ciljevi,naćela

1. CILJEVI, NACELA,OBLICI I METODENASTAVE MATEMATIKE

1.1. Ciljevi nastave matematike

Nastava je svrhoviti, dvosmjerni, planski i racionalno organizirani radni procesu kojemu se, pojednostavljeno receno, vrsi prenosenje sintetiziranog iskustva starijihgeneracija na mlade, sa svrhom njihovog osposobljavanja za samostalno i uspjesnosnalazenje u zivotnom okruzenju.

Cilj oznacava ocekivano, zamisljeno buduce stanje koje zelimo postici odredenimaktivnostima i sredstvima (sadrzajima). Ciljevima iskazujemo formulaciju ocekivanihpromjena koje e nastati kod ucenika (pojedinca) nakon sto ovlada sadrzajima kojisu obuhvaceni u odredenom ciklusu skolovanja.

U najnovijem Nastavnom planu i programu za osnovnu skolu za 2006./07.godinu (krace: po HNOS-u) cilj nastave matematike opisan je ovako:

Cilj nastave matematike je stjecanje temeljnih matematickih znanja potreb-nih za razumijevanje pojava i zakonitosti u prirodi i drustvu, stjecanje osnovnematematicke pismenosti i razvijanje sposobnosti i umijeca rjesavanja matematickihproblema.

U prethodnom Nastavnom planu i programu za osnovnu skolu (Prosvjetnivjesnik, 1999.) nalazili su se ovako opisani ciljevi:

Ciljevi nastave matematike u osnovnoj skoli su:

- usvajanje osnovnih matematickih znanja potrebnih za razumijevanje pojavai zakonitosti u prirodi i drustvu,

- stjecanje sire obrazovne osnove potrebne za lakse razumijevanje i usvajanjedrugih sadrzaja prirodnih i drustvenih znanosti,

- osposobljavanje za nastavak skolovanja i primjenu usvojenog znanja u svakod-nevnom zivotu, postupno svladavanje osnovnih elemenata matematickog jezika,

1 Ciljevi, nacela, oblici i metode nastave matematike 3

razvijanje sposobnost izrazavanja opcih ideja matematickim jezikom, razvijanje po-jmovnog i apstraktnog misljenja te logickog zakljucivanja,

- usvajanje metoda matematickog misljenja koje se ocituje u preciznom for-muliranju pojmova i algoritamskom rjesavanju problema

- razvijanje smisla i potrebe za samostalni rad, odgovornost za rad, tocnost,urednost, sustavnost, preciznost i konciznost u pismenom i usmenom izrazavanju.

Nastavni programi za gimnazije (Glasnik Ministarstva kulture i prosvjete,1994.)

Ciljevi nastave matematike u gimnaziji su:

-stjecanje temeljnih matematickih znanja nuznih za nastavak daljnje izobrazbe,praenje suvremenoga drustveno-gospodarskog i znanstveno-tehnoloskog razvoja ibuduce djelatnosti,

-razvijanje logickoga misljenja i zakljucivanja, matematicke intuicije, maste istvaralastva,

-stjecanje navika i umijeca, kao sto su sistematicnost, ustrajnost, preciznost ipostupnost,

-usvajanje metoda matematickog misljenja koje se ocituje u preciznom for-muliranju pojmova i algoritamskom rjesavanju problema,

-stjecanje sposobnosti matematickoga oblikovanja i predocavanja problema naznakovima i jeziku matematike, naglaseno u grafickom smislu.

Odgojno-obrazovni proces podrazumijeva stjecanje znanja, razvijanje vjestinai stjecanje odgojnih navika, pa cemo reci par rijeci o tim kategorijama.

Znanje

Znanje je sustav ili logicki pregled cinjenica i generalizacija o objektivnojstvarnosti koje je covjek usvojio i trajno zadrzao u svojoj svijesti.

Cinjenice su konkretnosti, odnosno pojedinosti o objektivnoj stvarnosti kojecovjek upoznaje perceptivnim putem. Osim cinjenica, znanje obuhvaca i poznavanjegeneralizacija ili apstrakcija kao sto su pojmovi, pravila, nacela, metode, zakoni, ko-relacije, definicije, zakljucci, dokazi, aksiomi, hipoteze, anticipacije, teorije, misli,ideje, simboli, algoritmi, formule, jednadzbe. Apstrakcije ne mozemo vidjeti, opi-pati, okusiti; njih treba shvatiti posredstvom misljenja.

S obzirom na kvalitetu razlikujemo vise stupnjeva znanja:

a) Znanje prisjecanja karakteristicno je po tome da se ucenik samo sjeca nekihsadrzaja, ali nista vise o tome ne zna.


b) Znanje prepoznavanja karakteristicno je po tome da ucenici mogu prepoz-nati neke sadrzaje, znaju na sto se oni odnose, ali ih ne mogu objasniti i obrazloziti.

c) Znanje reprodukcije karakteristicno je po tome da je ucenik u stanjuponoviti, reproducirati neki sadrzaj, ali ga ne zna upotrijebiti u nekoj drugojsituaciji.

d) Operativno znanje karakterizira to da ucenici sigurno vladaju nastavnimsadrzajima, umiju ih objasniti i obrazloziti i umiju primjenjivati u svom svako-dnevnom radu u skoli i izvan nje.

e) Kreativno ili stvaralacko znanje je najvisi stupanj kvalitete znanja i njegovakarakteristika je da covjek na temelju stecenog znanja stvara nova.

