ชุดการสอนที่ 4 เรื่อง เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม

2

A B

D EC

A B

C

บตรเนอหาท 4.1 มมภายในรปสามเหลยม

ทฤษฎบท ขนาดของมมภายในทงสามมมของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา ทฤษฎบท ถามมของรปสามเหลยมสองรปใด ๆ มขนาดเทากนสองคแลวมมคทสาม จะมขนาดเทากนดวย จากทฤษฎบท เราสามารถพสจนได ดงน ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใด ๆ ตองการพสจนวา CAB ABC BCA 180 พสจน สราง DE ผานจด C ให DE // AB เนองจาก AC เปนเสนตด DEและAB

DCA CAB (ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวมมแยงมขนาดเทากน) ECB ABC (ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวมมแยงมขนาดเทากน) DCA BCA ECB 180 (ขนาดของมมตรง) CAB BCA ABC 180 (แทน DCAดวยCABและ ECB

ดวย ABC )

ดงนน CAB ABC BCA 180 (สมบตของการเทากน)

3

P Q

R

4575

N

M L

บตรกจกรรมท 4.1 มมภายในรปสามเหลยม

1. ใหนกเรยนท ากจกรรมทก าหนดใหตอไปน โดยใชโปรแกรม GSP สราง

1. สรางรปสามเหลยมหนงรป ก าหนดชอจดแตละจด 2. สรางสวนของเสนตรงผานจดยอดจดหนงใหขนานกนเสนฐาน 3. วดมมทงสามของรปสามเหลยม 4. ค านวณหาผลบวกของมมของรปสามเหลยม 5. น าเสนอและพจารณาการเปลยนแปลง 6. สรปผลการเปลยนแปลงทเกดขน

2. ใหนกเรยนท ากจกรรมทก าหนดใหตอไปน โดยใชโปรแกรม GSP สราง 1. สรางรปสามเหลยม VUW จากรปทก าหนดให 2. วดมมทเหลอของรปสามเหลยมวาเทากนหรอไม 3. สรปผลทเกดขน

4

mBAC mABC mACB mBAC+mABC+mACB

59 55 66 180

สรางรปสามเหล ยมหนงรป ก าหนดชอจดแตละจด

สรางสวนของเสนตรงผานจดยอดจดหนงใหขนานกนเสนฐาน

วดมมทงสามของรปสามเหล ยม

ค านวณหาผลบวกของมมของรปสามเหล ยม

น าเสนอและพจารณาการเปล ยนแปลง

สรปผลการเปล ยนแปลงทเกดขน


mBAC+mABC+mACB = 180

mACB = 66

mABC = 55mBAC = 59

ผลบวกของขนาดของมมทงสามของรปสามเหล ยม เทากบ 180o

6.

5.4.

3.2.

A B

D EC

mMNL = 60.00mVWU = 60.00

mVUW = 45.00

mUVW = 75.00

VU

ถามมของรปสามเหล ยมสองรปใด ๆ มขนาดเทากนสองคแลวมมคทสามจะมขนาดเทากนดวย

mVWU = 60.00mMNL = 60.00

1. สรางรปสามเหล ยม VUW จากรปทก าหนดให

1. สรางเสนตรง

2. สรางมม 75 องศา

3. สรางมม 45 องศา

2 วดมมทเหลอของรปสามเหล ยมวาเทากนหรอไม

3 สรปผลทเกดขน


4575

3.2.

1.1

1.21.3

W

U

N

M L V

เฉลยบตรกจกรรมท 4.1 มมภายในรปสามเหลยม

5

B D

A

C

บตรเนอหาท 4.2 มมภายนอกกบมมภายในรปสามเหลยม

ทฤษฎบท ถาตอดานใดดานหนงของรปสามเหลยมออกไปมมภายนอกทเกดขนจะมขนาดเทากบ ผลบวกของขนาดของมมภายในทไมใชมมประชดของมมภายนอกนน ใหนกเรยนพจารณารปตอไปน ก าหนดให ABC เปนสามเหลยมรปหนงตอ BC ถงจด D

เรยก ACD

วา มมภายนอกของรป ABC

เรยก ACB

วามมประชดของ ACD

เรยก ABC และ BAC

วามมทอยตรงขามมมภายนอก ACD

จงแสดงวา ACD ABC BAC

พสจน เนองจาก ABC BAC ACB 180

(เปนมมภายในรปสามเหลยม รวมกนได 180 องศา)

และ ACB ACD 180

(เปนมมตรง)

ดงนน ACB ACD ABC BAC ACB

(สมบตการถายทอด)

จะได ACD ABC BAC

(สมบตการเทากน เมอน า ACB

ลบทงสองขาง)

6

1.

