EXERCICIS PROPOSATS · 2019. 10. 11. · LESTAD ETSEIAT UPC Enunciats exercicis examen final M. Albareda I. Algaba S. Casadesús M. Pepió 26 10.Enunmodellinealambordenadaal origen(X

EEXXEERRCCIICCIISSPPRROOPPOOSSAATTSS

EEXXAAMMEENN FFIINNAALL

LESTAD

ETSEIAT UPC

Enunciats exercicis examen final

M. Albareda I. Algaba S. Casadesús M. Pepió

25

1. Una mostra ha estat 13,5; 19,8; 7,4; 23,8 i 12,8. En el gràfic probabilístic Normal, quina abscissa correspon a l�ordenada z = � 0,52?

3,5 7,4 12,8 13,5 17,4 19,8 23,827,4 32,8 33,5 .....................

Al modelitzar una resposta, amb ordenada en l�origen i 8 experiències, ha resultat

(X�X)�1= diag(0,125 0,1 0,2 0,05), � = (14 3 4 0,5), 2i

i

Y 3368, ii

Y 112 i 2i

i

e 720.

2. Què val R2?0,489 0,528 0,567 0,600 0,656 0,717

0,736 0,792 0,929 0,969 .....................

3. Quin és l�error tipus de 2ˆ ?

1,67 2,53 4,33 4,88 5,05 5,576,00 6,24 6,52 6,78 ......................

4. Quin és l�extrem superior del interval de predicció del 95% per0

x = (1 2 1 2)

39,411 46,788 62,292 67,015 68,490 72,95176,674 78,784 81,145 83,412 ....................

En un estudi de fiabilitat, prenent com unitat l�hora, una peça A en el gràfic probabilístic exponencialha donat �lnR(x) = 0,005 x, i el gràfic de Weibull d�una peça B ha resultatln(�ln R(x)) = �3,38 + 0,9 ln x.

5. Quin és el nombremitjà de peces A avariades cada 3000 h?6,0 7,5 9,0 9,5 10,0 11,5

12,5 13,0 14,0 15,0 ...........................

6. Quina és la taxa de fallada de B a les 10 h?0,0193 0,0195 0,0198 0,0200 0,0203 0,02070,0212 0,0218 0,0227 0,0243 .................

7. Un sistema munta en sèrie un subsistema de dos peces A en paral lel amb un altre subsistemade tres peces B en paral lel. Quina és la fiabilitat del sistema a les 10 h?

0,2627 0,3195 0,3863 0,4636 0,5511 0,64710,7476 0,8454 0,9293 0,9843 ...................

8. En una prova d�hipòtesi bilateral sobre m d�una X N(m; 2 = 16), amb n = 10, el nivell de significació

ha estat igual a 0,03. Què val | X m0|?1,40 1,80 2,23 2,61 2,74 2,87

2,95 3,31 3,64 3,91 .............................

9. Al verificar si m m0, per una població X N(m; 2 = 9) i mostra de grandària 4, s�ha obtingut X = 15amb un nivell de significació igual a 0,015. Què val m0?10,37 10,68 11,07 11,51 11,60 11,69

11,75 11,91 12,36 12,87 .........................

LESTAD

ETSEIAT UPC



26

10. En un model lineal amb ordenada a l�origen (X�X) = diag(9 6 6 4); SQR = 225. Què val l�error tipusdel segon terme del model estimat?2,45 2,74 3,06 3,16 3,42 3,65

3,87 4,08 4,28 4,83 ..................................

11. S�han fet 4 experiències diferents i s�han repetit 3 cops cadascuna. S�ha ajustat un model saturat resultant S2 = 5,15 i SQT = 300 . Què val el coeficient de determinació de l�ajust?

0,504 0,566 0,725 0,771 0,821 0,8580,863 0,882 0,908 0,920 ..................................

12. El desgast sofert en una competició en la part interna (X) i l�externa (Y) de 8 pneumàticsd�idèntiques característiques s�indica en la taula. Admetent llei Normal, què val, en valor absolut,l�estadístic de la prova per verificar que el desgast mitjà és el mateix en les dues parts del pneumàtic?

X 2,2 3 1,8 2 3,6 1 1,4 3,3

Y 3,6 4,2 2,4 4,2 1,7 3,1 2,4 2,9

1,485 1,506 1,570 1,577 1,610 1,6191,629 1,698 1,701 1,724 ..................................

Els primers temps (h) de fallada de 20 components han estat 24; 38; 50+; 100+; 108; 112; ...

13. Què val l�ordenada del quart punt del gràfic probabilístic de Weibull?1,74 1,65 1,55 1,43 1,30 1,15 0,97 0,76 ..........

14. Què val la fiabilitat estimada a les 100 h?0,833 0,857 0,875 0,889 0,900 0,909

0,917 0,923 0,929 0,933 ..................................

15. L�equació del gràfic probabilístic log Normal de la vida en hores ha estat z = 4 ln x 20. Què val lafiabilitat a les 140 hores d�un sistema en paral lel format per 4 components d�aquest tipus?

0,213 0,291 0,392 0,505 0,631 0,7520,854 0,929 0,972 0,985 ..................................

Si el formigó emprat en la construcció d�un mur no té la suficient quantitat de ciment, la seva resis

tència que és N(m; 2), disminueix i hi ha un gran perill d�accident. Si és correcte, m és al menys5000. Per verificar si el formigó és correcte ( i la resistència no ha disminuït), una mostra de 16 pro

vetes ha donat X = 4866,81 i S = 250.

16. Què val el nivell de significació de la prova?0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900

0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 ......................

17. Per veure si 300, amb = 0,10 i n = 16, quin és el risc associat a = 256,23?0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,9000,950 0,975 0,990 0,995 0,999 ...............

LESTAD

ETSEIAT UPC



27

18. El gràfic probabilístic de la vida (hores) d�uns components ha estat ln( ln �R (x)) = 2 + 0,45 ln x. Quèval la fiabilitat a les 100 hores d�un sistema format per dos subsistemes de 3 components en paral lel cadascun i muntats en sèrie entre ells?0,033 0,124 0,133 0,288 0,510 0,657

0,703 0,795 0,937 0,953 ........................

19. Les fallades en un estudi de fiabilitat de 15 fusibles truncat a les 60 hores són: 12; 20+; 25+; 28;30+; 32; 40+; 44; 48; 50+; 52 i 56. Què val la fiabilitat a les 30 hores?0,843 0,856 0,865 0,881 0,894 0,916 0,920

0,931 0,935 0,941 0,949 .........................

20. Es vol verificar si la mitjana d�un procés, que és Normal amb = 5, és igual a 12. Una mostra de gran

dària 4 ha donat X = 10 i S = 2,4420. Calcula el nivell de significació de la prova0,010 0,020 0,050 0,099 0,165 0,200

0,208 0,258 0,327 0,424 ..................................

21. Si l�esperança matemàtica de l�emissió de cert producte volàtil en una combustió supera 25 ppm la legislació imposa elevadíssimes sancions. Les anàlisis de control, sobre una mostra de grandària 16, han

donat X = 23 ppm i S = 5,966 ppm. Admetent llei Normal, calcula el nivell de significació de la prova perdecidir si es pot seguir treballant en aquestes condicions.

0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,9000,950 0,975 0,990 0,995 ..................................

S�ha estudiat la resposta d�un procés amb 3 factors de control a 3 nivells cadascun, fent 30 experiènciesde les quals només n�hi ha 14 de diferents

22. Amb el model saturat s�ha obtingut SQT = 1500, QMR = 12,5. Calcula R2

0,415 0,469 0,552 0,603 0,680 0,7440,808 0,867 0,947 0,998 ..................................

