Funciones Y Sus GráFicas

Función Lineal

Destrezas Previas:

•Hacer gráficas

•Relación y función

•Dominio y campo de valores

Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS

Haz la gráfica de x + y = 5

1. Hacer una tabla de valores con por lo menos 5 puntos.

x x + y =5 y

1 1 + y = 5 4

2 2 + y = 5 3

0 0 + y = 5 5-1 -1 + y = 5 6-2 -2 + y = 5 7

2. Localizar estos puntos en el plano cartesiano.

DominioConjunto de valores de la variable x.

Campo de Valores

Conjunto de valores de la variable y.

3. Se unen todos los puntos

4. Se identifica la función.

x + y = 5

5. Dominio: Reales

6. Rango: Reales

Haz la gráfica de y = 2x

Haz la gráfica de y = 2x

y = 2x

Dominio: Reales

CV: Reales

Haz la gráfica de y x 2

Haz la gráfica de y x 2

y x 2

Dominio: Reales

CV: y >0

Haz la gráfica de y x

Haz la gráfica de y x

y x

Dominio: x >0

CV: y>0

Determina los rangos de las siguientes funciones si el dominio {-3,-2, 0 ,1,2,3}

1

2 2

3 3

4 1

5 2 6

2.

.

.

.

.

y x

y x

y x

y x

y x

Para determinar el rango de éstas funciones, se debe sustituir cada valor del dominio.

Determina los rangos de las siguientes funciones si el dominio {-3,-2, 0 ,1,2,3}

1

2 2

3 3

4 1

5 2 6

2.

.

.

.

.

y x

y x

y x

y x

y x

Para determinar el rango de éstas funciones, se debe sustituir cada valor del dominio.

Resultados:

1. {-9,-4,0,-1,-4,-9}

2. {-1,0,2,3,4,5}

3. {-9,-6,0,3,6,9}

4. {0,0,1, , ,2}

5. {12,10,6,4,2,0}

2 3

Práctica:

Folleto de Ejercicios de práctica Parte I, II, III

Algebra Glencoe p. 275 (1-31) impares

Cuaderno pág. 36 (1-7) pág. 38

Relación y Función

A. Identificar relaciones que son

funciones por: Gráficas Diagrama

Tabla Pares ordenados

B. Evaluar una función


Def. Relación

Es un conjunto de pares ordenados.

Def. Función

Es una relación en el cuál no hay dos pares ordenados que tengan la

misma coordenada x.

Ejemplo 1:

y x 2Es una función

No hay puntos que tengan la misma coordenada x

Puntos:

(0,0)

(1,1)

(-1,1)

(2,4)

(-2,4)

Ejemplo 2:

y xNo es una función.

Puntos:

(0,0)

(4,2)

(4,-2)

Hay dos puntos que tienen la misma coordenada x.

*

*

Ejemplo 3:

x y x y

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 5

4 -7

Función No Función

-5 -1

-4 -8

3 4

7 4

-5 3

9 11

-5 0

Ejemplo 4:

Determina si el conjunto es una solución si:

a. A = {-5,3),(4,3),(11,-1)}

b. B = {(-5,1),(-1,-6),(-1,-5),(4,-6)}

a. Es una función .

b. No es una función porque hay dos puntos que tienen la misma coordenadas de x.

Ejemplo 5

-3 1 015

Dominio Rango

2

5

6 Es Función

4

3

-2

0

3

5No es función

DominioRango

Evaluando una función:

Si , evalúa:f x x( ) 4 8

)13(

8

3

)2(

af

f

f

Evaluando una función:

Si , evalúa :f x x( ) 4 8

)13(

8

3

)2(

af

f

f = -4(-2) + 8 = 8 + 8 = 16

8

8

34

12

8

64

8

52

86

4

86

1

2

4 3 1 8( )a 12 4 8a 12 4a

Función Par

Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que

f(-x)=f(x). Toda gráfia par es simétrica con respecto al

eje y.

Ejemplo:

Indica si la función es par y gráfica.

f(x) = x2 + 2

Ejemplo:

Indica si la función es par y gráfica.

f(x) = x2 + 2

f(-x) = (-x)2 + 2 = x2 + 2

Si la función es par, entonces f(-x) = f(x)

La función es par.

Gráficaf(x) = x2 + 2 f(-x) = f(x)

Esta gráfica es simétrica con el eje de y.

Función Impar

Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que

f(-x)=-f(x). Toda gráfia impar es simétrica con respecto

al origen.

