GRUP

1. Pengantar

Grup adalah suatu sistem (struktur) aljabar yang sederhana. Suatu himpunan G dengan suatu operasi biner yang didefinisikan bagi elemen-elemen G bersifat asosiatif, mempunyai elemen identitas dam dan setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi biner tersebut, maka himpunan G terhadap operasi biner, itu membentuk suatu grup. Selanjutnya ketiga sifat tersebut dinamakan aksioma-aksioma dari suatu grup.

Oleh karena itu sebelum' mempelajari grup, Anda harus memahami pengertian operasi biner pada suatu himpunan beserta sifat-sifat operasi biner pada himpunan itu. Misalnya, sifat asosiatif, sifat komutatif, adanya elemen identitas dan adanya invers suatu elemen pengurangan, pembagian dan lain-lainnya. Kecuali operasi-operasi hitung yang telah Anda kenal, kita; dapat mendefinisikan suatu operasi pada elemen-elemen himpunan tertentu. Selanjutnya, kita dapat menyelidiki apakah operasi itu merupakan operasi biner pada himpunan tersebut, apakah operasi itu pada himpunan bersifat asosiatif, kumutatif dan sebagainya pada himpunan tersebut?

Sekali lagi, grup adalahl suatu struktur aljabar yang sederhana daii merupakan dasar'untuk mempelajari struktur aljabar lainnya seperti Ring, Integral Domain, Field dan lain sebagainya. Oleh karena itu memahami dengan seksama pengertian grup dan aksioma-aksiomanya serta Sifat-sitat dari grup merupakan syarat utama dalam mempelajari Aljabar Abstrak.

2. Tujuan Instruksional Umum

Setelah mempelajari modul ini, Anda dapat memahami jenis-jenis operasi biner dan konsep operasi biner pada suatu himpunan,sehingga dapat mengidentifikasi suatu himpunan terhadap suatu operasi yang merupakan suatu grup.

3. Tujuan Instruksional Khusus

Setelah rnempelajari materi dalam modul ini, Anda dapat :

menentukan operasi biner bila diberikan suatu operasi pada himpunan tertentu;.tampil melakukan operasi biner pada elemen-elemen suatu himpunan;mengidentifikasi apakah suatu operasi biner pada suatu himpunan bersifat kumutatif, asosiatif, memiliki enam identitas dan adanya invers untuk setiap himpunan itu. Menentukan invers suatu elemen dan elemen identitasnya jika didefinisikari suatu operasi biner pada suatu himpunan;mengidentifikasi suatu himpruian hilangan terhadap operasi tertentu merupakan suatu grup;mengidentufikasi suatu himpunan permutasi elemen tertentu terhadap suatu operasi merupakan suatu grup;'mengidentitikasi suatu himpunan operast simetri terhadap operasi perkalian o merupakan suatu grup.

4. Kegiatan Belajar

4.1 Kegiatan Belajar I

OPERASI BINER

4.1.1 Uraian dan Contoh

4.1.1.1 Definisi Operasi Biner

Misalkan Q adalah himpunan bilangan rasional fmtuk setiap a, b Q maka (a + b) Q, (b + a) Q, (a x b) Q, (h' x a) Q, (a - b) Q dan (b - a) Q. Penjumlahan, pengurangan dan p 5.

Contoh 1.1A =,{ 2, 4,; 6, 8, ...} yaitu himpunan bilangan asli genap dan dipandang operasi +, yaitu operasi penjumlahan seperti yang telah kita kenal. Maka merupakan operasi biner pada A, sebab jumlah setiap dua bilangan asli genap selalu merupakan bilangan asli genap dalam A.

Contoh 1.2 A= { 1, 3,1 , 5, 7, ... } yaitu himpunan, bilangan asli ganjil dan pandang operasi - yaitu operasi, pengurangan seperti yang sudah kita kenal. Perhatikan bahwa 1- 7=-6 dan - 6 B maka - bukan merupakan operasi biner B, sebab ada hasil dua anggota B yang bukan

Contoh 1.3 Perhatikan S.= {0, 1, 2, 3, 4} dan pandang operasioperasi operasi penjumlahan dan pengurangan. Maka baik penjumlahan, maupun pengurangan bukan merupakan operasi biner pada S. Coba jelaskan!

Operasi pada suatu himptiuzan tidak hanya operasi-operasi hitung yang sudah kita kenal seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, tetapi dapat berupa apa saja'asal didefinisikan dengan jelas. Misalkan ope'rasi opada contoh berikut ini.

Contoh 1.4Perhatikan C ={ a, b, . c, d., e} dan , operasi o pada C didefinisikan seperti pada tabel 1.1 berikut ini:

o

a b c d e

a

b

c

d

e

a b c d e

b c d e a

c d e a b

d e a b c

e a b c d

Tabel 1.1

Cara membaca tabel 1.1, d yang dilingkari adalah hasil dari b o c dan ditulis b o c = d. Selanjutnya Anda dapat memeriksa bahwa c o e = b, d o b = e, a o d= d. d.an sebagainya. Andapun dapat memeriksanya bahwa setiap x, y C maka (x o y) C pula. Ini berarti operasi o pada C adalah suatu operasi .biner. Seringkali operasi biner o pada S dinyatakan sebagai "Himpunan S tertutup terhadap operasi o". Maka Contoh-contoh 1.1; 1.2, 1.3 dan 1.4 di atas berturut-turut dapat dikatakan sebagai berikut.

Himpunan bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan: Himpunan bilangan asli ganji1 tidak tertutup terhadap pengurangan S = {0, 1,2, 3, 4} tidak tertutup baik terhadap pengurangan maupun terhadap penjumlahan.C = {a, b, c, d, e}, dengan operasi o yang didefinisikan seperti pada tabel 1.1 tererhadap opeasi o

4.1.1.2 Jenis-jenis Operasi Biner

Perhatikan N= {1, 2, 3, 4, ... } yaitu himpunan bilangan asli. 3 + 4= 4 + 3, 5 + 10 = 10 + 5, 103 + 271 = 271 + 103 dan sebagainya. Secara umum dapat dikatakan bahwa untuk setiap a, b N maka a +b = b + a. Dengan perkataan lain bahwa oparasi biner penjumlahan pada bilangan-bilangan asli bersifat komutatif..

Definisi 1.2 Suatu operasi biner o pada suatu himpunan S dikatakan komutatif bila dan hanya bila untuk setiap,x, y S maka x o y = y o x.

Dengan simbol logika ditulis:

Operasi biner o pada S, komutatif bila dan hanya bila dan hanya bila.

x, y Sx o y = y o x

Contoh 1.5 (1) Apabila Q+ adalah himpunan bilangan rasional positif maka penjumlahan dan perkalian masing-masing merupakan operasi-operasi biner yang komutatif pada Q+ pembagian pada Q+ bukan merupakan operasi biner yang komutatif. Periksalah kebenaran pernyataan-pernyataan tersebut?

(2) Perhatikan kembali contoh 1.4 di atas, yaitu operasi biner o pada S={ a, b, c, d, e} yang didefinisikan menurut tabel 1.1. Operasi biner o pada S itupun merupakan operasi biner yang komutatif. Periksalah bahwa a o b = b o a = b, d o e = e o d = c, b o d = d o b = e dan sebagainya. Untuk memeriksa dengan cepat bahwa operasi biner o pada S pada tabel 1.1 bersifat komutatif adalah sebagai berikut;

Urutan elemen-elemen pada baris dari kolom yang bersesuaian sama. Perhatikan tabel 1.1, misalnya urutan elemen-elemen pada kolom kedua yaitu b, c, d, e, a dan urutan elemen-elemen pada baris kedua pun b, c, d, e, a, pula. Coba.periksa urutan elemen-elemen pada kqlom pertama dan baris pertama, kolom ketiga dan baris ketiga, kolom keempat dan baris keempat, kolom kelima dan baris kelima. Semua urutan elemen-elemen sepasang-sepasang sama. Atau dapat diperiksa sebagai berikut.Pada tabel 1.1 ditarik garis putus-putus condong kekiri yaitu diagonal utama tabel itu. Perhatikan bahwa tabel tersebut simetris terhadap diagonal utama. Jika suatu table operasi ternyata elemen elemenya simetris tergadap diagonal utama maka operas itu bersifat komutatif.

(3) P adalah himpunan semua matriks bujursangkar berordo 2. Apakah perkalian matriks pada P merupakan operasi yang komutatif ? ambil misal:

13-231-12

241-50-14

-2-31346

1-524-9-17

Maka 13-23-2313

241-51-524

Jadi perkalian matriks pada P tidak bersifat komutatif

Perhatikan B = { ..., -3, -2., -1 , 0, 1, 2, 3, ... } yaitu himpunan bilangan bulat:

(3+ 5) + (- 2) = 3 + (5+ (-2)).

(7+ (-2) ) + (-4) = 7 + ((-2) + (.-4)) dan sebagainya

Secara umum untuk setiap x, y, z B berlaku (x +-y) + z = x + (y + z).

Hal ini dikatakan bahwa operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat B bersifat asosiatif.

Definisi 1.3 Suatu operasi biner o pada suatu him punan' S bersifat asosiatif bila.dan hanya bila untuk setiap x, y, z S berlaku (x o y) o z = x o (y o z). Dengan simbol logika dituliskan:

Operasi biner o pada S bersifat assisiatif bila dan hanya bila x, y, z S, ( x o y) o z = x o (y o v)

Contoh 1.6 (1) Pada himpunan bilangan asli, baik perkalian maupun penjumlahan bersifat asoatiatif. Periksalah kebenarannya !

(2) Perhatikan kembali tabel 1.1 pada contoh 1.4.

(b o c) o d = d o d = b dan b o (c o d) = b o a = b jadi (b o c) o d = b o (c o d) (d o e) o d = c o d = a dan d o (e o d) = d o c = a Jadi (d o e) o d = d o (e o d) dan seterusnya periksalah sendiri.

Sehingga operasi biner o pada S={ a, b, c, d, e} yang didefinisikan seperti pada tabel 1.1 bersifat asosiatif.

