SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II )
Beserta contoh soal untuk setiap subbab 23/03/2016
D3
D4
D1 1. FAKTORISASI MATRIKS
2. METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN SPL
3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
4. POWER METHOD
D2
Matematika FMIPA IPB 1
D1
FAKTORISASI 𝑳𝑼
FAKTORISASI 𝑳𝑫𝑳𝑻
23/03/2016
FAKTORISASI CHOLESKY 𝑳𝑪 𝑳𝑪𝑻
Matematika FMIPA IPB 2
FAKTORISASI CROUT 𝑳𝑪𝑼𝑪
FAKTORISASI DOLITTLE 𝑳𝑫𝑼𝑫
• Suatu masalah yang sering dihadapi di dalam
menyelesaikan SPL 𝑨𝒙 = 𝒃 adalah perlunya
mendapatkan beberapa penyelesaian untuk berbagai
vektor 𝒃, sedangkan matriks 𝑨 tetap.
• Penggunaan metode eliminasi Gauss mengharuskan
penyelesaian setiap SPL 𝑨𝒙 = 𝒃 secara terpisah untuk
setiap vektor 𝒃 , dengan menggunakan operasi
aritmetika yang pada prinsipnya sama sampai
dilakukannya proses substitusi mundur (backward
substitusion).
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 3
Sumber : //staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf
• Suatu proses yang dikenal sebagai
faktorisasi LU menangani permasalahan
ini dengan hanya berkonsentrasi pada
matriks koefisien 𝑨.
• Metode Faktorisasi LU bermanfaat untuk
komputer digital dan merupakan basis
untuk banyak pemrograman komputer
praktis.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 4
Sumber : //staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf
1. Bentuklah matriks 𝑳 dan 𝑼 dari 𝑨
2. Pecahkan 𝑳𝒚 = 𝒃, lalu hitung 𝒚 dengan teknik substitusi maju
3. Pecahkan 𝑼𝒙 = 𝒚, lalu hitung 𝒙 dengan teknik substitusi
mundur
Penyelesaian 𝐴𝑥 = 𝑏 dengan faktorisasi LU
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 5
Hanya berlaku untuk Faktorisasi LU, Dolittle, dan Crout
Sumber : R.Munir 2003
Definisikan persamaan matriks 𝑨𝒙 = 𝒃, 𝑨 ∈ 𝑴𝒏×𝒏 dengan
matriks 𝑨 dapat difaktorkan dalam bentuk 𝑨 = 𝑳𝑼 dimana:
𝑎11𝑎21𝑎31
𝑎12𝑎22𝑎32
⋮𝑎𝑛1
⋮𝑎𝑛2
𝑎13𝑎23𝑎33
⋯⋯⋯
⋮𝑎𝑛3
⋱⋯
𝑎1𝑛𝑎2𝑛𝑎3𝑛⋮𝑎𝑛𝑛
=
1𝑙21𝑙31
01𝑙32
⋮𝑙𝑛1
⋮𝑙𝑛2
001
⋯⋯⋯
⋮𝑙𝑛3
⋱⋯
000⋮1
𝑢1100
𝑢12𝑢220
⋮0⋮0
𝑢13𝑢23𝑢33
⋯⋯⋯
⋮0⋱⋯
𝑢1𝑛𝑢2𝑛𝑢3𝑛⋮𝑢𝑛𝑛
FAKTORISASI 𝑳𝑼
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 6
Faktorkan matriks 𝐴 berikut
𝐴 =2 4 −21 −1 54 1 −2
𝑏 =602
Contoh soal
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 7
Sumber : //staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf.page 82.
𝐴 =2 4 −21 −1 54 1 −2
2 4 −20 −3 60 −7 2
= 𝐴1
𝑀1 =
1 0 0
−𝟏
𝟐1 0
−𝟐 0 1
Bukti :
𝑴𝟏𝑨 = 𝑨𝟏
Penyelesaian
𝑅2 −𝟏
𝟐𝑅1
~𝑅3 − 𝟐 𝑅1
faktor pengali 𝑚21
23/03/2016
faktor pengali 𝑚31
Matematika FMIPA IPB 8
𝐴1 =2 4 −20 −3 60 −7 2
2 4 −20 −3 60 0 −12
= 𝐴2
𝑀2 =
1 0 00 1 0
0𝟕
𝟑1
Bukti :
𝑴𝟐𝑨𝟏 = 𝑨𝟐 23/03/2016
𝑅3 −𝟕
𝟑𝑅2
~
elemen pivotnya faktor pengali 𝑚32
Matematika FMIPA IPB 9
𝑴𝟏𝑨 = 𝑨𝟏
𝑴𝟐𝑨𝟏 = 𝑨𝟐
𝑴𝟐 𝑴𝟏𝑨 = 𝑨𝟐
𝑨 = 𝑴𝟏−𝟏𝑴𝟐−𝟏 𝑨𝟐
23/03/2016
𝑳 𝑼
Bentuk Umum :
𝑳 = 𝑴𝟏−𝟏𝑴𝟐−𝟏…𝑴𝒏−𝟏
−𝟏
𝑼 = 𝑨𝒏−𝟏
Matematika FMIPA IPB 10
𝑀1−1𝑀2−1𝐴2 =
1 0 01
21 0
27
31
2 4 −20 −3 60 0 −12
= 2 4 −21 −1 54 1 −2
23/03/2016
𝑳 𝑼 𝑨
Matematika FMIPA IPB 11
𝐿𝑦 = 𝑏 →
1 0 01
21 0
27
31
𝑦1𝑦2𝑦3=602
𝑦1 = 6, 𝑦2 = −3, 𝑦3 = −3.
