Upload
achraf-ourti
View
133
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
Ω ! "
#$"%
& ! $ !%'$ ∈= %
$ !%'$ ∈=
%
( ( ! #
)
*%'$%'$
→Ω ' +
( ) Ω∈%'$'%'$'' ' ( , (
Ω∈= %'$%''$ #
%'$
Ω
%%'$''$- =
Ω∈= %'$
"( +" +#
%.$%/ "(+
* →Ω ' Ω∈= %'$ #
Ω∈∈=Ω %'$'' '%'$
''
→Ωϕ
* 'ϕ +' (/
"/+'(( %$-' ϕ '(
∂∂∂∂
%'$
%$
%'%$$
%%$$
#
touscours.net
!
.0' 1
∂∂∂∂
%'$
%$
%'%$$
%%$$
!
!
%'$!' ϕ '
( Ω∈∈=Ω %'$'!' #
2(
Ω ! ' 'Ω !'Ω #
' 'Ω ' !'Ω #
& +( 'ϕ $ !'ϕ % $
%' #
1
++→•
!
!
%'$
" %'$ 33
! ' 3333 !%'$
+=∂∂
' %'$ 333 +=∂∂
#
=
≠+
→•
%3'3$%'$3
%3'3$%'$%'$
!!
!
* %3'3$4%'$ !
33 ∈ # ' %3'3$4!
$ %' %'$ 33 #&
%'$ 33 ( '
!!%'$
+= #
. 5 1/'
!!
3
!
3
!
33
,
333
!!
3
!
3
!
33
,
3
!!
3
!
3
333
!
3
!
3333
%$%'$
%$%$
%!$%$%'$
+−=
∂∂
+−=
+−+=
∂∂
%3'3$
& %3'$ ' +
3#. %3'3$
∂∂
13#
.0' 3%3'3$ =∂∂
#
' %3'3$ #
touscours.net
,
6%.
* →Ω #
• * %'$
∂∂
%'$
∂∂
Ω∈%'$ '
%'$%'$
∂∂
→Ω∂∂
%'$%'$
∂∂
→Ω∂∂
#
• *
∂∂
∂∂
Ω ' ( #
%./
* →Ω #
* %3'3$4%'$ !∈=
#
+Ω
* Ω∈ ' Ω∈+∈=
' #
* %$
+→ ψ +3' (
/ ( ( %3$-ψ #
%$' #
2(
• 7 ' 8
• & / %3'$=
"
/ /+#
' 1 %$%%$$%$ '
∂∂==
0 %$%%$$%%$$ !'
∂∂==
' 1' %$
∂∂
%'$
%%$$'
3 %'$%%3'$%'$$ +=+ #
+
==
%3'3$%'$3
%'$!!
1/ %3'3$ %'$= 9
≠=
==+ 3
3%'$%$ !
!!
!
' +
#
touscours.net
%& /
: /
* →Ω #* Ω∈= %'$ #
1 ε ' + Ω∈+∈= !
(
ε 3 %3'3$ ∈ ' %$%$%$%$%$
ε+∂∂+
∂∂+=+ ' 5
%'$ = #1 .&" #
%'$%'$%'$%'$%'$%'$'%'$
ε+
∂∂+
∂∂+=++∈∀
5 3%'$%3'3$%'$
=
ε
#
. $ %
' ∈ '
∂∂−
∂∂−−+= %$%$%$%$
%$
ε 3 ≠ '
3%$ =ε #
ε +1 ;" (ε 3 %3'3$ #
Ω ' 1 3>µ ( Ω⊂∞ %'$ µ ' 5 %'$∞
+ ∞# %'$'! µ ∞∈+∈=
#$ <" ⊂ %
%'$ = ='3>='3>%'$ ×∈θ ' %'$%#'#$ µθ ∞∈+ #
' ∈= %'$
' ='3>='3>%'$ ×∈θ #
∞∞
=≤==
%'1$%#'#1$%#'#1$%#'#$ θθθ #
' ∈ #. ' += ' µ<
∞ #. µθ <≤
∞ %#'#$ #
. %'$%#'#$ µθ ∞∈+ #
?
* ∈ ' %'$ =
%'$%'$%'$%'$%'$%'$ −+++−++=−++
$ %'$ + +Ω ' ' %3'$%'$ =θ %
%'$ +ψ $ ψ +'
1/ " %'$ ++ %' +
='> + #
* / ( " ψ + ' 1
>'3=∈θ ( %#$-%$%$ θψψψ +=−+ '-"
%#'$%'$%'$
θ++
∂∂=+−++
.0'1 >'3=∈ ( %'#$%'$%'$
+
∂∂=−+
.