(3) R adalah himpunan bilangan real. Operasi biner o pada R didefinisikan sebagai berikut: Untuk setiap a, b R. (a o b) o c = (a + 2b) o c = a + 2b + 2c dan a o (b o c) = a o (b + 2c) = a + 2b + 4c. Apakah operasi biner o pada R bersifat asosiatif ? Ambil sembarang a, b; c e R. (ao b) o c = (a+2b) o c = a + 2b + 2c dan a o" (b o.c) = a o(b + 2c) = a+ 2b + 4;.. Maka (a o b) o c~ a o(b o c)'. Jadi operasi biner o pada R tidakosiatif. Perhatikan C={ U, 1, 2; 3, 4, ...} yaitu himpunan bilangan cacah. 2 + U= U+ 2=2, 7 + 0 = 0 + 7= 7, 102 + U= 0 + 102 = 102 dan seterusnya.;; Secara umum, untuk setiap xc,C berlaku x + U= 0 + x= x. Dalam hal ini0 disebut elemen identitas (elemen netral) dari C terhadap penjumlahan.

Definisi 1.4Suatu himpunan S dikatakan mempunyai elemen identitas (elemen netral) terhadap operasi biner o bila dan hanya bila ada elemen u e S sedemikian hingga untuk setiap x e A berlaku x o u= u o x= x.'

Contoh 1.7 (1) B=I ...-3, -2, -1, U, 1, 2, 3, ... }

Elemen Identitas dari $ terhadap penjumlahan adalah 0, sedangkan elemitas dari B terhadap parkalian adalah 1. Periksalah kebenaran pernyataan itu!

(2) Misalkan P adalah himpunan semua matriks buj ur sangkar berordo 2. Kita telah menpetahui bahwa

a b1010abab

= =

cd0101cdcd

Maka elemen identitas dari P terhadap perkalian matriks adalah

10

01

Sedangkan elemen identitasdari P terhadap penjumlahan adalah

00

00

(3) Perhatikap lagi contoh 1.4 di atas, yaitu operasi biner o pada Sa, b, c, d, eI yang didefinisikan menurut tabel 1.1,, Coba periksalah bahwa elemen identitas dari S terhadap operasi biner o alalah a.

Perhatikan sekali lagi tiga contoh tersebut, himpunan himpunanya terhadap suatu operasi biner. Apabila himpunan itu mempunyai elemen identitas, maka elemen identitas ini tunggal.

Teorema 1.1 Jika himpunah S terhadap operasi binerr o, mempunyai elemen identitas maka elemen identitas itu tunggal.

Bukti: Misalkan himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen elemen identitas ul dah u2 dengan ul, u2 E S. Karena u- elemen identitas dari S dan _u 2L S maka u1 o u2 = u2 o u1 = u2. Demikian pula, karena u2 elemena s dari S' dan u E S maka u o u = u o u = u Jadi u~u2. Ini berarti elemen idecititas dari S terhadap operasi binero adalah tunggal.

Perhatikan himpunan bilangan bulat B={..., -2, -1 , 0, 1, 2, ...} 3 + (-3) _ (-3) + 3 = 0,,;(-S) + 5 = 5 + (-5) = 0 dan sebagainya. Kita telah mengetahui bahw! Q adalah elemen identitas ciari R terhadap penj umlahan. Jika diambil sembarang a Bmaka b B,sehingga a+b = b + a=-o yaitub = -a. Maka dikatakan bahwa b adalah invers penjumlahan dari a pada b.

Definisi 1.5 Misalkan himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen idntitas u. Suatuu elemen xS dikatakan invers dari xS terhadap operasi biner o bila dan hanya bila ; xoY- Yox= u.

Invers dari x terhadap suatu operasi,biner ditulis x-1 (dibaca "invers x"). ;

C;ontoh 1.8 (1) Q adalah himpunan bilangan rasional. Invers penjumlahan dari adalah Sebab dan 0 adalah elemen identitas 0 terhadap penjumlahan. Sedang invers perkalian dari adalah 2, sebab dan 1 adalah elemen 0 terhadap perkalian.

(2) Perhatikan kembali contoh 1..4, yaitu operasi biner o pada S= t a, b; c, d, e} yang didefini~ikanf menurut tabel 1.1. S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas a. Perhatikan bahwa b o e =e' o b= a. Ini berart,i dan tentu saja e-1= b. Coba periksalah bahwa a, c l_ dan d- berturut-turut adalah a, d dan c.

(3) Perhatikan S= (0, 1; 2, 3) yaitu himputian bilangan jam empatan. Operas i penjumlahan + pada S didef inis ikan seperti pada tabel 1.2.

+

0123

0

0123

1

1230

2

2301

3

3012

Tabel 1.2

Elemen identitas dari S terhadap penjumlahan adalah o (mengapa?). Mudah Anda periksa bahwa:

0-1=0

1-1=3

2-1=2

31-=1

Perhatikan contoh-contoh 1.8; tersebut, setia elemen pada suatu himpunan terhadap suatu operasi biner. Jika elemen itu mempunyai invers maka invers dari elemen itu tunggal. Hal ini secara formal dinyatakan sebagai teorema berikut ini

Teorema 1. 2 Misalkan o adalah suatu operasi biner pada himpunan S. , Jika xS mgmpunyai invers terhadap operasi o maka invers dari x tersebut tunggal.

Bukti: Misalkan invers dari x S terhadap operasi biner o adalah xl dan x2 dengan x! ; x2 S dan misalkan elemen identitas S terhadap operasi biner o adalah u. Karena x adalah invers dari x maka x o x = x 0 x= u. Demikian pula, karena x, adalah invers dari x maka x o x x o x= u., Maka x- x Ini berarti bahwa invers dari x terhadap operasi bin er' o adalah tunggal.

Perhatikan: himpunan bilangan real R dengan operasi-operasi biner penjumlahan dan perkalian, Ambil sembarang a, b, c, R maka a x (b + c)= (a x b) + tax c) yang lazim disebut sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan pada R.

Jika R-(0) dengan ope'rasi-operasi penjumlahan dan pembagian, maka untuk sembarang a, b, cq (-- R berlaku (a + b) :c =(a :. c) + (b : c) yang biasa disebut sifat distributif kanan pembagian terhadap penjumlahan pada R-(0). Apakahh pada R berlaku sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan? Dan apakah juga berlaku sifat distributif kiri pembagian terhadap penjumlahan?

Definisi 1.6 Misalkan operasi-operasi biner o dan o terdefinisikan pada suatu himpunan S.

(1) Jika untuk setiap x, y, z S berlaku x o(y o z) (x e y) o(xnz), maka pada S berlaku sifat distributive kiri o terhadap o."

(2) Jika untuk setiap x, y, z S berlaku (y o z) o x= (y,& x) 6, (z n x) maka pada S berlaku sifat distributif kanan terhadap o.

Contoh 1.9 (1) Misalkan B={..., -3, -2, -1, 0, 1.., 2, 3, ...} dan dipandang operasi penjumlahan + seperti yang sudah kita kenal, sedang operasi o pada B didefinisikan ,jika a, b, E B maka a, o b2= a2b. Ambi 2 semb~rang a, b, c G B maka a,& (b + c) ~ a (b + c) = a b + a. c dan (a o b) +(a e c) = a2b + a2c.

Jadi aa (b; + c) _(a a b) + (a a c). Maka pada B berlaku sifat dist>?ibutif kiri A tert~adap penjumlah~n. Sedangkan (a + b) o C=(a + b)2 c= a1c + 2 abc + blc dan (a e c) + (b o c) = a2c + b2c.

Maka (a +~b) o c~ (a o c) +(b D c). Ini berarti bahwa pada B tidak berlaku sifat distributif kanan operasi terhadap pen,j umlahan.

(2) Misalkan M adalah himpunan semua r~atr.iks bujursangkar berordo 2, dan dipandang;operasi perkalian dan penjurnlahan matriks. Tunjukkan dengan contoh

Bahwa A (B + C)AB + AC yait~u sifat distributif kiri perkalian terhadap penj umlahan matriks d,an (A'+ B) C= AC + BC, yaitu sifat ditt'ributif kanan perkalian terhadap penjumlahan matriks. pada M.

4.1.2 hatihan 1

Selesaikan soal-soal berikut ini

1 a) Tunjukkan dengan tabel bahwa perkalian inerupa{can operasi biner pada himpunan S={i, -I } dengan i=

b) Tunjukkan bahwa S terhadap perkalian (i) bersifat komutatif (ii) bersifat asosiatif (iii), mempunyai elemen' identitas dan (iv) setiap elemennya mempunyai invers.

2) Perhatikan tabel 1.3 berikut ini yang inerupakan definisi dari operasi 'o pada himpunan S={ a, b, c, di.

a

ab cd

a

b

c

d

d

a

b

c

a

c

d

b

cb

bd

aa

dc

Tabe l 1. 3

Apakah o merupakan operasi biner pada $? JelaskanlApakah o pada S.bersifat konutatif? Jelaskani Apakah o pada S bersifat asosiatif? JelaskanlApakah S terhadap,operasi o menpunyai elemen identitas?Apakah setiap elemen S terhadap operasi o mempunyai invers?

3) Pertanyaan sama dengan nomor 2 untuk operasi o pada S, _{ a, b, c, d} yang didefinisikan menurut tabel 1.4 berikut ini.

abcd

a

b

c

d

abcd

bcda

cdab

dabc

Tabel 1.4,!

4) Perhatikan lagi tabel 1.3 dan tab~l 1.4, benar pernyataan-pernyataan berikut ini?

a) a o(d t~ c) ,_ (a o d) ~(a o c)

b) (da c) oa=(doa) o (c o a)

c) d y(c o b) _(d 4,' c) o(d ~ b)

d) (c o b) Q d=(c L\':, d) o(b d)

Kunci Jawaban Latihan 1

a) Terlihat pada tabel 1.5 bahwa setiap hasil kali dua elemen S berada dalam S. jadi perkalian pada S merupakan operasi biner.

b) (1)operasi perkalian pada S bersifat komutatif, karena tabel 1.5 simetris terhadap diagonal utama .

(2) Operasi erian pada S besifat asosiatif. Misalnya ((-l) x i) x (-i) _ (-i) x (-i) = -1 (-1;)x(ix(=i))=(-1)x1=-1

Jadi ((-1) x i)'x (-i) _(-1) x (i xR)). Tunjukkan lainnya 1

(3)Elemen identitas terhadap perkalian pada S adalah 1.