Ejemplo:

Indica si la función es impar y gráfica.

f(x) = x

Ejemplo:

Indica si la función es impar y gráfica.

f(x) = x

f(-x) = (-x) = -x

Si la función es impar, entonces f(-x) = -f(x)

La función es impar.

Gráficaf(x) = x f(-x) = f(x)

Esta gráfica es simétrica con el eje de y.

Práctica

Determina si las gráficas son pares o impares e indica el por qué.

1

3

4

2

Contestaciones

1. Par; simétrica con el eje de y.

2. Par, simétrica con el eje de y.

3. Impar, simétrica con el origen.

4. Impar, simétrica con el origen.

Indica sin hacer la gráfica si son función par o impar.

x

xxs

xxxt

xxxr

xxxf

xxxP

1)(.5

24)(.4

)(.3

3)(.2

33)(.1

23

3

3

24

Contestaciones.

x

xxs

xxxt

xxxr

xxxf

xxxP

1)(.5

33)(.4

)(.3

3)(.2

4)(.1

24

3

3

3

1. Impar

2. Impar

3. Ninguna

4. Par

5. ninguna

Ejercicios:

Folleto de Ejercicios de Práctica Parte IV -VII

Algebra y Trigonometría Barnett 172-174

p.186-187 (35-48)

Algebra Glencoe p. 266-267 (1-33) impares

Cuaderno p.35 p.36

Función Lineal

Determinar la pendiente de una recta. Hacer gráfica con la pendiente y un punto.Determinar la pendiente de una recta con dos puntos.


Pendiente

Definición:

Razón de cambio vertical con respecto a cambio horizontal.(m)

m =

x

y

horizontalcambio

verticalcambio

y x

Determina la pendiente de la rectaEj. 1

y x

3

3m 1

m

3

31

Determina la pendiente de la rectaEj. 1

y x 2 3

m 2

1 2

Ej. 2

Haz una gráfica con la información dada.

1. (-5,3); m = -2

3

2. (4,5); m = -3

Haz la gráfica con la información dada.

1. (-5,3); m = -2

3

2. (4,5); m = -3

La pendiente con dos puntos:

1. (5,1), (7,-3)

2. (-6,7),(-4,4)

my y

x x

2 1

2 1

1. (5,1), (7,-3)

2. (-6,7),(-4,4)

12

12

xx

yym

13 1

7 5.m

4

2 2

1. (5,1), (7,-3)

2. (-6,7),(-4,4)

my y

x x

2 1

2 1

2. m = 4 - 7 = -3

-4 – (-6) 2

Descubriendo el Intercerpto de Y

Descubrir :

Ecuación lineal en forma standardSignificado de intercepto en yLa pendiente y el intercepto de una recta dada la ecuación.


1. y = 3x + 2

2. y = 2x - 3

3. y = -3x + 2

4. y = -2x + 3

5. y = -3x - 2

A. ¿Qué semejanzas hay en estas ecuaciones?

1. y = 3x + 2

2. y = 2x - 3

3. y = -3x + 2

4. y = -2x + 3

5. y = -3x - 2

A. ¿Qué semejanzas hay en estas ecuaciones?

Todas estan escritas de la forma

y = mx + b, esto es la forma estándar de

una ecuación lineal.

B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones?

1. y = 3x + 2

2. y = 2x - 3

3. y = -3x + 2

4. y = -2x + 3

5. y = -3x - 2

Para saberlo hagamo la gráfica de cada una de ellas.

y = 3x + 2

y = 2x - 3

y = -3x + 2

y = -2x + 3

y = -3x -2


1. y = 3x + 2

2. y = 2x - 3

3. y = -3x + 2

4. y = -2x + 3

5. y = -3x - 2

Pendiente e interceptos son diferentes.


1. y = 3x + 2

2. y = 2x - 3

3. y = -3x + 2

4. y = -2x + 3

5. y = -3x - 2

Llenemos la siguiente tabla para conocer un poco más sobre las diferencias.

pendiente Corte en el eje de y Inclinación positiva/negativa


1. y = 3x + 2

2. y = 2x - 3

3. y = -3x + 2

4. y = -2x + 3

5. y = -3x - 2

Llenemos la siguiente tabla para conocer un poco más sobre las diferencias.

pendiente Corte en el eje de y Inclinación positiva/negativa

3 (0,2)Positiva

2 (0,-3) Positiva

-3 (0,2) Negativa

-2 (0,-3) Negativa

-3 (0,-2) Negativa

Intercepto de y

Cuando la ecuación se escribe de la forma

y = mx + bm = pendiente y b = intercepto en y.

