BAB 5

MENGENAL BENTUK ALJABAR

Nurwaningsih

PENDAHULUAN

Pengajaran matematika di Sekolah Menengah Pertama sebagai bagian

dari sistem pendidikan nasional, menurut kurikulum 2006, bertujuan antara lain

agar siswa memiliki kemampuan yang dapat dialihgunakan melalui kegiatan

matematika, sehingga terdapat keserasian antara pengajaran yang menekankan

pada pemahaman konsep dan pengajaran yang menekankan pada keterampilan

menyelesaikan soal dan pemecahan masalah.

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering kali bertemu dengan keadaan

yang berhubungan dengan matematika. Pelajaran matematika selalu diberikan

di sekolah dalam setiap jenjang pendidikan. Dalam standar isi untuk satuan

pendidikan dasar dan menengah mata pelajaran matematika (Peraturan Menteri

Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2006 tanggal 23 mei 2006 tentang

standar isi) bahwa mata pelajaran matematika perlu diberikan kepada semua

peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan

kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta

kemampuan bekerjasama. Kemudian dijelaskan dalam Depdiknas (2003:346)

bahwa salah satu tujuan pemberian mata pelajaran matematika adalah agar

peserta didik mempunyai kemampuan memecahkan masalah yang meliputi

kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan

model dan menafsirkan solusi yang diperoleh.

Pada Unit 5 ini kalian akan mengetahui lebih dalam mengenai pelajaran

matematika Kelas VII SMP/MTs materi Mengenal Bentuk Aljabar. Oleh karena

itu. setelah memempelajari materi Unit 5 ini, Anda diharapkan dapat

memahami dengan baik mengenai Bentuk Aljabar Dan Operasinya . Secara

lebih terperinci, Anda diharapkan dapat:

1. Siswa mampu menjelaskan definisi aljabar

2. Siswa mampu mengidentifikasi unsur-unsur pada aljabar

3. Siswa mampu menyelesaikan operasi penjumlahan bentuk aljabar

4. Siswa mampu menyelesaikan operasi pengurangan bentuk aljabar

5. Siswa mampu menyelesaikan operasi perkalian bentuk aljabar

6. Siswa mampu menyelesaikan operasi pembagian bentuk aljabar

7. Siswa mampu menyelesaikan masalah nyata pada bentuk aljabar

8. Siswa mampu menyelesaikan masalah nyata pada operasi bentuk aljabar

Untuk membantu Anda mencapai tujuan tersebut, modul ini dibagi ke

dalam empat sub bab sebagai berikut.

1. Sub Bab 1 : Mengenal Bentuk Aljabar

2. Sub Bab 2 : Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

3. Sub Bab 3 : Operasi Perkalian Bentuk Aljabar

4. Sub Bab 4 : Operasi Pembagian Bentuk Aljabar

Untuk memahami materi di atas, kalian dituntut untuk membaca setiap

uraian materi dengan cermat, mencatat kata-kata kuncinya, serta mengerjakan

latihan dan tes formatif secara disiplin. Dengan mengikuti petunjuk ini, mudah-

mudahan mempelajari modul akan menjadi pekerjaan yang menyenangkan bagi

kalian dan kesuksesan menanti kalian.

1. MENGENAL BENTUK ALJABAR DAN

UNSUR-UNSURNYA

1.1 Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar adalah ungkapan atau algebraic expression. Bentuk aljabar

adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf

untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dalam x berarti

bentuk aljabar dalam variabel x dan lambang lainnya bukan variabel.

Perhatikan ilustrasi berikut.

Suatu ketika terjadi percakapan antara Pak Rian dan Pak Rehan. Mereka

berdua baru saja membeli buku di suatu grosir.

Rian : “Pak Rehan, kelihatannya beli buku tulis banyak sekali.”

Rehan : “Iya, pak. Ini pesanan dari sekolah saya. Saya beli dua kardus

dan 3 buku. Pak Rian beli apa aja?”

Rian : “Saya hanya beli 5 buku, Pak. Buku ini untuk anak saya kelas

VII SMP.”

Dalam percakapan tersebut terlihat dua orang yang menyatakan banyak

buku dengan satuan yang berbeda. Pak Rehan menyatakan jumlah buku dalam

satuan kardus, sedangkan Pak Rian langsung menyebutkan banyak buku yang

ia beli dalam satuan buku. Untuk lebih memahaminya lihat tabel dibawah.

NAMA PEMBELI MEMBELI BENTUK ALJABAR

Pak Rehan

2 Kardus Buku dan 3 Buku

𝟐𝒙 + 𝟑

Pak Rian

5 Buku

𝟓

Contoh:

1) 6𝑎

2) 3𝑎2 + 2𝑎

3) 5𝑏2 + 4𝑏 + 3

4) 2𝑎2 + 3𝑏 – 4𝑏2 + 5

5) Suatu ketika Pak Veri membeli dua karung beras untuk kebutuhan

hajatan di rumahnya. Setelah dibawa pulang, istri Pak Veri merasa beras yang dibeli kurang. Kemudian Pak Veri membeli lagi sebanyak 5 𝑘𝑔.