(4) Invers terhadap ,perkalian untuk setiap elemen dari S adalah

2)a)operasi pada o pada S adalah operasi biner, karena setiap operasi dua elemen S berada dalam S

b)tidak bersifat komutatif, karena aoc = c dan coa = b

c)Tidak bersifat asosiatif, karena a o b) o c s a o. 0- c dan ao(boc)i= aob=a..

Maka (a o b) o c# a o(b o c) .

d) Tidak mempunyai elemen identitas, sehingga,;'

e) setiap elenen S tidak mernpunyai invers' terhadap operasi o.

3) a) Operasi pada S adalah operasi biner

b) Operasi pada S bersifat komutatif, ; karena tabel 1.4 simetris terhadap diagonal utama.

c) Operasi pada S bersifat asosiatif,:periksalahl

d) S terhadap operasi mempunyai elemen identitas, yaitu a, periksalahl

e) Setiap elemen S mempunyai invers terhadap operasi a, tunjukan invers setiap elemen S tersebutl

4) Semua salah , tunjukkanlah l

Misal (i) a o (d oc) = a o b = a dan a Q d) n, (a o c = b o c = d.

Maka a o (d o c) ~(a o d)v (a o c).

4.1.3 Rangkuman

Operasi biner o pada himpunan S adalah suatu pemetaan (fungsi) yang mengawankan setiap pasang (a, b)e S x S dengan tepat satu e lemen (a o b) S., Operasi biner o pada h,impunan $ sam artinya dengan himpunan S tertutup terhadap operasi oOperasi biner o pada S bersifat komutatif bila dan hanya bila untuk ber laku a o b a b o a.Operasi binero pada S bila dan hanya bila untuk setiap a b c S berlaku (a-o b) o'g a o (b o c) Himpiman S mempunyai elemen identitas terhadap operasi biner o bila dan hanya bila ada uS sehingga a o u.= u y a i a untuk setiap a S.Jika himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas, maka identitas itu tunggal.Jika u S adalah elemen identitas,dari S terhadap operasi biner o, m a k a y S adalah invers dari x e S terhadap operas~ biner oo bila dan hariya bi la x o y = y,o x= u.invers dari x Jika x S, mempunyai invers terhadap operasi biner, o, maka invers x itu tunggal. Misalkan o dan o adalah operasi-operasi biner yang didefinisikan pada himpunan S.

(a) Jika untuk setiap a, b, cS berlaku ao (b oc) - (a4 b) o (a o c maka S terhadap operasi-operasi biner dan o bersifat distributif kiri terhadap oA

(b) jika untuk setiap 'a, b, c S berlaku (b o c) 4 a= (b o a o (o oa). maka S terhadap operasi-operasi biner itu bersifat distributif kanan a ' terhadap o.

4.1.4 Tes Formatif 1

Lingkarilah A, B, C atau D yang menurut pendapat Anda paling tepat atau benar.

1) Operasi perkalian seperti yang telah kita kenal akan merupakan operasi biner pada S apabila S adalah .

A. { 1, 2, 3 }

B: { 1, 0, -1}

C. {0, -2, -1}

D. {1, -2, -3}

2) Pernyataan-pernyataan berikut ini, manakah yang benar?

A. Penjumlahan adalah operasi biner pada himpunan bilangan prima.

B. Perkalian adalah operasi biner pada himpunan bilangan bulat negatif.,

C. Pengurangan adalah operasi biner pada himpunan bilangan bulat.

D. Pembagian adalah operasi biner pada himpuraan bilangan rasional.

3) Operasi operasi biner o dan berturut-turut pada A={ p,q,r, t} didefinisikan seperti pada tabel 1.6 dan tabel 1.7 berikut ini.

Perhatikan tabel 1.6. Elemen elemen identitas dari A terhadap operasi biner o adalah

pqrs

4) Perhatikan tabel 1.7, elemen identitas biner dari A,terhadap operasi biner adalah

pqrt

5) Perhatikan tabel 1.7, pernyataan-pernyataan berikut ini manakah yang benar?

A. P-1=P.

B. P-1= r:

C. r-1= q,'

D. t -1= t,

6) Perhatikan. lagi tabel 1.6 dan tabel 1.7. Pernyataan-pernyataan berikut ini, manakah yang benar?

A. Pada A berlaku sifat distributif kanan o terhadap o,

B. Pada A berlaku sifat distributif kiri o terhadap a.

C. Pada A terhadap d bersifat asosiatif.

D. Pada A terhadap o bersifat kanutatif;

4.1.5 Umpan Balik dan Tindak Lanjut

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian belakang modul ini. Kem udian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap ;materi Kegiatan Belajar 1.

Runus :

Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban Anda yang benar X,100%.

6

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

69% = kurang

Bila tingkat penguasaan Anda mencapai di atas 80 %. Anda dapat meneruskan ke Kegiatan Belajar 2. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda di bawah 80 % Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1 terutama bagian yang belum Anda kuasai.,

4.2 Kegiatan Belajar 2

G R U P

4.2.1 Uraian dan Contoh

Operasi biner dan jenis-jenisnya yang telah kita pelajari dalam Kegiatan Belajar 1 modul ini akan kita gunakan untuk mendefinisikan gruf.

Definisi 1.7

Suatu himpunan G yang tidak kosong dan suatu operasi biner o yang didefinisikan pada G membentuk suatu grup bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut ini :

Operasi o pada C bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap a, b, c, C maka (a o b) o C = a o; (b o c)G terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas_, yaitu ada u G sedemikian hingga a o u= u o a= a untuk setiap a G.Setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi biner o dalaml G, yaitu untuk setiap a E G ada a E G sedemikian hingga a o a = a- lo a = u. 'u adalah elemen identitas dari G.

Jika himpunan G terhadap operasi biner o membentuk suatu grup, maka grup G ini dinyatakan dengan notasi "(G; o). Tidak setiap grup memiliki sifat komutatif terhadap operasi binernya. . Jika grup (G; o) misal memenuhi sifat bahwa:

(4) Operasi biner o pada; G bersifat komutatif yaitu untuk setiap a, b G maka a o b= b o a. Maka grup (G; o) disebut grup abelian (grup komutatif).

Contoh 1.10

(1) Himpunan bilangan bulat B={..., -2,0, 1, 2, ... } terhadap operasi biner penjumlahan +.

(a) Sifat asosiatif dipenuhi yaitu penjumlahan bilangan-bilangan bulat bersifat asosiatif.

(b) B terhadap operasi + mempumyai elemen identitas yaitu 0, sebab untuk setiap a B Maka a + 0= 0+ a = a.

(c) Setiap elemen B mempunyai invers terhadap operasi +, yaitu setiap a B ada a; B sehingga a+(-a) _(-a) + a - 0. Jadi B; merupakan suatu grup dan ditulis (B; +) suatu grup:

(d) Sifat komutatif dipenuhi pula, yaitu untuk setiap a, b B maka a,+ b= b + a. Jadi (,B.-,+) suatu grup abelian.

(2) D={ 1. -1 } terhadap operasi operasi perkalian x, operasi perkalian x pada D merupakan operasi biner (mengapa?).

(a) Sifat asosiatif perkalian pada D dipenuhi (tunjukkan! )

(b) D terhadap operasi perkalian mempunyai elemen identitas, yaitu 1.

(c) Setiap elemen D terhadap operasi perkalian mempunyai invers, yaitu 1= 1 dan (-1) = 1.

Jadi (D; x) suatu grup. 'Ilmjukkan bahwa (p; x) suatu grup abelian.

(3) G={ 2, 4, 8 dengan operasi perkalian modulo 14 merupakan suatu grup. Kita ingatkan relasi kongruensi dalam Teori Bilangan 8 x 4= 32 =_ 4 (mod. 14) sebab (32 - 4) adalah kelipatan dari 14. Tabel 1.8 berikut ini menyatakan semua hasil operasi perkalian

Tabel 1.8

Tampak pada tabel 1.8 bahwa operasi perkalian modulo 14 pada G merupakan operasi biner (mengapa?)

(a) Sifat asosiatif dipenuhi (tunjukkan)

(b) G terhadap operasi perkalian modulo 14 mempunyai elemen identitas, yaitu 8 (mengapa?)

(c) Setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi perkalian

modulo 14,-yaitu1

2= 4; 4 1= 2 dan 8-1 = 8 (mengapa?)

modulo 14 pada G={ 2,

/ ~

,

E G,-)ec~t~,*,~~- fg

0-4 .'"4w-) "'-I

* zq 6 C) ,a"{-~~i~7

(4)

Jadi, (G; x) merupakan suatu grup. Tunjukkan bahwa (G; x) suatu grup abelian.

H={ U, 1, 2, 3} yaitu himpunan semua residu terkecil modulo 4. Operasi penjumlahan modulo 4 adalah operasi biher pada H. Semua

has i 1 operas i pen j umlahan modulo 4 pada H d i tun j ukkan pada tabel 1.9 berik-ut.

1.16

D

S,

u

n

,

+

0

1

0

0

1

2

1

1

2

3

2

2

3

0

9

3

3

1

2

Tabel 1.9

Tunj ukkanlah, dengan memeriksa sifat asosiatifnya, adanya elemen identitas dan setiap ,elemen H mempunyai invers terhadap penjumlahan modulo 4, bahwa (H;,; +) suatu grup? Tunjukkan pula bahwa (H; +) suatu grup abelian.

'

Suatu gLuap den ari ll o erasi biner erkalian disebut ru multiplikatif,dan jika operas inya peniuml.ahan disebut Frup aditif.p

en sua u G diCulis dengan notasi "Q lC,l" dan disebut order dari grup G. Suatu ~r~, yang banyaknya elemen tak berhingga (infinitel disebut ,grup tak berhin-a (grup infinite), sedang suatu grup yang banyahya elemen berhingga disebut &pup berhi

Jika G suatu grup yapg ordernya kecil (banyaknya elemen G sedikit) maka untuk melihat sifa't-sifatnya akan mudah apabila kita menyusun tabel hasil operasi biner dari setiap pasang elemen G. Untuk memudahkan dalam melihat sifat-sifatnya maka penvusunan tabc selalu memperhatikan hal-hal seba~ai berikut:,,

(1) Elemen identitas ditplis pertama kali.

2) Urutan penulisan elemen-elemen yang disusun mendatar sama dengan urutan elemen-elemen!yang disusun menurun.