30

BD C

A

2. 40

A

C

D

B

3.

130

A

D CB

ตอบ ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. 2……………………………………….. ตอบ ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. 2………………………………………..

ตอบ ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. 2……………………………………….. ตอบ ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. 2………………………………………..

A B

C

DE

F

บตรกจกรรมท 4.2 มมภายนอกกบมมภายในรปสามเหลยม

1. จากรปทก าหนดใหตอไปน จงหาขนาดของ A BC

2. ABCDEF เปนรปหกเหลยมใด ๆ จงหาผลบวกของขนาดของมมภายใน ทงหกมมของรปหกเหลยมน

7

1.

30

BD C

A

2. 40

A

C

D

B

3.

130

A

D CB

ตอบ เนองจาก ABC ADB BAD

90 30

120


40 40

80


130 25

155

mFAB mABC mBCD mCDE mDEF mEFA mFAB+mABC+mBCD+mCDE+mDEF+mEFA

120.96 119.93 118.71 117.64 123.37 119.39 720.00

mEFA = 119.39

mDEF = 123.37mCDE = 117.64

mBCD = 118.71

mABC = 119.93

mFAB = 120.96

A B

C

DE

F

ตอบ 1. ลากสวนของเสนตรง AC,AD,AE 2. จะไดรปสามเหลยม 4 รป 3. มมภายในรปสามเหลยมรวมกนได 180 4. ดงนน มมภายในทงหมดจะได

180 4 720

เฉลยบตรกจกรรมท 4.2 มมภายนอกกบมมภายในรปสามเหลยม

1. จากรปทก าหนดใหตอไปน จงหาขนาดของ A BC

2. ABCDEF เปนรปหกเหลยมใด ๆ จงหาผลบวกของขนาดของมมภายใน ทงหกมมของรปหกเหลยมน

8

B C

A

E F

D

บตรเนอหาท 4.3 ความสมพนธของรปสามเหลยมสองรปแบบ มม – มม – ดาน

ทฤษฎบท ถารปสามเหลยมสองรปมมมทมขนาดเทากนสองค และดานคทตรงขามกบ มมคทมขนาดเทากน ยาวเทากนหนงคแลวรปสามเหลยมสองรปนนจะ เทากนทกประการ ใหนกเรยนพจารณารปตอไปน

ก าหนดให ABCและ DEF ม CAB FDE,ABC DEFและBC EF

ตองการพสจน ABC DEF

พสจน เนองจาก CAB FDEและABC DEF

( ก าหนดให)

CAB ABC ACB 180

(ขนาดของมมภายในทงสามมมของ รปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา)

FDE DEF EFD 180

(ขนาดของมมภายในทงสามมมของ รปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา)

จะได CAB ABC ACB FDE DEF EFD

(สมบตการเทากน)

ดงนน ACB EFD

(สมบตการเทากน) และเนองจาก BC EF (ก าหนดให) ดงนน ABC DEF (ความสมพนธแบบ มม – ดาน – มม)

รปสามเหลยมสองรปทมความสมพนธกนแบบทฤษฎบทน เรยกวา มความสมพนธกนแบบ มม – มม – ดาน และบางครงเขยนยอวา ม. ม. ด.

9

45

35

E

C

A B

D

O

Q

P

M

N

บตรกจกรรมท 4.3 ความสมพนธของรปสามเหลยมสองรปแบบ มม – มม – ดาน

1. จากรปก าหนดให MN // PQ และ O เปนจดกงกลางของ NQ จงแสดงวา MNO PQO โดยความสมพนธแบบ ม.ม.ด. พสจน 1. ……………………………….. (……………………………….)

2. ……………………………….. (……………………………….) 3. ……………………………….. (……………………………….) 4. ……………………………….. (……………………………….)

2. จากรปก าหนดให AB//CD,ABE 35 และ ADC 45

จงหาวา A EC

กางกองศา

วธท า ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10

OQ = 4.46 ซม.

NO = 4.46 ซม.

