Parametrik doğru denklemleri 1Parametrik doğru denklemleri 1
A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu)
vektörü olan d doğrusunun, k parametresine
göre parametrik denklemi:
w��������������
AP k w����������������������������
A
w��������������
P
d
P A k w
P A k w
P A k W
������������������������������������������
������������������������������������������
(P değişken nokta)
Alıştırma – Ödev Alıştırma – Ödev
A(3, 5) noktasından geçen
vektörüne paralel olan doğrunun k
parametresine göre parametrik denklemini
yazınız.
a)k =0, k=-1, k =1/2 ve k=2 değerleri için doğru
üzerindeki noktaları bulunuz.
b)k 1 için doğru üzerindeki noktalar
kümesinin belirttiği şekli bulunuz.
c)k 2 için doğru üzerindeki noktalar
kümesinin belirttiği şekli bulunuz.
u ( 2,1)
A(3, 5)
u ( 2,1)
P
d
Parametrik doğru denklemleri 2Parametrik doğru denklemleri 2
A ve B noktasından geçen doğrunun, k
parametresine göre parametrik denklemi:
AP k AB����������������������������
A
P
d
B
P A k B A
P A k B A
P A k B A
��������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
Özel olarak;0 k 1 için [AB] doğru parçasının denklemi elde edilir.
(P değişken nokta)
Alıştırma – Ödev Alıştırma – Ödev
A(3, 5) ve B(2, 0) noktalarından geçen
doğrunun k parametresine göre denklemini
yazınız.
a)k =0, k=1 ve k=2 değerleri için doğru
üzerindeki noktaları bulunuz.
b)0 k 1 için doğru üzerindeki noktalar
kümesinin belirttiği şekli bulunuz.
A(3, 5)
P
d
B(2, 0)
Bir doğrunun normal vektörüBir doğrunun normal vektörü
Bir doğrunun doğrultusuna dik olan vektöre doğrunun normal vektörü denir.
A P
dn
d doğrusunun denklemi:
AP n 0 ����������������������������
Kartezyen doğru denklemleriKartezyen doğru denklemleri
Parametrik denklemle P değişken noktanın koordinatları (x, y) denklemde yazılarak parametre yok edilirse elde edilen denkleme doğrunun kartezyen denklemi denir.
Eşitliğin bir tarafı sıfır olacak biçimde yazılmış doğru denklemlerine kapalı doğru denklemi denir.
Örnek
P (5,3) k (2,1)��������������
Parametrik denklemiyle verilen doğrunun kapalı kartezyen denklemini bulunuz.
Kapalı kartezyen doğru denkleminin incelenmesiKapalı kartezyen doğru denkleminin incelenmesi
ax + by + c = 0 denklemi
• a = 0 ise x eksenine paralel bir doğru belirtir.
• b = 0 ise y eksenine paralel bir doğru belirtir.
• c = 0 ise orijinden geçen bir doğru belirtir.
ax + by + c = 0 (by = -ax – c) doğrusunun
• doğrultman vektörü :
• normal vektörü :
w (b, a) ��������������
n (a,b)
w n 0 ����������������������������
O
x
y
AlıştırmaAlıştırma
3x + 4y = 0 doğrusunun grafiğini çiziniz ve
a)doğrultu vektörünü bulunuz.
b)normal vektörünü bulunuz.
O
x
y
EşitsizliklerEşitsizlikler
ax + by + c 0 , ax + by + c 0 , …
eşitsizlikleri kapalı yarı düzlem, açık
yarı düzlem belirtir.
O
x
y
AlıştırmaAlıştırma
2x - y + 4 0 eşitsizliğinin grafiğini çiziniz.
İki doğrunun birbirine göre durumları 1İki doğrunun birbirine göre durumları 1
1 1
2 2
d :P A m u
d :P B n u
��������������
��������������
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
1) u ile u lineer bağımlı u // u ve A B ise d ile d paraleldir.
2) u ile u lineer bağımlı ve A B ise d ile d çakışıktır.
3) u ile u lineer bağımsız u //
��������������������������������������������������������
����������������������������
������������������������������������������ 2 1 2
1 2 1 2
u ise d ile d kesişir.
u ile u arasındaki açıya d ile d arasındaki açı denir.
��������������
����������������������������
Doğrultu vektörlere göre kıyaslama
İki doğrunun birbirine göre durumları 2İki doğrunun birbirine göre durumları 2
1 1 1 1
2 2 2 2
d : a x b y c 0d : a x b y c 0
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
1) (a ,b ) k (a ,b ) ve c k c ise d ile d paraleldir.
2) (a ,b ) k (a ,b ) ve c k c ise d ile d çakışıktır.
3) (a ,b ) k (a ,b ) ise d ile d kesişir. Kesişme noktası yok etme yöntemi il
e bulunur.
Normal vektöre göre kıyaslama
Alıştırma 1Alıştırma 1
1
2
d : 2x y 4 0d : 3x y 1 0
doğrularının birbirine göre durumunu inceleyiniz eğer varsa kesişme noktasını bulunuz.
Alıştırma 2Alıştırma 2
1
2
d : (x,y) (3 k,1 2k)d : (x,y) (6 2m,2 4m)
doğrularının birbirine göre durumunu inceleyiniz eğer varsa kesişme noktasını bulunuz.
