Suport Curs a Anul I ECTS

  • Published on
    26-Jun-2015

  • View
    171

  • Download
    3

Embed Size (px)

Transcript

MATEMATICI APLICATE N ECONOMIEsuport de curs

I. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR

I.1. Sisteme de ecuaii liniare Un sistem de m-ecuaii liniare cu n-necunoscute x1 , x 2 ,..., x n se scrie sub forma: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 (1.1.) M a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm a ij i bi cu i = 1,..., m i j = 1,..., n sunt constante reale,

unde:

aj =1

n

ij

x j = bi , i = 1,..., mAX = b

(1.2.) (1.3.)

sau sub form matriceal: unde: a11 a A = 21 M a m1 a12 a 22 M am 2

b1 x1 L a1n L a2n , b2 x2 , X = b= M M O M b x L a mn n m

Matricea A se numete matricea coeficienilor, b se numete matricea termenilor liberi, iar X matricea necunoscutelor. Studiul sistemelor se poate realiza i prin metoda eliminrii succesive (Metoda lui Gauss), pe lng alte metode cunoscute din liceu.

1

Metoda lui Gauss const n transformri elementare succesive ale sistemului ntr-un sistem echivalent, care va elimina pe rnd cte o variabil din toate ecuaiile sistemului cu excepia unei singure ecuaii n care coeficientul variabilei va fi egal cu unitatea. Se scriu coeficienii tuturor necunoscutelor i termenii liberi ai sistemului. Calculul unui sistem echivalent se obine astfel: linia nti se mparte prin elementul a11 0 , a11 pivotul care se ncadreaz. Elementele coloanei nti sunt zero. Celelalte elemente din celelalte linii se calculeaz formnd un dreptunghi ce are ca diagonal segmentul ce unete locul elementului de calculat i pivotul. Noul coeficient va fi egal cu diferena dintre produsul coeficienilor de pe diagonala pivotului i produsul coeficienilor de pe cealalt diagonal, diferena care se mparte la pivot. Schematic obinem:

a11

a12a 22 M am2 a12 a 22

a1na2nM a mn a1n a2n M a mn

b1b2 M bmb1 b2

a 21 M a m1100unde:

O

M

M am2

O

M bm

, j = 1,..., n a11 a11 aij a1 j ai1 , i = 2,..., m , j = 1,..., n aij = a11

a1 j =

a1 j

2

a11bi a1i b1 , i = 2,..., m a11 b b1 = 1 a11 n mod similar, n etapele urmtoare se obin sisteme echivalente cu sistemul iniial. bi =I.2. Sisteme de inecuaii liniare Un sistem de inecuaii liniare cu n-necunoscute x1 , x 2 ,..., x n se scrie sub forma: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n p b1 a x + a x + ... + a x p b 21 1 22 2 2n n 2 M a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n p bm

(2.1.)

unde semnul p reprezint unul din semnele sau . Sistemul de inecuaii care conine att inecuaii cu semnul ct i poate fi adus la un sistem care s conin numai unul dintre aceste semne prin nmulirea unor inecuaii cu (-1). Se poate obine aadar una din situaiile: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n b1 a x + a x + ... + a x b 21 1 22 2 2n n 2 M a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n bm

(2.2.)

sau a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n b1 a x + a x + ... + a x b 21 1 22 2 2n n 2 M a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n bm

(2.3.)

Studiul sistemelor de inecuaii (2.2.) sau (2.3.) se reduce la studiul unui sistem de ecuaii prin adunarea, respectiv scderea, la fiecare ecuaie a unei necunoscute auxiliare, pozitive cu rol de egalizare, i anume: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn + y1 = b1 a x + a x + ... + a x + y = b 21 1 22 2 2n n 2 2 M am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn + ym = bm 3

(2.4.)

sau a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n y1 = b1 a x + a x + ... + a x y = b 21 1 22 2 2n n 2 2 M a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n y m = bm

(2.5.)

unde yi 0 , i = 1,..., m. Vom numi soluie a sistemului de inecuaii (2.2.), respectiv (2.3.), un sistem de valori care verific simultan toate inecuaiile sistemului. Teorem: Oricrei soluii a sistemului de inecuaii (2.1.) i corespunde o soluie a sistemului de ecuaii (2.4.) sau (2.5.) i reciproc. I.3. Spaii vectoriale Fie V o mulime nevid de elemente i K un corp de scalri (de regul K este corpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C) Pe mulimea V se definesc dou operaii: 1. Operaia de adunare + ca lege de compoziie intern, care asociaz fiecrei perechi de elemente (x, y ) V V un element sum x + y V. 2. Operaia de nmulire cu scalari ca lege de comparaie extern, care asociaz, fiecrei perechi de elemente (, x ) K V un element x V . Definiie: Mulimea nevid V se numete spaiu vectorial peste corpul K dac (V ,+ ) este grup abelian, adic verific:

1.1. x + y = y + x pentru ()x, y V ; 1.2. ( x + y ) + z = x + ( y + z ) pentru ()x, y, z V ; 1.3. ()OV element neutru OV V astfel nct x+OV=OV+x=x, ()x V ; 1.4. ()x V , () x element opus, x V , astfel nct x + ( x) = ( x) + x = OV ; i (V,) verific: 2.1. ( + )x = x + x pentru (), K , x V ; 2.2. ( x + y ) = x + y pentru () K , x, y V ;4

2.3. ( )x = ( x ) pentru (), K , x V ; 2.4. 1K x = x pentru 1K K element neutru i ()x V .Definiie: Fie V un spaiu vectorial peste corpul K. Un vector v V se numete combinaie liniar a vectorilor v1 , v 2 ,..., v m V dac exist scalori 1 , 2 ,..., m K, astfel nct: Definiie: Un sistem de vectori {v1 , v 2 ,..., v n } din V se numete sistem de generatori ai spaiului vectorial V dac orice vector v V se poate scrie ca o combinaie liniar a vectorilor v1 , v 2 ,..., v n .

v = 1v1 + 2 v 2 + ... + m v m .

Definiie: Un sistem de vectori {v1 , v 2 ,..., v n } din V se numete

sistem liniar independent dac din 1v1 + 2 v 2 + ... + n v n = 0 rezult nuli 1 = 2 = ... = n = 0. Dac exist scalari nenuli, sistemul de numete sistem liniar dependent. Propoziie: Vectorii v1 , v 2 ,..., v n V sunt liniar dependeni dac i numai dac cel puin un vector dintre ei este o combinaie liniar de ceilali. Definiie: Fie V spaiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori. B V , B = {v1 ,..., v m } se numete baza pe spaiul vectorial V dac este format dintr-un numr maxim de vectori liniar independeni. Numrul vectorilor din baz determin dimensiunea spaiului. Propoziie: Fie V un spaiu vectorial peste corpul K i B = {b1 , b2 ,..., bn } o baz a spaiului V, atunci orice vector v V se scrie n mod unic ca o combinaie liniar a vectorilor bazei. Definiie: Coeficienii 1 , 2 ,..., n ai reprezentrii vectorului

v V n baza B se numesc coordonatele vectorului v n baza B. Se poate scrie atunci v = (1 , 2 ,..., n ).Spaiul vectorial n-dimensional real este mulimea:

5

n

=

...

x1 x = x x = 2 , xi M xn

x1 y1 x1 + y1 x2 y 2 x2 + y 2 pe care se definesc operaiile: x + y = M + M = M x y x + y n n n n

x1 x1 x 2 x 2 i x = = M M x x n n

Propoziie: Sistemul de vectori unitari:1 0 0 , , 0 , 1 0 b1 = b2 = bn = M M M 0 0 1

formeaz o baz a spaiului vectorial n numit baza canonic. Observaie: n spaiul n exist o infinitate de baze. Propoziie: Un sistem de vectori {v1 , v 2 ,..., v n } V sunt vectori liniar independeni dac rangul matricei vectorilor este egal cu numrul vectorilor. Vectorii sunt liniar dependeni dac rangul matricei vectorilor este mai mic ca numrul vectorilor. Consecin: n spaiul vectorial n un sistem de n-vectori: a11 a n1 a 21 , , , v1 = M v 2 = M vn = M a a a nn 1n 2n

formeaz o baz a spaiului dac i numai dac determinantul matricei vectorilor este nenul. Propoziie. (Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei) Fie v n , A = {a1 , a 2 ,..., a n } i B = {b1 , b2 ,..., bn } dou baze dinn