U skoli je potrebno da ucenici za vrijeme skolovanja postignu stupanj ope-rativnog znanja, a neki ce krenuti i stupanj vise, tj. znaci da ce dostici ´E stupanjkreativnog znanja.

Primjer 1.1. U petom razredu OS obraduje se pojam simetrale duzine. Ukoliko jeucenik u stanju samo reproducirati definiciju simetrale duzine: ”Simetrala duzine jepravac koji prolazi polovistem te duzine i okomit je na nju”, tada cemo reci da jesamo u stanju reproducirati definiciju tog pojma. Provjeru je li ucenik ovladao timpojmom dobit cemo ako uspjesno rijesi neki od zadataka vezanih uz taj pojam. Naprimjer: Konstruiraj simetralu zadane duzine AB. Ili ako rijesi neki od zadatakaiz zbirke. Na zupanijskom natjecanju 1997. u 5. razredu bio je zadan ovaj zadatak:Nacrtaj tri tocke A, B, C koje ne leze na istom pravcu. Konstruiraj tocku koja jejednako udaljena od svih triju tocaka A, B i C.

Moramo napomenuti da ucenik 5. razreda u tom trenutku jos ne zna nista opojmu kruznice opisane trokutu. Ucenik pri rjesavanju tog zadatka mora primjenitisvojstvo da je svaka tocka simetrale duzine jednako udaljena od rubova duzine, tj.tu je istaknut operativni nivo znanja. Ali, u trenutku kad ucenik zakljuci da jetrazena tocka srediste kruznice koja prolazi kroz sva tri vrha trokuta, tada je onna temelju stecenog znanja o simetrali stvorio novo znanje, konkretno o kruzniciopisanoj trokutu. I to je korak stvaranja.

Primjer 1.2. U svom skolovanju ucenik se susrece s pojmom aritmeticke (prosjekocjena) i geometrijske sredine dva broja (Euklidov poucak) i osnovnom nejednakoscuizmedu tih sredina: A(x, y) ≥ G(x, y) , gdje je A(x, y) = x+y

2i G(x, y) =

√xy.

Procjenu je li ucenik operativno ovladao tim pojmovima dobit cemo ako na primjer,uspjesno rijesi zadatke:

Zadatak. [14, str. 102]Dokazi da za svaka tri pozitivna realna broja a, b, cvrijedi

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.

Rjesenje. Vrijedi a+b2

≥√

ab, b+c2

≥√

bc, a+c2

≥√

ac. Kad pomnozimo te trinejednakosti dobivamo upravo trazenu nejednakost.


ili

Zadatak. [14, str. 104] U skupu pravokutnika konstantnog opsega odredite onajcija je povrsina maksimalna.

Rjesenje. Dakle, vrijedi a + b = O2. Iz nejednakosti aritmeticke i geometrijske

sredine vrijedi O4≥

√P pri cemu se jednakost postize ako je a = b. Kako je lijeva

strana konstantna, to je maksimum desne strane upravo O/4 i postize se za a = b.

Kreativno znanje ocituje se u mogucnosti stvaranja novih rezultata: genera-lizacija u kojima se umjesto dva broja pojavljuje n brojeva, generalizacija na tezinskesredine, prosirenje pojma aritmeticke i geometrijske sredine na sredine reda r :

M(x, y) =

(p1x

r + p2yr

p1 + p2

)1/r

, r 6= 0,

te formiranja novih rezultata u vezi s tim sredinama.

Stjecanje znanja o objektivnoj stvarnosti koja se proucava u nastavi nazivamomaterijalni zadatak nastave.

Do potkraj 19. stoljeca vladalo je misljenje da je materijalni zadatak osnovnii jedini zadatak nastave; smatralo se da ce mlada generacija biti bolje pripremljenaza zivot usvoji li sto vecu kolicinu znanja. Ta je koncepcija dobila naziv didaktickimaterijalizam (stara skola). U skolama su se neprestano sirili nastavni sadrzaji, aucenje se svelo na memoriranje brojnih cinjenica i generalizacija. Jasno je da sutakva mehanicki memorirana znanja bila na stupnju reprodukcije, te da ucenicimanedostaje sposobnost primjene tih znanja.

Sposobnosti

Sposobnost je kvaliteta licnosti koja je tako formirana da osoba moze uspjesnoobavljati neku djelatnost. Razlikujemo perceptivne, prakticne i intelektualnesposobnosti, te sposobnosti izrazavanja. Sposobnosti nisu unaprijed dane rodenjem,nego se razvijaju ovisno o naslijedenoj anatomsko-fizioloskoj i psihickoj strukturicovjeka, vanjskoj sredini u kojoj covjek zivi i radi, te o samoj aktivnosti covjeka.