𝑈𝑥 = 𝑦 →2 4 −20 −3 60 0 −12
𝑥1𝑥2𝑥3=6−3−3
𝑥1 =1
4, 𝑥2 =
3
2, 𝑥3 =
1
4
Jadi, solusi SPLnya adalah
𝑥 =1
4,3
2,1
4
𝑇
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 12
Tinjau matriks 3 × 3 berikut :
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝐿𝐷 =1 0 0𝑙21 1 0𝑙31 𝑙32 1
𝑈𝐷 =
𝑢11 𝑢12 𝑢0 𝑢22 𝑢230 0 𝑢33
hasil perkalian 𝐿 dan 𝑈 dapat ditulis
𝐿𝐷𝑈𝐷 =
𝑢11 𝑢12 𝑢13𝑙21𝑢11 𝑙21𝑢12 + 𝑢22 𝑙21𝑢13 + 𝑢23𝑙31𝑢13 𝑙31𝑢12 + 𝑙32𝑢22 𝑙31𝑢13 + 𝑙32𝑢23 + 𝑢33
=
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
= 𝐴
FAKTORISASI DOLITTLE
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 13
Sumber : R.Munir 2003
Dari kesamaan dua buah matriks 𝐿𝑈 = 𝐴, diperoleh
𝑢11 = 𝑎11, 𝑢12 = 𝑎12, 𝑢13 = 𝑎13
𝑙21𝑢11 = 𝑎21 → 𝑙21 =𝑎21𝑢11
𝑙31𝑢11 = 𝑎31 → 𝑙31 =𝑎31𝑢11
𝑙21𝑢12 + 𝑢22 = 𝑎22 → 𝑢22 = 𝑎22 − 𝑙21𝑢12
𝑙21𝑢13 + 𝑢23 = 𝑎23 → 𝑢23 = 𝑎23 − 𝑙21𝑢13
𝑙31𝑢12 + 𝑙32𝑢22 = 𝑎32 → 𝑙32 =𝑎32 − 𝑙31𝑢12𝑢22
𝑙31𝑢13 + 𝑙32𝑢23 + 𝑢33 = 𝑎33 → 𝑢33 = 𝑎33 − (𝑙31𝑢13 + 𝑙32𝑢23)
Baris Pertama 𝑈
Kolom Pertama 𝐿
Baris Kedua 𝑈
Kolom Kedua 𝐿
Baris Ketiga 𝑈
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 14
Sumber : R.Munir 2003
Selesaikan dengan faktorisasi 𝐿𝑈 SPL berikut :
2𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 6
𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 0
4𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 2
Dalam hal ini 𝐿 dan 𝑈 dihitung dengan faktorisasi Dollitle.
Contoh soal
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 15
𝐴 =2 4 −21 −1 54 1 −2
𝑏 =602
Diperoleh :
Penyelesaian :
𝑢11 = 𝑎11 = 2 𝑢12 = 𝑎12 = 4 𝑢13 = 𝑎13 = −2
23/03/2016
𝑙21 =𝑎21𝑢11=1
2
𝑙31 =𝑎31𝑢11=4
2= 2
𝑢22 = 𝑎22 − 𝑙21𝑢12 = −1 −1
24 = −3
𝑢23 = 𝑎23 − 𝑙21𝑢13 = 5 −1
2−2 = 6
𝑙32 =𝑎32 − 𝑙31𝑢12𝑢22
=1 − 2(4)
−3=7
3
𝑢33= 𝑎33 − 𝑙31𝑢13 + 𝑙32𝑢23
= −2 − 2 −2 +7
36 = −12
Matematika FMIPA IPB 16
Diperoleh 𝐿𝐷 dan 𝑈𝐷 sebagai berikut,
𝐿𝐷 =
1 0 01
21 0
27
31
𝑈𝐷 =2 4 −20 −3 60 0 −12
dan 𝑏 =602
Berturut-turut dihitung 𝑦 dan 𝑥 :
𝑦1 = 6, 𝑦2 = −3, 𝑦3 = −3
𝑥1 =1
4, 𝑥2 =
3
2, 𝑥3 =
1
4
Jadi, solusi SPL di atas adalah
𝑥 =1
4,3
2,1
4
𝑇
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 17
23/03/2016
FAKTORISASI CROUT
Faktorisasi Crout menghasilkan 𝑨 = 𝑳𝑼, dengan 𝑳 = 𝑳𝑫𝑫
dan 𝑼 = 𝑫−𝟏𝑼𝑫, 𝑨 = 𝑳𝑫𝑼𝑫 adalah hasil faktorisasi Dolittle
dan 𝑫 matriks diagonal dari 𝑼𝑫
𝐿𝐷 =
1 0 01
21 0
27
31
𝑈𝐷 =2 4 −20 −3 60 0 −12
𝐷 =2 0 00 −3 00 0 −12
𝐷−1 =
1
20 0
0 −1
30
0 0 −1
12
Matematika FMIPA IPB 18
Sumber : //staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf.page 87.
23/03/2016
𝐿𝐶 = 𝐿𝐷𝐷 =
1 0 01
21 0
27
31
2 0 00 −3 00 0 −12
=1 0 01 −3 04 −7 −12
𝑈𝐶 = 𝐷−1𝑈𝐷 =
1
20 0
0 −1
30
0 0 −1
12
2 4 −20 −3 60 0 −12
=1 2 −10 1 −20 0 1
𝐿𝐶𝑈𝐶 =1 0 01 −3 04 −7 −12
1 2 −10 1 −20 0 1
=1 0 01 −3 04 −7 −12
1 2 −10 1 −20 0 1
=2 4 −21 −1 54 1 −2
= 𝐴
lakukan hal yang sama untuk menghasilkan 𝒚 dan 𝒙 seperti
sebelumnya untuk menghasilkan 𝒙 =𝟏
𝟒,𝟑
𝟐,𝟏
𝟒
𝑻
Bukti
Matematika FMIPA IPB 19
23/03/2016
Syarat: 𝑨 harus matriks simetrik yaitu 𝒂𝒊𝒋 = 𝒂𝒋𝒊
FAKTORISASI 𝑳𝑫𝑳𝑻
𝐿𝑈 = 𝐴 = 𝐴𝑇 = 𝐿𝑈 𝑇 𝐿𝑈 = 𝑈𝑇𝐿𝑇 𝑈 = 𝐿−1𝑈𝑇𝐿𝑇 𝑈 𝐿𝑇 −1 = 𝐿−1𝑈𝑇 𝑫 = 𝑳−𝟏𝑼𝑻
𝐿𝐷 = 𝑈𝑇 𝐿𝐷 𝑇 = 𝑈
𝐷𝑇𝐿𝑇 = 𝑈
𝐷𝐿𝑇 = 𝑈
Sehingga 𝐿𝐷𝐿𝑇 = 𝐿𝑈 = 𝐴
Matematika FMIPA IPB 20
Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
Tentukan Faktorisasi 𝑳𝑫𝑳𝑻 dari matriks berikut
𝐴 =
4333
2121
2211
2111
Contoh soal
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 21 Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
23/03/2016
𝑨 = 𝑳𝑼 =
𝑫 = 𝑳−𝟏𝑼𝑻 =
𝑳𝑫𝑳𝑻 = = 𝑨
Penyelesaian :
Matematika FMIPA IPB 22
23/03/2016
Syarat :
𝑨 simetrik definit positif (semua diagonal utama (+) ). Sehingga
𝑫𝟏
𝟐 dapat diperoleh.
