Calcul différentiel - ?· Chapitre 1 Calcul différentiel L’idée du calcul différentiel est d’approcherauvoisinaged’un…

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    10-Sep-2018

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<ul><li><p>Chapitre 1</p><p>Calcul diffrentiel</p><p>Lide du calcul diffrentiel est dapprocher au voisinage dun point une fonction fpar une fonction plus simple (ou dapprocher localement le graphe de f par un espaceplus simple).</p><p>Une fois les notations assimiles, les mthodes et les rsultats du calcul diffrentielsont naturels : ce sont les mmes que pour ltude des fonctions dune variable relle.On est ainsi amen</p><p> tudier la restriction des fonctions le long dune droite comme, par exemple, pourdmontrer les formules de Taylor. gnraliser les outils familiers en dimension 1 comme les changements de variables,lingalit des accroissements finis, etc.Ce chapitre prsente les rsultats essentiels qui exploitent ces ides. Nous insistons</p><p>sur leur mise en situation, en particulier en optimisation et pour ltude des fonctionsconvexes. Nous nous appuyons rgulirement sur le livre de Franois Rouvire [rou]qui est une excellente rfrence sur le sujet.</p><p>Prliminaires</p><p>Les dfinitions et les rsultats sont valides dans les espaces de Banach rels.Cependant, la dimension infinie amne des problmes qui sont secondaires en cal-cul diffrentiel (la dpendance vis--vis de la norme et la non-continuit automatiquedes applications linaires). On a alors besoin de rsultats sur les espaces de Banachcomme par exemple le thorme de linverse continue de Banach (voir [br, II.6]).Comme la plupart des illustrations et des exemples que nous proposons ont pourcadre la dimension finie, nous avons choisi de ne pas nous attarder sur ces questions.</p><p>Dans cette section, E, F et G dsignent des R-espaces vectoriels norms. Sauf men-tion explicite du contraire, ils sont supposs de dimension finie. La norme est note indpendamment de lespace.</p><p>1.1 Diffrentiabilit</p><p>Les applications diffrentiables en un point a sont celles qui peuvent tre appro-ches au voisinage de a par une application affine. Intuitivement, le graphe de f ressemble localement un espace affine Ta.</p></li><li><p>2 Chapitre 1 Calcul diffrentiel 1.1.1</p><p>y = f(x)</p><p>a</p><p>Ta</p><p>x</p><p>y</p><p>x0</p><p>x0y0</p><p>z = f(</p><p>(</p><p>x,</p><p>,</p><p>y)</p><p>)a = y0</p><p>Ta</p><p>Fig. 1.1 Diffrentiabilit dune fonction de R dans R et dunefonction de R2 dans R</p><p>1.1.1 Applications diffrentiables</p><p>Diffrentiabilit</p><p>Soient U un ouvert de E et f : U F. On dit que f est diffrentiable en a U silexiste une application linaire (continue) de E dans F telle que</p><p>f(a + h) = f(a) + (h) + o (h),</p><p>quand h tend vers 0. Cette application est unique (voir [rdo3, 8.1.1.1]) : on lap-pelle la diffrentielle de f en a. On choisit de la noter df(a) (dautres notationscourantes sont f (a) ou Df(a)). Insistons : df(a) est une application linaire (conti-nue) de E dans F. On note souvent df(a) h F sa valeur prise en h E.</p><p>Exemple 1.1 Applications affines. Une application affine est la somme duneapplication constante et dune application linaire.</p><p>Une application constante est diffrentiable partout et sa diffrentielle en toutpoint est lapplication nulle. La rciproque est vraie si U est connexe (voir lapplica-tion 1.14). Ainsi lapplication diffrentielle dune application constante est elle-mmeconstante et, par suite, une fonction constante est de classe C.</p><p>Dautre part, une application f linaire (continue) est diffrentiable partout, etelle est sa propre diffrentielle en tout point :</p><p> h E, df(a) h = f(h).Lapplication diffrentielle est ainsi lapplication constante df : x f . Une applica-tion linaire (continue) est donc de classe C. Bref, une application affine (continue)est de classe C.</p><p>Exemple 1.2 Diffrentielle dun produit . Soit B une application bilinaire(continue) dun produit EF dans G. Alors B est diffrentiable en (a, b) E F et</p><p> (h, k) E F, dB(a, b) (h, k) = B(a, k) + B(h, b).