Nyatakan bentuk aljabar dari beras yang dibeli Pak Veri. Penyelesaian : karung beras dimisalkan sebagai 𝑥, artinya dua karung

beras adalah 2𝑥 . kemudian 5 kg disini dianggap sebagai sebagai

konstanta. Jadi bentuk aljabar dari beras yang dibeli pak veri adalah 2𝑥 + 5

1.2 Unsur-unsur Aljabar

Suku adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh tanda tambah

atau kurang. Berikut nama-nama bentuk aljabar berdasarkan banyaknya suku; » 2, 𝑥, dan 2𝑥 disebut suku satu atau monomial

» 3𝑥 + 2𝑥 disebut suku dua atau binomial

» 2𝑥 + 3𝑦 + 7 disebut suku tiga atau trinomial

» Untuk bentuk aljabar yang tersusun atas lebih dari tiga suku dinamakan polinomial

Sedangkan koefisien adalah faktor konstan pada suatu suku pada bentuk aljabar dan variabel adalah suatu simbol yang mewakili suatu nilai tertentu dan

konstanta suku pada bentuk aljabar yang berupa bilangan / nilai tertentu.

−3𝑥 {−3 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑥

𝑥 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙

5𝑦2 {−3 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑥

𝑥 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙

Kemudian pada bentuk 3𝑥 + 2𝑥 + 6, karena suku 3𝑥 dan 2𝑥 bervariabel sama, yaitu 𝑥 maka suku 3𝑥 dan 2𝑥 disebut suku-suku sejenis dan suku

6 disebut konstanta.

Untuk lebih memahami suku-suku sejenis dan suku-suku tak sejenis

perhatikan tabel berikut!

Suku-suku sejenis Suku-suku tak sejenis

𝟒𝒙 𝒅𝒂𝒏 − 𝒙 4𝑥 𝑑𝑎𝑛 − 𝑥 2

−𝟐𝒚 𝒅𝒂𝒏 𝟑𝒚 −2𝑥 𝑑𝑎𝑛 3𝑦

𝟒𝒙𝟐𝒅𝒂𝒏 𝟔𝒙𝟐 4𝑥 2𝑑𝑎𝑛 6𝑦2

𝟐𝒑𝒒 𝒅𝒂𝒏 𝟒𝒑𝒒 −2𝑝𝑞 𝑑𝑎𝑛 4𝑝𝑞2

Dari uraian diatas secara umum:

Contoh:

1. Tentukan unsur-unsur aljabar dari 9𝑥 3 – 3𝑥 3𝑦2 + 12𝑦2 + 6𝑥 2𝑦3 – 5! Penyelesaian:

Suku: Banyak pada bentuk aljabar tersebut ada 5 suku; Koefisien 𝑥 3

adalah 9; koefisien 𝑥 3𝑦2 adalah – 3; koefisian 𝑦2 adalah 12; koefisien

𝑥 2𝑦3 adalah 6; Variabel : 𝑥 3, 𝑥 3𝑦2, 𝑦2, dan 𝑥 2𝑦3; Konstanta: – 5.

Bila bentuk aljabarnya 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑 maka

Bentuk aljabar tersebut memiliki 4 suku, yaitu 𝑎𝑥 2,𝑏𝑥, 𝑐𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑑;

𝑏𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑐𝑥 merupakan suku-suku sejenis, sedangkan 𝑎𝑥 2,

𝑏𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑑 disebut suku-suku berlainan jenis;

𝑎 disebut koefisien dari 𝑥 2 ;

𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐 disebut koefisien dari 𝑥;

𝑑 disebut konstanta;

𝑥 2 𝑑𝑎𝑛 𝑥disebut peubah atau variabel;

Catatan :

Koefisien yang nilainya sama dengan 1

tidak harus ditulis. Misalnya: 1𝑥 + 1𝑦 + 1𝑧

cukup ditulis dengan 𝑥 + 𝑦 + 𝑧.

2. Bu Niluh seorang pengusaha kue. Suatu ketika Bu Niluh mendapat pesanan

untuk membuat berbagai macam kue dalam jumlah yang banyak. Bahan yang harus dibeli Bu Niluh adalah dua karung tepung, sekarung kelapa, dan lima krat telur. Nyatakan bentuk aljabar harga semua bahan yang dibeli

oleh Bu Niluh kemudian sebutkan unsur-unsur aljabarnya. Penyelesaian: 2 karung tepung dilambangkan 2𝑥, sekarung kelapa

dilambangkan 𝑦, lima krat telur dilambangkan 5𝑧

Bentuk aljabarnya adalah 2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 Unsure-unsur yang terdapat dalam aljabar diatas adalah

Terdapat 3 suku tidak sejenis yaitu 2𝑥, 𝑦, dan 5𝑧

𝑥, 𝑦, 𝑧 merupakan variabel 2 merupakan koefisien dari 𝑥, 1 merupakan koefisien dari 𝑦 dan

5 merupakan koefisien dari 𝑧

Latihan

Untuk memantapkan pemahaman kalian terhadap materi diatas, coba kerjakan latihan

dibawah ini!

