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Marcosapb – Matemática – Algebra – 2013

1

VOLÚMENES Y ÁREAS DE LOS PRINCIPALES POLIEDROS

Volumen y Área de un Ortoedro Consideremos el siguiente ortoedro:

Arista: Línea formada por la unión de dos caras.

Cara: Cada uno de los rectángulos que forman el ortoedro.

Desarmando la figura:

hbaV ………………Expresión que permite calcular el volumen de un ortoedro.

totaláreaelcalcularpermitequeExpresiónabbahBAA

abBentoncesbasesdostieneComo

baseladeÁreaabB

lateraláreaelcalcularpermitequeExpresiónbahbhahA

bahbhahbhbhahahA

LT

L

L

.........2)(22

22:,

....

.).........(222

)(222

Volumen: Espacio que ocupa un cuerpo.

Área Lateral: Es el área de las caras laterales de un poliedro.

Área de la Base: Es el área sobre la cual descansa la figura.

Área Total: Es la suma del área lateral más el área de las bases.

Todas las caras son rectángulos, hay 2

caras que sirven de base, y 4 que son caras

laterales

a

b

h

h h a

b Base Base

baseladeáreaB

atotaláreA

lateraláreaA

volumenV

T

L

Diagonalhbad .222

a

b

h

Cara

Arista

22 ba

El volumen de un ortoedro es igual al

producto de sus tres dimensiones: largo x

ancho x alto )( hba

hbaV

El volumen se expresa en

unidades al cubo, o sea,

exponente tres (3):

...,, 333 kmcmm


2

EJEMPLO 1.

Hallemos el volumen, el área lateral, área total y la diagonal de un ortoedro cuyas

dimensiones son: 8cm, 5cm y 2cm.

Solución:

Calculando el área de la base:

2cm4058 cmcmB

Calculando el área total: 22222 132cmcm52cmcm52cm 80)40(22BAA LT

Calculando diagonal:

9,64cm 9342564258 222222 hbad

Otra forma para calcular el área total: se halla el área de cada cara y se suma

El área total es: 2

T 132cmA 222222 161610104040 cmcmcmcmcmcm

210cm

Para la cara lateral derecha, que

es igual a la izquierda, el área es: 21025 cmcmcm

Para la cara base, que es igual a la

superior, el área es: 24058 cmcmcm

Para la cara lateral del frente, que

es igual a la del fondo, el área es: 21628 cmcmcm

8cm

5cm

2cm

8cm

5cm

2cm

5cm

8cm

240cm

216cm

8cm 5cm

2cm

Calculando el volumen:

380cm

cmcmcmabhV

cmhcmbcma

258

2.5.8

Calculando el área lateral:

252cm

cmcmA

cmcmcmbahA

L

L

134

58222


3

EJEMPLO 2.

La siguiente figura representa un depósito de agua construido en una comunidad

Solución:

a) El volumen del depósito se halla multiplicando las tres dimensiones: 33 000.400.102´104,10102)16)(5,20)(8,30( cmmmmmV

b) Aplicando una regla de tres simple directa, calculamos los litros que puede contener:

litrosxdondeDe

x

cmLitros

400.102.101000

000.400.102´101:

000.400.102´10

10001

3

Vendiendo los 10´102.400 litros de agua a $14.5, se recauda:

800.484´146$)400.102´10(5,14Re caudo

c) Como cada casa consume en promedio 99,5 litros de agua por día, las 135 casas

consumen en un día: litros5,13432)5,99(135

Aplicando una regla de tres simple directa . Entonces:

díasxdondeDe

x

díasLitros

08,7525,13432

400.102´10:

400.102´10

15,13432

d) Como a más personas consumiendo agua, la misma alcanza para menos días, en este

caso, aplicamos una regla de tres simple inversa. La primera familia tiene 15

miembros y la segunda 20 miembros, porque según el enunciado, tiene 5 más.

Entonces:

30,8m

20,5m 16m

a) Hallemos el volumen aproximado del depósito

b) ¿Cuántos litros de agua puede contener

c) Si un litro de agua se vende a $14,5. ¿Cuánto dinero

se recauda?

d) Si en la comunidad hay 135 casas y cada una

consume en promedio 99,5 litros de agua cada día,

¿para cuántos días alcanza el agua?

e) Si una familia de 15 miembros puede consumir el

depósito en 30 días, ¿en cuántos días lo consumirá

otra familia que tiene 5 miembros más…?