</p><p>En particulier, on peut diffrentier le produit scalaire dun espace euclidien (voirlexemple 1.12).</p></li><li><p>1.1.1 Diffrentiabilit 3</p><p>Exemple 1.3 Dans les espaces de matrices. Lanalyse matricielle regorgedexemples intressants.</p><p>Lors de la dmonstration du lemme 1.31 de Morse, on sintresse la diffrentiellede lapplication M Mn(R) tMA0M Sn, o A0 Sn.Le calcul de la diffrentielle de linverse sur GLn(R) est fait directement danslexercice 16 de [rou] ou via les drives partielles dans lexercice 7 de [gou2, p.309].La premire mthode prsente lavantage dtre valable en dimension infinie et afait lobjet de la troisime partie du sujet danalyse de 1999.la diffrentielle du dterminant M Mn(R) det(M) R est un autre exempleclassique. (voir lexercice 25 de [rou] ou lexercice 7 de [gou2, p.309] ainsi quuneapplication lexercice 1.5).</p><p>Exemple 1.4 Sandwich. Soient f : ER et a E.Considrons deux applications</p><p>m : ER et M: ER</p><p>diffrentiables en a avec la mme diffrentielledm(a) = dM(a) en a et vrifiant</p><p>m(a) = f(a) = M(a)</p><p>et m(y) f(y) M(y)pour y proche de a. Alors f est diffrentiableen a, avec df(a) = dm(a) = dM(a).</p><p>a</p><p>f</p><p>m</p><p>M</p><p>Ce rsultat exprime simplement ce qui est vident sur un dessin : une courbeprise en sandwich entre deux courbes ayant la mme tangente admet cette mmetangente. Dmontrons ce rsultat. Posons = dm(a) = dM(a) et crivons, pourtout h suffisamment petit,</p><p>m(a + h) f(a + h) M(a + h).</p><p>Do m(a + h) m(a) f(a + h) f(a) M(a + h) M(a)</p><p>cest--dire (h) + o (h) f(a + h) f(a) (h) + o (h).</p><p>Finalement f(a + h) f(a) = (h) + o (h), ce qui permet de conclure.</p><p>Remarque 1.5 Identifications. Ajoutons que deux identifications sont utilises enpermanence en calcul diffrentiel : lune concernant la diffrentielle seconde, lautreles fonctions dune variable relle.</p><p>Soit f : EF une application deux fois diffrentiable en a. Cette hypothse im-pose f dtre diffrentiable dans un voisinage de a. Pour tout x dans ce voisi-nage, df(x) appartient L (E, F), et donc la diffrentielle au point a de lapplica-tion x df(x) appartient L (E, L (E, F)). Cet espace est identifi avec lespaceL2(E, F) des applications bilinaires de E dans F grce lisomorphisme{</p><p>L (E, L (E, F)) L2(E, F)u ((h, k) u(h)(k)) .</p><p>qui est en fait une isomtrie si lon munit les espaces de leurs normes canoniques.</p></li><li><p>4 Chapitre 1 Calcul diffrentiel 1.1.1</p><p>La deuxime identification prcise pourquoi la diffrentiabilit est bien une exten-sion de la drivabilit. Soit f : RF. La diffrentiabilit en a quivaut (par dfinition) la drivabilit en a, et la diffrentielle est h f (a)h. Ainsi, avec lisomorphisme{</p><p>L (R, F) Fu u(1),</p><p>on identifie drive et diffrentielle. Notez que certains livres (comme [cia]) parlentdapplications drivables pour dire diffrentiables , et de drives pour dire diffrentielles .</p><p>Drives directionnelles</p><p>Soit f une application dun ouvert U de E dans F. On dit que f est drivable ena U selon h E si la fonction partielle t f(a + th) est drivable en 0. Sa driveest la drive partielle ou la drive directionnelle de f dans la direction h. On la note</p><p>f</p><p>h(a) ou</p><p>f</p><p>xi(a) si h = ei et (e1, . . . , en) une base de E.</p><p>Certains ouvrages utilisent dautres notations, comme hf(a) ou Dhf(a).</p><p>v u</p><p>x f(x, y0) y f(x0, y)</p><p>y</p><p>z = f(x, y)</p><p>x</p><p>u =</p><p>10</p><p>f</p><p>x</p><p>v =</p><p>01</p><p>f</p><p>y</p><p>Fig. 1.2 Drives directionnelles dune fonction de R2 dans R</p><p>Si f est diffrentiable en a U , alors les drives directionnelles en a existent eton a lgalit</p><p>f</p><p>h(a) = df(a) h.</p><p>La rciproque est fausse : lexistence des drives partielles dans toutes les direc-tions nimplique pas la diffrentiabilit. Cest bien naturel puisque la connaissancedu comportement des fonctions partielles (mme dans toutes les directions) ne donnedinformation sur le comportement de f que sur les droites issues de a. Or, dans ladfinition de la diffrentielle, h peut tendre vers 0 en tournant autour .