1. Jelaskan konsep bentuk aljabar dengan bahasa kalian sendiri!

2. Identifikasilah unsur-unsur dari bentuk aljabar 2𝑥2 + 5𝑥 − 6!

3. Aku adalah suatu bilangan. Jika aku dikalian 2 kemudian dikurangi 5 akan

menghasilkan bilangan 9. Tuliskan bentuk aljabar dari kalimat tersebut!

4. Tentukanlah suku, variabel, koefisien, dan konstanta dari bentuk-bentuk aljabar

3𝑥 2 + 6𝑦 + 2 dan 2𝑠2 + 3𝑎 + 4𝑎3 + 5𝑡4 – 7!

5. Tentukan suku - suku yang sejenis pada bentuk aljabar 9𝑘 +

8𝑚 – 4𝑘𝑚 – 15𝑘 + 7𝑘𝑚 dan 7𝑝2 – 8𝑝2𝑞 – 11𝑝2 + 𝑝2𝑞 + 12 𝑝𝑞2 !

Petunjuk Jawaban Latihan

1. Penjelasan konsep bentuk aljabar dengan bahasa sendiri pasti

berbeda antara siswa satu dan lainnya, untuk mempermudahnya

silahkan dikaji kembali diatas mengenai konsep mengenal

bentuk aljabar.

2. Untuk menjawab soal ini, kalian diminta sudah memahami

dengan baik apa saja unsur-unsur dari bentuk aljabar. Jika kalian

belum memahaminya silahkan baca kembali materi diatas

mengenai unsur-unsur aljabar.

3. Untuk menjawab soal ini, kalian dituntut sudah mengenal dengan

baik bentuk aljabar sehingga dapat menuliskan bentuk aljabar

dari soal cerita

4. Terdapat dua bentuk aljabar yang masing-masing harus

diidentifikasi suku, variabel, koefisien dan konstanta nya untuk

menjawab soal ini kalian harus paham mengenai unsure-unsur

aljabar.

5. Silahkan kalian pahami kembali mengenai suku-suku sejenis dan

suku-suku tidak sejenis pada bentuk aljabar untuk menjawab soal

ini!

2. OPERASI PENJUMLAHAN DAN

PENGURANGAN BENTUK ALJABAR

Pada penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar, yang dapat dijumlahkan

atau dikurangkan adalah suku-suku yang sejenis. Suku-suku sejenis pada aljabar

hanya berbeda pada koefisiennya. Untuk menyederhanakan bentuk aljabar dengan

cara penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis dapat digunakan sifat

distributive sebagai berikut.

Contoh:

3𝑥 + 2𝑥 = (3 + 2)𝑥 = 5𝑥

3𝑥 − 2𝑥 = (3 − 2)𝑥 = 1𝑥

Untuk lebih memahami operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk

aljabar perhatikan ilustrasi berikut.

Perusahaan 𝑋 mengemas kelereng-kelereng ke dalam kotak-kotak, yaitu

kotak merah dan kotak putih. Wafi memiliki 15 kotak merah dan 9 kotak putih.

Kotak-kotak tersebut berisi kelereng. Jika banyak kelereng di kotak merah

dinyatakan dengan 𝑥 dan banyaknya kelereng di kotak putih dinyatakan dengan 𝑦,

maka banyak kelereng di kedua kotak dinyatakan dengan 15𝑥 + 9𝑦.

Catatan :

1x biasanya ditulis dengan x dan

-1x ditulis dengan -x

cb-c)= ab-ac) atau a(ab-ac=a(b-

cb+c)= ab+ac) atau a(ab+ac=a(b+

Keterangan:

Banyak kelereng dalam setiap kotak merah sama.

Banyak kelereng dalam setiap kotak putih sama.

Jika Wafi diberi kakaknya 7 kotak merah dan 3 kotak putih, maka Wafi

sekarang mendapatkan tambahan kelereng sebanyak 7𝑥 + 3𝑦. Dengan demikian,

Wafi sekarang memiliki (15𝑥 + 9𝑦) + (7𝑥 + 3𝑦) kelereng. Bentuk (15𝑥 +

9𝑦) + (7𝑥 + 3𝑦) sama dengan 22𝑥 + 12𝑦 yang diperoleh dengan cara

menjumlahkan kotak-kotak yang warnanya sama. Bentuk (15𝑥 + 9𝑦) + (7𝑥 +

3𝑦) = 22𝑥 + 12𝑦 disebut penjumlahan bentuk aljabar.