Razvijanje brojnih i raznovrsnih ljudskih sposobnosti cini funkcionalni zadataknastave. Taj zadatak posebno isticu predstavnici tzv. nove skole na prijelazu iz 19.u 20. stoljece i u prvim desetljecima 20. stoljeca. Naime, uocavajuci nedostatke di-daktickog materijalizma, predstavnici nove skole pojam obrazovanja svode na razvi-janje psihofizickih funkcija (didakticki funkcionalizam). Ali i u toj koncepciji otislose u krajnost, te se zapostavlja materijalna strana obrazovanja. U suvremenom


obrazovanju smatramo da treba naglasavati znacenje materijalnog i funkcionalnogzadatka nastave, a ne isticati jedno i zapostavljati drugo.

Formulacije u pripremama za materijalni zadatak glase: upoznati, pokazati,ukazati, uociti, razumjeti, shvatiti, nauciti i sl., a formulacije s obzirom nafunkcionalni zadatak glase: razviti, osposobiti, usavrsiti, formirati, uvjezbati,navikavati, izgradivati, izrazavati, misliti, operirati i sl.

Konkretno, u nastavi matematike1, ucenicima se predaje odgovarajuci sustavmatematickih znanja, umijeca i navika, ovladava se matematickim metodama spoz-naje stvarnosti, minimumom matematickih cinjenica potrebnih za primjenu u zivotute se uci usmena i pismena matematicka rijec sa svim njezinim svojstvima kao stosu jednostavnost, jasnoca, preciznost, punoca i sl. Nadalje, razvija se umijece prim-jene dobivenih znanja, umijece koristenja matematickog pribora i pomagala, umijecesamostalnog stjecanja znanja pomocu strucne i znanstveno popularne literature, teosposobljava za rjesavanje problema koje postavlja tehnicki, ekonomski i socijalnizivot.

Odgoj

Nastava je proces kojim se usvajaju i odgojne vrijednosti - moralne, estetske,fizicke i radne. Time se bavi teorija odgoja. Na primjer, ucenik se odgaja u duhuodgovarajuceg pogleda na svijet, njeguje se stalni interes za ucenje matematike,razvija se matematicko misljenje, sklonost prema istrazivanjima, kreativan i kritickiduh, znanstveni pogled na svijet i ljubav prema istini.

Nastava matematike moze doprinijeti stvaranju potrebnih i korisnih navika,kao sto su: navika koncentracije, pozornosti i intenzivne misaone aktivnosti u re-lativno duzem trajanju, navika jasnog, preciznog i sazetog pismenog ili usmenogizlaganja, navika koristenja literature, navika sudjelovanja u timskom radu.

Jedan od najvaznijih odgojnih ciljeva je svakako i razvijanje pozitivnog stavaprema matematici.

Vazno je naglasiti da doprinos nastave matematike razvoju sposobnosti istvaranju navika i shvacanja manje ovisi o sadrzaju u nastavnom programu, a mnogovise o nastavnim metodama i izboru zadataka za vjezbe.

1.2. Nacela nastave matematike

Pri nastavi, kao i u svakom drugom radu moraju se postivati odredena nacelaili principi.

1Z. Kurnik, Matematicke sposobnosti, Matematika i skola 10(2001), 195-199.


Nacela nastave matematike temeljne su ideje na kojima se i uz pomoc kojihse ureduju uvjeti ucenja u nastavi matematike. To su polazne osnove pri usposta-vljanju, stvaranju, procjenjivanju i vrednovanju cjelokupnog odgojno - obrazovnogprocesa u nastavi. Njima se izrazava koncepcija te nastave, pojavni oblici i konacniucinci. Nacela su rezultat proucavanja nastavne prakse, zakonitosti procesa ucenja,razine i kvalitete psihicke razvijenosti ucenika te prirode nastavnih matematickihsadrzaja.

U osnovi to su smjernice kojih bi se trebao pridrzavati svatko tko organizira iprovodi nastavu matematike. Konacna im je svrha matematicko obrazovanje ucinitimaksimalo efikasnim. Metodika nastave matematike u osnovnoj i srednjoj skoliuspostavlja razna nacela od kojih cemo navesti:

nacelo primjerenosti

nacelo znanstvenosti

nacelo interesa, svjesnosti i aktivnosti

nacelo sistematicnosti i postupnosti

nacelo zornosti i apstraktnosti

nacelo problemnosti

nacelo trajnosti znanja, vjestina i navika

nacelo individualizacije

nacelo ekonomicnosti i racionalizacije

nacelo historicnosti i suvremenosti.

Naravno, nacela nisu medusobno odvojena vec se uzajamno uvjetuju i istovre-meno ostvaruju.