33

3

1000000

1000

1

1

:Re

cmm

cmlitro

quecuerde


4

díasxx

dondeDe

x

díasPersonas

5,2220

1530

15

2030:

20

3015

EJERCICIOS

1. Para cada figura, calcule el volumen, el área total y la diagonal:

2. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular miden: 6m, 8m y 3m.

a) ¿Cuánto cartón se debe comprar para construir el paralelepípedo sin tapa y cuánto, con

tapa? Sugerencia: Halle el área de las caras.

b) Si el m2 de cartón cuesta $ 46.9, ¿con cuánto dinero se pueden construir los

paralelepípedos?

3. Se van aguardar libros en una bodega de dimensiones 4m, 3m y 2m. Si la dimensión de

cada libro es 20cm, 10cm y 4cm, calcule el número de libros que se puede guardar en

esa bodega.

4. Las dimensiones de una piscina que tiene forma de ortoedro miden 10m x 7m x 3m.

a) Halle el volumen de la piscina

b) Si se estima que una persona tiene un volumen de 51000cm3, ¿cuántas personas

caben en la piscina?

c) Si el litro de agua cuesta $25, ¿cuánto cuesta llenar la piscina?

d) Si una llave que vierte 20 litros por segundos, llena la tina en 12 horas, ¿en cuántas

horas la llenará otra llave que vierte las 2/5 de la primera en el mismo tiempo?

Nota: Para cada ejercicio, construya una gráfica que represente la situación.

5m

6m

9m

8cm

7cm

4cm

4cm

6cm

V = 192cm3

d = ?

a = ?

hb

VaAyuda

:


5

Volumen y Área de un Cubo o Hexaedro

Para calcular la arista: 3

Vk El volumen de un cubo es igual a la arista al cubo, o sea, elevada a la 3.

Desarmando la figura:

EJEMPLO 1.

Calculemos el volumen, el área total y la diagonal de un cubo de 4,25m de arista.

Solución:

Todas las caras son cuadrados y dos de ellas sirven de base

K

K

K

K

K

K K

K

K

K

K

mmkd

mmmkA

mmkVmk

T

35,7)25,4(73,13

.37,108)062,18(6)25,4(66

76,76)25,4(.25,4

2222

333

4,25m

Todas Las caras son cuadrados

73,13

k

k

k

Arista

kd 3 Volumen: 33 kV kkkkV

Área lateral: 2

L

22222 4kA kkkkkAL 4

Área de la base: 2

kB

Área total:

2

T

222222

6kA

k

622 kkkkkBAA LT


6

EJEMPLO 2.

Si la arista de un cubo se duplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen?

12

2

1

3

3

2

1

33

2

33

1

8:,8

1

8

:)2()1(

)2.....(8)2()1.....()(

:

VVdondedeV

V

k

k

V

V

yvolúmeneslosentreproporciónlandoEstablecie

kkVkkV

volúmeneslosHallemos

El nuevo volumen (2) es 8 veces el volumen inicial (1) o el volumen inicial (1) es la octava

parte del volumen final (2). Lo que indica, que por cada unidad del volumen (1), hay ocho

unidades del volumen (2). O sea, están en una proporción de 1:8 ó de 8:1

Haciendo uso de la ecuación anterior ( 12 8VV ), complete la siguiente tabla para los

valores indicados e indique la proporción

1V 2V Proporción

8

3

30 1:8

15

5

¿Qué puedes opinar acerca de las proporciones? EJEMPLO 3.

El volumen de un cubo es de 64cm3, hallemos la arista, el área total y la diagonal

Como se puede observar, la

arista del cubo de la derecha es

el doble de la del cubo de la

izquierda k

1V

2k

2V

64cm3

k

k

k

Como: 4cm.kV 3 3 33 64cmVk ….este es

el valor de la arista

Área total: 22 96)16(6)4(6 cm 2

T 6kA

Diagonal: cmkd 92,6)4(73,13

73,13


7

EJERCICIOS

1. Para cada cubo o hexaedro, realice el cálculo exigido:

2. La diagonal de un cubo mide 10,38cm. Halle: La arista, el área total y el volumen.

Ayuda: 73,13.3

d

k

3. ¿Cuánto cartón se necesita para construir un caja de forma cúbica de 9,5 cm de arista.