%'#$%#'$%'$%'$'>'3=%'$' !
+
∂∂+++
∂∂=−++∈∃∈∀ θθ
touscours.net
@
' %%'$%'$$%#'$
αθ +
∂∂=++
∂∂
5 3%3'3$
=α
∂∂
%3'3$ '0' %%'$%'$$%'#$
β+
∂∂=+
∂∂
5 3%3'3$
=β #
. %'$#%'$#%'$%'$%'$%'$
αβ ++
∂∂+
∂∂+=++
%3'3$4%'$ ∈=
3%'$%'1$
%'$%'1$%'$
%'$#%'$#%'$
%3'3$
='>='>
→+=+=
−∈−∈
∞
αβαβε
. ε 3 %3'3$ ' 5#
6% (
$% * Ω ' Ω #
' Ω∈= %'$ '
3
%'$%'$%'$%'$%'$%'$'%'$
→
+∂∂+
∂∂+=++∈∀
ε
. %'$%'$%3'3$%'$
→++
' #
$!% * ' %3'3$4!∈ Ω∈ ' %$'
' %$' #
* ' ' Ω∈= %'$ '
%'$%'$%'$%'$%'$%'$'%'$
ε+
∂∂+
∂∂+=++∈∀ #
* %3'3$4%'$ !∈= βα
#
' ∈ ( Ω∈+ # '-"( ∈# '
%#$%$#%$#%$%#$
εβα +∂∂+
∂∂+=+
. %#$
+ +3' %$%$
∂∂+
∂∂ βα
$(
3
%#$%$%$3
%$%#$
→
+∂∂+
∂∂=
−−+
εβα %
%.
* Ω #
( %3'3$4!∈ Ω∈ ' %$'
1
%$%$
∂∂+
∂∂ βα ( %'$ βα= #
touscours.net
A
1 Ω '
%$%$%'$
!
∂∂+
∂∂=
→βαβα
! ' '#' %'$ !
∈
!∈ (
⋅
$ ! %
'#
⋅==∂∂+
∂∂=∈=∀
≠
%$%$%$%$%$'%'$
%3'3$
'
!
.
∂∂
∂∂= %$%'$
#
%$%$
∂∂+
∂∂= #
-"( %'$
! →
%'$
! → #
%'$ !
→Ω #
'#
' %%'$'$ ! Ω∈ '
∂∂+
∂∂= #
2
%%'$'$ !
Ω∈
∂∂+
∂∂= '#
%'$%$%$ !
∈
∂∂+
∂∂= '#
∈∂∂+
∂∂=
%$%$%$
&.&"
%$%$%$%$
%$
ε++=+⋅
5 3%$%3'3$
→
ε
' %$ 1 %$%$ −+
%* ' 8
* →Ω' #* ∈λ #
''# +λ Ω '
∂∂=
∂∂
#%#$ λλ
'
∂∂+
∂∂=
∂+∂ %$
∂∂+
∂∂=
∂∂ %$
#7 ∂
∂#
touscours.net
B
.
1'
* Ω∈%'$ 33 #&
%'$
%'$
3
3
+ 3 '
∂∂∂∂
%'$
%'$
33
33
#. %'$%'$ 33 × + 3 ' 3
%'$%'$%'$%'$ 33333333
∂∂×+
∂∂×
.
∂∂ %$
%'$ 33 Ω '
∂∂+
∂∂=
∂∂ %$
#
''
∂∂
'
∂∂
'
∂∂ %$
Ω #
.0
∂∂ %$
' #
* →Ω #
* #
* '1 #
( Ω∈∈∀ %%$%'$$' #
%%$%'$$
→ '
%%$%'$$%$-%%$%'$$%$-%$-'
∂∂+
∂∂=∈∀ #
.
* ∈3 #
%$%$ 33 −+ 3≠ ( ∈+3 #
%'$%'$%%$%'$$#%%$%$$
%%$%'$$#%%$%$$
%%$%'$$%%$%'$$%$%$
3333
3333
333333
ε+∂∂−++
∂∂−+=
−++=−+
5 3%'$%3'3$%'$
=
ε
%'$%'$%%$%'$$%%$#
%$-#$%%$%'$$%%$#%$-#$
33
3333
εβ
α
+∂∂+
+∂∂+=
5 3'3
→
βα #
touscours.net
.
