Ecuaciones diferenciales isabel carmona jover

• 1. QA 371996ISABEL CARMONA JOVERECUACIONES DIFERENCIALES111111111111111111111111111 111111111111111 11111 11111 1111 11110233007133

2. http://carlos2524.jimdo.com/ 3. http://carlos2524.jimdo.com/ Q/ 3::; 1916"02""3 :506 1-35 ECUACIONESDIFERENCIALES QA 371996 ISABEL CARMONA JOVER ECUACIONES DIFERENCIALES1111111l1li1 IlIiI 11111 11111 111111111111111 11111 11111 1111 IUI0233007133 4. http://carlos2524.jimdo.com/ 5. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONESDIFERENCIALESIsabel Carmona Jover Departamento de Matemticas Instituto Tecnolgico y deEstudios Superiores de Monterrey PEARSON Educacin Mxico Argentina Brasil Colombia Costa Rica Chile EcuadorEspaa Guatemala Panam Per Puerto Rico Uruguay Venezuela 6. http://carlos2524.jimdo.com/CUARTA EDICiN, 1992Primera reimpresin, 1994Segunda reimpresin , 1996Tercera reimpresin, 1997Cuarta reimpresin , 1998 Longman de Mxico Editores, SA de C.V.D.R. 1998 por Addison Wesley Longman de Mlico, S.A. de C.v. Atlacomulco Nm . 500-5 Piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoCNIEM 1031Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacinpueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema derecuperacin de informacin, ninguna forma o por nungn medio, seaelectrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia,grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de esteejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.ISBN 968-444-150-9Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 7. http://carlos2524.jimdo.com/ Para mis padres ISABEL y JESS 8. http://carlos2524.jimdo.com/ 9. http://carlos2524.jimdo.com/"Cuando cojo este libro,sbitamente se me pone limpioel corazn, lo mismoque un pomo cristalino.-Me da luz en mi espritu,luz pasada por mirtos vespertinos,sin ver yo sol alguno ... - Qu rico me lo siento! Como un nioque no ha gastado nada de su vivotesoro, y an lo espera todo de sus lirios-la muerte es siempre para los vecinos-todo lo que es sol: gloria,aurora, amor, domingo." Juan Ramn Jimnez As te lo deseo, lector amIgo. 10. http://carlos2524.jimdo.com/ 11. " http://carlos2524.jimdo.com/ Prlogo El mundo es, en todas sus partes, una arit- mtica viviente en su desarrollo, y una geo- metra realizada en su reposo. Platn: Timeo. Desde tiempo inmemorial, la matemtica ha ejercido una fascinacin especialsobre la mente humana. Casi todo ser que se enfrenta a ella, toma partido afavor o en contra; a favor, por lo sugerente de su eficacia y la hermosura de su constitucin; en contra, por sentirse, quiz, ante una tarea superior a las pro- pias fuerzas.Voy a decir algo a aquellas personas que piensan .que la matemtica no es para ellas: el cerebro del hombre trabaja exactamente como una estructura matemtica, pues obtiene conclusiones acerca de hechos o suposiciones lgicas, compara, infiere, calcula, acopia datos, proyecta, mide, la mayor parte de las veces usando las leyes lgicas, algebraicas, topolgicas y otras que constituyen la base de esta formidable ciencia. La matemtica posee a su vez tal armona, tal proporcin, exactitud y belleza que se identifica con la "msica de las esfe- ras", citando libremente a Pigoras.El libro que est en sus manos en este momento pretende presentarle una introduccin, a nivel elemental y bsico, de una parte de la matemtica suma- mente til y ap li cable a casi todas las ramas del saber: las ecuaciones diferen- ciales.El texto contiene la exposicin y desarrollo de las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, enfatizando las aplicaciones de las primeras. Tambin se estudian ecuaciones de orden superior a dos y se desarrollan los mtodos de series y transformadas de Laplace.El libro contiene problemas resueltos y ejercicios para que el estudiante ponga a prueba su aptitud, y cuando resuelva los de opcin mltiple podr aquilatar laprecisin del resultado evitando caer en errores bastante comunes. Cada captulocontiene un resumen y un examen de auto evaluacin, este ltimo con un nivel deconocimiento medio, suficiente para detectar una clara comprensin del texto.Se ha procurado rodear a cada captulo de un ambiente humans!ico, me- diante biografas, comentarios, curiosidades y pasatiempos.El requisito para leer este libro es conocer el clculo diferencial e integ!:ll. [9] 12. http://carlos2524.jimdo.com/10PRLOGOEste libro naci, creci y sali a la luz gracias a la colaboracin de mismaestros, colegas y alumnos, de mis amigos y de mi familia, cada uno de ellosaport lo que a su rea competa. Especialmente agradezco al Lic. Juan ManuelSilva Ochoa, maestro, colega y amigo, su apoyo en todo momento y al Lic.Christian Garrigoux Michel su participacin en la redaccin de las biografas.Espero del amable lector todas las sugerencias que mejoren esta obra quedeseo disfrute y le sea til en su formacin profesional y en su trabajo. 13. http://carlos2524.jimdo.com/ PRLOGOn de misno de ellosan Manuely al Lic. Estructura lgica de los captulos biografas.obra que jo. 1 Ecuaciones diferenciales en general. .. 23 Ecuaciones diferenciales Aplicaciones de las de primer ordenH ecuaciones diferencialesde primer orden...r 45 Ecuaciones linealesAplicaciones de las de segundo orden ecuaciones diferencialeslineales de segundo orden... r 67 Solucin medianteTransformadasde series de potenciasLaplacer 89 Series de FourierMtodos numricos[11] 14. http://carlos2524.jimdo.com/ 15. http://carlos2524.jimdo.com/Gottfried Wilhelm, Barn von Leibniz (1646-1716)[13] 16. http://carlos2524.jimdo.com/Gottfried-Wilhelm, Barn von Leibniz"Este sabio gemetra empez donde los de-ms haban acabado. Su clculo lo llev apases hasta entonces desconocidos dondehizo descubrimientos que son una sorpresapara los matemticos ms hbiles de Eu-ropa" .G. de LHpitalGottfried-Whilhelm Leibniz naci el 21 de junio de 1646 en Leipzig, en laactual AIemania del Este, donde su padre fue profesor en la universidad. En1663 obtuvo su bachillerato y luego su maestra en filosofa y jurisprudenciaen 1664. A los 20 aos fue doctor en leyes, despus de superar algunas difi-cultades administrativas debidas a su edad.Empez entonces a trabajar como diplomtico, lo que le permiti trabajaren Europa e indirectamente lo llev a la creacin del clculo. En efecto,durante una estancia en Pars conoci al gran cientfico holands Huygensquien lo inici seriamente en el conocimiento de las matemticas .. En 1676, despus de varios aos de e studio autodidctico, invent un nuevomtodo matemtico que public en 1684 bajo el ttulo: Un m todo nuevo paramximos, mnimos y tangentes. Esta publicacin desat la ms famosa contro~versia en cuanto a la prioridad de la Grea-Gin de una obra oientfca, puestoque Newton, si bien no lo haba manifestado pblicamente, era ya poseedor delclculo. Hoy en da, se considera que Newton se adelant a Leibniz, peroque ste ltimo invent independientemente el clculo y us un simbolismoms apropiado, de hecho vigente hasta la fecha.A la clsica comparacin entre ellos, a favor de la mente ms rigurosa yprofunda de Newton, cabe agregar la universalidad del genio de Leibniz quienfue, adems, uno de los mayores filsofos de su siglo, as como un pionero enel estudio sistemtico de las leng>ua~.A pesar de que no logr satisfacer su deseo de crear una lgica simblicase adelant a su poca ms de un siglo y con su muerte, acaecida en 1716,desapareci probablemente el ltimo de los sabios con conocimientos univer-sales.[14] 17. http://carlos2524.jimdo.com/,IndicePginaPrlogo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o9Estructura lgica de los captuloso o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 11oLeibniz o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 13oSimbologao o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 20o Qu son las ecuaciones diferenciales?Cmo resolver una ecuacin diferencial?o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 21Definiciones bsicaso o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 23Clasificacin dp. las ecuaciones diferencialeso o o o o o o o o o o23Solucin de una ecuacin diferencial ... .....o o 25SoluCin general, solucin particular .... . .....o o o o o 25Solucin singular o o o o o o o o o o o ..... .... . .o ... . ... . 29Interpretacin geomtrica . . .. . .. . o o o o o o o o o o o o o o o o 35Campo direccional . . o o o o o o o o o o o 36Isoclinas ."o o o o o o o o o o o o o 37Ortogonalidad .... .o o o o o o o o o o o o 43Trayectorias ortogonales " o o o o o o o o o o o o o o 45Existencia y unicidad de las soluciones o o o o o o o o o o o o o 49Resumen o o o o o o"o o o oo o o o o . o.53Autoevaluacin 1 .. o o o o o o o o o o o o o o o o o 54Riemann 59Comentarios 612 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer ordenVariables separableso o o o o o o o o o o o o o 67Homogneas . . ,o o o o o o o o o o o o o o o 75Exactas .. o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 82Factores integrantes .. o o o o o o o o o o o o o o o 94Linealeso o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 103Resumen o.o o o o o.o o o o o o oo o o o . o " o o o oo oo . o 116Autoevaluacin 2 "o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 118Cauchy .o o.o o . o o.oo oo o o o o o o o o. o o o o .o.o . o o o o"o o o oo o " o o.o 124Comentarios lZ3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenGeometra . .. ...o o o o o o o o o o , 129Ecuacin de Bernoulli o o o o o o o o o o o o o o o o 150[15] 18. http://carlos2524.jimdo.com/16 NDICE PginaEcuacin de Lagrange . . .. . .. .. .. .. .. ........ . . . ......... . . . ... . . . . 152Ecuacin de Clairaut . . . . .. ... . ................. . .. .. ... . ... . . . . . . . 156Qumica ... . .. . ... .. ..... . . ....... . . . ..... . ... . ... . . .. . .. . .... . .... 159Biologa . . . .. . ... . ... . . .. . . . . . ..... . . . . . .... .. ... .. .... .. .. .. .. . ... 166Fsica . . ......... .. ....... . .. . .. . . .. . ... . .. . . .......... . ...... . .... 171Otras aplicaciones . . . .... . .. . . . ....... . . . .. . . ... . . .. . .... . ... . . . . ... 182Familia Bernoulli .. . .. . . . ......... .. .... . ...... . .. . .. ... . . . ..... . . . . 185Comentarios . . ..... . .. . . ... . .. . . . . ... . ........ . ... . . . ...... . .... . .. 1874Ecuaciones diferenciales de orden superiorEcuaciones reducibles a primer orden .. ... . .. . .... . ........... .. ... . 196Ecuaciones lineales .. . ............. .. . ... .. . . . , .... . ... ... ... .. . . .. . 202Principio de superposicin o linealidad . .. , . . . . . .. . . .. ... . ...... . . .. . 205Dependencia e independencia lineal . .... . .. . .. . . .... , . ........ . ... . . 206Wronskiano .. . .............. , .... . ........................... . . . .. . 208Ecuaciones lineales homogneas . ..... ... .. .... , .... ... ... . .. . .. .... . 218 Ecuaciones con coeficientes constantes ... ..... ... ... . . . . . . . . ...... . 219 Ecuacin de Cauchy-Euler . .. ... , ..... . .. . .... . . .. . .. . . .. .. . . . .. . 222 Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes. .. ..... . 234Ecuaciones lineales no homogneas de segundo orden . ..... ..... ..... . 241 Mtodo de coeficientes indeterminados ... ....... ... . . . . . .. . .. . . . . . 242Mtodo de variacin de parmetros ... . .. .. .. .. ... . .. . .. .. .. . . . . . . 