FAKTORISASI 𝑪𝑯𝑶𝑳𝑬𝑺𝑲𝒀
𝐴 = 𝐿𝐷𝐿𝑇 = 𝐿𝐷12 𝐷12
𝑇
𝐿𝑇 = 𝐿𝐶𝐻 𝐿𝐶𝐻 𝑇
Matematika FMIPA IPB 23
Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
23/03/2016
Tentukan Faktorisasi 𝑪𝑯𝑶𝑳𝑬𝑺𝑲𝒀 dari matriks
berikut
𝐴 =
4333
2121
2211
2111
Contoh soal
Matematika FMIPA IPB 24
Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
𝑳𝑪𝑯 = 𝑳𝑫𝟏𝟐
𝑳𝑪𝑯 𝑳𝑪𝑯𝑻 = 𝑨
23/03/2016
Penyelesaian :
Matematika FMIPA IPB 25
D2
SOLUSI ITERATIF DARI PERSAMAAN LINEAR
ILL – CONDITION
BILANGAN KONDISI MATRIKS
23/03/2016
METODE ITERATIF DASAR
ITERASI JACOBI
ITERASI GAUSS – SEIDEL
SUCCESIVE OVER-RELAXATION
(SOR) Matematika FMIPA IPB 2
6
1. Matriks 𝑨 dikatakan berkondisi buruk ( ill – condition ) jika
terdapat sebuah vektor kolom 𝒃 sehingga untuk perubahan kecil
𝑨 atau 𝒃 akan menghasilkan perubahan besar pada solusi
𝒙 = 𝑨−𝟏𝒃.
2. Sistem 𝑨𝒙 = 𝒃 dikatakan berkondisi buruk bila 𝑨 berkondisi
buruk.
3. Apabila sistem 𝑨𝒙 = 𝒃 berkondisi buruk, hasil perhitungannya
mempunyai galat yang besar.
ILL – CONDITION
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 27
Sumber : R.Munir 2003
Tinjau SPL berikut :
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎
𝟏. 𝟏𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟒
yang memiliki solusi sejati 𝒙𝟏 = 𝟒 dan 𝒙𝟐 = 𝟑. Jika sekarang
𝒂𝟐𝟏 = 𝟏. 𝟏 diubah menjadi 𝟏. 𝟎𝟓,
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎
𝟏. 𝟎𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟒
diperoleh 𝒙𝟏 = 𝟖 dan 𝒙𝟐 = 𝟏.
Penambahan sebesar 𝜺 pada koefisien 𝟏. 𝟏 dinyatakan sebagai
berikut :
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎
𝟏. 𝟏 + 𝜺 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟒
Contoh soal
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 28
Sumber : R.Munir 2003
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 29
Yang mempunyai solusi
𝒙𝟏 =𝟎. 𝟒
𝟎. 𝟏 + 𝜺
𝒙𝟐 =𝟎. 𝟔 + 𝟏𝟎𝜺
𝟎. 𝟐 + 𝟐𝜺
Solusi ini memperlihatkan bahwa sistem berkondisi buruk sebab perubahan kecil 𝜺 menghasilkan perubahan besar pada solusi SPL.
Pada contoh di atas, 𝜺 = −𝟎. 𝟎𝟓, sehingga
𝒙𝟏 =𝟎. 𝟒
𝟎. 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟓= 𝟖
𝒙𝟐 =𝟎. 𝟔 − 𝟏𝟎 𝟎. 𝟎𝟓
𝟎. 𝟐 − 𝟐 𝟎. 𝟎𝟓= 𝟏
4. Beberapa ukuran untuk kondisi buruk telah dikemukakan
para ahli numerik, antara lain 𝒅𝒆𝒕 𝑨 sangat kecil
dibandingkan dengan nilai maksimum |𝒂𝒊𝒋| dan 𝒃𝒊 .
5. Ukuran determinan sukar dikaitkan dengan kondisi buruk.
Kesukaran tersebut dapat diatasi bila SPL dinormalkan
sedemikian sehingga koefisien terbesar pada tiap baris
persamaan sama dengan 1.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 30
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 31
Tentukan determinan matriks 𝑨 pada SPL berikut
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎
𝟏. 𝟏𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟒
bila :
( i ) SPL tanpa penormalan
( ii ) SPL dinormalkan
Contoh soal
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 32
( i ) SPL tanpa penormalan
𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝟏 𝟐 − 𝟏. 𝟏 𝟐 = −𝟎. 𝟐
yang dekat dengan nol, karena itu SPL berkondisi buruk.
( ii ) SPL dinormalkan
Penormalan menghasilkan
𝟎. 𝟓𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟓
𝟎. 𝟓𝟓𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟓. 𝟐
sehingga, 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝟎. 𝟓 𝟏 − 𝟏 𝟎. 𝟓𝟓 = −𝟎. 𝟓𝟓
yang dekat ke nol, karena itu berkondisi buruk.
Penyelesaian :
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 33
Tentukan determinan matriks 𝑨 pada SPL berikut
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟖
−𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟐
bila
( i ) SPL tanpa penormalan,
( ii ) SPL dinormalkan
Contoh soal
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 34
( i ) SPL apa adanya
𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝟑 𝟐 − 𝟐 −𝟏 = 𝟖
yang nilainya jauh dari nol, karena itu SPL berkondisi baik.
( ii ) SPL dinormalkan
Penormalan menghasilkan
𝒙𝟏 + 𝟎. 𝟔𝟔𝟕𝒙𝟐 = 𝟔
−𝟎. 𝟓𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟏
sehingga, 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝟏 𝟏 − 𝟎. 𝟔𝟔𝟕 −𝟎. 𝟓 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟑
yang nilainya jauh dari nol, karena itu berkondisi baik.
Penyelesaian :
Walaupun terdapat beragam cara untuk memeriksa kondisi
sistem, akan lebih disukai mendapatkan bilangan tunggal
yang dapat berlaku sebagai petunjuk adanya kondisi buruk.
Bilangan tersebut dinamakan “ bilangan kondisi matriks “.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 35
23/03/2016
BILANGAN KONDISI MATRIKS
Misal SPL 𝑨𝒙 = 𝑩, bilangan kondisi matriks dinyatakan
sebagai :
𝜿 𝑨 = 𝑨 𝑨−𝟏
Yang dalam hal ini 𝑨 adalah norma ( norm ) tak – hingga
matriks 𝑨, yang didefinisikan sebagai :
𝑨 = 𝑨 ∞ = max𝟏≤𝒊≤𝒏 |𝒂𝒊𝒋|
𝒏
𝒋=𝟏
Matematika FMIPA IPB 36 Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 37
Sistem persamaan linear 𝑨𝒙 = 𝒃 yang bilangan kondisinya kecil
menyatakan sistem berkondisi baik. Bilangan kondisi besar
menandakan bahwa sistem berkondisi buruk.