(3) Elemen pertama dalam,mengoperasikan diambil dari elemen-elemen yang disusun menurun dan elemen keduanya diambil daft elemen-elemen yang disusun mendatar.;

(4) Tabel selalu berbentuk bujur sangkar dengan setiap baris maupun kolornimemuat setrnaa elemen dari grup tersebut. Perhatikan contoh-coritoh.berikut ini!

Contoh 1.11', M=~ 1, 2, 3, 4} dan !~operas i perkalian modulo 5. Basil operas i

perkalian modulopada M ditunjukkan dalam tabel 1.10 berikut ini. i

,

1.17

x

1

3

3

114,

2

4

4

3

2 ~

,

Tabel 1.10

Tam pak pada tabel 1.10 bahwa operasi perkalian modulo 5 pada M merupakan operasi.biner, karena setiap hasil operasi perlc,alian modulo 5 dari dua elesnen M adalah elemen M pula.

Elemen identitas dari M dicari dengari melihat baris atdu kolom dari 1-wi1 oPerwl Yac~ ucvtan eler~wre.1H'gir'ya Sara da-gai ueutan Fa3a ia-is Pertam atai lmlnn pa-tara. Ulan h31 ini, eLaren idantitas dar-i M xialah 1. Ir&~ setiap' eleren: d icar i

dengan meliha~ hasil operasi yang sama dengan elemen identitas.: Misalnya, 2 dicari denQan m elihat 2 pada;kolom pertama ke kanan sa,Fai 1, tens W a+.as hiiUa Lwis pa:tam, yaitu 3. Ber-arti 2-1 = 3. Dan dari 2peda

bazi-s pert~ m-Lnn hiW 1, tmr, lae kiri WW loc)lon PqrtaTa yaitu 3,bm:arti 2 1= 3. Sifat komutatif ditunjukkan bahwa tabej sinfetris terhadap diagonal utama (garis putus-putus pada tabel 1.10)1 Hal ini disebabkan letak dari a x b dan b x a simetris terhadap diagonal utama. Memperhatikan hal itu semua, M terhadap operasi perkalian modulo 5 membentuk suatu

gruP

Contoh 1.12

K={a, b, c, d}dan operasi biner o pada K didefinisikan menurut-tabel 1.11 berikut ini.

o

a

c

d

a

b

c

b

d

a

C

c

b

a

a

b

c

c

a

d

b

Tabel 1.11

Operasi biner o pada K bersifat dsosiatif (tunjukkani) Memperhatikaxt tabel 1.11, elemen identitas K terhadap operasi biner o

adalah c(mengapa ?) sehingga d-1 = d; b-1 = b; c 1= c dan d-1 = a.

Karena tabel 1.imetrerhada dia onal utam a maka o erasi biner o Pada K bersifat kpmutatif. Jadi (K; o) suatu grup abelian.

1.18

Contoh 1.13

Perhatikan persegi panjang ABCD pada gambar 1.1 berikut ini.

3

x dan y adalah sumbu-sumbi~ sisi persegi ; panjang ABCD. Persegi panjang ABCD diadakan transformadsb sehirigga persegi parijang ABCD tetap pada bingkainya. Transformas~-transformasi'yang demikian itu adalah I

(identitas) yaitu perse~gi panjang tetap seperti sem ula, H yaitu setengah putaran den'gan 1 pusat 0, R. dari }Z, berturut-turut adalah refleksi dengan' cermin gar~is--garis x dan y.

Perhatikan sekarang himpunan G=~ I, , H, Rx,Dan operasi o didefinisikan pada Goj

'

Rxo Ry berarti refleksi ~iengan cermin y dilanjutkan dengan ref leksi dengan cermin; x dan hasil;nya sama dengan mengadakan setengah putaran dengan pusat 0, yaitu H, sehingga Rx o Ry = H. Akan lebih jelas gambar 1.2 berikut ini.'

RY

BH.A_ J--,"C

Gambar ,1 . 2 menyataki~ oR, = H

C'B

>

OperasikanZah setiap pasang elemen-elemen dari G terhadap o, dan cocokkanZah hasilnya dengan tabel 1.12 berikut ini.

0

I

h

H

I}i

H

RX

Y

Tabe I 1.12

D

Y,I C

D

C

C

B

A

D

CRy

Gambar 1.3 menyatakan R.

D

H = y

A

operasi

1.19

Perhatikan bahwa, operasi o pada G merupakan operasi biner (mengapa?). 'Ittnjukkanlah bahwa G merupakan suatu grup abelian. Grup seperti ini disebut rip dari Klein: Grup dari Klein dapat pula ditunjukkan dengan permutasi empat elemen seperti pErla''contoh 1.14 berikut ini.

Contoh 1.14

Perhatikan himpunan S={ 1, 2; 3, 4}. Banyaknya permutasi elemen-elemen himpunan S adalah 41 = 1. , 2. 3. 4 = 24. Se_, tiarmutasi dapat dipandang sebagai sua,~.,,tupgS,;i,:~t~~:..,S;:Jw,,,S,, Misalnya:

uoC

dan sebagainya

( )(ii)(iii)(i(v)

Gambar 1.4

Perm utasi-perm utasi pada gam bar 1.4 itu berturut-turut dapat ditulis dengan notasi yang lebih ringkas sebagai suatu matriks sebagai berikut.

u1 234,__ 1'234,1234

= (1 24) ~ ~(2143)(32) (1 234)

4 31

permutasi tersebut. Misalnya,

04 or _ (134133 4 _

(23) o(3 4124; 3 2 1)

Misalkan operasi perkalian o didefinisikan,pada himpunan permutasi,

Pengoperasian rZ-,6 dilakukan sebagai berikut.

Pada oC , l-> 2 dan dilanjutkan pada )6 , 2-~ 4 maka pada hasil ~ diperoleh 1 -~ 4.

Pada o,- , 2-> 1 di lanj utkan, pada ,8, 1 -> 3 ~aka has i lnya 2 -> 3. Pada oC , 3-> 4 dilanjutkan pada4-> 2, mak~b hasilnya 3-> 2. Pada c/, , 4 -> 3 di lan j utkari pada ~e , 31 maka has Fnya 4 -> 1. Maka nanpak bahwa o~ o

Dengan cara seperti itu dapat dilakukan /-3 & Z;i sebagai berikut:

,~(1 ,234) o(1 234) _(1. 23

'-3 424 3212 14

1.20

,

Ingat bahwa eerm uta.,i adalah suatu pemetaan (fungsi) perkalian pada

fungsi-fungsi be rsil=at asosiatif, maka operasi perkalian o pada permutasi-permutasi j uga b'ersifat-asbsiatif.

Notasi lain yang lebih singkat untuk suatu perm utasi ditulis dengan notasi sikel. Misalnya,~

=(1 234) ditulis sebagai sikel (1 /' 12 3 41

Sikel (1

_(2 23 4

2) ditulis sebagai sikel (1

Sikel (1 2) dimaksudkan 1-> 2, 2 L> 1 dan 3 -> 3, 4.-> 4, dihilangkan karena m emasangkan ke dirinya sendiri. Karena perm utasi hanya dipandang urutannya, maka penulisan perm utasi sebagai sikel dapat bermacam-macam asal urutannya.tetap. Misalnya (1 2 3 4) _(2 3 4 1) _ (3 4 12) _(4 12 3) dan (1 2) =(2 1).

Permutasi u=(1, 2 3,4) dapat ditulis sebagai sikel-sikel (1), (2), 1 2 3 4

(3) atau (4). lianya biasanya ditulis sebagai sikel (1) dan dipandang sebagai permutasi identitas (bandingkan dengan fungsi identitas).

Permutasi ~3 =(1 2 3 ~ 4~ dituliskan sebagai pe;kalida dua a i~kel yaitu '3 4 1 ;2

(1 3) (2 4). Sikel (1' 2) (3 4) dimaksudkan 1-> 3, 3-> 1 dan 2-> 4, 4 -> 2.

Periksalah kebenaran penulisan permutasi-perm utasi ~ dan 6 sebagai sikel-sikel berikut ini;

~ _ (1 2 3 4)

2 1 4 3

4) (2 3)

i

Perhatikan sekarang him punan semua perm utas,i elem en-elemen S yang biasa diberi simbol S4. Order dari S4 yaitu n(S4) = 41 = 24. Dan didefinisikan operasi perkalian o pada S4 seperti di atas. Maka setiap perkalian dua pe2lnrrasi dalam S4 akan diperoleh suatu permutasi dalam S4 pula. Ini berarti bahwa operasi perkalian o pada S4 merupakan operasi biner. Sifat asosiatifnya ditunj ukkan oleh sifat asosiatif fungsi. Coba tunjukkan adanya elemen identitas dalam S4 dan invers untuk setiap

4

2. 3 4) dimaksud kan 1-> 2, 2-> 3,

-> 4, 4 -> 1.

1.21

elemen dalam ;S4 terhadap operasi perkalian itul Jika'.demikian, S4 merupakan suatu grup. Alcan tetapi, grup ini bukanlah krp abelian,

sebab contoh berikut ini.

(1

2

3

4)

o.(23)

_(13

(1

2

4)

Jadi

(1

2

3

4) o (2

3) #(2

'

4) dan (2 3) o(13 4) _

3) o (12 3 4).

Dapatkah Anda mengoperasikan (1 2 3 4) o (2 3)? Jika belum, ikutilah penjelasan berikut ini.

Misalkan (1 2 3 4) _ C dan (2 3)

Pengoperasian -C o G'dilakukan sebagai berikut:

Pada ~(,, 1 -> 2 dilanjutkan pada .P", 2-~ 3 maka hasilnya 1, -~ 3. Pada

C, 3-> 4 di lan j utkan pada C" , 4-> 4 maka has i tnya. 3 -> 4. Pada

, 4-~ 1 dilanjutkan pada 0" 1 -> 1 maka hasilnya'4Pada Z_. 1-> 2 dilanjutkan pada P", 2 -> 3 hasilnya 1 -> 3 seperti sem ula. Kunpulan hasil-hasil iW adalah:

1-> '3, 3 -> 4, 4 -> 1 ditulis sebagai sikel (1 3 4) atau (3 4 atau (4 1 3). Coba periksalah: (2 3) o (1 2: 3 4) _(1 2 4)1

Nah, sekarang perhatikanlah sebuah him punan bagian dari S4, yaitu K= {(1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)). Misalkan permutasipermutasi dalam K berturut-turut disebut u=(1) yaitu permutasi identitas, o(,= (1 2) (3 4), /6 _(1 3) (2 4) dan h=(1 4) (2 3). Pandang operasi perkalian o pada K seperti didefinisikan di atas. Dengan menyusun tabpl perkalian o pada K, akan nampak jelas apakah K suatu grup atau bukan.

0

uoC

U

u

u

'I'a be 1 1. 13

Periksalah kebenaran penyusunan tabel inil

Mem perhatikan tabel 1.13, nam pak jelas bahwa operasi perkalian o pada K merupakan operasi biner. Karena permutasi merupakan suatu pemetaan (fungsi) dan pemetaan terhadap operasi perkalian bersifat asosiatif, maka perkalian perm utasi-permutasi itu bersifat,asosiatif pula.

Elemen identitas K terhadap perkalian adalah u. Setiap elemen K

mem punyai invers, yaitud--1 = 04 , P -1 12, , ~ -1 = 6 dan

u= u. Karena tabel 1.13 simetris terhadap diagonal utama maka, perkalian permutasi-permutasi itu bersifat komutatif. Jadi, himpunan K

1.22

i

terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup abelian. Grup (K; o) inipun disebut grup dari ' Klein.

4.2.2 Latihan, 2

Benar ataukah salah pernyataan-peryataan berikut ini. Jika benar, buktikanlah dan apabila salah,, mengapa?

1) Himpunan bilangan rasional terhadap operasi perkalian merupakan

'

suatu grup.

2) Himpunan bilangan real positif terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup.

Himpunan bilangan bulat terhadap operasi pengurangan merupakan suatu grup.

4) Himpunan T = f u, a, b} terhadap operasi o didef inisikan seperti pada tab-61 1.14 berikut ini.

o

u

a

u

a

b

u

a

a

b

u

u

Tabel 1.14

Himpunan T terhadap',operasi o merupakan suatu grup.

.5) Perhatil Inj maka ~uktikao,,,lahwa

am oan=am+n

i

Buri: Misalkan n = -r deng'an r bilangan bulat positif dan karena

Iml > +nj maka m,> r.

a'noan=amoa-r

=amo (al)r

_ (aoao ...

` ; m faktor

o a)

.,o a )

`----v

'r faktor

o (-11 0 a-1-1

o .

= (a o a

0 ...

0

(m

-1) aktor

= (a o a o ... o ,a) -----------------

_(m -2) faktor

dani'seterusnya.

=.a o a o... o:akarena m> r

(m - r) faktor

_am-r;

= am + n karena -~ = n.

a)

l

o (aoa) o (alo a lo ... oa ) u(r -1) faktor

o (a o a 1) .o (a lo .., o a-1)

--..------

u(r -2) faktor

Cont~oh~ 2.2. (G; +) suatu grup,, a Er G dan m,n bi langan-bklangan bulat pos i ti f maka (-ma) +(-na) _- (m + n) a. Buktikanlahi

Bukti: (-ma) + (-na) = m (-a) + n(-a)

_ ( (-a) + (-a) +_..+ (-a) ) + ( (-a) + (-a) +,,,+ (-a) )

---.,r

m sukun suku

-a + (-a) + (-a) + ... + (-a)

m + n suku

_ (m + n) (-a)

_ -- (m + n) a

2.5

Teorena 2.6

(G;o) suatu grup, a E, G dan m,n bilangan-bilangar, bulat positif, maka

Bukti:m o am oam'

n faktor

_ am +m ,., + m

`---,i---J n suku

= aryn

Contoh 2.3: Jika (G;o) suatu grup sedemikian rupa hingga untuk setiap a, b-E-G berlaku. (a o b)2 = a2 0' b2 maka buktikan bahwa (G;o) suatu grup a~elian.

Bukti:(a o b)2 = a2 o'b2ketentuan

(a o b) o.(a o b) _(a o a) o (b o b) I, definisi 2.1

((a o b) o a) o b = ((a o a) d b) o b, sifat asosiati f

(a o b) o a=(a o a) o bsifat kanselasi

a o (b o a) = a o (a o b)sifat asosiatif

b o a= a o bsifat kanselasi

Karena untuk setiap a, b E G, b o a = a o b maka (G;o) suatu grup abelian.

Contoh 2.4. Jika (G;+) suatu grup abelian,:a, b~ G dan n suatu bilangan bulat positif, buktikanlah bahwa n(cl+b) ='na +- nb

Bukti : n (a + b) _ (a + b) + (a + b) + , + (a + b) -

n suku

(n - 1) suku

=a+ (a + b) + (a + b) +,., +.(a+b) + b i

(n - 1) suku 'karena G grup abelian

=a,+a+ (~ +a) + (b +;+ (b+! ;a) + b + b ---

(n - 2) suku

dan seterusnya

a_+ a++ a + b + b + ,;. + b

,, n suku~n suku na + nb

(am) n 3 amn,

I

= a + (b + a) + (b'+ a) + .

..+

(b + a) + b

2.6

Contoh 2.5 Jika (G;o) suatu grup dan untuk setiap a, b E G berlaku (a o b)-1a 1 o b-1 maka buktikan bahwa (G;o) suatu grup abelian.

Bukti:(a o b) - ,, a 1 o b-1ketentuan

((a o b)-1)-l =( a-1 o b-1) -1

a o'b =, (b71)-1 0(a (a-11

a o b= b o a'

Karena untuk setiap a, b e G berlaku a o b = b o a maka (G;o) suatu grup abelian.

Contoh 2.6 (G;o) suatu grup berorder genap, buktikan bahwa ada elemen a E G dengan a u dan a2 = u. Buktikanlah!

Bukti: (G;o) suatu grup; maka setiap elemen G mempunyai invers dalam G pula dan invers itu tunggal. Maka elemen-elemen G dapat diadakan pasangan-pasangan operasi o antara suatu elemen dan

inversnya yaitu p o p 1= q o q-1

l

= ... = u

Karena elemen identitas u dalam G adalah tunggal, maka ada a E G yang tidak memperoleh pasangan suatu elemen dalam G. Maka satu-satunya kem ungkinan adalah a berpasangan dengan a sendiri. Berarti a o a = a2 = u.

4.1.2 Latihan 1

i

Jika (G;o) suatu grup'dan u adalah elemen identitas G terhadap operasi o, buktikanlah pernyataan-pernyataan berikut ini!

1) Jika a, b E G dan 0-1= b-1 maka a =

2) Jika a E G dan a o a = a maka a= u.

3) Jika untuk setiap a E G berlaku a2 = u maka (G;o) suatu grup abelian.

4) Jika untuk setiap a; b E G berlaku 2 (a o b) =2a o 2b maka (G;o) i

suatu grup abelian..Dalam soal ini ditentukan bahwa (G;o) suatu

grup aditif. ~,

"-~ -- d:c1!w'a

2 . 7

KunCi Jawaban Latihan I

1)(a-1)-1 = (b-1)-1

2) a-1o (a o a) = -1oa

3) Ambi 1$embara'ng p, q E G berarti p~ 1 u dan q2 = u. P, q E Gmaka (p o q) E G(Mengapa?) sehingga (p o q)2 = u (menyapa?)

p2dq2=uou

=u

p2 o q 2 = (Poq)2

dan seterusnya seperti contoh 2.3 sehingga diperoleh p o 9= q o.P

maka (G;o) suatu grup abelian

4) 2 (a o b) =2ao2bingat (G,o

) grup aditif (a o b) o (a o. b) _(a o a) o (b o b)

dan seterusnya seperti contoh 2.1 sehingga,diperoleh b o a = a o b Maka (G;o) suatu grup aditif abelian.

5) Misalkan u, a dan b adalah elemen-elemen yang berlainan dalam G dafi disusun tabel operasi o pada G.

a b

ua a

Tabel 2.1.

Karena G suatu grup, maka' pasti mempunyai tunggal, misalkan u. Maka setic~p elemen yang adalah elemen itu sendiri. Hal ini telah diisi

II

dan kolom pertama dalam tabel hasil operasi.,

Selanjutnya di'cari a o b. Karena (G;o) suatu i

dengan salah satu diantara u, a6tau b. Misalkan a o b = b maka dengan sifat kanselasi diperoleh a = u. Ini tidak mungkin sebab aV u. Begitu pula tidak mungkin- bahwa a o b = a. Sehingga satu-satunya kemungkinan ada lah a o b= u.

Seterusnya elemen-elemen lain yang belum terisi tinggal melengkapi

2.8

elemen identitas yang dioperasikan dengan u kan pada baris pertama

rup maka (a o b) sama

dengan melihat baris da'n kolomnya. Misalkan baris ke-dua dari tabel hasil operasi, sudah ada,a dan u berturut-turut pada kolom 1 dan kolom

3, sehingga pada kolom 2 yaitu a o a adalah b. Begitu pula cara mengisi/melengkapi elemen-elemen pada kolom 2 dan kolom ke 3. Sehingga diperoleh tabel 2.2 sebagai berikut.

0

b

u a

Tabel 2.2

M emperhatikan tabel 2.2.ini, elemen-elemerinya simetris terhadap diagonal utama, maka (G;o) suatu grup abelian.

4.1.3 Rangkumanl

SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI

GRUP

(G;o).

1)

Sifat kanselasi.

i. Jika, a, b, c E. G dan

ii. Jika a, b, c E G

a

dan b

o b =a o c maka

o a = c o a

b= c.

maka b=c.

2)

Jika a, b E G maka persamaan-persamaan

a o x = b dan y o a = b

masing-masing mempunyai

penyelesaian

tunggal.

3)

Untuk setiap a E G maka

(a-

1)-1 =

4)

Untuk setiap a, b E G

maka

(a o b)-1 =-1

o a -l.

5)

(i) a E G dan m bilangan

bulat

positif,

maka

am = a o a o a o..,, o a sebanyak m faktor.

a-m(a -1 = a 1 o a -l 0... o a-1 sebanyak m faktor.

a0 = u (elemen identitas).

(ii) Jika (G;+) suatu grup aditif, a(~G dan m bilangan bulat positif, maka

I

ma = a+ a + a+,,, + a sebanyak m suku.

2.9

6.

- ma = m,(-a) _ (-a) + (-a) + ... + (-a) sebanyak m suku O= 0(elgnen identitas grup aditif).'

a c G, m'dan n bilangan-bilaiNan bulat, maka

( i) am o an = am + h (i i) (am) n= am

4.1.4 Tes Fonnatif I

Pilihlah A, B, atau C yang menurut pendapat Anda benar!

1. (G;o) suatu grup;yang ditunjukkan oleh tabel 2.3 berikut ini

u

p '

P q uq

p

q u

u p

Tabel 2.3

Penyelesaian dari persamaan p o x = q dalam G adalah .... A. u

. p

C. q

2. Ketentuan sama dengan nomor

o p = q adalah .... A, u

B. p C. q

3. Pernyataan-pernyataan,berikut ini, manakah yang menunjukkan bahwa (G;o) suatu grup abelian? i

A. Untuk setiap a: b C Giberlaku (a o b)-1 = b-1 o a-l

'' -

B. Untuk setiap`, a, b, c G be;riaku (a o b o c);-1' = a-1 o b 1 o c-1

C. J i ka a, b~. G dan m, n bi i.angan-bi langari bula t maka amn = a~'.

e

, maka penyelesaian dari persamaan

2.10

4. Jika (G;o) suatu grup, pernyataan-pernyataan berikut ini manakah yang benar?

A: Jika p, q, r E G maka (p o q o r)-1 = r-1 o q-1 o p 1 B. Jika p, q E G maka (p -l o q-1).-1 = p o q.

C. untuk setiap p, q, E G dan m bilangan bulat maka:

(poq)m=pmoqm

5. (G;+) suatu grup aditif. Pernyataan-pernyataan berikut ini manakah yang benar?

A. Jika p, qkL G dan m bilangan bulat maka m(p + q) = mp + inq : Jika p E G dan ;n,n bilangan-bilangan bulat, maka m (np) = (mn) p

C. Jika p, q E G dan m bilangan bulat maka (p + q) m = pn + qm.

4.1.5 [hnpan Balik dan Tindak Lanjut

Cocokkanlah hasil jawaban Anda dengan Kunci Ja waban Tes E'ormatif 1 yang ada di bagian belakang modul ini. Kemudian hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar dan gunakanlah rumus di bawah ini untuk mengetahui ti,ngkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

I2imus :

Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban Anda yang benar x 100% 5

Arti tingkat penguasaan yang anda capai:

90%

- 100% =

baik sekali

80%

- 89% =

baik

70%

- 79% =

cukup.

- 69%

kurang

Bila tingkat penguasaan Anda mencapai 80% ke atas, Anda dapat melanjutkan denga,n Kegiatan Belajar 2. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80% , Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama bagiaB yang belum Anda kuasai.

2.11

4.2 Kegiatan i3elaiar 2 4.2.1 Uraian dan Contoh

SUBGRUP

Contoh 2.7

(1) G = (1, -1, i,. -i} dengan i= -1 terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup (Periksalah). Sekarang perhatikanlah suatu himpunan bagian dari G yaitu H={-1, 1}. Himpunan H terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup pula, tlasil kali l; dan -1 yaitu -1 berada dalam H, sifat asosiatif jelas berlaku. Elemen identitasnya adalah 1 dan setiap elemen H mempunyai'invers, yaitu

(-1)-1 =-1 dan l-1 = 1. H C G, (G; x) suatu grup dan (H; x)

merupakan suatu grup pula. Maka dikatakan bahwa H adalah subgrup dari G.

(2) Himpunan bilangan real terhadap operasi penjumlahan merupakan suatu grup. Nimpunan bilangan bulat terhadap operasi, penjumlahan juga merupakan'suatu grup. Himpunan bilahgan bulat adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real. Maka terhadap operasi penjumlahan, himpunan bilangan bulat adalah subgrup dari himpunan bilangan real..

(3) Him punan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan merupakan suatu grup. Himpunan bilangan,bulat kelipatan 5 terhadap operasi penjumlahan pun merupakan suatu grup. Himpunan bilangan bulat kelipatan 5 adalah.himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat. Maka terhadap operasi penjumlahan,himpunan bilangan bulat kelipatan 5 adalah subgrup dari.himpunan bilangan bulat.'Demikian pula, himpunan bilangan: bulat kelipatan 8 terhadap operasi penjumlahan merupakan suatu grup, sehingga terhadap operasi penjumlahan, himpunan bilangan bulat kelipatan 8 merupakan subgrup dad himpunan bilangan builat.

Definisi 2.2 (G;o) suatu grup. H disebut sut~grup dari G bila dan hanya

bila H C G dan (H;o) merupakan'soatu grup. e

2.12

Perhatikan contoh 2.7 ;"(1). G sendiri adalah himpunan bagian dari G

dan (1) pun himpunan bagian dari G. G dan {1} terhadap operasi perkalian masing-masing merupakan suatu grup. Jadi G dan {1} masingmasing masing adalah subgrup dari G, dan disebut subgr-up tidak sejati (trivial) dari G. Pada cQntoh 2.7 (2) subgrup-subgrup tak sejatinya adalah {0} da6 himpunan bilangan real' sedang pada (3) subgrup-subgrup tak sejatinya adalah {0} dan himpunan bilangan bulat..

Misalkan (G;o) suatulgrup dan,H adalah sembarang himpunan bagian dari G dan tidak kosong.~Agar H terhadap operasi o merupakan suatu grup; haruslah memenuhi (i) operasi o pada H merupakan. operasi biner.

i

Berarti untuk setiap a, b E kt maka (a o b) E H pula. (ii) operasi o pada H bersifat asosiatif. Hal ini dipenuhi, sebab operasi o pada G bersifat asosiatif dan H C G. (iii) elemen identitas u harus berada dalam H dan (iv) setiap elemen H terhadap operasi o harus mempunyai invers di dalam H. Berarti jika a C H,maka a-' E: H pula. Mengingat syarat (i), kazena aC- H dan a`1 E H maka a o a-' = u harus berada dalam H. Oleh karena itu syarat (iii) dapat dihapuskan. Keteranganketerangan ini selanjutnya dinyatakan sebagai teorema berikut ini.

Teorema 2.7 (G;o) suatu grup, H C G dan HX %d.

H adalah sub;grup'dari G bila dan hanya b.ila (i) untuk setiap a, b E H maka .a o b e- H (H tertutup terhadap operasi o) dan (ii) untuk setiap a E_ H maka a -l C-. H.

Bukti secara formal diserahkan kepada Anda sebagai latihan.

Pada teorema 2.7, jika a, b e H maka menurut (ii) dalam teorema itu b`1 E H, sehingga rinenurut (i) a o b-1 E H pula.

Hal ini telah menyatakait tertutupnya H terhadap operasi o dan adanya invers untuk setiap elempn H. Maka teorema 2.7 dapat dinyatakan lebih singkat sebagai teorecna berikut ini:

Teorema 2.8 (G;o) suatu,grup, H9f dan H C G.

H subgrup dari! G bila dan' hanya bila untuk setiap a, b E H berlaku a o b`1 E H.'

;.

Bukti: I. Dibuktikan: Jika H subgrup dari G maka uhtuk setiap a, b E H berlaku p o b-1 E H.

,

H subgrup darfG berarti (H;o) suatu grup. .

Ambil b E H,;karena H suatu_grup maka b 1 ~ H.

Nn~il1a E H dan b 1Q~ H dan H suatu grup maka a o b`lE H.

2.13

II. Dibuktikan: Jika untuk setiap a, b c H berlaku a4 b-1 C H maka H adalah subgtup dari G.,

HX j6, ambil sembarang Q C- H, menurut ketentuan q o c 1 E H. Karena c o c-1 = u maka u FI. Ini bet;arti H memuat elemen identitas q.

Ambil sembarang d,E H dan uC- H, menurut ke~entuan maka

u o d-1 E H. Karena u o d-1.= d-1 maka d-1 C- H. Ini

berarti setiap elemen H mempunyai invers c E' H dan d-1 E H

maka c o(d-1)-1. E H. padahal c o(d"1)-1=c o d maka c o d

E H. Jadi jika c, d G H maka c o d E H. Hal;ini berarti H tertutup terhadap operasi o. H C,G dan (G;o), suatu grup, maka operasi p pada H bersifat asosiatif pula.

Lengkaplah bukti bahwa H suatu grup yang merupakan subgrup dari G.

Contoh: 2.8 Perhatikan segitiga sama sisi;ABC beserta,garis-garis beratnya pada gambar 2.1

Rm, Rn dan Rk berturut-turut adalah refleksi terhadap cermin garis-gakis m, n dan k.

Refleksi-refleksi ini masing

masing mencerminkan segitiga ABC

tetap pada bingkainya dan

dioperasi simetril. Operasi

operasi imetri la innya adalah

S (0, 12Q1), S (0, 240) dan

S,(0, 360) yaitu rotasi dengan

pusat p{pusat setitiga) dan su

C,ambar 2.1dut putor berturut-iturut 120,

2400 dan 3600 (dengan arah yang berlawanan dengan arah perputaran jarum.jam).'

S (0, 36B) membawa segitiga ABC menjadi segitiga ABC semula, sehingga S(0; 360) ,disebut operasi identitas, dan S(0, 360) disebut I. Jika S (0 120)= S, maka S(0, 240) = S2.

Perhatikan sekarang himpUnan operasi simetri p={ I, 5, S2, Rm, Rn, Rk} dan operasi perkalian o yang didefinisikan seperti pada contoh 1.13 pada modul 1..Sehingga D dengan ope'ra~i perkalian o tersUsun tabel hasil operast o seperti terlihat dalam.tabel 2.4'berikut ini.

2.14

0

I

S S

S2 S2

Fa~ ; Rtta Rn + Rn Rk Rk

5 2

Rk

S

I

Rn

S 2

I

S

P4n

Rk

Rn

Rn

Rm

RV

S

Rk

Rn

Rm

~~

Rk

Rm

2

Rm S~

i

5

Rn

S

Tabel 2.4

Periksalah kebenaran penyusun tabel hasil operasi perkalian o pada D tersebut dengan memperhatikan contoh berikut ini.