23. Pas a pas s�obté �Y = 10,2 + 4,6 X1 + 5,4 X1X2 amb diag(X�X) 1 = (26,5 1,5 0,16) i SQR = 250.

Amb = 0,05, què val l�estadístic per verificar si la interacció és significativa?2,359 2,864 3,307 3,808 4,050 4,437

5,867 6,047 7,015 8,998 ..................................

En un assaig de fiabilitat sobre 20 components, a les 30 hores n�han fallat 10 sense cap censura. Lessegüents dades són 36; 41+; 44; 60+; ...

24. Estima la fiabilitat a les 45 hores.0,265 0,350 0,394 0,403 0,497 0,569

0,623 0,699 0,754 0,898 ................

25. Calcula l�ordenada associada a la desena fallada en el gràfic probabilístic de Weibull1,31 1,25 1,04 0,98 0,88 0,82

0,69 0,62 0,44 0,37 .......................

LESTAD

ETSEIAT UPC



28

26. La recta del gràfic de Weibull presenta un bon ajust amb paràmetres 0ˆ = 3 i 1

ˆ = 0,78. Calcu

la la fiabilitat d�un sistema de 6 components en paral lel a les 80 hores.0,358 0,446 0,529 0,614 0,773 0,852

0,920 0,963 0,985 0,997 ..................................

27. Se sap que el diàmetre d�uns DVD es distribueix Normal amb desviació tipus igual a 0,04 cm En el

control de qualitat es vol garantir que la mitjana del diàmetre sigui inferior o igual a 12 cm, amb= 0,025 i n = 16. Quin és el risc associat a m = 12,010?0,02 0,05 0,10 0,15 0,32 0,48

0,58 0,68 0,83 0,95 .................

28. En la prova d�hipòtesi H0: 2 5 ; H1: 2 < 5 amb X ~ N(m, 2), n = 10 i = 0,10, què val el risc asso

ciat a 2 = 12,01?0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,950

0,975 0,990 0,995 0,999 ..................................

29. Un equip consta de 5 components en sèrie. La vida de cadascun d�ells es pot admetre exponencial ambun gràfic probabilístic de pendent igual a 0,005. Què val el tercer quartil de la durada del sistema?15,40 17,33 19,80 36,02 40,93 55,45 .............

30. Una prova de vida de 10 elements s�ha aturat a les 50 h. S�han registrat les durades i censures següents: 18,0; 45,3; 10+; 35+; 32,1; 39,4 i 30+. Quina és l�ordenada del gràfic probabilístic de Weibullassociada al registre 32,1h?2,04 �1,90 �1,74 �1,65 �1,55 �1,51

�1,35 �1,30 �1,15 �0,90 ..................................

S�han fet 32 experiències, de les quals 26 són diferents entre elles, per estudiar 7 factors a 3 nivellscadascun. Tots els factors s�han estudiat dins l�interval [ 1; 1]. El model definitiu ha estat

1 5 2 5�Y 6,085 4,18X 8,14X 8,70X X , amb SQR = 74,05; SQT = 1058,44 i

diag(X�X) 1 = (0,0750 0,0440 0,0496 0,0520),

31. Quin és el valor de l�estadístic de l�estudi de la significació del model?9,39 66,47 70,90 79,76 97,49 124,07

132,94 141,80 150,66 159,52 ..............

32. Quin és el valor de l�estadístic de l�estudi de la significació del terme X1?9,39 9,72 10,03 10,34 10,64 12,25

12,68 13,10 13,50 13,89 .................

33. La variància d�un procés és igual a 2, i qualsevol augment implica una molt forta sanció econòmica.Una mostra de grandària 11 ha donat S2 = 0,5116. Admetent llei Normal, què val el nivell de significació (p value) de la prova?

0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,9000,950 0,975 0,990 0,995 ......................

LESTAD

ETSEIAT UPC



29

34. S�ha mesurat la suavitat de 15 teixits abans i desprès d�aplicar un additiu. Admetent llei Normal idel 5%, quins són els valors frontera per verificar si l�additiu canvia la mitjana?±1,440 ±1,886 ±2,064 ±2,093 ±2,110

±2,145 ±2,201 ±3,182 ±4,541 ±9,925 ......................

En un estudi sobre la quantitat d�energia necessària per decolorar una aigua residual, s�ha treballatamb 4 factors i cadascun a 3 nivells equidistants. L�experimentació ha consistit en 8 experiènciesrepetides 2 cops cadascuna i una altra repetida 8 cops. En el model definitiu s�ha obtingut:= 26 + 17,3 X2 + 4,9X4 + 5,1 X2X4 amb (X�X) = diag(24 16 16 16); SQT = 6061 i SQEx = 5586

35. Què val l�estadístic de l�estudi de la significació del model, amb un risc del 5%?8,52 12,12 24,89 31,28 31,99 39,57

56,85 67,82 78,40 98,52 .................

36. Calcula l�extrem superior de l�interval de confiança del consum mitjà, amb un risc del 5%, enel punt X1 = X2 = 1 i X3 = X4 = 0?35,74 36,27 37,03 37,60 37,94 46,23

46,58 47,15 47,92 49,12 .................

37. La durada mitjana de 15 components, de vida acceptablement exponencial, ha estat igual a 40 h.Què val l�extrem inferior de l�interval de confiança al 95% per la fiabilitat a les 10h?0,304 0,415 0,514 0,615 0,6370,652 0,664 0,676 0,712 0,954 ......................

38. El gràfic probabilístic Weibull d�unes durades té un bon ajust a la recta amb pendent 0,81 i ordena

da a l�origen igual a 3,08. Quin és el valor estimat per a la mitjana de la durada?35,53 44,55 50,20 59,56 63,16

69,87 76,93 88,02 92,23 103,54 ...............

39. Un fabricant de components electrònics ha de decidir entre dos tipus de plàstic, P15 i P80, en funció de la seva resistència a la ruptura. Se sap que les resistències de P15 i P80 són Normals amb des

viació tipus = 0,08 Kp/cm2. El P15 és molt més car i només és rendible escollir lo si la seva mitjana

supera a la del P80 almenys en 1 Kp/cm2. Es disposa de la següent informació: nP15 = 8; P15X = 11,42

Kp/cm2; nP80 = 8 i P80X = 10,50 Kp/cm2. Què val el nivell de significació de la prova amb la que es de

cidirà quin plàstic s�utilitza?0,00621 0,02275 0,10565 0,15866 0,30854 0,69146

0,84134 0,89435 0,97725 0,99379 .................

40. Es disposa de 2 mostres, cadascuna de 10 engranatges de plàstic per a impressores làser, proce

dents dels fabricants A i B. S�ha mesurat la seva resistència a l�impacte (J) i s�ha obtingut AX = 393;

SA = 16; BX = 400 i SB = 18. Admetent llei Normal i amb un risc del 5%, què val l�estadístic de la prova

per veure si mA i mB són iguals?Falten dades 2,376 1,576 0,919 0,263 0,3940,852 1,050 1,757 2,491 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



30

S�ha estudiat la resistència al tall (Y) d�un adhesiu en funció de la pressió (X1): 3; 1; 1; i 3 unitats codificades (u.c.) i de la temperatura (X2): 1; 0 i 1 unitats codificades (u.c.). Part dels resultats són

g.d.ll. S.Q. Coefs. Error típic

Regressió 4 440,38 const. 11,18 0,61Residus 7 14,58 X1 1,86 0,17

X2 0,88 0,47X1X2 2,28 0,21

X12 0,32 0,08

41. Què val l�estimació de la variància comú?1,35 1,40 1,44 1,51 1,56 1,83

1,95 2,08 2,27 2,44 .................