255Resumen ... . ... . ... . .. . .. .. . , . . . .. ... . .... . .. , ............ . . . . ... , 267Autoevaluacin 4 ....... .. ..... . .. ... . .. . . .. ... ......... .... ....... . 270Euler277Comentarios2795 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orderGeomtrica:. . . . . . .. . . . .... .. . .. . . . . ..... , . ..... . . .. .. . ...... , .. ... . 283Osciladores .. . ............. . . , . . .......... . .. , .. . ...... . , ... . . . .. . 287Cada libre y leyes del movimiento . .. , .. . ... . .... .. . . . .. .. .. .. . .. . . 293Circuitos elctricos ..... . ...... . : . .. . ........... , . . .... ... . . .. .. .... . 298Flexin de vigas .............. . . . . . .. . .. .... . ....... . ... ... . , ..... . 302Otras aplicaciones , . . . ....... . ...... , .... . . .. . . .. ...... .. .. . ... . . . . .31?Gauss . . . ..... . ...... . ..... .. . ... , ... .. . . . ... . ... . .. . ... . .... . . . . . , 316Comentarios3186Resolucin de ecuaciones diferenciales mediante seriesPruebas de convergencia de series . ... .. . ..... . .... . ... .... . . . . .... . 322Series de potendas ... . .... .. . . . .......... . . . .. , . .. . . ... .. .. . 32b 19. http://carlos2524.jimdo.com/NDICE 17PginaDesarrollo de una funcin en series .. . . . . ................. . ......... 339Funcin analtica en un punto . . ............. . .......... . .. . . . ... . ... 346Operaciones con series de potencias .. . . . .. . ... . . . . . .. . . .. .. ....... .. . 347Puntos notables .. . ....... . ... . ... . .... .. ... . . .... ......... ...... . . .. 352 Punto ordinario ..... ... . .. . . ...... ..... . ............ . . ....... .. . 352 Punto singular ................. . . . .... . ... . .......... . ... . . ... . . 353 Punto singular regular ............ ...... ....... . ....... . ......... 354Solucin de ecuac ion es diferenciales alred edor de puntos ordin arios, me- diante series de potencias . ........ .. . .. . . . ........ ....... ... . . . . .. 3.::;8 Solucin de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares .. . . 372Ecuacin de Bessel .. ........... . .. . ... ....... .... . . .... . ...... . .. . . 401 Ecuaciones reducibles a la ecuacin de Bessel .. . ..... . .... . .. .. .. 401 Funcin Gamma . .. ... .. . . ... . ..... . . .. ........... . .. . ... . .... . . 402Resumen ... ... ... . . ...... .. ..... . . . .. . ..... .. . . ... .. ... . .... . .. .. . 412Autoevaluacin 6 . .. ... . ..... . ........... . ... . . . . .... . ... . .. . . .. . . .. 417Bessel ... ..... .. . .. .. .. . . . . ... ......... . .. .. . ....... . .. . ........... 423Comentarios425 7 Transformadas de LaplaceDefinicin . . . ... .. .... . .... .. . . ............ . . . . . . . . .. .. . . .... . .. . ..430Transformada inversa de Laplace . .. .. .. ... . . .. . ....... . ... . .... .... . 436Traslacin sobre el eje s ... . .. .. .. ... . .. ..... .. . . ..... . .. . . .. ...... . 437Existencia de la transformada . . . .... ..... . ..... .. .. .. . .. . .. . . .. .. ... 442Propiedades de la transformada de Laplace ... .. . .. ... . ... ...... ... .. 451Resolucin de ecuaciones mediante transformadas ...... ... .. . ......... 463 Factores lineales no repetidos ... .. ... . . .. . . .. . . . .. . .. . .. . ....... . 463 Factores con:plejos no repetidos . ...... . ........ . . . ... .. ... . ... .. 467 Factores lineales repetidos .. . ... . .. .. .... . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . ....470 Factores complejos repetidos .. .... . . .... .... ... . . . ..... . .. . .... ..474Derivacin de las transformadas ... . ..... .. . ... . . . .. . . . .. . ...... . .. . .477Integracin de las transformadas .. . .. ... .. . ... .. .... . .... . . ...... ... 479Funcin escaln unitario . .. ... . .. .. . ...... . .. . . . ... . ..... . . . .. . .....491Traslacin sobre el eje t .. . . . .. ... .. ... ... .. ...... . ... ... . . ...... . ..496Funciones peridicas .. . .. ... . .. . ..... . . .. . . . . ......... . . . . .. .... . .. 514Convolucin . ............. . . . .. . .. . . . . .. . . ... . . . ..... .. . ... .. . . .. ..518Aplicaciones de la transformada de Laplace ... . .. . . .... . . .... .. . . .. ..527Resumen . . .. . ...... . . .. ... ... . ..... . ..... . . . .. .. . .. . . .. . . ....... . .531Autoevaluacin 7 ... .. ..... . . . .. . ..... . . . . . . . . . ... . . .. . .. .... . .. . .. . 536Laplace .. . .. ....... . .. . . . ..... . . ..... . .. . . . .............. . . . . . . ...541Comentarios . .. . . .. . . .... ... .. . . ....... ... . .... . . ..... .. . .. .. . . ... ..543 20. http://carlos2524.jimdo.com/18NDICE Pgina8 Series de F ourierSeries trigonomtricas y funciones peridicas ... . .................. . .. 548Frmulas de Euler ...... . ........... . ... .. ... ,... . . . .. . .. . ...... . .. 560Convergencia . .. . .......... . . .. ............. ,.. ..................... 572Funciones pares e impares . . ...... : .............. . ..... . . . .. . . ~ ... " 587Series de Fourier para las funciones pares e impares ..... . ............ 594Funciones de periodo arbitrario ................ . ... . .... . ........... 605Desarrollo de funciones no peridicas en series de Fourier . . .......... 615Resumen . ..... .. ............. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 625Autoevaluacin 8 .. . ...... . ..... . .... . .... . ...... . ......... . ..... . .. 627F ourier .. . .............. .. ..... . .............. . .................... 633Comentarios ........................ . ............ .. ................ 6359 Mtodos numricos para resolver Ecuaciones diferenciales Mtodo de Euler .. .... .. ... . . . ....... . ... .. . ... .. . .. . . . ......... 639 Mtodo de Euler mejorado ................ . . . .. .. ............. .. .642 Mtodo de TayJor .. ..................... .. ... . .. ... ....... . ..... . 643 Mtodo de Runge-Kutta ... . .. . ..... . ..... . ... . . . .............. . . 645Resumen ... .. ........ . . . ..... . . . ....... .. ........... . . .. ....... . . . 650Autoevaluacin 9 .... .. .. . .... .. .... . ... . ......... ... ....... . .. . . . . 651Abel ...... . .................. .. ...... . ........... ~ ........... ..... 653Comentarios .. . .. . ........................... . .................. . ..655Bibliografa ... . .................................................... 659Indice anaIitico ......................................... . ........... 6,61Soluciones de los crucigramas ................ . ................... . ... 663 21. http://carlos2524.jimdo.com/SimbologaRConjunto de nmeros reales.CConjunto de nmeros complejos.EElemento de .(a, b) Intervalo abierto (no contiene a los extremos del mismo).[a, b] Intervalo cerrado.(a, b] Intervalo semiabierto por la izquierda.[a, b) Intervalo semiabierto por la derecha.o"Qued demostrado" . .~Es el smbolo de implicacin usado en el texto, las ms de las veces, como entonces. Doble implicacin, se lee "si y slo si". Equivalencia o idnticamente igual. Semejante o aproximadamente igual. Por lo tanto, en conclusin.fx Significa derivada parcial de la funcin f(x) con respecto a x.[19] 22. http://carlos2524.jimdo.com/ 23. http://carlos2524.jimdo.com/1Qu son las ecuacionesdiferenciales?Lo que precede, en Morse, es la frase que tarde o temprano decimos y la quetodos queremos or. Es un lenguaje.Para representar la realidad en movimiento usamos tambin una clave espe-cial, una simbologa sinttica que nos informa acerca de una velocidad, de undescenso de temperatura, de un aumento de poblacin, de un monto de inte-reses, hasta del menor cambio, en cualquier aspecto, de nuestro planeta. Lasrealidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en comn que son variacionesa travs del tiempo, esa dimensin inmutable (en el sentido de una cuartadimensin) en la cual se mueven la materia y la conciencia.As pues, en matemticas usamos el lenguaje de las ecuaciones diferencialespara los hechos y los datos cambiantes.Cmo resolver una ecuacin diferencial?Hay dos maneras de aprender a patinar sobre ruelo. Primera: En una librerase compra uno los siguientes manuales: Cmo dominar el patinaje en 15 leccio-nes, Patinar y rascar, todo es empezar, Historia del patinaje sobre hielo en el [21 ] 24. http://carlos2524.jimdo.com/22 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?Paleoltico y sus repercusiones en el mundo moderno, Agarre su patn, El patn,su constitucin, ,desarrollo y reforzamiento, con bibliografa e ilustraciones atodo coloT; se va uno a su casa, se instala en su lugar favorito y se sumergeen la lectura, sin olvidar tomar apuntes, hacer anlisis comparativos y aplicar elclculo de probabilidades hasta agotar todos los aspectos del tema. Llegar unmomento en el que ya est uno totalmente capacitado para estrenar los patines- regalo de la abuelita-, momento, repito, en el que quiz ya sufri uno suprimer reuma. Segunda: Se toma el par de patines y amparndose en el instin-to de conservacin se lanza uno a la pista helada con los consiguientes riesgosy posibles huesos ro,l:os.As se aprenden muchas cosas : hacindolas.Para resolver una ecuacin diferencial lo mejor es arriesgarse : intentemosintegrarla, y si eso no resulta un procedimiento inmediato, apliquemos cambiosde variable o transformaciones que lleven a integrales ms o menos familiares.Si tenemosla llamamos ecuacin diferencial de segundo orden. Integrando:dy x! -- = - + Cldx 2Si volvemos a integrar :obtenemos un1 funcin-solucin que podemos comprobar al instante :derivando:derivando de nuevo con respecto a x:el resultado nos convence de la exactitud del mtodo empleado . As, en estecaptulo se exponen las nociones generales acerca de las ecuaciones diferen-ciales y el mtodo geomtrico para obtener soluciones. 25. http://carlos2524.jimdo.com/CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? 23Definiciones bsicasDefinicin 1.1. Una ecuacin ,diferencial es aquella ecuacin que contienederivadas o diferenciales.Definicin 1.2. Orden de una ecuacin diferencial es el de la derivada msalta contenida en ella.Definicin 1.3. Grado de una ecuacin diferencial es la potencia a la queest elevada la derivada ms alta, siempre y cuando la ecuacin diferen-cial est dada en forma polinomial.CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La ecuacin diferencial contiene de- rivadas de una o ms variables depen-Ordinarias dientes con respecto a una sola va- riable independiente. Tipo La ecuacin diferencial contiene de- rivadas parciales de una o ms varia-Parciales bles dependieiites con respecto a dos o ms variables independientes.Primer ordenF(x, y, y) = OSegundo orden F(x, y, y, y") = O OrdenTercer ordenF(x, y, y, y", y") =OOrden n F(x, y, y, ... , yen)) = O a) La variable dependimte y y todas sus derivadas son de 1er. grado. b) Cada coeficiente de y y sus deri-J neales vadas depende solamente de la va- . riable independiente x (puede ser Grado constante) .Las ~ue no cumplen las propiedadesNo lineales { antenores. 