C~mbar 2.3. Rk o Rn = S2

i

Gambar 2.2 memberi ilustrasi bahwa Rm o S2 = Rk yang ditunjukkan dalam tabel 2.4 Rk dilingkari. Sedang gambar 2.3 mengilustrasikan bahwa Rk o R n = S2 yang 'dalam tabel, 2.4', ditunjukkan di dalam segitiga.

2.15

Perhatikan pengoperasian Rk o Rn dilakukan Rn ,lebih dulu dan dilanjutkan dengan Rk.seperti pada contoh 1.13 dalam modul 1. Selanjutnya Anda diharap.kan tidak akan mendapat kesukaran untuk menunjukkan bahwa (D; .o) suatu grup.

Coba tunjukkanlah!

Perhatikan sekarang suatu himpunan bagiari dari D, yaitu T={I, S, S2}. Himpunan T ini terhadap operasi perkalian o merupakan suatu grup (buktikanlah!), maka T adalah subgrup dari D. Subgrup-subgrup lainnya

adalah {I, Rm}, {I, Rn} dan {I, Rk}. Mengapa (I, Rm,,Rn, Rk} bukan

subgrup dari G?

Perhatikan pula perpangkatan dari elemen-elemen D, yaitu, S3 = I,

Rm2 = I, Rnz = I, Rk2 = I. Apakah Anda mengerti bahwa SS = S2, S9 = I,

Rm5 = R.m, f2n11 = Rn; Rk2H = I?

Periksalahl Perpangkatan untuk setiap elemen dari suatu grup berhingga selalu,ada yang sama dengan elemen identitas.'Hal ini akan digunakan untuk membuktikan teorema berikut ini.

Teorena 2.9 (G; o) suatu grup berhingga.

H C G dan HX sd. N adalah subgrup dar i G bi la dan hanya bila untuk.s2tiap a, b E H, a o b E li '(H tertutup terhadap operasi o).

Bukti: I. Dibuktikan: jika H subgrup dari G ftiaka H tertutup terhadap operasi o.

H subgrup dari G, maka (H;o) suatu grup. F3erarti untuk tiap a, b, E H maka a o b E H (H tertUtdp terhadap operesi o).

II.

Dibuktikan: jika untuk setiap a, b C G, a o b~ H maka H s ubg r up da r i G.

hmbil sembarang a E H, karena H tertutup terhadap operasi

o, makaaoa=a26 H, a2oa=a3C H, a3oa=a4 E H dan seterusnya.., an E H. Jadi a, a2, a3, :.., an, ...

semuanya berada dalam_H. Tetapi H adalah,hirnpunan berhingga, maka pasti ada pengulangan dalam a, a2, a3, ...,

an,....

Misalkan ada bilangan-bilangan bulat r dan s dengan o0 , makei ar-S'1 E HH

ar-s-1 =a=1 sebab a o ar-S-1 = ar-s = u jadi a-1.

Z.16

asosiatif operasi o pada G.

Terbuktilah bahwa (t

Contoh 2.9:

Sifat asosiati'f dari operasi o pada H menyikuti sifat

adalah,subgrup dari G.

B' adalah himpu~ an bilan9~ an bulat dan (~ B+) suatu y ruPB }~'!I ,

adalah himpunan bilangan blat, kelipatan 3, dan (E33;+) merupakan suatu grup. B3 C B maka g3 adalah subgrup dari

B5 adalah him)p unan bilangan bulat kelipatan 5 dan (BS;+) me'rupakan suatu grup pula. B5 C B maka BS adalah subyrup da r i B.

Apakah B3(1135 'merupakan subgrup dari B?

B3 n B5 ' B15 ' Yaitu himpunan _ bilanyan bulat kelipatan 15 (mengapa?).; (B1S ;+) merupakan suatu grup pula (periksalah;)e B15 C B, maka B15 adalah subgrup dari B. Jadi B3 (1 B5 a'dalah subyrup dari B. Secara umum hal ini dinyatakan sebagai teoreina berikut ini.'

B.

Teorema 2.10 (G;o) suatu grup.

Apabila H dan' K! masing-masing adalah sul,xgrup dari G maka H fl K suatu ' subg'rup dari G pula.-

Bukti: Ambil sembarang 3, b E. Hf1K maka a, b C K dan a, b~ H.

a b E H dan H suati~u subgrup maka a 0' -b E H. a, b~ K dan K suatu subgrup maka a o b C H.

a o b E H dan a o b C Kmakaa, o b 6 H i) K.

Jadi Hf1K tertutup terhadap operasi o(1) Ambil sembarang aC- H(1Klmaka,a E H dan a L K. a E H dan H suatu subgrup'maka a-1 C H

a C K dan Klsuatu subgrup maka a-1 C, K

a-1 CC H dan a-1 C K ma)Ga a-1 E H fl K.

Jadi setiap elemen Hf1K menpunyai invers ....(2).

Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa H f1 K adalah subgrup dari G. (menurut teorema 2,.7).

.

Definisi 2.3 (G;o) suatu g>;up K dan H masing-masing adalah himpunan bagian dari G,maka KH (yaitu hasil kali H dan K) adalah himpunan semul elemen (a o b) dengan a ~ K dan b C H.

? 17

Atau ditulis:

KH ={(a o b) ~ aC- K dan b C- H),

Definisi 2.4 (G;o) suatu grup dan H adalah himpunan bagian dari G, maka H-1 adalah himpunan semua 'elemen a-1 dengan a C H. Atau ditulis:'

H-1 = {d-1 ' a E H},

Bukti :( i) Ambi 1 sembarang y C- HH maka y = a o b dengah a, b E H.

a, b E H dan H suatu subgrup maka a o b C H, y e HH, y = a o b dan a o b (z~ H berarti y_E H.

Jadi HH C H (1)

Ambil z e H dan u C H sebab H subgrup maka z o u' C- Hti tetapi karena z o u = z maka z E HH

Jadi H C HH ...,;(2)

Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa HH = H.

Bukti (ii) diserahkan kepada Anda sebagai latihari.

Teorema 2.12 (G;o) suatu grup,

H dan K masing-masing merupakan subyrup dari G, maka HK subgrup dari G bila dan hanya bi,la HK = KH.

IL Dibuktikan, HK = KH => HK suatu subgrup dari G.

Ambil sembarang p, c c H dan b, d E K dan karena H dan K masing-masing subgrup dari G, maka a o c E H dan b o d C Ki

Teorema 2.11 (G;o) suatu grup.

Jika H subgrup dari G maka

(i) HH = H dan

(ii) H-1 = H.

Bukti: I. Dibuktikan: HK subgrup G => HK = KH. Menurut teorema 2.11 (ii) Jika HK aubgrup HK... (1)

Begitu pula H subgrup inaka H-1 = H dan K subgrup maka K-1 = K

(HK)-1 = K-1 H-1 (buktikan sebagai (HK)-1 = KH(2)

Dari.(1) dan (2) disimpulkan bahwa HK =.

maka (HK)-1

latihan)

2.18

I

Ambi1 (a o b) C-:. HK dan ;(c o d) E HK maka

(a o .b) o(c (cod),_((a o b) o c) o d sifat asosiatif

_(a o (b o c)) o dsifat asosiatif

_(a o(c o b) ) o dHK = KH

_((a o c) o b)o dsifat asosiatiE

(a o c) o(~ o d)sifat asosiati E

Jadi (a o b) o(c o d) _(a o c) o (b o d),

Karena a o c t H dan b o d'C- K, maka (a o c) o (b o d) C-. HK. Sehingga (a o b) o(c o d) E HK pula

Jadi jika (a o b) E HK inaka (a o b)-1 C. HK. Ini berarti setiap elemen HK mempunyai invprs terhadap operasi o(2)

Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa HK adalah subgrup dari G. 4.2.2 Gatihan 2

'Selesaikanlah soal-soal berikut ini.

1) (G;o) suatu grup, H C G dan H f6. Buktikanlah bahwa H adalah subgrup dari G bila dan hanya bila (i) untuk setiap a, b G H, berlaku a o b E.H dan (ii) untuk setiap a'6, H maka a-1 E H.

2) (G;o) suatu grup. Buktikanlah bahwa,jika H subgrup dari G maka

H-1 - H, ,,

i

3) (G;o) suatu grup, H;,dan K masing-masing adalah subgrup dari G.

Buktikanlah baYiwa (HIC)-' = K-1 H-1

4) Jika T subgrup dar;i S dan S adalah subgrup dari (G;o) maka buktikaniah bahwa T subgrup dari G.

Hal ini berarti HK tertutup terhadap operasi o....

Ambil a C H dan b C-' K maka (a o b) E HK

a C, H dan H,suatu subgrup maka a-1 C-. H b C K dan K suatu subgrup maka b-1 E- K

a 1 C H dan b-1 C-. K maka a-1 o b-1 ~ HK Ingatlah bahwa (a o b)-1 = b-1 o a-1

= a:l o b7-1 karena HK

Sehingga (a o b)-1 C_ HK pula.

(1)

2.19

5) (G;o) suatu grup dan a e G. Buktikanlah bahwa

H=(y ( y E G dan'y o a = a o y} adalah suatu subgru dari G.

Kunci Jawaban Latihan 2

1) a. Dibuktikan: H subgrup dari G=> (i) untuk setiap a,' b E H,

maka a o b E H dan (ii) untuk setiap a, E H maka a-1 (-- H.

H subgrup dari G maka (H;o) suatu grup o sehingga baik (i) maupun (ii) dipenuhi.

b. Dibuktikan: Jika untuk setiap a, b E H berlaku a o b E H dan a-1 G H maka H subgrup dari G.

Untuk membuktikan bahwa H subgrup dari G atau H suatu grup, tinggal menunjukkan bahwa H terhadap operasi o bersifat asosiatif dan mempunyai elemen identitas u dalam H. H(- G dan (G;o) suatu grup maka G terhadap operaSi o bersifat asosiatif, demikian pula dalam H berlaku pula sifat asosiatif i tu.

Ambil a 6 H, menurut (ii) maka a-1 E. H. a E. H dan a-1 C H, menurut (i) maka a o Karena a o a-1 = u maka u E H. Terbukti.

2) H subgrup dari G dan dibuktikan bahwa H-1 = H.

Ambil sembarang a E H dan karena H suatu subgrup maka a-1

~ H.