%'$%%$%$-%'$%$-$
%%$%'$$%%$%$-$%%$%'$$%%$%$-$%$%$
+
%%$-%'$-$
33
333333
33
33
εβα
βα
→
+++
∂∂++
∂∂+=
−+
3%'$3
→
ε
3%$%$333 →−+=
' 3%$%$
333 →−+=
/
/ #
. +3 ' + '( (
- $''''
∂∂
∂∂
8 %' ( #
* ! #
* '1 ' #
* %'$%'$
→Ω #
( Ω∈∈∀ %%'$%''$$'%'$ #
%%'$%''$$%'$
→ #
'' ∈%'$
%%'$%''$$%'$%%'$%''$$%'$
∂∂×
∂∂+
∂∂×
∂∂=
∂∂
.0' %%'$%''$$%'$%%'$%''$$%'$
∂∂×
∂∂+
∂∂×
∂∂=
∂∂
#
.
* ∈%'$ 33 # %'$ 3 ' -" %%'$%''$$ 33 '
#
+ 3 '
%%'$%''$$%'$%%'$%''$$%'$ 333333333333
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
. 5/ '01/#
1 #
→! ( !%'$ ∈ '
%'$ $ ) % !
%'$ #
touscours.net
C
→! ( !%'$ ∈θρ ' %'$ θρ
$) % ! %'$ θρ #
' !%'$ ∈θρ ' %' $%'$ θρθρθρ = #
!
%#'$%#'$
∂∂+
∂∂= 5 %'$ ! #
' !%'$ ∈θρ
∂∂+
∂∂−=
∂∂
∂∂+
∂∂=
∂∂
%!$%' $ %' $%'$
%$%' $%' $ %'$
θρθρθρθρθρθρθρθ
θρθρθθρθρθθρρ
.
%%!$%$ $%'$%'$ %' $ θθρθρθ
θθρρ
θρθρθρρ −∂∂−
∂∂=
∂∂
%%!$ %$$%'$ %'$%' $ θθρθρθ
θθρρ
θρθρθρρ −∂∂+
∂∂=
∂∂
! ≠ ' %'$ θρ
%$%'$
%$%'$
#%'$
%'$#%'$
%'$
θθρθρ
θθρρ
θρθρ
θθρρ
θθρθρ
θθρρ
θ
!
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂−
∂∂=
## %$ θθθ += ' %$%$
!θθ π −=
#
→⊂→⊂Ω
!
→⊂Ω , ' 0 "
→⊂Ω " #
%%$%###$%'$$
!
→⊂ ' 5 D +E
$ / '
/ F((0'
%
" →⊂Ω 5 D +E
#
,
%%''$%'''$%'''$$%''$
,
#
→Ω 5Ω ,
''# '
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂
%''$%'''$%'''$%''$
#
touscours.net
3
/: +
' "8 1
* %'' $%''$ $$$% θθθ = '
%'' $%''$
%'' $ %'' $%''$
%'' $3%'' $%'' $ %''$
$$
$
%
$$
$$$
$$
%
$$
$$
$$
$
$
%
θθθ
θθθθθθθθ
θθθθθθθθθ
∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂
∂∂×+
∂∂+
∂∂=
∂∂
.0' % '' $%''$ θϕθϕθϕθ $$$$ =
% '' $
% '' $%''$
% '' $
% '' $
% '' $ %''$
% '' $
% '' $
% '' $ %''$
θϕθϕθϕθ
θϕθϕθϕθϕθϕ
θϕθϕθθ
θϕθϕθϕθ
θϕθϕθϕθϕθθ
θϕθϕθθ
θϕθϕθϕθ
θϕθϕθϕθϕθ
$$$
$
$$$
$$
$$$
$
$$$
$
$$$
$$
$$$
$$$
$$$
$
$
∂∂+
∂∂−=
∂∂
∂∂−
∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
.
* →Ω #* Ω∈%'$ 33 #
• *
∂∂
%'$ 33 '
∂∂
+ "$/
+% ' %'$ 33
∂∂ ∂
∂
%'$%$
33!
!
∂∂
#
• .0' 1' %'$%'$%%$$
3333
!
∂∂=
∂∂∂ ∂
∂
'
• %'$%'$%%$$
3333
!
∂∂
=∂∂
∂ ∂∂
touscours.net
• %'$%'$%$
3333!
!
∂∂
=∂∂ ∂
∂
#
G
* !≥" #
* 1' "/ %'$ 33 1
/ %$ −" / %'$ 33 #
.
