)).

Satu pandangan lain tentang proses penge-cutan tensor telah disebut oleh Abraham &Marsden (1978), yang perinciannya telah di-tinggalkan sebagai latihan dan kemudian seba-hagian daripadanya dibincangkan oleh ShaHarir(1984). Cara ini bergantung kepada isomorfismayang wujud di antara ruang tensor jenis (1, 1)dengan ruang pemetaan linear

L(T q (M); T q ( M ) ) .

Walau bagaimanapun, sebelum kami mlengkapkan huraian tentang hal ini, kami ingimemaparkan teorem yang berupa prakeperluakepada perkara ini. (Buktinya terdapat dalaiAbraham & Marsden (1978)).

Teorem 4.1

Ruang tensor jenis (1, 1), J ' i((M)beris<morfisma (bersahaja) dengan ruang semipemetaan linear di antara T (M) dengan T (Miaitu L(T M); T (M)), menerusi pemetaaJ ^ ' ( M ) + L(Tq (M);Tq

dengan S(v, \ ) • X (T(v)).

Sekarang kami akan memperlihatkabetapa isomorfisma ini membenarkan kilmengaitkan surih matriks perwakilan pemetaadengan pengecutan tensor.

Jika diberi sebarang T €

T:Tq (M) X Tq*(M) •• /{kita boleh mengambil surih matriks perwakilapemetaan linear S : T (M) •• T (M); danombor itu layak digelar pengecutan T dengacara berikut. Andaikan 9 3 nsebagai as;T (M) dan T = T^ dx1 ® 3 maka kita dap;mencari matriks A = (aj), iaitu matriks pewakilan pemetaan S yang ditakrifkan sebagai

S( 3 .) = a) 3didalamsebutanT!

Kita ada

T ( 3 ,dx j) = dxJ(S( 3.)), teorem (4.1)

Ini bermakna T^ dxm ® 3 g (b[t dxj) = aj

ratau



Sekarang tetapkan Ua= dxk , WbOleh ituSurih (A) = a! = T! = Pengecutan (T).

Sekarang kami akan memperluaskan teknikyang dibincangkan di atas kepada tensor _^1 * * !r gperingkat (r, s) yang disyorkan oleh Abraham & ) i . . j g *1Marsden (1978).

® . . ® dxJ

Takrifkan

dan

( U 1 , . . , d x K , . . , U r , W 1 , . . , 3 k . . , W s )

- t j 1 " la*-l< »j (U1)..di(dxk)-di (VJdx^Ctt)

. . dx b (3 k ) . . dx s(Ws).

sebagai xk) =

i ut...,ur,w1 ws)

= t ( u 1 > . . , u a , . . . > u r , w 1 , . . . , w s )

dan

Olehkeranaa, (dxk) = 8k dan dxJ

maka, a a

Persamaan di atas

J'tj j . . k . . J , M

r d. ® . . . ® d:»..®d. ®dxJ '». . .

, o i*d * k

U , W,,. .,W. , . .,W.) untuk t e I (M) Dengan itui r i u s ^q ( §

*~* i . k iDi sini U melambangkan tiada U manakala i k° i^ (t) = t *U.eT* (M)dan W, e T q (M), i = 1, . . , r ;j = 1 , . . , s.

Pemetaan ini dikenali dengan nama hasildarab pedalaman (Abraham & Marsden (1978).Sekarang pertimbangkan

3. ®l

Vyang

(M)

;Jb » - - . ® d x s ,

iaitu pengecutan t terhadap indeks ke-a & ke-b

Daripada takrif i jdan i wdi atas, jelaslah

;1j © . . © 1 O , . I

a r

a b

= t ( u 1 , . . > u a > . . ) u r , w 1 , . . ) w b , . . , w s )

= t l j "' l r dij ® . . odj ®dxJl®...®dxJs

J (M)

denganP(t ) (U a ,W b ) = t ( U 1 ( . . . U a U r . W ,Wfa ,..., Ws). P(t) suatu tensor jenis (1,( 1) dandengan teorem isomorflsma tadi, maka wujudsuatu matriks perwakilan A = (a^) yang surih-nya pengecutan P(t).