Nacelo primjerenosti

Nacelo primjerenosti zasniva se na spoznaji da se dijete postupno razvija te danastavni rad treba uskladiti sa psihofizickim snagama ucenika. Nastava po sadrzajui nacinu ne smije biti ni prelagana, ni preteska, s proucavanjem pojedinih nastavnihsadrzaja ne treba zapoceti ni prerano ni prekasno, psiho-fizicke osobine ucenika nebi se smjele ni precjenjivati niti potcjenjivati.

Ucenje ne smije biti previse lako zato sto lakoca ucenja ne stvara kod ucenikanavike rada i savladavanja teskoca. S druge strane osim sto se nastava prilagodujeuceniku, nastavni rad treba ici i korak naprijed ispred trenutnog stanja, tj. trebauvesti faktor koji ce angazirati u potpunosti intelektualni potencijal ucenika.

Ponekad se susrecu studenti koji su u srednjoj skoli bili dobri ucenici, a navisim skolama dozivljavaju neuspjeh. Jedan od razloga je i to sto im je nastava


u srednjoj skoli bila suvise laka, a u visoj nisu mogli svladati naviku da rade beznapora.

Nije manje stetan i otklon u drugu krajnost ako su zahtjevi koji se stavljajuucenicima neprimjereni. Tada oni traze povrsne veze ili mnemotehnicka pravilakojima ovladavaju tim gradivom samo prividno. Dobivena znanja su kratkotrajna,neprimjenjljiva, ucenik uci napamet nedovoljno shvaceno gradivo, trazi zaobilazneputeve (prepisivanje, salabahteri), gubi interes za predmet.

Zahtjevi koji se stavljaju pred cijeli razred moraju biti primjereni ( ne suviselaki ) vecini ucenika. Medutim uvijek ce se naci nekoliko ucenika za koje su zahtjeviteski, a takoder i takvi za koje su suvise laki. Prvima treba ukazivati individualnupomoc, a to se najcesce i cini bilo na redovnom satu, bilo na dopunskoj nastavi.Nastavnik cesto ne obraca paznju uceniku koji bez napora dobiva dobre ocjene,to znaci da potencijalne mogucnosti takvih ucenika ostaju neiskoristene, stoga njihtreba dodatno opteretiti usmjeravajuci ih u dublje proucavanje matematike (izbornanastava, grupe naprednih matematicara, dodatni zadaci i literatura).

Dobar nastavnik mora ovladati sposobnoscu drzanja na oku citavog razreda,kako slabe tako i odlicne ucenike i sve njih primjereno opteretiti.

Primjer 1.3. Nacelo primjerenosti ogleduje se i u izgledu nastavnih programa, kakogledanih u cjelini, tako promatranih i po metodickim jedinicama. Na primjer, u 5.razredu OS proucava se skup N i operacije na njemu na intuitivnom nivou, u 4.razredu srednje skole uvodi se aksiom matematicke indukcije, dok se tek na fakultetuskup prirodnih brojeva definira pomocu Peanovih aksioma. Naime, u osnovnoj skoliucenik nije u stanju pojmiti skup prirodnih brojeva kao jednu apstraktnu strukturu,nego iskljucivo kao skup onih brojeva koje dobijemo prebrojavanjem stvari oko sebe.

Primjer 1.4. Evo jos jednog primjera primjene nacela primjerenosti. Jednadzbe seu nastavi pojavljuju na svakom nivou, ali ovisno o znanjima kojima ucenik raspolazemetode rjesavanja su razlicite. U nizim razredima jednadzbe imaju oblik 3+ = 12i rjesavaju se napamet. U 5. razredu se jednadzba 3 + x = 12 rjesava koristeci vezuzbrajanja i oduzimanja, tj. pribrojnik je jednak razlici sume i drugog pribrojnika. U7. razredu, na obje strane dodajemo −3 tj. koristimo zbrajanje suprotnih brojeva.Vise o razlicitim nacinima rjesavanja problemskih zadataka moze se naci u clanku[19].

Nacelo znanstvenosti

Nacelo znanstvenosti2 nastave matematike sastoji se u nuznom skladu nas-tavnih sadrzaja i nastavnih metoda s jedne i zahtjeva i zakonitosti matematike kao

2Z. Kurnik, Nacelo znanstvenosti, Matematika i skola, 13(2002), 102-106


znanosti s druge strane. To znaci da nastavnik matematike treba ucenike upozna-vati s onim cinjenicama i u njihovom misljenju formirati one pojmove koji su danasznanstveno potvrdeni. Nastava mora biti takva da omogucuje daljnja produblji-vanja i prosirivanja gradiva i prirodan nastavak matematickog obrazovanja na visojrazini.

Nastavnik upotrebljava onaj matematicki jezik i simbole koji su uobicajeni umatematici (tg, a ne tan kao oznaku za tangens; decimalnu tocku, a ne decimalnizarez; |AB|, a ne |AB|; oznake za pravi kut; razlomak se skracuje, a ne ponistava isl.). Takoder, dobar nastavnik koristi razlicite znanstvene metode kao sto su analizai sinteza, metoda analogije, metoda indukcije.