42. A quina pressió (u.c.) cal treballar per assegurar una resistència a l�entorn de 14,5 si esfixa la temperatura a 0,2 u.c.?

6,58 6,40 6,22 6,02 5,80 1,421,63 1,84 2,02 2,20 .................

43. Un gràfic probabilístic log Normal sobre 30 dades de vida (h) ha presentat un bon ajust a la recta y= 20 x � 90. Quin és el percentil del 97,5%?

60,2 77,3 99,3 115,4 127,5 135,6144,1 152,9 163,7 172,8 .................

44. Calcula la fiabilitat d�un aparell format per dos subsistemes en sèrie. El primer té 6 components, defiabilitat individual igual a 0,90, i perquè funcioni cal que ho facin almenys 4; el segon està formatper 8 components de fiabilitat individual 0,80 i per funcionar requereix que ho faci la meitat delsseus components, com amínim.

0,9072 0,9123 0,9286 0,9303 0,9740 0,97790,9804 0,9818 0,9827 0,9997 .................

En unes proves de durada (Km) d�uns pneumàtics GRIP i SUPERGRIP, que són acceptablement Normals, s�ha obtingut

durades mitjanes desviacions tipusGRIP 44776 44554 45676 44690 44979 44935 442,01

SUPERGRIP 45107 45336 46007 47820 42905 45435 1770,15

45. Què val l�estadístic de la prova per verificar la igualtat de variàncies?0,027 0,043 0,049 0,062 0,079 12,728

16,038 20,226 23,522 37,525 .................

46. Quin és el valor absolut de l�estadístic de la prova per verificar la igualtat de mitjanes?0,194 0,234 0,605 0,613 0,722 0,830

1,215 1,233 1,403 1,499 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



31

47. Per verificar, amb = 0,05, si es pot acceptar que la variància d�una mesura (distribuïda Normal) és

menor o igual que 20, es disposa d�una mostra amb n = 6; X= 185,3 i S2 = 2,216. Quin és el nivell designificació de la prova?

0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,9500,975 0,990 0,995 0,999 .................

En un model lineal es disposa de 8 punts diferents repetits cadascun 2 cops. S�ha ajustat un model saturat i s�ha obtingut SQT = 518 i SQR = 52

48. Què val l�estadístic que verifica si el model és significatiu?4,59 5,21 7,04 7,91 8,85 10,24

12,26 13,45 17,41 20,85 .................

49. Després d�eliminar tots els termes no significatius, el model ha quedat reduït a una recta ambun pendent estimat com 1,3120 amb un error tipus de 0,50. Quin és el p value de la prova de significació del pendent?

0,001 0,002 0,003 0,005 0,010 0,0200,025 0,050 0,100 0,200 .................

El gràfic probabilístic d�un estudi de vida d�uns components ha presentat un molt bon ajust al modelln R(t) = 0,0025 t

50. Quin és el valor estimat pel percentil 90?94,3 184,8 239,1 419,9 481,6 643,8758,8 921,0 1198,3 1564,8 .................

51. Quina és la fiabilitat estimada per t = 10 d�un sistema en sèrie format per 5 dels componentsanteriors?0,368 0,417 0,472 0,535 0,592 0,687

0,779 0,882 0,939 0,975 .................

SSOOLLUUCCIIOONNSSEEXXAAMMEENN FFIINNAALL

LESTAD

ETSEIAT UPC

Solucions exercicis examen final


89

1. Una mostra ha estat 13,5; 19,8; 7,4; 23,8 i 12,8. En el gràfic probabilístic Normal, quinaabscissa correspon a l�ordenada z = � 0,52?

3,5 7,4 12,8 13,5 17,4 19,8 23,827,4 32,8 33,5 .....................

Designant per xi l�abscissa, l�estimació de la probabilitat acumulada associada al valormostral xi és

ii 0,5�P(X x )n

i té associat el valor z = � 0,52. Segons les taules de la llei normal,

P(Z � 0,52) = 0,30153

Essent INT la part entera de la divisió, resulta

i = INT((n P(Z � 0,52)) + 0,5) = INT(5 0,30153 + 0,5) = INT(1,50765 + 0,5) = 2

que indica que es tracta del segon valor de la mostra ordenada, o sigui, 12,8.

Al modelitzar una resposta, amb ordenada en l�origen i 8 experiències, ha resultat

(X�X)�1= diag(0,125 0,1 0,2 0,05), � = (14 3 4 0,5), 2i

i

Y 3368, ii

Y 112 i 2i

i

e 720.

2. Què val R2?0,489 0,528 0,567 0,600 0,656 0,717

0,736 0,792 0,929 0,969 .....................

SQT = 2i

i

Y n 2Y = 3368 � 82112

8= 1800

2 SQT SQRSQEx 1800 720R 0,600

SQT SQT 1800

3. Quin és l�error tipus de 2ˆ ?

1,67 2,53 4,33 4,88 5,05 5,576,00 6,24 6,52 6,78 ......................

2� 3 3

SQR 720S S d d 0,2 6,00

n p 8 4

LESTAD

ETSEIAT UPC



90

4. Quin és l�extrem superior del interval de predicció del 95% per 0x = (1 2 1 2)

39,411 46,788 62,292 67,015 68,490 72,95176,674 78,784 81,145 83,412 ....................

L�extrem superior és

E.S.I.P =1

0 /2; 0 0� t S 1x x X X x

on

0�x (1 2 1 2) (14 3 4 0,5) = 25

10 0 0,925x X X x

0,025;4t 2,776 i S =7204

Així, doncs,

E.S.I.P. = 76,674

En un estudi de Fiabilitat, prenent com unitat l�hora, una peça A en el gràfic probabilísticexponencial ha donat � ln R(x) = 0,005 x, i el gràfic de Weibull d�una peça B ha resultatln(�ln R(x)) = �3,38 + 0,9 ln x.

5. Quin és el nombremitjà de peces A avariades cada 3000 h?6,0 7,5 9,0 9,5 10,0 11,5

12,5 13,0 14,0 15,0 ...........................

La peça A segueix una llei exponencial de paràmetre estimat 0� 0,005 per hora.

Llavors, el nombremitjà de peces avariades en un interval de 3000 hores és

ˆ = 3000 0,005 = 15

6. Quina és la taxa de fallada de B a les 10 h?0,0193 0,0195 0,0198 0,0200 0,0203 0,0207

0,0212 0,0218 0,0227 0,0243 .................

Per el pendent de la recta ajustada en el gràfic de Weibull, � = 0,9 i per l�ordenada

en l�origen � = exp(3,38/ � ) = 42,75797. Llavors la taxa de fallada a les 10 h és

LESTAD

ETSEIAT UPC



91

1 0,9 10,9

0,9h(x) x 10 0,0243

42,75797

7. Un sistema munta en sèrie un subsistema de dos peces A en paral lel amb un altresubsistema de tres peces B en paral lel. Quina és la fiabilitat del sistema a les 10 h?0,2627 0,3195 0,3863 0,4636 0,5511 0,6471

0,7476 0,8454 0,9293 0,9843 ...................

Les fiabilitats de les dues peces, A i B, a les 10 h són, respectivament

R(A) = x 0,005 10exp exp 0,951229

R(B) =0,9

x 10exp exp

42,757970,763037

Llavors, la fiabilitat del sistema és

R(S) = 2 31 1 R(A) 1 1 R(B) 0,9843

8. En una prova d�hipòtesi bilateral sobre m d�una X N(m; 2 = 16), amb n = 10, el nivell de

significació ha estat igual a 0,03. Què val | X m0|?1,40 1,80 2,23 2,61 2,74 2,87

2,95 3,31 3,64 3,91 .............................