Si el m2 cuesta $ 50. ¿Cuánto dinero se necesita?

4 Si la arista de un cubo se triplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen y la nueva área

total? Ayuda: kk 3

5 Si la arista de un cubo se reduce a la mitad, ¿en cuánto decrece el nuevo volumen y la

nueva área total?

Volumen y Área de un Prisma

n = Número de lados. L = longitud de los lados. h = altura.

B = área de la base. a = apotema. P = perímetro.

4m

?.?.? dAV T

5,8cm

?.?.? dAV L

V = 512cm3

?.?.? dAk T

3 Vk

Ayuda

a

L

L

h

DESARMANDO LA FIGURA:

En este caso, el prisma es pentagonal, porque su

base es un pentágono. Cualquier polígono puede

servir de base. Todas las caras son rectángulos.

L

L

h

L

L


8

BhV . Pero: 22

PanLaB . Entonces:

2

ahnBhV

L .

nLhAL

h)nL(aAT

)(222

hanLnLhnLanLhnLhBAnLa

T

El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.

El área lateral de un prisma es igual al producto de la altura(h) por el perímetro de la

sección recta.

EJEMPLO

Un prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero de 8m de lado. Si la altura

del prima es de 10m, calculemos el volumen y el área total.

Solución:

totaláreaelesestammBAA

baseslasdeáreaelesestamB

lateraláreaelesestammnlhA

n

volumenelesestemmBhV

LT

L

2

2

2

3

295,36m

55,36m

240m

276,8m

22

2

2

36,552402

.)68,27(22

.)10)(8(3

.3

)10(68,27

8m

10m

2

3 Lh

..…. Fórmula altura de un triángulo equilátero.

2

hbA

……. Área de un triángulo.

268,272

36,55

2

)92,6(8

2

92,62

84,13

2

)8(73,1

2

3

10.8

cmhb

BA

cmL

h

cmhbcmL


9

EJERCICIOS

1. Para cada prisma, realice el cálculo exigido:

2. Un prisma tiene por base un cuadrado de 10m de lado. Si alcanza una altura de 5m,

halle el volumen y el área total.

3. Un prisma tiene por base un rombo cuyas diagonales miden 9m y 14m. Si el prisma

alcanza una altura de 3m, halle el área total y el volumen.

4. Para almacenar agua, una comunidad construye un lago en un terreno. Dos de las caras

laterales son trapecios isósceles cuyas bases miden 9m y 12m, el fondo y las otras

paredes son rectángulos. Las caras trapezoidal están separadas por una distancia de

100m. Si máxima altura que alcanza el agua almacenada es de 5m, determine:

a) La capacidad(volumen) del lago. Exprese el volumen en litros

b) Si cada litro de agua tiene un valor de $245,86 ¿cuánto dinero recaudará la

cominudad?

Volumen y Área de una Pirámide

BAABh

BhLT

V .33

1

El volumen de una pirámide es igual a 1/3 del producto del área de la base por la altura.

El área lateral se halla sumando las áreas de los triángulos (caras laterales).

En una pirámide regular, la apotema es la altura de los triángulos isósceles de las caras

laterales

Cara lateral

Altura

Arista

Base

h

8m

?.? TAV

12m

15m

4

3:

:

?.?

2LAequilátero

triánguloáreaAyuda

AV T

4cm

Triángulo

equilátero

7cm

12m

?.? TAV

2m 1,7m

6m

hexágonoapotemaL

a

AV T

2

3

?.?

18cm


10

EJEMPLO

Hallemos el volumen de una pirámide que tiene una altura de 11m y su base es un

rectángulo de 7m y 4m de lado

Solución:

EJERCICIOS

1. Para cada pirámide, realice el cálculo pedido:

2. Una de las pirámides de Egipto tiene como base un cuadrado de 9m de lado y alcanza

una altura de 4m. Halle el volumen de la pirámide.

32

2

66,1023

)11(28

3:

28)4(7:

.33

1

mmmBh

V

mmmB

BAABh

BhV

pirámideVolumen

baseladeÁrea

LT

11m

7m

4m

?V

4cm

5cm

?V

8cm

50cm

14cm

?V

8cm

Altura

Tetraedro regular: pirámide cuya base y

caras laterales son triángulos equiláteros.

tetraedroalturaLh

caraunadeáreaL

A

tetraedrovolumenL

V

....3

2

....4

3

.....12

2

2

3


11

Volumen y Área de un Cilindro Circular Recto

)(2)(222

2.2..