* →Ω #*(
Ω ' ( ! #
' !
Ω ' ( #
≥ ' ' − $ 5 3 D
E%
' ' %$ − /
/ $( /%'
#. %$ − / '
− #
: /*HI$%
• * ! Ω ' %%$$%%$$
!!
∂∂∂=
∂∂∂
#
• ' Ω '
( + "(+#
1 Ω ' " '
'
5 /*HI #
< +8
2(
+ (
1' 1 ! '
%%'$%''$$%'$ !!
→ '
+→%'$
! '
' += #
!
: /
* →Ω ' 5Ω ! ' #* Ω∈= %'$ #
*1$ %' 3%$%$ =∂∂=
∂∂
#
& ( $1 ' %'$ %
touscours.net
!
.
* ( 1 #71
Ω $ ∩Ω %( %'$%'$
%'$
%$%$'
!! ≤∈∀ #
3>ε ( ⊂+−×+− >'=>'= εεεε #
%'$ 1 '+ >'= εε +− #
& '-" 3%'$ =∂∂
#
'0' 3%'$ =∂∂
#
" #$%'$ =
ΩΩ∈= %'$
* →Ω ' ( %'$ = #
* Ω∈= %'$ ' ! ∈= %%'$''$3 #
(' Ω∈%'$ '
%'$%'$%'$%$%'$%$%'$%'$
−−−−+
∂∂−+
∂∂−+= ε
5 3%'$
→ε #
' 3! "(
%'$%$%'$%$%'$
∂∂−+
∂∂−+= #
( 11 #
1 + ! /
' %%''$''$ Ω∈= !'! %%''$''$ Ω∈=
5 Ω∈∈=Ω %'$'' Ω∈∈=Ω %'$'!' #
%'$
!
===
#
touscours.net
,
)
%'$
3
%$
∂∂=
==
# ' '
%'$
3
%$
∂∂=
==
#
.0' ! '
%'$
!
3
%$
∂∂=
==
%%$%'$$ !
+ 3! '-"
( %'$%'$
∂∂+
∂∂= #
%!
/ ( ! #
%.
•
%$ = $ % $%
%$ = $ % $!%
3%'$ = 5 →⊂Ω ! $ % $,%
( ###'%$
%$∈
==
ψϕ
$%
•
%$θρ = $+%
%$ρθ = $!+%
3%'$ =θρ $,+%
( ###'%$
%$∈
==
$
αθρ
$+%
• "
$%"$,%J$!%"$,%#$+%
$%"$%J$!%"$%#$+%
$+%"$%
==
%%$$%$
%%$ $%$
$
$
αα
$,%"$% $!%' ('
/#
6%: /
: /$%
* Ω ! #
touscours.net
* →Ω ' #
(1 Ω∈%'$ 33 ( 3%'$ 33 = #
* 3%'$ 33 ≠∂∂
' ( 3%'$ =
' -" ( 1 3>α ( >'= 33 αα +−∈ '
1( >'= 33 αα +−∈ ( 3%'$ = #
' >'=(-
3%'$(
3333
>'=αα
ααϕ+−∈
=
→+−
' ϕ
3 '%'$
%'$
333
33
%$-
∂∂∂∂
−=ϕ #
/ 3%'$ 33 ≠∂∂
)
3=∂∂
3=∂∂
3=∂∂
=∂∂
>'=>'= 3333 αααα +−×+−
3%'$ =
K (%'$
%'$
333
33
%$-
∂∂∂∂
−=ϕ
' >'=>'= 3333 αααα +−×+−∈ ' 3%%$'$ = ϕ
. ' 3%%$'$%$-%%$'$
33
33333 =∂∂+
∂∂
ϕϕϕ #
:" 3%'$ = %'$ 33 5
∂∂
∂∂
1
#* 1 3%'$ 33 ≠∂∂
#
' ' + %$ ϕ= #
& %'$ 33 ( %$-%$%$ 333 ϕ−=−
-" 3%'$%$%'$%$ 333333 =∂∂−+
∂∂−
' 3%'$ 33
≠
' " %'$ 33 1
" %'$ 33
#
touscours.net
@
% (" #
* &
∈
==
'%$
%$
βα
5 βα '
' $-"(
%$-
%$-%$
βα
%
* & ∈3 $( %#* 1 3%$- 3 ≠α ' 1
3 3 ( " 3 '-"
3'%$
%$
∈
==
βα
'( %$ = #
.
