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Matemática I

Guía del Docente

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Introducción al Bachillerato Intensivo

El Bachillerato Intensivo (BIn) es una oferta educativa a implementar en centros educativos de Fe y Alegría, dicha medida está encaminada para la obtención del título de bachiller en un tiempo reducido (a razón de tres meses por curso, además de un mes de propedéutico) con el fin de obtener una integración social como seres humanos responsables, críticos y solidarios, con capacidades permanentes de aprendizaje y competencias ciudadanas que les permita mejorar su calidad de vida; para ello se trabaja en combinación con el Ministerio de Educación del Ecuador, y su puesta en marcha está dentro de las estrategias de gobierno para la escolaridad inconclusa, personas adultas en su mayoría. En el país se están detectando porcentajes, que superan el 50%, de estudiantes que no culminan el bachillerato, sobre todo en áreas rurales y periféricas, es decir sectores de la población más vulnerable; considerándose dicha circunstancia, un indicador de desarrollo del país en materia educativa. Además el bachillerato, en la planificación que lleva a cabo el gobierno, está previsto que sea una formación obligatoria, lo cual supone una responsabilidad social para el estado y las organizaciones educativas de la sociedad civil, el establecer caminos alternativos para su consecución generalizada; no solo para seguir estudios universitarios, también para conseguir una empleabilidad en condiciones o una especialización profesional dentro de los parámetros gubernamentales (SECAP). Se trata, por tanto, de una educación formal para personas adultas, por ello, se ha tenido en cuenta las circunstancias que motivan la deserción que suelen concurrir en este sector de la población, por ello, en el diseño se ha procurado: - Una metodología activa y constructivista con el alumnado participante, procurando incentivar y hacer uso de las capacidades de las personas adultas, como la madurez, la comprensión abstracta, la capacidad de síntesis, etc. - Un propedéutico o nivelación inicial de contenidos, que permitan situar al estudiante con los conocimientos iniciales para poder afrontar el temario del BGU con la solvencia debida. - Un acompañamiento y seguimiento integral que permita detectar y actuar de modo temprano, sobre las dificultades individuales del aprendizaje, así como de las circunstancias sociales de la deserción, realizando visitas domiciliares y apoyando con estrategias psico-sociales. - Una mención técnica, que si bien no la equipara a un bachillerato técnico (el número de horas es sensiblemente inferior) permitirá al alumnado contar con una iniciación profesional acorde con las necesidades del sector donde ha realizado el BI. Está previsto, también, hacer un seguimiento pormenorizado y sistematizado que permita la mejora continua del servicio prestado, y de ese modo, establecer las correcciones pertinentes que den lugar al caso. En la línea de la mejora del recurso, está diseñado un plan de formación continua a docentes y acompañantes donde se trabajaran temas (entre otros) de andragogía (o educación de adultos), técnicas didácticas y planificación de jornadas educativas, filosofía y trabajo de la educación popular, y acompañamiento de personas adultas. En suma se trata de una medida enmarcada dentro de la proyección que tiene Fe y Alegría para con la población vulnerable, abriendo retos educativos y concretando una incidencia pública, donde se pretende, no solo organizar recursos educativos, también ser referencia en el las estrategias y resultados de la promoción social a través de la educación.

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INDICE

Introducción al Bachillerato Intensivo

Datos informativos

Introducción a la asignatura

Bloques curriculares

Sistema de evaluación

Perfil de salida

Propedéutico. Matemática Elemental

Tema 1. Álgebra Básica

Actividad de Evaluación 1

Tema 2. Ecuaciones e inecuaciones

Actividad de Evaluación 2

Bloque 1. Números y Funciones

Tema 1: Relación y función

Tema 2: La línea recta y Pendiente

Actividad de Evaluación 3

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales.

Actividad de Evaluación 4

Actividad de Evaluación 5

Actividad de Evaluación 6

Tema 4: Función cuadrática

Actividad de Evaluación 7

Bloque 2.1 – Algebra y Geometría

Bloque 2.2 – Matemáticas Discretas

Bloque 2.3 – Estadística y Probabilidad

Tema 1: Estadística

Actividad de Evaluación 8

Actividad de Evaluación 9

Tema 2: Probabilidades

Actividad de Evaluación 10

Actividad de Evaluación 11

Sugerencia de Textos para la investigación

Bibliografía

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DATOS INFORMATIVOS:

MODULO: Ciencias de la Naturaleza y Matemáticas

ASIGNATURA: Matemática

CURSO: 1ro BGU Intensivo

INTODUCCION A LA ASIGNATURA

"La verdad se encuentra en la simplicidad, y no en la multiplicidad ni la confusión de las cosas."

Isaac Newton

La Matemática es una de las asignaturas que, por su esencia misma (estructura, lógica,

formalidad, la demostración como su método, lenguaje cuantitativo preciso y

herramienta de todas las ciencias), facilita el desarrollo del pensamiento y posibilita al que la

conozca a integrarse a equipos de trabajo interdisciplinario para resolver los

problemas de la vida real, los cuales, actualmente, no pueden ser enfrentados a través de una

sola ciencia. Además, la sociedad tecnológica e informática en que vivimos requiere

de individuos capaces de adaptarse a los cambios que esta fomenta; así, las destrezas

matemáticas mencionadas anteriormente son capacidades fundamentales sobre las cuales

se cimientan otras destrezas requeridas en el mundo laboral.

La enseñanza de la Matemática fortalecerá la probidad académica, la cual se entiende como un

cúmulo de actitudes, valores y habilidades que promueve la integridad del ser humano, y que se

evidencian en las correctas prácticas relacionadas con la enseñanza, el aprendizaje, la

evaluación y el ejercicio de una ciudadanía responsable. PROPUESTA FORMATIVA

Esta propuesta está diseñada teniendo en consideración la fundamentación teórica del aprendizaje significativo y la metodología vivencial de la Educación Popular, esto permite planificar el desarrollo de las estrategias de aula a través de proyectos que combinan la práctica con la teoría, “Aprender Haciendo”. En la educación básica media y superior es donde se desarrolla por primera vez las bases teóricas para la enseñanza de la matemática, como parte del proceso de preparación básica, que se profundiza en el bachillerato, porque permite: Formar, con solidez y posibilidades en el uso de los conocimientos adquiridos en la

matemática, relacionándolo a situaciones de la vida cotidiana. Permite que el estudiante se familiarice con aquellos conocimientos científicos. Comprueba el nivel cognoscitivo el mismo que genera el desarrollo del pensamiento

lógico. Fomenta valores esenciales.

Es decir el rendimiento académico en matemática requiere de un proceso, que permita a los(as) estudiantes comprenderla, es por ello que a través de la matematización de la realidad, se lograría una asimilación correcta de la asignatura y por ende los estudiantes no reprueben el año escolar.

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En las instituciones educativas en latino América, la asignatura de matemática es una de las más complejas, ya que constantemente se busca alianzas con países de primer mundo, con el objetivo de impulsar el conocimiento científico, de esta manera se genera un periodo de cambio, en el cual la llamada sociedad del conocimiento, deberá responder a las expectativas de una nueva era; tomando como protagonismo las asignaturas de carácter científico, es por aquello que se debe utilizar las metodologías adecuadas para poder lograr su aprendizaje. En los actuales momentos la matemática y la física son consideradas como ciencias integradoras, ya debido a ellas otras ciencias han tenido un gran aporte o han sido complementadas. Por ende, a lo largo del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, se deberá tomar en cuenta esta característica esencial. Para iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje, se sugiere desarrollar actividades que activen esos conocimientos previos que los estudiantes tienen sobre aquellos temas tratados. De esta manera, ellos reciben esa dosis que les permitirá indagar y a sus vez generar hipótesis de las mismas. Este plan de formación concluye con la construcción de instrumentos necesarios para realizar un estudio de mercado, paso previo indispensable que todo emprendedor deberá aplicar previa la instalación de su negocio o servicio.