.1416,3.2

.2

....

2

22

rhrArhrrrhA

BAArhArBhrV

drrd

GeneratrizgAlturahRadiorDiámetrod

TT

LTL

EJEMPLO1.

Hallemos el volumen y el área lateral de un cilindro que tiene un diámetro de 9cm y una

altura de 14cm.

Solución:

12cm

9cm .29,339)12)(5,4)(1416,3(22

4,763)12)(25,20)(1416,3(

).12()5,4)(1416,3(

.1416,3.12.5,42

9

2.9

2

22

22

cmcmcmrhA

cmcmcmV

cmcmhrV

cmhcmcmd

rcmd

L

El volumen de un cilindro se halla

multiplicando el número por el radio

al cuadrado y por la altura

h

r

d

h

r

r2

r


12

EJEMPLO 2.

¿Cuál debe ser el radio de un cilindro para que el área lateral sea el triplo del área de la

base?

Solución:

El ejemplo nos muestra, que el área lateral equivale tres veces el área de la base, entonces:

.3

2

3

232

:),1()3()2(Re).3().2(2

)1(3

3

22

2

2

hh

rh

r

rrrh

tieneseenyemplazandorBrhA

BA

L

L

El radio debe ser las dos terceras partes de la altura.

Halle el valor del radio para las siguientes alturas: 10m, 15cm, 25m y 36cm.

EJERCICIOS

1. Para cada cilindro, realice el cálculo exigido:

2. Un tanque cilíndrico tiene 1000cm de diámetro y 12cm de altura. ¿Cuántos galones de

gasolina puede contener? Ayuda: Galón = 3,78 litros.

3. Un tanque cilíndrico tiene 500cm de diámetro y 2,5m de altura. Calcule el área total y el

volumen.

4. ¿Cuál es el radio de un cilindro, si el área lateral es el doble del área de la base?

?? TAV

6cm

3cm

?? TAV

16m

15m

3

2

10001

:?

cmlitro

r

VhAyudah

36cm

V = 40 litros


13

Volumen y Área de un Cono

)()(

..3

1..

2

2222

rgrArgrrgrBAA

rBrgAhrVrghGeneratrizg

TLT

L

EJEMPLO

Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 1,12m y 2,4m. ¿En

qué proporción están sus volúmenes?.

Solución:

h

g

d2

h g

d1

mmd

r

mmd

r

mdmdhh

2,12

4,2

2

56,02

12,1

2

.4,2.12,1.

22

11

21

h g

r

r

g

r2


14

VVV

V

h

h

V

V

proporciónlandoEstablecie

hhhrVhhhrV

volúmeneslosCalculando

122

1

2

1 55

1

5

1

10

22,0

48,0

10,0

:

.48,0)2,1(3

1

3

1.10,0)56,0(

3

1

3

1

:

22

22

22

11

Los volúmenes están en una proporción de 1 a 5, o sea, que V1 es la quinta parte de V2 o en

su efecto, V2 es 5 veces V1.

EJECICIOS

1. Para cada cono, realice el cálculo exigido:

2. Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 8cm y 4cm. ¿En

qué proporción están sus volúmenes?

3. Si el área total de un cono es 75,24cm2 y la generatriz es el doble del radio de la base,

determine el volumen.

4. La capota de una lámpara es de forma cónica. Su diámetro es de 6,5cm y su altura es de

14cm. ¿Cuál es el volumen?

Volumen y Área de una Esfera

?? TAV

10cm

25cm

30cm

?? TAV

10m

3m

14m

?? TAV

12m 6m

9m

33

2

13

4

3.

4

4.6

1

3

4

82.

2

2233

33

3

VVr

Ar

drAdrV

ddr

dr

r

Semiesfera,

la mitad de una esfera


15

EJEMPLO

Si el diámetro de una esfera es tres veces el radio de otra esfera, determine:

a). La razón entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas.

c). La razón entre los dos volúmenes.

Solución:

.2

9

24

108

3

8

274

3

2

34

3

4:1

.4

9:.