Teorema
“ Jika bilangan kondisi matriks 𝑨 besar, maka galat relatif solusi
SPL juga akan besar. Sebaliknya, jika bilangan kondisinya kecil,
galat relatif solusi SPL juga kecil “.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 38
Hitung bilangan kondisi matriks 𝑨 berikut
𝑨 =𝟑. 𝟎𝟐 −𝟏. 𝟎𝟓 𝟐. 𝟓𝟑𝟒. 𝟑𝟑 𝟎. 𝟓𝟔 −𝟏. 𝟕𝟖−𝟎. 𝟖𝟑 −𝟎. 𝟓𝟒 𝟏. 𝟒𝟕
Contoh soal
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 39
Tentukan terlebih dahulu matriks balikannya,
𝑨 =𝟑. 𝟎𝟐 −𝟏. 𝟎𝟓 𝟐. 𝟓𝟑𝟒. 𝟑𝟑 𝟎. 𝟓𝟔 −𝟏. 𝟕𝟖−𝟎. 𝟖𝟑 −𝟎. 𝟓𝟒 𝟏. 𝟒𝟕
, 𝑨−𝟏 =𝟓. 𝟔𝟔𝟏 −𝟕. 𝟐𝟕𝟑 −𝟏𝟖. 𝟓𝟓𝟐𝟎𝟎. 𝟓 −𝟐𝟔𝟖. 𝟑 −𝟔𝟔𝟗. 𝟗𝟕𝟔. 𝟖𝟓 −𝟏𝟎𝟐. 𝟔 −𝟐𝟓𝟓. 𝟗
maka dapat dihitung
𝑨 = 𝟒. 𝟑𝟑 + 𝟎. 𝟓𝟔 + 𝟏. 𝟕𝟖 = 𝟔. 𝟔𝟕
𝑨 −𝟏 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟓 + −𝟐𝟔𝟖. 𝟑 + −𝟔𝟔𝟗. 𝟗 = 𝟏𝟏𝟑𝟖. 𝟕
sehingga bilangan kondisi matriks 𝑨 adalah
𝜿 𝑨 = 𝟔𝟔. 𝟕 𝟏𝟏𝟑𝟖. 𝟕 = 𝟕𝟓𝟗𝟓
Jadi, sistem tersebut berkondisi buruk, karena bilangan kondisinya besar.
Penyelesaian :
Tinjau SPL
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + …+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + …+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
Syarat 𝑎𝑘𝑘 ≠ 0, 𝑘 = 1,2, …𝑛, maka persamaan iterasinya :
𝑥1(𝑘) =𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(𝑘−1)…− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(𝑘−1)
𝑎11
𝑥2(𝑘) =𝑏2 − 𝑎21𝑥1
𝑘−1 − 𝑎23𝑥3𝑘−1 −⋯−𝑎2𝑛 𝑥𝑛
(𝑘−1)
𝑎22
𝑥𝑛(𝑘) =𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
𝑘−𝟏 − 𝑎𝑛2𝑥2𝑘−𝟏 −⋯−𝑎𝑛𝑛−1 𝑥𝑛−1
(𝑘−𝟏)
𝑎𝑛𝑛
.
.
.
.
.
.
.
.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 40
Iterasi dimulai dengan memberikan tebakan awal untuk 𝑥,
𝑥0 = 𝑥10, 𝑥20, … , 𝑥𝑛
0𝑇
Iterasi berhenti jika
𝑥𝑖(𝑘) − 𝑥𝑖(𝑘−1)
𝑥𝑖(𝑘)
< 𝜀 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 41
Misalkan diberikan tebakan awal 𝑥(0) :
𝑥0 = 𝑥10, 𝑥20, … , 𝑥𝑛
0𝑇
Proedur iterasi untuk iterasi pertama, kedua, dan seterusnya
adalah sebagai berikut :
METODE ITERASI JACOBI
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 42
Sumber : R.Munir 2003
Iterasi pertama :
𝑥1(1) =𝑏1 − 𝑎12𝑥2
0 − 𝑎13𝑥30 −⋯−𝑎1𝑛 𝑥𝑛
(0)
𝑎11
𝑥2(1) =𝑏2 − 𝑎21𝑥1
0 − 𝑎23𝑥30 −⋯−𝑎2𝑛 𝑥𝑛
(0)
𝑎22
𝑥𝑛(1) =𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
0 − 𝑎𝑛2𝑥20 −⋯−𝑎𝑛𝑛−1 𝑥𝑛−1
(0)
𝑎𝑛𝑛
Iterasi kedua :
𝑥1(2) =𝑏1 − 𝑎12𝑥2
1 − 𝑎13𝑥31 −⋯−𝑎1𝑛 𝑥𝑛
(1)
𝑎11
𝑥2(2) =𝑏2 − 𝑎21𝑥1
1 − 𝑎23𝑥31 −⋯−𝑎2𝑛 𝑥𝑛
(1)
𝑎22
𝑥𝑛(2) =𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
1 − 𝑎𝑛2𝑥21 −⋯−𝑎𝑛𝑛−1 𝑥𝑛−1
(1)
𝑎𝑛𝑛
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 43
dst......
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 44
𝑥𝑖(𝑘)= −
𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑖𝑥𝑗𝑘−1+𝑏𝑖𝑎𝑖𝑖
𝑛
𝑗=1𝑖≠1
(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛)
Rumus umum
Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
Syarat Kekonvergenan :
1. 𝒂𝒊,𝒊 > 𝒂𝒊,𝟏 + …+ 𝒂𝒊,𝒊−𝟏 + …+ | 𝒂𝒊,𝒏 |
2. 𝒎𝒂𝒙 𝒙𝒊 < 𝟏
Tentukan banyaknya iterasi dengan
menggunakan Iterasi Jacoby
𝑨 =𝟐 −𝟏 𝟎−𝟏 𝟑 −𝟏𝟎 −𝟏 𝟐
𝒃 =𝟏𝟖−𝟓
Dengan nilai awal 𝑥10 , 𝑥20, 𝑥30= (0,0,0).
(4 angka di belakang koma).
Contoh soal
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 45
Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 46
Konvergen jika :
𝒂𝒊,𝒊 > 𝒂𝒊,𝟏 + …+ 𝒂𝒊,𝒊−𝟏 + …+ | 𝒂𝒊,𝒏 |
Untuk 𝑖 = 1
2 > −1 + 0
Berlaku pula untuk 𝑖 = 2 dan 𝑖 = 3.
Penyelesaian :
Metode iterasi Jacobi. Persamaan iterasinya :
𝑥1𝑘=1
2𝑥2𝑘−1+1
2
𝑥2𝑘=1
3𝑥1𝑘−1+1
3𝑥3𝑘−1+8
3
𝑥3𝑘=1
2𝑥2𝑘−1−5
2
Iterasinya :
𝑥 0 = 0,0,0 𝑇
𝑥 1 = 0.5000, 2.6667,−2.5000 𝑇
𝑥 2 = 1.8333,2.0000,−1.1667 𝑇
⋮
𝑥 21 = 2.0000, 3.0000,−1.0000 𝑇
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 47
SCILAB PROGRAM : ITERASI JACOBI
Program Input + Output
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 48
Hasil secara analitik :
𝑥 21 = 2.0000, 3.0000, −1.0000 𝑇 :
Hasil secara komputasi
𝑥 21 = 1.9999915, 2.9999492,−1.0000085 𝑇
Kecepatan konvergen pada iterasi Jacobi dapat dipercepat
bila setiap harga 𝑥𝑖 yang baru dihasilkan segera dipakai pada
persamaan berikutnya untuk menentukan harga 𝑥𝑖+1 yang
lainnya.