BLOQUES CURRICULARES:

N° Bloques Curriculares Números de periodos (Horas clase)

1 Propedéutico 24

2 Números y funciones 36

3 Álgebra y Geometría 12

4 Matemáticas discretas 12

5 Estadística y probabilidad 12

Total 96

Sistema de evaluación

Opción de 4 meses: 1° de Bachillerato Propedéutico (24 horas): Valoración: Cuantitativa Bloques 1 (36 horas): Números y funciones Valoración: Cuantitativa a partir de 4 aspectos:

- El trabajo personal - El trabajo grupal - Una prueba escrita u oral - La participación, el interés demostrado y aportaciones en el aula a lo largo de la duración

del bloque

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Bloques 2 (12 horas): Álgebra y Geometría

Valoración: Cuantitativa a partir de 4 aspectos: - El trabajo personal - El trabajo grupal - Una prueba escrita u oral - La participación, el interés demostrado y aportaciones en el aula a lo largo de la duración

del bloque

Bloques 3 (12 horas): Matemáticas discretas

Valoración: Cuantitativa a partir de 4 aspectos: - El trabajo personal - El trabajo grupal - Una prueba escrita u oral - La participación, el interés demostrado y aportaciones en el aula a lo largo de la duración

del bloque Bloques 4 (12 horas): Estadística y probabilidad

Valoración: Cuantitativa a partir de 4 aspectos: - El trabajo personal - El trabajo grupal - Una prueba escrita u oral - La participación, el interés demostrado y aportaciones en el aula a lo largo de la duración

del bloque

PERFIL DE SALIDA:

1. Comprender que el conjunto solución de ecuaciones lineales y cuadráticas es

un subconjunto de los números reales. 2. Reconocer cuándo un problema puede ser modelado, utilizando una función

lineal o cuadrática. 3. Comprender el concepto de “función” mediante la utilización de tablas,

gráficas, una ley de asignación y relaciones matemáticas (por ejemplo, ecuaciones algebraicas) para representar funciones reales.

4. Determinar el comportamiento local y global de la función (de una variable) lineal o cuadrática, o de una función definida a trozos o por casos, mediante funciones de los tipos mencionados, a través del análisis de su dominio, recorrido, monotonía, simetrías, e intersecciones con los ejes y sus ceros.

5. Utilizar TIC (Tecnologías de la Información y la Comunicación): a. para graficar funciones lineales y cuadráticas; b. para manipular el dominio y el rango a fin de generar gráficas; c. para analizar las características geométricas de la función lineal (Pendiente e intersecciones); d. para analizar las características geométricas de la función cuadrática (Intersecciones, monotonía, concavidad y vértice).

6. Entender los vectores como herramientas para representar magnitudes físicas. 7. Desarrollar intuición y comprensión geométricas de las operaciones entre

vectores. 8. Comprender la geometría del plano mediante el espacio ℝ2.

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9. Utilizar la programación lineal para resolver problemas en la administración de recursos. 10. Identificar situaciones que pueden ser estudiadas mediante espacios de

probabilidad finitos. 11. Recolectar, utilizar, representar e interpretar colecciones de datos mediante

herramientas de la estadística descriptiva. 12. Reconocer y utilizar las permutaciones, combinaciones y arreglos como

técnicas de conteo.

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PROPEDÉUTICO. MATEMÁTICA ELEMENTAL Tema # 1. Álgebra Básica

DEFINICIONES

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras ligadas por las

operaciones aritméticas.

Ejemplo: ,......3,5,,2 433 zxyxz

xyyx

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las

letras de dicha expresión por números determinados y efectuar las operaciones correspondientes. Ej: calcular el v. n. de 2a3b – 5 para a=2 y b=-3 es 2·23·(-3)-5=-53

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones con letras que

intervienen son la multiplicación y la potenciación de exponente natural. Todo monomio está formado por: - parte numérica llamada coeficiente, y - una parte literal constituida por letras y sus exponentes (también llamadas variables) - El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir las mismas letras con los mismos exponentes (puede variar el orden de las letras).

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más

monomios. Un polinomio puede tener una o más letras. Cada uno de los monomios que intervienen se llama términos del polinomio. Atendiendo al número de términos, los polinomios se pueden clasificar en: - binomio, trinomio, etc. El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado dentro del polinomio. Atendiendo al grado los polinomios se pueden clasificar en: - polinomios de primer grado, de segundo grado, etc. Notación: - Cuando el exponente de una letra es 1, no se pone: x1=x - Cuando el coeficiente de un monomio es 1, no se pone: 1x=x - Los números son monomios de grado cero: 4x0=4·1=4 - Se llama término independiente al de grado 0 (el que no tiene parte literal, es un número) - Un polinomio está completo cuando tiene los términos de todos los grados desde 0 hasta el

mayor. - Un polinomio está ordenado cuando los términos van en orden creciente o decreciente con

respecto al grado. OPERACIONES SUMA Y RESTA

9

- En general dos monomios no se pueden sumar o restar en el sentido de que su suma o diferencia sea otro monomio, para que esto sea posible tienen que ser semejantes. La suma o diferencia de dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes. Reducir términos semejantes es sumarlos o restarlos.

- Para sumar dos polinomios se suman los monomios semejantes. PRODUCTO - Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes entre sí y las partes literales

entre sí (recordar cómo se multiplican potencias que tienen la misma base) - Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva: se

multiplica dicho monomio por cada término del polinomio. - Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva doblemente: se

multiplica cada término de uno de ellos por todos los del otro y se reducen los términos PRODUCTOS Y POTENCIAS NOTABLES La potencia enésima de un polinomio consiste en multiplicar dicho polinomio por sí mismo tantas veces como indique el exponente. Veamos a continuación algunas potencias que por su frecuente uso se acostumbra a calcular con fórmulas: - CUADRADO DE UNA SUMA: (a+b)2 =a2+b2+2ab Se lee: el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo, más el doble del producto del primero por el segundo.

- CUADRADO DE UNA DIFERENCIA: (a-b)2=a2+b2-2ab Se lee: el cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo, y menos el doble del producto del primero por el segundo. - SUMA POR DIFERENCIA (a-b)2 =a2-b2 Se lee: suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

Actividad de Evaluación # 1 1.- Indicar grado, término independiente, completar y ordenar los siguientes polinomios: a) 2x2-5+6x3-4x5 b) 3y-2+7y2 c) –4x3+7x4-1+x d) 2-y3

2.- De los siguientes monomios, indicar cuál es el coeficiente, el grado con respecto a cada una de las letras y el grado del monomio: a) 2x3 y4 b) –5xy7 c) x4 y3 z2 d) –x5

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3.- Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios para x=2 y=-1 z=3

2

a) 3x2-5x+3 b)2x-y+xy c) 3xy3-2x2y2-1 d) z2-5z+3 4.- Dados los siguientes polinomios: P(x)=2x2-3x+1 Q(x)=5x2+x-3 R(x)=4x-3 S(x)= x3+2x2-x+3 Efectuar las siguientes operaciones: a) P(x)+Q(x) b) P(x)-Q(x)-S(x) c) Q(x)-R(x)+S(x) d) R(x) · P(x) e) R(x) · Q(x) f) P(x) · Q(x) g) R(x) · S(x) h) P(x) · S(x) 5.- Utilizando la fórmula: (a+b)2=a2+b2+2ab , efectuar las siguientes operaciones: a) (x+5)2 b) (y+3)2 c) (2x+3y)2 d) (5a+3b)2 e) (3x+7)2 f) (2y+4)2 g) (6x2+y5)2 h) (3x4+2a3)2 Utilizando la fórmula: (a-b)2=a2+b2-2ab , efectuar las siguientes operaciones: a) (y-3)2 b) (a-5)2 c) (5x-3y)2 d) (x-7y)2 e) (3x-4y)2 f) (5a-3b)2 g) (3x4-5)2 h) (2x5-y6)2 7.- Utilizando la fórmula: (a+b) · (a-b) = a2-b2 , efectuar las siguientes operaciones: a) (x+4)(x-4) b) (y+3)(y-3) c) (2x+3y)(2x-3y) d) (7x+y)(7x-y) e) (5x+2y)(5x-2y) f) (x+6y)(x-6y) g) (2x2-3)(2x2+3) h) (5x2+3y3)(5x2-3y3) 8.- Efectuar y simplificar: a) (2x2-5x+3) - (x-2) (2x-5) b) 3x(5x2-4) + (x2-5)(2x+3) c) (5x-3)(x-2) – (3x-4(-2x+7) d) 4x – x(5x-3) – (-5x2-3x) e) 2x(3x2-5x+2) – (3x3-5x2+x-1) f) (2x-3)(-5x+2)(5x+1) g) (3x2y-2xy2+xy) – (5x2y-8xy2-3xy)-(x2y+2xy) h) (2x-y) (3x+2y) –(x2+3xy-4y2) i) (3x-2)(-x2+5x-2) – (2x-4)2 j) (3x+2)2- 5x(x2-4x+1) k) (4x+3)(-2x2-2x+1) – (5x+3)2 l) (x-3)2- 2x(3x2-x+3) m) (x-y)2-(x+y)2-(x+y)(x-y) n) (2x+3y)2-(4x-y)2 ñ) (5x-3y)2-(4x+6y)2 o) (3x+y)(3x-y) +(5x+2y)2-(2x-4y)2 p) (3x-2)·(5x+3)·(-2x-4) q) (2x-3y)3 r) (5x+3y-2z)2 s) (a-b-c)2-(a+b-c)2 9.- Efectuar las siguientes multiplicaciones de monomios: a) (2x3y)·(-3xy4)·(-4x3y5) b) (-5ab3)·(-3a3b)·(-2a) c) 2x·(-4x3)·3x d) (5x2y3z4)·(-xyz)·(2xy3z6) 10.- Realizar las siguientes potencias de monomios: a) (2x3y5)3 b) (5x2y4z5)2 c) (-3xy6z2)3 d) (-5x2yz3)2

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11.- Realizar las siguientes divisiones de monomios:

xyzyxe

xy

yxd

zxy

zyxc

yx

yxb

x

xa

z2342

54

654

32

433 5)

2

13)

5

10)

6

12)

2

10)

Realizar las siguientes divisiones de polinomios entre monomios:

3

325443

2

375423

2

4610)

5

25105)

3

3912)

xy

yxyxyxc

ba

bababab

x

xxxa

Escribir una expresión algebraica con las siguientes características:

a) Monomio con coeficiente 3 y grado 2. b) Binomio de grado 5. c) Trinomio de grado 2. d) Polinomio de grado 3 con término independiente 5. e) Dos monomios semejantes a 5x2y4. f) Tres monomios con las letras x e y que no sean semejantes. g) Tres monomios de grado 5 con las letras x e y, que no sean semejantes.