Tanjant oranı ile ilgili temel bilgilerTanjant oranı ile ilgili temel bilgiler
Doğrunun eğim açısı ve eğimiDoğrunun eğim açısı ve eğimi
Doğrunun x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açıya doğrunun eğim açısı denir. Bu açının tanjantına doğrunun eğimi denir.
O
x
y
Eğim açısı ile eğimin incelenmesiEğim açısı ile eğimin incelenmesi
Alıştırma 1Alıştırma 1
Alıştırma 2Alıştırma 2
Doğrultu vektörü : 0
0 00
yw (x ,y ) eğim(m)
x
��������������
Doğrultu vektörü bilinen bir doğrunun eğimiDoğrultu vektörü bilinen bir doğrunun eğimi
ax + by + c = 0 için: aw (b, a) eğim
b
��������������
y = mx + n için: w ( 1, m) eğim m �������������� O
x
y
(x0, y0)
w��������������
Özel olarak
Alıştırma 1Alıştırma 1
3Eğimi olan ve
2A(4,0) noktasından geçen doğrunun denklemini ve doğrultusunu bulunuz.
O
x
y
w��������������
Alıştırma 2Alıştırma 2
O
x
y
w��������������
A(4,0) ve B(6,9) noktalarından geçen doğrunun eğimini ve denklemini bulunuz.
Eğimleri bilinen iki doğru arasındaki dar açının tanjantıEğimleri bilinen iki doğru arasındaki dar açının tanjantı
Alıştırma 1Alıştırma 1
Alıştırma 2Alıştırma 2
ÖdevÖdev
x – 2y + 2 = 0 ile x – 3y – 6 = 0 doğruları arasındaki geniş açının tanjantını bulunuz.
Eğimi bilinen iki doğrunun durumlarıEğimi bilinen iki doğrunun durumları
1) Eğimleri farklı olan iki doğru kesişir. Özel olarak eğimleri çarpımı -1 olan iki doğru birbirine diktir.
2) Eğimleri eşit olan doğrular çakışık veya paraleldir.
d k için d doğrusunun eğimi yoksa k doğrusunun eğimi 0 dır. Yani d doğrusu x eksenine dik k doğrusu x eksenine paraleldir.
Eğim açıları eşit olan doğrular birbirine paraleldir. Eğimi olmayan doğrular da birbirine paraleldir.
Alıştırma 1Alıştırma 1
ÖdevÖdev
Alıştırma 2Alıştırma 2
Doğrunun ötelenmesi - ÖdevDoğrunun ötelenmesi - Ödev
O
x
y
Noktanın doğruya uzaklığıNoktanın doğruya uzaklığı
K(x0, y0)
k : ax + by + c = 0
A
n (a,b)
AK�������������� hu
K noktasının k doğrusuna uzaklığı, doğruya dik olan u vektörünün uzunluğudur.u vektörü ise herhangi bir AK vektörünün normal vektör üzerindeki dik iz düşüm vektörüdür.
0 0
2 2
AK n ax by cd(K,k) h u
n a b
����������������������������
AlıştırmaAlıştırma
1. Yol vektör ile
2. Yol formül ile
n (2, 3)
A(4, 3)
B
AB nh
n
����������������������������
AB
n
AB n
n
��������������
����������������������������
Paralel iki doğru arasındaki uzaklıkParalel iki doğru arasındaki uzaklık
d2: ax + by + c2 = 0
d1: ax + by + c1 = 0 1 2
2 2
c ch
a b
Örnek
ÖdevÖdev
İki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeriİki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri
d2: a2x + b2y + c2 = 0
d1: a1x + b1y + c1 = 0
k1
k2
1 1 1 2 2 21,2 2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y ck :
a b a b
Örnek
1 2 1 2 1 2
1 21 2
d // d a a a, b b bc c
k k : ax by 02
İki noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeriİki noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri
A B
d
a) Uç noktaları A(1, 2) ve B(3, 0) olan AB doğru parçasının orta dikme doğrusunun denklemini bulunuz.
b) A(1, 2) ve B(3, 0) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerini bulunuz.
Örnek
Ödev 1Ödev 1
Ödev 2Ödev 2
Ödev 3Ödev 3
Ödev 4Ödev 4
Ödev 5Ödev 5
Ödev 6Ödev 6
Ödev 7Ödev 7
Ödev 8Ödev 8
Ödev 9Ödev 9
Ödev 10Ödev 10
Ödev 11Ödev 11
Ödev 12Ödev 12
Ödev 13Ödev 13
Ödev 14Ödev 14
Ödev 15Ödev 15
Ödev 16Ödev 16
Ödev 17Ödev 17
Ödev 18Ödev 18
Ödev 19Ödev 19
Ödev 20Ödev 20
Ödev 21Ödev 21
Ödev 22Ödev 22
Ödev 23Ödev 23
Ödev 24Ödev 24
Ödev 25Ödev 25
Ödev 26Ödev 26
Ödev 27Ödev 27
Ödev 28Ödev 28
Ödev 29Ödev 29
Ödev 30Ödev 30
Ödev 31Ödev 31
Ödev 32Ödev 32
Ödev 33Ödev 33
Ödev 34Ödev 34
Ödev 35Ödev 35
Ödev 36Ödev 36
Ödev 37Ödev 37
Ödev 38Ödev 38
Ödev 39Ödev 39
Ödev 40Ödev 40
Ödev 41Ödev 41
Ödev 42Ödev 42
Ödev 43Ödev 43