ROLUL DERIVATEI DE ORDINUL I ȘI II

Grupa: V.I.P Membrii -Inclezan Ioana -Petran Alexandra -Pojar Paul -Purcel Ioana -Trif Andreia -Sandor Sorina

Faur Ionuț

CUPRINS Noţiuni teoretice

1. Definiţii, teoreme2. Tabel-ex

Problemă din subiecte de bacalaureat - rezolvată

Problemă compusă si rezolvată de grupă

Aspecte din timpul desfăsurării proiectului

Bibliografie

NOŢIUNI TEORETICEROLUL DERIVATEI DE ORD. I IN STUDIUL FUNCTIILOR

Def. Fie , I interval , Punctul a se numeşte punct de minim relativ (local) al funcţiei f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât

Punctul a se numeşte punct de maxim relativ (local) al funcţiei f

dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât Punctul a, care este punct de minim relativ sau punct de maxim

relativ, se numeşte punct de extrem relativ (local) .

,f x f a x I V

,f x f a x I V

RIRIf ,:

NOŢIUNI TEORETICEROLUL DERIVATEI DE ORD. I IN STUDIUL

FUNCTIILOR

T.1. Fie un interval şi o funcţie derivabilă. Dacă funcţia f este monoton crescătoare ( respectiv monoton

descrescătoare), atunci (respectiv ).

T.2. 1. Dacă (respectiv ), atunci funcţia f este strict crescătoare (respectiv monoton crescătoare).

2. Dacă (respectiv ), atunci

funcţia f este strict descrescătoare (respectiv monoton descrescătoare).

0,f x x I 0,f x x I

0,f x x I 0,f x x I

0,f x x I 0,f x x I

RI RIf :

NOŢIUNI TEORETICE

Tabel-exemplu

M

f x

f x

0xx

0f x

m

x 0x f x f x

0

0 0f x

NOŢIUNI TEORETICEROLUL DERIVATEI DE ORD. II IN STUDIUL FUNCTIILOR

Teoremă Fie un interval şi o funcţie de două ori

derivabilă. Atunci: este convexă pe dacă şi numai dacă ; este concavă pe dacă şi numai dacă .

Observaţie dacă derivata a doua are semne diferite de o parte şi de alta a

unui punct din şi dacă este continuă în , atunci se numeşte punct de inflexiune.

ff

II

0,f x x I

0,f x x I

f 0x I f 0x

0x

RI RIf :

1 SE CONSIDERA FUNCTIA : a) Sa se calculeze: b) Sa se arate ca f este crescatoare pe R c) Sa se calculeze unde

REZOLVARE : a) b)

c)

PROBLEMA DIN SUBIECTE DE BACALAUREAT- REZOLVATA DE GRUPA V.I.P

xx eexfRRf )(,:

0

( ) (0) (0)limx

f x f fx

)2009(...)1()0( gggS : , ( ) ( ) ( )g R R g x f x f x

( ) ( ) ( ) ( )x xf x e e x )1( xx ee

xx ee 0 0(0)f e e 2

x( )f x

)(xf

( ) x xf x e e ( )x xe e x 1 xx eexx ee

)()( xxxx eeee )(22 xge

eeeee xxxxxx

)2009(...)1()0( gggS

2010

0 1 2009 2 2009

1 12 2 2 1 1 1... 2 1 ... 2 1 1

eSe e e e e e

e

1. Se considera functia: a) Sa sa calculeze

b) Sa sa arate ca f este concava pe

c) Sa se arate ca pentru oricare

REZOLVARE: a) b)

PROBLEMA COMPUSA DE CATRE GRUPA V.I.P

xx

xff ln1)(),,0(:

2

( ) (2)lim2x

f x fx

1( ) (ln )f x xx

2

1 1x xx

xx110

2

)

2

1 1x

x x

2

1xx

2

1 2 1(2)2 4

f

2

1( ) xf xx

2 2

2 2

( 1 ) ( 1 ) ( )( )

x x x xx

4

2 2)1(x

xxx

4

2

4

22 222x

xxx

xxx

022 xx

021

cba acb 42

40)1(422

020

222

2

224

222

2

2

1

abx

abx

x 0 2 + 0 -

)(1 xf

)(xf

1)( xf ),0( x

0;2

2

( ) (2)lim 22x

f x f fx

2f

PROBLEMA COMPUSA DE CATRE GRUPA V.I.P

c)

Din tabel observam ca 1 este valoarea minima a functiei f pe intervalul , prin urmare

2

1( ) 0 0 1 0xf x xx

1x

- +

)(1 xf

)(xf

0x 1

01min

11ln11)1( f

0; 1, 0;f x x

ASPECTE DIN TIMPUL DESFĂSURĂRII PROIECTULUI

ASPECTE DIN TIMPUL DESFĂSURĂRII PROIECTULUI

BIBLIOGRAFIE

Grup de autori, coordonatori Marius si Georgeta Burtea: Culegere de exercitii si probleme Matematica M2, Editura Campion, 2009

Ion Necşuleu, Tatiana Saulea, Cristian Buican, Mihai Postolache (coordonator): Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M2, Editura Fair Partners, 2006

Costel Chiteş, Ioan Marinescu, Boris Singer, Gh. Stoianovici, Romeo Ilie, Gabriela Streinu – Cercel : Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M1, Editura Sigma, 2001

I. Petrică, E. Constantinescu, D. Petre : Probleme de analiză matematică, vol. I (clasa a XI-a), Editura Petrion, Bucureşti, 1993

Grup de autori : Bacalaureat 2009, Matematica MT2, Editura Campion, 2009

www.edu.ro www.didactic.ro www.mate.info.ro