MenurUt definisi 2.4, jika a-1 E H maka (a-1)-1 e H-1 , Karena (a-1)-1 = a maka a E. H-1

Jadi, j ika a E H maka a E H-1, berarti H C H-1 ... ,(1)

Ambil sembarang b E H-1 maka b = y'-' dengan y C H.

y E H dan N'suatu subgrup maka y -l E H.:. b = y-1 dan y`1 E H maka b E H.

Jadi, jika bE H-1 maka b E H berarti Hr C H.... (2) ; Dari (1) dan (2) disimpulkan. bahwa H-1 = 1{.

3) H dan K masing-masing subgrup dari G, dibuktikan bahwa

(HK)-1 = K-1 H-1.

Ambil y E(E{K)-1 maka y=_(a o b) -1 dengan a E H dan b E K.

y= (a o b)-1 --"b-1 o a-l. Karena b-1 o a-1 E. K-1H-l~ (mengapa?)

maka y E K 1H-1

1 2.20

Jadi, jika y E(HK)-1 maka y E K 1H 1 maka (HK)-1 C i K-1H 1(1)

Ambil z E K 1H-1 maka z = c7-1 o d'1 dengan c E K dan d e H. Z= c-1 o d-1 = (d o jc)-1. Karena d E H dan c C K maka

(d o c) -1 E(HK) .`1 sehingga z C-- (HK)-l.

Jadi, jika z E K-1H-1 maka z C- (HK)-1 berarti K-1 H-1 C:(HK)-1 (2)

Dari (1) dan (2) kesimpulan bahwa (HK)-1 = K-1 H-1

,.

4) T subgrup dari S maka T suatu grup dan T C S. S subgrup dari G maka S C G.I

TCSdanSCG'makaTG G.

T C G dan T suatu grup maka T subgrup dari G.

Catatan. operas i-operasi biner pada T, S dan G adalah sama.

5) (G;o) suatu grup dan a C. G. Akan dibuktikan bahwa H={ Y I y E G dan y o a = a o y} adalah subgrup dari G.

Untuk menunjukkan bahwa H suatu subgrup dari G, diperlihatkan bahwa H tertutup terhadap operasi o dan setiap elemen H terhadap operasi o mempunyai invers dalam H pula.

Ambil b, c C- H maka dipenuhi bahwa b o a.= a o b dan c o a = a o c

Sekarang perhatikan (b o c) o a= b o(C o a) sifat asosiatif

daYam G

= bo (aoc)cEH

(b c a) o c sifat asosiatif

. dalam G

_ (aob) ocbEH

= a o(b o c) sifat asosiatif

dalam G

Jadi, (b o c) o a= a o(b o c).

Hal ini berarti (b 0 c) C H. Maka H tertutup terhadap operasi o. A,-nbil b E H berarti b E G dan karena G suatu grup maka ada b-1 E G

2.21

bEHmakaboa=aOb

b-1o (b o a) =b-1o (aob)

(bl ob) o a =

(bloa)

ob

uoa=

(b-1oa)

o b

a=

(b-1oa)

o b

a o b-1 = ((b-1 o a) o b) o b-1

a o b-1 =(b 1' o a) o (b o b-1), aob-1= (b-loa) u aob-l=b-1 o a

Hal ini menunjukkan bahwa b'"1 E H. Jadi setiap elemen H mempunyai invers dalam H.

Terbuktilah bahwa H adalah subgrup dari G:

4.2.3 Rangkunan

Berikut ini (G;o) suatu grup.,

1) H suatu subgrup dari.G berhubungan H C G dan (H;o) suatu grup.

2) H C G dan Hqf maka H subgrup dari G bila dan hanya bila (i) untuk setiap a, bG H berlaku a o b C- H dan (ii) untuk setiap a E H,maka a-1 E H.

3) H C G dan Hqf maka H adalah subgrup dar i G bi la dan hanya bi la untuk setiap a, b E H maka a o b-1 E H.

4) G dan {u} adalah subgrup-subgrup tak sejati (trivial) dari G.

5) G suatu grup berhingga, H C G dan H/ )S maka H subyrup dari G bila dan hanya bila untuk setiap a, b e- H maka a o b C- H. !

6) Jika H dan K masing-masi,ng adalah subgrup dari G maka'Hf1K subgrup dari G pula.

7) Jika H dan K masing-masing himpunan bagian dari G, maka HK def {(a o b) I a E H dan b e K}

8) Jika H himpunan bagian dari G maka H-1 def (a-1

aEH)

2.22

9) Jika H subgrup dari G maka HH = H dan H-1 = H.i

10) Jika H dan K masing-masing subgrup dari G maka HK adalah subgrup dari G bila dan hanya,bila HK = KH.

4.2.4 Tes Formatif 2

Pilihlah A, B atau C yang menurut pendapat Anda paling tepat.

1) Jika (G;o) suatu grup, H C G dan HX 96 maka H adalah subgrt,ip dar i

G bi la dan hanya bi la... .

A, untuk setiap p, q t G maka p o (f 1 E H.

B, untuk 'setiap p, q E G maka p o q E H dan p 1 E. H.C. (H;o) merupakan suatu grup

2) Pernyataan-pernyataan,berikut ini manakah yang salah?

A. Setiap subgrup dari G menurut eleinen identitas dari G.

B. Jika G suatu grup abelian maka setiap subgrup' sejati dari G

abelian pula

Jika h suatu grup abelian dan H subgrup dari G, maka G grup abelian

3) Jika H dan K masing-masing subgrup dari G maka ....

A. (HK)-'(HK) = u

B. (HK)-1 (HK) = HK

H 1 K 1- KH /~

4) G={0, 1, 2, 3, 4,'S} terhadap operasi penjumlahan modulo6

merupakan suatu grup. ~ Himpunan-himpunan berikut ini, manakah yang

merupakan subgrup dad G ? A. {l, 3, 5}

R. {0, 2, 4 } C. {0., 3}

5) Jika H dan,K masing-masing subgrup dari G maka HK adalah subgrup dari G bila dan hanyajbila....

': (HK)-l ^ H-xK-1

B. (EiK) -1' = K-1 H-1 C. H-1K-1 = HK

2,23

4.2.5 Utnpan Dalik dan Tindak Lan~ut

Cocokkanlah hasil jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang ada di bagian belakang modul ini. Kemudian hitunglah jumlah jawabAn Anda yang benar dan gunakanlah rUmus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiaton 8elajar 1.

Rurnus :

Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban Anda yang benar x 100% 5

Arti tingkat penguasaan yang anda capai::

90%

- 100% =

baik sekali

80%

- 89% =

baik

70%

- 79% =

cukup

- 69% =

kurang

Bila tingkat penguasaan,Anda mer.capai 80% ke atas, Anda dapat melanjutkan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80% , Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 2, terutama.bagian yang belum Anda kuasai.

2.24

4.3 Kegiatan,Belajar 3 4.3.3 Uraian dan Contoh

GRUP SIXLIK

Perhatikan contoh 2.$ dalamKegiat:.en Beiajar 2 modul ini.

D={I, S, Sz, Rm Rn, Rk} adalah suatu grup dari operasi-operasi simetri pada segitiga samasisi. S adaiah rotasi dengan pusat 0 (pusat

segitiga) dan sudut putaz 120 (dengah arah berlawanan dengan arah perputaran jarum jam). 9m, Rn dan Rk berturut-turut adalah refleksi dengan cermin garis-garis berat 'm, n, k dan I adalah transformasi identitas. Pada contoh ;itu ditunjukkan pula bahwa T={I, S, S2} adalah subgrup dari D, maka T merupakan suatu grup. Sekarang khusus perhatikan himpunan T ini

s o S= S26 T; S2o S=S3= I~, T;,

S3 o S= S4 = SC- T; S5 = S2 ~ T; S6 = I E T dan seterusnya sehingga untuk bilangan bulat positif m, am E T. Demikian pula S-1 yaitu rotasi dengan pusat, 0 dan sudut'putar - 1200 (searah dengpn arah perputaran

jarum jam) maka S-1 = S-2 E T, S-2 =(S-1) 2= S-1 o S-1 = S2 o S2 = S4 SE T; S-3 = S-2 0 S-1 = S 0 S2 = S3 = I E. T dan seterusnya, sehingga

untuk n'bilangan bulat positif, a-n E T pula.

Jadi elemen-elemen T merupakan perpangkatan (dengan pangkat bilangan bulat) dari S. Dalam hal ini S disebut penghasil (generator) dari grup T. GYup T semacam ini disebut grup siklik.

Contoh 2.10: Perhatikan ~uatu grup permutasi dari 4 elemen 1, 2, 3, dan 4 berikut ini.

oC = 1, , C

2 4 1ditulis dengan sikel sebagai d=(1243)

~ 2 = c, I- o a = (1243) o (1243) = (14) (23),'

4 3 = CC 2 o oC- = (14) (23) o (1243) = (1342) C/, 4 = oc 3 0 oC = (1342) o (1243) = (1) = u 0,~, 5 = oC 4' o a = (1) o (1243) _' (1243) = oC c,(,6 pc 5 0 0` = o( o o( m o( 2

ac~ = o< 6 0 k = r) => G tak be rhingga.

ak = ar => k = r. Ini berarti perpangkatan dari a merupakan elemen-elemen yang berlainan. Lebih jelas, jika dilihat kontrapositif dari implikasi itu, yaitu k/ r=> ak ar. Jadi G tak berhingga.

b. Dibuktikan: G tak berhingga => (ak = ar => k = r). Kontrapositif dari implikasi irii adalah: "Jika ak = ar dan k r maka G berhingga",Pernyataan ini yang akan dibuktikan.

ak = ar. Misalkan k > r, maka ak-r = u.

Andaikan m bilangan,bulat positif terkecil sehingga am = u.

Pandang G={as a2, ia3~ ...~ am-11 am = u}, Elemen-elemen G ini

satu dengan lainnya tidak sama, sebab apabila ada yang sama, misalnya.~'

as = at dengan U~,< s< It < m maka at-s = u dengan O< t - s < m.

Ini bertentangan dengan pengandaian bahwa m bilangan bulat positif terkecil dengan am = u.

2.31

2 =

;vnbi 1 secnbarang aq E G.

setiap bilangan bulat q dapat dinyatakan sebagai q=pm+hdengano~