26. http://carlos2524.jimdo.com/24QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? CMOREjemplo de ecuacionesdiferenciales:3. x3yy" A. Tipo Orden GradoLineal dy = 2e-xOrdinaria 1 1SB. dx C. oy ox 0Y.,--= --+ kx- --Parcial1 1 SIO. ot ot Os 4.x2y"+ xy + y=O Ordinaria 2 1S A.uv" + ry=xOrdinaria 2 1No (porque el coef. de y" no dependeB. Parcia de x exclusiva- lineal.mente) oy02y C. Ordin-- + --OS2=: C otParcial 2 1S lineal.2dy dyx2 --dr+ x-- + (r-v )y dx 2 =O Ordinaria 2 1S ---Definicino conti04V(02m) 2tuir la-4- = kv -2-Parcial 4 1Noot on identida --(yVl- y"+ y"- y2 = O Ordinaria 5 3No--Definiciy+y= x/y Ordinaria lINoque conintegraesen y +y=OOrdinaria1? No ----DefiniciEjercicios 1.1ein eu---Escoger la opcin que da la clasificacin correcta de las siguientesecuaciones---diferenciales:EJEMP 05X 02yLa fune1. y"+ xyy = sen x 2. e __ + -- 2 = cte.A. Ordinaria, orden 2, grado 1, lineal.ot5orB. Parcial, orden 2, grado 1, lineal. A. Ordinaria,orden 2, grado 2, lineal.C. Ordinaria, orden 2, grado 1, noB. Parcial, orden5, grado 1, lineal. lineal.C. Parcial, orden 2, grado 2, noPorqueD. Ordinaria, orden 3, grado - 1, no lineal. lineal.en otraD. Parcial, orden 2, grado 1, lineal. 27. http://carlos2524.jimdo.com/ NCIALES?CMO RESOLVER UNA ECUACINDIFERENCIAL? 25 3. ryy"_ x2yy" + y =O D. Parcial, orden 3, grado 1, lineal.. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal. A. Ordinaria, orden 2, grado 1, noineallineal.S B. P.arcial, orden 2, grado - 1, nolineal. C. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal. A. Ordinaria, orden 2, grado 2, noS D. Parcial, orden 1, grado 1, lineal.lineal. B. Parcial, orden 1, grado 2, lineal.S 4. y" + 2x3y- (x - 1)y = xy3/2 C. Ordinaria, orden 1, grado 2, lineal. A. Ordinaria,orden2, grado1, no D. Parcial,orden 2, grado 1, noNo lineal.lineal.el coef. 3 B. Parcial, orden2, gradonoo depende 2 exclusiva-lineal.ente) C. Ordinaria,3orden 3, grado -, noS2Respuestas. 1. C; 2. B; 3. C; 4. A; lineal.5. D.SDefinicin 1.4. Solucin de una ecuacin diferencial es una funcin queno contiene derivadas y que satisface a dicha ecuacin; es decir, al susti-tuir la funcin y sus derivadas en la ecuacin diferencial resultaunaNoidentidad. No Definicin 1.5. Solucin general de una ecuacin diferencial es la funcin No que contiene una o ms constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivasintegraciones) .NoDefinicin 1.6. Solucin particular de una ecuacin diferencial es la fun-cin cuyas constantes arbitrarias toman un valor especfico. cuacionesEJEMPLO 1La funcinx + y2 = Ces la solucingeneral de la ecuacindiferencial: dy1 ----o 2, lineal. dx 2y 1, lineal. dyPorque derivndolaimplcitamente tenemos: 1 + 2y --= O, o expresadodo 2, nonxen otra forma: 2yy =-1 1, lineal. 28. http://carlos2524.jimdo.com/26 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Sustituyendo y y y obtenemos una identidad: 2.yc=x(- 1J=-1 :.-1=-1; 2-/c-x} donde y = -vc=x. EJEMPLO 2 La funcin y = e-X + 8 es solucin particular de la ecuacin diferencial y + e-X = O, porque derivando la solucin y sustituyndola en la ecua- cin dada, obtenemos:y = _ e-X_ e- x + e-X = O :. O = O EJEMPLO 3 La funcin y= 3:x! + CX+ C2 es solucin general de la ecuacin diferen- cial y" = 6, porque:y = 6x+ C yy"= 6 :.6 = 6 EJEMPLO 4 La funcin t = 2xy2 + 3:x!y + g(y) + f(x.) es la solucin general de la ecuacin diferencial parcial:(it- -=4y +6xoy ox . Porque: ~ = 2y2 + 6xy + f(x)ox02t y -~-- ay ox = 4y + 6x; sustituyendo:4y + 6x = 4y + 6x. EJEMPLO 5 La funcin y = ce- x + C2eX + C3e-2X + C4e2Xes solucin general de la ecuacin diferencial: y/V _ 5y"+ 4y =O 29. http://carlos2524.jimdo.com/CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL?27 Porque: y = - cle - X + C2eX - 2c3e-2X + 2c4 e 2X y" = + cle - x + C2eX + 4c3e-2X + 4c e2X 4 Sustituyendo:--------------y/v- 5cle-X - 5C2 ex - 20c3e- 2X - 20c4e 2X---- -.............. - 5y"-+-~---- .. 4c le- x + 4c2ex-----~----- + 4y.._-- + 4c3e- 2X + 4c e2 x =4O :. O =OEJEMPLO 6La funcin y = e X cos 2x + sen 2x) es solucin particular de la ecuacin(3diferencial: y" - 2y + 5y = O, porque: y = e X - 6 sen 2x + 2 cas 2x) + e X cas 2x + sen 2x) ((3 y" = e X _ 12 cas 2x - 4 sen 2x) + e:r(_ 6 sen 2x + 2 cas 2x) (+ e X 6 sen 2x(_ +2cos 2x) + e X cas 2x(3 + sen 2x);Sustituyendo:eX _ 12 cas 2x -(4 sen 2x) + 2e X 6 sen 2x + 2 cos 2x) (_+e (3 cas 2x + XX sen 2x) + e (12 sen 2x - 4 cas 2x) +e X 6 oas 2x - 2 sen 2x) (_ + e (15 cas X2x +5 sen 2x) =eX[- 12 cas 2x - 4 sen 2x - 12 sen 2x+ 4 cas 2x + 3 cas 2x + sen 2x + 12 sen 2x - 4 cas 2x - 6 cas 2x_ 2 sen 2x + 5 sen 2x + 15 cos 2x] = eX(O) = O.:.0=0. 30. http://carlos2524.jimdo.com/28 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?Ejercicios 1.2Averiguar si las siguientes funciones son solucin de la correspondiente ecua-cin diferencial. l. Y= Ge Xde y - y=O1 2.Y = 2e - 2x + - eX de y ~- 2y = pX3 3. Y= B In x +Gde y = / 64xV x3 4. y= G,e - x + G2e2Xde y" - y - 2!J =O y = Be + xe + Y =OXX 5. de y" - 2y 6. sen xde xy +y= Gas x Y - -- - 3x1 7. y - - - = O de y - y tan x = O Gas x 3 8. y = - de y = 3y23x +2 9. y= 1 + G .j 1 - X2de (1 - X2)y + xy =x10.y = 2x VT=7 de yy = 4x - RX311. y= e-X Gas -1 x2de 4y" + By + 5y = O 112. y = e-X Gas -X2de y " +y= e-x Gas -1 2x13. x = Gas t} dey yO y =e t + ~=1 - X2x14. y= - - Gas xde xy - y=r tan x seG x15. x=G t } asde yy + 4x = O y=.2 sen t_116. y=e sen2x de xy - y tan in y = O 31. http://carlos2524.jimdo.com/CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL!29Respuestas: S son solucin, excepto las de los ejercicios 6, 8 Y 12.NOTA. Usando este tringulo:~~SiX cos tsen t xy la regla de la cadena, se pueden verificar algunas soluciones anteriores.Definicin 1.7. Solucin singular de una ecuaClOn diferencial es una fun-cin cuya tangente a su grfica en cualquier punto (X, Yo) coincide con latangente de otra solucin, pero ya no coincide con esta ltima tangente enninguna vecindad del punto (xo, Yo), por pequea que sta sea. Estas soluciones no se obtienen a partir de la solucin general. Un mtodopara encontrar dichas soluciones es derivar la ecuacin diferencial dada conrespecto a y, con lo cual formamos un sistema de ecuaciones:F(x, y, y)= oF(x, y, y) - - - - - = 0, oydel cual, eliminando y, se obtienen una o ms soluciones singulares.EJEMPLOHallar las soluciones singulares, si las hay, de la ecuacin diferencial:y2 = 16x2Derivando con respecto a y, tenemos: :?y =De donde y = O; sustituyendo en la ecuacin, obtenemos x = 0, qu e es l asolucin singular.En efecto, las soluciones generales de dicha ecuacin son:y= 2 X2 + c,Y =- 2x2 "+ c,y para el punto (0,0) su grfica es y = 2 X2 32. http://carlos2524.jimdo.com/30QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? y------~E---------- ..... x Figura 1.1 YX= es el punto de contacto con las pendientes de y I = + 2r en el punto (0,0). Definicin 1.8. Problema con valor inicial es la ecuacin diferencial acom- paada de condiciones iniciales. EJEMPLO 1 Resolver la ecuacin diferencial:y -4xy =1 Para la condicin inicial: Y = - cuando x = 0, o bien, brevemente: 5 1 y(O) = - 5 La ecuacin puede escribirse como:dy dy = 4xy dx o-- y = 4x dx, integrando ambos lados de la igualdad, tenemos:-In y= 2X2 +c 2Y = ce2x . 33. http://carlos2524.jimdo.com/C6MO RESOLVER UNA ECUACI6N DIFERENCIAL? 311 1 1 Sustituyendo los valores del punto (O, - ), tenemos que: -5 5 5cel ~ C == -. Entonces la solucin particular es:1 2 y =_ e2X 5EJEMPLO 2 Resolver la siguiente ecuacin diferencial:y" = x,para y(-2) =4y(O)=1Integrando ambos lados de la ecuacin tenemos: ,r y =- + Cl2Volviendo a integrar:3X Y= - + C1X + C2 es solucin general.6Aplicando las condiciones iniciales dadas:para y1 = O+Cl ~ C l = 1para y -8 4 = -- - 2Cl + C2 6 -4 4 = 3 -2(1)+ C222 C2 = - - 3 322. . y = 6 + x + 3 es X solucin particular.Comprobacin : derivando la solucin particular y sustituyndola en laecuacin, debe satisfacerla: y = r +12 y" = x. 34. http://carlos2524.jimdo.com/32QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?OBSERVACIN. Se necesita igual nmero de condiciones iniciales que el delorden de la ecuacin diferencial. EJEMPLO 3 Dada la siguiente funcin: como solucin (la forma de obtenerla se estudiar ms adelante) de la ecuacin diferencial: y" - 4y"+ y -i- 6y = O Encontraremos la solucin particular para las siguientes condiciones ini- ciales: y(O) =4, y(O) = -1 ,y"(O)=O y"(O) = 4c l + C2 + 9C3 .~4c l + C2 + 9C3 = O Resolviendo el sistema de ecuaciones: Cl + C2 + C3 = 4 Obtenemos: Cl = 10/ 3, C2 = 29/ 12, C3 = -7/ 4. y = 10 e 2x + 29 e - x - __- 7 e 3x.,. . .es la soluclOn particular para las condIcIones3124 dadas. 35. http://carlos2524.jimdo.com/FERENCIALES?CMO RESOLVERUNA ECUACIN DIFERENCIAL?33les que e delEjercicios 1.3Dada la ecuacin diferencial, su solucin y las condiciones iniciales, determinarel valor de las constantes arbitrarias. Respuestas: 1. yy+ 6x = Oy(O)=4e= 16 2. y2y - 4x = O 13 y(-) = Oe=--22ante) de la 3. y = 1 + y2 y= tan(x + e)tan x+e 1t y(-)=1e=O1- e tan x4 4. y = 1 _ y2 tanh-ly=x + ey(O)=Oe=Odiciones ini- Donde - 1 O (las soluciones crecen) yen los cuadrantes 2 y 4, y < O (las soluciones decrecen). Ya podemos trazaraproximadamente las curvas solucin: una familia de parbolas. Ejercicio Figura 1.6 Identifica1. Y --2. y = EJEMPLO23. y = Obtener la solucin aproximada de la ecuacin diferencial: y = x, por el4. y = mtodo de las isoclinas5. y =y =ko seax=k 6. y = k =O y =Odonde y >Opara X> O7. y = k =1 y =1 k=-l y=-ly y 0, la sustitucin de x por tx y la de y por ty hace que M y Nsean del mismo grado n. M(tx, ty) = t n M(x, y) N(tx, ty) =t nN(x, y), n r:: RPor ello, este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variablesseparables mediante sustituciones apropiadas. 78. http://carlos2524.jimdo.com/76ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 3 Determinar si la funcin f (x, y) = 2 VxY + x es homognea, si lo es, in- dicar su grado: f(tx, ty) = 2V(tx) (ty) + tx =2tVXij + tx = t[2yxy +x] como f(tx, ty) =t n f(x, y), n E R, -? la funcin es homognea y de grado 1. EJEMPLO 4 Sea la funcin f(x, y) = -vx+1.i; averiguar si es homognea y su grado. f(tx, ty) = tx + ty = yt(x + y) = t 2 -vx+1.i 1 /1 como f(tx, ty) = t 2 f( x, y), la funcin es homognea y de grado - . 1 /2 EJEMPLO 5 Sea la funcin f(x, y )= x + x2y + y; vamos3 a ver si es hom ognea y su grado. f(tx, ty) = (txl + (txY (ty) + ty =t x 3 3+ t 3x2y + ty =F ef(x, y); la funcin no es homognea. EJEMPLO 6X2 + y2 D e terminar el grado de la sigu iente ecuacin: y = ---xy Sean M(x, y) = X2 + y" N(x, y) yxy= entonces M(tx, ty) (L + (tyj2x? = = t 2(X2 + y2) es de 20. grado y N(tx, ty)=(tx) (ty)t = 2 xy es de 20. grado; la ecuacin es homognea de . orden 1. 79. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS 77Definicin 2.4. Las ecuaciones diferenciales homogneas tambin tienen lasiguiente forma: dy -+ g(u) = O dondeu = f(x,y). dx Mtodo de solucin: usando sustituciones algebraicas apropiadas, se con -vierten en ecuaciones de variables separables. Una de las ms comunes es: y - = v ~ y= vx xEJEMPLO 7Resolvemos la ecuacin diferencial (X2+ y2) dx - xy dy =OUsando y = vxy dy = vdx + xdv (X2 + dr)dx = vr(vdx + xdv)Dividiendo entre r(1+ l} ) dx = v(vdx + xdv)Separando variables: (1 + v2 - v 2)dx = v x dvdx - - = vdvxIntegrando: v2 ln !x! = -2 + cy1 y2 Como v = -:r .~ ln !x! = _. - + c2 X2y2 Entonces:ln !x! = -2X2. + c. 80. http://carlos2524.jimdo.com/78ECUACIONES ORDINARIASDE PRIMERORDENECUACI EJEMPLO8 6. (y Resolver (x+ y) dx + (x + y- 4) dy=O paray =O cuandox=- 1 7. x(x Usandov =x +y-+ y =v -xy dy = dv - dx8. xy, vdx+ (v- 4) (dv - dx)=O9. xy, vdx+ (v- 4) dv -(v - 4) dx=O10. (y Separando variables: 11. (7x (v-4)dv=-4dx12. (3y2 Integrando:13. (2xy v2+ (y --2 4v=-4x +e14. (2xy v2 - Bv=- Bx +e +(2Com~: v=x +y.