56.02 56.02

81.23

81.23 ซอน การวด

เคล อนท OPQ ทบ NMO

กลบ

ไป

O

Q

P

M

N

45

35

E

C

A

D

B

เฉลยบตรกจกรรมท 4.3 ความสมพนธของรปสามเหลยมสองรปแบบ มม – มม – ดาน

2. จากรปก าหนดให MN // PQ และ O เปนจดกงกลางของ NQ จงแสดงวา MNO PQO โดยความสมพนธแบบ ม.ม.ด. พสจน 1. NMP OPQ (มมแยง)

2. N0M POQ (มมตรงขาม) 3. NO OQ ( O เปนจดกงกลางของ NQ )

4. MNO PQO ( มม – มม – ดาน )

2. จากรปก าหนดให AB//CD,ABE 35 และ ADC 45

จงหาวา A EC

กางกองศา

วธท า 1. CDE BAE 45 (มมแยง)

2. BAE ABE AEC (มมภายนอกกบมมภายในทอยตรงขามกน) จะได 45 35 80

AEC 80

11

y

x

13545

100

110

40

FE

CA

G

H

DB

วธท า ใน BEG จะไดวา BG H G BE BEG

ดงนน 110 40 BEG

BEG 110 40 70

BEG CFH 70

( มมแยง)

CHG HFC FCH

ดงนน 100 70 FCH

FCH 100 70 30

บตรเนอหาท 4.4 การน าสมบตของรปสามเหลยมและเสนขนานไปใชในการแกปญหา

ตวอยางท 1 จงหาขนาดของ x และ y ของรปสามเหลยมทก าหนดให

วธท า เนองจาก X 45 135 (ผลบวกของมมตรงขามภายในรปสามเหลยม กบมมภายนอกจะมขนาดเทากน)

X 135 45 X 90

เนองจากY 135 180 (ขนาดของมมตรง)

Y 180 135 Y 45 ตวอยางท 2 ก าหนดให BE //CF EBG 40 ,BG H 110 และCHG 100

จงหาขนาดของ FCH

12

13080

40

F

E

C

BA

D

160

120

XF

A B

DC E

G

6070

75

E

F

A

DC

B

ตอบ 1……………………………………….. 2……………………………………….. 3……………………………………….. 4……………………………………….. 5……………………………………….. 2………………………………………..

ตอบ 1……………………………………….. 2……………………………………….. 3……………………………………….. 4……………………………………….. 5……………………………………….. 2………………………………………..

ตอบ 1……………………………………….. 2……………………………………….. 3……………………………………….. 4……………………………………….. 5……………………………………….. 2………………………………………..

บตรกจกรรมท 4.4 การน าสมบตของรปสามเหลยมและเสนขนานไปใชในการแกปญหา

1. ก าหนดให AB//CD ถา DCF 40 BEF, 80 ,ABE 130

จงหาขนาดของ CFE

พรอมเขยนขนตอนการหาดวยเปนขอ ๆ

2. ก าหนดให AB//CD ถา DEF 120 ,BG F 160

จงหาคาของ X พรอมเขยนขนตอนการหามาดวยเปนขอ ๆ

3. ก าหนดให AB//CD ถา BEF 60 ,ACF 7 และ5 CAF 70

จงหาขนาดของ AFD,FAE,EFA

พรอมเขยนขนตอนการหามาดวยเปนขอ ๆ

13

mEFG = 50

50

mCFG = 40

13080

40

H

F

E

C

BA

D

G

1. ลาก GF// CD จะไดขนาดของ CFG 40

(เปนมมแยงมขนาดเทากน) 2. ลากเสนตรงตอจด B ไปตด EF ทจด H จะไดขนาดของ EHB 50 EFG (มมภายนอกและมมภายในขางเดยวกนของเสนตด) 3. จะได CFE CFG EFG 40 50 90

1. ลาก FH // AB 2. จาก FH // AB จะได GFH 20

(มมภายในขางเดยวกนรวมกนได 180 ) 3. จาก CD// FH จะไดEFH 60

(มมภายในขางเดยวกนรวมกนได 180 ) 4. จะได x GFH EFH 20 60 80

1. จากรปจะได AFD 70 75 145 2. จะได FAE 180 145 35 3. จะได EFA 180 120 35 25

6020

160

120

XF

A B

DC E

G

H

mEFA = 25mFAE = 35

mAFD = 145

6070

75

E

F

A

DC

B

เฉลยบตรกจกรรมท 4.4 การน าสมบตของรปสามเหลยมและเสนขนานไปใชในการแกปญหา

1. ก าหนดให AB//CD ถา DCF 40 BEF, 80 ,ABE 130

จงหาขนาดของ CFE

พรอมเขยนขนตอนการหาดวยเปนขอ ๆ

2. ก าหนดให AB//CD ถา DEF 120 ,BG F 160

จงหาคาของ X พรอมเขยนขนตอนการหามาดวยเปนขอ ๆ

3. ก าหนดให AB//CD ถา BEF 60 ,ACF 7 และ5 CAF 70

จงหาขนาดของ AFD,FAE,EFA

พรอมเขยนขนตอนการหามาดวยเปนขอ ๆ

Documents

ชุดการสอนที่ 4 เรื่อง เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม