STRUKTUR ALJABAR

GRUPOleh:

FELI RAMURYTRIMUHTIHARYANI

Dosen Pengasuh : 1. Dr. Darmawijoyo 2. Dr. Nila Kesumawati,

M.Si.

O GRUPOIDO SEMIGRUPO GRUPO GRUP ABEL

GRUPOID

Definisi 1.2.1Suatu himpunan tidak kosong, G dengan operasi biner (*) didalamnya, disebut grupoid dan dinyatakan dengan (G,*)

Contoh 1:Misalkan G = danoperasibiner “*” dalam G ditentukansebagaiberikut:

* x y z

x x y y

y y x y

z z y xTabel ini dibaca x * x = x, x * y = y, z * z = x dan seterusnya

(G,*) ini merupakan grupoid, karena operasi * merupakan operasi biner dalam G.

SEMIGRUPDefinisi 1.2.2Suatugrupoid (G,*) disebutsemi-grup, apabilaterhadapoperasibiner * dalam G berlakusifatasosiatifsebagaiberikut: x,y,z G berlaku(x * y) * z = x * (y * z)

Contoh 2:Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner: a*b = a + b + abTunjukkan bahwa (N,*) adalah semigrup!

Penyelesaian:1. Tertutup

Ambilsembaranga,bN, karenaa,bN

Maka a * b = a + b + abN

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

Penyelesaian:

2. Assosiatif

Ambilsembarang a, b, c N, maka

(a * b) * c = (a + b + ab) * c

= (a+b+ab) + c + (a + b + ab) c

= a + b + ab + c + ac + bc + abc

a * (b * c) = a * (b + c + bc)

= a + (b+c+bc) + a (b + c + bc)

= a + b + c + bc + ab + ac + abc

Penyelesaian:

Makauntuksetiapa,b,cN berlaku

(a * b) * c = a * (b * c)

Jadi, (N,*) merupakan suatu semigrup

GRUPDefinisi 1.2.3Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup, jika dalam G terdapat operasi misalkan * dan unsur-unsur dalam G memenuhi syarat:

1. Tertutup

Grup

a,b G maka a * b = c dengan c G

2. Assosiatif

a,b,c G berlaku (a * b) * c = a * (b * c)

3. Terdapatunsuridentitas e G

a * e = e * a = a, a G

4. Untuksetiap a G terdapat G

* a = a * = e

Contoh 3:Misalkan G = Tunjukkanbahwa G adalahsuatugrupterhadapperkalianbiasa (G,x)

Penyelesaian:

Dengan menggunakandaftarCayley G = terhadap (G,x) sebagaiberikut:

x -1 1

-1 1 -1

1 -1 1

Penyelesaian:

a. Tertutup

G tertutup terhadap operasi perkalian biasa x karena

-1 x -1 = 1 G

-1 x 1 = -1 G

1 x -1 = -1 G

1 x 1 =1 G

Penyelesaian:

b. Assosiatif

Ambilsembarangnilai G, misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 G, maka

(a x b) x c = (-1 x -1) x 1 = 1 x 1 = 1

a x (b x c) = -1 x (-1 x 1) = -1 x -1 = 1

sehingga (a x b) x c = a x (b x c) = 1 maka G assosiatif

Penyelesaian:

c. Adanya elemen identitas (e = 1) terhadap perkalian

Ambil sembarang nilai dari G,

- Misalkan-1 G sehingga

-1 x e = e x (-1) = -1

- Misalkan1 G sehingga

1 x e = e x 1 = 1

Maka G mempunyai identitas

Penyelesaian:

d. Adanya invers

- Ambil sembarang nilai dari G,

misalkan-1 G, pilih-1 G, sehingga:

-1 x (-1) = 1 = e, maka = -1

- Ambil sembarang nilai dari G,

misalkan1 G, pilih1 G, sehingga:

1 x 1 = 1 x 1 = e, maka = 1

Maka ada invers untuk setiap anggota G

GRUP ABELDefinisi 1.2.4Dalamsuatugrup G bilaberlakusifat a b = ba untuksetiapanggotaa,b G, maka G disebutgrupkomutatifataugrupabel.

Contoh 4:Misalkan G = Tunjukkanbahwa G adalahsuatugrupterhadapperkalianbiasa (G,x)

Penyelesaian:

Padacontoh 3 telahtebuktibahwa G = merupakangrupterhadapperkalianbiasasehinggakitahanyamembuktikansifatkomutatif

-1 x 1 = -1 dan 1 x (-1) = -1

sehingga -1 x 1 = 1 x (-1) = -1

Jadi, (G,x) merupakan grup komutatif atau grup abel.

Terima KasihTerima Kasih

Elements PageElements Page