-+(x+ yf - B(x+ y) =- Bx +e15. y=:. (x + yf - By=e Aplicando condicionesiniciales:16.r- (- 1f -O =e-+e =1 .(x + yf - By = 1.17. - dy dxEjercicios 2.218 dy dxHallar la solucingeneralde las siguientes ecuaciones diferenciales: Solucingeneral: 19.(r + 1. x y =y-xy= xln~20.(r + x 2. xy=y +x y = x ln e x Encondadas:3. (x - y)dx + (x- y+ 1) dy =O 2 (x + y) = ln e (2x - 2y + 1)4. y= y2+ry2 _ x2 = ex 21. (3xy22xypara 2 5dyx 22. (3xy2 . d=-+~x y x Y2 x = 2ln Ixl + epara 81. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS79 6. (y+ -Jr + y2) dx =x dyln x= senh _1 !!..- + cx y y7. x (x + y) dy = (r + y2) dx - - = ln c x (J - -y xx 8. xy - y = rex 9. xy = X2 sen x+yy=-x cas x+cx10. (y+ x ) y =x- y11. (7x + 2y)y = -2x -7y y2+7xy +r =c12. (3y2 + r)y + 2xy + 3X2 = O13. (2xy + X2 + 3y2) y- + (y 2 + 2xy + 3x2) = O14. (2xy + 2y2 + X2 + y2) y+ (2x 2 + 2xy + X2 + y2) = O (y + x) (y2 + r) = oC , - 3y - 4x15. y--(y - x) (y - 2x) = c2y - 3x16. r - y2 = xy y17.dy = y - x+ 1(y - xl -12y - 2x= c dxy - x -6dyx+y +218.dxx+y - 4 y= 3 ln I x + y - 1 I + x + c19. (r+ 2xy) y = - 3X2 -y2 - 2xyX3 + x2y+ xy2 =C20. (X2 + 2xy) y =- 2y2 - 3xy x2y2+ X3 y = CEncon trar la solucin particular correspondiente a las condiciones iniciales dadas: Respuestas:21. (3xy2 + x3) y= 3y3 + x2yy = 2xpara y(J) 2 =y3+ x2y = JOx322. (3xy2 - x 3) y =3y3 _ x2ypara y(l) = Oy=O 82. http://carlos2524.jimdo.com/80ECUACIONES ORDINARIASDE PRIMER ORDEN , y-x+8Respuestas:B.23. y =---- y-x-l C.para y(l)= -2 (y - xy - 2 (y - x) = 18x - 3 D. No se y-x-224.y =y- x + 7 32. x esen Y111para y("2) ="2(y - xy+ 14y + 4x =9A.B.25. (y - x)y+y=Opara y(O)=1 y e X/Y =1C.D.26. ry= y2 + xypara y(l)=1 x eX/Y =e33. y=27. (X2 + xy sen ~)y = y2 sen.!!.... xxA. x-ypara y(l)=~ Y =-1t eCOSY/X 22 B. x-y28. {1 - 2 (x+ y)]+x +y +1=O y para y(l)=O C. x-ySugerencia:v =x +yln (x + y) + x - 2y =1D. x-y29 x Gas -y, y = y Gas -Y - x seri -Yx x xxsen~=1para y( 1) = 1t/2xA. xy2+~y230. (xYGas~+ x2sen~)y = y2Gas~ B.-= 2 lnx x xxy2 Y 1tC. -= inpara y(l)=~Y sen-=- 2 x 2x 2D. y2+ xyEscoger la opcin que contienela solucin particularde la ecuacindife-rencial dada:35. (2x +3A. 3y+ 4x31. x (eY/x- 1) y ~ eY/X (y - x)para y(1) =OB. No pueA. Y =e 1J X/+ 1 gnea. 83. http://carlos2524.jimdo.com/ER ORDENECUACIONESDIFERENCIALES HOMOGNEAS 81B. y =xe Yx/ - 1C. No puede usarse cambio de variable. 18x - 3D. No se puede integrar por los mtodos directos.32. xese" y/x GOs!!.... y = r -/- y/x GOs!!...-y ese"para y(l)=Ox xA.x= ese" y/x -/- 1B. x = e,eny/x- 2C. x=ese" y/xD.x =e,eny/x- 133. y = y - 2x -/- 1para y(O)=2Y -2x-JA. x - y - 2In13 - y -/- 2x 1=-2B. x - y-/-2In 1 y - 2x - 1 1 =- 2C. x - y-/-2In 1 3 - y -/- 2x 1 =G=1D. x - y-/-2 In 1 y - 2x - 1 1=G34. (x -/- 2y) y =-y-2xpara y(-2)=2A. xy2 -/- ry -/- x = Gy2 GrB. -=ln x22y -/- Xy2 4rC. -=ln2 x2y -/- xD. y2 -/- xy -/- x2 = 4cuacin die- 35. (2x -/- 3y) y= 2 (x - y) para y(-l) = -/- 1A. 3y2 -/- 4xy - 2X2 -/- 5 =O oB. No puede aplicarsela sustituciny = vx porque la ecuacin no es homo- gnea. 84. http://carlos2524.jimdo.com/82 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDENC. No puede aplicarse la sustitucin x - y =v porque la ecuacin no es ho- mognea.D. 3y2 + 4xu - 2X2 = -3. Respuestas:31. B. La opcin A no consider la constante de integracin. La opcin e niega el hecho de que s puede usarse el cambio de variable y = vx. VLa D opina quee 1 d _v= -dx - d .. d no pue e llltegrarse, Sien o que yav -evxes de variables separables y la integracin es inmediata.32. C . En las opciones A, B y D se aplicaron mal las condiciones iniciales.33. A. La opcin B no tom la integral correspondiente al diferencial de v.En la opcin e no se aplicaron las condiciones iniciales. La opcin Dcontiene los errores de las opciones B y C.34. D. En la opcin A faltan las condiciones iniciales. En las opciones B y ehay error en la integracin de la variable v.35. D. En la opcin A estn mal aplicadas las condiciones iniciales. La op- cin B ignora que la ecuacin s es homognea y permite el uso de y = vx. La opcin e contempla una sustitucin no apropiada.Ecuaciones diferenciales exactas Definicin 2.5. Dada la funcin z = f(x , y), se dice que la expresindz = fx dx + f y dy es su diferencial total. Donde fx y fy son las derivadas parciales de la funcin f (x, y), con respectoa cada una de las dos variables independientes; adems, suponemos que estasderivadas parciales son continuas en una regin R del plano xy. EJEMPLO 1 Sea z = 4ry - 2xy 3 + 3x -+ dz = (8xy - 2y 3 + 3) dx + (4r - 6xy2) dy es el dif.erencial total de la funcin z. 85. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 83EJEMPLO 2Sea z =e X Y/+ xy1X~ dz = (- e xflJ + y) dx - (- eX / Y - x) dyy y2es el diferencial total. Si tomamos el lado derecho de la expresin y lo igualamos a cero, entonces :Definicin 2.6. La igualdad M(x, y) dx + N(x, y) dy = O es una ecuacindiferencial exacta ~ el primer miembro es una diferencial total. Es decir: Si df = fx dx +fy dy ~ f"dx + fydy = O es ecuaClOn diferencialexacta y fr = M (x, y), fy = N (x, y). Encontrar la solucin de una ecuacin dife-rencial exacta es hallar una funcin f (x, y) tal que su diferencial total sea exac-tamente la ecuacin diferencial dada. Usando la notacin de la diferenciacinparcial, tenemos:ofN=~M=--,oxoy , Si volvemos a derivar estas igualdades, pero cada una con respecto a la otravar. able: . ioNox Por el clculo sabemos que si las derivadas parciales son continuas entonces: , Esto significa que:oM oNoy oxPor tanto, si la ecuacin es exacta se cumple esta condicin. Porf so esta- bleceremos el siguiente teorema. 86. http://carlos2524.jimdo.com/84 ECUACIONESORDINARIAS DE PRIMER ORDEN ECUACIONESTeorema 1. La condicin necesaria y suficiente para que la ecuacin dife- As, en estrencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = O sea exacta es que: oMoN el teoremaoy oxLa explicacin anterior demuestra el teorema.Paraver si unaecuacindiferencial es exacta lo aplicamos inmediatamente.Mtodo de s1) Dada la e EJEMPLO3 Sea la ecuacin diferencial:x sen y dx +ycos x dy = O. Es exacta? 2) Aplicamos Sean M = x sen y y N= Y cos x fx = M(x,.~-- oM = x cos y,oN = _ y senx oy ox3) Integramo Como x cos y*- -y sen x, no es exacta.f= fMd4) Al resulta con respec EJEMPLO 4 t, =- of Averiguarsi la ecuacin diferencialoye" dx +x eY dy = O es exacta 5) Igualamos M N6) Integramos oM _- ---- eY ,-- _ e" ,oN oy ox Como My= Nx = e", s es exacta.EJEMPLOResolver la(6xy - 2y2) EJEMPLO51) M= 6xy Dada la eouacin diferencialx dy - y dx = O, aplicar el teorema para pro- bar que no es exacta.M; =6x Mx= 1,Ny = -1,Mx*- NEs exact Si intercambia.nos los diferenciales, las derivadas parciales deben obtenerse2) Existir cin; to con respecto a la variable independiente que no est multiplicandoa la funcin. fx=M( 87. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS85ASI, en este caso M = x, N = -y, en vez d e tomar -oM y - - como In di ca- oyoNox .oMoNel teorema, tomamos - - y - -ooxoyMtodo de solucin1) Dada la ecuacin diferencial vemos si es exacta.2) Aplicamos la definicin : fx = M(x, y) o fy = N(x, y)3) Integramos con respecto a x o con respecto a y f= fMdxo f = f Ndy4) Al resultado lo derivamos con respecto a y o con respecto a xo o fy = oy f M dx fx=- f N dy ox5) Igualamos el nuevo resultado a N o a M.6) Integramos por ltima vez la ecuacin .EJEMPLO 6Resolver la siguiente ecuacin diferencial(6xy - 2y2) dx+ (3X2 - 4xy) dy = 0, si es exacta.1) M = 6xy - 2y2, N = 3X2 - 4xy,M y =6x-4y, N x =6x - 4y .Es exacta porque M y= N:r2) Existir una funcin f tal qu e fx ~ M(x, y) y fy = N(x, y), por defini- cin; tomamos cualquiera de las dos igualdades, por e je mplo :fx=M(x,y) ~ fx=6xy-2y 2 88. http://carlos2524.jimdo.com/86ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 3) Integrando con respecto a xJ f x = J (6xy - 2y2) dx f = 3ry - 2Xy2 + f(y)La constante arbitraria de integracin ser una funcin de y, puestoque y funge como constante en esta integral. 4) Derivando con respecto a y:fy = 3r - 4xy+ rey) 5) Sabemos que fy = N(x, y) por definicin, entonces:fy = 3r -4xyComo dos cosas iguales a una tercera son iguales entre s :3X2 - 4xy + rey) = 3;(1 - 4xy ~rey) = O 6) Integrando: f(y) =c . . :. La solucin es: f(x, y) = 3ry - 2xy2 +co 3ry - 2xy2 + c =O o bien 3x2y - 2xy2= c.La comprobacin se reduce a encontrar el diferencial total de la fun-cin solucin.Obtenemos el mismo resultado, si en vez de tomar la ecuacinfa: = M(x, y), tomamos fy = N(x, y). EJEMPLO 7 Verificar la solucin del problema del ejemplo 6, tomando fy = N(x, y): 1) Vimos que M y = N x 3) Integrando con respecto a y: Jfy= J(3X2-4xy)dy t = 3x2y -2xy2 + f(x) 89. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS874) Derivando con respecto a x:fx = 6xy - 2y2 + f(X)5) fx = 6xy - 2y2 + f(x) = 6xy - 2y2 ,~f(x)=O6) Integrando: f(x) = e ... 3~y - 2xy2 = e es la misma solucin obtenida anteriormente.EJEMPLO 8Resolver la siguiente ecuacin diferencial, si es exacta:(2y - 2xy3 + 4x+ 6) dx + (2x - 3~y2- 1) dy =O para y( - 1) =O1) M y =2-6xy2=N x, s es exacta2) fx = M(x, y) por definicin, entonces:fx = 2y - 2xy3 + 4x+63) Integrando con respecto a x:f= 2xy - ~y3+ 2~ + 6x + f( y)4) Derivando con respecto a y:fy = 2x -3xV + f(y)5) fy = N(x,y) 2x-3xV+f(y)=2x-3xV-l ~f(y)=-l6) Integrando: f(y) =-y +e... la solucin es: 90. http://carlos2524.jimdo.com/88ECUACIONESORDINARIASDE PRIMER ORDENECUAC2xy - ry3 + 2X2 + 6x - y= e; para y( -1) = O Ejerci2(-q + 6(-1) =cDeter resolvec=-41.2xy - ry3 +2X2 + 6x - y + 4= O, es la solucin particular.2. EJEMPLO 9 Resolver (2x + 6ry)dx + (3x3- 2xy) dy =O 1) M = 2x + 6ry N = 3x3 -2xy ReM= 6x2Nx= 9r-2y4. (-My*Nx.. No es exactaReObservandola ecuacin,vemos que puededividirseentre x *O Y5. (eXqueda: Re(2 + 6xy) dx + (3r - 2y) dy = O~ My = 6x = N ya es exacta6. (y 2) i; = M(x, y) Refx = 2 + 6xy7. (1 3) Integrandocon respecto a x: f = 2x + 3ry+ f(y) Re 4) Derivandocon respecto a y: i, = 3r + rey)8. (1 5) fy- N(x, y) Res,3x2 + f(y) = 3r - 2y ~ f(y)= - 2y9. y(l 6) Integrando: f(y)=- y2+cRe.". 2x + 3x2y_ y2= c. 10.Solucin que satisfacea las dos ecuacionesdiferenciales. Re 91. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 89Ejercicios 2.3Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas; si lo son,resolverlas. 1. (2x - 5y + 2) dx + (1 - 6y - 5x) dy =ORespuesta: x: + 2x - 3y2 + Y - 5xy = G2. (2xy 3- 4y + 4x -3) dx + (3xV - 4x) dy = ORespuesta: X2y 3 - 4xy + 2x: - 3x = G 3. (16xy - 3x2) dx + (BX2 + 2y) dy = ORespuesta: Bx:y - x 3+ y2 = G 4. (- 20xy2 + 6x) dx + (3y2 - 20X:y) dy = O 5. (eX+ y) dx + (e Y + x) dy = ORespuesta: eX + xy + eY = G y16. (y - -eIlIX)dx+ (x + -eIlIX)dy =0 X2 xRespuesta: xy + eYIX = G y1 7. (1 - -; e YIX ) dx + (1 + _ . el/IX) dy = O X xRespuesta: el/Ix +y +x= G 8. (1 - -~ el/IX) dx+ el/Ix dy = O xRespuesta: xe"" = e ecuacin diferencial no exacta. 9. y(l+ GOS xy) dx + x(l + GOS xy) dy = ORespuesta: xy + sen xy = G10. (6xy 3+ y sen xy + 1) dx + (9xV + xsenxy) dy =O Respuesta: 3X2yGOS xy + X = e 3 - 92. http://carlos2524.jimdo.com/90 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN11. (3x!+ Y Gas xy) dx + (3y2 + X Gas xy) dy = ORespuesta: x + sen xy + y3 = e312. (4x 3 - 4xy2 + y) dx+ (4y3 - 4x2y + x) dy =ORespuesta: (X2 - y2 Y+ xy = Gyy1Y13. (sen y+-x! sen -) dx x+ (x Gas y - - sen -) dyxx=OyRespuesta: x sen y+ Gas - =GX14. (y Gosh xy+ 2x) dx+(x Gosh xy - 2y) dy =ORespuesta: senh xy + X2 - y2 = G15. eX cos y dx - x eX sen y dy =O para y(O) = 1tRespuesta: No es exacta16. eiX Gas y dx - eX sen y dy =Opara y(O) = 1tRespuesta:eX Gas y = - 117. [Gas (x + y) - l} dx+ Gas (x + y) dy = O para y(O) =-1t2Respuesta: sen (x + y) = 1 + x18. eX sen y dx + (eX Gas y + eY) dy = O para y(O) = ORespuesta: eX sen y + eY = 119. (2x sen y + y e XY ) dx + (x Gas y + e XY) dy =Opara y(J) =1Respuesta: N o es exacta20. (2x sen y+ y e dx + (x" Gas y + x eXY ) dy =XY )Opara y(1t) = ORespuesta: r sen y + e:ry = 1xpara y(1) = 421. (-..JY+ 1) dx + ( - - + 1) dy =O2yyRespuesta:x vy + x + y = 7 93. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS9122. (4 + 5y) dx + (1 + 5x) dy = O para y( - 1) =- 1 Respuesta: 4x + 5xy + y = O23. (1 - (X2x + y~y/ 2 ) dx + (1 - (r Y + yzy/2 ) dy=O para YrO) =- 213 Respuesta: x+ ,fx2+ y2 + y + -2 = O 1 124. ( -2VX+ y) dx + (x - - 2 y 3/2 ) dy=O para y(9) =1 Respuesta: vx+ xy + -1- = 13 .,y -1 - y22ypara y(l) = 225. ( . r - 1) dx + -x- dy = O Respuesta: 1+ y2 - r = 4x26. Y Gas xy dx +(x Gas xy +sen y) dy=O para y(3) = O Respuesta: sen xy - GOS y +1= O1 1 para y(1) = 127. (-+ 2x) dx + (- -1) dy=O xy Respuesta: ln I xy I + X2 -y=O 11 128. (-+yeXY) dx + (- + x eX!J) dy = Opara y(-)=2 xy2 Respuesta: ln I xy I+ e XY=e yy1 Ypara y(1) =O29. (2x- 2Gos-)dx+ (2Y+-Gos-)dy=O x x x x Respuesta: y2 + sen!!.- + X2 =1 x30 ( xy + 2x)dx + -Jl+? dy = Opara y(O) = 6 . ,fl +x2 Respuesta: y -J 1 + r + X2 = 6 94. http://carlos2524.jimdo.com/92ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDENEscoger la opcin que contiene la solucin de la ecuacin diferencial dada: 1x31. (y - -) dx Y+ (x + -) dy = y2O 1A. 1+- y2 yB. xy- -= e x xc.xy - - = e yX2 -x;2D. 1 - ln y + -2 + -2y2 = e 5para y(1) = 532. (2x - 4y)dx+(- --4x)dy=O y2 5A.X2 - 4xy+-y =e5B. - - 4xy = O YC.f:x:=-45D. X2 -4xy+ - + 18 =O Y33.(eYX_~eY/x -1)dx+ (e Y/ x + 2y)dy =0x A. xeYX+ y2 -X = O 1 D. __ eYX- Y _ eY X + 2x = eX2 r 95. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS93A. Y sen _1 x +~= exB.c. y sen- 1 x + !!.... = 1xD. N o es diferencial exactay-x135. (cos- 1 y - - eY!X) dx X2+( ~ 1_ y2 + -XeY!X) dy = OA. No es ecuacin exactaB.c. X cos- 1 y + eY!X =eRespuestas:31. C. La opcin A no es la solucin sino la parcial de M con respecto a y o la plrcial de N con respecto a x. La opcin B tiene un error de inte-gracin. La opcin D tom fy = y _!....., en vez de f", = y- ~. y y32. D. La opcin A no tom en cuenta las condiciones iniciales. En la opcin B no se termin el proceso para encontrar fy. La opcin C da el teo- rema M y = N", = - 4 pero no es la solucin.33. C. La opcin A supone unas condiciones iniciales que no fueron dadas. La opcin B representa M y = N", pero no es la solucin. En la opcinD se tom mal fx que debe ser eY!x -!!..- eY!X - 1. x34. A. La opcin B contiene M y = NJ: pero no es la solucin. La opClOn C satisface a la ecuacin diferencial pero no nos dieron condiciones ini- ciales, as que no es la opcin correcta. La opcin D est incorrecta porque s es exacta. 96. http://carlos2524.jimdo.com/94ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN35. C. La opcin A es falsa, s es exacta. La opcin B representa M y= N:x; ,, f pero no es 1a so1ucion. La opcion D tomo x = x+ -1Y/x por e .JI-y2x error.Ecuaciones diferenciales con factores integrantesComo se vio en el ejemplo 9 de la seccin anterior, una ecuacin diferencialque no es exacta puede convertirse en exacta mediante un factor apropiado. Def~nicin 2.7 Si existe una funcin F (x, y) tal que F (x, y) M dx + F (x, y) N dy = O es exacta, entonces F (x, y) se llama fac- tor de integracin de la ecuacin diferencial Mdx + Ndy = o.Conviene notar que una ecuacin diferencial no exacta puede tener variosfactores integrantes; es decir, puede convertirse en exacta multiplicndola por 2Y x 2x,. xy, - , - , x y, etc. x yMtodos para encontrar el factor integrante F (x, y):1) Por inspeccin de la ecuacin diferencial suponemos una funcin que luego se prueba por el teorema 1 de la pgina 84.2) Si el factor es slo funcin de x~ F(x) =e SP ( X) d.:rMy- Nxdonde p(x) =N3) Si el factor es slo funcin de y~ F(y) = efp (Y ) dy N:x; -Mydonde p(y) = --M-- EJEMPLO 1 Hall ar el factor de integracin de la ecuacin: 3y dx+ 4x dy = O 97. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTORES INTEGRANTES 95M=3y N =4xMy=3 N~ =4Como M y =1= N x, no es exacta.Observamos que es de variables separables y su solucin es X3 y 4 = e, perodebemos encontrar su f.actor integrante.Sea F(x, y) = X2 y 3 sugerido por la forma de la solucin.~3ry4 dx+ 4X3y3 dy =O ----- -----MN My= 12x l = N2x,ya es exacta,fx = 3ry4 If = xV + f(y),fy = 4x y3 3 +f (y) = 4X y33 rey) = Of(y) = eEs la solucin que ya se haba obtenido por el mtodo de variables se-parables. Por tanto, podemos usar la siguiente regla: Si la ecuacin diferencial .esde la forma p y dx + q x dy = O, donde p, q E R ~ F(x, y)xP- 1 yq-l=Si la ecuacin diferencial es de la forma y dx - x dy = O111~ -- - - son posibles factores integrantes.y2 X2 xyEJEMPLO 2Hallar el factor de integracin de: 4y dx - x dy = o.My =4 N_= - 1, no exacta. 98. http://carlos2524.jimdo.com/96ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN1 Sea F(x, y) =-xy41 ~ -dx- -dy =0xy -..- -.- MN M y = 0= Nx , ya es exacta.4fx=- x f= 4ln x -1- f(y),I 1fy = f (y) = - - yf(y)= -lny + lnc4 In x - ln y = ln e que es el mismo resultado que obtenemos usando separacin de variables. EJEMPLO 3 Encontrar el factor de integracin de: 3x2y dx + y dy = O. My=3r, N",=O, probamos si F(x) = e Jp(y)dY es fac tor de integracin. p(x) = My N N = -- no es - 3ryrfuncin de x, entonces buscamos:N",-M 1 F(y) = e1p (y)dycon: p(y) = --M-::- y= - -, s lo es,y ~ F(y) = ef -dY Y/= e- =.!.-tnyYy*O 99. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTORES INTEGRANTES 97Multiplicando la ecuacin diferencial por este factor tenemos:3r dx + dy =ON=IN y = O ya es exacta ,fx = 3r, f = x J + f (y), fy = l (y) = 1, f(y) =Y + cEJEMPLO 4. Resolver mediante un factor integrante:x tan x dx - y cos x dy = O para y(O) = 2M = x tan x N = - y cos xExistir una F(x) o una F(y) que convierta en exacta esia ecuacindiferencial? :p(x) = 0- cos x x = tanx -yy sen .~ F(x)= e Stanxdx = e-!nlcosxl = _1- = sec x cos xx sec x tan x dx - y dy= O, ya es exacta.fx = x sec x tan x dx f = x sec x -In Isec x + tan xl + f(y)fy=f(y) = - y y2 j(y) = - - +c 2y2:. xsecx -In Isecx+ tan xl--2= c. 100. http://carlos2524.jimdo.com/98 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Sustituyendo las condiciones iniciales y(O) =24 0(1) - In 1 1 + 01 - 2" =.G de donde G = -2. :. 2x seG x - 21n IseG x+ tan xl - y2= - 4.Ejercicios 2.4Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando un factor de integracinapropiado: 1. x_Zy-S ,d x+ x _ 3y_4 .dy =ORespuesta: factor X3yS. Solucin: X2+ y2 = G 2. X- sen x dx+ xy dy = O1Respuesta: factor -. Solucin : 2 sen x - 2x GOS X + yZ . GX 3. (y + x + 2) dx + dy =ORespuesta: factor eX. Solucin: eX(y+ x + 1) = G1Respuesta: - . Solucin: eX+ xy2_ y3 = GyY 5. (xy+ y + y2).dx + (x + 2y)dy = ORespuesta: factor eX. Solucin: xye X + y2 eX = e 1 1 x 6. (2 sen y - sen x +- x Gas x) dx+ (- Gas x + x Gas y + - y y sen y) dy =ORespuesta: factor xy. Solucin : xy Gas x+ x2y sen y =G 7. (2xy+ y4) dx + (3X2 + 6 xy3) dy = ORespuesta: factor l. Solucin: X2y3 + xy6 = GRespuesta: factor x3 Solucin:X4 y 2(X2 _ y2) =e 101. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTORES INTEGRANTES 99y19. (- X2 + 2) dx + -X (1 + ln xy) dy = ORespuesta: factor x. Solucin: y ln xy +r =G 1x10. - (1y2 + In xy) dx + (- -y3 3) dy = O, Respuesta: factor y2. Solucin: x ln xy _ y3 = G11. Y (1 + ln xy + 2x) dx + (x_2yZ) dy= ORespuesta: factor~.Solucin: x ln xy - y2 + X2 =GYEncontrar la solucin particular:2x12. (xy+ 1 + -XY dx + X2 dy = )Opara y(-3)= O eRespuesta: factor eXY. Solucin: x e XY + X2 = 613. (4y2 - 5xy) dx + (6xy - 5r) dy= Opara y(1) = 2Respuesta: factor X3y. Solucin : Xy6 - XSys= 3214. (ye ZY + x + 1) dx + (ye 2Y + e2y - x) dy = O para y (1)= ORespuesta: factor eX - Y. Solucin: yex+Y + x e X- Y = e15. [- y - Gat (x+ y)] dx -y dy =O para y(1t) = 1tRespuesta: factor sen (x + y).Solucin: y Gas (x + y) - sen (x + y) =1tEn los siguientes ejercicios probar, mediante el teorema 1, si la funcinF (x, y) es factor integrante de la ecuacin dada:1 116. F (x, y)= xy de (ye XY + -) dx + (x e XY + -) dyx y =O Respuesta: S, pero no lo necesita porque ya es exacta. 11 17. F (x, y) = xy de - - dx - - dy x y=O Respuesta: S, pero no lo necesita, se integra directamente. 102. http://carlos2524.jimdo.com/100ECUACIONES ORDINARIASDE PRIMER ORDEN ECU x25.18. F (y) =yde (- sen x+ y) dx+ (-- GOSy+ 2x) dy =OA. yRespuesta: S.B. x Ic. .y19. F (x) = x de (y cosh. x+-xsenli x) dx+ senh. x dy=O D.Respuesta: S.26.20. F (x) = e" de (e" sen y+ 2xy) dx + (eX cos u + r) dy =O A. 1Respuesta: No. La ecuacines exacta.B. x21. F (x, y)= xy2de (6y - 24xy5) dx+ (9x- 56xV)dy=O C.Respuesta: S.D.E,xY22.F(x,y)=.JX2+y2de (Ir2+y)dx+(.J2? +x)dy=O Y la +yx +y Respuesta: No. La ecuacin es exacta.27.En los siguientes ejercicios escoger la opcin que contieneun factor de in- A.tegracin de la ecuacin diferencial dada:B. 3c.23. (y - xV) dx + (-;::- -x :JxV)dy=OD.A. ry4B. yX4 2c.xy2 28.D. x2yA.24. dx + (x - y + 6)dy =O B.A. eXb. eY/xc.c.eX/YD.D. e" 103. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTORES INTEGRANTES10125. (xy2 senh xy + y cosh xy) dx + (x 2y senh xy + 2x cosh xy) dy =OA. YB. xc. y/xD . x/y x26. (1 + xy) dx + (- + X2) dy =OYA. l/yB. xc. YD. l/x En los ejercicios siguientes, e1egir la opcin que contiene el factor integrantey la solucin de la ecuacin diferencial dada:27. (2 + !!..-) dx + (~ + 2) dy =O xYA. Factor: ry2. Solucin: x2y+ xy2 = eB. Factor: xy. Solucin: 2x+ 2y = eC. Factor : xy. Solucin: x2y + xy2 = eD. Factor: x2y2. Solucin:~ X3 y 2 + .!... X2y 3 = e3 2 1 128. (y + - ) dx + (x + -XY dy = eXY e )OA. Factor : eX. Solucin: ~ e XY - i. e XY = eyX2B. Factor: eXY . Solucin: eXY +x+y= e 2C. Factor: e Y Solucin: e XY + !!..- = e 2 y2D. Factor: eXY . Solucin: eXY +- 2=e 104. http://carlos2524.jimdo.com/102ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN y129. (- GOS xyX + - sen xy + 3y3) dx + (GOS xy + 3xy2) dy = X2 OA. Factor: x. Solucin: x sen xy+ X3y = G3B.Factor: X2. Solucin: - x"y sen xy + 2x GOS xy + 9x2y2 = GC.Factor: x. Solucin: - x2y sen xy + 2x GOS xy + 9x2y2 = GD.Factor: r. Solucin: x sen xy + X3y3 = GA. Factor: .,xy: Solucin: -x3H- Y+- x 6 6 = GB. Factor: xy. Solucin: xy + ~ X6y2 yxy + lO x5 y .,xy = G 2C. Factor: _1_ . Solucin :...xy -1- X5 y = G 2Vxff xy1D. Factor: .,xy: Solucin: -+ - - + 5x =4 G 4 (xyy/22yxyRespuestas:23. B. El resto de las opciones no satisface el teorema de exactas.24.D. 25. A.26. C. y D.27. C. La opcin A muestra la solucin correcta, de hecho, derivando y sus-tituyndola en la ecuacin, la satisface; sin embargo, el factor no escorrecto; no cumple con el teorema de exactas. La opcin B tiene elfactor correcto, pero la expresin dada como solucin es, en realidadMy =2x + 2y= N x lo que demuestra que, con el factor integrante,la ecuacin diferencial dada se convierte en exacta pero no es la solu-cin. La oJ3cin D presenta una solucin dependiendo de que estuvieracorrecto el factor de integracin que propone.28. B. La opcin A presenta una exponencial que no es factor de integracin y una solucin equivocada, pues se tom fxN suponiendo el factor=correcto. La opcine, adems de no tener un factor correcto, tiene en 105. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES103 la solucin el resultado de igualar fy = M suponiendo el factorco- rrecto. La opcin D tiene el factor adecuado, pero el error de la solu- cin de la opcin C.29. D. La opcin A tiene mal el factor de integracin. La B tiene un correcto factor integrante, pero la expresin que funge como solucin esM y = N x y no la solucin. La e tiene los errores de A y B.30. C. La opcin A tiene un factor correcto, pero la solucin errnea proviene de haber igualado fx a N. La opcin B supone correcto el factor que propone y toma Mx como la solucin. La opcin D tiene el factor co- rrecto, pero toma como solucin M y = N x Ecuaciones diferenciales linealesVimos en el captulo 1 que las condiciones para que una ecuaClOn diferencialfuese lineal son : a) la variable dependiente y y todas sus derivadas son deprimer grado, y b) cada coeficiente depende solamente de la variable inde-pendiente x (o constante).Definicin 2.8. La forma general de una ecuacin lineal de 1er orden es:y + f(x)y = r(x). Si l(x) es idnticamente iguara cero, entonces la ecuacinse llama lineal homognea (no en el sentido de polinomio homogneo, sinocomo el nombre que da el lgebra lineal a las ecuaciones igualadas acero);si r(x) =1=- O entonces es lineal no homognea.,Mtodos de solucin:Si l(x) = O ~Es de variables separables.Si r(x) =1=- O ~a) Mtodo del factor integrante.b) Mtodo de variacin de parmetros.y la forma de la solucin es:para r(x) =O~ Y = e e-ff(x)dXpara r(x) =1=- O ~y = e- ff(x)dx [f e ff(X)dxr(x)dx + e] Vamos a obtener la solucin para r(x) =1=- O, usando el mtodo del factor in_tegrante y el de variacin de parmetros. a) Mtodo del factor integrante. Buscaremos un factor que nos convierta laecuacin diferencial y + f(x)y = r(x) en exacta y la resolveremos por el m to-do de las exactas. 106. http://carlos2524.jimdo.com/104 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDENEl hecho de que la solucin general de la ecuacin diferencial homogneacorrespondiente es y = e - f f(X)dX, sugiere la posibilidad de que un factor parala no homognea sea de la forma e Sf(X)dX.Vamos a probarlo. Multiplicando la ecuacin por este factor, tenemos:eSf(X)dX y + f(x) y eff(x)dX = r(x) eSf(X) dX Observando el primer miembro de la ecuacin, vemos que est y en un tr-mino, su derivada y en otro y la exponencial que acompaa a la y es la deri-vada de la exponencial que acompaa a y, realmente Se puede expresar cOlmola derivada de un producto de funciones:Entonces: ~ (eSf(X) dX y ) =r(x) eSf(X)dX dxIntegrando con respecto a x: eSf(X)dX y = f r(x) eSf(X)dX + eDespejando y: y = e-Sf(X)dX [f eff(x)dXr(x) + eJ, que es la solucin general yaindicada y satisface a la ecuacin lineal.Como eSf(X)dX nos llev a la solucin propuesta, es el factor de integracinque convierte en exacta a la ecuacin diferencial lineal no homognea ~ Porello, no es necesario memorizar la frmula de la solucin, basta buscar el factor,multiplicar la ecuacin por l y resolver por exactas.EJEMPLO 1Dada la ecuacin diferencial: dy + (3x!y - X2) dx = O, ver si es lineal yresolverla por medio del factor integrante.Se acomoda segn la forma indicada: y+ f(x) y = r(x), quedando:dy.__ + 3x2y = X2dxS es lineal, con f(x)= 3X2 y r(x) = X2Su factor integrante tiene la forma:F(x) = eSf(X)dX = eS3x2dX = ex3 107. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 105Multiplicando la ecuacin, tenemos: NX = 3X2 3eX , ya es exacta,Entonces:1 3ye X - - eX3f = + f(y)3fY = eX + 3, f (y) = eX3rey) =y f(y) = c 1 3Y= - + c e-x. 3Aplicando directamente la frmula obtenida mediante el factor de inte-gracin, llegamos a la misma solucin:y = e _xl [J e x3 X2 dx + cJY = e-x3[_ex3+ c] 1 31Y =-3 + ce-x . 3 b) Mtodo de variacin de parmetros. Es un procedimiento bastante usualen matemticas introducir cambios de variables, hacer sustituciones o reem-plazar funciones por otras ms sencillas que faciliten el proceso operativo.Sabemos que la solucin general de la ecuacin diferencial lineal homogneade 1er orden: y +f(x)y=O, es: y =ce-Sf(X)dX 108. http://carlos2524.jimdo.com/106ECUACIO NES ORDINARIAS DE PRIMER ORDENComo nos interesa una solucin general para la ecuacin diferencial lineal nohomognea: y + f(x) yr(x), =vamos a realizar la siguiente variacin de pmmetros en la solucin generalde la homognea:Sea eu(x) y v =e - ff (X ) dx ,=entonces y(x)= u(x)v(x) ser una solucin de la no h omognea, siempre ycuando podamos encontrar una funcin u (x) tal qu e dicha solucin sa tisfagaa la ecuacin, Si es solucin, lo cual vamos a suponer de momento, entoncesderivndola y sustituyndola en la ecuacin homognea, tenemos:y = uv+ uv-+ uv + u v + f uv =r uv+ (v + fv) u = r Como v es solucin de la homognea, el parntesis se hace idn ticamen tecero, ya que siempre que sustituimos la raz o solu cin en una ecuacin, sta rse hace cero. Obtenemos entonces: uv = r d e donde u = -, vIntegrndola, u-1: dx + e. La funcin u existe porque v =F O es so lu cin, entonces y= uves solucinde la lineal no homognea y toma es te aspecto: y =e - ff (x) dX [fr(x)e - f f( X)dXdx +elO sea y= e-f(X)dX [J eff(X) dX T(X) dx + e],que es a dond e queramos llegar.EJEMPLO 2 Resolver por variacin de parmetros: y = 2y + x .Vemos que y - 2y= x es lineal, dond e f(x) = - 2, T(X) = x.La ecuacin diferencial homogn ea correspondiente es y - 2y = O queti ene como solucin: y= ee 2x .Tomando e = u(x),v(x) = e 2X y sabiendo que la funcin tI est dada por 109. http://carlos2524.jimdo.com/ 107ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESr(x)u==/- - dx+cv(x)~ u=Je + e = - ~e -2X - (...!;-dxb 2~e-2X + e 4Como la solucin de la homognea es y = UV,entonces: x1 x1Y = (- 2 e _ 2x - 4" e _ 2x +e) e 2X , y y =- 2 -4" +2e e x.Aplicando directamente la frmula obtenida mediante el factor de integra-cin, llegamos a la misma solucin.y = eS 2dx [J e J _2dx X dx+ e]y = e 2x [J e - 2X x dx + e]y = e 2x [_ ~e-2X _~e-2X + e]2 4x 1- - - - + e e x.2Y=2 4EJEMPLO 3Resolver por variacin de parmetros: (X2 + 16) y- xy=x ,xxy - X2 + 16 Y=X2 + 16La ecuacin homognea correspondiente es:, x -o y -X2 + 16 y- Con solucin: y= e .JX2 + 16. + 16)Sea v(x) = .J~ + 16Y e= u(x) = f .J x j (X2 x 2 + 16 dx + e 110. http://carlos2524.jimdo.com/108 ECUACIONESORDINARIAS DE PRIMER ORDEN ECUACIOx ~U =f(X2+116yP dx +eu= - -jx2 + 16 +e1~Y = UD = (-Jx2+ 16 + e) .J x2 + 16y=c-jx2+16-1,que es la solucingeneral de la ecuacin dada.CompfEJEMPLO 4Resolver por cualquiera de los dos mtodos: factor integranteo variacinde parmetros; o bien aplicando la frmula general:1y= x + y3 Vemos que no es lineal, pero tampoco se puede resolver por variables se- parables, no es ni exacta ni homognea. Qu podemos hacer? Ejercicio: Tomando la funcin recproca: Resolverdxdy= x + v y 1. (3~dxxdy - x= y3, Resp ya es una ecuacin diferencial lineal en x.I Usando el factor integrante F = eS g(Y)dy= e- Sdy= e-Y y multiplicandola ecuacin: 2. (x+ e-Y dx -e-Y (x + y3) dy =OResp M = e-YN =- e-Y (x+ l) M = - e-Y yNx=- e-Y, ya es exacta. 3. (5yi, = e-Y x f = xe- Y + f(y)Resp 111. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 109f (y) = - y3e - Yf(y) = y3e -Y+ 3y 2e- Y + 6y e-Y + 6e- Y + e :. x e - Y + e - Y (y3 + 3y2 + 6y + 6) = e e -Y (x + y3 + 3y2 + 6y + 6) =e. o bien: (x + y3 + 3y2 + 6y + 6) = eeYComprobacin: derivando la variable x con respecto a y:dx -- + 3y2 + 6y + 6 = e eY dy dxx + y3 + 3y2 + 6y + 6 - + 3y2 + 6y + 6 = e Y( ) dy eY dx__ =X+y3O dyEjercicios 2.5Resolver por el mtodo de factor integrante o por la frmula general.1. (3 ~ - 8) dx+ 3 dy =OxRespuesta: factor x. Solucin: 3xy - 4X2 = e 2. (x + ~) dx - dy=O x1Respuesta: factorxSolucin: y = X2 + ex 5y 3. ( - - 24x 2) dx+ 5 dy =OxRespuesta: factor x. Solucin: 5xy - 6x4 = e 112. http://carlos2524.jimdo.com/110ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDENdy 4. ___ y = e 2x dxRespuesta: factor e - X. Solucin: y =e2x+ e eX 5. dy+Y= e2:.:: dx1Respuesta: factor eX. Solucin: y = - e2x + e e-X3 6. y + 3~y =X2 1Respuesta: factor Solucin: y = -3+ e e-X 3 7. y + (e os x) y= cosxRespuesta: factor e sen X. Solucin: y= 1 + e e - sen X 8. y_!!-. = ;>;.4 X 1x5Respuesta: factor -. Solucin: y= - +exx 4 9. xy- 2y = 3~ + 2x1Respuesta: fac tor -X2Solucin: y = 3~In x - 2x+e X210. xy+ 4y = 9x 5 + 2X 32Respuesta: factor x4 Solucin: y= x 5 + - x3 + e x -4711. xy - 3y= 5x 5 +~Respuesta: factor i.. Solucin: y = ~ x5 -X2 + e x3r 212. xy+ 4y =x-3 eXRespuesta: factor x 3 Solucin: x4 y= eX+e 113. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 11113. xy - 3y= x4 sen x1Respuesta: factor 3 Solucin: y= x 3 (- eos x + e)x14. xy - 5y= :x! see2 x 1Respuesta: factor - 5 . Solucin: yx=x 5 tan x +ex 515. ry+ 2xy = e 3x Respuesta: factor X2. Solucin: 3x2y = e 3x + e Resolver por el mtodo de variacin de parmetros o por la frmula general.16. y - 2y= - 6,u = 3e - 2x + e. Solucin:y = 3 + e e 2x17. y - 2y= x,u=e- 2 X( - -x )+e .i - - l Soucion: y=- -x - - 1 +ee2:.24 2 4 x32 x3 U =- + e. Solucin .Y = ea: /2 (-+ e) 3 319. xy -2ry = e x2, u = ln x + e. Solucin: y = e x2 (ln x + e)20. y+ (eos x) y = (see 2 x) e- senx, u = tan x + e. Solucin: y = (tan x+ e) e-sen x= xecosnx, X2r = ecos n x (_21. y - (senh x) yU =-2 + e.Solucin: y 2 + e)l22 Y , 1 - y - - 1 . - -- -- l +r - l + rSo ucion: y=e etan -1x -1 23. y + (In x) y = ln x. Solucin: y = 1 + e eX(l -!n xl2 24. y + (1 + 3x2) y= 3 + 9X2.Solucin: y = 3 + e eX( -l- X I 114. http://carlos2524.jimdo.com/112 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMERORDEN ECUACIONES D25 y+ (sec x) y = cos x. SI UClOn:IyX - cos= ------ x + e o 32. Sea la ecusecx + tan xque la conResol ver las siguientes ecuaciones para las condicionesiniciales dadas .Yusando dos mtodos (como comprobacin uno del otro). -1x A. e-sen 126. y +y = e-Xpara y(O)=- 4 B. esen -1x -1 y1C. esenRespuesta:y = e-X (x --)4_1 y D. e-sen27. y - (tan x) y = x sec x para y(O)=F 33. Dada la ecRespuesta:y = sec x (-r + .,::t)2 en exacta, A. x828 y + ~y 1= -JT=X2 3para y(O)=4B. x-8 C. No necesitaR espuesta: y = 3 + e-sen_1x D. No necesitade las linea29. y + -- 1 y= e-tan-1x para y(O) =Ol+r34. Sea la ecuque y = uvRespuesta:y = x e-tan _1x30. y , + (sec x tan x) y= --sen xparay(O) =6 A. u- IX -- Gas cosx B. u=f x cosRespuesta:y = 1 + Se>:"":"C. u=-- 1cos xEn los siguientesejercicios escoger la opcincorrecta. D. u=x31. Dadala ecuacin diferencial de primer orden: y y_ x2= x e", 35. Sea la ecuaA. Es linealen y porquey y y son de primer grado.para que yB. Es lineal en y porquecadacoeficiente dependesolamentede x.A. v= eX(l_lnx)C. No es lineal nente -1.en y porque y no est elevadaal exponente 1, sino al expo- B. v--f-- eX eX1nD.No es linealen x porque es lineal en y.C. v= ex(lnx_I) 115. http://carlos2524.jimdo.com/ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES11332. Sea la ecuacin diferencial lineal:y + ~y= 1; el factor integrante 1-x que la convierte en exacta es:adas .Y-1A. e-sen xB. esen -1 x -1yC. esen_1D. e-seny33 . D a d a 1 ecuaClOn y, - --8y a .,x= 888 x,8e 1 factor mtegrante que la conviertea convi en exacta es:C. No necesita factor integrante porque ya es exacta.D. No necesita factor integranteporque puede resolverse por la frmula general de las lineales.34. Sea la ecuacin diferencial y - (tan x) y = x, qu forma tiene u(x) paraque y = uv sea solucin de esta ecuacin?A. u =f--X-Gas x dxB. u =Jx Gas x dx 1C. u=--cos xD. u=x35. Sea la ecuacin diferencial y - (ln x) y = 1, qu forma debe tener v(x)para que y = uv sea solucin de esta ecuacin?A. v= eX(1-1nx) expo-B. v=JeX ---dx xlnx eC. v= eX(lnX-1) 116. http://carlos2524.jimdo.com/114 ECUACIONESORDINARIAS DE PRIMER ORDENECUACIONE = x-f eXlnx-xD. v = dx B. Y1 eXC. y = x(2D. y = x(36. Sea la ecuacindiferencial xy - 2ry = e" (ver ejercicio19), qu fun-cin u(x) es la que debemos tomar para hallar la solucin por el mtodo 40. Dada 1de variacin de parmetros?general.A. u = e A. y = x- 1B. u= - 2xB. y = senc.u = In xC. y = x- 1D. u= ln x + eD. y = x- 137. Las condiciones de linealidad en x son: Respuestas:A.y Y sus derivadasson de primer grado.31. C. LaLas funcionesforman una combinacin lineal. teneB.Los coeficientes son funciones de x solamente.y y sus derivadas son de primer grado.C.La ecuacin debe ser de primer orden.Los coeficientes son funciones de x solamente. A es coefiD.Las funciones forman una combinacin lineal. proeLa ecuacin debe ser de primer orden.38. Dadala ecuacin x2y + 2xy= e", encontrar la opcin que contiene un paso intermedio de la solucin,usando la frmula general. tampA. y = x-2 ( fex dx + e)32. B. La foB. y = x-2 (r eXdx+ e) Por33. B. La A f.exC. y=x 2 ( x-2-x2 dx + e) La e, por eD. Y = e- J f(x)dx soluci pued39. Sea la ecuacin lineal xy - y= r sec x, encontrar la opcin que contiene un paso intermediode la solucin, usando la frmula general. 34. B. PorquA. y=x-1(frsexdx+c) 117. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES115B. Y = x- 1 tan xc. y = x ( f sec 2 x dx + c)D. Y = x ( J:c sec 2 x dx+ c)40. Dada la ecuacin lineal xy+y=cas x, qu opcin contiene la solucin general?A. y = x-1(xsenx + casx + c)B. y = sen x+cc. y = x- 1+ cD. y = x-1 (senx+ c)Respuestas:31. C. La ecuacin debe tener la forma y + f(x) y = r(x) despejando y tenemos:y yyA es falsa porque el grado de y es -1. B es falsa porque - X2 y x eXcoeficientes de y _ l, no de y. D es falsa porque si tomamos el rec-proco: dxy dy x eX + X2tampoco cumple la linealidad en y.32. B. La forma del factor integrante es (para las lineales en x) F(x)=e ff(X)dX.Por eso no pueden ser ni A, nie, ni D.33. B. La A est mal porque la integral es positiva (ver ejercIcIO anterior). La e sugiere que es exacta, lo cual es falso, como puede comprobarse por el t{lorema de exactas. La D no est del todo bien, puesto que la solucin general siempre involucra a dicho factor, aunque obviamente puede resolverse la ecuacin sin obtenerlo en primer lugar.34. B. Porque u = r(x) xi - - dx = - - - dx v(x) 1cas x 118. http://carlos2524.jimdo.com/116ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En A no se considera el cociente correcto. En e se toma, en realidad, la funcin u con la forma de la funcin v . En D, se toma r(x) nada ms en lugar de la integral antedicha.35. C. En A se tom mal el signo. En B aparece la forma de la funcin u(x). En D todos los conceptos estn revueltos.36. D. En A se toma v(x), en lugar de u(x). En B se toma f(x) en lugar de u(x). La opcin e tiene la funcin correcta pero le falta la constante de integracin, para que aparezca como soluci6n - general al multipli- carse por v(x).37. B. A Y e presentan, cada una, una condicin correcta. D no responde a la definicin.eX38. A. y = e-S2c!:r/x [ fe S2c!:r/X -dx + cj. Automticamente no cumplen B,er y D.39. C. y = e- S _c!:r/ x [ f e S_c!:r/ x x sec 2 x dx + cJ. Por eso no cumplen A, B Y D. cas x .,40. D. La opcin A toma como r(x) = x cas x; en vez d e - - - o La opclOn x B contiene a la funcin u(x) por el mtodo de variacin de parmetros, pero no es la solucin. La opcin e muestra a la funcin r(x) del mis- mo mtodo.ResumenEcuaciones diferenciales de primer ordenVariables separablesf(x)dx + g(y)dy = OMtodo de solucin: integracin directa.Homogneasy + g(u) = O, donde u = f(x, y)Mtodo de solucin: sustitucin apropiada.Muy usual: y =vx 119. http://carlos2524.jimdo.com/RESUMEN117ExactasM(x, y)dx + N(x, y)dy = O oF(x, y)aF(x, y)Definicin:= M, - -- = N ax ay. aM aNTeorema: es exactaSI - - = --ayaxMtodo de solucin:1. Tomar fx = M o fy = N2. Integrar en x o integrar en y3. Derivar con respecto a y o con respecto a x4. Igualar el resultado a N o igualar a M5. Integrar.Factores integrantesF(x, y) es factor integrante si F M dx + F N dy =O es exacta. Si el factor esfuncin de x:My - N~ F(x) = e5p(x)dx donde p(x)= - -- x- NSi el factor es funcin de y: Nx - My~ F(y) = e f p(y)dy donde p(y) = ___ "-MSi el factores funcin de x y y, se obtiene por inspecclOn, por tanteo, o pormtodos que no se van a considerar en este curso.Mtodo de solucin : multiplicada la ecuacin por el factor integrante, se re-suelve por exactas o variables separables segn el caso.LinealesCondiciones de linealidad: a) La variable y y todas sus derivadas son de primergrado; b) cada coeficiente depende solamente de x (o constante).Forma general: y + f(x) y = r(x)Si r(x) = O ~ Y = e e-S1 ( X) dX, es solucin.Si r(x) -::/=- O ~ Y = e- S1 ( x )dx [J e S1 ( X) dX 1"(x)clx + eJ, es solucin. 120. http://carlos2524.jimdo.com/118 ECUACIONESORDINARIASDE PRIMER ORDEN AUTOEVALU1. Mtodo del factor integrante: si la ecuacin es lineal en x ~ F(x)=eff(x)dX.4. DemostSi la ecuacin es lineal en y ~ F(y) = eff(Y)dY Al multiplicar la ecuacin poreste factor se convierte en exacta y se resuelve por exactas.la condi2. Mtodo de variacin de parmetros: y= uves la solucin, donde:v = e-Sf(X)dXT(X)~u= f -dx+c v(x) 5. EstablePor tanto, una lineal puede resolverse: a) Aplicando directamente la frmu-la general; b) por medio de un factor integrante, y c) usando variacin de pa- 6. Resolvermetros.Autoevaluacin 2 7. EncontrEscoger la opcin u opciones que contienen la forma general de las ecuacionesque se indican:A. x = x+ 1. A. 4x2y dx + xy dy = 0, variables separables. B. 4x2y2 dx + X3y dy = 0, homognea y variable separable.B. x = x + C. x2y + xy = y2, homognea y variables separables. D. y + y = v, homognea.x2C. Y =--H2 2. A. y+ eXy = 0, lineal, variables separables.1D. x =-(x B.eX(y dx + dy) = 0, exacta, lineal.2 C.eX(y dx + dy) = 0, variables separables. 8. Resolver D.2.J x + y2 dx + .J x2 + y2 dy = 0, exacta. 2con la e3. Escoger la opcin u opciones que presentanun factor de integracin 9. Resolverapropiado para la ecuacin (cosh. xy + ~) dx +~ cosh xy dy = O. yy10. Elegir 1 A. F(y)=Ydiferenci B. F(x)=xA. e" - xyy B. e" - xy C. F(x, y) =-x C. eX-xy D. F(x, y) = xyD. eX_ xy 121. http://carlos2524.jimdo.com/AUTOEVALUACIN 2 119 4. Demostrar el siguiente teorema : Dada la ecuacinM(x, y) dx + N(x, y) dy = O, la condicin suficiente y necesaria para que sea exacta es: oM oNoyox 5. Establecer las propiedades de linealidad. 6. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo apropiado:eY y = in x 7. Encontrar la opcin que contiene la solucin general de: (x + y) dx -(x + y + 3) dy = O3A. x = x+ y + -In 1 + y) + 31+ e2(x43B. x = x + y +- In12(x + y) + 31 + e2 X2y2c. Y =- + - + xy + 3y + e 2 2D. x = -1 (x + y) + -In 12(x + y) + 31+ e234 8. Resolver la siguiente ecuacin diferencial: (y4 - x4 ) dx+ xy3 dy = O,con la condicin inicial: y(l) = 1 9. Resolver por el mtodo apropiado: (x+ y ) dx + (x + y - 2) dy = O10. Elegir la opcin que contiene la solucin de la siguiente ecuacindiferencial: (eX - y) dx + (e Y - x) dy = OA. eX - xy=eB. e Y - xy = eC. eX -xy + eY =eD. eX -xy + eY =O 122. http://carlos2524.jimdo.com/120 ECUACIONESORDINARIAS DE PRIMER"oRDEN AUTOEVAL11. Cules seran los posibles factores integrantes de la ecuacin?:Respuestas yy 1. Son cor (--+ --tan-1 x) dx+ tan- xdy1=Ol+rx bles. L y no eSIA. tan= y 12. Son corB. -Y 3. A. Las1C. -4. Ver elx5. Ver elD. x6. La ecu12. Hallar la forma que debe tener la funcin u(x) para que y= u(x) v(x) seasolucin de la siguiente ecuacin:1 _1y -.,j 1 - x2y= x esen x13. Escoger la opcin que contiene un paso intermedio de la solucin de la7. Es homsiguiente ecuacin diferencial por frmula general de las lineales: interme,1 1Y+ -y=-casx x xA. y=e-SdXx[feSdxXcasxdx+c] y comoB. y = eSdxX [f e- SdXX x dxcos+ c] lo es.C. y= x [ f x-2 cos x dx +c]8. Es homD. y = x- 1[J cos x dx + cJ14. Resolver la siguiente ecuacin diferencial:y como y + e-Xy = ee-x para y(O)=e15. Escoger la opcin que contiene la solucin de la siguiente ecuacin: xy dx - (X2 - x) dy. OPara y(A. y= (x-1) B. y(x - 1)=c .. La s C. y = c(x-1) D. cy = x-l 123. http://carlos2524.jimdo.com/AUTOEV ALUACIN 2 121Respuestas de la autoevaluacin 2 1. Son correctas A y B. La opcin C falla al decir que es de variables separa-bles. La opcin D contiene una ecuacin que s es de variables separablesy no es homognea. 2. Son correctas A, B Y C.3. A. Las dems opciones no cumplen el teorema M y = Nr4. Ver el texto. 5. Ver el texto.6. La ecuacin es de variables separables: e Y dy = ln x dx e = x In x -x +ey = ln[ x [n x - x + e]7. Es homognea. Tomando v =x + y ydy= dv - dx, se obtiene como pasointermedio: dx = v + 3 dv,2v + 3y como solucin, la opcin D. La opcin C fue resuelta como exacta y nolo es.8. Es homognea. Tomandoy= vx,se obtiene como paso intermedio:dxv 3 dv X2v 4 -1y como solucin general:Para y( 1) = 1, e = 1La solucin particular es: 124. http://carlos2524.jimdo.com/122 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 9. Es exacta, ya que My = 1 = N x. fx =x + y X2f= 2" + xy + f(y) fy= x + l (y) = x + y - 2 f(y)=y-2 y2f(y) = - - 2y+e2 X2 + y2+ 2xy -4y = e,solucin general.10. Es exacta porque M y = - 1 = Nx La correcta es C. Las opciones A y Bpresentan parte de la solucin nada ms y la opcin D supone condicionesiniciales que no nos han dado. La solucin debe quedar en su forma general,con la constante de integracin.11. D. Como se comprueba por el teorema de exactas.12. La solucin de la homognea es:Y =e e sen -1xv = e sen -1xJx sen -1u= f 1.( X ) --dx = v(x)e esen -lxxdx X2-7 U = - + e es la forma que debe tener u para que2_1 ry=UV= esen x (- + e)sea la solucin general. 213. D . En la A falta un factor de la funcin r(x). En la B adems del errorapterior, tiene cambiados los signos. En la C el error es de signos inter-cambiados. 125. http://carlos2524.jimdo.com/AUTOEVALUACIN 2123 Je -X dx [ f e -X dx e- X ]14. Y = e-f e edx +ey = ee-x (x + e)para y(O) =e~ e =1 x y = ee- (x + 1).15. C. y D. La opcin A no tiene la constante de integracin y no se dieroncondiciones iniciales. La B contiene un error en el manejo de funcioneslogartmicas. 