Expresar en lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) La mitad del cuadrado de un número. b) La suma de los cuadrados de dos números. c) El cuadrado de la suma de dos números. d) La mitad de un número menos el doble de dicho número. e) La mitad de un número más su quinta parte. f) La mitad de la suma de dos números. g) El cubo de un número. h) Tres números consecutivos. i) El número natural siguiente a n. j) El número natural anterior a n. k) El producto de dos números. l) La edad de una persona dentro de 5 años. m) La edad de una persona hace 4 años.

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Tema # 2. Ecuaciones e inecuaciones.

Ecuaciones algebraicas.

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x − 2 Una igualdad puede ser: Falsa: Ejemplo 2x + 1 = 2 · (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2. Cierta Ejemplo 2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

Identidad Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. Ejemplo 2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

Ecuación Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

Ejemplo: x + 1 = 2 Solución: x = 1 Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2 − 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13 El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones según su grado

Ecuación de primer grado. 5x + 3 = 2x +1 Ecuación de segundo grado. 5x + 3 = 2x2 + x

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Ecuación de tercer grado. 5x3 + 3 = 2x +x2 Ecuación de cuarto grado. 5x3 + 3 = 2x4 +1

Ecuaciones de primer grado

1) Resuelve Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

2) Resuelve Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

3) Resuelve la ecuación Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

4) Resuelve la ecuación

5) Resuelve la ecuación

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6) Resuelve la ecuación

7) Resuelve la ecuación

8) Resuelve la ecuación

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones algebraicas con una incógnita.

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

15

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

Inecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

Resolución de inecuaciones de primer grado 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. 4º Efectuar las operaciones 5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. 6º Despejamos la incógnita. Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla: De forma gráfica - Como un intervalo

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones. Ejemplos

1.

[−1, 3]

16

2.

(3, ∞)

3.

No tiene solución.

Actividad de Evaluación # 2

1. Obtén la solución de las siguientes ecuaciones:

a) x 1 x 31

2 3

b) x 3

3(x 2) 202

c) 2 2(x 3) x 4

32 4

d) 4(x 1) x 3x 5 3(x 2)

2 3

2. Resuelve las ecuaciones:

a) -6x2 – 7x + 155 = -8x

b) 3x2 + 8x + 14 = -5x

c) (x-6)(x-10)=60

d) (x+10)(x-9)=-78

3. Resuelve las ecuaciones:

a) x4 – 24x2 + 144 = 0

b) x4 + 14x2 – 72 = 0

c) x4 – 81 = 0

d) (x2 – 8)(x2 – 1) = 8

4. Resuelve las ecuaciones:

a) (x 3)(2x 5) 0

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b) (5x 3)(2x 8) 0

c) (x–2)(2–3x)(4+x) = 0

d) x(x+3)(2x+1) = 0

5. Resuelve las inecuaciones:

a) 3(x–1)+2x < x+1

b) 2 – 2(x–3) 3(x–3) – 8

c) 2(x+3)+3(x+1) > 24

d) 3x 12 – 2(x+1)

6. Resuelve las inecuaciones:

a) x2 – 5x + 6 < 0

b) –2x2 + 18x – 36 > 0

c) x2 + 2x – 8 0

d) 3x2 – 18x + 15 0

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BLOQUE 1. NÚMEROS Y FUNCIONES Tema # 1. Relaciones y Funciones RELACIONES Una relación se define como un subconjunto de un producto cartesiano. Simbólicamente:

A conjunto de partida B conjunto de llegada. FUNCIONES Dos líneas se pueden cortar en forma perpendicular u oblicua. Cuando se cortan en forma perpendicular forman un eje de coordenadas rectangulares.

Este eje de coordenadas llamado plano cartesiano, sirve para graficar un conjunto de parejas ordenadas generadas por un producto cartesiano. Para realizar la gráfica de una función en un plano cartesiano se procede así: Se trazan los ejes de coordenadas x y. El dominio de la función se coloca sobre el eje de coordenadas x. El condominio de la función se coloca sobre el eje de coordenadas y. Las parejas ordenadas se representan por puntos.

Función lineal Y = f(x) En una función lineal representada por la relación Y = f(x), para cada valor que se le asigne a la variable x, hay un valor de y. Los valores que se le asignen a x reciben el nombre de abscisas, y los valores que resulten de y los llamaremos: ordenadas de la función. Al realizar la gráfica de estos valores (puntos) nos resulta una línea recta o curva que será la gráfica de la función o ecuación Y = f(x).

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En una función Y = f(x) como a x le asignamos valores independientes para obtener valores de y, la llamaremos variable independiente, y como el valor de y depende de los valores que se le asignen a x, entonces a y la llamaremos variable dependiente. Representar gráficamente la función y = 3x + 3 Dando valores a la variable x, se obtienen valores correspondientes de la variable y: para x = 0 y = 3(0) + 3 = 0 + 3 = 3 y = 3 para x = 1 y = 3(1) + 3 = 3 + 3 = 6 y = 6 para x = 2 y = 3(2) + 3 = 6 + 3 = 9 y = 9 para x = 3 y = 3(3) + 3 = 9 + 3 = 12 y = 12 para x = -1 y = 3(-1) + 3 = -3 + 3 = 0 y = 0 para x = - 2 y = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3 y =- 3 para x = - 3 y = 3(-3) + 3 = -9 + 3 = -6 y =- 6

Representando los valores de la variable x como abscisas y los valores correspondientes de la variable y como ordenadas, se obtiene una serie de puntos. La recta que se forma de la unión de esos puntos es la gráfica de y = 3x + 3 Gráfica:

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Tema # 2. Línea Recta y Pendiente

Ejes de coordenadas

El sistema de ejes coordenados está formado por dos

rectas numéricas, una horizontal y otra vertical llamadas

ejes.

El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y

el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.

Sobre el sistema de ejes coordenados es pueden ubicar todos los pares ordenados de la forma

(a, b), como lo muestra la figura.

En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P

Distancia entre dos puntos

Supongamos que P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )

Son dos puntos del plano tal como se observa en la

figura.

La distancia entre P1 y P2 se puede

determinar, por ejemplo, mediante el teorema de

Pitágoras, de la siguiente manera:

) y - (y ) x - (x PP 212

212

2

21

Así la distancia de P1 a P2 es:

1 -1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

a

b P(a, b)

x

y

x1 x2

y1

y2

x2 – x1

y2 –

y1

x

y

P2

P1

21

) y - (y ) x - (x PP 2

122

1221

Ejemplo: La distancia entre los puntos A(-4, 7) y B(3, -5) es:

) 7 - (-5 ) (-4) - (3 AB 22

144 49

193 AB

Representación gráfica de la línea recta

En toda igualdad de la forma ax + by = c, donde a,b,c R, representa una ecuación lineal con

dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y)

corresponde a un punto del plano cartesiano.

Ejemplo: la ecuación L: x + y = 4

Tabla de valores Gráfico

x y (x, y)

2 2 (2, 2)

1 3 (1, 3)

0 4 (0, 4)

-1 5 (-1, 5)

Observaciones:

1 -1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y

22

- A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta.

- Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

- Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a la recta correspondiente.

PENDIENTE DE UN RECTA

Se denomina pendiente “m” de una recta al grado

de inclinación “” que tiene respecto del eje de las

abscisas (eje x)

x - x

y - y m

12

12

Actividad de Evaluación # 3

Supongamos que se tienen 4 rectas L1, L2, L3 y L4 de modo que:

L1 pasa por los puntos: A(1, 2) y B(2, 1)

L2 pasa por los puntos: P(1, 2) y Q(5,2)

L3 pasa por los puntos: D(1,2) y E(1,-5)

L4 pasa por los puntos: R(1,2) y T(-2,-6)

Grafica cada una de éstas rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. Calcula la pendiente de cada una de éstas rectas. Establece conclusiones válidas en relación a la inclinación de cada una de estas rectas con respecto al eje x y compáralo con el valor de su pendiente. ¿Qué ocurre cuando y2 = y1 ?, ¿y si x2 = x1 ?

