2 Lineare und beschränkte Operatoren¼here... · 58 2 Lineare und beschränkte Operatoren 2 Lineare und beschränkte Operatoren 2.1 Operatoren im Banachraum 2.1.1 Grundbegriﬀe

58 2 Lineare und beschränkte Operatoren

2 Lineare und beschränkte Operatoren

2.1 Operatoren im Banachraum

2.1.1 Grundbegriffe

Definition 2.1 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.

(i) Ein linearer Operator A : X→ Y heißt beschränkt, falls ein c > 0 existiert, so dass für alle x ∈ X

‖Ax‖Y ≤ c ‖x‖X

gilt.

(ii) L(X,Y) = A : X→ Y linearer und beschränkter Operator

(iii) Für A ∈ L(X,Y) nennt man‖A‖ = sup

‖x‖X≤1

‖Ax‖Y

die Operatornorm von A.

Bemerkung : • A : X→ Y linear ⇐⇒ ∀ x, y ∈ X ∀ λ, µ ∈ K : A (λx+ µy) = λAx + µAy

• falls X = Y: L(X) := L(X,X)

• weitere Schreibweisen in (iii): ‖A‖ = ‖A‖L(X,Y) = ‖A‖X→Y für A ∈ L(X,Y)

Satz 2.2 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume, A : X → Y linear. Dann sind folgendeAussagen äquivalent:

(i) A ist beschränkt

(ii) A ist Lipschitz-stetig

(iii) A ist gleichmäßig stetig

(iv) A ist stetig

(v) Es existiert ein x0 ∈ X, so dass A in x0 stetig ist

(vi) ‖A‖ = sup‖x‖X≤1

‖Ax‖Y <∞

Be w e i s : (i) ⇒ (ii) seien x, z ∈ X y ‖Ax−Az‖Y =linear

‖A(x− z)‖Y ≤beschränkt

c ‖x− z‖X

(ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (v) klar

(v) ⇒ (vi) ∃ δ = δ(x0) > 0 ∀ x ∈ X, ‖x− x0‖X < δ : ‖Ax−Ax0‖Y < 1

sei x ∈ X, ‖x‖X ≤ 1 y∥∥x0 +

δ2x− x0

∥∥X≤ δ

2 < δ ==⇒s.o.

δ2 ‖Ax‖Y =

∥∥A

(x0 +

δ2x

)−Ax0

∥∥Y

< 1

y ∀ x ∈ X, ‖x‖X ≤ 1 : ‖Ax‖Y < 2δ <∞

(vi) ⇒ (i) sei x ∈ X, x 6= 0 y ‖Ax‖Y =∥∥∥A

(x

‖x‖X

)∥∥∥Y‖x‖X ≤ sup

‖z‖X≤1

‖Az‖Y‖x‖X = ‖A‖‖x‖X

2.1 Operatoren im Banachraum 59

Satz 2.3 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.

(i) Für A ∈ L(X,Y) gilt

‖A‖ = sup‖x‖X≤1

‖Ax‖Y = supx 6=0

‖Ax‖Y‖x‖X

= sup‖x‖X=1

‖Ax‖Y

= infc > 0 : ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ c ‖x‖X

(ii) Falls Y ein Banachraum ist, so auch L(X,Y).

(iii) Sind [W, ‖ · ‖W] ein normierter Raum, A ∈ L(X,Y), B ∈ L(Y,W), so gilt B A ∈ L(X,W) mit

‖B A‖L(X,W) ≤ ‖B‖L(Y,W)‖A‖L(X,Y)

Be w e i s : zu (i):

supx 6=0

‖Ax‖Y‖x‖X

≤ supx 6=0

∥∥∥∥A

(x

‖x‖X

)∥∥∥∥Y

= sup‖z‖X=1

‖Az‖Y ≤ sup‖z‖X≤1

‖Az‖Y = ‖A‖ ≤ sup0<‖z‖X≤1

1

‖z‖X︸︷︷︸

≥1

‖Az‖Y

≤ supz 6=0

‖Az‖Y‖z‖X

y ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ ‖A‖‖x‖X y infc > 0 : ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ c ‖x‖X ≤ ‖A‖

g.z.z.: ∀ c ∈ (0, ‖A‖) ∃ x0 ∈ X : ‖Ax0‖Y > c ‖x0‖X

c < ‖A‖ = supx 6=0

‖Ax‖Y‖x‖X

==⇒sup∃ x0 ∈ X, x0 6= 0 : c <

‖Ax0‖Y‖x0‖X

≤ ‖A‖ y ∃ x0 ∈ X\0 : ‖Ax0‖Y > c‖x0‖X

zu (ii): ‖ · ‖L(X,Y) Norm auf L(X,Y) X; n.z.z.: Vollständigkeit von L(X,Y)

sei (Ak)k ⊂ L(X,Y) mit ‖Ak −Am‖ −−−−−→k,m→∞

0 y ‖Akx−Amx‖Y ≤ ‖Ak −Am‖‖x‖X −−−−−→k,m→∞

0, x ∈ X

y (Akx)k ⊂ Y Cauchy-Folge für alle x ∈ X =======⇒Y vollständig

∃ y = yx ∈ Y : limk→∞

Akx = yx =: Ax, x ∈ X

y A : X→ Y, A linear,

‖(A−Am)x‖Y = limk→∞

‖Akx−Amx‖Y ≤ lim infk→∞

‖Ak −Am‖‖x‖X −−−−→m→∞

0

y A−Am ∈ L(X,Y) y A ∈ L(X,Y), limm→∞

‖A−Am‖ = 0

zu (iii): x ∈ X y Ax ∈ Y y (B A)x = B(Ax) ∈W,

‖(B A)x‖W ≤ ‖B‖L(Y,W)‖Ax‖Y ≤ ‖B‖L(Y,W)‖A‖L(X,Y)‖x‖X

Bemerkung : X Banachraum y L(X) Banachraum mit Einselement idX→X ∈ L(X)

Beispiele : (a) dimX <∞, A : X→ Y linear =⇒ A ∈ L(X,Y):dimX = m y ∃ ξi ∈ X : X = spanξ1, . . . , ξm

y ∀ x ∈ X ∃ λj ∈ K : x =m∑

j=1

λjξj ====⇒A linear

Ax =m∑

j=1

λj

∈Y︷︸︸︷

Aξj ∈ Y,

‖Ax‖Y ≤m∑

j=1

|λj |‖Aξj‖Y ≤ maxj=1,...,m

‖Aξj‖Ym∑

j=1

|λj |︸︷︷︸

≤ c‖x‖X, Satz 1.22

y ∃ c > 0 ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ c maxj=1,...,m

‖Aξj‖Y ‖x‖X = C‖x‖X y A ∈ L(X,Y)


Beispiele : (b) Matrix-Operator A ←→ a = (ajk)j,k∈N ∈ ℓ2(N× N), X = Y = ℓ2(N)

x = (xk)k ∈ ℓ2(N) y Ax = ((Ax)j)j∈N mit (Ax)j =∞∑

k=1

ajkxk, j ∈ N

y |(Ax)j | ≤Hölder

( ∞∑

k=1

|ajk|2) 1

2 ‖x‖2, j ∈ N

y ‖Ax‖2 =( ∞∑

j=1

|(Ax)j |2) 1

2 ≤ ‖x‖2( ∞∑

j=1

∞∑

k=1

|ajk|2) 1

2

︸︷︷︸

‖a|ℓ2(N×N)‖

= ‖x‖2 ‖a|ℓ2(N× N)‖

y A ∈ L(ℓ2(N)), ‖A‖ ≤ ‖a|ℓ2(N× N)‖

(c) X = Y = C[0, 1], sei ϕ ∈ C[0, 1]; Multiplikationsoperator Mϕ : f 7→ ϕf

y Mϕ linear, ‖Mϕf‖∞ ≤ ‖ϕ‖∞‖f‖∞ y ‖Mϕ‖ ≤ ‖ϕ‖∞ y Mϕ ∈ L(C[0, 1])f0 ≡ 1 ∈ C[0, 1] y ‖Mϕf0‖∞ = ‖ϕ‖∞ =⇒

inf‖Mϕ‖ ≥ ‖ϕ‖∞ y ‖Mϕ‖ = ‖ϕ‖∞

analog: Mϕ : Lp(Ω)→ Lp(Ω) mit ϕ ∈ L∞(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞

(d) X = Y = Lp(Rn), 1 ≤ p <∞, sei ϕ ∈ L1(Rn); Faltungsoperator Kϕ : f 7→ ϕ ∗ f=====⇒Satz 1.83

Kϕ ∈ L(Lp(Rn)), ‖Kϕ‖ ≤ ‖ϕ|L1(Rn)‖

(e) Y = K, L(X,K) lineare Funktionale

seien X = C[0, 1], ϕ ∈ C[0, 1], betrachten

A : C[0, 1]→ K, Af = f(0) y A ∈ L(C[0, 1],K), ‖A‖ = sup‖f‖∞≤1

|Af | = 1

Bϕ : C[0, 1]→ K, Bϕf =

∫ 1

0

f(x)ϕ(x) dx y Bϕ linear,

‖Bϕ‖ = sup‖f‖∞≤1

|Bϕf | ≤ ‖ϕ|L1(0, 1)‖

Es gilt: ‖Bϕ‖ = ‖ϕ|L1(0, 1)‖: sei ε > 0 ======⇒ϕ ∈ C[0, 1]

ϕε(x) =ϕ(x)

|ϕ(x)| + ε∈ C[0, 1],

‖ϕε‖∞ < 1

Bϕϕε =

1∫

0

|ϕ(x)|2|ϕ(x)| + ε

dx

︸︷︷︸

=|Bϕϕε|, da ≥0

>

1∫

0

|ϕ(x)|2 − ε2

|ϕ(x)|+ εdx =

1∫

0

(|ϕ(x)| − ε) dx = ‖ϕ|L1(0, 1)‖ − ε

y ‖Bϕ‖ = sup‖f‖∞≤1

|Bϕf | ≥ supε>0|Bϕϕε| = ‖ϕ|L1(0, 1)‖ − inf

ε>0ε = ‖ϕ|L1(0, 1)‖

(f) X = C1[0, 1], Y = C[0, 1], Differentialoperator D =

d

dx: f 7→ f ′ y D linear,

‖Df |C[0, 1]‖ = supx∈[0,1]

|f ′(x)| ≤ supx∈[0,1]

|f(x)|+ supx∈[0,1]

|f ′(x)| = ‖f |C1[0, 1]‖

y D ∈ L(C1[0, 1],C[0, 1]), ‖D‖ ≤ 1

analog: Dm =∑

|α|≤m

aαDα : C

m(Ω)→ C(Ω), aα ∈ K, m ∈ N, ‖Dm‖ ≤ sup

|α|≤m

|aα|


Bemerkung : betrachten X = C1[0, 1] ⊂ C[0, 1] Teilraum mit ‖f‖∞ = sup

x∈[0,1]

|f(x)| y D 6∈ L(X,C[0, 1]):

fn(x) = xn ∈ X, n ∈ N, ‖fn‖X = ‖fn‖∞ = 1, ‖Dfn‖∞ = supx∈[0,1]

nxn−1 = n = n‖fn‖∞y ‖D‖ ≥ n −−−−→

n→∞∞

Beispiel : (g) Verallgemeinerung von (d): X = Y = C[0, 1], sei k : [0, 1]× [0, 1] → K mit k ∈ C([0, 1]2);Fredholmscher Integraloperator

(Kf)(x) =

∫ 1

0

k(x, y)f(y) dy, f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1]

Kf ∈ C[0, 1]: k(·, y) ∈ C[0, 1] y k(·, y) gleichmäßig stetig für alle y ∈ [0, 1]

y |Kf(x)−Kf(x′)| ≤∫ 1

0

|k(x, y)− k(x′, y)|︸︷︷︸

<ε, |x−x′|<δ

|f(y)|︸︷︷︸

<‖f‖∞

dy < ε‖f‖∞ für |x− x′| < δ

y K : C[0, 1]→ C[0, 1] linear, ‖Kf‖∞ ≤ ‖f‖∞ supx∈[0,1]

∫ 1

0

|k(x, y)| dy︸︷︷︸

≤‖k‖C([0,1]2)

≤ c‖f‖∞

y K ∈ L(C[0, 1]), sowie

‖K‖ = sup‖f‖∞≤1

‖Kf‖∞ = sup‖f‖∞≤1

supx∈[0,1]

|Kf(x)|

= supx∈[0,1]

sup‖f‖∞≤1

|Kf(x)|︸︷︷︸

‖Bϕ‖ mit ϕ=k(x,·) aus (e)

= supx∈[0,1]

‖k(x, ·)|L1(0, 1)‖ = supx∈[0,1]

∫ 1

0

|k(x, y)| dy

analog: k ∈ L2((0, 1)2) 99K K ∈ L(L2(0, 1)), ‖K‖L(L2(0,1)) ≤

∥∥k|L2((0, 1)

2)∥∥

Satz 2.4 Seien D ⊂ X ein dichter Teilraum und Y ein Banachraum. Dann gibt es für jeden OperatorA ∈ L(D,Y) genau eine stetige Fortsetzung A ∈ L(X,Y), d.h. mit A|D = A. Es gilt

∥∥A

∥∥L(D,Y)

=∥∥A

∥∥L(X,Y)

.

Be w e i s : Konstruktion von A : X→ Y: sei x ∈ X =======⇒D ⊂ X dicht

∃ (xk)k ⊂ D : ‖x− xk‖X −−−−→k→∞

0

y ‖Axk −Axm‖Y ≤ ‖A‖L(D,Y)‖xk − xm‖X −−−−−→k,m→∞

0 y (Axk)k ⊂ Y Cauchyfolge =====⇒Y Banach

∃ yx ∈ Y :

Axk −−−−→k→∞

yx =: Ax

A : X→ Y wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Auswahl der Folge: sei (ξk)k ⊂ D mit ‖ξk − x‖X −−−−→k→∞

0

y ∃ ηx ∈ Y : Aξk −−−−→k→∞

ηx

y ‖yx − ηx‖Y ≤ ‖yx −Axk‖Y︸︷︷︸

<ε, k≥k1

+ ‖Axk −Aξk‖Y︸︷︷︸

≤ ‖A‖L(D,Y)‖xk − ξk‖X

< ε, k ≥ k2

+ ‖Aξk − ηx‖Y︸︷︷︸

<ε, k≥k3

< 3ε für k ≥ k0 y yx = ηx = Ax

A|D = A: wählen xk ≡ x ∈ D y Ax = limk→∞

Axk = Ax

Eindeutigkeit: seien B ∈ L(X,Y) mit B|D = A, x ∈ X y ∃ (xk)k ⊂ D ⊂ X, xk −−−−→k→∞

x

y Bx = B( limk→∞

xk) =B stetig

limk→∞

Bxk =xk ∈ D

limk→∞

Axk =nach Def.