α ' 3%$- 3 ≠α #71 >'= 33 λλ +−=
3 ( 3%$-' ≠∈∀ α # . α '
+< (0(α #.
"
∈
==
−
−
'%%$$
%%$$
αβαα
'-"
∈
==
'%$
5 −= αβ #
.%."
* &
∈
==
'%$
%$
βα
5 βα ' $ ≥ %
( #
(
&
$∈
==
'%$
%$
λθρ
'$λ #
' &∈
/ /
5%%#$$%%#$ $
!!!!
%$
!! #%$%$
%$#
%$%$
%$%$%$%#$%#$%$
$
!
λλλ
βαβ
βααβαβα
+=
++
++=+=
$ + %3'3$%%$%'$$ ≠ βα %
&',
%. $ %
• ( %'$ = ' %'$ = %'$ = $ %
• ( 3%''$ =
1
( 3=+++ ' 5 %3'3'3$%''$ ≠'
touscours.net
A
*/ !!
3
!
3
!
3 %$%$%$ ( =−+−+−
•
===
%'$
%'$
%'$
)
)
)
γβα
' %'$ ) ! ' γβα '' ' ≥
∂∂∂∂∂∂
γ
β
α
∂∂∂∂∂∂
)
)
)
γ
β
α
$ +%
6% 3%''$ ="(
$ " (%
: /
* ' ≥ , #* %''$ 3333 ! = ( 3%''$ 333 = #
* 3%$ 3 ≠∂∂
!
' '
3! ' ( 3%''$ =
' ϕ
%''$
%''$
33
333
333
%'$
∂
∂∂∂
−=∂∂ϕ
'%''$
%''$
33
333
333
%'$
∂
∂∂∂
−=∂∂ϕ
$?0< ( ! %
%"
• * Ω∈
===
%'$'
%'$
%'$
%'$
)
)
)
)
γβα
! #
& %%'$%''$%''$$%'$
,
*
γβα
→Ω ' ≥
%'$
*
∂∂
' %'$
*
∂∂
#
* ! ∈3/ %'$ 33 #
+ 3!
'
3
3
3
3'
%'$
%'$
%'$
!
Ω∈
===
γβα
3! /
3 = #
touscours.net
B
!'
3
3
3
! 3'
%'$
%'$
%'$
!
Ω∈
===
γβα
3! / 3 = #
& 1
%'$
%'$
%'$
3
33
33
33
%$
∂∂∂∂∂∂
γ
β
α
%'$
%'$
%'$
3!
33
33
33
%$
∂∂∂∂∂∂
γ
β
α
# &
" 3! 3! %%$%'$$ 3!3
$
%$%$ 3!3 ∧ '-" %'$%'$ 3333
*
*
∂∂∧
∂∂
%
2(
& + +
===
%%$%'$$
%%$%'$$
%%$%'$$
γβα
' 5 →' '#
%%$%'$$%$-%%$%'$$%$-
%%$%'$$%$-%%$%'$$%$-
%%$%'$$%$-%%$%'$$%$-
%$
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
γγ
ββ
αα
* ∈3 ' ( %'$%%$%'$$ 3333 = #
' %$%$-%$%$-%$ 3!3333 += ' %$ 3
"3! #
• 5 3%''$ = #
* ! ∈= %''$ 3333# ( 3
3
≠
!'-"(
#
. / '
+
===
%'$
%'$
%'$
γβα
' 3! ' /
%'$ 33 #
( )!')
5
%'$
%'$
%'$
33
33
33
∂∂∂∂∂∂
γ
β
α
%'$
%'$
%'$
!
33
33
33
∂∂∂∂∂∂
γ
β
α
#
' 3%%'$%''$%''$$ = γβα #
3%%'$%''$%''$$%'$
%%'$%''$%''$$%'$%%'$%''$%''$$%'$.
=∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
γβαα
γβααγβαα
touscours.net
3%%'$%''$%''$$%'$
%%'$%''$%''$$%'$%%'$%''$%''$$%'$
=∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
γβαα
γβααγβαα
. !
1"
! 3 ' #
'" %''$ 3333 ! 3!
" ! 3
'-"(
3%%$$%%$$%%$$ 333333 =−∂∂+−
∂∂+−
∂∂
!
!
!
3%''$ 3333=−−− ! #
'1
* 3,,@! !!! =−++ ' %''$ 3333 ! #
( "3!
,@,!%''$ !!! −++=
#3#A#A%''$ ++=
$( %
&( 3%#$3%#$A%#$@ 333333 =−+−+− #
touscours.net