Ecuación de la línea recta

x1 x2

y1

y2

L

x2 – x1

y2 –

y1

x

y

23

Toda igualdad de la forma ax + by = c, donde a,b,c R, también se puede escribir en la forma

y = mx + n, es decir como una función, donde m es la pendiente o coeficiente de dirección y n es

la intersección de la recta con el eje y, llamada también coeficiente de posición.

De esta forma, podemos afirmar que una recta está perfectamente definida si se conocen:

DOS PUNTOS DE ELLA Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5, 4) y B(7, 8)

Calculemos su pendiente 2 m 2

4 m

5 - 7

4 - 8 m

Como y = mx + n, considerando el punto A(5,4) con x = 5 e y = 4

Tenemos 4 = 2 · 5 + n

4 = 10 + n /-10

-6 = n

Luego: y = 2x – 6 es la ecuación pedida

UN PUNTO Y SU PENDIENTE.

Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) y tiene pendiente

-4

Como, el punto dado es A(2,-5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m=-4

Entonces y = mx + n

Tenemos -5 = -4 · 2 + n

-5 = -20 + n /+20

15 = n

Luego: y = -4x + 15 es la ecuación pedida

Tema # 3. Sistemas de ecuaciones lineales.

24

Una ecuación de la forma ax + by = c se dice ecuación lineal con dos incógnitas e indeterminada, es decir tiene infinitos pares (x,y) como solución. Ejemplo: En la ecuación x + 2y = 7 se tiene que para y = 1 , x = 5 de donde un par solución sería (5,1) para y = -3 , x = 13 de donde otro par solución sería (13,-3) para y = 2 , x = 3 de donde otro par solución sería (3 , 2) Y así sucesivamente, tendríamos infinitos pares solución de la ecuación. Si se forma otra ecuación de las mismas incógnitas y al mismo tiempo, se dice que se forma un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, es decir tienen la forma: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Para resolver estos sistemas de ecuaciones existen varios métodos algebraicos. 1°) METODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN: Consiste en despejar de una de las

ecuaciones, una de las incógnitas en función de la otra y sustituir este valor en la otra ecuación.

Ejemplo: 3x + 4y = 31 4x + 6y = 44

Se despeja “x” en la primera ecuación: x = 3

y431

Se sustituye en la segunda ecuación: 4 3

y431 + 6y = 44 /·3

Se multiplica por 3 y se resuelve el paréntesis: 124 - 16y + 18y = 132

De donde 2y = 8 / ·2

1

y = 4

Se sustituye este valor en x = 3

y431 quedando x = 5

Así el par solución del sistema dado es (5,4). 2°) ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN: Consiste en despejar la misma incógnita en ambas

ecuaciones e igualar los valores de la variable elegida. Ejemplo: 3x – 2y = 13 2x + 3y = 0 Eligiendo la variable x:

- en la primera ecuación: 3

13 2y x

- en la segunda ecuación: 2

3y - x

Ambos valores de “x” son iguales

25

luego 2

3y-

3

13 2y

; despejando y se obtiene y = -2

reemplazando en la ecuación 2x + 3y = 0 , se tiene 2x + 3 ·-2 = 0 2x - 6 = 0 2x = 6 de donde x = 3 Así, el par solución del sistema es (3,-2). 3°) ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN: Consiste en multiplicar ambas ecuaciones por valores de

tal manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales y con signos distintos; en seguida se suman las ecuaciones resultantes.

Ejemplo : 9x - 8y = 32 -3

7x - 6y = 26 4 resulta -27x + 24y = -96 28x - 24y = 104 sumando, se obtiene : x = 8 reemplazando en la ecuación 9x - 8y = 32 ,

se tiene 98 - 8y = 32 72 - 8y = 32 -8y = -40 de donde y = 5 Así, el par solución del sistema es (8,5). 4°) Regla de Cramer: Dado el sistema a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2

al resolverlo por cualquiera de los métodos anteriores obtenemos para sus incógnitas los siguientes valores:

ab ba

cb bc x

2121

2121

;

ab ba

ca ca y

2121

1221

Como el numerador y denominador de las soluciones del sistema son diferencias de dos productos, podemos expresar estas soluciones como determinantes de orden dos. Al resolver determinante obtendrás un número real.

ahora bien, un determinante de orden dos se resuelve

d c

b a

= ad – bc

Diagonal

secundaria Diagonal

principal

26

Luego:

22

11

22

11

b a

b a

b c

b c

x ;

22

11

22

11

b a

b a

c a

c a

y

Observa que el determinante de ambos denominadores es el mismo, éste se llama determinante principal y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas del sistema de

ecuaciones. Se designa por p.

Así: p = 22

11

b a

b a

Entonces, x; y serán respectivamente: x = 22

11

b c

b c ; y =

22

11

c a

c a

Finalmente: x = p

x

; y =

p

y

Ejemplo : 5x – 8y = 42 3x + 2y = 32 Calculamos los tres determinantes:

p = 2 3

8- 5 = 10 – (-24) = 34

x = 2 32

8- 42 = 84 – (-256) = 340 y y =

32 3

42 5 = 160 – 126 = 34

Luego: x = p

x

=

34

340 = 10 ; y = p

y

=

34

34 = 1

Así, el par solución del sistema es (10,1).

Actividad de Evaluación # 4

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, utiliza para ello el método que estimes más conveniente:

1 2x + y = 5 x – y = 1

R : x = 2 ; y = 1

27

2. 68

6

x7

3

y5

12

4

x7

4

y

R : x = 7

11 ; y = 40

3. x + y = 6

x : y = 1 : 4

R: x = 5

6

; y = 5

24

4. x + y = a - b

x – y = a + b

R: x = a ; y = -b

MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES.

En toda igualdad de la forma ax + by = c, donde a,b,c IR, que representa a una ecuación lineal con dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x,y).

La representación de los pares ordenados (x,y) corresponde a un punto en el plano cartesiano, por ejemplo, en la ecuación: x + y = 4 Tabla de valores: Gráfico A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta.

Cada par ordenado de números (x,y) que satisface esta ecuación, corresponde a las coordenadas de un punto de la recta correspondiente.

x y (x,y) 2 2 (2,2) 1 3 (1,3) 0 4 (0,4) -1 5 (-1,5)

4

2

4 2 x

y

28

Estos para es ordenados son solución de la ecuación, y los puntos que ellos representan pertenecen a la recta correspondiente.

Actividad de Evaluación # 5 I. En los siguientes casos, calcular la pendiente de la recta determinada por los puntos que se

dan, realizar los gráficos correspondientes y saca las siguientes conclusiones:

Cuándo la pendiente es positiva, negativa o cero ¿Qué tipo de inclinación tienen las rectas en cada caso? ¿Siempre existe la pendiente de una recta?

1. A(7,8) ; B(6,5) 2. P(2,-4) ; Q(-1,2) 3. T(-4,0) ; R(-4,-3)

II. Si decimos que tres o más puntos de un plano son colineales cuando pertenecen a una misma línea recta, determina en cada caso si los puntos son o no colineales. Realiza además el gráfico correspondiente.

1. A(2,3) ;B(4,5) ; C(6,7) 2. P(-5,1);Q(1,15);T(-4,15) 3. A(1,0);B(1,1);C(2,2)

III. Realiza las gráficas de las siguientes ecuaciones lineales mediante la intersección con los

ejes:

1. x – 2y = 2

2. 3x – 6y = 12

3. 1 = y

2

1 + x

4. 1 = y

3

1 + x

2

1

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

CON DOS INCÓGNITAS. Ejemplo: Consideremos el sistema x + 3y = 7 x + y = 3

Tabla de valores para cada ecuación: Ecuación 1 Ecuación 2 L1: x + 3y = 7 L2: x + y = 3 Así, la solución del sistema es el par ordenado (1,2). ¿Qué sucede si las rectas resultan ser paralelas? ¿Y si son coincidentes?

Actividad de Evaluación # 6

x y (x,y) 7 0 (7,0)

1 2 (1,2) 4 1 (4,1)

x y (x,y) 2 1 (2,1) 1 2 (1,2)

3 0 (3,0)

x

y

L1

L

2

1

2

7 3

(1,2)

29

Grafica la solución de los siguientes sistemas:

2x + y = 5 x - y = 1

y = –x 3x – 2y = 15

3 (x + y) = 8 – y 2 (3x + 2y) = 0

y – x = 1 3y = 2x

x = 1 – 3y 4 (x – 1) = 12y

y = 2

x

x + 2y = 8

Tema # 4. Función Cuadrática Una función cuadrática es una función definida por: f: IR IR x y = f(x) = ax2 + bx + c; donde a , b y c IR , a 0 La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales. Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo. Si a>0 y b>0, entonces la parábola se encuentra hacia la izquierda del eje y.