Ax y B = A auf X


∥∥A

∥∥L(D,Y)

=∥∥A

∥∥L(X,Y)

:

∥∥A

∥∥L(X,Y)

= supx∈X,‖x‖X≤1

∥∥Ax

∥∥Y= sup

x∈X,‖x‖X≤1

limk→∞

∥∥Axk

∥∥Y≤ sup

x∈X,‖x‖X≤1

∥∥A

∥∥L(D,Y)

limk→∞

‖xk‖X︸︷︷︸

‖x‖X

=∥∥A

∥∥L(D,Y)

= supx∈D,‖x‖X≤1

∥∥Ax

∥∥Y

︸︷︷︸

=‖Ax‖Y, x∈D

≤D ⊂ X

supx∈X,‖x‖X≤1

∥∥Ax

∥∥Y=

∥∥A

∥∥L(X,Y)

2.1.2 Lineare Funktionale und Dualraum

Definition 2.5 Sei [X, ‖ · ‖X] ein normierter Vektorraum. Dann nennt man A ∈ L(X,K) ein lineares Funk-tional auf X und X′ = L(X,K) Dualraum zu X.

Bemerkung : Satz 2.3(ii) ===⇒Y = K

X′ Banachraum mit ‖A‖ = sup‖x‖X≤1

|Ax|, A ∈ X′ = L(X,K)

Schreibweise: X → Y (stetige Einbettung) ⇐⇒ idX→Y ∈ L(X,Y) ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ x ∈ X : ‖x‖Y ≤ c‖x‖X

Lemma 2.6 Falls X → Y dicht ist, so folgt Y′ → X′ in dem Sinn, dass für alle ϕ ∈ Y′ gilt ϕ|X ∈ X′.

Be w e i s : ϕ ∈ Y′ = L(Y,K) ====⇒X → Y

ϕ|X = ϕ idX→Y ∈ L(X,K) = X′ linear und beschränkt; Eindeutig-

keit von ϕ|X folgt aus Satz 2.4;sei ϕ ∈ Y′, x ∈ X → Y y

∣∣ϕ|X(x)

∣∣ = |ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖Y′‖x‖Y ≤ c‖ϕ‖Y′‖x‖X y ϕ|X ∈ X′, ‖ϕ|X‖X′ ≤ c ‖ϕ‖Y′

Erinnerung: [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] isometrisch-isomorph ⇐⇒ ∃ L : X→ Y linear, isometrisch, surjektiv⇐⇒ ∃ L : X→ Y ∀ x ∈ X : ‖Lx‖Y = ‖x‖X ∧ L(X) = Y (Def. 1.9)

Schreibweise: X ∼= Y

Satz 2.7 Seien 1 < p <∞, und p′ gegeben durch 1p + 1

p′ = 1. Dann sind

(ℓp(N))′ ∼= ℓp′(N) isometrisch-isomorph, mit ‖η‖p′ = sup

‖x‖p≤1

∣∣∣

∞∑

k=1

xkηk

∣∣∣.

Be w e i s : 1. Schritt: betrachten Isomorphismus L : ℓp′(N)→ (ℓp(N))′, y 7→ Ly = ϕy mit

ϕy(x) =∞∑

k=1

xkyk, x ∈ ℓp(N), für y ∈ ℓp′(N)

sei y ∈ ℓp′(N), z.z.: ϕy ∈ ℓp′(N); klar: ϕy : ℓp(N)→ K linear; ϕy beschränkt:

x ∈ ℓp(N) y |ϕy(x)| =∣∣∣

∞∑

k=1

xkyk

∣∣∣ ≤

Hölder‖x‖p ‖y‖p′ ====⇒

sup‖x‖p≤1

‖ϕy‖(ℓp(N))′ ≤ ‖y‖p′

y ϕy ∈ (ℓp(N))′ für y ∈ ℓp′(N), L injektiv, ‖Ly‖(ℓp(N))′ ≤ ‖y‖p′

2. Schritt: sei ϕ ∈ (ℓp(N))′ beliebig, betrachten L−1 : (ℓp(N))′ → ℓp′(N), ϕ 7→ L−1ϕ = η ⇐⇒ ϕ = Lη =

ϕη, d.h. suchen η ∈ ℓp′(N) mit ϕ(x) =∞∑

k=1

xkηk, x ∈ ℓp(N), sowie ‖η‖p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′


sei ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , ), k ∈ N, kanonische Basis in ℓp(N), d.h. ekj = δj,k =

1, k = j

0, k 6= j

x ∈ ℓp(N) y x =

∞∑

k=1

xkek,

∥∥∥x−

m∑

k=1

xkek∥∥∥p=

( ∞∑

k=m+1

|xk|p) 1

p −−−−→m→∞

0

=========⇒ϕ linear & stetig

ϕ(x) =

∞∑

k=1

xk ϕ(ek)

︸︷︷︸=:ηk

=

∞∑

k=1

xkηk (16)

n.z.z.: η ∈ ℓp′(N), ‖η‖p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′

betrachten (ξm)m∈N mit ξmk =

|ηk|p′

ηk, ηk 6= 0 ∧ k ≤ m,

0, sonst

y ξm ∈ ℓp(N), m ∈ N ==⇒(16)

ϕ(ξm) =m∑

k=1

|ηk|p′

ηk︸︷︷︸

ξk

ηk =

m∑

k=1

|ηk|p′

︸︷︷︸

≥0

= |ϕ(ξm)|

ym∑

k=1

|ηk|p′

= |ϕ(ξm)| ≤ϕ ∈ (ℓp(N))

′‖ϕ‖(ℓp(N))′‖ξm‖p

= ‖ϕ‖(ℓp(N))′( m∑

k=1

|ηk|(p′−1)p

) 1p

=p(p′ − 1) = p′

‖ϕ‖(ℓp(N))′( m∑

k=1

|ηk|p′) 1

p

≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′‖η‖p′−1

p′

====⇒m → ∞

∞∑

k=1

|ηk|p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′‖η‖p

′−1p′ ⇐⇒ ‖η‖p

′

p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′‖η‖p′−1

p′

y ‖η‖p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′

y η ∈ ℓp′(N), η = L−1ϕ ⇐⇒ ϕ = Lη = ϕη mit ηk = ϕ(ek), k ∈ N, ‖η‖p′ ≤ ‖ϕη‖(ℓp(N))′ ≤1. Schritt

‖η‖p′

y L Isometrie

Übung II-4 : In welchem Sinn gelten folgende Aussagen?(a)

(ℓ1(N)

)′= ℓ∞(N) (b)

(c0(N)

)′= ℓ1(N) (c)

(c(N)

)′= ℓ1(N)

Bemerkung : • Es ist ℓ1(N) ( (ℓ∞(N))′.

• p = 2 = p′ ====⇒Satz 2.7

(ℓ2(N))′ ∼= ℓ2(N)

Satz 2.8 Seien [Ω,A, µ] ein σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, 1 ≤ p <∞, und p′ gegeben durch 1p + 1

p′ = 1.Dann sind

(Lp(A, µ))′ ∼= Lp′(A, µ) isometrisch-isomorph,

wobei

L : Lp′(A, µ) → (Lp(A, µ))′, f 7→ Lf , Lf(g) =

∫

A

f(x)g(x) dµ(x), g ∈ Lp(A, µ),

der isometrische Isomorphismus ist.

Be w e i s : nur teilweise, siehe [Wer00, Satz II.2.4]; betrachten L : f 7→ Lf , f ∈ Lp′(A, µ), 1 < p <∞


sei g ∈ Lp(A, µ) ===⇒Hölder

|Lf(g)| ≤ ‖f |Lp′(A, µ)‖‖g|Lp(A, µ)‖ ==⇒sup

‖Lf‖(Lp(A,µ))′ ≤ ‖f |Lp′(A, µ)‖y Lf injektiv

z.z.: ‖f |Lp′(A, µ)‖ = ‖Lf‖(Lp(A,µ))′ = sup‖g|Lp(A,µ)‖=1

|Lf(g)|

y g.z.z.: ∃ g ∈ Lp(A, µ), ‖g|Lp(A, µ)‖ = 1 : |Lf (g)| = ‖f |Lp′(A, µ)‖

sei f ∈ Lp′(A, µ), o.B.d.A. f 6= 0, setzen g(x) =f(x)

|f(x)|( |f(x)|‖f |Lp′(A, µ)‖

) p′

p

y ‖g|Lp(A, µ)‖ =( ∫

A

|f(x)|p′

‖f |Lp′(A, µ)‖p′ dµ(x)) 1

p

= 1

sowie

|Lf(g)| =∣∣∣∣

∫

A

f(x)f(x)

|f(x)|( |f(x)|‖f |Lp′(A, µ)‖

) p′

p

︸︷︷︸

g(x)

dµ(x)

∣∣∣∣

=

∫

A

|f(x)| p′

p +1

‖f |Lp′(A, µ)‖ p′

p

dµ(x) =p′

p + 1 = p′

1

‖f |Lp′(A, µ)‖ p′

p

∫

A

|f(x)|p′

dµ(x)

︸︷︷︸

‖f |Lp′(A,µ)‖p′

= ‖f |Lp′(A, µ)‖

==⇒sup

‖Lf‖(Lp(A,µ))′ ≥ ‖f |Lp′(A, µ)‖

==⇒s.o.‖Lf‖(Lp(A,µ))′ = ‖f |Lp′(A, µ)‖

Bemerkung : • Lp′(A, µ) →(Lp(A, µ)

)′, 1 ≤ p ≤ ∞, Interpretation:

f ∈ Lp′(A, µ) 7→ Lf ∈(Lp(A, µ)

)′mit Lf (g) =

∫

A

f(x)g(x) dµ(x), g ∈ Lp(A, µ)

und ‖f |Lp′(A, µ)‖ = ‖Lf‖(Lp(A,µ)

)′ = sup‖g|Lp(A,µ)‖≤1

∣∣∣

∫

A

f(x)g(x) dµ(x)∣∣∣

• L1(A, µ) →(L∞(A, µ)

)′echter Teilraum, d.h.

Lp′(A, µ) =(Lp(A, µ)

)′(Interpretation) ⇐⇒ 1 ≤ p <∞

• später: Satz von Hahn-Banach 99K Fortsetzung linearer stetiger Funktionale von Teil-raum U ⊂ X auf X

• H Hilbertraum y H ∼= (H)′; siehe H = ℓ2(N), H = L2(A, µ)

Ergänzung: Räume von Maßen

Ω = [Ω, d] metrischer Raum, A σ-Algebra der Borelmengen über Ω; betrachten signierte (oder komplexe)Maße µ : A→ R (oder C) über [Ω,A], sowie deren Variation,

|µ|(A) = sup

∑

B∈Z|µ(B)| : Z Zerlegung von A in endlich viele disjunkte Mengen B ∈ A

y M(Ω) = M(Ω,A) = µ : |µ| reguläres Borel-Maß über [Ω,A] ist mit der Variationsnorm ‖µ‖ = |µ|(Ω)ein Banachraum


Satz 2.9 (Rieszscher Darstellungssatz)Seien Ω ein kompakter metrischer Raum, M(Ω) der Raum der regulären Borelmaße auf Ω. Dann sind

(C(Ω))′ ∼= M(Ω) isometrisch-isomorph,

wobei

L : M(Ω) → (C(Ω))′, µ 7→ Lµ, Lµ(g) =

∫

Ω

g dµ, g ∈ C(Ω),

der isometrische Isomorphismus ist.

Be w e i s : siehe [Wer00, Satz II.2.5]

2.1.3 Kompakte Operatoren und inverse Abbildungen

Definition 2.10 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.

(i) Ein linearer Operator A : X → Y heißt kompakt, falls das Bild jeder in X beschränkten Menge in Ypräkompakt ist.

(ii) K(X,Y) = A : X→ Y linearer und kompakter Operator

Bemerkung : UX = x ∈ X : ‖x‖X ≤ 1 y A ∈ K(X,Y) ⇐⇒ A(UX) präkompakt in Y ⇐⇒ A(UX)kompakt in Y

Beispiele : (i) X = Lipb(I), Y = Lipa(I), I ⊂ R kompakt, 0 < a < b < 1

====⇒ÜA I-13

idX→Y ∈ K(Lipb(I),Lipa(I))

(ii) X = C1[0, 1] mit ‖f |C1[0, 1]‖ = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞, Y = C[0, 1] mit ‖ · ‖∞

====⇒ÜA I-15

idX→Y ∈ K(C1[0, 1],C[0, 1])

Satz 2.11 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.

(i) Es gilt K(X,Y) ⊂ L(X,Y), d.h. jeder kompakte Operator ist beschränkt.

(ii) A ∈ K(X,Y) ⇐⇒ ∀ (xn)n ⊂ X, ‖xn‖X ≤ c ∃ (xnk)k ⊂ (xn)n : (Axnk

)k konvergent in Y

(iii) Für dimX <∞ oder dimY <∞ und A ∈ L(X,Y) gilt A ∈ K(X,Y).

(iv) Sind [W, ‖ · ‖W] ein normierter Raum, A ∈ L(X,Y), B ∈ K(Y,W), oder A ∈ K(X,Y), B ∈ L(Y,W),so folgt B A ∈ K(X,W).

(v) Falls Y ein Banachraum ist, so auch K(X,Y) als abgeschlossener Teilraum von L(X,Y).

Be w e i s : zu (i): A ∈ K(X,Y) =====⇒Def. 2.10

A(UX) = Ax : x ∈ X, ‖x‖X ≤ 1 präkompakt

=======⇒Folg. 1.16(ii)

A(UX) beschränkt y ‖A‖ = supx∈UX

‖Ax‖Y <∞ ====⇒Satz 2.2

A ∈ L(X,Y)

zu (ii): =⇒ unmittelbare Folge aus Definition 1.15

⇐= sei Ω ⊂ X beschränkt, z.z.: A(Ω) präkompakt in Y, d.h.