4

9

4

9

4

9

:

.4.94

94

2

344:1

.3

2

2

3

.2

332

33

33

3

1

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

21

2

1

1

22

22

1

2

11

2

1

2

1

11

12

2:exp.

2

3

rr

rr

r

VesvolumenEl

A

A

r

r

A

A

áreaslasentreproporciónlandoEstablecie

rAr

rrrAesáreaEl

rry

rr

r

r

rr

esáreaslasderazónLa

quetieneseresiónanteriorlaDeesradioslosderazónLa

.8

27:.

8

27

8

27

8

327

3

4

2

9

.3

4:2

2

1

22

2

2

1

2

3

2

3

3

3

2:

esvolúmeneslosderazónLa

volúmeneslosentreproporciónlandoEstablecie

V

V

r

r

r

r

V

V

r

VesvolumenEl

EJERCICIOS

1. Calcule el volumen y el área de una esfera de 1,5cm de radio.

2. Halle el volumen y el área de una esfera de 6m de diámetro

Esfera 1 Esfera 2

D1 = 3r2

2r1 = 3r2


16

3. 8cm y 10cm son los diámetros de dos esferas. ¿En qué proporción están los volúmenes

y las áreas?

4. Halle el volumen y el área de una semiesfera de 9m de diámetro.

5. Encuentre el espesor de una esfera hueca, si la superficie exterior mide 4m2 y la

interior 3,8m2. Ayuda: Calcule los dos radios y establezca la diferencia.

6. El área de una esfera mide 40cm2. Halle el radio y el volumen de la esfera.

7. El volumen de una esfera es de 27m3. Halle el radio y el área.

8. ¿Por qué número debe multiplicarse el diámetro de una esfera para que: a). Su área se

duplique? b). Su volumen se triplique?

9. Si el diámetro de una esfera es el doble del radio de otra esfera, determine:

a). La razón entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas. c). La razón entre los

dos volúmenes.

RELACIÓN ENTRE EL VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR CIRCUNSCRITO A UNA

ESFERA (LA ESFERA DENTRO DEL CILINDRO)

V cV eoV eV cV e

V c

V e

V c

x

x

x

x

yvolúmenesdoslosentrerelaciónlandoEstablecie

3

2

2

3

2

3

2

3

4

6

4

6

:)2()1(

3

3

3

3

6

4

Lo anterior se interpreta a sí: El volumen del cilindro es 3/2 del volumen de la esfera o el volumen de

la esfera es 2/3 del volumen del cilindro

x

x

Como se puede observar, dentro del cilindro hay una esfera

cuyo diámetro es igual a la altura y al diámetro del cilindro

Hallemos los volúmenes y establezcamos la relación:

)2.....(6

3

3

3

24

3

34.

2

)1.....(4

)()2

.2

)(

(.3222

xrr

Esfera

xhrhrrxh

Cilindro

x

V ex

xxV c

x


17

VOLÚMENES DE SÓLIDOS TRUNCADOS, SECCIONADOS Y EN DIFERENTES

POSICIONES

Volumen de un Tronco de Pirámide

EJERCICIOS

1. Para cada tronco de pirámide, halle el volumen:

2. Los volúmenes de un tronco de pirámide y una pirámide miden 36m3 y 20m

3. Si el tronco

sostiene la pirámide y las dos bases están separadas por una distancia de 10m, halle la altura de

la pirámide y la altura que alcanzan las dos figuras.

VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO

r

8cm2

16cm2

7cm

4m

10m

8m

Las bases son cuadrados Las bases son

triángulos equiláteros

12cm

5cm

10cm

)(

)(

33

1

..

.2.2.

22

22

222

2

1

2

21

..

rRAA

rRgA

RrrRhRrrRhV

r

R

h

h

r

R

d

D

rdRDhhh

R

LT

L

menorcírculoRadiormayorcírculoRadio

h

h2

h1

R

.

33

1

.2.1

3

31

2

1

22121

22121

21

2

1

21

2

.