Dokazi teorema mogu biti vise ili manje strogi, ali nastavnik mora uvijekimati na umu da ce ucenici prije ili kasnije izici iz te skole i nastaviti skolovanjena visim nivoima. Veoma je lose ako se u skoli ucilo nesto cega se ucenici morajuodvikavati, nesto sto smeta daljnjem napredovanju. Ovdje se ne misli samo napogresne cinjenice vec i na metode. Naime, ako ce nastavnik poucavati samo naprimjerima, tj. uciti metodu rjesavanja nekoliko tipova zadataka, ne akcentirajucitocno sustinu problema, ili npr. primjenjivati teoreme bez obzira na uvjete njihoveprimjenjivosti, to ce biti stvaranje losih navika u matematickom razmisljanju i bitce narusen princip znanstvenosti.

Primjer 1.5. U 5. razredu uci se pravilo komutativnosti zbrajanja prirodnih bro-jeva, ali se ne dokazuje (iz jasnog razloga–u dokazu se koriste Peanovi aksiomi,a dokazuje se metodom indukcije). Ipak treba napomenuti da se to pravilo trebadokazati i da ce to biti ucinjeno u kasnijem skolovanju, tako da je ucenik svjestannedovrsenosti posla.

Primjer 1.6. Cesto se u 2. razredu srednje skole logaritamska jednadzba rjesavaovako:

log(x + 5) + log(x + 3) = log 15

log((x + 5)(x + 3)) = log 15

(x + 5)(x + 3) = 15

x1 = 0, x2 = −8

i oba broja se proglase rjesenjem jednadzbe, a zaboravlja se da se za svaku jednadzbutreba provesti provjera ili napisati uvjeti definiranosti. U ovom slucaju to su uvjeti:x + 5 > 0, x + 3 > 0. Dakle, samo je x = 0 rjesenje jednadzbe.

Primjer 1.7. Sjetimo se koliko smo puta napisali√

x2 = x bez naznake da je xpozitivan broj. Naime, ako je x realan tada vrijedi

√x2 = |x|.


Primjer 1.8. Evo jos nekih mjesta gdje se narusava nacelo znanstvenosti: koristenjekrivih naziva i neprecizno izrecenih teorema kao: crtez je funkcija umjesto crtezje graf funkcije, visine se sijeku u tocki, kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbrojukvadrata nad katetama, rjesavanje nepravog integrala mehanicki bez uvodenja limesa,koristenje teorema bez provjere pretpostavki.

Nacelo interesa, svjesnosti i aktivnosti

Nastava mora biti takva da budi interes prema predmetu. Ako nastavni radnije popracen pozitivnim emocionalnim uzbudenjima ucenika, njegov efekt bit ceslab; stecena znanja ostat ce mrtva, pasivna, formalna pa ce se prvom prilikomzaboraviti.

Te povoljne situacije u nastavi stvara nastavnik kao organizator nastavnogprocesa, premda takva situacija mnogo ovisi i o objektivnim uvjetima u kojima radiskola. Npr. nastavnik moze sadrzaje obradivati suhoparno, monotono, nizanjemcinjenica i generalizacija bez vlastitog subjektivnog pozitivnog emocionalnog tona,sto ce kod ucenika imati za posljedicu neugodna emocionalna raspolozenja. Napro-tiv nastavnik moze sadrzaje obraditi kvalitetnije pa ih ucenici ugodno dozivljuju,nastavni ih rad zanese, zagrije, koncentrira, pasionira, odusevi.

Monotoni rad se neugodno emocionalno dozivljava pa se pojavom monotonijeu nastavi smanjuje ucinak. ” Od svih nastavnika najvise se treba bojati dosadnihnastavnika ” ( Rosner). Ta se situacija moze promijeniti ako nastavnik obogacujesvoj nacin rada, unosi smisljene promjene u nastavni proces, tj. jednolicni radpretvara u svestraniji, mrtvilo u zivahnost, staticnost u dinamicnost, dogmaticnostu dijalekticnost, pasivnost u aktivnost.

Aktivnost u nastavi je takoder vazan faktor u razvoju i formiranju licnostiucenika. Postujuci princip aktivnosti treba ucenicima dati da rade, jer znanje se nemoze dobiti, dati, prenijeti, pokloniti, ono se stjece vlastitom aktivnoscu. Kvalitetaznanja ovisi upravo o intenzitetu aktivnosti, pa je uspjeh u nastavi proporcionalanudjelu vlastite aktivnosti.

Nacelo sistematicnosti i postupnosti

Sistematicnost znaci obradivanje nastavnih sadrzaja u odredenom logickompregledu.

Sto je broj cinjenica i generalizacija veci to se intenzivnije namece potrebaza logickim sredivanjem tih sadrzaja. Usvajanje znanstvenih sustava kao rezultatasistematiziranja znanstvenih cinjenica i generalizacija je krajnji cilj do kojega treba


ucenike postupno dovesti, to vise sto su ucenici u razvojnoj fazi pa ne mogu jos svo-jim mentalnim snagama usvajati znanstvene sustave u njihovom punom intenzitetu.