126. http://carlos2524.jimdo.com/124 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDENAgustn Louis, Barn de Cauchy (1789-1857) 127. http://carlos2524.jimdo.com/BIOGRAFA125Agustn Louis, Barn de CauchyCauchy naci en Pars el 21 de agosto de 1789, es decir, un mes despus de latoma de la Bastilla. A los pocos das, el padre llev a toda su familia a la pro-vincia para escapar de la revolucin y del rgimen del terror. A los 11 aosregres a Pars para estudiar y Lagrange reconoci en l grandes cualidadesmatemticas. En contraste con sus ideas polticas y religiosas -conservadoras hasta laterquedad-, Cauchy fue un gran innovador en matemticas. El clculo dife-rencial tal como lo legaron Newton y Leibniz contena an algunos conceptosnebulosos, de poco rigor . Cauchy emprendi la tarea de reestructurarlo sobrebases slidas y rigurosas, con la doble meta de poder "ensear el anlisis conla claridad de la geometra" y de dejar la materia sentada sobre buenos ci-mientos. Esta tarea fue llevada a su ltimo trmino por Weierstrass en Ale-mania. El trabajo de Cauchy apareci por primera vez en 1821 en el curso deanlisis que dio en la escuela politcnica. A pesar de su constitucin dbil, Cauchy fue un trabajador infatigable, dehecho uno de los matemticos ms prolficos, junto con Euler y Cayley. Entreotras muchas cosas, destac su contribucin a la teora de las permutaciones,al establecimiento de la nocin de grupo y al desarrollo de todas las basesde la teora de la funcin de una variable compleja. Se interes tambin en lateora de las ecuaciones diferenciales y dej su nombre a la famosa ecuacinde Cauchy-Euler, ecuacin resuelta por Euler antes que naciera Cauchy, peroinvestigada por ste en el caso ms general de la variable compleja. Con toda seguridad el lector conoce tambin otro de sus legados de im- portancia: el conjunto de conceptos de lmite, continuidad y derivada. El quese ensea en los textos actuales es, esencialmente, el que estableci Cauc1lY. Cuando muri, el 22 de mayo de 1857, sus capacidades extraordinarias para las matemticas lo haban hecho miembro de diez de las ms famosas academias europeas. 128. http://carlos2524.jimdo.com/126ECUACIO ES ORDINARIAS DE PRIMEn. ORDEComentarios28325 6 7 4 5 4 9"Una mano hizo el nmero. Junt una piedrecita con otra, un trueno con un trueno, un guila cada con otm guila, una flecha con otm y en la paciencia del gmnito una mano hizo dos incisiones, dos heridas, dos surcos: naci el nmero."Pablo Neruda (Fragmento)Propiedades metafisicas del nmero 2Representa el principio de dualidad, de la diversidad, de lo par e impar. Pit-goras lo llama audacia, fuente, distribucin, armona, paciencia. El signo 2est formado por una recta y una curva, smbolos de lo espiritual y lo mate-rial. Es la imaginacin, principio de sabidura, razn, discrecin, adaptacin,equilibrio, asociacin. Representa la concordancia de fuerzas opuestas, la rela-cin d e los sexos, el equilibrio de espritu y materia.Pregunta: Quin descubri la notacin literal?Aportaciones de CauchyProblema de Cauchy. Determinacin en trminos analticos de una superficieque satisface a una ecuacin diferencial dada y que contiene a una curva dadasobre la cual hay una serie de planos que deben resultar tangentes a la super-ficie buscada.Teorema de Cauchy. Establece que es nula la integral de una funcin devariable compleja sobre una curva que no contenga ningn punto singular.Principio de convergencia de Cauchy. Dada una suces in an = al, a2 , a3 . . , sila diferencia entre dos elementos de la misma puede hacerse tan pequea comose quiera, en valor absoluto, la .sucesin es convergente.La demostracin rigurosa de la existen cia del lmite de una funcin usandolas famosas o y E.Sistema de numeracin babilnico alrededor de 2000 A.C. eo10 1120 60600 129. http://carlos2524.jimdo.com/RDEN COMENTARIOS 127 HORIZONT ALES VERTICALES 1. Mquina usada en las votacionespara 1. Cierto tipo. de ED de primer orden. hacer automticamente el escrutinio. 2. Preposicin inseparableque denota privacin. Se alegra. Tuesto sobre las brasas. 2. ED Mdx + Ndy = O en las que se 3. Cantidad que se multiplica (plural).13M13N cumple -- 13y = --o Vocal. 13x Consonante.4. Oxido de hierro hidratado, se usa en 3. Consonante.Esbozo, dibujo ligero.pintura. Sufijo aumentativo. Consonante. 4. Disposicin o aptitud para hacer al- 5. Guanajuato.Consonantes. Pronombre guna cosa. Siglas de un pas ubicadoenposesivo (al revs). Amrica del Norte. 6. Palas que se usan en el tenis. Vocal.5. Corriente de agua. Desafos,provoca- 7. Espantaran,atemorizaran. ciones. 8. Consonante.IAOT. Artculoneutro. 6. Globo, dirigible. 9. Vocal en plural.Ironas, burlas. 7. Consonante. Dentro de. Smbolo qu- mico del Argn. Consonante .. Pit-8. Artculo plural femenino. De esta ma-gno 2nera. Consonante. mate- 9. Existe.Adjetivo posesivo.Sirve para CRUCIGRAMA acin,volar.rela-10. Nota musical. Partes del cuerpo hu- 1 2 34 5 6 789 mano. 12~ erficiea dada34*~f* super-in de5 6*lar. sicomo 7 8 ~ * * ~ 9 ~ ~ sando10 ~ 130. http://carlos2524.jimdo.com/ 131. http://carlos2524.jimdo.com/3Aplicaciones de las ecuacionesdiferenciales de primer orden H Les gustaba pradti car porque era rpido y eoccitante y /les satisfaca , sa hambre pore aprender que ( creCa con cada leccin. Pero ni uno de .el1os, ni siquiera Pedro Pablo Gaviota, haTijo, llegado a creer que el vuelo de las ideas poda ser tan real como el vue- lo del vient@ y las plumas". Juan Salvad()).f Gaviota. R. BachLa matemtica es una abstraccin de la l.ealidad. Es poner en smbolos lo quenos rodea. lEs una herramienta poderosa ~ue nos conduce a travs de la apli-cacin rigurosa de sus leyes y de la lgica a soluciones precisas,. Ante una si-tuacin real: ajuste de especificaciones en las r,e as de inge niera, sistemascomputacion ales, economa, etc. El camino :a seguir tes : Establecer la ecuaci>n diferencial quecraduce fuelmente al lenguaje sim-blico el fenmeno a estudiar. Catalogar y resolver d.icha ecuacin. Analizar la solucin. Para mayor facilidad se expondr.n juntos los problemas concernientes avarias ramas del saber.Geometra1. Un problema tpico de esta rea es obtener la ecuacin de una curva quepase por un punto prefijado y de la que conocemos su pendiente. [129] 132. http://carlos2524.jimdo.com/130APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDENEJEMPLO 1La pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) vale x + 2y. Deter-minar la ecuacin de dicha curva si, adems, sabemos que pasa por elorigen de coordenadas.1) "Traducimos" al lenguaje simblico la primera parte de la informacin.La pendiente se representa en geometra analtica por la letra m y enca cu 1 df erencla1 por 1 expreslOn - - , 1 o 1.a . , dydxdy-)o - - = x + 2y es la traduccin literal del enunciado.dxLa simbologa de la segunda parte de la informacin es y(O) = O, puestoque la curva pasa por el origen.2) Esta ecuacin es lineal, no homognea y de primer orden dy - - - 2y dx=xDonde (x) =- 2, r(x)=x -)o y = e- S_ 2dx [ f e S-2d I X dx + e J y = e 23J [ fe-2I x dx + eJ 1 Y = e2I ( _ _x e- 2I -_ e- 2 ,l; + e)2 4 x1 2 y = - - - - +ee x24Para y(O) = O:1 1 0=0 - -+ e,e=-4 4 y = _ _ _ l +_ . xx_ I 24 4 o 4y =- 2x - 1 +e 2X 133. http://carlos2524.jimdo.com/GEOMETRA 1313) La curva pedida tiene esta ecuacin y se verifica derivando la solucingeneral y sustituyndola en la ecuacin. 2. Otro problema interesante es el de obtener la ecuacin de las trayectoriasortogonales de una familia de curvas. Aqu va a ampliarse el concepto usandocoordenadas polares. y ~--------~----------------------------------------.x Figura 3.1 Sea una curva e y su tangente T, O 8. En cierto punto de una curva, la pendiente es igual al recproco de laabscisa. Hallar la familia de curvas que tienen esta propiedad.Respuesta: y = In x +e 9. Hallar las curvas para las cuales cada normal en un punto dado y su inter-seccin con el eje x tienen la misma longitud.Respuesta: r + y2 + 2cx = k10. Hallar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier puntola pendiente de la normal se obtiene del recproco de la abscisa restndo-le la unidad.Respuesta: y = x+ In (x -1) + e11. Encotrar la curva que pasa por el punto (0,3) y tal que la proyeccin de sutangente en di cho punt o sobre el eje x si empre tenga una lon gitud igua l a 2.Respuesta: y2= ge X 12. La proyeccin de la recta normal desde un punto P de la curva sobre el eje x tiene una longitud jgual a la abscisa en P. Encontrar la ecuacin de dicha curva que pasa por el punto (2,3).Respuesta:y2 + X2 = 13 13. La pendiente de una curva, en cualquier punto (x, y) es 2x - y. Determi- nar la ecuacin de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (O, 1). Respuesta: y = 2x - 2 + 3e - x 148. http://carlos2524.jimdo.com/146APLICACIONESDE LAS ECUACIONESDE PRIMER ORDEN14. La pendiente de una curva en cualquier punto es 3r. Determinarla ecua-cin de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (1, 1).Respuesta:y= x3Re15. Hallar una curva que pase por el punto(O, -1), de modo que la pendiente 23. Halde la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la abscisa del punto,aumentada en 5 unidades. x2Respuesta:y= - + 5x - 1Re 2 24. Sea16. Demostrar que la curva cuya pendiente de la tangente en cualquier punto gon(x, y) es proporcional a la abscisa del punto (x Yo), es una parbola. Re17. Hallar la curva para la que se cumple que la pendientede la tangente encualquier punto es k veces mayor que la pendiente de la recta que uneeste punto con el origen de coordenadas. 25.Respuesta:Y= exk 26.18. Hallar la familia de curvas que tiene la propiedad de que la pendiente dela recta tangente en cualquier punto es la suma del doble de la ordenaday la mitad de la absoisa del punto. 11Respuesta:y = - - x - - + ee 2X 27. 4819.Hallar la ecuacin de la familia de curvas con la propiedad de que ladistancia del origen a la recta tangente en un punto P de una curva esigual a la abscisa en P. ReRespuesta:r + y" = ex 29. La i esy20. Encontrar la familia de curvas con la propiedad de que la recta normalen cualquiera de sus puntos P coincida con la recta que une al punto P Respcon el origen. 30. La t Respuesta: x2+ y" =edena P fa 21. Encontrarlas trayectoriasortogonalesde la familia de curvas: propr = e (senEl - cos El) rect Respuesta: r= e (cos El + sen El) Res 149. http://carlos2524.jimdo.com/GEOMETRA 14722. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:r = c coi{)Respuesta: r 2 = e sen e23. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: r = c / (1 - cos {)) eRespuesta: r = ----,-1 + cos {)24. Sea la familia de rectas y = clx; encontrar la familia de trayectorias iso-gonales que forman con dichas rectas un ngulo de n/3 radianes.2YRespuesta: - - tan- l -= ln c(x! + y2) -J3 x25. Demostrar que la recta normal corta al eje x en Xl = X + yy.26. Demostrar que la longitud de la normal desde un punto P hasta el eje y es: x..J 1 + y2 Iy I27. Demostrar que la longitud de la subtangente esI y/y l.28. Hallar la longitud de la recta tangente a una curva desde el punto (1, 1)al eje x, sabiendo que su pendiente es 2x.Respuesta: .,j52 = 1.11829. La interseccin con el eje y de la normal a una curva en cualquier puntoes y/2. Si la curva pasa por el punto (1,1), encontrar su ecuacin.Respuesta: y2+ 2il = 330. La tangente a una familia de curvas en el punto P corta a los ejes coor-denados formando con ellos un tringulo; ya que las coordenadas del puntoP forman con los ejes un rectngulo, hallar la familia de curvas con lapropiedad de que el rea del tringulo es siempre el doble que la delrectngulo.Respuesta: xy = c 150. http://carlos2524.jimdo.com/148APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMERORDEN GEOMETR31. Encontrarla curva que cumple la condicin de que el rea acotada por 37. Seleccdicha curva desde (0,1) a (x, y), el eje x y la ordenada, es igual a la or-milia ddenada. A. x2 + y2Respuesta:y = e"y2 B. y=32. H