</p><p>Contre-exemple 1.6 Soit lapplication dfinie par f(x, y) = y2/x si x = 0 etf(0, y) = y sinon. Elle est drivable en (0, 0) dans toute direction, mais elle nest mmepas continue. Cet exemple est propos dans [rdo3, 8.1.1.5] et corrig lexercice 1de [gou2, p.305]. Lide gomtrique est dapprocher (0, 0) en tournant (le long de laparabole x = y2). On a f(y2, y) = 1 et donc f(y2, y) ne tend pas f(0, 0) = 0 quandy tend vers 0. Bref, f nest pas continue en (0, 0) donc pas diffrentiable en (0, 0).</p></li><li><p>1.1.1 Diffrentiabilit 5</p><p>Remarque 1.7 Affine VS vectoriel. En calcul diffrentiel, lespace de travailpossde une structure despace vectoriel et donc aussi une structure despace af-fine. Il nest pas toujours dsirable de distinguer vecteurs et points, mais il est bonde garder lesprit la cohabitation des deux en calcul diffrentiel. Par exemple,pour la drive directionnelle, on drive une fonction en un point dans la directiondun vecteur.</p><p>Gradient</p><p>Soient (E, , ) un espace euclidien (ou un espace de Hilbert) et f : ER uneapplication diffrentiable en a E. Par dfinition, df(a) est une forme linaire (conti-nue) sur E. Daprs le thorme 3.29, il existe un unique vecteur de E, not f(a),tel que</p><p>df(a) h = f(a), h pour tout h E.</p><p>On lappelle gradient de f en a. Remarquez que le gradient dpend du produit scalairechoisi sur E.</p><p>z = f(x, y</p><p>y</p><p>x</p><p>)</p><p>f(a1</p><p>a1</p><p>)f(a0</p><p>a0</p><p>)</p><p>{(x, y) f(x, y = z0}, )</p><p>(a1 f(a1)),(a0 f(a0)),</p><p>Fig. 1.3 Gradient dune fonction de R2 dans R</p><p>Si E = Rn muni de sa structure euclidienne canonique, il y a essentiellement deuxmthodes pour calculer le gradient :</p><p>en revenant la dfinition,via les drives partielles</p><p>f(a) =(</p><p>f</p><p>x1(a), . . . ,</p><p>f</p><p>xn(a)</p><p>).</p><p>Attention, ce nest pas parce que toutes les drives partielles existent que levecteur des drives partielles est gal au gradient. En effet, le gradient nest dfinique pour des applications diffrentiables. De plus, cette notion ne concerne que lesfonctions valeurs dans R.</p><p>Remarque 1.8 Interprtation gomtrique. Gomtriquement, le gradient en a(suppos non nul) peut sinterprter de trois manires.f(a) indique la direction de la plus forte pente de f en a (voir [rou, ex.27]).Le graphe de la fonction f est une hypersurface de ER dont lespace tangent estlorthogonal de (f(a),1).</p></li><li><p>6 Chapitre 1 Calcul diffrentiel 1.1.2</p><p>f(a) dirige la normale lhyperplan tangent en a lhypersurface </p><p>S = {x E, f(x) = f(a)}.</p><p>Si lon trace sur S une courbe drivable qui passe par a en t = 0, son vecteurtangent (0) est orthogonal f(a) (pour le voir, driver par rapport t lgalitf (t) = f(a)).</p><p>Le cadre justifiant proprement tout ceci est celui des sous-varits (auquel [rou, Ch.5]est une bonne introduction).</p><p>1.1.2 Lemme fondamental de composition</p><p>Le lemme technique suivant est extrmement important : il gnralise la formulede drivation des fonctions composes et il est dusage permanent.</p><p>Lemme 1.9 Diffrentiabilit dune compose. Soient U un ouvert de E, V unouvert de F et a un point de U tel que f(a) V . Si f : U F et g : V G sontdiffrentiables respectivement aux points a et f(a), alors g f est diffrentiable aupoint a et</p><p>d(g f)(a) = dg (f(a)) df(a) .</p><p>Pour dmontrer ce lemme, il suffit dcrire le dveloppement limit de g f en aau premier ordre (voir [rou, Ch.2] pour le schma de la preuve et [rdo3, 8.1.2] pourles dtails).</p><p>Lidentit dEuler donne un exemple dutilisation de ce lemme (voir [rou, ex.20]).Par ailleurs, en appliquant ce lemme une fonction bijective f et son inverse,on obtient le rsultat suivant.</p><p>Application 1.10 Diffrentielle de la rciproque. Soit f : U E F unebijection de U sur f(U). Si f est diffrentiable en un point a U et si f1 estdiffrentiable au point f(a), alors df(a) est un isomorphisme de E sur F et</p><p>d(f1)(f(a)) = df(a)1.</p><p>Sous ces hypothses, df(a) ralise donc un isomorphisme entre E et F (qui sont ainside mme dimension).