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U^ZYU: RESSOURCES NUMÉRIQUES - · PDF filepour acquérir les connaissances fondamentales en ... en sciences économiques à l'université Paris 8 Saint-Denis où il dirige le laboratoire

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  • OPENBOOKLICENCE / BACHELOR

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    lOPENBOOKLes fondamentaux

    en conomie, gestion, management

    livre ouvert

    mathmatiquesen conomie-gestion

    Publics

    Licences conomie, conomie et gestion, Gestion, AES, MIASHS

    Bachelors des coles de management

    Classes prparatoires conomiques et commerciales

    Comment utiliser les fonctions usuelles les plus simples ? Comment tudier lvolution dun capital l'aide d'une suite numrique ? Dans quels cas est-il pertinent dutiliser les fonctions puissance, logarithme et exponentielle ? quoi sert le calcul intgral ? Quelle est lutilit de lalgbre linaire en conomie ? Comment maximiser le profit lorsqu'il dpend de plusieurs variables ?

    Alliant thorie et pratique, ce manuel met laccent sur lacquisition des mthodes et des comptences indispensables tout tudiant pour russir sa licence ou son bachelor. Il propose :

    des situations concrtes pour introduire les concepts ; un cours visuel et illustr par de nombreux exemples pour acqurir les connaissances fondamentales en analyse et en algbre ;

    des applications lconomie et la gestion pour traduire la thorie en pratique et montrer comment utiliser les outils mathmatiques ;

    des clairages sur les grands auteurs de la discipline ; des exercices progressifs et varis et leurs corrigs dtaills pour svaluer et sentraner.

    Des approfondissements et une partie des corrigs sont disponibles sur www.dunod.com.

    Stphane ROSSIGNOL est docteur en mathmatiques et professeur des universits en sciences conomiques l'universit Paris 8 Saint-Denis o il dirige le laboratoire d'conomie, le LED.

    Quelques belles formules utiles en conomie-gestion

    Dans la mme collection,dcouvrez :

    mathmatiquesen conomie-gestion

    STPHANE ROSSIGNOL

    OPENBOOKLICENCE / BACHELOR

    OPENBOOKLes fondamentaux

    en conomie, gestion, management

    livre ouvert

    RESSOURCES

    NUMRIQUES6279582ISBN 978-2-10-070954-0

    9:HSMBKA=\U^ZYU:

  • rossignol_70954 (Col. : Science Sup 17x24) 2015/5/4 13:54 page iii #2

    SommaireAvant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV

    Chapitre 1 Fonctions dune variable relle : les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . X

    Chapitre 2 Drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    Chapitre 3 Suites numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    Chapitre 4 Limites et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    Chapitre 5 Fonctions puissance, logarithme et exponentielle . . . . . . . . . 112

    Chapitre 6 tude locale et globale des fonctions dune variable relle 134

    Chapitre 7 Intgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    Chapitre 8 Introduction lalgbre linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    Chapitre 9 Matrices, dterminants et systmes dquations linaires . 214

    Chapitre 10 Diagonalisation, matrices symtriques et applications . . . . 266

    Chapitre 11 Introduction aux fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . 294

    Chapitre 12 Optimisation de fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . 330

    CORRIGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

    Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

    Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

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    III

  • rossignol_70954 (Col. : Science Sup 17x24) 2015/5/4 13:54 page iv #3

    Avant-proposPourquoi faut-il tudier les mathmatiques en licence dconomie-gestion et en bachelor ? Les nouveaux bacheliers sont souvent surpris de devoirtudier autant les mathmatiques en licence dconomie-gestion et en bachelor. Tou-tefois ils doivent se rendre compte rapidement que celles-ci sont trs utiles car :

    les donnes conomiques sont trs souvent quantitatives ;

    pour raisonner rigoureusement, la formalisation mathmatique et la modlisationsont souvent ncessaires.

    En physique comme en conomie, la modlisation consiste reprsenter de faon sim-plifie la ralit pour pouvoir en analyser prcisment et rigoureusement un aspect. Ontraduit en termes mathmatiques les hypothses que lon fait sur les questions cono-miques tudies, puis on en tire logiquement et mathmatiquement les consquences,quon retraduit ensuite en termes conomiques. Dans ses Principes mathmatiques dela thorie des richesses (1838), Cournot est un prcurseur de la modlisation math-matique en conomie. Celle-ci sera de plus en plus dveloppe partir de la rvolutionmarginaliste (1870).

