GRUPFELI RAMURY
O GRUPOIDO SEMIGRUPO GRUPO GRUP ABEL
GRUPOIDDefinisi 1.2.1Suatu himpunan tidak kosong, G dengan operasi biner (*) didalamnya, disebut grupoid dan dinyatakan dengan (G,*)
Contoh 1:
* x y zx x y yy y x yz z y x
Tabel ini dibaca x * x = x, x * y = y, z * z = y dan seterusnya(G,*) ini merupakan grupoid, karena operasi * merupakan operasi biner dalam G.
SEMIGRUP
Contoh 2:Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner: a*b = a + b + abTunjukkan bahwa (N,*) adalah semigrup!Penyelesaian:1. Tertutup
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
Penyelesaian:2. Assosiatif
(a * b) * c = (a + b + ab) * c= (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c
= a + b + ab + c + ac + bc + abca * (b * c) = a * (b + c + bc)
= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)= a + b + c + bc + ab + ac + abc
Penyelesaian:
Jadi, (N,*) merupakan suatu semigrup
GRUPDefinisi 1.2.3Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup, jika dalam G terdapat operasi misalkan * dan unsur-unsur dalam G memenuhi syarat:
1. TertutupGrup
2. Assosiatif
Contoh 3:
Penyelesaian:
x -1 1
-1 1 -1
1 -1 1
Penyelesaian:a. Tertutup
G tertutup terhadap operasi perkalian biasa x karena
Penyelesaian:b. Assosiatif
(a x b) x c = (-1 x 1) x 1 = 1 x 1 = 1a x (b x c) = 1 x (-1 x -1) = 1 x 1 = 1
sehingga (a x b) x c = a x (b x c) = 1 maka G assosiatif
Penyelesaian:c. Adanya elemen identitas (e = 1) terhadap perkalian
Ambil sembarang nilai dari G,
-1 x e = e x (-1) = -1
1 x e = e x 1 = 1Maka G mempunyai identitas
Penyelesaian:d. Adanya invers
- Ambil sembarang nilai dari G,
- Ambil sembarang nilai dari G,
Maka ada invers untuk setiap anggota G
GRUP ABEL
Contoh 4:
Penyelesaian:
-1 x 1 = -1 dan 1 x (-1) = -1 sehingga -1 x 1 = 1 x (-1) = 1
Jadi, (G,x) merupakan grup komutatif atau grup abel.
Terima Kasih
Elements Page