METODE ITERASI GAUSS – SEIDEL
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 49
Sumber : R.Munir 2003
Iterasi pertama :
𝑥1(1) =𝑏1 − 𝑎12𝑥2
0 − 𝑎13𝑥30 − 𝑎14𝑥4
(0)
𝑎11
𝑥2(1) =𝑏2 − 𝑎21𝑥1
1 − 𝑎23𝑥30 − 𝑎24𝑥4
(0)
𝑎22
𝑥3(1) =𝑏3 − 𝑎31𝑥1
1 − 𝑎32𝑥21 − 𝑎34𝑥4
(0)
𝑎33
𝑥4(1) =𝑏4 − 𝑎41𝑥1
1 − 𝑎42𝑥21 − 𝑎43𝑥3
(1)
𝑎44
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 50
Iterasi kedua :
𝑥1(2) =𝑏1 − 𝑎12𝑥2
1 − 𝑎13𝑥31 − 𝑎14𝑥4
(1)
𝑎11
𝑥2(2) =𝑏2 − 𝑎21𝑥1
2 − 𝑎23𝑥31 − 𝑎24𝑥4
(1)
𝑎22
𝑥3(2) =𝑏3 − 𝑎31𝑥1
2 − 𝑎32𝑥22 − 𝑎34𝑥4
(1)
𝑎33
𝑥4(2) =𝑏4 − 𝑎41𝑥1
2 − 𝑎42𝑥22 − 𝑎43𝑥3
(2)
𝑎44
dan seterusnya .......
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 51
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 52
𝑥𝑖(𝑘)= −
𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑖𝑥𝑗𝑘−
𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑖𝑥𝑗𝑘−1
𝑛
𝑗=1𝑗>𝑖
𝑛
𝑗=1𝑗<𝑖
+𝑏𝑖𝑎𝑖𝑖
Rumus umum
Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
Tentukan banyaknya iterasi dengan
menggunakan Iterasi Gauss – Seidel
𝑨 =𝟐 −𝟏 𝟎−𝟏 𝟑 −𝟏𝟎 −𝟏 𝟐
𝒃 =𝟏𝟖−𝟓
Dengan nilai awal 𝑥10 , 𝑥20, 𝑥30= (0,0,0).
(4 angka di belakang koma).
Contoh soal
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 53
Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
Metode iterasi Gauss – Seidel . Persamaan
iterasinya :
𝑥1𝑘=1
2𝑥2𝑘−1+1
2
𝑥2𝑘=1
3𝑥1𝑘+1
3𝑥3𝑘−1+8
3
𝑥3𝑘=1
2𝑥2𝑘−5
2
Iterasinya :
𝑥 0 = 0,0,0 𝑇
𝑥 1 = 0.5000, 2.8333,−1.0833 𝑇
𝑥 2 = 1.9167,2.9444,−1.0278 𝑇
⋮
𝑥 9 = 2.0000, 3.0000,−1.0000 𝑇
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 54
Penyelesaian :
SCILAB PROGRAM : ITERASI GAUSS – SEIDEL
Program Input + Output
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 55
Hasil secara analitik :
𝑥 9 = 2.0000, 3.0000, −1.0000 𝑇:
Hasil secara komputasi
𝑥 9 = 1.9998857, 2.9999238, −1.0000385 𝑇
Formula SOR :
Succesive Over-Relaxation (SOR)
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 56
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 57
Tentukan banyaknya iterasi dengan
menggunakan iterasi SOR
𝑨 =𝟐 −𝟏 𝟎−𝟏 𝟑 −𝟏𝟎 −𝟏 𝟐
𝒃 =𝟏𝟖−𝟓
Dengan nilai awal 𝑥10 , 𝑥20, 𝑥30= (0,0,0).
(4 angka di belakang koma).
Contoh soal
Masukkan kedalam formula :
dengan
Banyaknya iterasi :
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 58
Penyelesaian :
Iterasi jacobi :
Iterasi Gauss – Seidel :
SOR :
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 59
D3
3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
SIFAT – SIFAT NILAI EIGEN
TEOREMA GERSHGORIN
23/03/2016
SINGULAR VALUE
DECOMPOSITION
Matematika FMIPA IPB 60
Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka vektor yang tak nol 𝑥 di
𝑅𝑛 disebut vektor eigen dari 𝐴 jika 𝐴𝑥 adalah kelipatan skalar
dari 𝑥, yaitu
𝐴𝑥 = 𝜆𝑥
untuk suatu skalar 𝜆. Skalar 𝜆 dinamakan nilai eigen 𝐴.
Definisi
23/03/2016
Untuk menentukan nilai eigen dari matriks 𝑨 dapat menggunakan
persamaan karakteristik dari matriks 𝑨 yaitu :
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
Matematika FMIPA IPB 61
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
matriks berikut
𝐴 =3 21 4
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 62
Contoh soal
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 63
⟺ 𝜆2 −7𝜆 + 10 = 0
⟺ 3− 𝜆 4 − 𝜆 − 2 = 0
⟺ 5− 𝜆 2 − 𝜆 = 0
𝑝 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 =3 − 𝜆 21 4 − 𝜆
= 0
Penyelesaian :
- Dari polinomial karakteristik diperoleh nilai eigen 5
dan 2.
- Untuk nilai eigen 5, maka vektor eigennya x = 11
.
- Untuk nilai eigen 2, maka vektor eigennya x = 2−1
.
1. Jika 𝜆 nilai eigen 𝐴 →𝑝(𝜆) adalah nilai eigen dari 𝑝(𝐴) untuk
suatu polinomial 𝑃. Khususnya 𝜆𝑘 nilai eigen dari 𝐴𝑘.
2. Jika 𝐴 nonsingular dan 𝜆 nilai eigen 𝐴 → 𝑝(𝜆−1 ) adalah nilai
eigen dari 𝑃(𝐴−1 ) untuk suatu polinomial 𝑃. Khususnya 𝜆−1 nilai eigen dari 𝐴−1.
3. Jika 𝐴 matriks real dan simetrik maka nilai eigennya real.
4. Jika 𝐴 kompleks dan hermitian nilai eigennya real.
5. Jika 𝐴 hermitian dan definit positif maka nilai eigennya
positif.