    Remarquons que les variables conomiques dpendent les unes des autres, cest pour-quoi il est particulirement utile de connatre la thorie mathmatique des fonctionsdune ou plusieurs variables relles. Les agents conomiques ont un comportementdoptimisation : la firme cherche maximiser son profit, le consommateur veut maxi-miser son bien-tre ou son utilit, etc. Ceci rend ncessaire ltude de loptimisa-tion mathmatique, cest--dire la recherche des maxima et des minima des fonctionsdune ou plusieurs variables.

    Que trouve-t-on dans ce manuel ? Le manuel commence par sept chapitresconsacrs lanalyse des fonctions dune variable. Les trois chapitres suivants ex-posent les bases de lalgbre linaire. Les deux derniers chapitres sont dvolus auxfonctions de plusieurs variables (non linaires).

    Plus prcisment, le premier chapitre donne les bases des fonctions dune variablerelle. Le deuxime est consacr la drivation. Le troisime donne une introduc-tion aux suites numriques, utiles particulirement quand on tudie lvolution dansle temps dune variable conomique. Le quatrime traite des limites et de la continuitdes fonctions dune variable relle. Bien que, dans les manuels, les limites sont gn-ralement exposes en dtail avant daborder la drivation, nous avons prfr lordreinverse, pour des raisons pdagogiques. Nous avons seulement introduit la notion delimite finie en un point au chapitre 2, cest--dire juste ce qui est ncessaire pour com-prendre la dfinition du nombre driv comme limite du taux daccroissement. Cetordre est celui des programmes de mathmatiques au lyce.

    Le chapitre 5 prsente en dtail les fonctions puissances, logarithmes et exponen-tielles, qui permettent de modliser une croissance (ou dcroissance) rgulire. Lesixime chapitre donne lessentiel de ce quil faut connatre pour ltude locale dunefonction au voisinage dun point, et ltude globale sur tout un intervalle, en particu-lier pour la recherche des extrema. Le septime chapitre donne les rudiments de calculintgral.

  • rossignol_70954 (Col. : Science Sup 17x24) 2015/5/4 13:54 page v #4

    Avant-propos

    Les chapitres 8, 9 et 10 exposent lessentiel de lalgbre linaire. Aprs un exempleintroductif, on explique ce quest un espace vectoriel, une application linaire, une ma-trice, un dterminant. On apprend comment rsoudre un systme dquations linaireset comment diagonaliser une matrice.

    Le onzime chapitre est une introduction aux fonctions de plusieurs variables. Enfinle dernier chapitre est consacr loptimisation des fonctions de plusieurs variables,si importante en conomie.

    Ce livre ne traite que des mathmatiques ncessaires pour la licence dconomie-gestion et le bachelor :

    nous avons cart les thmes mathmatiques utiles aux conomistes et aux gestion-naires, mais dun niveau trop avanc, comme loptimisation dynamique, le contrleoptimal, la programmation linaire, etc. ;

    nous avons aussi omis les questions mathmatiques qui sont abordes courammenten licence de sciences, mais qui sont moins immdiatement utiles en conomie et engestion : fonctions trigonomtriques, nombres complexes, quations diffrentielles,etc. ;

    nous ne traitons pas non plus des probabilits et des statistiques car celles-ci fontlobjet dun autre manuel dans la mme collection.

    Quelles sont les spcificits de ce manuel ? Chaque chapitre commence par uneintroduction qui explique de la faon la plus simple possible lintrt et lide gnraledes notions vues dans le chapitre. Comme pour tous les ouvrages de la collection Openbook , chaque chapitre commence par une rubrique Objectifs et finit par Les points cls , pour clarifier toujours davantage le travail et les enjeux. La rubrique Les grands auteurs prsente un mathmaticien important.

    La plupart des thormes et propositions sont dmontrs. Rappelons quen mathma-tique, proposition et thorme sont synonymes : dans les deux cas, il sagit dassertionsque lon dmontre rigoureusement. Les dmonstrations les plus longues sont dispo-nibles sur le site www.dunod.com.

    On sest efforc de donner de nombreux exemples, et galement de nombreuses ap-plications conomiques dtailles et concrtes, pour comprendre lutilit des notionsmathmatiques tudies.

    Plusieurs exercices figurent la fin de chaque chapitre. Certains sont corrigs en findouvrage ; on trouvera la correction des autres sur le site www.dunod.com.

    Remerciements. Je tiens remercier chaleureusement pour leurs relectures et leurscommentaires : Meglena Jeleva, Raphal Giraud et Chimne Fischler, ainsi que Mor-gane Tanv, Antoine Auberger et Franoi

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