</p><p>Linconvnient de cet nonc est quil exige que de f1 soit diffrentiable en f(a),ce qui est difficile vrifier. Pour y remdier, on ajoute des proprits f (que f soitde classe C 1 et de diffrentielle inversible en a) pour se passer de celles sur f1 (quef soit diffrentiable en f(a)). Cela donne le premier thorme fondamental du calculdiffrentiel : le thorme dinversion locale (voir la section suivante).</p><p>Ajoutons que si f est simplement un homomorphisme, E et F sont aussi de mmedimension, mais cest plus difficile prouver (sauf si E = R car on dispose alors dunargument de connexit, voir lexercice 7 de [gou1, p.46]).</p><p>Exemple 1.11 Restriction un segment. Soit f diffrentiable sur un ouvert Ude E. Pour tous a, b U tels que le segment [ a , b ] soit dans U , lapplication</p><p> :</p><p>{[ 0 , 1 ] F</p><p>t f(a + t(b a))</p><p>est drivable sur [ 0 , 1 ] et (t) = df(a + t(b a)) (b a) pour tout t [ 0 , 1 ].Cest une application directe du lemme de composition 1.9 que lon retrouve trs</p></li><li><p>1.1.3 Diffrentiabilit 7</p><p>souvent, comme par exemple dans la dmonstration de lingalit des accroissementsfinis [rdo3, 8.1.3.1] et celle des dveloppements de Taylor [rdo3, 8.3].</p><p>Exemple 1.12 Norme au carr. Soient (E, , ) un espace euclidien et g unefonction de classe C 1 sur un ouvert U de E. Posons N: x x2 et G = N g. AlorsG est de classe C 1 sur U et</p><p>x U , h E, dG(x) h = 2g(x), dg(x) h.On dmontre ceci en appliquant deux fois le lemme 1.9. Commenons par observer queN est la compose de lapplication linaire i : x (x, x) avec lapplication bilinaireb : (x, y) x, y. Daprs les exemples 1.1 et 1.2, N est diffrentiable et</p><p>dN(x) h = db(i(x))(di(x) h) = db(x, x) (h, h) = x, h + h, x = 2x, h.On en dduit que G est diffrentiable et que</p><p>dG(x) h = dN(g(x)) (dg(x) h) = 2g(x), dg(x) h.On retrouve notamment une fonction de ce type au cours de la preuve du thormedHadamard-Lvy propose dans [zq, p.392]. Remarquez que cette preuve utilise unehypothse supplmentaire de rgularit justement pour pouvoir faire ce calcul.</p><p>1.1.3 Ingalit des accroissements finis</p><p>Lingalit des accroissements finis (parfois appele ingalit de la moyenne) per-met de majorer laccroissement de f entre deux points avec un majorant de la normede sa diffrentielle.</p><p>Thorme 1.13 Ingalit des accroissements finis. Soient U un ouvert de E etf : U F une application diffrentiable sur U . Soit [a , b ] un segment contenu dans U .Sil existe M &gt; 0 tel que df(x) M pour tout x [ a , b ], alors</p><p>f(b) f(a) M b a.</p><p>Ce thorme gnralise lingalit desaccroissements finis pour une uniquevariable relle (voir [rdo3, 4.2.1.1]).Dailleurs, lingalit en dimension su-prieure se montre grce lingaliten une dimension via la fonction delexemple 1.11 (voir [rdo3, 8.1.3.1]).Nous renvoyons aux intressants com-mentaires de [rou, chap.3].</p><p>f (x)|| M</p><p>d = |f(b)f(a)| D = M | a |</p><p>d</p><p>b</p><p>ba</p><p>D</p><p>Remarquons que si f est de classe C 1, lexistence du majorant M est assurepar la compacit du segment [ a , b ] et la continuit de x df(x). Soulignons quilfaut que U soit convexe pour appliquer lingalit entre deux points quelconquesde U . Ajoutons aussi que la norme de df(x) qui apparat dans lnonc est la normedapplication linaire associe aux normes de E et F :</p><p>df(x) = suph =0</p><p>df(x) hFhE</p><p>.</p><p>Lorsque lingalit des accroissements finis est utilise pour montrer que f est contrac-tante, le choix des normes est primordial (voir [rou, ex.32]).</p></li><li><p>8 Chapitre 1 Calcul diffrentiel 1.1.4</p><p>Application 1.14 Diffrentielle nulle. Soit U un ouvert connexe de E ; alorsx U , df(x) = 0 f est constante sur U .</p><p>Limplication () est toujours vraie. Lhypothse de connexit permet de dmontrer() en exploitant lquivalence suivante (voir [gou2, I.4.3]) pour un ouvert U</p><p>U connexe U connexe par arc U connexe par lignes brises.Ajoutons que si la diffrentielle est nulle mais U nest pas connexe, la fonction f estconstante seulement sur chaq...</p></li></ul>

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