2

h

h

V

V

hBBBBhBBBBV

hhhh

h

h

baseladeÁreaBbaseladeÁreaB

pírámideladeAltura

basesdoslasseparaqueAltura

pirámideladevérticeelhastabaseladesdevaqueAltura

h B2

h1

h2

B1

B2

B1

h


18

EJERCICIOS

Para cada tronco de cono, halle el volumen:

VOLUMEN OTROS POLIEDROS

12cm

5cm

8cm

5cm

4cm

3cm

Además, halle el volumen

del cono superior y de todo

el cono

9cm

10cm

H h

6cm

Cilindro hueco

)( 22 rRhV

R r

h

Cilindro truncado

)( 21

2 hhRV

1h 2

h R

Cilindro oblicuo

R h

hRV 2

R

d D

k

Elipsoide

3

4 DdkV

Cono oblicuo

3

2hRV

R

h

Sector esférico

h

3

2 2hRV

Segmento esférico

áreassonbyB

hhbBV

,

62

3

b

B

h

n

R

Cuña

gradosenÁngulon

nRV

3603

4 3


19

PRINCIPALES POLIEDROS

Poliedro: Sólido que tiene varias caras.

Poliedro regular: Cuando las caras son polígonos regulares iguales.

Figura

Nombre

Características

Tetraedro regular

Tiene 4 caras iguales. Las caras son triángulos

equiláteros

Cubo o hexaedro

Tiene 6 caras iguales. Las caras son cuadrados

Prisma recto

Poliedro limitado por varios paralelogramos y

dos polígonos iguales cuyos planos son

paralelos(bases)

Paralelepípedo

Prisma cuyas bases so paralelogramos

Pirámide

Poliedro que tiene una cara llamada base, que

es un polígono cualquiera y las otras , llamadas

caras laterales son triángulos que tienen un

vértice común.

Cilindro

Sólido formado por dos curvas cerradas

paralelas.

Cilindro

Sólido formado por dos curvas cerradas

paralelas.

Esfera

Sólido o espacio limitado por una superficie

curva cuyos puntos equidistan todos de otro

interior llamado centro.


20

VOLUMEN TOTAL

El volumen total de un cuerpo sólido que está formado por varios poliedros regulares, se

halla sumando los volúmenes.

321 VVVVT TV Volumen total. 1V Volumen primer sólido.

2V Volumen segundo sólido. 3V Volumen tercer sólido.

Volumen sólido cuatro, cinco, seis, siete, ocho, …

EJERCICIO

Para cada figura, halle el volumen total:

3

4..

3

32.

2

..

32

2

3

rhr

hr

BhPahnlah

BhabhK

5cm

3cm 3cm

11cm

8cm

4cm

1

10m

10m 10m

12m

9m

2

14,78m 8m

9,8m

7,96m

11,6m

5m

16m

10m

3

Halle el área total de las figuras 2 y 3

Análisis:

Halle por separado el volumen de cada

uno de los sólidos involucrados en la

figura, luego, sume los volúmenes


21

VOLUMEN LIMITADO POR DOS SÓLIDOS

El volumen limitado por dos sólidos, se halla estableciendo la diferencia (resta) entre el

volumen del sólido mayor y el sólido menor.

memaL VVV . LV Volumen limitado por los dos sólidos.

maV Volumen sólido mayor. meV Volumen sólido menor.

EJERCICIO

Para cada figura, halle el volumen limitado:

14m

17m

5

7 8

8

1

7cm

9cm

19cm

15,79cm

6

19m

10,5m 8,2m

4

18cm

18cm

6cm

2

Análisis:

Calcule el volumen del sólido mayor.

Calcule el volumen del sólido menor.

Halle la diferencia (resta) entre los dos volúmenes

14,6m

3

3cm

4cm


22

ALGEBRA Y GEOMETRÍA -- VOLUMEN

En este capítulo estableceremos una relación entre la aritmética, el álgebra y la geometría.

Expresaremos algebraicamente los cálculos que sobre los principales poliedros (sólidos)

realizamos aritméticamente. Es importante recalcar, que la conexión se establece con los

mismos conceptos que sobre volumen y áreas conocemos de cada poliedro.

Ejemplo

Dada la siguiente figura, hallemos la expresión algebraica que representa el volumen y el

área de la región sombreada. Además, el valor numérico para x = 2.