6. Jika 𝑃 nonsingular maka 𝐴 dan 𝑃𝐴𝑃−1 ( similar ) mempunyai
nilai eigen yang sama.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 64
SIFAT – SIFAT NILAI EIGEN
Semua nilai eigen dari suatu matriks 𝐴 ∈ ℂ𝑛×𝑛 termuat
dalam 𝑛 cakram 𝐶𝑖 = 𝐶𝑖 (𝑎𝑖𝑖 , 𝑟𝑖) dalam bidang
kompleks dengan pusat 𝑎𝑖𝑖 dan jari-jari 𝑟𝑖 yang
didapat dari penjumlahan besaran entri – entri tak
diagonal di baris ke - 𝑖.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 65
TEOREMA GERSHGORIN
Region yang memuat Nilai Eigen Matriks 𝐴 :
𝐶𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝒛 ∈ ℂ ∶ 𝒛 − 𝑎𝑖𝑖 ≦ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1
dimana jari – jarinya adalah
𝒓𝒊 = 𝒂𝒊𝒋𝒏𝒋=𝟏𝒋≠𝒊
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 66
Semua nilai eigen dari suatu matriks A ∈ ℂ𝑛×𝑛 termuat dalam 𝑛 cakram 𝐷𝑖 = 𝐷𝑖(𝑎𝑖𝑖 , 𝑠𝑖) dalam bidang
kompleks dengan pusat 𝑎𝑖𝑖 dan jari-jari 𝑠𝑖 yang
didapat dari penjumlahan besaran entri-entri tak
diagonal di kolom matriks 𝐴.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 67
Akibat
Region yang memuat Nilai Eigen Matriks A:
𝐷𝑖𝑛𝑖=1 = 𝒛 ∈ ℂ ∶ 𝒛 − 𝑎𝑖𝑖 ≦ 𝑠𝑖
𝑛𝑖=1
dimana Jari-jarinya adalah
𝑠𝑖 = 𝑎𝑖𝑗𝑛𝒊=1𝒊≠𝒋
Akibatnya, Region yang memuat Nilai Eigen Matriks
A = 𝐶𝑖
𝑛
𝑖=1
𝐷𝑖
𝑛
𝑖=1
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 68
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 69
Misalkan matriks
𝑨 = 𝟒 − 𝒊 𝟐 𝒊−𝟏 𝟐𝒊 𝟐𝟏 −𝟏 −𝟓
Contoh soal
Di lihat dari baris 𝐴, kita peroleh region cakram Gershgorin sbb:
𝐶1(4 − 𝑖, 3) , 𝐶2(2𝑖, 3) , dan 𝐶3(−5, 2).
Dilihat dari kolom 𝐴 , kita peroleh region cakram
Gershgorin sbb:
𝐷1(4 − 𝑖, 2) , 𝐷2(2𝑖, 3) , dan 𝐷3(−5, 3).
Irisan (Intersection) dari kedua region cakram sbb:
𝐷1(4 − 𝑖, 2 ), 𝐶2(2𝑖, 3) , dan 𝐶3(−5, 2).
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 70
Penyelesaian :
𝑨 = 𝟒 − 𝒊 𝟐 𝒊−𝟏 𝟐𝒊 𝟐𝟏 −𝟏 −𝟓
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 71
𝐷1(4 − 𝑖, 2) , 𝐷2(2𝑖, 3) , dan 𝐷3(−5, 3).
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐶1(4 − 𝑖, 3) , 𝐶2(2𝑖, 3) , dan 𝐶3(−5, 2).
𝐶1
𝐶2
𝐶3
Jari-jari Pusat
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 72
𝝀𝟏 = 𝟑, 𝟕𝟐𝟎𝟖 − 𝟏. 𝟎𝟓𝟒𝟔𝟏𝒊 , 𝝀𝟐 = −𝟎, 𝟏𝟔𝟎𝟓 + 𝟐. 𝟑𝟑𝟗𝟓𝒊 𝝀𝟑 = −𝟒, 𝟓𝟔𝟎𝟐 − 𝟎. 𝟐𝟖𝟒𝟗𝒊 ,
Pusat Cakram: • Nilai Eigen: ∗
1. Dapatkah matriks 𝑚 × 𝑛 didekomposisikan?
2. Bagaimanakah dekomposisi dari matriks real yang
berukuran 𝑚 × 𝑛 ?
3. Bagaimanakah dekomposisi dari matriks kompleks
yang berukuran 𝑚 × 𝑛?
4. Bagaimanakah tingkahlaku dan karakteristik yang ada
di dalamnya?
5. Apakah matriks 𝑚 × 𝑛 masih mempunyai invers?
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 73
Diketahui Matriks A ∈ ℂ𝑚×𝑛 dengan 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) = 𝑟.
Diketahui juga nilai eigen dari matriks 𝐴∗𝐴 adalah sebagai
berikut:
𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥ ⋯ ≥ 𝜆𝑟 > 𝜆𝑟+1 = ⋯ = 𝜆𝑛 = 0
Bilangan 𝜎𝑖 = 𝜆𝑖2
untuk setiap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 disebut nilai
singular dari matriks 𝐴.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 74
SINGULAR VALUE
DECOMPOSITION
Definisi
𝐴 =1 10 11 0
𝑚𝑎𝑘𝑎𝐴∗ =1 0 11 1 0
𝐴∗𝐴 − 𝜆𝐼 = 𝜆2 + 4𝜆 − 3 = 0 𝜆1= 3, 𝜆2 = 1
𝜎1 = 3
2= 3
𝜎2 = 12= 1
𝐴∗𝐴 =1 0 11 1 0
1 10 11 0=2 11 2
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 75
Contoh soal
Karakteristik matriks
menentukan karakteristik
dari sebuah matriks
transformasi linear.
Hubungan antara prapeta
dan petanya, ditentukan oleh
karakteristik matriks
transformasi linear.
𝐴𝑣𝑖 = 𝜎𝑖𝑢𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
𝐴𝑉 = 𝑈 Σ
𝐴 = 𝑈 Σ 𝑉∗
SVD
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 76
𝑨
𝑨
SVD dari matriks 𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛
𝑨 = 𝑼 𝜮 𝑽∗
1. Dengan 𝑉 matriks uniter yang dibentuk oleh
vektor eigen normal matriks 𝑨∗𝑨
2. Dengan Σ matriks diagonal yang entri-entrinya
adalah nilai singular matriks 𝑨.
3. Dengan 𝑈 matriks uniter yang dibentuk oleh
vektor eigen normal matriks 𝑨𝑨∗.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 77
Input : Matriks 𝐴 ∈ ℂ𝑚×𝑛 dengan 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 = 𝑟.
1.Dibentuk matriks 𝐴∗𝐴 dan tentukan sejumlah nilai eigen
dan vektor eigen ortonormalnya.
2.Bentuk matriks uniter 𝑉 dari vektor eigen ortonormalnya.
3.Tentukan Nilai Singular tak-nol 𝜎𝑖 dan Matriks Diagonal 𝛴. 4.Tentukan vektor eigen ortonormal 𝐴𝐴∗ atau dengan
𝑢𝑖 = 𝜎𝑖−1𝐴𝑣𝑖 . Jika 𝑟 < 𝑛 , maka gunakan proses gram-
schmidt untuk menententukan 𝑢𝑟+1 sampai 𝑢𝑛. 5.Bentuk matriks uniter 𝑈 dari vektor eigen ortonormalnya.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 78
Langkah – Langkah SVD 𝐴 = 𝑈Σ𝑉∗
Output: Matriks uniter 𝑈, 𝑉 dan matriks 𝛴 sehingga
𝑨 = 𝑼𝜮𝑽∗.