Es tracta de la prova amb H0: m = m0 contra H1: m m0, que en llei Normal de variànciaconeguda té com estadístic

0X m

/ nque si H0és certa es distribueix N(0; 1)

Atès que en prova bilateral el nivell de significació (valor p) es el doble de la probabilitatdel estadístic en la direcciómarcada per la regió crítica més propera, resulta que

0,03 = 2 P(Z > |Zcalc|) |Zcalc| = z0,015 = 2,17

Per tant

| X m0| = 2,17 / n = 2,17 4 / 10 = 2,74

LESTAD

ETSEIAT UPC



92

9. Al verificar si m m0, per una població X N(m; 2 = 9) i mostra de grandària 4, s�ha ob

tingut X = 15 amb un nivell de significació igual a 0,015. Què val m0?10,37 10,68 11,07 11,51 11,60 11,69

11,75 11,91 12,36 12,87 .........................

En aquesta prova d�hipòtesi l�estadístic és

0X mN(0;1)

/ n

i la regió crítica està a la dreta, o sigui, el nivell de significació és la probabilitat que quedaa la dreta del estadístic, per tant

0,015 = P(Z > 2,17)

El valor demanat s�obté a partir de

0 0x m 15 m2,17

/ n 3/ 4m0 = 15 2,17 3/2 = 11,75

10. En un model lineal amb ordenada a l�origen (X�X) = diag(9 6 6 4); SQR = 225. Què vall�error tipus del segon terme del model estimat?2,45 2,74 3,06 3,16 3,42 3,65

3,87 4,08 4,28 4,83 ..................................

Es tracta d�un model de 4 paràmetres (dimensió de la matriu X�X) que ha estat ajustatsobre 9 punts (el primer terme de la matriu X�X coincideix amb el nombre totald�experiments sempre que el model contingui l�ordenada a l�origen). Essent d2 el segonterme de la diagonal de la matriu (X�X) 1, l�error tipus del segon coeficient és igual a

1� 2

1SQR 225S d

n p 9 4 6= 2,74

11. S�han fet 4 experiències diferents i s�han repetit 3 cops cadascuna. S�ha ajustat un modelsaturat resultant S2 = 5,15 i SQT = 300 . Què val el coeficient de determinació del�ajust?0,504 0,566 0,725 0,771 0,821 0,858

0,863 0,882 0,908 0,920 ..................................

LESTAD

ETSEIAT UPC



93

El nombre total de punts experimentals és n = 4 3 = 12, i al ser el model saturat indicaque el nombre de paràmetres coincideix amb el de punts diferents, o sigui, p = 4

SQR = S2 (n p) = 5,15 8 = 41,2

SQEx = SQT SQR = 300 41,2 = 258,8

Coeficient de determinació de l�ajust = R2 =SQEx 258,8SQT 300

= 0,863

12. El desgast sofert en una competició en la part interna (X) i l�externa (Y) de 8 pneumàticsd�idèntiques característiques s�indica en la taula. Admetent llei Normal, què val, en valorabsolut, l�estadístic de la prova per verificar que el desgastmitjà és el mateix en les duesparts del pneumàtic?

X 2,2 3 1,8 2 3,6 1 1,4 3,3Y 3,6 4,2 2,4 4,2 1,7 3,1 2,4 2,9

1,485 1,506 1,570 1,577 1,610 1,6191,629 1,698 1,701 1,724 ..................................

Es tracta de mostres naturalment aparellades, i per tant no independents. La prova queprocedeix per resoldre el problema és la de mostres aparellades. Essent W = X Y, elsvalors mostrals de W són

W 1,4 1,2 0,6 2,2 1,9 2,1 1,0 0,4

resultant W= 0,775 i 2WS = 1,85357

L�estadístic de la prova és igual a

Tcalculat =2W

W 0,0751,85357/8S /n

= 1,610

O sigui, en valor absolut el resultat és 1,610.

Els primers temps (h) de fallada d�una mostra de 20 components han estat 24; 38; 50+;100+; 108; 112; ...13. Què val l�ordenada del quart punt del gràfic probabilístic de Weibull?1,90 1,83 1,74 1,65 1,55 1,43

1,30 1,15 0,97 0,76 ..................................

LESTAD

ETSEIAT UPC



94

Les dades censurades es consideren per estimar la fiabilitat però no s�incorporen en elgràfic. Així el quart punt del gràfic serà el corresponent a l�abscissa de 112 hores

dades ni di 1 di/ni Ri = (1/di/ni) ln( ln Ri)

24 20 1 19/2038 19 1 18/1950+ 18 0 1100+ 17 0 1108 16 1 15/16

112 15 1 14/15 (18/20) (14/16) 1,43

14. Què val la fiabilitat estimada a les 100 h?0,833 0,857 0,875 0,889 0,900 0,909

0,917 0,923 0,929 0,933 .....................

dades ni di 1 di/ni Ri = (1/di/ni)24 20 1 19/2038 19 1 18/1950+ 18 0 1100+ 17 0 1 18/20 = 0,9

15. L�equació del gràfic probabilístic log Normal de la vida en hores ha estat z = 4 ln x 20.Què val la fiabilitat a les 140 hores d�un sistema en paral lel format per 4 componentsd�aquest tipus?0,213 0,291 0,392 0,505 0,631 0,752

0,854 0,929 0,972 0,985 ..................................

La fiabilitat d�un sistema en paral lel de quatre elements igualment distribuïts és igual a

RSP (x) = 1 [F(x)]4

De l�equació del gràfic probabilístic es poden estimar els paràmetres:�1 m

z ln x� �

� = 1/4 = 0,25

�m= ( 20) ˆ = 20 0,25 = 5

Al tractar se de llei log Normal

LESTAD

ETSEIAT UPC



95

F(140) = P(X < 140) = P(ln X < ln 140) =ln 140 5

P Z0,25

= P(Z < 0,23) = 1 0,59095 = 0,40905

La fiabilitat del sistema serà

RSP (140) = 1 [ F(140) ]4 = 1 0,409054 = 0,9720

Si el formigó emprat en la construcció d�un mur no té la suficient quantitat de ciment, la

seva resistència que és N(m; 2), disminueix i hi ha un gran perill d�accident. Si és correcte, m és al menys 5000. Per verificar si el formigó és correcte ( i la resistència no ha dismi

nuït), una mostra de 16 provetes ha donat X = 4866,81 i S = 250.

16. Què val el nivell de significació de la prova?0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900

0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 ......................

Cal assegurar se que es detecti, amb una probabilitat molt alta, qualsevol disminució de lamitjana de la resistència; per això cal plantejar la prova del tipus

H0 : m 5000 H1: m > 5000

La regió crítica està a la dreta, i el nivell de significació (p value) és la probabilitat del estadístic en la direcció que marca la regió crítica; en aquest cas és la probabilitat a la dretade l�estadístic.

L�estadístic de la prova, al ser la variància desconeguda, és

0X mT

S / ndistribuït Student amb = n 1

p value = P(T = 15 > t calc) = P(T = 15 > 2,131) = 1 0,025 = 0,975

17. Per veure si 300, amb = 0,10 i n = 16, quin és el risc associat a = 256,23?0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900

0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 ...............

L�estadístic per la prova sobre la variància de llei Normal, en aquest cas, és

LESTAD

ETSEIAT UPC



96

2 2

2 20

(n 1)S 15 SJ

300

i, atenent que és una prova unilateral amb la regió crítica a la dreta, per a = 0,10,

el valor frontera és 20,10; 15 = 22,307.