, valor numérico

Para la región sombreada:

La misma es un rectángulo cuyos lados miden . Pero es la diagonal de la cara

frontal del poliedro, aplicando el teorema de Pitágoras para esta diagonal:

5221244)1()2( 22222 xxxxxxxxd , este es el valor del

lado del rectángulo, calculando el área del rectángulo ( región sombreada):

5121162522)1()1( 2342 xxxxxxxxdA

212,36u 1535244448325)2(12)2(11)2(6)2(2 234A

Solución: El poliedro involucrado es un ortoedro de

dimensiones . Entonces:

,

esta es la expresión algebarica que representa el

volumen

d


23

EJERCICIOS

1. Aplicando el concepto y la fórmula para cada sólido, halle la expresión algebraica

que representa el volumen y el área total de cada figura. Si en alguna figura hace

falta información, no realice el cálculo exigido

RECUERDE:

El volumen se expresa en unidades cúbicas…………….u3 = unidad cúbica.

Después de reemplazar las letras por su valor numérico, y realizadas la operaciones

indicadas, al número que resulta se agrega u3.

2. Para cada figura, halle el volumen limitado.

2x + 2

5x

4x + 3

1

2

2y + 1

2y + 6

2y

3

3z + 1

z + 4 z

6

2y +4 2z + 2

z + 1

4 5

2x 1

x = 2, y = 3, z =

4

Halle el área

lateral y total

de las figuras:

1, 3, 4 y 8

3

x 1

3x

3x + 2

6x 2

2 3y + 1

5y 2

x

2x + 1

2x + 3

7 8 x + 4

2x + 1

y + 4

2y + 3

y

9


24

FÓRMULAS DE ÁREA DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS

3x + 2

5

5x 4

5z 3

z 4

b

h bhA

ctánguloRe

b

bhA

ramoParale log

h

b

b 2bbbA

Cuadrado

b

Triángulo

h 2

bhA

L

Equilátero

Triángulo

4

3 2LA

L L

b

h 2

)( hbBA

Trapecio

B

Rombo

2DdA

d

D

L

gulares

Polígonos

Re

a

2nLaA

L

2rA

círculo

r

Elipse

DdA

D d


25

TRIÁNGULO RECTÁNGULO: tiene un ángulo recto, es decir, que mide 90° grados.

Todos son triángulos rectángulos.

Elementos

Teorema de Pitágoras Ejemplo 1 Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo:

90° 90°

90°

90°

R

B

D

r

d

b

Hipotenusa: lado más largo

Cateto

Cateto

r = hipotenusa d = cateto b = cateto

90°

Este teorema o ley se enuncia así: en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto es:

222 dbr

catetobcatetodhipotenusar ..

R

B

D

r

d

b

Hipotenusa

Cateto

Cateto

r = ? 6m

8m

En este caso, no se conoce la hipotenusa.

Entonces:

m

dondede

10100

:1006436)8()6(

r

r 222


26

Ejemplo 2 Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo: EJERCICIO Para cada triángulo, realice el cálculo exigido: TRIÁNGULO 30°, 60° Y 90°

x = ?

20m 12m

En este caso, no se conoce un cateto. Entonces:

16mx

22

2222

x

luegodondeDe

entonces

xx

xx

256

256:144400:

144400:)12()20(

r = ?

4m

3m

y = ?

15cm

9cm

x = ?

20m 25m

r = ?

14m

10m

En todo triángulo 30°, 60° y 90°: el cateto opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la hipotenusa. Esto es:

dr

r

formaigualDe

Entonces

aopuestocatetodhipotenusar

22

:

:

30.

d

R

B

D

r

d

90° 30°

60°

b

No olvides que: Siempre se inicia con la hipotenusa


27

Ejemplo 1 Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo: Ejemplo 2 Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo: EJERCICIO Para cada triángulo, realice los cálculos exigidos:

El triángulo es 30°, 60° y 90°, entonces:

cmxdondeDe

entonces

PitágorasAplicando

Entoncescatetox

aopuestocatetoyhipotenusam

xx

xx

y

32,17310300:

300100400

100400:

:

102

20:.

.30.20

)10()20(

22

2222

20cm

y = ?

60°

x = ?

El triángulo es 30°, 60° y 90°, entonces:

cmxdondeDe

entonces

PitágorasAplicando

rr

Entoncescatetox

aopuestocatetohipotenusar

xx

xx

3,475,18:

75,1825,625

25,625:

:

5)5,2(22

5,2:.

.305,2.

)5,2()5(

22

2222

2,5cm r = ?

30°

x = ?

40cm

y = ?

60°

x = ? 8cm

r = ?

30°

y = ? 10cm y = ?

30°

x = ?