Misalkan 𝐴 =1 10 11 0
. Tentukan SVD matriks A.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 79
Contoh soal
𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑣′1 =11
𝑣′2 =1−1
𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑠𝑖
𝑣1 =
1
21
2
𝑣2 =
1
2
−1
2
maka 𝑉 =
1
21
2
1
2
−1
2
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 80
𝐴 =1 10 11 0
𝑚𝑎𝑘𝑎𝐴∗𝐴 =
2 11 2
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 𝜆1=3
𝜆2= 1
Penyelesaian
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 81
𝜆1 = 3 𝜆2= 1
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝜎1= 3𝜎2 = 1
𝛴 = 𝜎1 00 𝜎20 0
= 3 00 10 0
𝑢1 = 𝜎1−1𝐴𝑣1 =
1
331 10 11 0
1
22
1
22
=
1
36
1
66
1
66
𝑢2 = 𝜎2−1𝐴𝑣2 =
1 10 11 0
1
22
−1
22=
0
−1
22
1
22
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 82
𝑢′3 = 𝑒1 − 𝑢1∗𝑒1 𝑢1 − 𝑢1
∗𝑒2 𝑢2
=100−1
361
661
66100
1
36
1
66
1
66
−1
361
661
66010
0
−1
22
1
22
=
1
3
−1
3
−1
3
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 83
𝑢′3 =
1
3
−1
3
−1
3
𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑠𝑖𝑢3 =
1
33
−1
3
−1
33
3
Sehingga didapatkan Matriks Uniter
U =
1
36 0
1
33
1
66 −
1
22 −
1
33
1
661
22 −
1
33
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 84
Output : A=U𝛴𝑉∗
1 10 11 0=
1
36 0
1
31
66 −1
22 −1
31
661
22 −
1
3
3 00 10 0
1
21
2
1
2
−1
2
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 85
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 86
D4
4. POWER METHOD
PERCEPATAN AITKEN
INVERS POWER METHOD
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 87
SHIFTED POWER METHOD
SHIFTED INVERS POWER METHOD
Persamaan karakteristik : det 𝐴 − 𝜆Ι = 0
Dari persamaan karakteristik di atas, diperoleh nilai eigen
dominan dan tak dominan.
Nilai eigen dominan power method
Nilai eigen tak dominan invers power method
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 88
Salah satu metode iteratif yang digunakan untuk
menentukan nilai eigen dominan.
Nilai eigen yang nilai mutlaknya paling besar
dibandingkan mutlak nilai eigen lainnya.
𝜆1 > 𝜆2 ≥ ⋯ ≥ 𝜆𝑛
Vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen
dominan.
Power Method
Nilai Eigen Dominan
Vektor Eigen Dominan
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 89
Bagaimana menentukan
pendekatan nilai eigen dengan
menggunakan power method ?
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 90
1. Pilih sebuah vektor hampiran awal 𝑥(0) tak nol
2. Tetapkan fungsional linear 𝜑
3. Hitung 𝑥(𝑘+1) = 𝐴 𝑥(𝑘) ; 𝑘 = 0,1,2,…
4. Hitung 𝜆𝑘 = 𝑟𝑘 ≈𝜑 𝑥(𝑘+1)
𝜑 𝑥(𝑘) ; 𝑘 = 0,1,2,…
5. Ulangi langkah 3 – 4 sampai 𝑟 konvergen ke solusi eksak
Langkah – langkah Power Method
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 91
Proses iteratif yang digunakan untuk menghampiri nilai eigen
dengan lebih cepat.
Rumus umum percepatan Aitken :
𝑠𝑘 = 𝑟𝑘 −𝑟𝑘 − 𝑟𝑘−1
2
𝑟𝑘 − 2𝑟𝑘−1 + 𝑟𝑘−2 ; 𝑘 ≥ 3
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 92
PERCEPATAN AITKEN
Tentukan nilai eigen dominan dari matriks 𝑨
berikut dengan menggunakan power method
dan percepatan Aitken.
𝑨 =6 5 −52265−2−1
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 93
Contoh Soal
Diperoleh solusi eksak : 𝜆1 = 6, 𝜆2= 4, 𝜆3= 1
Langkah ke-1 :
𝑥(0) =−111
Langkah ke-2 :
𝜑 𝒙 = 𝑥2
Langkah ke-3 :
𝑥(𝑘+1)= 𝐴 𝑥(𝑘) ; 𝑘 = 0,1,2,…
𝑥(1)= 𝐴𝑥(0) =6 5 −52265−2−1
−111=−622
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 94
Penyelesaian :
𝑥(2) = 𝐴𝑥(1) =6 5 −52265−2−1
−622=−36−4−4
⋮
𝑥(14) = 𝐴𝑥(13)
=6 5 −52265−2−1
−13060694016−12926476288−12926476288
=−78364164096−77827293184−77827293184
⋮
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 95
Langkah ke-4 :
𝜆𝑘 = 𝑟𝑘 ≈𝜑 𝑥 𝑘+1
𝜑 𝑥 𝑘 ; 𝑘 = 0,1,2,…
𝑟0 =𝑥2(1)
𝑥2(0)=2
1= 2
𝑟1 =𝑥2(2)
𝑥2(1)=−4
2= −2
⋮
𝑟13 =𝑥2(14)
𝑥2(13)=−77827293184
−12926476288 = 6.021
⋮ 23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 96
Solusi hampiran dengan percepatan Aitken :
𝑠3 = 𝑟3 −𝑟3 − 𝑟2
2
𝑟3 − 2𝑟2 + 𝑟1
= 8.9091 −8.9091 − 22 2
8.9091 − 2 22 + (−2)= 13.5294
𝑠4 = 𝑟4 −𝑟4 − 𝑟3
2
𝑟4 − 2𝑟3 + 𝑟2
= 7.3061 −7.3061 − 8.9091 2
7.3061 − 2.8.9091 + 22= 7.0825
⋮
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 97
Hasil Iterasi Power Method
k X1 X2 X3 rk sk
0 -1.0000 1.0000 1.0000 2.0000
1 -1.0000 0.3333 0.3333 -2.0000
2 -1.0000 -0.1111 -0.1111 22.0000
3 -1.0000 -0.4074 -0.4074 8.9091 13.5294
4 -1.0000 -0.6049 -0.6049 7.3061 7.0825
... ... ... ... ... ...
14 -1.0000 -0.9931 -0.9931 6.0208 6.0138
15 -1.0000 -0.9954 -0.9954 6.0092 6.0001
16 -1.0000 -0.9969 -0.9969 6.0061 6.0000
... ... ... ... ... ...