¿Qué es intercepto en y?

Es por donde pasa la recta en el eje de y.

Le das valor a la x de 0.

Ejercicio:

Determina la pendiente y el eje de y para cada ecuación.

1. y = -5x –3

2. y = 2x + 1/5

3. y = -1/2 x

4. y = 3x

5. 3x – 5y = 2

6. 3y = -2x – 1

Ejercicio:

Determina la pendiente y el eje de y para cada ecuación.

1. y = -5x –3

2. y = 2x + 1/5

3. y = -1/2 x

4. y = 3x

5. 3x – 5y = 2

6. 3y = -2x – 1

1. m = -5 b = (0,-3)

2. m = 2 b = (0,1/5)

3. m = -1/2 b = (0,0)

4. m = 3 b = (0,0)

5. m = -3/5 b = (0,-2/5)

6. m = -2/3 b = (0,-1/3)

E. ¿Cuál sería el intercepto en x? ¿Se podría obtener de la ecuación

standard?

El intercepto en x, es cuando se le da el valor de y = 0, ó cuando la recta pasa por el el eje de x.

No, no se puede obtener directamente de la ecuación standard.

¿Cómo se obtendría el intercepto en x?

El intercepto en x se define como el punto donde una recta pasa por el eje de x. Se obtiene cuando le damos valor de y = 0.

Ejemplo: Halla el intercepto de x de la recta que pasa por

y = 3x + 2.

El intercepto en x, NO se puede obtener a simple vista, la forma más fácil de obtener es escribiendo la ecuación en forma standard y le da valor y = 0 .

y – 3x = 2 Si y = 0, obtnemos que x = -2/3

Halla los interceptos de x + 2y = 2.

Si x = 0, obtenemos el intercepto en y.

0 + 2y = 2

y = 1 (0,1)

Si y = 0 , obtnemos el intercepto en x.

x + 2(0) = 2

x = 2 (2,0)

Trabajo:

Folleto de trabajo Parte VIII- XIIIAlgebra Glencoe p. .329 (1-35) impares

Pag. 37 , 41

Laboratorio para descubrir la pendiente e interceptos de rectas horizontales o verticales.

Rectas Horizontales y Verticales


A. Utilizando la calculadora gráfica traza la gráfica de las siguientes ecuaciones y observa la tabla de valores de cada una de ellas.

1. y = 4

2. y = -4

3. y = 2

4. y = -2

5. y = -1/2

A. Utilizando la calculadora gráfica traza la gráfica de las siguientes ecuaciones y observa la tabla de valores de cada una de ellas.

1. y = 4

2. y = -4

3. y = 2

4. y = -2

5. y = -1/2

1. (2,4) ,(0,4),(3,4), (-4,4)…

2. (2,-4), (2,-4), (1,-4)…

3. (0,2),(2,2),(-1,2)…

B. Utilizando un papel cuadriculado y traza la gráfica de las siguientes ecuaciones observa la tabla de valores de cada una de ellas.

1. x = 4

2. x = -4

3. x = 2

4. x = -2

5. x = -1/2

B. Utilizando un papel cuadriculado y traza la gráfica de las siguientes ecuaciones observa la tabla de valores de cada una de ellas.

1. x = 4

2. x = -4

3. x = 2

4. x = -2

5. x = -1/2

1. (4,-1), (4,2), (4,0)…

2. (-4,0),(-4,2), (-4,-1)…

3. (2,4),(2,-1),(2,0)…

A C. Compara las gráficas de la parte A y la parte B. Qué puedes concluir?

A C. Compara las gráficas de la parte A y la parte B. Qué puedes concluir?

Las gráficas de la parte A son gráficas horizontales y las de la parte B son gráficas verticales.

D. Como podrías escribir estas ecuaciones de la forma

estándar?

Parte A:

1. y = 0x + 4

2. y = 0x - 4

3. y = 0x + 2

4. y = 0x – 2

5. y = 0x - 1/2

D. Como podrías escribir estas ecuaciones de la forma

estándar?