Atès que = 256,23 pertany a la hipòtesi nul la, el risc associat és del tipus I (famíliade les �s), o sigui, cal calcular la probabilitat de rebutjar H0 essent certa. Així

2 2 22

152 2 2

215

15 S 15 S 22,307 300P 22,307 | 256,23 P

300 256,23 256,23

P 30,579 0,010

18. El gràfic probabilístic de la vida (hores) d�uns components ha estat ln( ln �R (x))= 2+0,45 lnx. Què val la fiabilitat a les 100 hores d�un sistema format per dos subsistemes de 3 components en paral lel cadascun i muntats en sèrie entre ells?0,033 0,124 0,133 0,288 0,510 0,657

0,703 0,795 0,937 0,953 ........................

La fiabilitat de cada component, a les 100 hores, es pot estimar directament utilitzant larecta del gràfic probabilístic, per tant

ln( ln �R (100)) = 2 + 0,45 ln 100

i aïllant �R (100) = exp( exp( 2 + 0,45 ln 100)) = 0,3413

El sistema, format per components del mateix patró de vida, és

La fiabilitat de cada subsistema les 100 hores és igual a 1 (1 0,3413)3 = 0,7142

i la del sistema total, sèrie dels dos subsistemes, és R = 0,71422 = 0,510

LESTAD

ETSEIAT UPC



97

19. Les fallades en un estudi de fiabilitat de 15 fusibles truncat a les 60 hores són: 12; 20+;25+; 28; 30+; 32; 40+; 44; 48; 50+; 52 i 56. Què val la fiabilitat a les 30 hores?0,843 0,856 0,865 0,881 0,894 0,916 0,920

0,931 0,935 0,941 0,949 .........................

En forma de taula tenim

dades ni di 1 di/ni Ri = (1/di/ni)12 15 1 14/15 14/1520+ 14 0 1 14/1525+ 13 0 1 14/1528 12 1 11/12 77/9030+ 11 0 1 77/90

O sigui, R(30) = 77/90 = 0,856

20. Es vol verificar si la mitjana d�un procés, que és Normal amb = 5, és igual a 12. Una mostra

de grandària 4 ha donat X = 10 i S = 2,4420. Calcula el nivell de significació de la prova0,010 0,020 0,050 0,099 0,165 0,200

0,208 0,258 0,327 0,424 ..................................

Es tracta d�una prova bilateral sobre la mitjana de la llei Normal amb variància coneguda,per tant l�estadístic de la prova és

0X m 10 12z

/ n 5/ 4= 0,8

Valor que, al ser negatiu, té com regió criticamés propera la de l�esquerra, així,

p value = 2 P(Z < 0,8) = 2 (1 0,78814) = 0,424

21. Si l�esperança matemàtica de l�emissió de cert producte volàtil en una combustió supera 25ppm la legislació imposa elevadíssimes sancions. Les anàlisis de control, sobre una mostra de gran

dària 16, han donat X = 23 ppm i S = 5,966 ppm. Admetent llei Normal, calcula el nivell de significació de la prova per decidir si es pot seguir treballant en aquestes condicions.

0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,9000,950 0,975 0,990 0,995 ..................................

LESTAD

ETSEIAT UPC



98

Cal plantejar les hipòtesis de manera que si la mitjana és superior a 25 ppm la prova hodetecti amb quasi total seguretat, és a dir, cal fer

H0: m 25H1: m < 25

que té com corba característica

Aquest gràfic evidència que si m supera 25 és altament probable que la prova ho detecti, iper tant s�aturi el procés productiu pel seu poder contaminant. En detriment d�això, situacions de m lleugerament inferiors a 25 poden ser considerades com fora de la llei.

Si les hipòtesis es plantegessin en sentit contrari, seria molt probable que situacions de msuperior a 25 fossin considerades com correctes, és a dir, com de compliment de la lleiamb el que es rebrien les sancions que imposa la legislació.

Així, al ser la prova unilateral amb regió crítica a l�esquerra, el nivell de significació és laprobabilitat que queda a l�esquerra del valor del estadístic calculat. Al tractar se de lleiNormal amb variància desconeguda, l�estadístic és

0X mT Student n 1

S/ n

Tcalc = (23 25) /(5,966/4) = 1,341

i segons les taules de la llei d�Student resulta que

P(T = 15 < 1,341) = 0,10

S�ha estudiat la resposta d�un procés amb 3 factors de control a 3 nivells cadascun, fent 30 experiències de les quals només n�hi ha 14 de diferents22. Amb el model saturat s�ha obtingut SQT = 1500, QMR = 12,5. Calcula R2

0,415 0,469 0,552 0,603 0,680 0,7440,808 0,867 0,947 0,998 ..................................

0

0,5

1

25

P(acceptar que m supera els 25 ppm)

m0

0,5

1

25


m0

0,5

1

25


m

LESTAD

ETSEIAT UPC



99

El nombre màxim de paràmetres, p, que pot tenir un model és igual al nombre depunts experimentals diferents, i si és així rep el nom de model saturat.

En aquest cas p = 14 que dóna lloc a una SQR amb n p = 30 14 = 16 graus de llibertat.

2 RSQEx SQT SQR SQT QMR 1500 12,5 16R

SQT SQT SQT 1500= 0,867

23. Pas a pas s�obté �Y = 10,2 + 4,6 X1 + 5,4 X1X2 amb diag(X�X) 1 = (26,5 1,5 0,16) i SQR = 250.Amb un risc del 5%, què val l�estadístic per verificar si la interacció és significativa?2,359 2,864 3,307 3,808 4,050 4,437

5,867 6,047 7,015 8,998 ....................

L�estadístic que estudia la significació de la interacció és

12

jj(INT)

� 5,4T

QMR d 2500,16

30 3

=4,437

En un assaig de fiabilitat sobre 20 components, a les 30 hores n�han fallat 10 sense cap censura. Les següents dades són 36; 41+; 44; 60+; ...

24. Estima la fiabilitat a les 45 hores.0,265 0,350 0,394 0,403 0,497 0,569

0,623 0,699 0,754 0,898 ................

Es tracta d�una assaig amb censura múltiple, per tant cal estimar la fiabilitat utilitzantl�estimador general

j i

j ji

jj:x x

n d�R(x )

n

Per les 11 primeres fallades (fins a les 36 hores) no hi ha cap censura i la fiabilitat estimada és igual a

19 18 9 9�R(36)20 19 10 20

La fiabilitat a les 45 hores és l�estimada en l�instant de l�última fallada (la de 44h), o sigui

9 7� �R(45) R(44)20 8

= 0,394

LESTAD

ETSEIAT UPC



100

25. Calcula l�ordenada associada a la desena fallada en el gràfic probabilístic de Weibull1,31 1,25 1,04 0,98 0,88 0,82

0,69 0,62 0,44 0,37 .......................

El gràfic probabilístic de Weibull té en ordenades � �ln ln 1 F(t) ln ln R(t)

Tal com s�ha vist en l�apartat anterior, fins la desena fallada no hi ha censures, pertant la seva fiabilitat estimada coincideix amb la fracció de supervivents. Dels 20 inicials en queden 10, fet que dóna lloc a una fiabilitat igual a 0,5.

�ln ln R(t) ln ln 0,5 = 0,37

26. La recta del gràfic de Weibull presenta un bon ajust amb paràmetres ˆ0 = 3 i ˆ 1 =

0,78. Calcula la fiabilitat d�un sistema de 6 components en paral lel a les 80 hores.0,358 0,446 0,529 0,614 0,773 0,852

0,920 0,963 0,985 0,997 ......................

La recta del gràfic de Weibull té com expressió

0 1� �� ln ln 1 F(t) ln ln R(t) ln + ln t = ln t = 3 + 0,78 ln t

La fiabilitat a les 80 hores, s�estima a partir de la recta com

�R(80) exp exp( 3 0,78 ln80) = 0,219

Alternativament, de la recta podem estimar els paràmetres de la llei, � = 0,78

i 0� � �exp( / ) = 46,81

� 0,78x 80�R(80) exp exp� 46,81= 0,219

La fiabilitat d�un sistema en paral lel de 6 components igualment distribuïts és igual a

Pparal lel (80) =61 1 R(80) = 1 (1 0,219)6 = 0,773

27. Se sap que el diàmetre d�uns DVD es distribueix Normal amb desviació tipus igual a 0,04cm En el control de qualitat es vol garantir que la mitjana del diàmetre sigui inferior oigual a 12 cm, amb = 0,025 i n = 16. Quin és el risc associat a m = 12,010?

0,02 0,05 0,10 0,15 0,32 0,480,58 0,68 0,83 0,95 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



101

Les hipòtesis a contrastar són0

1

H : m 12

H : m 12

La regió crítica és de la forma 0

0,04X m z 12 1,96 12,0196

n 16

Es demana el risc per m =12,010; valor que pertany a la hipòtesi alternativa, de maneraque el risc associat correspon a un de segona espècie, . Així

m = 12,010 = P(acceptar H0 essent m = 12,010) = P X 12,0196|m 12,010

12,0196 12,010P Z P(Z 0,96) 0,83147

0,04 / 16

28. En la prova d�hipòtesi H0: 2 5 ; H1: 2 < 5 amb X ~ N(m, 2), n = 10 i = 0,10, què val elrisc associat a 2 = 12,01?0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,950

0,975 0,990 0,995 0,999 ..................................

En aquesta prova d�hipòtesi la regió crítica és de la forma 2 2calc 1 , o sigui

2 2 2calc 0,90; 9 calc 4,168

Així

2L 2

L20

(n 1)S 4,168 54,168 S 2,3156

9

El valor 12,01 és un valor de 2 que pertany a la hipòtesi nul la. Per tant es tracta de cal

cular un risc tipus I, o sigui una .

2 = 12,01 = P(rebutjar H0 | 2 = 12,01) = P( 2LS 2,3156 | 2 = 12,01) =

=2

292

9 2,3156(n 1)SP P 1,735 1 0,995 0,005

12,01

LESTAD

ETSEIAT UPC



102

29. Un equip consta de 5 components en sèrie. La vida de cadascun d�ells es pot admetre exponencial amb un gràfic probabilístic de pendent igual a 0,005. Què val el tercer quartil dela durada del sistema?15,40 17,33 19,80 23,10 26,57 32,89

36,02 40,93 48,84 55,45 ..................................

La fiabilitat d�un sistema en sèrie és igual a producte de les fiabilitats de cada component.Si n�hi ha 5 i són igualment distribuïts

Rsistema(x) = R(x)5, on R(x) representa la fiabilitat de cada component al temps x

El tercer quartil és el valor del temps en que la mortalitat és igual a 0,75, o sigui cal trobarel valor de x pel qual la fiabilitat del sistema és igual a 0,25

0,25 = R(Q3)5 R(Q3) = 5 0,25

A partir del gràfic probabilístic, es pot estimar la de la llei exponencial com 0,005.

3(1/ 5)ln(0,25)

Q0,005

= 55,45

30. Una prova de vida de 10 elements s�ha aturat a les 50 h. S�han registrat les durades i censures següents: 18,0; 45,3; 10+; 35+; 32,1; 39,4 i 30+. Quina és l�ordenada del gràfic probabilístic de Weibull associada al registre 32,1h?

2,04 �1,90 �1,74 �1,65 �1,55 �1,51�1,35 �1,30 �1,15 �0,90 ..................................

Ordenant les dades resulta 10+ 18,0 30+ 32,1 35+ ...........

L�ordenada del gràfic probabilísticWeibull és igual a ln( ln( �R(x) ) i al tractar se de dades

amb censuramúltiple cal utilitzar l�estimador general de la fiabilitat, o sigui

i ii

ii

n d�R(x )n

8 8 610�R(32,1)10 9 8 7

= 0,7619

ln( ln( �R(32,1) ) = 1,302

LESTAD

ETSEIAT UPC



103

S�han fet 32 experiències, de les quals 26 són diferents entre elles, per estudiar 7 factors a 3nivells cadascun. Tots els factors s�han estudiat dins l�interval [ 1; 1]. El model definitiu ha

estat 1 5 2 5�Y 6,085 4,18X 8,14X 8,70X X , amb SQR = 74,05; SQT = 1058,44 i

diag(X�X) 1 = (0,0750 0,0440 0,0496 0,0520)

31. Quin és el valor de l�estadístic de l�estudi de la significació del model?9,39 66,47 70,90 79,76 97,49 124,07

132,94 141,80 150,66 159,52 ..............

Cal calcular l�estadístic F de la Anova de la regressió

SQEx /(p 1) (1058,44 74,05)/(4 1)F 124,07

SQR /(n p) 74,05/(32 4)

32. Quin és el valor de l�estadístic de l�estudi de la significació del terme X1?9,39 9,72 10,03 10,34 10,64 12,2512,68 13,10 13,50 13,89 .................

Aquest estadístic és l�anomena�t T que es distribueix Student, així

1

2

� 4,18t 12,25

QMR d 74,050,0440

32 4

33. La variància d�un procés és igual a 2, i qualsevol augment implica una molt forta sancióeconòmica. Una mostra de grandària 11 ha donat S2 = 0,5116. Admetent llei Normal, quèval el nivell de significació (p value) de la prova?0,005 0,010 0,025 0,050 0,100

0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 ......................

Si qualsevol augment implica una gran sanció, cal assegurar se que si la variància augmenta hi hagi un risc molt petit de no detectar ho (o de considerar que disminueix). Aixòs�aconsegueix agafant plantejant les hipòtesis

H0: 2 2

H1: 2 < 2

L�estadístic de la prova, que es distribueix segons una llei 2 amb 10 g.d.ll., pren el valor

LESTAD

ETSEIAT UPC



104

22calc 2

0

(n 1) S 10 0,51162,558

2

i el seu nivell de significació és la probabilitat en la direcció de la regió crítica, que enaquest cas està a l�esquerra, o sigui,

p �val = P( 2=10 < 2,558) =1 � 0,990 = 0,010

34. S�ha mesurat la suavitat de 15 teixits abans i desprès d�aplicar un additiu. Admetent llei

Normal i del 5%, quins són els valors frontera per verificar si l�additiu canvia la mitjana?±1,440 ±1,886 ±2,064 ±2,093 ±2,110

±2,145 ±2,201 ±3,182 ±4,541 ±9,925 .................

Essent X la variable aleatòria �suavitat abans del tractament� i Y la �suavitat desprès deltractament�, i atenent que ens diuen que ambdues mesures s�han fet sobre els mateixosteixits, X i Y no són independents.

Així la comparació de mitjanes només procedeix fer la mitjançant la prova de mostresaparellades amb

H0: mX = mY H1: mX mY

Es tracta d�una prova bilateral, basada en l�estadístic distribuït Student amb = 15 � 1 =14. Per un risc = 0,05 els frontera són

± t0,025; 14 = ± 2,145

En un estudi sobre la quantitat d�energia necessària per decolorar una aigua residual, s�hatreballat amb 4 factors i cadascun a 3 nivells equidistants. L�experimentació ha consistiten 8 experiències repetides 2 cops cadascuna i una altra repetida 8 cops. El model definitiu ha estat = 26 + 17,3 X2 + 4,9X4 + 5,1 X2X4 amb (X�X) = diag(24 16 16 16);SQT = 6061 i SQEx = 5586

35. Què val l�estadístic de l�estudi de la significació del model, amb un risc del 5%?8,52 12,12 24,89 31,28 31,99 39,57

56,85 67,82 78,40 98,52 .................

Cal calcular la F de l�Anova de la regressió, en un model de 24 punts i 4 paràmetres

LESTAD

ETSEIAT UPC



105

SQEx /(p 1) 5586/(4 1)F

SQR/(n p) (6061 5586)/(24 4)= 78,40

36. Calcula l�extrem superior de l�interval de confiança del consummitjà, amb un riscdel 5%, en el punt X1 = X2 = 1 i X3 = X4 = 0?35,74 36,27 37,03 37,60 37,94 46,23

46,58 47,15 47,92 49,12 .................

L�extrem superior de l�interval és

R

' 1/2; 0 0

�Y t QMR x (X'X) x

Amb

�Y = 26 + 17,3 = 43,3

R = n � p = 24 � 4 = 20 t0,025; 20 = 2,086

QMR (6061 5586)/20 23,75

x'0 = ( 1 1 0 0)

' 10 0

1 51x (X'X) x

24 16 48

R

' 1/2; 0 0

�Y t QMR x (X'X) x = 43,3 + 2,086 23,75 5/48 = 46,58

37. La durada mitjana de 15 components, de vida acceptablement exponencial, ha estatigual a 40 h. Què val l�extrem inferior de l�interval de confiança al 95% per la fiabilitat a les10h?0,304 0,415 0,514 0,615 0,637

0,652 0,664 0,676 0,712 0,954 ......................

En llei exponencial, l�interval de confiança 1 , pel paràmetre , és

2 21 /2; 2n /2; 2n

1 1C C 1

2nx 2nx

LESTAD

ETSEIAT UPC



106

i l�interval de confiança per la fiabilitat al temps x, és

x xC e R(x) e 1

Cal calcular l�extrem inferior, llavors

2 2/2; 2n 0,025; 30

1 1 46,979x 10x 2nx 2 15 40 120e e e e 0,6760

38. El gràfic probabilísticWeibull d�unes durades té un bon ajust a la recta amb pendent 0,81i ordenada a l�origen igual a 3,08. Quin és el valor estimat per a la mitjana de la durada?35,53 44,55 50,20 59,56 63,16

69,87 76,93 88,02 92,23 103,54 ......................

L�equació de la recta del gràfic probabilístic de Weibull és

ln ( ln(1 � F(x))) = ln x ln

i les dades ens permeten estimar els paràmetres com

�� 0,81 exp(3,08/0,81) 44,8117

L�esperança matemàtica d�aquesta llei de Weibull, s�estima com

�� E(X) 1 1/

44,8117 1 1/0,81 44,8117 2,23 44,8117 1,12023 50,20

39. Un fabricant de components electrònics ha de decidir entre dos tipus de plàstic, P15i P80, en funció de la seva resistència a la ruptura. Se sap que les resistències de P15 iP80 són Normals amb desviació tipus = 0,08 Kp/cm2. El P15 és molt més car i només és rendible escollir lo si la seva mitjana supera a la del P80 almenys en 1 Kp/cm2.Es disposa de la següent informació: nP15 = 8; P15X = 11,42 Kp/cm2; nP80 = 8 i P80X =

10,50 Kp/cm2. Què val el nivell de significació de la prova amb la que es decidirà quinplàstic s�utilitza?0,00621 0,02275 0,10565 0,15866 0,30854 0,69146

0,84134 0,89435 0,97725 0,99379 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



107

El que no es pot permetre el fabricant de components és comprar el plàstic més car(P15) i, que a sobre, li resulti el pitjor dels dos. Per tant cal que plantegi la prova perassegurar se que si, realment, mP15 no supera a mP80 en més d�una unitat, la probabilitat de decidir que la supera (i comprar lo al pensar que és el millor) sigui el més petita possible. Atès que l�única hipòtesi amb el risc acotat és la nul la (màxima probabilitat d�error = ), el que cal fer és

H0: mP15 mP80 1

H1: mP15 mP80 > 1

L�estadístic de la prova, al tractar se de llei Normal amb variància coneguda, és

P15 P80

P15 P80

X X 1Z N(0; 1)

1 1n n

que amb les dades disponibles pren el valor

calc11,42 10,50 1

Z 21 1

0,088 8

Per la prova plantejada, el nivell de significació és la probabilitat de la dreta del estadístic, per tant

P(Z 2) = P(Z 2) = 0,97725

40. Es disposa de 2 mostres, cadascuna de 10 engranatges de plàstic per a impressoreslàser, procedents dels fabricants A i B. S�ha mesurat la seva resistència a l�impacte (J) is�ha obtingut AX = 393; SA = 16; BX = 400 i SB = 18. Admetent llei Normal i amb un risc

del 5%, què val l�estadístic de la prova per veure si mA i mB són iguals?Falten dades 2,376 1,576 0,919 0,263 0,394

0,852 1,050 1,757 2,491 .................

Cal comparar les mitjanes dels dos fabricants, amb una situació de llei Normal ambvariàncies desconegudes. Per decidir l�estadístic de la prova el primer pas és verificar si les variàncies poden ser acceptablement iguals. Per això

LESTAD

ETSEIAT UPC



108

2 2 2 20 A B B

2 22 2A1 A B

H : S 18F 1,27

S 16H :

La regió d�acceptació de la prova és {F0,975;9;9 ; F0,025;9;9 } = {1/4,03; 4,03}. Evidentment, el valor de l�estadístic calculat pertany a aquesta regió i dóna dret a considerar les variàncies dels dos tipus d�engranatge homogènies.

En aquesta situació la comparació de mitjanes serà

0 A B A B2 21 A B A A B B

A B A B

H : m m X XT

H : m m (n 1)S (n 1)S 1 1n n 2 n n

calc 2 2

393 400T 0,919

9 16 9 18 1 118 10 10

S�ha estudiat la resistència al tall (Y) d�un adhesiu en funció de la pressió (X1): 3; 1; 1; i 3unitats codificades (u.c.) i de la temperatura (X2): 1; 0 i 1 unitats codificades (u.c.). Partdels resultats són

g.d.ll S.Q. Coefs Error típicRegressió 4 440,38 constant 11,18 0,61Residus 7 14,58 X1 1,86 0,17

X2 0,88 0,47X1X2 2,28 0,21X12 0,32 0,08

41. Què val l�estimació de la variància comú?1,35 1,40 1,44 1,51 1,56 1,83

1,95 2,08 2,27 2,44 .................

L�estimació de la variància comú, en model lineal, és QMR. Per tant

QMR = SQR / R = 14,58/7 = 2,08

42. A quina pressió (u.c.) cal treballar per assegurar una resistència a l�entorn de14,5 si es fixa la temperatura a 0,2 u.c.?