Si a>0 y b<0, entonces la parábola se encuentra hacia la derecha del eje y. Si a<0 y b>0, entonces la parábola se encuentra hacia la derecha del eje y. Si a<0 y b<0, entonces la parábola se encuentra hacia la izquierda del eje y. Si b=0, el eje y, es eje de simetría de la parábola.

30

El punto (0,c) indica la intersección de la parábola con el eje y.

Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado

Corresponden a las expresiones de la forma 02 cbxax , donde a, b, c IR.

Veamos los tipos de ecuaciones de segundo grado que existen.

Ecuación de segundo grado completa

La expresión de una ecuación de segundo grado completa es ax2 + bx + c = 0 con a, b, y c distintos de cero. Cuando a=1, la ecuación recibe el nombre de completa particular

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero. Así tenemos:

ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.

ax2 + c = 0; si b = 0.

ax2 + bx = 0; si c = 0.

Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

Incompletas:

1) ax2 = 0, con a0

Despejando x2 se tiene: 0000 22 xxa

x

Por lo tanto, las ecuaciones de la forma ax2 = 0 tienen como solución única x = 0.

Ejemplo: 003

003 22 xxx

2) ax2 + bx = 0, con a0 Se saca factor común, obteniéndose x (ax + b) = 0. Si producto de dos factores da como resultado cero, uno de ellos debe ser cero:

31

a

bxbaxbax

ó

x

baxx

0

0

0)(

de donde:

a

bxx 0

Ejemplo: 2x2 + 4x = 0

22

4042

0

0)42(

xx

ó

x

xx

De donde: x1 = 0 y x2 = -2.

3) ax2 + c = 0. De donde:

a

cx

a

cx

2

Si c<0 la ecuación no tiene solución, pues no existe la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejemplo:

3x2 - 27 = 0

3993

27273 222 xxxxx

La ecuación tiene dos soluciones, x1 = 3 y x2 = -3. Completas:

Para resolver una ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, se aplica la fórmula:

a

acbbx

2

42

De donde:

a

acbbx

a

acbbx

2

4

2

4 2

2

2

1

Ejemplo: Resolver la ecuación x2 - 5x + 6 = 0. Resolución:

32

a = 1; b = -5; c = 6.

2

15

2

15

2

24255

12

614)5()5(

2

422

a

acbbx

22

4

2

153

2

6

2

1521

xyx

O sea: x1= 3 y x2 = 2.

Discusión de las soluciones de una ecuación de segundo grado

Se denomina Discriminante a la expresión b2 - 4ac, y se representa por , letra griega delta mayúscula. Entonces:

= b2 - 4ac.

Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.

Se distinguen tres casos:

Si > 0, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas.

Si = 0, las dos soluciones son la misma, o sea, x1 = x2.

Si < 0, la ecuación de segundo grado no tiene solución real.

Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado

Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, y x1 y x2 sus soluciones, se cumple:

1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado es:

a

bxx

21

2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado es:

a

cxx 21

Aplicando estas propiedades, la ecuación ax2 + bx + c = 0, puede expresarse como:

0)( 21212 xxxxxx

o bien: 0))(( 21 xxxx

33

Ejemplo: Formar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 4 y –2. La ecuación es (x – 4)(x + 2) = 0; o sea, x2 – 2x – 8 = 0

Resolución de Problemas

1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

El par consecutivo de 2x es 2x + 2. Entonces 2x(2x + 2) = 168.

4x2 + 4x - 168 = 0. /:4

x2 + x - 42 = 0. De donde x1 = 6 y x2 = -7 Luego las soluciones son 12 y 14; -12 y -14.

Actividad de Evaluación # 7

1. ¿Cuál de los siguientes puntos no pertenece a la función cuadrática 21)( xxf ?

a) (0,1) b) (1,0) c) (-1,0) d) ( 2 ,-1) e) (1,1)

2. Al graficar la parábola y = 2x2 – 3x + 5, esta intercepta al eje y en el punto:

a) (0,2) b) (0,3) c) (0,5) d) (0,-3) e) (0,-5) 3. La función y = -3x2 es una parábola cuyo vértice es:

a) (0,3) b) (0,0) c) (0,-3) d) (-3,0) e) (3,0) 4. El eje y, es eje de simetría de una parábola, cuando:

a) a > 0 b) a < 0 c) b < 0 d) b > 0 e) b = 0 5. En un terreno rectangular, el largo tiene 2 metros más que su ancho. Si su área es de 24 m2, ¿cuánto mide su largo?

a) 3 m. b) 4 m. c) 6 m. d) 8 m. e) 12 m. 6. El valor del discriminante de la ecuación –x2 – 1 = 0 es:

a) -4 b) -3 c) 1 d) 4 e) 1 7. ¿Para qué valores de x, la expresión x4 – 1 es negativa?

34

a) x = 1 b) x = -1 c) x > 1 d) x < -1 e) –1 < x < 1

8. El producto de las raíces de la ecuación x2 + 2x – 1 = 0 es:

a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 9. ¿Cuál es el valor de k, si la parábola y = 7x2 – 4x + 2k – 10 pasa por el origen?

a) 10 b) 5 c) 0 d) -5 10. La ecuación cuadrática que tiene como raíces x1 = 1 y x2 = -1 es:

a) x2 + 1 = 0 b) x2 + x = 0 c) x2 - x = 0 d) x2 + x - 1 = 0

35

BLOQUE 2.1. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA Tema # 1. Vectores: módulo, dirección y sentido

Un vector es un segmento de recta orientado.

Un vector se caracteriza por: 1) su módulo, que es la longitud del segmento. 2) su dirección, que viene dada por la recta que pasa por él o cualquier recta paralela. 3) su sentido, que es uno de los dos sentidos posibles sobre la recta que pasa por él.

Un vector no tiene una ubicación definida; puede trasladarse a cualquier lugar del plano sin modificar ni su módulo, ni su orientación (dirección y sentido). Por esta razón se dice que los vectores son libres.

Los vectores se expresan con una letra minúscula o con dos letras mayúsculas, su origen y su

extremo respectivos. Por ejemplo, indica el vector que tiene origen en el punto P y extremo en el punto Q.

Siempre que sea posible, pondremos una flecha encima para indicar que se trata de un vector.

Los vectores sirven para representar magnitudes geométricas y físicas que tienen módulo, dirección y sentido, como traslaciones, velocidades y fuerzas.

Como lo que caracteriza a un vector es su módulo, su dirección y su sentido, dos vectores son

iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

SUMAS Y RESTAS DE VECTORES

La resta o diferencia entre dos vectores y se expresa - y se define como la suma del primero ellos con el opuesto del segundo:

- = + ( - )

Para dibujar la diferencia - podemos colocar - a continuación de y unir el origen de con el

extremo de - .

36

También podemos utilizar la regla del paralelogramo para dibujar la diferencia - . Además, esta regla

permite obtener fácilmente todas la sumas y restas posibles de los dos vectores y :

+ , - , - + y - -

Obsérvese que - + = - ( - ) y que - - = - ( + )

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Se define el producto de un número m por un vector como el vector que tiene:

1) dirección: la misma que

2) sentido: el mismo que si m es positivo opuesto al de si m es negativo

3) módulo: el módulo de multiplicado por el valor absoluto de m

Si m=0 el vector es el vector nulo, un vector que tiene módulo 0 y que

se indica por . Es decir, 0 = .

Resumiendo, multiplicar un vector por un número m equivale a alargar (o encoger) su módulo tantas veces como indica el valor absoluto de m, e invertir su sentido si m es negativo.

El número m por el que se multiplica un vector recibe el nombre de escalar.

En las figuras de la derecha tienes tres ejemplos de un producto de un escalar por un vector.

37

BLOQUE 2.2. MATEMÁTICAS DISCRETAS Tema # 1. Programación lineal

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

Historia de la programación lineal.

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que el problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas.

La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus

38

generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.

Esquema práctico

Los problemas de programación lineal pueden presentarse en la forma estándar, dando la función objetivo y las restricciones, o bien plantearlos mediante un enunciado. Si éste es el caso, puede seguirse el camino que indicamos a continuación, ejemplificado con el siguiente problema:

En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se han de tener almacenados un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje es el mismo para los dos tipos de aceite (1 unidad monetaria). ¿Cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea máximo?

Paso 1º: Leer detenidamente el enunciado: determinar el objetivo, definir las variables y escribir la función objetivo.