, unde:6

v1 v = M , a1 v 2

a n1 b11 bn1 a11 , , , , , a n = M b1 = M bn = M = M a b b a nn 1n nn 1n

i, prin abuz de notaie, notm cu A i B matricile asociate bazelor A i B (matricile de trecere de la o baz oarecare la baza canonic). Fie 1 ,..., n coordonatele vectorului v n baza A, 1 ,..., n coordonatele vectorului v n baza B, i pentru fiecare i, i = 1,..., n ,

i1 , i 2 ,..., in , coordonatele vectorului ai n baza B. Atunci: 1 = 1 11 + ... + n n1 M = + ... + 1 1n n nn n 11 ... n1 M = M O M 1n ... nn

Scris matriceal, relaia devine = M , unde

n plus avem relaia M = B 1 A . I.4. Spaii euclidiene Definiie: Fie V spaiu vectorial peste corpul de scalari K. O aplicaie f : V V R , notat f ( x, y ) =< x, y > se numete produs scalar dac satisface: 1. x1 + x 2 , y = x1 , y + ( x 2 , y ) , ()x1 , x 2 , y V ;2. < x, y >=< y, x > , ()x, y V ; 3. < x, y >= < x, y > , ()x, y V , () K ;

4. < x, x > 0 pentru ()x V . Definiie: Un spaiu vectorial E peste corpul K pe care s-a definit un produs scalar se numete spaiu euclidian. Definiie: ntr-un spaiu euclidian real sau complex, doi vectori x, y E se numesc vectori ortogonali dac produsul loc scalar este nul, deci < x, y >= 0.

7

Definiie: Fie E spaiu euclidian. Un sistem x1 , x 2 ,..., x n E se numete sistem ortogonal de vectori dac fiecare vector vi este ortogonal pe toi ceilali vectori. Deci

xi , x j = 0 pentru orice

i j , i, j = 1,..., n .Propoziie: n orice spaiu euclidian n-dimensional peste corpul K exist cel puin o baz ortogonal car e se poat e determina cu procedeul lui Gramm Schmidt. Se pleac de la o baz oarecare a spaiului E, B = {b1 ,..., bn } i se construiesc vectorii:

a1 = b1 a1 = b2 21 a1 M a n = bn n1 a1 n 2 a 2 ... n ,n 1 a n 1vectori din {a1 ,..., a n } s fie ortogonali, obinnd:a1 , a1 i prin recuren bi , a j ij = aj,aj 21 = b2 , a1

Scalarii ij se vor determina punnd condiia ca oricare doi

Procedeul descris mai sus poart numele de procedeul lui Gramm Schmidt. Definiie: Fie V spaiu vectorial peste corpul K. O funcie f : V + , notat f ( x) = x se numete norma vectorului x,

x V dac verific: 1. x 0;2. x = x ;3. x + y x + y .8

Norma unui vector pe un spaiu euclidian se poate defini n mai multe feluri. Noi vom folosi norma definit cu ajutorul produsului scalar: x = < x, x > .Definiie: Un spaiu vectorial pe care s-a definit o norm se va numi spaiu vectorial normat. Propoziie: n orice spaiu vectorial normat exist o baz ortonormat adic o baz ortogonal n care norma fiecrui vector este egal cu unitatea. I.5. Aplicaii liniare Definiie: Fie V, V' dou spaii vectoriale peste acelai corp de scalari K de dimensiuni n respectiv m. O aplicaie T : V V se numete aplicaie (transformare sau operator) liniar dac este aditiv i omogen, deci verific: 1. T ( x + y ) = T ( x) + T ( y ) , ()x, y V ; 2. T (x ) = T ( x) , ()x V , () K. Teorem: O aplicaie T : V V este aplicaie liniar dac i numai dac:

T (x + y ) = T ( x) + T ( y )

B = {b1 , b2 ,..., bn } o baz a spaiului vectorial V', atunci exist o aplicaie liniar T : V V cu proprietatea: T (a k ) = bk pentru ()k {1,..., n}. Fie aplicaia liniar T : V V , V,V' spaii vectoriale peste un corp K, B = {a1 , a 2 ,..., a n } o baz a spaiului vectorial V i B = {b1 , b2 ,..., bn } o baz a spaiului vectorial V'. Fie ai un vector oarecare din B atunci T (ai ) este un vector al spaiului V' i poate fireprezentat n mod unic n funcie de vectorii bazei B':

Teorem: Fie V, V' dou spaii vectoriale peste acelai corp de scalari K; B = {a1 , a 2 ,..., a n } o baz a spaiului Vectorial V i

