Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 1
MATA KULIAHMATA KULIAH :: MATEMATIKAMATEMATIKAKODE MATA KULIAHKODE MATA KULIAH :: UNM10.103UNM10.103SKSSKS :: 2 (12 (1--1) 1)
LOGARITMA & EKSPONENSIALLOGARITMA & EKSPONENSIALLOGARITMA & EKSPONENSIALLOGARITMA & EKSPONENSIALLOGARITMA & EKSPONENSIALLOGARITMA & EKSPONENSIALLOGARITMA & EKSPONENSIALLOGARITMA & EKSPONENSIAL
OlehOleh
SyawaludinSyawaludin A. A. HarahapHarahap, , MScMSc
UNIVERSITAS PADJADJARANUNIVERSITAS PADJADJARAN
FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTANFAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN
JATINANGORJATINANGOR
20112011
LOGARITMALOGARITMA
LogaritmaLogaritma adalahadalah pangkatpangkat yangyang harusharusdiberikandiberikan kepadakepada suatusuatu angkaangka agaragar didapatdidapatbilanganbilangan tertentutertentu..
suatusuatu angkaangka tersebuttersebut merupakanmerupakan basisbasis daridarilogaritmalogaritma..
ContohContoh::22log 8 = ..log 8 = ..
2 2 harusharus diberidiberi pangkatpangkat berapaberapa agar agar hasilnyahasilnya 8 ?8 ?
JawabJawab: 3: 3
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 2
PPloglog a = m a = m artinyaartinya a = pa = pmm
pp disebutdisebut bilanganbilangan pokokpokok
aa disebutdisebut bilanganbilangan logaritmalogaritma atauataunumerusnumerus dengandengan aa >> 00
mm disebutdisebut hasilhasil logaritmalogaritma atauataueksponeneksponen daridari basisbasis..
BentukBentuk UmumUmum
SifatSifat--sifatsifat LogaritmaLogaritma
1.1. pploglog (a x b)(a x b) = = pploglog a + a + pploglog bb
2.2. pploglog (a : b)(a : b) = = pploglog a a -- pploglog bb
3.3. pploglog (a)(a)nn = n x = n x pploglog aa
4.4. pploglog p p = 1= 1
5.5. bblog 1 = 0; log 1= 0; log 1 = 0; log 1= 0; lnln 1= 01= 0
6.6. pploglog ppxx = x= x
nm pploglog aa==
7. 7. PPloglog nam = =
pploglog (a)(a) nm
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 3
SebenarnyaSebenarnya semuasemua angkaangka bisabisa dijadikandijadikanbasisbasis logaritmalogaritma,, tapitapi yangyang palingpaling banyakbanyakdigunakandigunakan hanyahanya 22 angkaangka,, yaituyaitu::
1.1. Logaritma dengan Basis 10Logaritma dengan Basis 10
PadaPada bentukbentuk pploglog aa == m,m, makamaka::1010loglog aa == mm cukupcukup ditulisditulis loglog aa == mm..
BasisBasis 1010 padapada logaritmalogaritma tidaktidak perluperludituliskandituliskan..
ContohContoh::1010log 3 log 3 dituliskandituliskan log 3log 31010log 5 log 5 dituliskandituliskan log 5log 5
2.2. LogaritmaLogaritma naturalnatural dengandengan BasisnyaBasisnyaadalahadalah bilanganbilangan irasionalirasional tertentutertentu yaituyaituee == 22,,7182871828
Pada bentuk Pada bentuk pplog a=m, maka log a=m, maka eelog a=m log a=m cukup ditulis dengan ln a=m cukup ditulis dengan ln a=m
Contoh:Contoh:eelog 3 log 3 dituliskan ln 3dituliskan ln 3eelog 5 log 5 dituliskan ln 5dituliskan ln 5
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 4
FungsiFungsi eksponensialeksponensial menggambarkanmenggambarkanfenomenafenomena pertumbuhanpertumbuhan//peluruhanpeluruhan dengandenganpersentasepersentase tetaptetap..
FungsiFungsi yangyang variabelvariabel independennyaindependennya (x)(x)merupakanmerupakan pangkatpangkat daridari suatusuatukonstantakonstanta..
ContohContoh::
yy == 22xx,, yy == 1010xx,, yy == 22((33xx),), yy == 55((2233xx))
EKSPONENSIALEKSPONENSIAL
y = a(y = a(bbcxcx))
aa = intercept (= intercept (titiktitik potongpotong dengandengansumbusumbu y)y)
bb = basis= basis
cc = = bagianbagian daridari basisbasis
BentukBentuk UmumUmum
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 5
pangkatpangkat negatifnegatif bisabisa dihilangkandihilangkan::
y = 2y = 2--x x = (2= (2--11))x x =(1/2)=(1/2)xx
JadiJadi :: fungsifungsi eksponensialeksponensial pangkatpangkat negatifnegatif== fungsifungsi eksponensialeksponensial pangkatpangkat positifpositif,, dgndgnbasisbasis :: 00
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 6
KarakteristikKarakteristik FungsiFungsi EksponensialEksponensial
1.1. bbmm.b.bnn bbm+nm+n
2.2. bbmm
bbnn
3.3. ((bbmm))n n bbm.nm.n
4.4. aamm.b.bm m ((a.ba.b))mm
5.5. bbmm/n/n
6.6. n n nn
7.7. bb0 0 11,,
8.8. bb--mm ,,
bm-n , b 0 bm bmm
b 0
11
bbmmb 0
bmnn
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 7
Contoh SoalContoh Soal
1. 1. JikaJika 44log 64 = xlog 64 = x
TentukanTentukan nilainilai x = .x = .