El objetivo es: halla cuántos bidones de cada tipo hay que almacenar para maximizar los gastos

Suponemos que tal objetivo se consigue almacenado x bidones de aceite de girasol e y de aceite de oliva

Cómo cada bidón de aceite de girasol cuesta almacenarlo 1 unidad monetaria y lo mismo para uno de aceite, los gastos serán x + y

Luego, la función objetivo es:

Maximizar la función Z = f(x,y) = x + y

Paso 2º: Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas, x e y, escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones.

Un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol: x 20

Un mínimo de 40 bidones de aceite de oliva: y 40 El número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de

bidones de aceite de girasol: y x/2

La capacidad total del almacén es de 150 bidones: x + y 150

Además, los números de bidones deben ser cantidades positivas: x 0; y 0

Paso 3º: Expresar el problema en la forma estándar.

39

Siguiendo con el ejemplo, sería:

Maximizar: Z = f(x,y) = x + y

sujeto a: x + y 150

y x/2

x 20 ; y 40

Aquí termina el planteamiento del problema. Para su resolución hay que continuar con:

Paso 4º: Representar gráficamente las restricciones y marcar claramente la región factible.

Para las restricciones anteriores debemos representar las rectas: x + y = 150, y = x/2 , x = 20 e y = 40, obteniéndose la región factible que en la figura se encuentra coloreada.

Paso 5º: Hallar las coordenadas de los vértices del polígono obtenido.

Resolviendo los sistemas : { x = 20, y = 40 } , { y = x/2 , y = 40 } , { y = x/2 , x + y = 150} , { x + y = 150, x = 20}; se obtienen los vértices: A(20,40) , B(80,40) , C(100, 50) , D(20,130)

Paso 6º: Sustituir las coordenadas de esos puntos en la función objetivo y hallar el valor máximo o mínimo.

Sustituyendo en f(x,y) = x + y, se tiene:

f(20,40) = 60 , f(80,40) = 120 , f(100, 50) = 150 , f(20,130) = 150

Como el valor máximo se obtiene en los puntos C y D, puede optarse por cualquiera de los dos, o por cualquier punto perteneciente al segmento que los une. Así, por ejemplo, se obtendría el mismo gasto con 40 bidones de aceite girasol y 110 bidones de aceite de oliva; o 90 y 60 respectivamente.

Paso 7º: También es conveniente representar las rectas de nivel para comprobar que la solución gráfica coincide con la encontrada. Esta conveniencia se convierte en necesidad cunado la región factible es no acotada.

40

En nuestro caso, puede comprobarse que las rectas de nivel tienen la misma pendiente que la

recta límite de la restricción x + y 150; por tanto, hay múltiples soluciones.

Paso 8º: Por último, como en la resolución de todo problema es necesario criticar la solución: cerciorarse de que la solución hallada es lógica y correcta.

En este ejemplo, no todos los puntos del segmento CD son soluciones válidas, ya que no podemos admitir valores de x e y no enteros, como ocurriría en el punto (90.5, 59.5).

41

BLOQUE 2.3. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Tema # 1. Estadística La estadística se ocupa de recopilar datos, organizarlos en tablas y gráficos y analizarlos con un determinado objetivo. La estadística puede ser descriptiva o inferencial. La estadística descriptiva tabula, representa y describe una serie de datos que pueden ser cuantitativos o cualitativos, sin sacar conclusiones. La estadística inferencial infiere propiedades de gran número de datos recogidos de una muestra tomada de la población. Nosotros sólo estudiaremos la estadística descriptiva. En ella debemos tener en cuenta las siguientes etapas:

a) Recolección de datos b) Organización de datos

(1) Tabulación (2) Graficación

c) Análisis y medición de datos a) Recolección de datos Para esta etapa tomaremos los siguientes conceptos básicos: Población: conjunto de observaciones efectuadas

Individuo: cada elemento de la población.

Atributo: característica investigada en la observación. Estos pueden ser cualitativos (sexo,

religión, nacionalidad) o cuantitativos (estatura, peso, área –estos son continuos, se miden en números reales-; número de hijos, número de goles –discretos, se miden en números enteros-)

Por ejemplo: si se desea realizar un estudio estadístico de las estaturas de los alumnos de tercer año,

Población: conjunto de estaturas Individuo: cada estatura Atributo: la estatura

Teniendo presente la clasificación, clasifica los siguientes atributos

1. Afiliación política de los habitantes de la Capital de Chile. 2. Cantidad de ganado vacuno en las provincias de la Río Bueno y La Unión. 3. Religión de los padres de familia de la comunidad educativa Santa Cruz. 4. Ingresos de los obreros. 5. Cantidad de alumnos de las diferentes carreras de la Facultad de Ciencias Exacta en la

U.L.A. 6. Sexo de los alumnos de una escuela. 7. Estado civil de los habitantes de la ciudad de Río Bueno.

42

8. Cantidad de películas nacionales estrenadas durante un año. 9. Color de cabellos de los alumnos de un curso. 10. Puntaje obtenido por los alumnos que ingresan a la carrera de Medicina.

b) Organización de los datos (1) Tabulación: puede ser a través de una serie simple, con la presentación de los datos recogidos en forma de tabla ordenada, o a través de la agrupación de datos, este método se utiliza cuando el número de observaciones es muy grande.

Ejemplo: En un curso de 40 alumnos, se desea estudiar el comportamiento de la variable estatura, registrándose los siguientes valores:

1,52 1,64 1,54 1,64 1,73 1,55 1,56 1,57 1,58 1,58 1,59 1,53 1,60 1,60 1,61 1,61 1,65 1,63 1,79 1,63 1,62 1,60 1,64 1,54 1,65 1,62 1,66 1,76 1,70 1,69 1,71 1,72 1,72 1,55 1,73 1,73 1,75 1,67 1,78 1,63 Serie simple: Completa los cuadros siguientes, ordenando los datos obtenidos.

Alumno Talla Alumno Talla Alumno Talla Alumno Talla

1 1,52 11 21 31

2 1,53 12 22 32

3 1,54 13 23 33

4 1,54 14 24 34

5 1,55 15 25 35

6 1,55 16 26 36

7 1,56 17 27 37

8 1,57 18 28 38

9 1,58 19 29 39

10 1,58 20 30 40

Agrupación de datos por serie o distribución de frecuencias: se registra la frecuencia de cada valor de la variable. La frecuencia puede ser absoluta (f), número que indica la cantidad de veces que la variable toma un cierto valor, relativa (fr), cociente entre la frecuencia absoluta de cada valor de la variable y el número total de observaciones; relativa porcentual que es el porcentaje de la fr; frecuencia Acumulada la suma de la fi y la acumulada porcentual, que en la suma de fr%. Volviendo al ejemplo anterior, completa la tabla de serie de frecuencias.

x (tallas) Absoluta fi

Relativa fr = f/n

R. Porcentual (100.fr) %

Acumulada Fa

Ac. Porcentual Fa %

1,52 1 1/40 = 0,025 2,5 % 1 2,5%

1,53 1 1/40 = 0,025 2,5% 2 5%

1,54 2 2/40 = 0,05 5% 4 10%

1,55

1,56

43

1,57

1,58

1,59

1,60

1,61

1,62

1,63

1,64

1,65

1,66

1,67

1,68

1,69

1,70

1,71

1,72

1,73

1,74

1,75

1,76

1,77

1,78

1,79

¿A cuánto es igual el total de la columna de frecuencias absolutas? ¿Por qué? ................................................................................................................................... ¿A cuánto es igual el total de la columna de frecuencias relativas? ¿Por qué? ................................................................................................................................... ¿Y el total de la columna de porcentajes? ...................................................................................................................................

Agrupación de datos por intervalos de clase: intervalos iguales en los que se divide el número total de observaciones. Es conveniente utilizar los intervalos de clase cuando se tiene un gran número de datos de una variable continua. ¿Cómo saber cuántos intervalos considerar? ¿Cómo determinar su amplitud?

Primero debemos determinar el rango de los datos, que es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores obtenidos.

Rango = xmáx – xmín Calcula el rango de los datos de nuestro ejemplo. Luego debemos establecer el número de intervalos (N) y determinar la amplitud (A) de los

mismos. A = rango / N (N tú lo eliges, pero es conveniente que no sea muy pequeño)

Si queremos trabajar con 10 intervalos, ¿cuál es, para nuestro caso, la amplitud de cada uno

de ellos? De ser necesario, podemos aproximar el valor hallado

44

Siendo el primer intervalo [1,52; 1.55) completa la tabla con todos los restantes. Observa que el extremo izquierdo del intervalo se usa un corchete “ [“, lo que indica que tomamos este valor, en cambio en el derecho usamos “ ) “ que nos indica que el intervalo es abierto, o sea, no se toma este valor. La Marca de clase es el promedio aritmético de los extremos del intervalo.