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 98
Nilai eigen dominan = 𝒓 = 𝒔 = 𝟔
Vektor eigen hampiran yang bersesuaian
𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑=𝟏
0.9969 0.9969
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 99
• Metode untuk mencari nilai eigen terkecil secara
iteratif.
• Memiliki konsep yang sama seperti power method
dengan syarat matriks 𝑨 memiliki invers.
𝑨𝒙 = 𝝀𝒙 ↔ 𝒙 = 𝑨−𝟏 (𝝀𝒙) ↔ 𝑨−𝟏𝒙 =𝟏
𝝀𝒙
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 100
INVERS POWER METHOD
1. Tetapkan vektor eigen awal 𝑥0 tak nol.
2. Tetapkan fungsional linear 𝜑.
3. Hitung matriks 𝑨−1, atau tentukan dekomposisi 𝐿𝑈 dari 𝑨.
4. Hitung 𝒙 𝒌+𝟏 = 𝑨−1𝒙 𝒌 ; 𝑘 = 1,2, … Jika menggunakan
invers.
5. Hitung 𝑳𝒙 𝒌+𝟏 = 𝑼−𝟏𝒙 𝒌 ; 𝑘 = 1,2, … Jika menggunakan
dekomposisi 𝐿𝑈.
6. Hitung 𝑟𝑘 =𝜑 𝒙 𝒌+𝟏
𝜑(𝒙𝒌) ; 𝑘 = 1,2, …
7. Ulangi langkah ke – 4 sampai ke – 6 sampai 𝑟 konvergen
ke solusi eksak.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 101
Langkah - Langkah Invers Power Method
Misalkan diberikan matriks, nilai awal, dan fungsional linear
sebagai berikut
𝑨 =−154 528 40755−132
−144396
−121318
𝒙0 =123
𝜑 𝒙 = 𝑥2
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 102
CONTOH
Dengan matriks invers :
𝐴−1 =
−59
111740
3
23
6−7
−12 −341
36
2252
3
𝒙1 = 𝐴−1𝒙0 =
−59
111740
3
23
6−7
−12 −341
36
2252
3
123=68.63−48.5889
𝒙2 = 𝐴−1𝒙1 =
−59
111740
3
23
6−7
−12 −341
36
2252
3
68.63−48.5889
=−7.393.07−6.62
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 103
Penyelesaian :
k X1 X2 X3 r
1 1 - 0.7078366 1.2966887 - 24.291667
2 1 - 0.4165191 0.8959090 - 0.0633609
.. ... ...
10 1 - 0.6101062 1.1601095 - 0.2458083
... ... ... ... ...
29 1 - 0.6162430 1.1684148 - 0.2610306
30 1 - 0.6161851 1.1683364 - 0.2608796
Hasil Iterasi Inverse Power Method
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 104
𝒓 = 𝝀∗ =𝟏
𝝀= − 0.2608796
𝝀 =𝟏
𝝀∗=
𝟏
− 0.2608796= −3.83319
𝝀𝒆𝒌𝒔𝒂𝒌 = −3.83229
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 10
5
Metode untuk mencari nilai eigen terjauh dari suatu nilai 𝜇
𝑨𝒙 = 𝝀𝒙
𝑨 − 𝝁𝑰 𝒙 = 𝝀 − 𝝁 𝒙
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 106
SHIFTED POWER METHOD
Sama seperti power method.
Hasil yang didapat adalah nilai 𝜆′ = 𝜆 − 𝜇 terbesar.
Nilai 𝜆 dapat dicari menggunakan 𝜆 = 𝜆′ + 𝜇.
Langkah-langkah Shifted Power Method
Tentukan nilai eigen yang paling jauh dari 4
𝑨 =1 3 723−445−6
𝑨 − 4𝑰 = =−3 3 723−845−10
terapkan iterasi power method.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 107
CONTOH
Hasil Iterasi Shifted Power Method
k X1 X2 X3 r
1 1 0.0416667 - 0.7916667 0.5
2 1 0.2722772 - 1.3168317 - 55.
.. ... ... ... ...
10 1 1.47269 - 2.1989031 - 14.14407
... ... ... ... ...
29 1 1.5068126 - 2.225285 - 14.056833
30 1 1.5068359 - 2.2253031 - 14.056775
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 108
𝒓 = 𝝀∗ = 𝝀 − 𝝁 = − 14.056775
𝝀 = 𝝀∗ + 𝝁 = − 14.056775+4=−10.056775
𝝀𝒆𝒌𝒔𝒂𝒌 =−10.0567
5.28779
−4.2311
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 109
Metode untuk mencari nilai eigen terdekat dari suatu nilai 𝜇
𝑨𝒙 = 𝝀𝒙
𝑨 − 𝝁𝑰 𝒙 = 𝝀 − 𝝁 𝒙
𝑨 − 𝝁𝑰 −𝟏𝒙 =𝟏
𝝀 − 𝝁𝒙
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 11
0
SHIFTED INVERS POWER METHOD
Sama seperti Inverse power method.
Hasil yang didapat adalah nilai 𝜆′ =1
𝜆−𝜇 terkecil.
Nilai 𝜆 dapat dicari menggunakan 𝜆 =1
𝜆′+ 𝜇.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 111
Langkah-langkah Shifted Inverse Power Method
Tentukan nilai eigen yang paling dekat dari 4
𝑨 =1 3 723−445−6 𝑨 − 4𝑰 =
−3 3 723−845−10
(𝑨 − 4𝑰) −𝟏=
60
149
58
149
71
14935
14932
149
9
14921
149
29
14918
149
terapkan iterasi inverse power method.
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 11
2
CONTOH
Hasil Iterasi Shifted Inverse Power Method
k X1 X2 X3 r
1 1 0.3598972 0.3290488 0.4697987
2 1 0.4583950 0.4363224 0.8910355
3 1 0.4404249 0.4208715 0.7581004
4 1 0.4433045 0.4229930 0.7797397
5 1 0.4428434 0.4226845 0.7759984
6 1 0.4429164 0.4227306 0.7766080
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 11
3
𝒓 = 𝝀∗ =𝟏
𝝀 − 𝝁= 0.7766080
𝝀 =𝟏
0.7766080 + 𝟒 = 5.28765
𝝀𝒆𝒌𝒔𝒂𝒌 =−10.0567
5.28779
−4.2311
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 11
4
1) W. Cheney, D. Kincaid. 2008. Numerical Mathematics and Computing 6th Ed. Thomson Brooks/Cole.
2) R. Munir. 2003. Metode Numerik pada Penerbit Informatika Bandung.
3) //staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf
4) https://www.academia.edu/7730008/Nilai_Eigen_dan_Ruang_Eigen
23/03/2016
Matematika FMIPA IPB 11
5
DAFTAR PUSTAKA