Ta postupnost u radu nastavnika izrazena je pravilima koja glase:

od lakseg k tezem,

od jednostavnog k slozenom,

od blizega k daljem,

od poznatog k nepoznatom,

od konkretnog k apstraktnom.

Nastavnikova je vjestina da pronade takvu postupnost u obradivanju gradivabez prevelikih skokova i preteskih prijelaza.

Primjer 1.9. Sjetimo se kako je organizirano ucenje rjesavanja jednadzbi: u 5.razredu imamo jednadzbe s jednom nepoznanicom koja se nalazi na jednom mjestu:3x + 12 = 15, zatim se uvode kompliciraniji oblici tog tipa jednadzbi uz upotrebuzagrada, ali nepoznanica se jos uvijek nalazi samo na jednom mjestu: 30+(3−x) =21,zatim se nepoznanica pojavljuje na vise mjesta, ali jos uvijek na jednoj strani jed-nadzbe: 3x+5x = 64. U 6. razredu nepoznanice se pojavljuju na razlicitim stranamaznaka jednakosti: 3x+15 = 7x−143, uvode se zagrade, a i koeficijenti jednadzbe nisuvise samo cijeli brojevi. U 7. razredu pojavljuju se i sustavi dviju jednadzbi s dvijenepoznanice. U 1. razredu jednadzbe se dodatno kompliciraju uvodenjem funkcijeapsolutne vrijednosti, a u visim razredima proucavaju se jos slozenije jednadzbe.

Primjer 1.10. Pogledajmo kako je u Zbirci zadataka za 4. razred srednje skole au-tora Dakic-Elezovic obradeno gradivo o binomnom poucku. Prvo se uvodi pojamfaktorijela, te uvjezbava racun s faktorijelama i to prvo s konkretnim brojevima, azatim s izrazima s opcim brojevima. Potom se uvodi pojam binomnog koeficijenta,te se kroz nekoliko pocetnih zadataka uvjezbava izracunavanje konkretnih binomnihkoeficijenata, a zatim se pojednostavnjuju algebarski izrazi u kojima se javljaju bi-nomni koeficijenti. Konacno se pojavljuju zadaci s primjenom binomnog poucka ito prvo oni najjednostavniji u kojima treba samo raspisati potenciju binoma pa dokompliciranijih u kojima se treba odrediti clan razvoja koji ne sadrzi x ili koji sadrzineku konkretnu potenciju varijable x.

Nacelo ekonomicnosti i racionalizacije

Smisao tog nacela je da se postigne najveci moguci ucinak sa sto manjimutroskom vremena, sredstava i snage. Treba imati na umu da svaki nastavni pos-tupak zahtijeva odredeni optimalni utrosak vremena; suvisno trosenje vremena pri-mjenom nekog postupka steti obradivanju ostalih nastavnih sadrzaja. Na pr. sistem


predavanja je ekonomicniji od sistema samostalnog rada, ali se ne smije cijelo vri-jeme upotrebljavati jedna metoda rada, jer se tada njene negativne strane pokazujuu vecoj mjeri nego kada je kombinirana s ostalim metodama.

Nacelo historicnosti i suvremenosti3

Veci dio ucenika nema ni najosnovnije predodzbe o razvoju matematike. Onimisle da je matematika uvijek bila takva kakva je sada. Bilo bi korisno da saznajuda u Euklida nije bilo formula, da su u srednjem vijeku pravila rjesavanja kvadrat-nih jednadzbi bila kompliciranija nego danas (zbog pomanjkanja pojma negativnihbrojeva trebalo je razmatrati mnogo posebnih slucajeva), i izrazavala su se ne for-mulama nego latinskim stihovima, da je sin 90 svaki autor smatrao po svom, naprimjer, ako je radijus bio 10000 onda je i sin 90 bio 10000 i sl.

Saznavsi te cinjenice ucenici ce shvatiti da su se pogledi na jedan te isti pojammijenjali i da su ti pojmovi vremenom postajali jednostavniji.

Oni postaju sposobni cijeniti suvremene matematicke metode i pojmove ishvacaju da njihovo danasnje stanje nije konacno.

Razvoj treba shvatiti ne samo kao nagomilavanje novih cinjenica nego i kaoevoluciju metoda. Nepostojanje dobrog historicizma u nastavi objasnjava se timeda i fakultetski obrazovani matematicari slabo poznaju povijest matematike.

Nastavnik koji u nastavu uvodi elemente historicizma moze ocekivati porastinteresa za predmet, ali treba paziti da uzrocnik interesa ostane sama matematika,a ne prelaziti u krajnosti i pricati samo o cudnim ponasanjima matematicara, aneg-dote o njima, nego uz spominjanje matematicara (na pr. kad je neki teorem vezanimenom uz osobu) spomenuti i vrijeme i podrucje djelovanja te osobe, njena najvecadostignuca i sl. Casopisi Matka i Poucak obiluju takvim podacima, a koristan izvorovakvih informacija je i internet.

Princip suvremenosti odnosi se na neprestano aktualiziranje i osuvremenjivanjenastavnih sadrzaja i unosenje novih znanstvenih spoznaja (oprez da se ne nagomilavanovo znanje), ali i osuvremenjivanje nastavnih pomagala (od logaritamskih tablicapreko sublera do racunala).

Nacelo problemnosti4

Ucenik obicno uci tako da se ne upusta dublje u gradivo, vec ostaje na povrsini,ne zamjecuje nikakve probleme i teskoce, potpuno je zadovoljan i misli da mu je svejasno. Zadatak je nastavnika da taj samouvjereni stav razbije i stavi pred njega

3Z. Kurnik, Historicizam, Matematika i skola 17(2002), 52-58.4Z. Kurnik, Nacelo problemnosti, Matematika i skola 14(2002), 148-152.


problem (prema nacelu primjerenosti ne pretezak ne prelagan) i trazi rjesenje. Nijedan matematicar nema prava za neko podrucje matematike reci ”Ja ga potpunopoznajem”.

Nacelo zornosti i apstraktnosti

Zornost5 znaci cjelovito osjetilno dozivljavanje objekta radi usvajanja cinjenicai formiranje pravilnih predodzaba. Drzati se principa zornosti znaci omogucitiucenicima da u toku nastave osjetilnim organima neposredno zahvacaju stvarnostkoja se u nastavi proucava.

Radi ostvarivanja principa zornosti nastavnici primjenjuju zorne izvore znanja,pocevsi od neposrednog promatranja u izvornoj objektivnoj stvarnosti, preko pro-matranja nastavnih sredstava pa sve do zornog , odnosno slikovitog pripovijedanja,pri cemu se na posredan nacin formiraju adekvatne predodzbe.

U primjeni zornosti ne treba pretjerivati, jer niti je moguce odjedanput usvojitibrojne cinjenice, niti je potrebno da odjednom ucenici usvoje sve cinjenice. U tomegrijese nastavnici koji u razred donesu mnogo zornih sredstava i izmjenjuju ih film-skom brzinom, od cega u svijesti ucenika ostane samo nekoliko povrsnih dojmova,a ne i stvarno upoznavanje i usvajanje cinjenica. Zato treba naglasiti da je zornostpotrebna u tolikoj mjeri da ucenici akumuliraju dovoljnu kvantitetu cinjenica natemelju kojih prelaze dalje na apstrakcije, odnosno generalizacije.

Stjecanja znanja ne iscrpljuje se samo usvajanjem cinjenica posredstvomzornosti nego i na temelju usvojenih cinjenica treba ucenika misaonom aktivnoscudovesti do generalizacija, a to znaci do formiranja pojmova, zakona, principa, pra-vila, aksioma, formula i sl.

Zato zornost u nastavi treba biti spoznajno i psiholoski orijentirana na kretanjeprema izvodenju generalizacija, tj. na temelju zornosti izdvoje se samo one cinjenicekoje su materijalna baza za formiranje odredene vrste generalizacije.

Ponekad nam se cini da, za razliku od drugih prirodnih predmeta, u matem-atici nemamo tolike raznovrsne mogucnosti za zorno prikazivanje i opisivanjematematickih pojmova. Ipak, dobar nastavnik ce koristeci kredu i plocu, grafos-kop i folije, racunalo i odgovarajuce programe, modele od papira i zice, postere iplakate i naravno svoju mastu biti u stanju svoje predavanje uciniti zornim, a samimtime i zanimljivijim. Pogotovo nam geometrija pruza velike mogucnosti za to. Nezaboravimo da cim u geometrijskom zadatku skiciramo sliku, u stvari, primjenju-jemo nacelo zornosti. Isto tako neki algebarki identiteti i tvrdnje mogu se prikazati,pokazati, ”dokazati” koristeci geometrijske slicice. (vidjeti clanak V. Bajrovic, Bil-ten 5, i knjigu [3](racunanje sume 1 + 2 + 3 + . . . + n)

5B. Dakic, Zornost u nastavi matematike


Primjer 1.11. U 5. razredu pri obradi osne i centralne simetrije zadati ucenicimada kod kuce pronadu primjere osnosimetricnog oblika: procelja zgrada, ornamenti pocrkvama, ornamenti u cipki, motivi u reklamama, motivi u automobilskim znakovimaitd. Obavezno treba obraditi zadatak s biljarskim stolom i osnom simetrijom.

Primjer 1.12. Pri obradi mjernih jedinica duljine, povrsine i volumena dobro jezorno pokazati te jedinice: ravnalo, krojacki i zidarski metar, komad papira dimen-zija 1 dm × 1 dm, 1 m × 1 m, posudu dimenzija 1 dm × 1 dm × 1 dm, tj. posuduvolumena 1 litre i sl.

Primjer 1.13. U skoli su velike mogucnosti u radu s modelima koje nastavnik ilisam izraduje ili na nekom od satova zajedno s ucenicima. Na primjer, u 6. razredupri obradi teorema o sumi kutova u trokutu mozemo se posluziti sljedecim modelompri uvjeravanju ucenika u istinitost teorema. Ucenik neka izreze iz komada A3 papiratrokut i kutove neka oznaci slovima α, β i γ. Zatim neka taj trokut izreze na tri dijelarezovima koji ne prolaze kroz vrhove trokuta. Tako dobivene papirnate kutove nekaspoji tako da su im vrhovi zajednicki, a krakovi se diraju. Vanjske granice tih trijupapira zajedno cine jednu duzinu, tj. zbroj kutova je 180◦.

Primjer 1.14. Za trajno pamcenje definicije elipse korisno je provesti njenu vrt-larsku konstrukciju. Isto tako, kada govorimo o kruznici ne zaboravimo je i nacrtatisestarom, a ne ju samo skicirati rukom na ploci.

Primjer 1.15. Kad proucavamo tok kvadratne funkcije u 2. razredu u ovisnosti onjenoj diskriminanti i vodecem clanu, dobro je svaki slucaj popratiti skicom paraboleu odgovarajucem polozaju.

Nacelo individualizacije

Razredna zajednica je skup razlicitih individualiteta. Te su razlike: fizicke,psihicke i moralne.

Zbog tih individualnih razlika treba nastavu individualizirati, tj. psihofizickesposobnosti svakog pojedinca razviti do maksimuma. Individualizacija se provodirazlicitim nacinima diferencirane nastave. Pa cemo o tome vise reci u toj temi.

1.3. Oblici

Oblici nastave matematike ili nacini organizacije nastavnog procesa su:


frontalni oblik nastave

diferencirana nastava

problemska nastava

programirana nastava

egzemplarna nastava

mentorska nastava

laboratorijska nastava

prakticna nastava

demonstracijska nastava.

1.4. Metode

Metode nastave matematike su nacini i sredstva prenosenja odredenog sustavamatematickih znanja, umijeca i realizacije ciljeva nastave matematike. Neke odmetoda su:

predavacka metoda

metoda dijaloga

heuristicka metoda

metoda rada s tekstom

problemska metoda

programirana metoda

demonstracija

eksperimentalna.

Za uspjesnu primjenu neke nastavne metode ili nekog oblika nastave u nas-tavnom procesu nastavnik mora u potpunosti poznavati njezine karakteristike. Topodrazumijeva:

1. razumijevanje b´Eti metode i umijece njezine primjene u razlicitim konkret-nim nastavnim situacijama

2. poznavanje formi iskazivanja te metode koje se najcesce pojavljuju u nas-tavnom procesu

3. poznavanje pozitivnih i negativnih strana tih metoda

4. saznanje koja je pitanja skolske matematike prikladno poducavati tommetodom


5. umijece osposobljavanja ucenika da rade tom metodom u procesu izucavanjaodredenog matematickog sadrzaja.

Literatura

[1] V. Bajrovic, Neke vazne formule-modeli u prostoru, Bilten Seminara iz matem-atike za nastavnike mentore 5, HMD i Element, Zagreb, 1996.

[2] L. Bognar, M. Matijevic, Didaktika, Skolska knjiga, Zagreb, 2002.

[3] B. Dakic, Zornost u nastavi matematike, Skolske novine, Zagreb, 1993.

[4] D. Glasnovic, Mnogokuti-rad u parovima, Matematika i skola 13(2002), 121-122.

[5] T. Grgin, Skolska dokimologija, Skolska knjiga, Zagreb, 1986.

[6] Z. Kurnik, Matematicke sposobnosti, Matematika i skola 10(2001), 195-199.

[7] Z. Kurnik, Nacelo znanstvenosti, Matematika i skola 13(2002), 102-106.

[8] Z. Kurnik, Nacelo problemnosti, Matematika i skola 14(2002), 148-152.

[9] Z. Kurnik, Problemska nastava, Matematika i skola 15(2002), 196-202.

[10] Z. Kurnik, Historicizam, Matematika i skola 17(2002), 52-58.

[11] Z. Kurnik, Grupni rad, Matematika i skola 22(2003), 52-57.

[12] Z. Kurnik, Individualizacija, Matematika i skola 25(2004), 196-201.

[13] V. Muzic, Programirana nastava, Skolska knjiga, Zagreb, 1968.

[14] B. Pavkovic i dr. Male teme iz matematike, HMD, Zagreb, 1994.

[15] M. Pavlekovic, Metodika nastave matematike s informatikom I, Element, Za-greb, 1997.

[16] M. Pavlekovic, Metodika nastave matematike s informatikom II, Element, Za-greb, 1999.

[17] B. Pelle, Tako poucavamo matematiku, Skolske novine i HMD, Zagreb, 2004.

[18] V. Poljak, Didaktika, Skolska knjiga, Zagreb, 1982.

[19] S. Varosanec, Neke metode rjesavanja problemskih zadataka, Poucak br. 13,(2003), 32.-38.

Documents

ciljevi,naćela