Tallas Marca de clase (MC)

fi fr fr% Fa Fa%

[1,52 ; 1.55) 1,535

[1,55 ; 1,58) 1,565

[1,58 ; 1,61) 1,595

Totales

Actividad de Evaluación # 8

Investiga sobre el número de hermanos de cada alumno de tu curso y dispone los datos obtenidos en una serie o distribución de frecuencias.

Estas son las notas obtenidas por los 100 candidatos que se presentaron a un concurso:

38 51 32 65 25 28 34 12 29 43 71 62 50 37 8 24 19 47 81 53 16 62 50 37 4 17 75 94 6 25 55 38 46 16 72 64 61 33 59 21 13 92 37 43 58 52 88 27 74 66 63 28 36 19 56 84 38 6 42 50 98 51 62 3 17 43 47 54 58 26 12 42 34 68 77 45 60 31 72 23 18 22 70 34 5 59 20 68 55 49 33 52 14 40 38 54 50 11 41 76

Presenta dichos datos en una tabla de intervalos de clase. En una cierta ciudad de la provincia de Valdivia, se registra el número de nacimientos

ocurridos por semana durante las 52 semanas del año, siendo los siguientes los datos obtenidos:

6 4 2 8 18 16 10 6 7 5 12 8 9

12 17 11 9 16 19 18 18 16 14 12 7 10

45

3 11 7 12 5 9 11 15 9 4 1 6 11 7 8 10 15 3 2 13 9 11 17 13 12 8

Confecciona una tabla de intervalos de clase. Las edades de veinte chicos son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11,

13, 12, 10 y15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias. ¿Qué porcentaje de chicos tienen 12 años? ¿Cuántos chicos tienen menos de 14 años?

En cada día del mes de enero, en el camping Iglú hubo la siguiente cantidad de turistas: 12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38, 40, 43, 41, 45, 50, 53, 58. Construye una tabla de frecuencias para estos datos.

Gráficos: la recopilación de datos y la tabulación pueden traducirse gráficamente mediante

representaciones convenientemente elegidas: barras, sectores circulares, mapas curvas, etc. Los gráficos permiten visualizar e interpretar el fenómeno que se estudia, en forma más clara. Las barras se utilizan generalmente para representar atributos cualitativos o cuantitativos discreto. La longitud es igual a la frecuencia de cada observación. Pueden ser barras simples o múltiples, según se trate de representar uno o más atributos. Las barras pueden ser horizontales o verticales.

Gráfico de barras compuesto: Remuneraciones medias (año Z)

0

100

200

300

400

500

600

Enero Febrero Marzo

Industrial

Bancario

Adm. Pública

Educativo

Comercio

0 20 40 60

Gráf. de barras: Evaluación

neutra

negativa

positiva

46

Los gráficos circulares o gráficos de torta son útiles para comparar datos pues, en general, trabajan con porcentuales. El área de cada sector representa el porcentaje que corresponde a la frecuencia de un cierto valor de la variable. Esta representación es conveniente cuando el número de sectores es pequeño y sus áreas están bien diferenciadas.

Evaluación en gráfico circular

El histograma se utiliza para representar una tabla de frecuencias de intervalos de clase. Sobre el eje horizontal se representan los intervalos de clase y sobre el eje vertical, las frecuencias de los intervalos. El gráfico consiste en un conjunto de rectángulos adyacentes cuya base representa un intervalo de clase y cuya altura representa la frecuencia del intervalo. El polígono de frecuencias se construye uniendo los puntos medios de los lados opuestos de las bases de cada rectángulo. Si se quiere cerrar el rectángulo, se agregan dos intervalos: uno anterior y otro posterior al último y se prolonga el polígono hasta los puntos medios de estos intervalos. Las curvas se utilizan generalmente para representar la variación de una variable a través del tiempo (años, meses, horas, etc.). Sobre el eje horizontal figuran los períodos de tiempo. Variación del valor de las importaciones y exportaciones Estas son sólo algunas de las formas posibles de graficación y las que encontrarás con más

positiva

negativa

neutra

positiva

negativa

neutra

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

importación

exportación

47

frecuencia.

Análisis y medición de datos Para describir un conjunto de datos, se calculan algunas medidas que resumen la información y que permiten realizar comparaciones.

Medidas de posición: se utilizan para encontrar un valor que represente a todos los datos. Las más importantes son: la media aritmética, la moda y la mediana.

La media aritmética o promedio ( x ) de varios números se calcula como el cociente entre la suma de todos esos números y la cantidad de números que sumamos.

La moda (Mo) es el valor que más se repite. Puede suceder que haya más de una moda o ninguna (si todos los valores tienen igual frecuencia).

La mediana (Me) es el valor que ocupa el lugar central al ordenar los datos de menor a mayor. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos valores centrales.

Los sueldos de cinco empleados de una empresa son: $ 400000, $500000, $450000,

$600000 y $3500000. Calcula el sueldo medio, la moda, si es que existe, y la mediana e indica cuál representa mejor a los datos.

CALCULOS DE ESTADIGRAFOS EN DATOS TABULADOS Si los datos están agrupados ya sea en tablas de frecuencias simples o en intervalos de clase, debemos utilizar un criterio diferente para calcular los distintos estadígrafos. Analicemos el siguiente ejemplo: Consideremos la siguiente distribución de frecuencias que corresponden a los puntajes de 50 alumnos en una prueba.

Intervalos M.C. (x)

fi f·x Fa

[60 – 65) 62,5 5 312.5 5

[65 – 70) 67,5 5 337.5 10

[70 – 75) 72,5 8 580 18

[75 – 80) 77,5 12 930 30 Intervalo mediano

[80 – 85) 82,5 16 1320 46 Intervalo modal

[85 – 90) 87,5 4 350 50

TOTALES 50 3830

La Media Aritmética:

f

xfx

· 6.76

50

3830x ptos. 77 ptos.

48

Para calcular La Mediana necesitamos la siguiente fórmula:

i

a

f

AFn

LMe

·2

En el ejemplo, la cantidad de datos es 50, luego 50 : 2 = 25, y la Fa 25 se encuentra en el intervalo [75 – 80) ya que el 25 está aquí, en cambio en la anterior (18) no está. Luego el intervalo mediano es [75 – 80) Entonces: L = 75 (límite inferior) fi = 8 A = 5 (80 – 75 = 5) Fa = 18 (frecuencia acumulada del intervalo anterior)

375.79375.4758

5·775

8

5·182

50

75

Me 79 ptos.

Y finalmente, para calcular la Moda en datos agrupados, utilizamos la siguiente fórmula, teniendo presente que la clase modal es la que tiene mayor frecuencia, y esta es la Frecuencia Modal.

Add

dLMo ·

21

1

L = 80 (intervalo modal [80 – 85), ya que la frecuencia es 16, que es la mayor) d1= 16 – 12 = 4 (diferencia con la frecuencia anterior) d2= 16 – 4 = 12 (diferencia con la frecuencia siguiente) A = 5

Luego, 25,8116

20 80 5 ·

124

480

Mo puntos. 81 puntos.

Se estima que el valor más repetido de los puntajes de esta prueba fue el 81.

Actividad de Evaluación # 9 1) Los siguientes datos numéricos corresponden a la cantidad de veces que cada alumno de un grupo ha ido a un recital o concierto. 2 – 4 – 3 – 2 – 1 – 1 – 6 – 3 – 0 – 3 – 2 – 4 – 6 – 9 – 3 – 2 – 1 – 6 Calcula, sin tabular, Media, moda, mediana, desviación, n, rango.

Dónde: L es el límite inferior del intervalo

mediano.

Fa es la frecuencia acumulada hasta antes

del

intervalo mediano.

L: Límite real inferior de la clase modal.

d1: es la diferencia entre la frecuencia modal y la

frecuencia anterior.

d2: es la diferencia entre la frecuencia modal y la

frecuencia siguiente.

49

2) En un diagnóstico de educación física se pidió a los alumnos de los cuartos medios que hicieran abdominales durante 3 minutos. Se obtuvieron los siguientes resultados: 4º A: 45 38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47 48 54 33 45 44 41 34 36 34 54 4º B: 43 45 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37 45 28 42

41 49 40 37 34 44 41 43 ¿Cuál de los dos cursos tiene el rendimiento más parejo? ¿Qué distribución estadístico permite comparar la distribución de este tipo de datos? 3) A continuación se presentan los resultados de ambos cursos en la prueba de diagnóstico de salto largo. 4º A : 3.2 3.5 4.9 5.0 3.1 4.1 2.9 2.8 3.8 4.5 4.3 4.5 4.1 5.8 3.9 3.6 4.2 4.6 1.9 2.8 2.9 3.3 3.9 4.2 4.1 4.3 4.6 4.4 3.8 3.6 4º B : 3.5 2.9 1.3 1.7 3.6 5.6 2.8 5.2 5.3 4.1 4.1 4.4 1.6 5.1 4.3 5.0 5.3 3.2 2.8 2.6 5.5 5.4 4.8 4.9 4.3 2.9 3.9 5.4 5.3 4.2

a) Calcula el promedio de ambos cursos. b) Construye una tabla de frecuencias para cada curso c) ¿Cuál de los dos cursos tuvo un rendimiento más parejo?

4) Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los siguientes datos: 175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176 166 167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173 173 174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178 180 169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173 Agrupa estos resultados en 8 intervalos y confecciona una tabla de frecuencias y calcula las medidas de tendencia central y de dispersión. Además, grafica esta tabla. 5) A los mismos alumnos anteriores se les aplico una prueba de inteligencia, estos han sido: 87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82 141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101 118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91 Agrupa los datos en intervalos de amplitud 8. Y haz lo mismo que en problema anterior.

Tema # 2. Probabilidades CONCEPTOS:

50

La palabra probabilidad permite cuantificar la posibilidad de que ocurra un evento. Los eventos que tienen distintos resultados a pesar de suceder en las mismas condiciones y circunstancias, se llaman fenómenos aleatorios o estocásticos. Es decir su resultado, que depende del azar, se sabe una vez realizado el evento. En un experimento aleatorio no es posible predecir el resultado aun cuando se realice en las mismas circunstancias. Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. Probabilidad es el número a que tiende a estabilizarse la frecuencia de cada suceso.

EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD A PRIORI El cociente entre la cantidad de casos favorables que tiene un evento A y el espacio muestral (número de casos posibles) es la probabilidad a priori.

posibles casos de numero

favorables casos de numero)A(P

Ejemplo 1: En una bolsa hay 3 bolas verdes y cuatro amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola azul?

P(azul) = 07

0

universo

favorables casos

Es decir, podría suceder que exista una probabilidad nula, es decir no hay ninguna probabilidad de sacar una bola azul. (Probabilidad imposible) Ejemplo 2: En una bolsa hay 15 bolas verdes ¿Cuál es la probabilidad de sacar una verde?

P(verde) = 115

15

universo

favorables casos

En este caso existe cien por ciento de que el suceso ocurra. Es una Probabilidad segura. Por lo tanto, todas las demás probabilidades estarán entre 0 y 1.

Actividad de Evaluación # 10

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un cuatro al lanzar un dado? 2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as desde un juego de naipes españoles?

51

3. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolilla roja de una caja que contiene 5 bolillas rojas, 18 azules y 7 negras?

4. En un equipo de fútbol están en el campo de juego: 5 delanteros, 3 medio campistas, 2

zagueros y el guardavallas. Se lastima uno de los jugadores, ¿cuál es la probabilidad de que sea un delantero o un zaguero el que se lesione?

5. Al lanzar tres monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos caras? 6. Al tirar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener como suma siete? 7. Juan y Pedro tienen dos dados. Juan tira primero y obtiene ocho puntos. ¿Cuál es la

probabilidad que tiene Pedro para ganar? 8. De un mazo de 52 cartas se puede tomar 1 carta. ¿Cuál es la probabilidad para que ésta

sea un mono? 9. En una caja hay 12 bolas negras y 8 bolas verdes. Qué probabilidad hay de

a) sacar una bola negra b) sacar una bola verde

10. Hay 16 monedas de $ 100.; 22 monedas de $ 50 y 12 de $ 10. Al sacar una moneda ¿cuál

es la probabilidad de sacar una moneda de $100? 11. ¿Cuál es la probabilidad de que existan alumnos que se llamen Luis en tu curso?

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES.

Se dice que un evento A es independiente de B en caso de que a suceda no interesa si B ocurrió o no.

Entonces para dos eventos independientes:

P( A y B ) = P(A) P(B)

Ejemplo: Si en una baraja de 52 cartas de naipes ingleses, ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar un as y luego un rey?

En efecto, P(as) = 13

1

52

4 , luego P(rey) =

51

4

P(un as y un rey) = P(as) P(rey) =13

1 51

4 = 0,006 = 0,6%

52

Actividad de Evaluación # 11

1. En una caja de doce huevos hay tres quebrados. Se extrae uno y luego un segundo huevo de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan los dos quebrados?

2. Se reúne el comité directivo de un club de fútbol para decidir si despiden o no al

entrenador. Cinco quieren despedirlo y tres no quieren. Viene un reportero e interroga a dos de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos opinen que hay que despedirlo? ¿Cuál es la probabilidad de que los dos opinen que hay que renovarle el contrato?

3. Determina cuáles de los siguientes pares son eventos independientes:

a. ser enfermero y tener pelo castaño b. estar bebido y tener un accidente de tránsito c. ser una persona simpática y seria

4. Al lanzar dos dados de distinto color, uno rojo y uno blanco, ¿cuál es la probabilidad de que en el rojo salga un número par y que en el blanco salga un número menor o igual a 4?

5. De treinta bolitas que hay en una caja, 12 son negras , 10 son azules y el resto blancas, ¿

Cuál es la probabilidad de sacar : a. dos negras, 5 azules y 2 blancas b. tres blancas, dos negras y 2 azules c. ocho azules, tres blancas y 5 negras

Técnicas de Conteo

Notación factorial Se usa la notación n! para denotar el producto de los enteros positivos desde 1 hasta n.

Permutación:

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación.

RECORDAR 1) n! = 1 x 2 x 3 x ................ x n 2) 0! = 1 3) 1! = 1 4) n! = (n – 1)! x n

53

Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). Solución:

a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).

¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?

Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos.

b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación:

Cambios:

Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación? Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos? La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones. A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.

n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n. n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n Ejem:

10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800

8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320

6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.

PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael Daniel

SECRETARIO: Arturo Daniel Daniel Rafael

TESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo

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Obtención de fórmula de permutaciones. Para hacer esto, partiremos de un ejemplo. ¿Cuántas maneras han de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?

Solución: Haciendo uso del principio multiplicativo, 14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros cuatro lugares del concurso Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar. Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.

14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x.......... x (n – r + 1) Si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces = n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)! = n!/ (n – r)!

Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:

Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. Entonces, ¿qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los objetos con que se cuenta? Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces. nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces nPn= n! Ejemplos:

1) ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

Solución: Por principio multiplicativo:

25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc. Por Fórmula:

)!rn(

!nPrn

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n = 25, r = 5 25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)= = 6,375,600 maneras de formar la representación

2) ¿Cuántos puntos de tres coordenadas (x, y, z), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.

Solución:

a. Por fórmula: n = 6, r = 3 6P3 = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo b. Por el principio multiplicativo: 6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles ¿Cuál es la razón por la cual no se utiliza en este caso la fórmula?

No es utilizada debido a que la fórmula de permutaciones sólo se usa cuando los objetos no se

repiten, esto quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a tener

coordenadas cuyos valores son diferentes ejem:(1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras

que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores

diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadas un mismo

valor ejem:(1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc.

Combinaciones:

Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

Ejercicio:

¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de

tres letras, seguidas de cuatro dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los

números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y

números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las

claves del inciso X empiezan por la letra W y terminan por el número 1?

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La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos Donde se observa que,

La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas. nPr = nCr r! Y si deseamos r = n entonces; nCn = n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! = 1 ¿Qué nos indica lo anterior? Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo. Ejemplos:

1) Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del ITSON, cuántos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, y si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?

Solución: a. n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5! = 2002 grupos Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres. b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5 En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres

!r)!rn(

!nCrn

!r

pC rn

rn

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8C3*6C2 = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!) = (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!) = 8 x7 x 6 x 5 /2! = 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas

2) Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a. ¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b. ¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c. ¿Cuántas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?

Solución: a. n = 12, r = 9 12C9 = 12! / (12 – 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, El alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen. b. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que están las

dos primeras preguntas c. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que está una de las

tres primeras preguntas

TEXTOS SUGERIDOS PARA LA INVESTIGACIÓN Algebra Baldor

Algebra Mancil

Algebra Ardura

Sugerencia de texto para la investigación:

Algebra de Boole

Logikamente Matemática

Algebra y Trigonometría - Louis Leithold Geometría Analítica - Lehmann

Calculo Diferencial e integral Schaum

Ejercicios:

1. Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene ¿Cuántas maneras tiene

de invitarlos?

2. ¿Cuántas maneras hay de repartir 15 muñecas entre tres niñas, si se desea darle 3 la

primera niña, 10 a la segunda niña y 2 al tercera niña?

3. ¿Cuántas maneras hay de repartir 20 botellas entre 4 personas?

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Bibliografía

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