Karena Wafi memberikan 6 kotak merah dan 9 kotak putih kepada adiknya,

maka kelereng yang dimiliki Wafi berkurang sebanyak 6𝑥 + 9𝑦 kelereng. Dengan

kata lain, kelereng yang dimiliki Wafi sekarang adalah (22𝑥 + 12𝑦) − (6𝑥 +

9𝑦) kelereng. Bentuk ini sama dengan 16𝑥 + 3𝑦 yang diperoleh dengan cara

mengurangkan kotak-kotak yang warnanya sama. Bentuk (22𝑥 + 12𝑦) − (6𝑥 +

9𝑦) = 16𝑥 + 3𝑦 disebut pengurangan bentuk aljabar.

Contoh:

1. Tentukan penjumlahan dari 2𝑎2 + 3𝑎 dan 3𝑎2 − 5𝑎!

Penyelesaian:

(2𝑎2 + 3𝑎) + (3𝑎2 − 5𝑎) = 2𝑎2 + 3𝑎 + 3𝑎2 − 5𝑎 (jabarkan sesuai soal)

= 2𝑎2 + 3𝑎2 + 3𝑎 − 5𝑎 (kumpulkan suku sejenis)

= (2 + 3)𝑎2 + (3 − 5)𝑎 (operasikan suku sejenis)

= 5𝑎2 − 2𝑎

2. Tentukan pengurangan 7a + 4b oleh 8a − 6b.

Penyelesaian:

(7a + 4b) − (8a − 6b) = 7a + 4b – 8a − (−6b) (jabarkan sesuai soal)

= 7a − 8a + 4b + 6b (kumpulkan suku sejenis)

= −a + 10b (operasikan suku sejenis)

3. Sebuah segitiga memiliki ukuran panjang sisi terpendek (2x – 5) cm dan

panjang sisi terpanjang (3x + 6) cm. Jika panjang sisi sisanya (x + 6), maka

tentukan keliling segitiga tersebut.

Penyelesaian:

𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘 + 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 + 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

= (2𝑥 − 5) + (3𝑥 + 6) + (𝑥 + 6)

= 2𝑥 − 5 + 3𝑥 + 6 + 𝑥 + 6

= (2𝑥 + 3𝑥 + 𝑥) + (−5 + 6 + 6)

= 6𝑥 + 7

Latihan

Untuk memantapkan pemahaman kalian terhadap materi diatas, coba kerjakan latihan

dibawah ini!

1. Rini membeli 2 baju dan tiga buah rok. Selisih harga rok dan baju adalah Rp 40.000,-.

Jika jumlah harga seluruhnya Rp 330.000,-. Tentukan harga satu baju dan satu rok!

2. Jumlahkanlah setiap bentuk aljabar 3𝑥 2 + 𝑥 − 5 dan 2𝑥 2 − 6𝑥 + 8 !

3. Kurangilah 2𝑎2 + 3𝑏2 + 4𝑐2 dengan hasil jumlah 𝑎2 − 4𝑎𝑏 − 𝑏2, 𝑎𝑏 − 4𝑏2 − 3𝑎2

dan 𝑏2 − 4𝑎2 − 3𝑎 !

4. Tentukan hasil dari 5x − 6y + 8z + (7x − 9z) − (2y + 9z − 10).

Petunjuk Jawaban Latihan

1. Untuk menjawab soal ini kalian terlebih dahulu

membuat bentuk aljabar dari yang diketahui, setelah

itu operasikan bentuk aljabar tersebut sehingga

mendapatkan jawabannya.

2. Operasi penjumlahan bentuk aljabar hanya dapat

dilakukan pada suku yang sejenis. Silahkan pahami

kembali mengenai operasi penjumlahan bentuk

aljabar untuk menjawab soal ini.

3. Untuk menjawab soal ini, jumlahkan terlebih

dahulu ketiga bentuk aljabar yang diminta untuk

dijumlahkan, kemudian bentuk aljabar 2𝑎2 + 3𝑏2 +

4𝑐2 dikurangi dengan hasil penjumlahan aljabar

yang tadi.

4. Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk

aljabar hanya dapat dilakukan pada suku – suku

yang sejenis. Silahkan pahami kembali mengenai

operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk

aljabar pada materi diatas untuk menjawab soal ini.

3. OPERASI PERKALIAN BENTUK ALJABAR

3.1 Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu

dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

Contoh :

a. 4(𝑝 + 𝑞) = 4𝑝 + 4𝑞

b. 5(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) = 5𝑎𝑥 + 5𝑏𝑦

c. 5 (𝑥 + 10) = (5 × 𝑥) + (5 × 10) = 5𝑥 + 50

d. 7(𝑥 – 3) = (7 × 𝑥) + (7 × (−3)) = 7𝑥 − 21

3.2 Perkalian antara dua bentuk aljabar

Untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat

menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar

suku dua dengan suku dua berikut.

1. (𝑎𝑥 + 𝑏)2 = (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎2𝑥 2 + 2𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2

2. (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑎𝑥 − 𝑏) = 𝑎2 𝑥 2 − 𝑏2

3. (𝑎𝑥 − 𝑏)2 = 𝑎2 𝑥 2 − 2𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2

4. (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) = 𝑎𝑥.𝑐𝑥 + 𝑎𝑥. 𝑑 + 𝑏. 𝑐𝑥 + 𝑏.𝑑

= 𝑎𝑐𝑥 2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 𝑥 + 𝑏𝑑

1. k(ax) = kax

2. 𝑘(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑘𝑎𝑥 + 𝑘𝑏

Contoh :

1. (2𝑥 + 3)(3𝑥 – 2) = 2𝑥 (3𝑥 – 2) + 3(3𝑥 – 2)

= 6𝑥 2– 4𝑥 + 9𝑥 – 6

= 6𝑥 2 + 5𝑥 – 6

2. (2𝑥 − 3)2 = (2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)

= (2𝑥.2𝑥) + (2𝑥. (−3)) + ((−3).2𝑥) + ((−3)(−3))

= 4𝑥 2 − 6𝑥 − 6𝑥 + 9

= 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9

3. (2𝑥 – 1)( 2𝑥 + 1) = 4𝑥 2 + (2 – 2)𝑥 + (– 1)(1) = 4𝑥 2 – 1

Untuk lebih memahami operasi penjumlahan dan pengurangan

bentuk aljabar perhatikan ilustrasi berikut

Pak Idris mempunyai kebun apel berbentuk persegi dan Pak Tohir

mempunyai kebun jeruk berbentuk persegi panjang. Ukuran panjang kebun

jeruk Pak Tohir 20 m lebih dari panjang sisi kebun apel Pak Idris.

Sedangkan lebarnya, 15 m kurang dari panjang sisi kebun apel Pak Idris.

Jika diketauhi kedua luas kebun Pak Idris dan Pak Tohir adalah sama,

maka tentukan luas kebun apel Pak Idris?

Untuk memecahkan persoalan tersebut bisa dengan memisalkan

panjang sisi kebun apel Pak Idris dengan suatu variabel, misal variabel x.

Panjang kebun jeruk Pak Tohir 20 meter lebih panjang dari panjang sisi

kebun apel bisa ditulis x + 20. Lebarnya 15 meter kurang dari panjang sisi

kebun apel Pak Idris bisa ditulis x − 15. Seperti yang kita ketahui bahwa

luas persegi panjang adalah panjang × lebar. Namun dalam permasalahan

menentukan panjang sisi kebun tersebut, kita sedikit mengalami kesulitan

karena yang dikalikan adalah bentuk aljabar. Dalam permasalah tersebut

luas kebun Pak Tohir adalah hasil kali dari x + 20 dengan x − 15.

Luas kebun Pak Tohir dapat ditulis dalam bentuk aljabar:

𝐿𝑢𝑎𝑠 = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 × 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟

= (𝑥 + 20) × (𝑥 − 15)

= 𝑥 2 − 15𝑥 + 20𝑥 − 300

= 𝑥 2 + 5𝑥 − 300 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠

Selain dengan cara tersebut, kita bisa menentukan luas kebun Pak

Tohir dengan cara perkalian bersusun seperti berikut.

Jadi, luas kebun Pak Tohir adalah 𝑥 2 + 5𝑥 − 300 satuan luas.

Dari kedua cara tersebut, silakan menggunakan cara yang menurut

kalian paling mudah. Karena diketahui luas kebun apel Pak Idris sama

dengan luas kebun jeruk Pak Tohir, maka didapat:

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑒𝑏𝑢𝑛 𝑎𝑝𝑒𝑙 𝑃𝑎𝑘 𝐼𝑑𝑟𝑖𝑠 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑒𝑏𝑢𝑛 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 𝑝𝑎𝑘 𝑇𝑜ℎ𝑖𝑟

(𝑥)2 = 𝑥 2 + 5𝑥 – 300

𝑥 2 = 𝑥 2 + 5𝑥 – 300

𝑥 2 – 𝑥 2 = 5𝑥 – 300

0 = 5𝑥 – 300

5𝑥 = 300

𝑥 = 60

Jadi, luas kebun apel Pak Idris adalah (𝑥)2 = (60)2 = 3.600 SL.

Secara umum hasil perkalian bentuk aljabar (𝑥 + 𝑎) × (𝑥 + 𝑏)

mengikuti proses berikut

.

3.3 Perpangkatan Bentuk Aljabar dengan Pola Segitiga

Pascal

Untuk mengetahui perpangkatan bentuk aljabar, perhatikan lebih

dulu tentang perkalian dua suku dengan dua suku dalam bentuk aljabar,

sebagai berikut

Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari perkalian dua suku

dengan dua suku dalam bentuk aljabar di atas. Pola koefisien tersebut dapat

ditentukan menurut aturan segitiga Pascal, yaitu sebagai berikut.

Latihan

Petunjuk Jawaban Latihan

1. Untuk menjawab soal ini kalian terlebih dahulu harus memahami bagaimana

mengalikan dua bentuk aljabar.

2. Untuk menjawab soal ini dapat dibantu dengan perkalian menggunakan segitiga

pascal.

3. Operasikan bentuk aljabar tersebut sehingga menemukan nilai r.

4. Ikuti instruksi yang ada di soal.

Untuk memantapkan pemahaman kalian terhadap materi diatas, coba kerjakan latihan

dibawah ini!

1. Tentukan hasil kali aljabar (𝑥 + 1) × (𝑥 + 2) × (𝑥 + 3)!

2. Jabarkan bentuk aljabar dari (2𝑥 + 3)3 dan (3𝑥 – 5𝑦)4!.

3. Tentukan nilai r pada persamaan bentuk aljabar (2𝑥 + 3𝑦)(𝑝𝑥 + 𝑞𝑦) = 𝑟𝑥 2 +

23𝑥𝑦 + 12𝑦2!

4. Pikirkan sebuah bilangan dan jangan beritahu saya. Saya akan menebaknya. Tapi,

lakukan dulu perintah saya berikut: (a) kalikan bilangan dalam pikiran kalian, (b)

tambahkan 3 pada hasilnya, (c) kalikan 5 hasilnya, (d) tambahkan 85 pada

hasilnya, (e) bagilah hasilnya dengan 10, (f) kurangkan hasil terakhirnya dengan

9. Maka aku bisa menebak bilangan kamu, yaitu 1 kurangnya dari bilangan

terakhir yang kamu simpan di otak kalian. Buktikan bahwa tebakan tersebut

berlaku untuk semua bilangan yang mungkin dipilih oleh teman-teman kalian.

4. OPERASI PEMBAGIAN BENTUK ALJABAR

Untuk menghitung hasil bagi pada bentuk aljabar, penyederhanaan

hanya dapat dilakukan pada pembagian dengan suku sejenis atau konstanta,

sedangkan pada pembagian dengan suku tidak sejenis akan menghasilkan

pecahan bentuk aljabar.

Untuk memahami konsep operasi pembagian perhatikan ilustrasi

berikut.

Diketahui luas kebun pak tohir adalah 𝑙𝑢𝑎𝑠 = 𝑥 2 + 5𝑥 −

300 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠, dan 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔𝑛𝑦𝑎 = 𝑥 + 20 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔,

Bagaimana langkah kalian untuk menentukan lebarnya?

Seperti yang kita ketahui 𝑙𝑢𝑎𝑠 = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 × 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟. Dapat kita tulis

𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟 =𝑙𝑢𝑎𝑠

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔

Lebar tanah Pak Tohir dapat ditentukan dengan membagi bentuk

aljabar dari luas tanah dengan bentuk aljabar dari panjang.

Berikut proses membagi bentuk aljabar nya..

Contoh lainnya mengenai pembagian aljabar.

“Pada pembagian bentuk aljabar tidak selalu bersisa 0. Berikut contoh

pembagian bentuk aljabar yang sisanya bukan 0”.

Contoh:

Tentukan hasil bagi 2𝑥 2 + 3𝑥 − 4 oleh 𝑥 + 3!

Penyelesaian:

Jadi, hasil bagi bentuk aljabar 2𝑥 2 + 3𝑥 − 4 oleh bentuk aljabar

𝑥 + 3. adalah 2𝑥 − 3 dengan sisa 5.

Selain cara-cara diatas, operasi pembagian bentuk aljabar dapat

diselesaikan dengan cara yang lebih sederhana yakni dengan menggunakan

hasil kali dua bentuk aljabar atau yang dikenal dengan faktor bentuk

aljabar.

Misalkan 𝑚2 + 5𝑚 – 50, maka untuk mencari faktor bentuk aljabar

dapat dilakukan dengan cara mencari dua buah bilangan jika dikalikan akan

menghasilkan – 50 dan jika dijumlahkan akan menghasilkan 5. Bilangan

yang memenhui yakni 10 𝑑𝑎𝑛 – 5, maka faktor bentuk aljabar dari 𝑚2 +

5𝑚 – 50 yakni (𝑚 + 10) 𝑑𝑎𝑛 (𝑚 – 5). Dengan menggunakan faktor

bentuk aljabar maka 𝑚2 + 5𝑚 – 50 dibagi dengan 𝑚 + 10 dapat

dihitung, yakni:

𝑚2 + 5𝑚 – 50

(𝑚 + 10)

= (𝑚 + 10)(𝑚 – 5)

𝑚 + 10

= 𝑚 – 5

𝐽𝑎𝑑𝑖 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 (𝑚2 + 5𝑚 – 50)/(𝑚 + 10) 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ (– 𝑚 – 5)

Latihan

Untuk memantapkan pemahaman kalian terhadap materi diatas, coba kerjakan latihan

dibawah ini!

1. Bentuk aljabar 𝑥 2 − 7 𝑥 − 44 jika dibagi suatu bentuk aljabar hasilnya adalah

𝑥 + 4. Tentukan bentuk aljabar pembagi tersebut!

2. Suatu bentuk aljabar memiliki tiga faktor, 𝑥 + 𝑎, 𝑥 + 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 𝑐 . Tentukan

hasilnya jika dibagi 𝑥 + 𝑎!

3. Dede mempunyai penggaris berbentuk sebuah persegi panjang memiliki lebar

(6𝑥 − 2) 𝑐𝑚 dan luasnya adalah 30𝑥 2 + 8𝑥 − 6 𝑐𝑚2. Tentukan panjang

penggaris dede tersebut.

4. Bentuk aljabar 𝑥 2 − 4𝑥 − 60 jika dibagi suatu bentuk aljabar hasilnya adalah

𝑥 − 10. Tentukan bentuk aljabar pembagi tersebut.

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat

huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.

Suku adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh tanda tambah atau

kurang.

Koefisien adalah faktor konstan pada suatu suku pada bentuk aljabar

Variabel adalah suatu simbol yang mewakili suatu nilai tertentu

Konstanta suku pada bentuk aljabar yang berupa bilangan / nilai tertentu.

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar, yang dapat dijumlahkan

atau dikurangkan adalah suku-suku yang sejenis.

Secara umum bentuk perkalian aljabar (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎𝑏) 𝑥 + 𝑎𝑏

Untuk menghitung hasil bagi pada bentuk aljabar, penyederhanaan hanya dapat

dilakukan pada pembagian dengan suku sejenis atau konstanta, sedangkan pada

pembagian dengan suku tidak sejenis akan menghasilkan pecahan bentuk aljabar.

Petunjuk Jawaban Latihan

1. Untuk menjawab soal ini kalian terlebih dahulu harus memahami

bagaimana membagi dua bentuk aljabar.

2. Untuk menjawab soal ini kalian dapat mengalikan terlebih dahulu factor

yang ada kemudian baru dibagi dengan yang diminta soal.

3. Silahkan pahami lebih detail materi diatas untuk menjawab soal ini.

4. Untuk menjawab soal ini kalian terlebih dahulu harus memahami

bagaimana membagi dua bentuk aljabar.

RANGKUMAN

Tes Formatif 5

Untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi ini, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.

Pilih satu jawaban yang Anda anggap paling tepat!

1. Dibawah ini yang tidak termasuk unsur-unsur aljabar adalah…

a. 𝑠𝑢𝑘𝑢

b. 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛

c. 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎

d. 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎

2. Himpunan penyelesaian (HP) dari y + 4 kurang dari 14, untuk y

variabel pada himpunan B = {4, 7, 10, 13} adalah…

a. {1,2, 3, … }

b. {4,7, 10, 13}

c. { 4,7}

d. {10}

3. Adik membeli lima buah permen dan 10 bungkus permen dengan

harga Rp 20.000,-. Bentuk aljabarnya adalah…

a. 20.000

b. 5𝑥 + 10 = 20000

c. x

d.10𝑥 + 5 = 20000

4. Suku-suku yang sejenis dari bentuk aljabar 6𝑥 2 +

6𝑥𝑦 – 4𝑦2 – 7𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦2 adalah ....

a.. 6𝑥 2 dan 6𝑥𝑦

b. – 4𝑦2 dan 2𝑥𝑦

c. 6𝑥 2 𝑑𝑎𝑛 –4𝑦2

d. 6𝑥𝑦 dan 2𝑥𝑦

5. Jumlah 6𝑥 − 5𝑦 − 2𝑧 dan −8𝑥 + 6𝑦 + 9z adalah ...

a. 2𝑥 – 𝑦 – 8𝑧

b. – 2𝑥 + 𝑦 + 7𝑧

c. 2𝑥 – 11𝑦 – 11𝑧

d. – 2𝑥 + 𝑦 + 7𝑧

6. Kurangkan 5𝑥 – 3𝑦 + 7 dari 5𝑦 – 3𝑥 – 4, maka hasilnya

adalah...

