LOGO

ALJABAR ABSTRAK

Dosen Pembimbing

Gisoesilo Abudi

Materi Pokok

OPERASI BINER

G R U P

SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP

SUB GRUP

GRUP SIKLIK

ALJABAR ABSTRAK

Tujuan Instruksional Umum

Setelah mempelajari materi ini, Anda dapat memahami tentang operasi

biner, grup dan sifat-sifat sederhana dari grup, subgrup

serta tentang grup siklik

Pertemuan Kedua

G r u pG r u p

Ke Materi KetigaKe Materi Ketiga

1. Definisi 2. Teorema3. Contoh Soal

4. Latihan / Tugas

Teorema

Misalkan G suatu grup, maka ∀ a,b ∈ G berlaku

(i) (a-1)-1 = a dan

(ii) (ab)-1= b-1 a -1.

Contoh: Grup P(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9.

1-1 = 1 ; 2-1 = 5 ; 4-1 = 7

5-1 = 2 ; 7-1 = 4 ; 8-1 = 8

(7-1)-1 = 7 ; (5-1)-1 = 5 ; (8-1)-1 = 8

Teorema

Apabila G suatu grup, maka ∀ a,b,c ∈ G berlaku :

(i) Jika ab = ac, maka b = c (sifat kanselasi kiri)

(ii) Jika ac = bc, maka a = b (sifat kanselasi kanan).

Teorema Jika G suatu grup, maka ∀ a,b ∈ G, persamaan-

persamaan xa = b (persamaan kiri) dan ay = b (persamaan kanan),

masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal.

Contoh:

Diketahui P(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9 adalah suatu grup.

2x = 1 7x = 8

5 . 2x = 5 .1 (?) 4.7x = 4.8 (?)

x = 5 x = 5

Defenisi

Misalkan G suatu grup, a ∈ G dan m suatu bilangan bulat positif, maka

am = a a a ..... a sebanyak m faktora-m = (a-1)m dengan a-1 adalah invers dari a.a 0 = e (elemen identitas).

Teorema

Misalkan G suatu grup, m dan n sembarang bilangan bulat, maka ∀ a ∈ G berlaku :

(i) am an = am+n

(ii) (am)n = amn am bm = (ab)m

Contoh:

Diketahui P(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} dengan × mod 15 adalah suatu grup.

28 = 1 ; 2-18 = 4 ; 48 = 1 ; 7-48 = 1

11-25 = 11 ; 1342 = 4 ; 8802 = 4 ; 14-487 = 14

Definisi

Misalkan G suatu grup dan a ∈ G.Periode (order) dari a (diberi symbol o(a) atau

p(a)atau |a|) adalah suatu bilangan bulat positif terkecil,

misalnya m, sedemikian hingga am = e.

Jika tak ada bilangan bulat yang demikian, maka dikatakan bahwa order dari a adalah tak hingga.

Contoh

Diketahui P(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9 adalah suatu grup.

o(1) = 1, o(2) = 6, o(4) = 3,

o(5) = 6 , o(7) = 3 , o(8) = 2

Misalkan a suatu elemen dari suatu grup dengan o(a) = 6. Tentukan o(a2), o(a3), o(a4) dan o(a5).

Jawab:

o(a) = 6 6 adalah bilangan bulat positif dengan a6 = e.

(a2)3 = a6 = e, maka o(a2) =3

(a3)2 = a6 = e, maka o(a3) =2

(a4)3 = (a6 )2 = e, maka o(a4) =3

(a5)6 = (a6 )5 = e, maka o(a5) =6

Contoh Soal

Misalkan G suatu grup berhingga dan a ∈ G, buktikan bahwa ada bilangan bulat positif n sedemikian hingga an = e.

JAWAB:G suatu grup dan a ∈ G a2, a3, a4, ... ∈ G.

Tetapi, karena G berhingga, maka ada pengulangan penulisan dari elemen-elemen sebagai perpangkatan dari a tersebut. Apa artinya?

Yaitu ada bilangan-bilangan bulat m dan k dengan m > k, sedemikian hingga :

am = ak

am-k = e

Jadi n = m – k dan an = e.

Contoh Soal

Latihan

1. Jika G suatu grup berhingga, tunjukkan bahwa ada suatu bilangan bulat n sedemikian hingga an = e untuk semua a

∈ G.

2. Jika G suatu grup berhingga yang berorder genap, buktikan bahwa banyaknya elemen yang inversnya dirinya sendiri , selain elemen identitas adalah ganjil.

Latihan

3. Jika G grup abelian yang berhingga dan a1, a2, . . . , an adalah elemen-elemennya, tunjukkan bahwa (a1a2 . . . an)2 = e.

 4. Jika G grup abelian berorder ganjil,

apakah hasilkali dari semua elemennya?

Latihan

5.Misalkan G suatu grup yang

memenuhi (ab)3 = a3b3 dan (ab)5= a5b5, untuk semua a,b ∈ G. Tunjukkan bahwa G suatu grup abelian!

LOGO

Selamat Belajar