T (ai ) = i1b1 + i 2 b2 + ... + in bn

9

aplicaiei liniare T n raport cu perechea de baze {B, B }. 11 M B , B (T ) = 12 M 1n 21 22 2n M ... n1 ... n 2 O M ... nn

format din coordonatele vectorilor T (a1 ), T (a 2 ),..., T (a 2 ) n baza B' se va numi matrice asociat

Matricea

I.6. Valori proprii i vectori proprii asociai unei aplicaii liniare Definiie: Fie V un spaiu vectorial n-dimensional peste corpul de scalari K i T : V V o aplicaie liniar. Un scalar K se numete valoare proprie pentru aplicaia liniar T dac exist cel puin un vector nenul v V , astfel nct:

T (v ) = v (6.1.) Vectorul nenul v V care verific relaia (6.1.) se numete vector propriu pentru aplicaia liniar T asociat valorii proprii .

definit n baza B = {a1 ,..., a n }. Relaia (6.1.) se mai scrie:

Prezentm n continuare modul de determinare a valorilor i vectorilor proprii pentru o aplicaie liniar. Fie T : V V aplicaie liniar cu matricea aplicaiei AT

T (v) v = 0 sau

( AT E n )v = Ov

(6.2.)

Relaia (6.2.) reprezint scrierea matriceal a unui sistem omogen. n consecin, coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluiile sistemului omogen (6.2.). Soluiile sistemului omogen (6.2.) nu sunt toate nule pentru c determinantul sistemului este nul. Determinantul sistemului (6.2.): este:L a12 a 11 a 21 a 22 L P ( ) = M M M a n1 an2 a1n a2n M

L a nn

i se numete polinomul caracteristic asociat aplicaiei liniare T. Ecuaia P ( ) = 0 se numete ecuaie caracteristic a aplicaiei T.10

Se verific teorema: Teorem: Fie T : V V . K este o valoare proprie a aplicaiei liniare T dac i numai dac este rdcin a ecuaiei caracteristice. Observaii: 1. Polinomul caracteristic i deci ecuaia caracteristic nu depinde de baza aleas. 2. Vectorii proprii asociai aplicaiei liniare T : V V pentru valorile proprii determinate se obin nlocuind valorile proprii n sistemul (6.2.) i rezolvnd sistemul. Soluiile sistemului vor fi coordonatele vectorilor proprii asociai aplicaiei T n raport cu baza B. 3. Fiecrei valori proprii i corespund o infinitate de vectori proprii. Sistemul omogen (6.2.) este compatibil nedeterminat, cci P()=0. Mulimea soluiilor formeaz un subspaiu, numit subspaiu propriu ataat valorii proprii respective i se noteaz E = v v V \ {0}, T (v) = v .

{

}

4. Un vector propriu poate fi asociat ca vector propriu unei singure valori proprii a aplicaiei liniare T. Teorem: Dac v1 ,..., v p sunt vectori proprii ai aplicaiei liniare T : V V asociai valorilor proprii distincte 1 ,..., p atunci sunt liniari independeni. Teorem: Fie V spaiu vectorial de dimensiune n, T : V V o aplicaie liniar i 1 ,..., n , valori proprii distincte pentru T. Atunci exist o baz B pentru V astfel nct matricea asociat aplicaiei liniare T s aib form diagonal cu elementele diagonalei principale egale cu valorile proprii. Teorem: Fie V spaiu vectorial de dimensiune n, T : V V o aplicaie liniar care are un polinom caracteristic: m m m P( ) = ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ... p p cu m1 + m2 + ... + m3 = n .

(

)

Atunci exist o baz B a spaiului vectorial V, astfel nct matricea asociat aplicaiei liniare T n raport cu perechea de baze { B, B} s aib form diagonal dac i numai dac dimensiunea fiecrui

11

subspaiu propriu E i corespunztor valorii proprii i este egal cu

mi ordinul de multiplicitate al valorii proprii respective AT = diag 1 ...... p ,......., p ..... p . 4 3 1 24 4 3 1 24 mp mp Baza B este format din vectori proprii aparinnd subspaiilor proprii corespunztoare. I.7. Forme liniare. Forme ptratice Definiie: Fie V spaiu vectorial peste corpul real, de dimensiune n. O aplicaie f : V este o form (transformare sau operator) liniar dac este aditiv i omogen, adic: 1. f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) , x, y V ; 2. f (x) = f ( x) , x V i . Definiie: Fie V spaiu vectorial peste corpul de dimensiune n. O aplicaie f : V V R este o form biliniar dac este liniar n raport cu a...