a. – 6𝑦 + 11

b. – 8𝑥 + 8𝑦 – 11

c. 8𝑥 + 8𝑦 – 11

d. 8𝑥 – 8𝑦 + 11

7. Bentuk sederhana dari perkalian suku (2𝑥 – 3)(𝑥 + 5) adalah ..

a. 2𝑥 2 – 13𝑥 – 15

b. 2𝑥 2 + 13𝑥 + 15

c. 2𝑥 2 – 7𝑥 + 15

d. 2𝑥2 + 7𝑥 – 15

8. Hasil pemangkatan dari (2𝑥 + 𝑦)3 adalah ...

a. 2𝑥 3 + 12𝑥 2𝑦 + 6𝑥𝑦2 + 𝑦3

b. 8𝑥 3 + 6𝑥 2𝑦 + 6𝑥𝑦2 + 𝑦3

c. 6𝑥 3 + 12𝑥 2𝑦 + 6𝑥𝑦2 + 𝑦3

d. 8𝑥 3 + 12𝑥 2𝑦 + 6𝑥𝑦2 + 𝑦3

9. Bentuk sederhana dari (3𝑦3 × 4𝑦4) ∶ 6𝑦5 adalah ...

a. 2𝑦7

b. 𝑦2

c. 2𝑦2

d. 2𝑦12

10. Hasil bagi 4𝑥 2 + 16𝑥 + 15 oleh (2𝑥 + 5) adalah ...

a. 2𝑥 + 3

b. 2𝑥 + 7

c. 2𝑥 + 5

d. 2𝑥 + 15

11. Jumlah dua buah bilangan yang berbeda adalah 6 dan hasil kali

kedua bilangan tersebut adalah 4. Kuadrat jumlah kedua

bilangan itu adalah..

a. 24 b. 26 c. 25 d. 28

12. Bu Marhawi membeli 14 𝑘𝑔 tepung, 17 𝑘𝑔 wortel, dan 4 𝑘𝑔

tomat. Karena terlalu lama disimpan, 4 𝑘𝑔 tepung, 3 𝑘𝑔 wortel,

dan 3 𝑘𝑔 tomat ternyata rusak/busuk. Jika harga tepung, wortel,

dan tomat secara berurutan adalah 𝑥 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ, 𝑦 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ, dan

𝑧 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ, maka harga barang Bu Marhami yang tersisa tersebut

dalam bentuk aljabar adalah .....

a. 10𝑥 + 14𝑦 + 𝑧

b. 10𝑥 + 20𝑦 + 𝑧

c. 10𝑥 + 14𝑦 + 7𝑧

d. 18𝑥 + 20𝑦 + 7𝑧

13. Arman mempunyai 5 robot dan 8 mobil-mobilan. Jika Arman

diberi 2 robot oleh ibu, sedangkan 3 mobil-mobilannya ia

berikan kepada Arif. Bentuk aljabar dari robot dan mobil-

mobilan yang dimiliki Arman sekarang adalah ....

a. 5𝑥 + 8𝑦

b. 7𝑦 + 2𝑥

c. 5𝑥 + 2𝑦

d. 7𝑥 + 8𝑦

14. Pak Tohir memiliki sebidang tanah berbentuk persegi dengan

sisisisinya (10 – 𝑥) 𝑚. Di tanah tersebut ia akan membuat

kolam ikan berbentuk persegi dengan sisi-sisinya (8 – 𝑥) 𝑚. Jika

ia menyisakan tanah itu seluas 28 𝑚2, maka luas tanah Pak

Tohir sebenarnya adalah ....

a. 36 𝑚2

b. 64 𝑚2

c. 49 𝑚2

d. 81 𝑚2

15. Sisi miring segitiga siku-siku panjangnya (5𝑥 + 5) 𝑐𝑚. Kedua

sisi yang lain panjangnya masing-masing (4𝑥 + 8) 𝑐𝑚 dan

(3𝑥 – 5) 𝑐𝑚 sebagaimana dilimpahkan pada gambar dibawah.

Ukuran sisi-sisi segitiga tersebut adalah…

a. 25𝑐𝑚, 24 𝑐𝑚, 19 𝑐𝑚

b. 25 𝑐𝑚, 24 𝑐𝑚, 7 𝑐𝑚

c. 25 𝑐𝑚, 19 𝑐𝑚, 7 𝑐𝑚

d. 25 𝑐𝑚, 19 𝑐𝑚, 9 𝑐𝑚

Umpan Balik

dan Tindak

Lanjut

Apabila kalian telah mengerjakan tes formatif, cocokkanlah

jawaban kalian dengan kunci jawaban tes formatif yang

terdapat pada bagian akhir buku ini, Kemudian hitunglah

jumlah jawaban kalian yang benar. Gunakan rumus berikut

untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi

ini.

Rumus:

Jumlah Jawaban Kalian yang Benar

Tingkat Penguasaan = x 100%

.....................

Arti tingkat penguasaan yang kalian capai:

90% − 100% = baik sekali

80% − 89% = baik

70% − 79% = cukup

< 70% = kurang

Bila tingkat penguasaan kalian mencapai 80% ke atas,

Bagus kalian dapat melanjutkan dengan mempelajari materi

pada unit berikutnya. Tetapi, bila tingkat penguasaan kalian

kurang dari 80%, kalian harus membaca kembali uraian

materi Bab 5, terutama pada bagian yang belum kalian

kuasai.

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 5

1. D

2. C

3. D

4. D

5. D

6. B

7. D

8. D

9. C

10. A

11. D

12. A

13. B

14. B

15. B

Daftar Pustaka

Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. 2016. Matematika Untuk SMP/MTs Kelas VII

Semester 2. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. 2016. Matematika Buku Guru Untuk SMP/MTs

Kelas VII Semester 2. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

Wintarti, Atik. 2008. Matematika Sekolah Menengah Pertama Kelas VII Edisi 4. Jakarta:

Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.