Parte A:

1. y = 0x + 4

2. y = 0x - 4

3. y = 0x + 2

4. y = 0x – 2

5. y = 0x - 1/2

Parte B

1. Las gráficas verticales no tienen pendiente y no se podría escribir como forma estándard. Cuando se expresa x = 2 2 es el intercepto en x. (2,0)

E. Encuentra la pendiente y los interceptos de cada una de ellas.

1. x = 42. x = -43. x = 24. x = -25. x = -1/2

E. Encuentra la pendiente y los interceptos de cada una de ellas.

Parte A

1. m = 0 (0,4)

2. m = 0 (0,-4)

3. m = 0 (0,2)

4. m = 0 (0,-2)

5. m = 0 ( 0,-1/2)

Parte B

Las gráficas verticales no tienen pendiente ni intercepto de y.

Ejercicios

Encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una de las siguientes ecuaciones lineales.Determina si es ascendente, descendente, horizontal o vertical.

1. y = 5x – 3

2. y = 4

3. x = 5

4. y = 2x

Ejercicios

Encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una de las siguientes ecuaciones lineales.Determina si es ascendente, descendente, horizontal o vertical.

1. y = 5x – 3

2. y = 4

3. x = 5

4. y = -2x

1. m = 5 ; (0,-3) ascendente

2. m = 0 (0,4) horizontal

3. m= indefinida , no tiene, vertical

4. m = -2, (0,0); descendente

Rectas Paralelas

Grafica

y = 5x

y = 5x – 3

y = 5x + 2

¿Son éstas gráficas paralelas? ¿Qué tienen en común?

Rectas Paralelas

y = 5x

y = 5x – 3

y = 5x + 2

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Rectas Perpendiculares

Grafica:

y = 5x

y =

¿Son éstas gráficas perpendiculares? Observa la pendiente en la ecuación. ¿Qué puedes concluir?

35

1 x

Hallando la ecuación de una recta.

Ejemplo 1:

Halla la ecuación de una recta que es paralela a y = 5x – 3 y pasa por (0,4)


Ejemplo 1:

Halla la ecuación de una recta que es paralela a y = 5x – 3 y pasa por (0,4)

La pendiente de la recta paralela es 5.

Si la ecuación de la recta es y = mx + b, donde m es la pendiente y b el intercepto, entonces obtendrémos:

y = 5x + 4


Ejemplo 2:

Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4)


Ejemplo 2:

Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4)Si la pendiente de la recta es perpendicular a 3, entonces la recta tendrá una pendiente opuesta y recíproca a ésta. Por lo tanto, lo opuesto y recíproco a 3 es: -1/3.

Si tenemos la pendiente un punto (x.,y) obtendrémos entonces el intercepto sustituyendo en

y = mx + b


Ejemplo 2:

Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4)

b3

24

y = mx + b

b )2(3

14

b3

24

b3

24

Entonces la ecuación de la recta perpendicular a

y = 3x – 2 es:

3

24

3

1 xy

Ejercicios

Folleto de trabajo Parte XIIIy XIV

Variación Directa

Se describe mediante la ecuación de la forma:

y = kx donde k ≠ 0

K es la constante de variación y se dice que y varía proporcionalmente con x.

x

yk

El número de galones de agua que uno usa depende directamente del tiempo que uno se demora en ducharse.

x(min) y(galones)

3 18

6 36

9 54

12 72

15 90

La ecuación para esta variación directa sería:

y = 6x

La constante de variación es K.

Por lo tanto en este caso es 6.

¿La ecuación y = 2x expresa una variación directa?

¿La ecuación y = 2x expresa una variación directa?

• Si, porque lo podemos expresar como:

2x

y

La constante de proporcionalidad es -6.

kx

y

k4

16

4k

47

y

y = 28

Variación Inversa

Se describe con una ecuación de la forma :

donde k ≠ 0

K es la contante de variación y se dice que y es inversamente proporcional a x.

x

ky

xyk

Ejemplo:

Escribe una ecuación que describa la relación entre y y x.

y x

-4 -16

-32 -2

256 ¼

128 ½

32 2

16 4

8 8

2 32

½ 128

Ejemplo:

Escribe una ecuación que describa la relación entre y y x.

y x

-4 -16

-32 -2

256 ¼

128 ½

32 2

16 4

8 8

2 32

½ 128

La ecuación sería

xy = 64

Variación Combinadas

Práctica

Folleto de trabajo Parte XVI y XVII

Algebra Glencoe p 243

Referencias:

• Las Funciones

http://www.google.com.pr/search?hl=es&q=las+funciones+sonya&meta=

Technology

Funciones Y Sus GráFicas