JawabJawab::44log 64 = x log 64 = x 44xx = 64= 64
44xx = 4= 444
x = 4.x = 4.
Contoh SoalContoh Soal
2. 2. NilaiNilai daridari 22log 8 + log 8 + 33log 9 = .log 9 = .
JawabJawab::
= = 22log 8 + log 8 + 33log 9log 9
= = 22log 2log 233 + + 33log 3log 322
= 3 + 2= 3 + 2
= 5= 5
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 8
Contoh SoalContoh Soal
3. 3. NilaiNilai daridari 22log (8 x 16) = .log (8 x 16) = .
JawabJawab::
= = 22log 8 + log 8 + 22log 16log 16
= = 22log 2log 233 + + 22log 2log 244
= 3 + 4= 3 + 4
= 7= 7
Contoh SoalContoh Soal
4. 4. NilaiNilai daridari 33log (81 : 27) = .log (81 : 27) = .
JawabJawab::
= = 33log 81 log 81 -- 33log 27log 27
= = 33log 3log 344 -- 33log 3log 333
= 4 = 4 -- 33
= 1= 1
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 9
Contoh SoalContoh Soal
5. 5. NilaiNilai daridari 22log 8log 844 = .= .
JawabJawab::
= = 22log 8log 844
= 4 x = 4 x 22log 2log 233
= 4 x 3= 4 x 3
= 12= 12
Contoh SoalContoh Soal
6. 6. NilaiNilai daridari 22log log 8844 = .= .
JawabJawab::
= = 22log log 8844 = 2 x = 2 x 22log 2log 233
= 2 x 3= 2 x 3
= 6= 6
24 22log 8log 8==
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 10
Contoh SoalContoh Soal
7. 7. JikaJika log 100 = xlog 100 = x
TentukanTentukan nilainilai x = .x = .
JawabJawab::
log 100 = x log 100 = x 1010xx = 100= 100
1010xx = 10= 1022
x = 2.x = 2.
Contoh SoalContoh Soal
8.8. lnln xx22 + + lnln x = 9. x = 9. TentukanTentukan nilainilai x ?x ?
Jawab: Jawab:
3 ln x3 ln x = 9= 9 lnln xx = 3= 3
xx = e= e33
= 2,71828= 2,7182833
= 20,0855= 20,0855
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 11
Contoh SoalContoh Soal
9.9. ee2x2x = 5. = 5. BerapaBerapa nilainilai x ?x ?
Jawab: Jawab:
ln eln e2x2x = ln 5= ln 5
2x 2x lnln e = 1,6094e = 1,6094
2x = 1,60942x = 1,6094
x = 0,8047x = 0,8047
Contoh SoalContoh Soal
1010.. SuatuSuatu zatzat yangyang disuntikkandisuntikkan keke dalamdalam tubuhtubuh ikanikan akanakandikeluarkandikeluarkan daridari darahdarah melaluimelalui ginjalginjal.. SetiapSetiap 11 jamjamseparuhseparuh daridari zatzat ituitu dikeluarkandikeluarkan oleholeh ginjalginjal.. BilaBila 100100miligrammiligram zatzat ituitu disuntikkandisuntikkan keke tubuhtubuh ikanikan,, berapaberapamiligrammiligram zatzat ituitu yangyang tersisatersisa dalamdalam darahdarah setelahsetelah:: a)a)11 jam,jam, b)b) 22 jam,jam, c)c) 33 jamjam ??
JawabJawab::1 jam : A=100.(1/2) = 100.(1/2) 1 jam : A=100.(1/2) = 100.(1/2) 11 =50 mg=50 mg
2 jam : A=100.(1/2)(1/2) = 100.(1/2)2 jam : A=100.(1/2)(1/2) = 100.(1/2)22 =25 mg=25 mg
3 jam : A=100.(1/2)(1/2)(1/2) = 100.(1/2)3 jam : A=100.(1/2)(1/2)(1/2) = 100.(1/2)33 =12,5 mg=12,5 mg
A = 100.(1/2)A = 100.(1/2)tt
Matematika: Logaritma & Eksponensial 11/28/2011
Syawaludin A. Harahap 12
Contoh SoalContoh Soal
1111.. DiDi tahuntahun 19701970 jumlahjumlah populasipopulasi dugongdugong didi suatusuatuperairanperairan adaada 100100 ekorekor.. BilaBila pertambahanpertambahan populasipopulasi 44%%perper tahuntahun,, berapaberapa jumlahjumlah populasipopulasi dugongdugong padapada akhirakhirtahuntahun 19951995 didi perairanperairan tersebuttersebut ??
JawabJawab::
PPtt = P= P00 eertrt ((pertumbuhanpertumbuhan dugong dugong terjaditerjadi secarasecara
kontinyukontinyu))
= 100. e= 100. e0,04x250,04x25
= 100 x 2,71828 = 271,828 ekor= 100 x 2,71828 = 271,828 ekor