∀ (yn)n ⊂ A(Ω) ⊂ Y ∃ (ynk)k ⊂ (yn)n ∃ y ∈ Y : ynk

−−−−→k→∞

y

(yn)n ⊂ A(Ω) y ∀ n ∈ N ∃ xn ∈ Ω : yn = Axn y ∃ (xn)n ⊂ Ω beschränkt ==⇒Vor.

∃ (xnk)k ⊂ (xn)n:

(Axnk)k konvergent in Y =======⇒

ynk= Axnk

∃ (ynk)k ⊂ (yn)n ∃ y ∈ Y : ynk

−−−−→k→∞

y


zu (iii): sei dimX < ∞, Ω ⊂ X beschränkt =======⇒Satz 1.23(ii)

Ω präkompakt =======⇒A ∈ L(X,Y)

A(Ω) präkompakt

(analog zu Argument für (ii))

sei dimY <∞: Ω ⊂ X beschränkt =======⇒A ∈ L(X,Y)

A(Ω) ⊂ Y beschränkt =======⇒Satz 1.23(ii)

A(Ω) präkompakt

zu (iv): nach Satz 2.3(iii) y B A ∈ L(X,W); sei Ω ⊂ X beschränkt

Ω ⊂ X beschränkt in X y

A(Ω) beschränkt in Y, falls A ∈ L(X,Y)A(Ω) präkompakt in Y, falls A ∈ K(X,Y)

y

B(A(Ω)) präkompakt in W, falls A ∈ L(X,Y), B ∈ K(Y,W)

B(A(Ω)) präkompakt in W, falls A ∈ K(X,Y), B ∈ L(Y,W)

y (B A)(Ω) präkompakt in W y B A ∈ K(X,W)

zu (v): sei (An)n ⊂ K(X,Y) ⊂ L(X,Y) mit ‖Ak − Am‖ −−−−−→k,m→∞

0 ======⇒Satz 2.3(ii)

∃ A ∈ L(X,Y) :

‖An −A‖ −−−−→n→∞

0; z.z.: A ∈ K(X,Y)

verwenden (ii): sei (xn)n ⊂ X mit ‖xn‖X ≤ C, z.z.: ∃ (xnk)k ⊂ (xn)n ∃ y ∈ Y : Axnk

−−−−→k→∞

y

(xn)n beschränkt in X ==========⇒A1 ∈ K(X,Y), (ii)

∃ (x1n)n ⊂ (xn)n ∃ y1 ∈ Y : A1x

1n −−−−→n→∞

y1

==========⇒A2 ∈ K(X,Y), (ii)

∃ (x2n)n ⊂ (x1

n)n ∃ y2 ∈ Y : A2x2n −−−−→n→∞

y2

==========⇒Iteration

∀ k ∈ N ∃ (xkn)n ⊂ (xk−1

n )n ∃ yk ∈ Y : Akxkn −−−−→n→∞

yk

betrachten Diagonalfolge (xkk)k ⊂ (xj

n)n, k ≥ j y Ajxkk −−−−→

k→∞yj , k ≥ j (17)

sei ε > 0 ============⇒‖An − A‖ −−−−→

n→∞0∃ n0 = n0(ε) ∀ n ≥ n0 : ‖An −A‖ < ε

y ‖Axkk −Axm

m‖Y ≤ ‖Axkk −An0x

kk‖Y

︸︷︷︸

≤‖A−An0‖2C<2Cε

+ ‖An0xkk −An0x

mm‖Y

︸︷︷︸

<ε, k≥m≥m0, (17)

+ ‖An0xmm −Axm

m‖Y︸︷︷︸

≤‖A−An0‖2C<2Cε

< c′ε für k ≥ m ≥ m0(ε, n0)

y (Axkk)k ⊂ Y Cauchy-Folge ========⇒

Y Banachraum∃ y ∈ Y : Axk

k −−−−→k→∞

y

Bemerkung : alternativer Beweis von (v) auf Basis von Satz 1.17: konstruieren für A ∈ L(X,Y) für jedesε > 0 endliches ε-Netz mittels der endlichen ε-Netze für jedes Ak ∈ K(X,Y), k ∈ N

Bezeichnungen:

• Für A : X→ Y bezeichne D(A) ⊆ X das Definitionsgebiet,

R(A) = A(X) = y ∈ Y : ∃ x ∈ X : Ax = y ⊂ Y

den Werte-/Bildbereich, sowie rank(A) = dimR(A). Zudem sei

N(A) = x ∈ X : Ax = 0

der Nullraum von A.

• F(X,Y) = A ∈ L(X,Y) : rank(A) < ∞ Operatoren mit endlich-dimensionalem Bild (finite-rankoperators); Satz 2.11(iii) y F(X,Y) ⊂ K(X,Y)

Folgerung 2.12 Seien [X, ‖ · ‖X] ein normierter Raum, [Y, ‖ · ‖Y] ein Banachraum, A ∈ L(X,Y). Falls eineFolge von Operatoren (Ak)k ⊂ L(X,Y) existiert, für die gilt rank(Ak) ≤ nk <∞, sowie ‖A−Ak‖ −−−−→

k→∞0,

so ist A ∈ K(X,Y).


B e w e i s : Ak ∈ L(X,R(Ak)), rank(Ak) <∞ =======⇒Satz 2.11(iii)

Ak ∈ K(X,R(Ak))

=======⇒R(Ak) ⊂ Y

Ak ∈ K(X,Y), k ∈ N, ‖Ak −A‖ −−−−→k→∞

0 =======⇒Satz 2.11(v)

A ∈ K(X,Y)

Bemerkung : • Folgerung 2.12 ⇐⇒ F(X,Y) ⊆ K(X,Y)

• i.a. gilt: F(X,Y) ( K(X,Y)

• F(X,Y) = K(X,Y), falls X,Y spezielle “Approximationseigenschaft” besitzen

• Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, C(K), c0, ℓp, 1 ≤ p <∞, haben (metrische) Approximationsei-genschaft [Wer00, Kor. II.3.6]; es gibt Räume ohne Approximationseigenschaft [Enf73],[Pie78, Thm. 10.4.7].

• später: X = H1, Y = H2 Hilberträume y F(X,Y) = K(X,Y)

Beispiel : Matrix-Operator A ←→ a = (ajk)j,k∈N ∈ ℓ2(N× N), X = Y = ℓ2(N)

x = (xk)k ∈ ℓ2(N) y Ax = ((Ax)j)j∈N mit (Ax)j =∞∑

k=1

ajkxk, j ∈ N

früher (Beispiel (b)): A ∈ L(ℓ2(N)), ‖A‖ ≤ ‖a|ℓ2(N× N)‖

zeigen: A ∈ K(ℓ2(N))

betrachten An : ℓ2(N)→ ℓ2(N) mit (Anx)j =

∞∑

k=1

ajkxk = (Ax)j , j ≤ n

0, j > n

y rank(An) ≤ n =======⇒Satz 2.11(iii)

An ∈ K(ℓ2(N)); außerdem:

‖Anx−Ax‖2 =( ∞∑

j=1

|(Anx)j − (Ax)j |2) 1

2

=( ∞∑

j=n+1

∣∣

∞∑

k=1

ajkxk

∣∣2

︸︷︷︸

≤‖x‖22

∞∑

k=1

|ajk|2

) 12

≤ ‖x‖2( ∞∑

j=n+1

∞∑

k=1

|ajk|2) 1

2

︸︷︷︸

<ε für n≥n0, da a∈ℓ2(N×N)

< ε‖x‖2, n ≥ n0

====⇒sup

‖x‖2≤1

‖An −A‖ < ε für n ≥ n0 =====⇒Folg. 2.12

A ∈ K(ℓ2(N))

Satz 2.13 Seien Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, k : Ω× Ω→ K, sowie

(Kf)(x) =

∫

Ω

k(x, y)f(y) dy, x ∈ Ω.

(i) Für k ∈ C(Ω× Ω) gilt K ∈ K(C(Ω)) mit ‖K‖ ≤ ‖k|C(Ω× Ω)‖|Ω|.

(ii) Für k ∈ L2(Ω× Ω) gilt K ∈ K(L2(Ω)) mit ‖K‖ ≤ ‖k|L2(Ω× Ω)‖.

Be w e i s : o.B.d.A. setzen wir k auf Rn × Rn \ (Ω× Ω), sowie f auf Rn \ Ω mit 0 fort


1. Schritt: sei f ∈ C(Ω), ‖f‖∞ ≤ 1

y ‖Kf‖∞ = supx∈Ω

∣∣∣

∫

Ω

k(x, y)f(y) dy∣∣∣

︸︷︷︸

|(Kf)(x)|

≤ supx∈Ω

‖k(x, ·)‖∞ ‖f‖∞︸︷︷︸

≤1

|Ω| ≤ |Ω|‖k|C(Ω× Ω)‖ ≤ ck,Ω

y K(UC(Ω)) = Kf : ‖f‖∞ ≤ 1 beschränkt,

|(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| ≤∫

Ω

|k(x+ h, y)− k(x, y)|︸︷︷︸

<ε für |h|<δ, da k glm. stetig

‖f‖∞ dy

< ε‖f‖∞|Ω| für |h| < δ und alle x ∈ Ω

y sup‖f‖∞≤1

|(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| < ε|Ω| für |h| < δ und alle x ∈ Ω

y K(UC(Ω)) = Kf : ‖f‖∞ ≤ 1 gleichgradig stetig =====⇒Satz 1.36

K(UC(Ω)) präkompakt y K ∈ K(C(Ω))

2. Schritt: sei f ∈ L2(Ω), ‖f |L2(Ω)‖ ≤ 1

|(Kf)(x)| ≤∫

Ω

|k(x, y)||f(y)| dy ≤Hölder

(∫

Ω

|k(x, y)|2 dy) 1

2 ‖f |L2(Ω)‖

y ‖Kf |L2(Ω)‖ ≤( ∫

Ω×Ω

|k(x, y)|2 d(x, y)) 1

2 ‖f |L2(Ω)‖︸︷︷︸

≤1

≤ ‖k|L2(Ω× Ω)‖

y K(UL2(Ω)) = Kf : ‖f |L2(Ω)‖ ≤ 1 beschränkt,

y ‖(Kf)(·+ h)−Kf |L2(Ω)‖ ≤ ‖k(·+ h, ·)− k(·, ·)|L2(Ω× Ω)‖︸︷︷︸

<ε für |h|<δ, Satz 1.81

‖f |L2(Ω)‖

y sup‖f |L2(Ω)‖≤1

‖(Kf)(·+ h)−Kf |L2(Ω)‖ < ε für |h| < δ

y K(UL2(Ω)) = Kf : ‖f |L2(Ω)‖ ≤ 1 gleichgradig L2-stetig =====⇒Satz 1.88

K(UL2(Ω)) präkompakt

y K ∈ K(L2(Ω))

nächstes Ziel: genauere Beschreibung der Fredholmschen Integraloperatoren aus Satz 2.13 zur Lösung vonIntegralgleichungen der Art Kf − λf = g

allgemeine Situation: Seien A ∈ L(X,Y) gegeben, sowie y ∈ Y 99K Existiert ein x ∈ X mit Ax = y ?99K ∃ A−1 : Y→ X mit A−1 A = idX→X ?

Bemerkung : • falls ∃ A−1 ∈ L(Y,X), y1, y2 ∈ Y y ∃ x1, x2 ∈ X : xi = A−1yi,

‖x1 − x2‖X ≤∥∥A−1

∥∥ ‖y1 − y2‖Y

• A ∈ K(X,Y), ∃ A−1 ∈ L(Y,X) =======⇒Satz 2.11(iv)

idX→X = A−1 A ∈ K(X)

y ∀ Ω ⊂ X, Ω beschränkt : idX(Ω) = Ω präkompakt =====⇒Satz 1.23

dimX <∞

Definition 2.14 Seien X ein normierter Raum über K = C, A ∈ L(X). Dann heißt

(A) =λ ∈ C : ∃ (A− λ idX)

−1 ∈ L(X)

Resolventenmenge von A, sowie

σσσ(A) = C \ (A)Spektrum von A.

Übung II-8 : Seien X ein Banachraum und A ∈ L(X). Beweisen Sie, dass (A) eine offene Menge undσσσ(A) eine kompakte Menge in C sind.


Bemerkung : • ∃ A−1 ∈ L(X) ⇐⇒ R(A− λ idX) = X, A injektiv, A−1 beschränkt

später: Satz vom inversen Operator, d.h.

R(A− λ idX) = X, A injektiv =⇒ A−1 beschränkt

• λ ∈ C Eigenwert von A ⇐⇒ ∃ x ∈ X, x 6= 0 : Ax = λx

y dimN(A− λ idX) > 0 y ∄ (A− λ idX)−1 y λ ∈ σσσ(A)

• A ∈ K(X) y 0 ∈ σσσ(A) für dimX =∞

nächstes Ziel: Darstellung von (A− λ idX)−1, A ∈ L(X)

formal: ( idX −A)−1 =1

idX −A=

∞∑

k=0

Ak, falls konvergent, wobei Ak+1 = A Ak, k ∈ N0

Vereinbarung: A ∈ L(X) y A0 := idX

y Konvergenz von∞∑

k=0

Ak in L(X):

∥∥∥

∞∑

k=0

Ak∥∥∥ ≤

∞∑

k=0

∥∥Ak

∥∥ ≤

Satz 2.3(iii)

∞∑

k=0

‖A‖k konvergent für ‖A‖ < 1

früher: Konvergenzradius 99K betrachten ‘Spektralradius von A’: limk→∞

k√

‖Ak‖ (falls er existiert)

===⇒früher

limk→∞

k√

‖Ak‖

< 1 99K Konvergenz von∞∑

k=0

∥∥Ak

∥∥

> 1 99K Divergenz von∞∑

k=0

∥∥Ak

∥∥

y ∃ limk→∞

k√

‖Ak‖ ? 99K verwenden spezielle Struktur der Folge:∥∥Aj+k

∥∥ =

∥∥Aj Ak

∥∥ ≤

Satz 2.3(iii)

∥∥Aj

∥∥∥∥Ak

∥∥

Lemma 2.15 Seien aj ≥ 0 sowie aj+k ≤ ajak, j, k ∈ N. Dann existiert limk→∞

k√ak, es gilt

limk→∞

k√ak = inf

k∈N

k√ak.

Be w e i s : ak ≥ 0 y ∃ a := infk∈N

k√ak, sei ε > 0 =⇒

inf∃ k0 ∈ N : a ≤ k0

√ak0 < a+ ε y ak0 < (a+ ε)k0

sei m ∈ N beliebig y ∃ ! r0 =⌊mk0

⌋

∈ N0 : r0k0 ≤ m < (r0 + 1)k0

y ∃ ! r0 ∈ N0 ∃ ! p0 ∈ 0, . . . , k0 − 1 : m = r0k0 + p0, setzen a0 := 1

y ∀ m ∈ N : am = ar0k0+p0 ≤Vor.

ar0k0ap0 ≤Iteration

ar0k0max

j=0,...,k0−1aj

︸︷︷︸

=:M0

= M0 ar0k0

y am ≤M0ar0k0

<ak0

< (a + ε)k0M0(a+ ε)r0k0

y a ≤inf

m√am ≤ m

√

M0(a+ ε)r0k0m =

m = r0k0 + p0

m√

M0︸︷︷︸−−−−→m→∞

1

(a+ ε)1−p0m

︸︷︷︸

−−−−→m→∞

(a+ε)

−−−−→m→∞

(a+ ε)

y ∀ ε > 0 ∃ m0 ∈ N ∀ m ≥ m0 : a ≤ m√am < a+ 2ε ⇐⇒ lim

m→∞m√am = a

Folgerung 2.16 Sei A ∈ L(X). Dann existiert limk→∞

k

√

‖Ak‖ = infk∈N

k

√

‖Ak‖ ≤ ‖A‖.


Definition 2.17 Für A ∈ L(X) nennt man

r(A) = limk→∞

k

√

‖Ak‖

Spektralradius von A.

Bemerkung : A ∈ L(X) =====⇒Folg. 2.16

r(A) ≤ ‖A‖

Satz 2.18 Seien X ein Banachraum, A ∈ L(X).(i) Für |λ| > r(A) existiert (A− λ idX)

−1 ∈ L(X), und es gilt

(A− λ idX)−1 = −

∞∑

k=0

Ak

λk+1,

in L(X), sowie für |λ| > ‖A‖,

∥∥(A− λ idX)

−1∥∥ ≤ 1

|λ| − ‖A‖ .

(ii) Die Reihe∞∑

k=0

Ak

λk+1konvergiert in L(X) genau dann, wenn |λ| > r(A) ist.

Bemerkung : • Konvergenz bezüglich der Operatornorm ‖ · ‖ in L(X)

•∞∑

k=0

Ak

λk+1heißt Neumann41sche Reihe

Be w e i s : 1. Schritt: betrachten Spezialfall λ = 1 > r(A) 99K z.z.: ( idX −A)−1 =∞∑

k=0

Ak in L(X)

sei B :=∞∑

k=0

Ak, Bn =n∑

k=0

Ak y ‖B −Bn‖ ≤∞∑

k=n+1

‖Ak‖ −−−−→n→∞

0, da r(A) < 1 y B ∈ L(X)

andererseits: BnA =( n∑

k=0

Ak)

A =n∑

k=0

Ak+1 = A( n∑

k=0

Ak)

= ABn

y BnA = ABn =

n+1∑

l=1

Al =

n+1∑

l=0

Al − idX, ‖BnA−BA‖ ≤ ‖Bn −B‖︸︷︷︸−−−−→n→∞

0

‖A‖ −−−−→n→∞

0,

‖ABn −AB‖ ≤ ‖A‖ ‖Bn −B‖︸︷︷︸−−−−→n→∞

0

−−−−→n→∞

0

y BA = limn→∞

BnA = B − idX = limn→∞

ABn = AB

in L(X) y idX = B −BA = B( idX −A) = ( idX −A)B (18)

y idX −A injektiv: ( idX −A)x = 0 ==⇒(18)

x = idXx = B ( idX −A)(x)︸︷︷︸

0

= 0 y N( idX −A) = 0

41Carl Gottfried Neumann (∗ 7.5.1832 Königsberg † 27.3.1925 Leipzig)


idX −A surjektiv: sei y ∈ X ==⇒(18)

y = idXy = ( idX −A) By︸︷︷︸

z∈X

y ∃ z ∈ X : y = ( idX −A)z

y ∃ ( idX −A)−1 =(18)

B

2. Schritt: sei jetzt λ ∈ C, |λ| > r(A) beliebig y λ 6= 0,

A− λ idX = λ( 1

λA− idX

)

y (A− λ idX)−1 =

1

λ

( 1

λA− idX

)−1

r

( 1

λA)

= limk→∞

k

√∥∥∥∥

Ak

λk

∥∥∥∥=

1

|λ|r(A) <Vor.

1 =====⇒1. Schritt

∃( 1

λA− idX

)−1

∈ L(X),

( 1

λA− idX

)−1

= −∞∑

k=0

Ak

λk∈ L(X) y (A− λ idX)

−1 =1

λ

( 1

λA− idX

)−1

= −∞∑

k=0

Ak

λk+1

|λ| > ‖A‖ y

∥∥∥∥

A

λ

∥∥∥∥< 1 y ‖(A− λ idX)

−1‖ ≤ 1

|λ|

∞∑

k=0

∥∥∥∥

A

λ

∥∥∥∥

k

︸︷︷︸1

1−‖A‖|λ|

=1

|λ| − ‖A‖

n.z.z.: ∃∞∑

k=0

Ak

λk+1∈ L(X) =⇒ r(A) < |λ|

∃∞∑

k=0

Ak

λk+1y

∥∥∥∥

Ak

λk

∥∥∥∥−−−−→k→∞

0 ===⇒ε = 1

∃ k0 ∀ k ≥ k0 : ‖Ak‖ < |λ|k y infk∈N

k

√

‖Ak‖ < |λ|

============⇒Folg. 2.16, Def. 2.17

r(A) = limk→∞

k√

‖Ak‖ = infk∈N

k√

‖Ak‖ < |λ|

Bemerkung : • möglich: ∃ (A− λ idX)−1 ∈ L(X), aber

∞∑

k=0

Ak

λk+1divergent

• Man kann zeigen:

∃ λ0 ∈ σσσ(A) : |λ0| = r(A),

siehe z.B. [Wer00, Satz VI.1.6]

λ0

σσσ(A)

‖A‖

r(A)

Anwendung: Volterra42sche Integraloperatoren

a x

k ≡ 0

D

b

x = y

Ω

y

b

a

Ω = (a, b) ⊂ R beschränkt, k(·, ·) : [a, b]× [a, b]→ C λ2-messbar

speziell: k ∈ L∞([a, b]× [a, b]), k(x, y) = 0 für x < y

[a, b] ⊂ R beschränkt y L∞([a, b]× [a, b]) → L2([a, b]× [a, b])

y (Kf)(x) =

∫ b

a

k(x, y)︸︷︷︸

=0, x<y

f(y) dy =

∫ x

a

k(x, y)f(y) dy

spezieller Fredholmscher Integraloperator =====⇒Satz 2.13

K ∈ K(L2[a, b]), dimL2[a, b] =∞ y 0 ∈ σσσ(K)

Bezeichnung: (Kf)(x) =

∫ x

a

k(x, y)f(y) dy, x ∈ [a, b], heißt Volterrascher Integraloperator

42Vito Volterra (∗ 3.5.1860 Ancona † 11.10.1940 Rom)


Satz 2.19 Seien [a, b] ⊂ R, k : [a, b]× [a, b]→ C λ2-messbar mit k(x, y) = 0 für x < y, und

(Kf)(x) =

∫ x

a

k(x, y)f(y) dy, x ∈ [a, b].

(i) Für k ∈ L∞([a, b] × [a, b]) gelten K ∈ K(L2[a, b]), σσσ(K) = 0 und r(K) = 0. Die VolterrascheIntegralgleichung

Kf − λf = g

besitzt für λ 6= 0 und jedes g ∈ L2[a, b] genau eine Lösung f ∈ L2[a, b], die sich mittels der in L2[a, b]konvergenten Neumannschen Reihe berechnen lässt.

(ii) Falls k auf D = (x, y) : a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ x ⊂ [a, b]× [a, b] stetig ist, so gelten K ∈ K(C[a, b]),σσσ(K) = 0 und r(K) = 0. Die Volterrasche Integralgleichung

Kf − λf = g

besitzt für λ 6= 0 und jedes g ∈ C[a, b] genau eine Lösung f ∈ C[a, b], die sich mittels der in C[a, b]konvergenten Neumannschen Reihe berechnen lässt.

Be w e i s : 1. Schritt: K ∈ K(L2[a, b]) nach Vorbemerkung klar; zu K ∈ K(C[a, b]):sei f ∈ C[a, b], ‖f‖∞ ≤ 1 y ‖Kf‖∞ ≤ (b − a) max

(x,y)∈D|k(x, y)| =: (b − a)‖k‖∞,D y K(UC[a,b])

beschränkt; seien x ∈ [a, b] und h so, dass x+ h ∈ [a, b] , o.B.d.A. h ≥ 0

|(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| =∣∣∣

∫ x+h

a

k(x+ h, y)f(y) dy −∫ x

a

k(x, y)f(y) dy∣∣∣

≤∫ x

a

|k(x+ h, y)− k(x, y)|︸︷︷︸

<ε für |h|<δ0

‖f‖∞ dy +

∫ x+h

x

|k(x+ h, y)|︸︷︷︸

≤‖k‖∞,D

‖f‖∞ dy

< ε‖f‖∞(b− a) + h‖k‖∞,D‖f‖∞< Cε für |h| < δ und alle x ∈ [a, b]

y sup‖f‖∞≤1

|(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| < Cε für |h| < δ und alle x ∈ [a, b]

y K(UC[a,b]) = Kf : ‖f‖∞ ≤ 1 gleichgradig stetig =====⇒Satz 1.36

K(UC[a,b]) präkompakt y K ∈ K(C[a, b])

2. Schritt: z.z.: r(K) = 0 für K ∈ K(L2[a, b]) bzw. K ∈ K(C[a, b])

r(K) = limm→∞

m√

‖Km‖ 99K betrachten Km, m ≥ 2

(K2f)(x) =

∫ x

a

k(x, y)

∫ y

a

k(y, z)f(z) dz

︸︷︷︸

(Kf)(y)

dy

=Fubini

∫ x

a

f(z)

∫ x

z

k(x, y)k(y, z) dy

︸︷︷︸

=:k2(x,z)

dz

=

∫ x

a

k2(x, z)f(z) dz

====⇒Iteration

(Kmf)(x) =

∫ x

a

km(x, z)f(z) dz mit km(x, z) =

∫ x

z

km−1(x, y)k(y, z) dy, m ≥ 2

zeigen: |km(x, z)| ≤ |x− z|m−1‖k‖m∞,D

(m− 1)!, m ∈ N (19)

m = 2 y |k2(x, z)| ≤∫ x

z

|k(x, y)||k(y, z)| dy ≤ ‖k‖2∞,D|x− z| y (19) X


Induktion, o.B.d.A. x > z:

|km(x, z)| ≤x∫

z

|km−1(x, y)|︸︷︷︸

≤|x−y|m−2‖k‖

m−1∞,D

(m−2)!

|k(y, z)|︸︷︷︸

≤‖k‖∞,D

dy

≤‖k‖m∞,D

(m− 2)!

x∫

z

(x− y)m−2

︸︷︷︸

=|x−y|m−2, y<x

dy =‖k‖m∞,D

(m− 2)!

x−z∫

0

um−2 du

︸︷︷︸

(x−z)m−1

m−1

=‖k‖m∞,D

(m− 1)!|x− z|m−1 y (19)

sei f ∈ C[a, b]

y |(Kmf)(x)| ≤∫ x

a

|km(x, z)||f(z)| dz

≤ ‖f‖∞‖k‖m∞,D

(m− 1)!

∫ x

a

(x− z)m−1 dz

︸︷︷︸(x−a)m

m

≤ ‖f‖∞‖k‖m∞,D

m!(b− a)m

=======⇒sup

‖f‖∞≤1

supx

‖Km‖L(C[a,b]) ≤(b− a)m ‖k‖m∞,D

m!

=======⇒lim

m→∞m√ r(K) ≤ (b− a)‖k‖∞,D lim

m→∞1

m√m!

= 0

sei f ∈ L2[a, b]

===⇒Hölder

|(Kmf)(x)|2 ≤ ‖f |L2[a, b]‖2∫ x

a

|km(x, z)|2 dz

≤ ‖f |L2[a, b]‖2‖k‖2m∞,D

((m− 1)!)2

∫ x

a

(x− z)2m−2 dz

︸︷︷︸

(x−a)2m−1

2m−1

= ‖f |L2[a, b]‖2‖k‖2m∞,D

((m− 1)!)2 (2m− 1)(x− a)2m−1

y ‖Km|L2[a, b]‖ ≤ ‖f |L2[a, b]‖‖k‖m∞,D

(m− 1)!√2m− 1

( ∫ b

a

(x− a)2m−1 dx

︸︷︷︸

(b−a)2m

2m

) 12

= ‖f |L2[a, b]‖‖k‖m∞,D

(m− 1)!√

(2m− 1)(2m)(b− a)m

========⇒sup

‖f|L2[a,b]‖≤1

‖Km‖L(L2[a,b])≤‖k‖m∞,D

(m− 1)!(b − a)m

1√

(2m− 1)(2m)︸︷︷︸

≤ 1m

=======⇒lim

m→∞m√ r(K) ≤ (b− a)‖k‖∞,D lim

m→∞1

m√m!

= 0


Beispiel : Spezialfall: [a, b] = [0, 1], k ≡ 1 auf D y (Kf)(x) =

∫ x

0

f(y) dy, f ∈ C[0, 1]

y K ∈ K(C[0, 1]) injektiv, R(K) ⊂ g ∈ C[0, 1] : g(0) = 0 ( C[0, 1], d.h.R(K) ( C[0, 1] y K nicht surjektiv

suchen Lösung von Kf − λf = g, λ 6= 0

y f(x) = (K − λ id)−1g(x) =

∞∑

m=0

1

λm+1(Kmg)(x)

=

∞∑

m=0

1

λm+1

x∫

0

km(x, y)g(y) dy

︸︷︷︸

(Kmg)(x)

=K0 = id

g(x)

λ+

∞∑

m=1

1

λm+1

x∫

0

(x− y)m−1

(m− 1)!︸︷︷︸

km(x,y)

g(y) dy

sowie, fallsx∫

0

· · · gleichmäßig konvergent,

=g(x)

λ+

x∫

0

∞∑

m=1

(x− y)m−1

λm+1(m− 1)!g(y) dy

2.2 Operatoren im Hilbertraum

2.2.1 Hilberträume

Definition 2.20 Seien H ein Vektorraum über K.

(i) Eine Abbildung 〈·, ·〉 : H×H→ K heißt Skalarprodukt, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind:

(1) Für alle x ∈ H gilt: 〈x, x〉 ≥ 0, sowie 〈x, x〉 = 0 ⇐⇒ x = 0.

(2) Für alle x, y ∈ H gilt: 〈x, y〉 = 〈y, x〉.(3) Für alle x, y, z ∈ H und λ ∈ K gelten:

〈λx, y〉 = λ〈x, y〉, sowie 〈x+ z, y〉 = 〈x, y〉+ 〈z, y〉.

(ii) Ein normierter Raum H heißt Prä-Hilbert43raum, wenn es ein Skalarprodukt 〈·, ·〉 auf H gibt, so dass‖x‖H =

√

〈x, x〉 auf H eine Norm definiert.

(iii) Ein Prä-Hilbertraum H heißt Hilbertraum, falls H bezüglich ‖ · ‖H vollständig ist.

Bemerkung : • aus (2) & (3) folgt:

〈x, λy〉 = λ〈x, y〉, sowie 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉

• in H immer: ‖ · ‖H =√

〈·, ·〉, gelegentlich 〈·, ·〉H für 〈·, ·〉

43David Hilbert (∗ 23.1.1862 Königsberg † 14.2.1943 Göttingen)

2.2 Operatoren im Hilbertraum 75

Satz 2.21 (i) Sei H ein Prä-Hilbertraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉. Dann gilt die Cauchy-Schwarz44-Ungleichung,

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖H‖y‖H für alle x, y ∈ H,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn x und y linear abhängig sind.

(ii) Seien H ein normierter Raum mit der Norm ‖ · ‖. Dann ist H ein Prä-Hilbertraum genau dann, wenndie Parallelogramm-Gleichung gilt,

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2

)für alle x, y ∈ H.

Das zugehörige Skalarprodukt ist dann definiert als

〈x, y〉 =

14

(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2

), K = R,

14

(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2

)+ i

4

(‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2

), K = C.

Be w e i s : bekannt aus früheren Vorlesungen bzw. Übung

Bemerkung : aus (i) folgt ‖ · ‖H Norm (Dreiecksungleichung)

Beispiele : (a) Rn, Cn mit 〈x, y〉 =n∑

j=1

xjyj

(b) ℓ2(N) mit 〈x, y〉2 =∞∑

j=1

xjyj , x = (xj)j , y = (yj)j

(c) [Ω,A, µ] σ-endlicher Maßraum, A ∈ A µ-messbar, L2(A, µ) wie in Abschnitt 1.3.3L2(A, µ) Hilbertraum mit

〈f, g〉2 =

∫

A

fg dµ,

insbesondere gilt für [Ω,A, µ] = [Rn,Ln, λn], G ⊆ Rn offen, G ∈ Ln: L2(G) Hilbertraumetwas allgemeiner: gewichtete L2-Räume: dµ = w(x) dx, w ≥ 0 λn-messbar:

〈f, g〉w =

∫

G

f(x)g(x)w(x) dx

(d) C[a, b] Prä-Hilbertraum mit ‖ · ‖2, aber nicht vollständig:

[a, b] = [0, 1], fn(x) =1

3

√

max(x, 1

n

)

y fn ∈ C[0, 1], n ∈ N

fn(x) −−−−→n→∞

13√x=: f(x), x ∈ (0, 1]

y f 6∈ C[0, 1], aber

f20(x)

f10(x)

f2(x)

f5(x)

1

0.4 0.6 0.8 1

3

2

0 0.2‖fn − f‖22 =∫ 1

0

|fn(x)− f(x)|2 dx

=

∫ 1/n

0

∣∣∣∣

3√n− 1

3√x

∣∣∣∣

2

dx+

∫ 1

1/n

0 dx

=

∫ 1/n

0

n23 dx

︸︷︷︸

n−1/3

−2n 13

∫ 1/n

0

x− 13 dx

︸︷︷︸32n

−2/3

+

∫ 1/n

0

x− 23 dx

︸︷︷︸

3n−1/3

= n− 13 −−−−→

n→∞0

44Hermann Amandus Schwarz (∗ 25.1.1843 Hermsdorf (Schlesien) † 30.11.1921 Berlin)


Folgerung 2.22 Sei H ein Prä-Hilbertraum.

(i) Für (xj)j , (yj)j ⊂ H mit xj −−−→j→∞

x, yj −−−→j→∞

y gilt

〈xj , yj〉 −−−→j→∞

〈x, y〉.

(ii) Aus∑

n∈N

xn = x ∈ H folgt für alle y ∈ H: 〈x, y〉 =⟨∑

n∈N

xn, y

⟩

=∑

n∈N

〈xn, y〉.

(iii) Ist U ⊂ H ein dichter Teilraum und gilt 〈x, u〉 = 0 für alle u ∈ U , so ist x = 0.

Be w e i s : (i) und (ii) Folge der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, Satz 2.21(i):

|〈x, y〉 − 〈xj , yj〉| ≤ |〈x− xj , yj〉|+ |〈x, y − yj〉| ≤Satz 2.21(i)

‖x− xj‖H︸︷︷︸

−−−→j→∞

0

‖yj‖H︸︷︷︸

≤c

+‖x‖H ‖y − yj‖H︸︷︷︸

−−−→j→∞

0

−−−→j→∞

0

zu (iii): sei x ∈ H ====⇒U dicht

∃ ujj ⊂ U : uj −−−→j→∞

x =⇒(i)〈uj, x〉︸︷︷︸

0

−−−→j→∞

〈x, x〉 = ‖x‖2H y x = 0

Definition 2.23 Sei H ein Prä-Hilbertraum.

(i) x, y ∈ H heißen orthogonal, d.h. x⊥y, falls 〈x, y〉 = 0 gilt.

(ii) Zwei Teilräume U, V ⊂ H heißen orthogonal, falls für alle u ∈ U und v ∈ V gilt 〈u, v〉 = 0.

(iii) Sei U ⊂ H ein Teilraum. Dann nennt man

U⊥ = v ∈ H : v⊥u für alle u ∈ U

heißt orthogonales Komplement von U .

Bemerkung : U ∩ U⊥ = 0: x ∈ U ∩ U⊥ y 〈x, x〉 = 0 = ‖x‖2H ⇐⇒ x = 0

Satz 2.24 Sei H ein Prä-Hilbertraum.

(i) Für x, y ∈ H mit x⊥y gilt ‖x+ y‖2H = ‖x‖2H + ‖y‖2H.

(ii) Für U ⊂ H ist U⊥ ein abgeschlossener Teilraum von H, es gilt(U)⊥

= U⊥.

(iii) Es gilt: U ⊂(U⊥)⊥.

Bemerkung : (i) . . . Satz des Pythagoras

B e w e i s : zu (i): ‖x+ y‖2H = 〈x+ y, x+ y〉 = ‖x‖2H + ‖y‖2H + 〈x, y〉︸︷︷︸

0, x⊥y

+ 〈y, x〉︸︷︷︸

0, x⊥y

= ‖x‖2H + ‖y‖2H

zu (ii): U⊥ linearer Teilraum: y1, y2 ∈ U⊥, λ, µ ∈ K

x ∈ U y 〈λy1 + µy2, x〉 = λ 〈y1, x〉︸︷︷︸

0

+µ 〈y2, x〉︸︷︷︸

0

= 0 y λy1 + µy2 ∈ U⊥

U⊥ abgeschlossen: sei (yj)j ⊂ U⊥ mit yj −−−→j→∞

y, z.z.: y ∈ U⊥

x ∈ U y 〈x, y〉 =Folg. 2.22(i)

limj→∞

〈x, yj〉︸︷︷︸

0, yj∈U⊥

= 0


(U)⊥ ⊆ U⊥: v ∈

(U)⊥

y 〈v, u〉 = 0 ∀ u ∈ U ====⇒U ⊂ U

〈v, u〉 = 0 ∀ u ∈ U y v ∈ U⊥

U⊥ ⊆(U)⊥

: v ∈ U⊥, u ∈ U y ∃ (uj)j ⊂ U : uj −−−→j→∞

u y 〈v, u〉 =Folg. 2.22(i)

limj→∞

〈v, uj〉︸︷︷︸

0, v∈U⊥

= 0 y v ∈(U)⊥

zu (iii): u ∈ U , v ∈ U⊥ y 〈u, v〉 = 0 y u ∈(U⊥)⊥

Approximationsproblem in Hilberträumen

allgemeines Problem: f ∈ H, U ⊂ H gegeben

∃ g0 ∈ U : ‖f − g0‖ = infg∈U‖f − g‖ ? Eindeutigkeit?

geometrische Deutung: ‘Lot’ von f auf U fällen

f

g0U

Bezeichnungen:

• δ(f, U) = infg∈U

‖f − g‖Hfalls ∃ g0 ∈ U : ‖f − g0‖H = δ(f,U) y g0 heißt beste Approximation von f in U

• U ⊆ H konvex ⇐⇒ ∀ x1, x2 ∈ U ∀ λ ∈ [0, 1] : λx1 + (1 − λ)x2 ∈ U

Satz 2.25 Seien H ein Hilbertraum und U 6= ∅ eine konvexe, abgeschlossene Teilmenge von H. Dannexistiert für alle f ∈ H genau eine beste Approximation g0 ∈ U . Die Abbildung P : H −→ U , f 7→ g0 = P (f)ist stetig.

Be w e i s : 1. Schritt: Unitätseien g1, g2 ∈ U beste Approximationen zu f , g1 6= g2 y ‖f − g1‖H = ‖f − g2‖H = δ(f, U),

g =g1 + g2

2∈ U y δ(f, U) = inf

h∈U‖f − h‖H ≤

∥∥∥f − g1 + g2

2︸︷︷︸

g

∥∥∥H≤ 1

2‖f − g1‖H︸︷︷︸

δ(f,U)

+1

2‖f − g2‖H︸︷︷︸

δ(f,U)

= δ(f, U)

y ‖f − g‖H = δ(f, u)

andererseits: g1 6= g2 y ‖g1 − g2‖H > 0

=========⇒Parallelogramm

‖f−g‖2H =1

4‖f−g1+f−g2‖2H =

1

4

(

2 ‖f − g1‖2H︸︷︷︸

δ(f,U)2

+2 ‖f − g2‖2H︸︷︷︸

δ(f,U)2

−‖g1 − g2‖2H︸︷︷︸

>0

)

< δ(f, U)2

2. Schritt: Existenz; zeigen zunächst

∀ ε > 0 ∃ α(ε) > 0 ∀ f ∈ H ∀ g1, g2 ∈ U, ‖f − g1‖H < δ(f, U) + α(ε), ‖f − g2‖H < δ(f, U) + α(ε) :

‖g1 − g2‖H < ε (1 + δ(f, U)) (20)

denn: aus der Parallelogramm-Gleichung, Satz 2.21(ii), folgt

‖g1 − g2‖2H = 2 ‖f − g1‖2H︸︷︷︸

<(δ(f,U)+α(ε))2

+ 2 ‖f − g2‖2H︸︷︷︸

<(δ(f,U)+α(ε))2

− 4

∥∥∥∥f − g1 + g2

2

∥∥∥∥

2

H︸︷︷︸

≥δ(f,U)2

< 8α(ε)

(

δ(f, U) +α(ε)

2

)

< ε2 (1 + δ(f, U))2 für α(ε) < min

(

2,ε2

8

)


jetzt: Existenz einer Bestapproximation

δ(f, U) = infg∈U‖f − g‖H =⇒ ∃ (gn)n ⊂ U : lim

n→∞‖f − gn‖H = δ(f, U) ==⇒

(20)(gn)n Cauchy-Folge in H

====⇒H vollst.

∃ g0 ∈ H : limn→∞

‖gn−g0‖H = 0 ====⇒U abg.

g0 ∈ U =======⇒‖ · ‖H stetig

‖f−g0‖H = limn→∞

‖f−gn‖H = δ(f, U)

3. Schritt : sei P : H −→ U , P (f) = g mit ‖f − g‖H = δ(f, U); z.z.: P stetig

seien f0 ∈ H, g0 = P (f0) ⇐⇒ ‖f0 − g0‖H = δ(f0, U)

z.z.: ∀ ε > 0 ∃ γ(ε) > 0 ∀ f1 ∈ H, ‖f1 − f0‖H < γ(ε) : ‖P (f1)︸︷︷︸

g1

−P (f0)︸︷︷︸

g0

‖H < ε

seien ε > 0, δ(f0, U) ≤ µ, wollen (20) anwenden auf ε′ =ε

1 + µ, f0, g0, g1: ‖f0 − g0‖H = δ(f0, U) X

y brauchen noch ‖f0 − g1‖H < δ(f0, U) + α(ε′) für ‖f1 − f0‖H < γ(ε):

‖f0 − g1‖H ≤ ‖f0 − f1‖H + ‖f1 − g1‖H︸︷︷︸

δ(f1,U)≤ ‖f1−g0‖H

≤ ‖f0 − f1‖H + ‖f1 − g0‖H︸︷︷︸

≤δ(f0,U)+‖f1−f0‖H

≤ δ(f0, U) + 2 ‖f1 − f0‖H︸︷︷︸

<γ(ε)

< δ(f0, U) + α(ε′) für γ(ε) <1

2α

(ε

1 + µ

)

==⇒(20)

‖g1 − g0‖H = ‖P (f1)− P (f0)‖H <ε

1 + µ︸︷︷︸

ε′

(1 + δ(f0, U)) ≤δ(f0, U) ≤ µ

ε

Bemerkung : • aus Beweis: P gleichmäßig stetig über Mengen mit beschränktem Abstand von U

• Satz gilt auch für “gleichmäßig konvexe” Banachräume (Verallgemeinerung derParallelogramm-Gleichung)

Satz 2.26 (Projektionssatz)Seien H ein Hilbertraum und U ⊂ H ein abgeschlossener Teilraum.

(i) Seien f ∈ H und g0 = P (f) ∈ U die zugehörige beste Approximation, ‖f − g0‖H = δ(f, U). Danngilt

f − g0 ∈ U⊥, d.h. f − g0⊥U.(ii) Für jedes f ∈ H existiert eine eindeutige Darstellung f = u+ v mit u ∈ U , v ∈ U⊥, d.h. es gilt

H = U ⊕ U⊥.

Bemerkung : H = U ⊕ V ⇐⇒ ∀ f ∈ H ∃ ! u ∈ U ∃ ! v ∈ V : f = u+ vdirekte (orthogonale) Summe von U und V

Be w e i s : zu (i): sei f ∈ H, z.z.: f − P (f) ∈ U⊥

Annahme: h := f − P (f) 6∈ U⊥ y ∃ u ∈ U, u 6= 0 : α := 〈h, u〉 6= 0; sei λ ∈ K

y∥∥∥f − (P (f) + λu)

︸︷︷︸

∈U, da P (f),u∈U

∥∥∥

2

H= 〈h− λu, h− λu〉

︸︷︷︸

‖h−λu‖2H

= 〈h, h〉 − 2 ℜe(λ 〈u, h〉︸︷︷︸

α

)+ |λ|2〈u, u〉

=λ := α

‖u‖2H

‖h‖2H − 2|α|2‖u‖2H

+|α|2‖u‖4H

‖u‖2H = ‖ f − P (f)︸︷︷︸

h

‖2H −|α|2‖u‖2H︸︷︷︸>0

< ‖f − P (f)‖2H

=========⇒P (f) + λu ∈ U

P (f) nicht Bestapproximation y Widerspruch


zu (ii): f ∈ H =⇒(i)∃ u = P (f) ∈ U, v = f − P (f) ∈ U⊥ : f = u+ v

n.z.z.: Eindeutigkeit: seien f = u0 + v0 = u1 + v1 mit ui ∈ U , vi ∈ U⊥, i = 0, 1 y u0 − u1︸︷︷︸

∈U

= v1 − v0︸︷︷︸

∈U⊥

y u0 − u1 ∈ U ∩ U⊥ ⇐⇒ u0 = u1, analog: v0 = v1

Bemerkung : seien U ⊂ H ein abgeschlossener Teilraum von H, H = U ⊕ V mit U⊥V ==⇒s.o.

V = U⊥

Folgerung 2.27 Seien H ein Hilbertraum und U ⊂ H ein Teilraum. Dann gilt

(U⊥)⊥ = U,

insbesondere ist für U⊥ = 0 der Raum U dicht in H, d.h. U = H.

Be w e i s : U ⊂ H abgeschlossener Teilraum =======⇒Satz 2.26(ii)

H = U ⊕(U)⊥

=Satz 2.24(ii)

U ⊕ U⊥ =: V ⊕ U⊥

===⇒Bem.

(U⊥)⊥ = V = U

Definition 2.28 Seien H ein Hilbertraum und U ⊂ H ein abgeschlossener Teilraum von H. Dann heißt

PU : H→ U, PU : f 7→ PUf = g ∈ U und f − PUf ∈ U⊥

orthogonale Projektion von H auf U .

Bemerkung : • PU = P : H −→ aus Satz 2.25, d.h. PUf = g0 ∈ U beste Approximation,

‖f − PUf‖H = δ(f, U) = infg∈U‖f − g‖H

PU : H→ U ⊂ H stetig

• außerdem gelten: PU linear,

P 2U = PU , ‖PU‖L(H) = 1, N(PU ) = U⊥,

sowieidH − PU = PU⊥ y ‖ idH − PU‖L(H) = ‖PU⊥‖L(H) = 1

Dualräume, der Rieszsche Darstellungssatz

in Abschnitt 2.1.2:

• Satz 2.7 mit p = 2: (ℓ2(N))′ ∼= ℓ2(N) isometrisch-isomorph, wobei L : ℓ2(N)→ (ℓ2(N))′, y 7→ Ly mit

Ly(x) =

∞∑

k=1

xkyk = 〈x, y〉2, x ∈ ℓ2(N), sowie ‖Ly‖(ℓ2(N))′ = ‖y‖ℓ2(N)

• Satz 2.8 mit p = 2: [Ω,A, µ] σ-endlicher Maßraum, A ∈ A y (L2(A, µ))′ ∼= L2(A, µ) isometrisch-

isomorph, wobei L : L2(A, µ)→ (L2(A, µ))′, f 7→ Lf mit

Lf(g) =

∫

A

f(x)g(x) dµ(x) = 〈g, f〉2, g ∈ L2(A, µ), sowie∥∥Lf | (L2(A, µ))

′∥∥ = ‖f |L2(A, µ)‖

ℓ2(N), L2(A, µ) Hilberträume 99K Gilt i.a. H′ ∼= H isometrisch-isomorph, wobei L : H → H′, L : y 7→ Ly

mitLy(x) = 〈x, y〉, x ∈ H, sowie ‖Ly‖H′ = ‖y‖H ?


Lemma 2.29 Seien H ein Prä-Hilbertraum, y ∈ H, und Ly gegeben durch

Ly : H→ K, x 7→ Ly(x) = 〈x, y〉, x ∈ H.

Dann gilt Ly ∈ H′ = L(H,K) mit ‖Ly‖H′ = ‖y‖H.

Be w e i s : Ly linear X; Ly beschränkt:

|Ly(x)| = |〈x, y〉| ≤Satz 2.21(i)

‖x‖H ‖y‖H y Ly ∈ H′, ‖Ly‖H′ ≤ ‖y‖H

sei y 6= 0 y x =y

‖y‖H∈ H, ‖x‖H = 1 y ‖Ly‖H′ ≥ |Ly(x)| =

∣∣∣∣

⟨y

‖y‖H, y

⟩∣∣∣∣=‖y‖2H‖y‖H

= ‖y‖H

Satz 2.30 (Satz von Riesz-Fréchet45)Seien H ein Hilbertraum und L ∈ H′. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Element y ∈ H mit derEigenschaft, dass gelten

L(x) = 〈x, y〉 für alle x ∈ H, sowie ‖L‖H′ = ‖y‖H.

Be w e i s : L ≡ 0 y y := 0; ab jetzt: L 6≡ 0

aus Lemma 2.29 klar: falls y ∈ H existiert mit L = Ly y ‖L‖H′ = ‖y‖H

Unität: ∃ y1, y2 ∈ H ∀ x ∈ H : L(x) = 〈x, y1〉 = 〈x, y2〉 y ∀ x ∈ H : 〈x, y1−y2〉 = 0 =======⇒x = y1 − y2

y1 = y2

Existenz: suchen y ∈ H mit L(x) = 〈x, y〉, x ∈ H y ∀ x ∈ N(L) : L(x) = 0 = 〈x, y〉 y y ∈ N(L)⊥

N(L) abgeschlossen =====⇒Satz 2.26

H = N(L)⊕N(L)⊥; zeigen: dimN(L)⊥ = 1

L : N(L)⊥ → K Isomorphismus, denn: L linear ===⇒L 6≡ 0

L(N(L)⊥

)= L(H) = K, L injektiv auf N(L)⊥:

Lx1 = Lx2, xi ∈ N(L)⊥ y L(x1 − x2) = 0, x1, x2 ∈ N(L)⊥ y x1 − x2 ∈ N(L)∩N(L)⊥ y x1 = x2

y dimN(L)⊥ = 1 ⇐⇒ ∃ y0 ∈ H, y0 6= 0 : N(L)⊥ = λy0 : λ ∈ K, o.B.d.A. ‖y0‖H = 1

sei x ∈ H ============⇒H = N(L) ⊕ N(L)⊥

∃ ! x0 ∈ N(L) ∃ ! λ0 ∈ K : x = x0 + λ0y0

y Lx = Lx0︸︷︷︸

0,x0∈N(L)

+λ0Ly0 = λ0Ly0 〈y0, y0〉︸︷︷︸

1

=⟨λ0y0, (Ly0)y0

︸︷︷︸

=:y∈N(L)⊥

⟩

= 〈x0, y〉︸︷︷︸

0

+〈λ0y0, y〉 = 〈x0 + λ0y0︸︷︷︸

x

, y〉 = 〈x, y〉

Bemerkung : betrachten J : H→ H′, Jy = Ly = 〈·, y〉 y J isometrisch, bijektiv, konjugiert-linear, d.h.

J(λ1y1 + λ2y2)(·) = 〈·, λ1y1 + λ2y2〉 = λ1〈·, y1〉+ λ2〈·, y2〉 =(λ1J(y1) + λ2J(y2)

)(·)

J∗ : H → H′, J∗y = 〈·, y〉 y J∗ isometrischer Isomorphismus y H′ ∼= H isometrisch-isomorph y (H′)′ ∼= H′ ∼= H, d.h. H ist reflexiv, H′ ist Hilbertraum bezüglich

〈L,K〉 := 〈J−1L, J−1K〉, L,K ∈ H′

45Maurice René Fréchet (∗ 2.9.1878 Maligny/Frankreich † 4.6.1973 Paris)


Definition 2.31 Sei H ein Hilbertraum. Eine Abbildung s : H×H→ K heißt Sesquilinearform, falls für allex, y, z ∈ H und λ, µ ∈ K gelten:

s (λx+ µy, z) = λs(x, z) + µs(y, z)

sowie

s (x, λy + µz) = λs(x, y) + µs(x, z).

Beispiele : • s(x, y) = 〈x, y〉 Skalarprodukt

• A ∈ L(H), s(x, y) = 〈Ax, y〉

Satz 2.32 (Lax46-Milgram47)Seien H ein Hilbertraum und s : H×H→ K eine stetige Sesquilinearform, d.h.

∃ C ≥ 0 ∀ x, y ∈ H : |s(x, y)| ≤ C‖x‖H‖y‖H.

(i) Es existiert genau ein Operator S ∈ L(H), für den gelten

‖S‖L(H) ≤ C und s(x, y) = 〈x, Sy〉, x, y ∈ H.

(ii) Ist s zusätzlich koerzitiv, d.h.

∃ c > 0 ∀ x ∈ H : |s(x, x)| ≥ c‖x‖2H,

so ist S invertierbar, S−1 ∈ L(H) mit∥∥S−1

∥∥L(H)

≤ 1c .

Be w e i s : zu (i): seien y ∈ H, betrachten sy(x) := s(x, y), x ∈ H y sy ∈ H′, ‖sy‖H′ ≤ C‖y‖H

=====⇒Satz 2.30

∃ ! y∗ ∈ H : s(x, y) = sy(x) = 〈x, y∗〉, x ∈ H, ‖y∗‖H = ‖sy‖H′ ≤ C‖y‖H;

setzen S : H→ H, Sy := y∗ y ‖Sy‖H ≤ C‖y‖H, s(x, y) = 〈x, y∗〉 = 〈x, Sy〉, x, y ∈ H =====⇒Def. 2.31

S linear

y S ∈ L(H), ‖S‖L(H) ≤ C

zu (ii): s koerzitiv y ∃ c > 0 ∀ x ∈ H : c‖x‖2H ≤ |s(x, x)| =(i)|〈x, Sx〉| ≤

Satz 2.21(i)‖x‖H ‖Sx‖H

y ∃ c > 0 ∀ x ∈ H : ‖Sx‖H ≥ c‖x‖H y S injektiv; n.z.z.: S surjektiv auf H

S : H→ R(S) ⊆ H y g.z.z.: R(S) abgeschlossener Teilraum, R(S) = H

R(S) ⊆ H abgeschlossen: sei (yn)n ⊂ R(S) mit yn −−−−→n→∞

y ∈ H y ∃ (xn)n ⊂ H : Sxn −−−−→n→∞

y

y ‖xn − xm‖H ≤ 1c ‖Sxn − Sxm‖H −−−−−→n,m→∞

0 y (xn)n ⊂ H Cauchyfolge =======⇒H vollständig

∃ x ∈ H :

xn −−−−→n→∞

x =====⇒S ∈ L(H)

Sxn −−−−→n→∞

Sx = y y ∃ x ∈ H : Sx = y y y ∈ R(S)

R(S) = H: sei y ∈ R(S)⊥ y 0 = |〈y, Sy〉| = |s(y, y)| ≥ c‖y‖2H y y = 0 =====⇒Folg. 2.27

R(S) = H

y ∃ S−1 ∈ L(H),∥∥S−1

∥∥L(H)

≤ 1c

46Peter David Lax (∗ 1.5.1926 Budapest)47Arthur Norton Milgram (∗ 3.6.1912 Philadelphia † 30.1.1961 )


2.2.2 Orthonormalbasen und Fourierreihen

Definition 2.33 Sei H ein Prä-Hilbertraum.

(i) Ein System xj , j ∈ N ⊂ H heißt Orthonormalsystem (ONS), falls für alle j, k ∈ N gilt

〈xj , xk〉 =

1, j = k,

0, j 6= k.

(ii) Ein ONS xj , j ∈ N ⊂ H heißt Orthonormalbasis (ONB), falls gilt

∀ x ∈ H ∃ αj ∈ K : x =

∞∑

j=1

αjxj (mit Konvergenz in H).

Bemerkung : • xj , j ∈ N ONS ⇐⇒ 〈xj , xk〉 = δjk =

1, j = k,

0, j 6= k.Kronecker48-Symbol

⇐⇒ 〈xj , xk〉

6= 0, j = k,

= 0, j 6= k,︸︷︷︸

xj ,j∈N Orthogonalsystem

und ‖xj‖H = 1, j ∈ N

︸︷︷︸

xj,j∈N normiert

• xj , j ∈ N ONS y xj , j ∈ N linear unabhängig

• ONB ist i.a. keine (Vektorraum-)Basis, da für dimH = ∞ i.a. nicht endliche Linear-kombinationen zur Darstellung von x ausreichen

• xj , j ∈ N ONB y ∀ x ∈ H ∃ ! αj = 〈x, xj〉 ∈ K : x =∑

j∈N

〈x, xj〉xj :

x =

∞∑

j=1

αjxj y 〈x, xk〉 =∞∑

j=1

αj 〈xj , xk〉︸︷︷︸

δjk

= αk, k ∈ N

Bezeichnung: x =∑

j∈N

〈x, xj〉xj . . . (abstrakte) Fourierreihe von x, αj = 〈x, xj〉 j-ter Fourierkoeffizient

Satz 2.34 Seien H ein Prä-Hilbertraum und xj , j ∈ N ⊂ H ein ONS. Dann gelten folgende Aussagen:

(i) Für n ∈ N und αj ∈ K ist∥∥∥

n∑

j=1

αjxj

∥∥∥

2

H=

n∑

j=1

|αj |2.

(ii) Aus x =∞∑

j=1

αjxj folgt∞∑

j=1

|αj |2 = ‖x‖2H.

(iii) Für x ∈ H ist∥∥∥x−

n∑

j=1

αjxj

∥∥∥H

genau dann minimal, wenn α = 〈x, xj〉, j ∈ N, gilt.

(iv) Für alle x ∈ H und n ∈ N gilt∥∥∥x−

n∑

j=1

〈x, xj〉xj

∥∥∥

2

H= ‖x‖2H −

n∑

j=1

|〈x, xj〉|2 ,

sowie die Bessel49sche Ungleichung∞∑

j=1

|〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H .

48Leopold Kronecker (∗ 7.12.1823 Liegnitz/Preußen † 29.12.1891 Berlin)49Friedrich Wilhelm Bessel (∗ 22.7.1784 Minden † 17.3.1846 Königsberg)


Bemerkung : • in (ii) insbesondere: x ∈ H y∞∑

j=1

|αj |2 =∞∑

j=1

|〈x, xj〉|2 <∞ y(〈x, xj〉

)

j∈N∈ ℓ2(N)

• (iii) “Extremal-/Minimumseigenschaft der Fourierkoeffizienten”

B e w e i s : zu (i):∥∥∥

n∑

j=1

αjxj

∥∥∥

2

H=

⟨ n∑

j=1

αjxj ,n∑

k=1

αkxk

⟩

=n∑

j=1

n∑

k=1

αjαk 〈xj , xk〉︸︷︷︸

δjk

=n∑

j=1

|αj |2

zu (ii): sei yn =n∑

j=1

αjxj y yn −−−−→n→∞

x yn∑

j=1

|αj |2 =(i)‖yn‖2H −−−−→n→∞

‖x‖2H ⇐⇒ (ii)

zu (iii): seien αj ∈ K beliebig

y∥∥∥x−

n∑

j=1

αjxj

∥∥∥

2

H=

⟨

x−n∑

j=1

αjxj , x−n∑

k=1

αkxk

⟩

= 〈x, x〉 −n∑

j=1

αj〈xj , x〉 −n∑

k=1

αk〈x, xk〉+n∑

j=1

n∑

k=1

αjαk 〈xj , xk〉︸︷︷︸

δjk

= ‖x‖2H +

n∑

j=1

∣∣∣αj − 〈x, xj〉

∣∣∣

2

︸︷︷︸

(αj−〈x,xj〉)(αj−〈xj,x〉)︸︷︷︸

≥0

−n∑

j=1

|〈x, xj〉|2

≥ ‖x‖2H −n∑

j=1

|〈x, xj〉|2

sowie

minαj∈K

∥∥∥x−

n∑

j=1

αjxj

∥∥∥

2

H= ‖x‖2H −

n∑

j=1

|〈x, xj〉|2 ⇐⇒ αj = 〈x, xj〉, j = 1, . . . , n

zu (iv): aus (iii) folgt∥∥∥x−

n∑

j=1

〈x, xj〉xj

∥∥∥

2

H= ‖x‖2H −

n∑

j=1

|〈x, xj〉|2

yn∑

j=1

|〈x, xj〉|2 = ‖x‖2H −∥∥∥x−

n∑

j=1

〈x, xj〉xj

∥∥∥

2

H

︸︷︷︸

≥0

≤ ‖x‖2H ====⇒n → ∞

∞∑

j=1

|〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H

Folgerung 2.35 Seien H ein Prä-Hilbertraum und xj , j ∈ N ⊂ H ein ONS. Dann sind folgende Aussagenäquivalent:

(i) xj , j ∈ N ⊂ H ist eine Orthonormalbasis, d.h. ∀ x ∈ H : x =

∞∑

j=1

〈x, xj〉xj

(ii) Für alle x ∈ H gilt die Parseval50sche Gleichung: ‖x‖2H =

∞∑

j=1

|〈x, xj〉|2 .

Be w e i s : (i) =⇒ (ii) folgt aus Satz 2.34(ii) mit αj = 〈x, xj〉

(ii) =⇒ (i) sei∥∥∥x−

n∑

j=1

〈x, xj〉xj

∥∥∥

2

H=

Satz 2.34(iv)‖x‖2H −

n∑

j=1

|〈x, xj〉|2(ii)−−−−→

n→∞0 y x =

∞∑

j=1

〈x, xj〉xj

50Marc-Antoine Parseval des Chênes (∗ 27.4.1755 Rosières-aux-Saline/Frankreich † 16.8.1836 Paris)


Satz 2.36 Seien H ein Hilbertraum und xj , j ∈ N ⊂ H ein ONS. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(i) xj , j ∈ N ⊂ H ist eine Orthonormalbasis, d.h. ∀ x ∈ H : x =∞∑

j=1

〈x, xj〉xj

(ii) Für alle x, y ∈ H gilt: 〈x, y〉 =∞∑

j=1

〈x, xj〉〈xj , y〉.

(iii) Für alle x ∈ H gilt die Parsevalsche Gleichung: ‖x‖2H =

∞∑

j=1

|〈x, xj〉|2 .

(iv) Es ist span xj , j ∈ N⊥ = 0, d.h. 〈x, xj〉 = 0, j ∈ N ⇐⇒ x = 0.

(v) span xj , j ∈ N ist dicht in H, d.h. span xj , j ∈ N = H.

Be w e i s : (i) =⇒ (ii) 〈x, y〉 =∞∑

j=1

∞∑

k=1

〈x, xj〉〈y, xk〉〈xj , xk〉︸︷︷︸

δjk

=

∞∑

j=1

〈x, xj〉〈xj , y〉

(ii) =⇒ (iii) ‖x‖2H = 〈x, x〉 =(ii)

∞∑

j=1

〈x, xj〉〈x, xj〉︸︷︷︸

|〈x,xj〉|2

=

∞∑

j=1

|〈x, xj〉|2

(iii) =⇒ (iv) sei x ∈ span xj , j ∈ N⊥ y 〈x, xj〉 = 0, j ∈ N ==⇒(iii)‖x‖H = 0 ⇐⇒ x = 0

(iv) =⇒ (i) seien x ∈ H =======⇒Satz 2.34(v)

∞∑

j=1

|〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H <∞; betrachten sn =

n∑

j=1

〈x, xj〉xj , n ∈ N

sei m > n y ‖sn − sm‖2H =∥∥∥

m∑

j=n+1

〈x, xj〉xj

∥∥∥

2

H=

Satz 2.34(i)

m∑

j=n+1

|〈x, xj〉|2 −−−−−→m,n→∞

0

y (sn)n Cauchy-Folge in H =======⇒H vollständig

∃ y ∈ H : sn −−−−→n→∞

y y ∃ y ∈ H : y =

∞∑

j=1

〈x, xj〉xj

y 〈y, xj〉 = 〈x, xj〉, j ∈ N y 〈y − x, xj〉 = 0, j ∈ N ==⇒(iv)

x = y =

∞∑

j=1

〈x, xj〉xj

(iv) =⇒ (v) sei U = span xj , j ∈ N ⊆ H ==⇒(iv)

U⊥ = 0 =====⇒Folg. 2.27

U = H

(v) =⇒ (iv) seien U = span xj , j ∈ N, y ∈ U⊥, z.z.: y = 0

y ∈ H =⇒(v)∃ (yj)j ⊂ U : yj −−−→

j→∞y ====⇒

y ∈ U⊥〈y, yj〉 = 0, j ∈ N y ‖y‖2H = lim

j→∞〈y, yj〉︸︷︷︸

0

= 0 y y = 0

Bemerkung : H Hilbertraum, dimH =∞, xj , j ∈ N ONB in H y H separabel:

betrachten UQ = spanQ xj , j ∈ N =

m∑

j=1

λjxj : m ∈ N, λj ∈ KQ

abzählbar, UQ = H

jetzt: sei H separabel y ∃ U = hj, j ∈ N ⊂ H : U = H, U abzählbar

o.B.d.A. U linear unabhängig, aber nicht orthogonal y können ONS daraus konstruieren

Lemma 2.37 (Gram-Schmidt51sches Orthogonalisierungsverfahren)Seien H ein Hilbertraum und U = hjj∈N ⊂ H linear unabhängig. Dann existiert ein ONS E = ejj∈N

in H, so dass gelten

spanh1, . . . , hn = spane1, . . . , en für alle n ∈ N, sowie spanU = spanE.

51Erhard Schmidt (∗ 13.1.1876 Dorpat (Tartu)/Estland † 6.12.1959 Berlin)


B e w e i s : z.z.: ∀ j, k ∈ N, k ≤ j ∃ ajk, ajj > 0 : ej =

j∑

k=1

ajkhk ONS in H, d.h. 〈em, er〉 = δmr

hnn∈N linear unabhängig y hn 6= 0, n ∈ N

induktiv : n = 1 : e1 :=h1

‖h1‖H, a11 =

1

‖h1‖H> 0

n→ n+ 1 : seien jetzt e1, . . . , en−1 entsprechend definiert, setzen

un := hn −n−1∑

k=1

〈hn, ek〉ek, en :=un

‖un‖H

un 6= 0, denn: un = 0 ⇐⇒ hn =

n−1∑

k=1

〈hn, ek〉 ek ⇐⇒ hn ∈ spane1, . . . , en−1

====⇒Ind.vor.

hn ∈ spanh1, . . . , hn−1 ⇐⇒ h1, . . . , hn linear abhängig y Widerspruch

〈un, em〉 = 〈hn, em〉 −n−1∑

k=1

〈hn, ek〉〈ek, em〉︸︷︷︸

δkm

= 〈hn, em〉 − 〈hn, em〉 = 0, m = 1, . . . , n− 1

y en ⊥ spane1, . . . , en−1, ‖en‖H = 1, ann =1

‖un‖H> 0

Bemerkung : geometrische Deutung für n = 3, H = ℓ32, d.h. R3 mit euklidischem Skalarprodukt

〈x, y〉 = 〈x, y〉2 =

3∑

j=1

ξjηj , x = (ξ1, ξ2, ξ3), y = (η1, η2, η3)

h1

h2

u2 = h2 − 〈h2, e1〉e1

e2

e1

h3

e3 u3 = h3 − 〈h3, e1〉e1 − 〈h3, e2〉e2

e1〈h2, e1〉e1 〈h3, e1〉e1

e2

〈h3, e2〉e2

Satz 2.38 Sei H ein Hilbertraum mit dimH = ∞. Dann ist H separabel genau dann, wenn eine ONBE = ejj∈N in H existiert. In diesem Fall ist H ∼= ℓ2(N) isometrisch-isomorph.

Be w e i s : nach Vorbemerkungen und Lemma 2.37 klar: H = U ⊂ span(U) = span(E) ⊆ H, ejj∈N ONS=====⇒Satz 2.36

ejj∈N ONB in H

zu H ∼= ℓ2(N): H separabel ∃ xjj ONB in H, betrachten

L : H→ ℓ2(N), x 7→ Lx = 〈x, xj〉j∈N

=======⇒Satz 2.36(iii)

‖x‖H = ‖Lx‖2 y L isometrisch, injektiv, linear, surjektiv: sei (αj)j∈N ∈ ℓ2(N)

y( n∑

j=1

αjxj

)

n∈NCauchy-Folge in H =======⇒

H vollständig∃ x ∈ H : x =

∞∑

j=1

αjxj ==⇒ONS

αj = 〈x, xj〉, j ∈ N

y ∃ x ∈ H : Lx = (αj)j∈N y L isometrischer Isomorphismus


Beispiele : Orthogonale Polynome

betrachten gewichtete (reelle) L2-Räume auf (a, b) ⊂ R, −∞ ≤ a < b ≤ ∞, mit w λ1-messbar,w ≥ 0, sowie w > 0 λ1-f.ü.

〈f, g〉w =

∫ b

a

f(x)g(x)w(x) dx

y orthogonalisieren (reelle) Polynome (Monome) xj, j ∈ N0 bzgl. 〈·, ·〉w mit Gram-Schmidt-Verfahren (Lemma 2.37), gelegentlich andere Normierung üblich (statt ‖en‖H = 1)

(a) (a, b) = (−1, 1), w(x) = (1 − x)α(1 + x)β , α, β > −1 99K Jacobi-Polynome P(α,β)n (x)

speziell: α = β = 0 ⇐⇒ w(x) ≡ 1 99K Legendre52-Polynome:

P0(x) =1√2, P1(x) =

√

3

2x, P2(x) =

3

4

√10

(

x2 − 1

3

)

, . . .

speziell: α = β = − 12 ⇐⇒ w(x) =

1√1− x2

99K Tschebyscheff53-Polynome (1. Art):

T0(x) =1√π, T1(x) =

√

2

πx, T2(x) =

√

2

π

(2x2 − 1

), . . .

üblich : Standardisierung, Tn(1) = 1

(b) (a, b) = (0,∞), w(x) = xα e−x, α > −1 99K Laguerre54-Polynome

L(α)0 (x) =

1√

Γ(α+ 1), L

(α)1 (x) =

1√

Γ(α+ 2)(x− (α + 1)) ,

L(α)2 (x) =

1√

2Γ(α+ 3)

((α+ 2)(α+ 1)− 2(α+ 2)x+ x2

), . . .

üblich : Standardisierung, an = (−1)n

n in L(α)n (x) = anx

n + · · ·+ a1x+ a0

(c) (a, b) = (−∞,∞) = R, w(x) = e−x2

99K Hermite55-Polynome:

H0(x) =14√π, H1(x) =

√2

4√π

x, H2(x) =

√2

4√π

(

x2 − 1

2

)

, . . .