P(t) (Ua> Wb) = P(t) 'a 3j • dx b (Ua> Wb)

• • V - J s l

®..®dxJb ®..®dxJs

. ®dx:

Untuk dua tensor atas manifold Riemannperingkat satu jawapannya hampir posilkerana kita boleh mentakrifkan

h:TM

dengan

T * M -* IK = {komplel

•

Pengecutan(P(t)) = P(t) \

| j . . . k . . . J3. • . . . . « c

b ® ® J

t . . , u r , W j , . . /

• . . a .

iaitu - nilai tensor t yang dikecutkan ter-hadap indeks ke-a dan ke-b-nya diberi oleh surihmatriks perwakilan P(t) menerusi isomorfismabersahaja antara "" x

x (M), dengan

L(Tq(M); Tq(M)).

5. HASIL DARAB TERKEDALAMANTARA DUA TENSOR

Dari segi klasiknya, "hasil darab terke-dalam" dua tensor ditakrifkan menerusi bebe-rapa contoh. Umpamanya hasil darab A1 dengan

B [ditakrifkan sebagai A' B [(Lawden 1962)).

Jelaslah daripada pandangan modennyapula, hasil darab ini menjadi gubahan antarahasil darab tensor dengan pengecutan, iaitu

® pengecutan(A, B) -* A® B <+ C

Persoalannya adakah istilah "hasil darab terke-dalam" ini serupa atau berhubung rapat denganhasil darab terkedalam di dalam analisis fung-sian (perluasan kepada hasil darab bintit)?

= g(A,B),

g sebagai metrik Riemannan yang terkenal iiPada amnya "hasil darab terkedalam" antadua tensor bercampur boleh ditakrif sebajpemetaan:

hh :b

h* (A,B) = A

X JS

*I J s 1 x l ' " x b

dx ® . . . ® dx U *2

8 r l + r 2

Jelaslah ini bukan hasil darab terkedalamdalam analisis fungsian.

6. PERLUASAN HASIL DARABTERKEDALAM (PSEUDO-TERKEDALAI

DALAM RUANG R1EMANNAN

Sebagaimana yang telah diketahui umu(lihat Westenholz (1978)) metrik Riemannanmentakrifkan suatu hasil darab terkedala(pseudo-terkedalam) atas T (M). Hasil dar;ini boleh diperluaskan kepada suatu hasil dar;terkedalam (pseudo-terkedalam) untuk ruaitensor J x [(M). Ini memang tersirat di dalaanalisis tensor klasik, tetapi pembuktiannya scara formal seperti yang akan kami lakukan i


an

tra

rai


belum kami temui di dalam susastera. Kita perlu Jadi,mempertimbangkan pemetaan:

rkali

^ . . . s j " 1 : Tx(M)x . . .xTx(M)

skali

x T * ( M ) x . . . x T *

T* (M)x . . . xT* (M)xTx(M)x... xT (M)

r kali

dan pemetaan

r kali

s kali

s kali

(M) f " I ; 0 0 « . • • *T* (M)xTx (M) x . . . x T x (M)

(Tx (M)x . . . x T x (M)xT* ( M ) x , . . . x T * (M))x (M)xT

S2

- 1

di

rkaU

yang ditakrifkan sebagai

r ( u 1 * ) . . . , u i * , v 1 ,

* u , > . . . < u *

s kali

; . V , % T ; ( M )

I(M)r kali s kali

Hasil darab terkedalam G atasl ' ditakrifkan se-

bagai G(t, U ) = < T « ( J 8 ©"J'® J- 1 ®.. .

d e n g a n t . U e T ' (M).X,S

Kami akan membuktikan G yang ditakrif sepertiini memang memenuhi aksiom-aksiom hasildarab terkedalam.

t,U) = <(T°(j » . . © j ® ] " 1 ®..®j"1)<t),U>

4 . . L

dx

m dengan < , > sebagai pemetaan bilinear (hasilgx darab terkedalam ke atas T* M X TM).mab Kewujudan pemetaan J memang sudah ter-ib kenal (Kobayashi & Nomizu (1963)), manakalang pemetaan T berupa perluasan kepada teoremm yang sudah terkenal juga (lihat Kobayashi —>e Nomizu (1963)) yang dapat dibuktikan denganni aruhan.

i i - i ,• •g'


SHAHARIR BIN MOHAMAD ZAIN DAN MURIATI BTE MUKHTAP

v l " v s

sebab T linear ,

mth'*t

j2 £(T(dx * <s . . « dx r

Begitu juga dengan G (atj + bt2, m);

G(atj +bt2,m)

= G(m, att +bt2) , G si

= aG(m,t l) + bG(m,U , G li

1?