6,58 6,40 6,22 6,02 5,80 1,421,63 1,84 2,02 2,20 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



109

El model és = 11,18 + 1,86 X1 + 0,88 X2 2,28 X1X2 + 0,32 X12 i cal trobar, perX2 = 0,2, el valor de X1 que dóna lloc a = 14,5. Per això cal resoldre l�equació desegon grau

0,32 X12 + 1,404 X1 3,144 = 0

Les dues rels són X1 = 6,02 i X1 = 1,63. Observant els nivells experimentals de lapressió, 3; 1; 1 i 3, es veu que de les 2 rels de l�equació només una (X1 = 1,63)cau dins el camp experimental. Així cal treballar a 1,63 u.c. de pressió

43. Un gràfic probabilístic log Normal sobre 30 dades de vida (h) ha presentat un bonajust a la recta y = 20 x � 90. Quin és el percentil del 97,5%?

60,2 77,3 99,3 115,4 127,5 135,6144,1 152,9 163,7 172,8 .................

El pendent del gràfic probabilístic seminormal és igual a 1/ . Per tant � 1/20 0,05

L�ordenada en l�origen és m/ ; o sigui �m 90 0,05 4,5

El percentil del 97,5% és el valor de la variable que deixa a la seva esquerra una probabilitat igual a 0,975

Z0,025 = 1,96 ln X = m + z = 4,5 + 1,96 × 0,05 = 4,598 x = 99,3 h

44. Calcula la fiabilitat d�un aparell format per dos subsistemes en sèrie. El primer té 6components, de fiabilitat individual igual a 0,90, i perquè funcioni cal que ho facinalmenys 4; el segon està format per 8 components de fiabilitat individual 0,80 i perfuncionar requereix que ho faci la meitat dels seus components, com amínim.0,9072 0,9123 0,9286 0,9303 0,9740 0,9779

0,9804 0,9818 0,9827 0,9997 .................

Sigui X el nombre de components que funcionen en el primer subsistema:

X ~ b(n = 6; p = 0,9).

La fiabilitat del primer subsistema serà

R1 = P(X 4) = 1 B(3; 6; 0,9) = B(2; 6 ; 0,1) = 0,9842

Sigui Y el nombre de components que funcionen en el segon subsistema:

Y ~ b(n = 8; p = 0,8).

LESTAD

ETSEIAT UPC



110

La fiabilitat del segon subsistema serà

R2 = P(Y 4) = 1 B(3; 8; 0,8) = B(4; 8 ; 0,2) = 0,9896

La fiabilitat del sistema format pels dos subsistemes en sèrie és

R =R1 × R2 = 0,9842 × 0,9896 = 0,9740

En unes proves de durada (Km) d�uns pneumàtics GRIP i SUPERGRIP, que són acceptablement Normals, s�ha obtingut

durades mitjanes desviacions tipusGRIP 44776 44554 45676 44690 44979 44935 442,01SUPERGRIP 45107 45336 46007 47820 42905 45435 1770,15

45. Què val l�estadístic de la prova per verificar la igualtat de variàncies?0,027 0,043 0,049 0,062 0,079 12,728

16,038 20,226 23,522 37,525 .................

Per resoldre la prova H0: 2 21 2 contra H1: 2 2

1 2 , l�estadístic emprat és2122

SF

S.

Al ser indiferent quina és la població que es considera com X1 i quina com X2, resulta

Fcalculada = 442,012 / 1770,152 = 0,062 o bé

Fcalculada = 1770,152 / 442,012 = 16,038

46. Quin és el valor absolut de l�estadístic de la prova per verificar la igualtat de mitjanes?0,194 0,234 0,605 0,613 0,722 0,830

1,215 1,233 1,403 1,499 .................

Per verificar la igualtat de mitjanes cal provar, prèviament, si les variàncies són admissiblement iguals. Veient els valors de l�estadístic de la prova d�igualtat de variàncies, i per qualsevol valor raonable de , és evident que no es poden considerariguals. En conseqüència, s�ha de resoldre per mostres aparellades

duradesX: GRIP 44776 44554 45676 44690 44979Y: SUPERGRIP 45107 45336 46007 47820 42905W = X Y 331 782 331 3130 2074

LESTAD

ETSEIAT UPC



111

W 500 2WS 3419756

L�estadístic de la prova ésW W

WT

S / n

El seu valor absolut és igual a |Tcalc |= 0,605

47. Per verificar, amb = 0,05, si es pot acceptar que la variància d�una mesura (distribuïda Normal) és menor o igual que 20, es disposa d�una mostra amb n = 6; X 185,3 i S2 =

2,216. Quin és el nivell de significació de la prova?0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,950

0,975 0,990 0,995 0,999 .................

Es tracta de la prova H0: 2 20 contra H1: 2 > 20. La regió crítica queda a la dreta i el

seu estadístic, distribuït segons una llei de 2 de paràmetre igual a n 1, és2

2(n 1) S

.

Amb les dades disponibles el valor adquirit per l�estadístic és 5 2,216 / 20 = 0,554

El nivell de significació, d�una prova unilateral, és la probabilitat de l�estadístic en la direcció de la regió crítica. Així

p val = 25P 0,554 = 0,990

En un model lineal es disposa de 8 punts diferents repetits cadascun 2 cops. S�ha ajustatun model saturat i s�ha obtingut SQT = 518 i SQR = 52

48. Què val l�estadístic que verifica si el model és significatiu?4,59 5,21 7,04 7,91 8,85 10,24

12,26 13,45 17,41 20,85 .................

El nombre total de punts experimentals és n = 8 2 =16.

El nombre de punts diferents és vuit, per tant, el model saturat té 8 termes, p = 8

L�estadístic de l�ANOVA de la regressió és

SQEx /(p 1) (518 52)/(8 1)F

SQR/(n p) 52/(16 8)10,24

LESTAD

ETSEIAT UPC



112

49. Després d�eliminar tots els termes no significatius, el model ha quedat reduït a unarecta amb un pendent estimat com 1,3120 amb un error tipus de 0,50. Quin és el pvalue de la prova de significació del pendent?0,001 0,002 0,003 0,005 0,010 0,020

0,025 0,050 0,100 0,200 .................

En aquest moment n = 16 i p = 2. L�estadístic de la prova T per verificar la significaciód�un coeficient, el pendent en aquest cas, és

1

1

�

� 1,3120t 2,624

S 0,50

El nivell de significació en una prova bilateral, com l�actual, és igual al doble de laprobabilitat de l�estadístic en la direcció de la regió crítica més propera, o sigui

p val = n p 142 P T 2,624 = 2 0,010 = 0,020

El gràfic probabilístic d�un estudi de vida d�uns components ha presentat un molt bonajust al model ln R(t) = 0,0025 t

50. Quin és el valor estimat pel percentil 90?94,3 184,8 239,1 419,9 481,6 643,8

758,8 921,0 1198,3 1564,8 .................

El percentil 90 és el valor de la variable que acumula una probabilitat igual 0,90, o sigui, que té una fiabilitat igual a 0,10. Així

ln R(t) = 0,0025 t ln 0,10 = 0,0025 t(P90) t(P90) = 921,0

51. Quina és la fiabilitat estimada per t = 10 d�un sistema en sèrie de 5 dels components anteriors?0,368 0,417 0,472 0,535 0,592 0,687

0,779 0,882 0,939 0,975 .................

Del gràfic probabilístic es dedueix que el model ajustat és exponencial de = 0,0025.La fiabilitat de cada component per t =10 és

R(10) = exp( 0,0025 10) = exp ( 0,025)

La fiabilitat del sistema de 5 components en sèrie és

RS(10) = (R(10))5 = exp( 0,025 5) = 0,882

Documents

EXERCICIS PROPOSATS · 2019. 10. 11. · LESTAD ETSEIAT UPC Enunciats exercicis examen final M. Albareda I. Algaba S. Casadesús M. Pepió 26 10.Enunmodellinealambordenadaal origen(X