. . g '

, m ) , G si

' . ) ) < u*;3.iii) Sifat tentu positif

Kita perlu membuktikan

V V

. . 9u ® dx 1 ® . . ®dx s ), takrif < ,

#4n l r

i, . . , i fi, . . .2

l i • . . j _ K , . . . * „

"• ...«''...«' ' « ' •u l u r

r r

«'•">.., '• '•

Dengan cara yang sama kita akan dapati G(LJ, t)juga memberikan jawapan yang serupa.

Dengan itu G(t, U) = G(U, t)

ii) Sifat bilinear

G(t, am, +bm2) =

dengan kesamaan berlaku hanya untuk

Pembuktiannya dengan aruhan dan dcmenggunakan fakta terkenal bahawa sn X n matriks simetri tentu positif A ipunyainilai egen X > 0 dan A = PA = Pep( X,. .... Xn)>PTP = ! •

juga dengan songsangannya (lihat umpnya Perlis (1962)). Untuk sebarang

1t e ' rM), kita ada

grs g t k

X T g j kAXk ,X k =P T t k ,P 1

= < J ( t ) , a m i + b m 2 > , i = l

jika kita tulisJ =fo (j ®. . .«. j® j " 1 ®. . .© j " " 1 ) , = ^

GC^am, +bm9) = (J(t)Xam1 + bmA takrif < , > i=l

• a(J(t)Xm1) + b(J(t))m2, kerana g ]juga tentu positif.

sebab J(t) linear

Y1 > 0

= a < J(t), mx > + b < J(t), m2>

Bagi t e j ^(M) dan t € 1 °(M) setiap satunya berupa kasus remeh.

250

Katakanlah untuk t e J

PERTANIKA VOL. 9 NO. 2, 1986

J i - - - i sg


r >o ,1 * * * S

met"Tr+1

aear makauntuk t e J s + 1 (M)met

Jt+1

js+l &ir+lkr+l: X •" A 8, ,w , g" X

A > 0

t = ( '(t')TA Y n g.

Js+1 / x s + l *r

;etiap

nem

/VPT

•egitu

ama

V l fis+l

r+1

*s+l

rP=I

n «v2 Z

M V l

Js+1 ikr+1

sebab kes t e T J(M) sudah terbukti.

7. TAFSIRAN ds2DALAM RUANGRIEMANNAN

Di dalam geometri kebezaan klasik kuantitids, panjang lengkung dalam ruang Riemannan,diberikan oleh

ds2= g.dx'dx' (7.1)dengan g. sebagai tensor metrik Riemannan(lihat Lawmen 1962).

Sekarang kami akan tunjuk bahawa rumusds2 ini dapat diformulasikan menerusi takrifmoden metrik Reimannan.

Di dalam sistem koordinat piawai (U, x),metrik Reimannan g boleh ditulis di dalambentuk

g = gj.dx1 ®dxj

Mengikut takrifnya, kita tahu

(7.2)

g(u,v) = g.. dx1 (Uk

= gijdxi®dxJ(V

Dengan itu, g(u, v) = g(v, u) mengimplikasikang . = g (sifat simetri metrik Riemannan

klasik)'J

Jika dx1 klasik dianggap sebagai nombormaka didapati,

3. ) = gk£ dxk ® dx£ (dxj dj, d^ d.

• gy dx1 dxJ

Rumus inilah yang ditandakan sebagai ds2 didalam analisis klasik yang telah disebut di atas,persamaan (7.1).

Jelaslah sekarang bahawa persamaan (7.1)yang digunakan dalam analisis tensor klasik se-bagai takrif metrik Riemannan boleh diformu-lasikan terus dengan takrif moden, persamaan(7,2). Dengan ini formulasi Choquet-Bruhat drk(1982) yang mentafsirkan ds 2klasik sebagai

[ ^(dx^dxJ + dx^dxOg..

itu vakuo.



8. STRUKTUR TENSOR RELATIF DAN Dengan menggunakan sifat multilinearKETUMPATAN TENSOR

1 * * r suatu tensor relatif jenis F(Vj , . . . , vk , W1 , . . , W )

. v t \ t . r, , • - b i * • b v k ai - ai P(3i »• i 3* , dx 1 , . , dx (atau pangkat) (r, s) berpemberat P sekiranya l J £ l kkuantiti ini menjelma mengikut rumus :

2-S, n darab

m,a x x . . . a x ^ s

OX OX

vr = b r a , ,

Ini memberikan

F(3,•

\ ,dx J l , . . . ,dx J £ )

• I , . . .I—«kdx1 A---Adxn

dengan P berupa integer, apabila x x. dengan

Jika P = O tensor relatif ini hanyalahtensor biasa sahaja. Jika P = 1, tensor relatif inilebih dikenali dengan nama ketumpatan tensor.Takrif-takrif ini terkenal di dalam analisis tensorklasik, lunpamanya seperti di dalam Lawden(1962).

Pertimbangkan pemetaan multilinear Fyang (Jihat Spivak (1970)).

pemalar

Sekarang pertimbangkan

V^'-Vxtiv;4J 'lseTq

{

J1

F:Tq(M)x...xTq(M)x

kkali

T*(M)x...xT«(M)t2 , 2 1 -*Aq(M)

/kali

dengan A • (M) melambangkan set tensor

• l • • ' k

kovarian peringkat n yang antisimetri sepenuh- , n , «nya atas manifold M bermatra n. {0X A " A " K&V' • ' V w • • ->w /»«»• -»Xnya



Dengan ini kita dapat membuat kesimpulan P integer positif. Lambangkan £2 n p (T (M))bahawa

ft. . .® d x k ®3.

sebagai set pemetaan seperti V ini.Pertimbangkan pemetaan multiliner.

F : T (M)x . . . xT (M)xT *(M)x. . .xT *(M)

®(dxIA...Adxn) k rangkap £ rangkap

Sekarang ditunjukkan cara F berubah "*dengan perubahan koordinat (x »—• x). lelaslahSeperti biasa, F di dalam sebutan asas yang baruberupa

F=FJfi " < J £ [ d x ^ . ^ A d x ^ u ^ . . . , ^ ) ]

I1 A. . .Adx n) ,

•5= — >r 3xr

3x

. 3xk 3x

3x k 3x1]

dengan F K = a , a pemalar

Oleh sebab sebarang w € A |j(M)f kita ada

q (M))n x . . x (Tq

P rangkap

3X—. ' — darab dengan

j x . . . xAm) = ^ (a, a,. . . , a): a e A . |

dx .® dx k ® 3 _ © . . . ®3m.

®(dx! A . . . A d x n )

kerana hubungan

maka kita boleh tulis

F - F 1 * d x ' 1 ® ® d x l k

<n)

(*

3X1

d x l ® . . ® d x K ® 3 . ® . . ® 3 .J l JJ

[ dx1 A . . . A dxn ]

®3;

•«))

dx1 A . . . A d x n = p t u [ — J d x 1 A . . . A d x n ,3xJ

yang terkenal itu (lihat Spivak (1970)). F J l Jfi

Mudah ditunjukkan yang *1 * * * *kPertimbangkan pula pemetaan yang ber- komponen F ini memenuhi hukum penjelmaan

bentuk seperti berikut: tensor relatif peringkat (£; k) berpemberat positifK/" P. Pertimbangkan pemetaan multilinear G.

G : T (M)x . . . xT (M)xT *(M)x . . . xT*(M)7]: Tq (M) x . . . x Tq

n kali

* < v . » v . > " i w ( v i - - - - . v n) ]n

kkali Ckali



dengan A (M) melambangkan set tensorkontravarian peringkat n atas manifold M ber-matra n yang antisimetri sepenuhnya (lihatSpivak (1970)). Kita dapati, dengan

" 3 . , r P = a ' dx1, a k e T *(M) ,r 1 ' 1 ' q v ' '

r, v k i r 1 , . . . , T £ ) ( a 1 , . . . ) a n )

Hukum penjelmaan inilah yang di dalam susas-tera klasik itu dianggap sebagai takrif tensorrelatif jenis (/, k) dengan pemberat (—1). Satuset fungsi yang berbentuk seperti berikut,

..xTq*(M)-»N

nkali

d

3j v l v k , T 1 , . . . , r )

d 1 d

y a n g X e A n (M) ' dilambangi sebagai

n n ; P ( T *(M)); P suatu integer positif.4

J 1 ' " J £ dx*1 ® . . . ® d x i k » 3 . « .

Sekarang, pertimbangkan pula pemetaanmultilinear

9 [ I j A...A i n ] (vj , . . , vk , %}.., t2) ( a1,. . , an ) G: Tq(M) x . . . x Tq (M) x Tq*(M) x . . . x Tq*(M)

Oleh itu kita boleh tulis

k rangkap

Didapati

/rangkap

fcdengan

3_x

8 x J

.I1".dan

P n ) ] P

apabila kita menggunakan penjelmaan terkenal(lihatSpivak, (1970)), ap [ A . . . A d^Cp1 pn) ]P»

3j A. .A3n=ptu

254

a pemalar

PERTANIKA VOL. 9 NO. 2, 1986


sebab

3xrl 9K( p , . . . , pn) ] di sini sama dengan maksud r

[dx1 A . . . A dxn ( u 1 ? . . . , un) ]

digantikan dengan T *(M).

. . . 3 x K

cumaT Mq

Oleh yang demikian,

1 P

n)1 P n ) ] P

= Gl'.'X [ 9 1 A . . . A e n ( P1

) . . . , Pn ) ]

Dengan itu, kita boleh tulis

\j \y^ | • • • , v^ i t , . . . pn)

®. . . ® dx

® ( d 1 A . . . A 9 n ) P

laitu

G = G•»£

dx

_ PA 9 n )

Seperti untuk kasus P = — 1, jelaslah untukkasus ini, perubahan sistem koordinat x \—± xakan memberikan

- m l

Hukum penjelmaan inilah yang dianggap se-bagai takrif klasik tensor relatif jenis (/, k) pem-berat ( - P).

PENGHARGAAN

Penulis kedua kertas ini (Muriati) berterimakasih kepada UKM yang telah membolehkanbeliau membuat penyelidikan ini di bawahpenyeliaan penulis yang pertama.

RUJUKAN

ABRAHAM, R. dan MARSDEN, J.E. (1978): Foundationsof Mechanics, Benjamin, Syn: 2.

CHOQUET-BRUHAT, Y. drk. (1982): Analisis, Mani-folds and Physics, North-Holland, Revised Ed.

DODSON, C.T.J. dan POSTON, T. (1979): TensorGeometry, Pitman.

KOBAYASHI, S. dan NOMIZU, K. (1963): Foundationsof Differential Geometry, Vol. 1, John Wiley.

LAWDEN, D.F. (1962): Introduction to Tensor Calcu-lus and Relativity, Methuen.

MITCHELL, B. (1965): Theory of Categories, Ac. Press.

MURIATI BT. MUKHTAR(1984): Formulasi Tensor AtasManifold, Disertasi Sarjana Jabatan Matematik,Universiti Kebangsaan Malaysia.

PERLIS, S. (1962): Theory of Matrices, John Wiley.

SHAHARIR BIN MOHAMAD ZAIN, (1984): Satu KajianPerbandingan Berkenaan Analisis Tensor Modendan Analisis Tensor Klasik, furnal Malaysiana,Siri Sains Kuantitatif 13 (2), 167 - 177.

SPIVAK, M. (1965): Calculus on Manifolds, Benjamin.

SPIVAK, M. (1970): A Comprehensive Introduction toDifferential Geometry, Vol. 1, Publish or Perish.

THIRRING, W. (1978): Classical Dynamical Systems,Springer-Verlag.

WESTENHOLZ, (1978): Differential Forms in Mathema-tical Physics, North-Holland.

(Received 26 November, 1986)