üblich : Standardisierung, an = 2n in Hn(x) = anxn + · · ·+ a1x+ a0

Klassische Fourierreihen

H = L2(T) = L2,2π(R) = f : R→ C : f ∈ L2(R), f 2π − periodisch,

〈f, g〉2 =

∫ π

−π

f(x)g(x) dx

y E =

1√2π

eikx

k∈Z

ONS in L2,2π(R): 〈eikx, eimx〉 =∫ π

−π

ei(k−m)x dx =

2π, k = m

0, k 6= m

Menge der trigonometrischen Polynome T = m∑

k=−m

akeikx, ak ∈ C, m ∈ N0

= spanE (Folg. 1.45)

52Adrien-Marie Legendre (∗ 18.9.1752 Paris † 10.1.1833 Paris)53Pafnutij Lwowitsch Tschebyscheff (∗ 16.5.1821 Okatovo/Russland † 8.12.1894 St. Petersburg/Russland)54Edmond Nicolas Laguerre (∗ 9.4.1834 Bar-le-Duc/Frankreich † 14.8.1886 Bar-le-Duc/Frankreich)55Charles Hermite (∗ 24.12.1822 Dieuze, Lorraine/Frankreich † 14.1.1901 Paris)


Folgerung 2.39 (i)

1√2π

eikx

k∈Z

ist eine ONB in L2,2π(R)

(ii) Für alle f ∈ L2,2π(R) gilt

f(x) =∑

k∈Z

ckeikx, x ∈ [−π, π], mit ck =

1

2π

∫ π

−π

f(x)e−ikx dx.

(iii) Für alle f ∈ L2,2π(R) gilt

‖f |L2,2π‖2 = 2π∑

k∈Z

|ck|2.

(iv) Die trigonometrischen Polynome liegen dicht in L2,2π(R) und C2π(C).

(v) Es gilt:∫ π

−π

f(x)eikx dx = 0, k ∈ Z ⇐⇒ f = 0 f.ü.

Bemerkung : • ck . . . (klassische) Fourierkoeffizienten

• in (iv) auch Dichtheit in Lp,2π(R), 1 ≤ p <∞

Be w e i s : zu (i) und (iv): Folg. 1.45 y T = spanE = C2π(C) → L2,2π(R) dicht (Satz 1.77)

‖ · |L2,2π‖ ≤√2π ‖ · ‖∞ y T = spanE = L2,2π(R) =====⇒

Satz 2.36E ist ONB in L2,2π(R)

zu (ii): sei ek(x) =eikx√2π

, k ∈ Z

y 〈f, ek〉 =∑

m∈Z

cm√2π〈eimx, eikx〉︸︷︷︸

2πδkm

=√2π ck y ck =

1√2π〈f, ek〉 =

1

2π

∫ π

−π

f(x)e−ikx dx

zu (iii): f =∑

k∈Z

ckeikx =

∑

k∈Z

√2πck

︸︷︷︸γk

eikx√2π

︸︷︷︸

ek(x)

y ‖f |L2,2π‖2 =Folg. 2.35

∑

k∈Z

|γk|2 = 2π∑

k∈Z

|ck|2

zu (v): folgt aus Satz 2.36

Bemerkung : Modifikation für LR2,2π(R) = f : R → R : f ∈ L2(R), f 2π − periodisch basiert auf

Dichtheit der trigonometrischen Polynome

TR =a0

2+

m∑

k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) , ai, bi ∈ R, m ∈ N0

in C2π(R) (Folg. 1.46), wobei ak, bk, k ∈ N0, Fourierkoeffizienten bzgl. des (reellen) ONSER = cos(kx), sin(kx), k ∈ N0 sind

ak =1

π

π∫

−π

f(x) cos(kx) dx, bk =1

π

π∫

−π

f(x) sin(kx) dx, k ∈ N0

mit ck =1

2π

∫ π

−π

f(x) (cos(kx)− i sin(kx))︸︷︷︸

e−ikx

dx =ak − ibk

2, c−k =

ak + ibk2

, k ∈ N0


y ak = ck + c−k, k ∈ N0, bk =c−k − ck

i, k ∈ N

y f =∑

k∈Z

ckeikx =

a02

︸︷︷︸c0

+∑

k∈N

(ak cos(kx) + bk sin(kx))︸︷︷︸

(ckeikx+c−ke−ikx)

‖f |L2,2π‖2 = 2π∑

k∈Z

|ck|2 = 2π

(a204

︸︷︷︸

|c0|2

+∑

k∈N

( (ak − ibk)2

4︸︷︷︸

|ck|2

+(ak + ibk)

2

4︸︷︷︸

|c−k|2

))

= π(a202

+

∞∑

k=1

(a2k + b2k))

2.2.3 Adjungierte Operatoren und Projektoren

H Hilbertraum, A ∈ L(H), betrachten Sesquilinearform s(x, y) = 〈Ax, y〉=====⇒A ∈ L(H)

|s(x, y)| ≤ ‖A‖‖x‖H‖y‖H y s stetig =====⇒Satz 2.32

∃ ! S =: A∗ ∈ L(H) ∀ x, y ∈ H:

〈Ax, y〉 = s(x, y) = 〈x,A∗y〉, und ‖A∗‖L(H) ≤ ‖A‖L(H) (21)

Definition 2.40 Seien H ein Hilbertraum und A ∈ L(H).

(i) Der durch (21) gegebene Operator A∗ ∈ L(H) heißt zu A ∈ L(H) adjungierter Operator.

(ii) A ∈ L(H) heißt selbstadjungiert, falls gilt A∗ = A.

(iii) A ∈ L(H) heißt normal, falls gilt A∗A = AA∗.

(iv) A ∈ L(H) heißt unitär, falls gilt A∗ = A−1.

Bemerkung : • A ∈ L(H1,H2) y A∗ ∈ L(H2,H1) adjungierter Operator zu A ∈ L(H1,H2)

• A ∈ L(H) selbstadjungiert ⇐⇒ A = A∗ ⇐⇒ 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, x, y ∈ H

A ∈ L(H) selbstadjungiert =⇒ A normal

• A ∈ L(H) unitär ⇐⇒ A surjektiv und 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉, x, y ∈ H

A ∈ L(H) unitär =⇒ A normal

Beispiele : (a) Matrix-Operator A ←→ a = (ajk)nj,k=1, A ∈ L(Kn)

x, y ∈ Kn y 〈Ax, y〉 =n∑

j=1

(Ax)jyj =

n∑

j=1

n∑

k=1

ajkxk

︸︷︷︸

(Ax)j

yj =

n∑

k=1

xk

n∑

j=1

ajkyj

︸︷︷︸

(A∗y)k

= 〈x,A∗y〉

mit A∗ ←→ (akj)nj,k=1

(b) Fredholm-Integraloperator Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, k : Ω×Ω→ K, k ∈ L2(Ω×Ω),

(Kf)(x) =

∫

Ω

k(x, y)f(y) dy, x ∈ Ω

=====⇒Satz 2.13

K ∈ K(L2(Ω)) ⊂ L(L2(Ω))

〈Kf, g〉2 =

∫

Ω

(∫

Ω

k(x, y)f(y) dy)

︸︷︷︸

Kf(x)

g(x) dx =Fubini

∫

Ω

(∫

Ω

k(x, y)g(x) dx)

︸︷︷︸∫Ωk(x,y)g(x) dx

f(y) dy

= 〈f,K∗g〉2

mit (K∗g)(y) =

∫

Ω

k(x, y)g(x) dx


Beispiele : (c) Multiplikationsoperator Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, ϕ ∈ L∞(Ω)

Mϕ : L2(Ω)→ L2(Ω), f 7→Mϕf = ϕf y Mϕ ∈ L(L2(Ω))

〈Mϕf, g〉2 =

∫

Ω

ϕ(x)f(x)︸︷︷︸

Mϕf(x)

g(x) dx =

∫

Ω

f(x)(ϕg)(x) dx = 〈f,Mϕg〉2 y (Mϕ)∗= Mϕ

y (Mϕ)∗ Mϕ = MϕMϕ = Mϕϕ = Mϕ (Mϕ)

∗ y Mϕ normal

Mϕ selbstadjungiert ⇐⇒ Mϕ = (Mϕ)∗ ⇐⇒ ϕ = ϕ f.ü. in Ω

Mϕ unitär ⇐⇒ id = Mϕ (Mϕ)∗= Mϕϕ ⇐⇒ ϕ(x)ϕ(x) = |ϕ(x)|2 = 1 f.ü. in Ω

speziell: ϕ(x) = eix y Mϕ unitär

(d) H Hilbertraum, xjj ONB in H, L : H→ ℓ2(N), x 7→ Lx = 〈x, xj〉j∈N

y L unitär, da surjektiv und

〈Lx,Ly〉2 =

∞∑

j=1

〈x, xj〉︸︷︷︸

(Lx)j

〈y, xj〉︸︷︷︸

(Ly)j

=

∞∑

j=1

〈x, xj〉〈xj , y〉 =Satz 2.36(ii)

〈x, y〉H, x, y ∈ H

Satz 2.41 Seien H ein Hilbertraum und A,B ∈ L(H).

(i) (A+B)∗ = A∗ +B∗, (λA)∗ = λA∗, λ ∈ K

(ii) (AB)∗ = B∗A∗

(iii) (A∗)∗ = A

(iv) ‖A∗‖ = ‖A‖

(v) ‖AA∗‖ = ‖A∗A‖ = ‖A‖2

(vi) Falls A−1 ∈ L(H) existiert, so auch (A∗)−1 ∈ L(H), es gilt (A∗)−1 =(A−1

)∗.

(vii) Es sind R(A)⊥ = N (A∗) und R (A∗)⊥ = N(A), insbesondere gilt

H = R(A)⊕N (A∗) = R (A∗)⊕N(A).

Be w e i s : zu (i)-(iii): folgt aus Definition 2.40 und Satz 2.32, z.B.

〈(AB)x, y〉 = 〈Bx,A∗y〉 = 〈x, (B∗A∗)y〉 ===⇒Unität

(AB)∗ = B∗A∗

〈A∗x, y〉 = 〈y,A∗x〉 = 〈Ay, x〉 = 〈x,Ay〉 = 〈x, (A∗)∗ y〉 ===⇒Unität

(A∗)∗ = A

zu (iv): aus Satz 2.32 bereits ‖A∗‖ ≤ ‖A‖sei x ∈ H, ‖x‖H = 1 y ‖Ax‖2H = 〈Ax,Ax〉 = 〈x,A∗Ax〉 ≤ ‖A∗A‖

1︷︸︸︷

‖x‖2H ≤ ‖A∗‖ ‖A‖==⇒supx

‖A‖2 ≤ ‖A∗A‖ ≤ ‖A∗‖ ‖A‖, o.B.d.A. A 6= 0 y ‖A‖ ≤ ‖A∗‖

zu (v): ‖AA∗‖ =(ii)-(iv)

‖A∗A‖ ≤(iv)‖A‖2 ≤

(iv)‖A∗A‖ = ‖AA∗‖

zu (vi): ∃ A−1 ∈ L(H) y A−1A = idH = id∗H =(A−1A

)∗=(ii)

A∗ (A−1)∗

analog: idH =(A−1

)∗A∗ y (A∗)−1

=(A−1

)∗ ∈ L(H)

zu (vii): x ∈ N(A) ⇐⇒ 〈Ax, y〉 = 0, y ∈ H ⇐⇒ 〈x,A∗y〉 = 0, y ∈ H ⇐⇒ x ∈ (R(A∗))⊥

y R (A∗)⊥ = N(A) y R(A)⊥ = R ((A∗)∗)⊥ = N(A∗) =====⇒Satz 2.26

H = R(A)⊕N (A∗) = R (A∗)⊕N(A)


Bemerkung : analoge Aussagen gelten für A ∈ L(H1,H2), A∗ ∈ L(H2,H1)

Satz 2.42 Sei A ∈ L(H) selbstadjungiert. Dann gelten

〈Ax, x〉 ∈ R, x ∈ H, sowie ‖A‖ = sup‖x‖H=1

|〈Ax, x〉| .

Be w e i s : A = A∗ y 〈Ax, x〉 = 〈x,Ax〉 = 〈Ax, x〉 y 〈Ax, x〉 ∈ R

sei x ∈ H, ‖x‖H = 1 y |〈Ax, x〉| ≤Satz 2.21(i)

‖A‖ ‖x‖2H︸︷︷︸

1

y sup‖x‖H=1

|〈Ax, x〉| ≤ ‖A‖

n.z.z.: ‖A‖ ≤ sup‖x‖H=1

|〈Ax, x〉| =: γ

sei x ∈ H, x 6= 0 y |〈Ax, x〉| = ‖x‖2H∣∣∣∣

⟨

Ax

‖x‖H,

x

‖x‖H

⟩∣∣∣∣

︸︷︷︸

≤γ

≤ γ‖x‖2H (22)

〈A(y + z), y + z〉 − 〈A(y − z), y − z〉 = 〈Ay, y〉+ 〈Ay, z〉+=〈z,Ay〉,A=A∗

︷︸︸︷

〈Az, y〉 +〈Az, z〉− 〈Ay, y〉+ 〈Ay, z〉+ 〈Az, y〉

︸︷︷︸

=〈z,Ay〉,A=A∗

−〈Az, z〉

= 2〈Ay, z〉+ 2 〈z, Ay〉︸︷︷︸

〈Ay,z〉

= 4 ℜe 〈Ay, z〉 ∈ R

y 4 ℜe 〈Ay, z〉 = 〈A(y + z), y + z〉 − 〈A(y − z), y − z〉 ≤(22)

γ(‖y + z‖2H + ‖y − z‖2H

)

︸︷︷︸

=2‖y‖2H+2‖z‖2

H, Satz 2.21(ii)

y 2 ℜe 〈Ay, z〉 ≤ γ(‖y‖2H + ‖z‖2H

)(23)

sei u ∈ H, ‖u‖H = 1, setzen y = ‖Au‖Hu, z = Au y ‖y‖H = ‖z‖H = ‖Au‖H

==⇒(23)

2ℜe 〈Ay, z〉 = 2ℜe ‖Au‖H〈Au,Au〉︸︷︷︸

‖Au‖3H

≤ 2γ‖Au‖2H y ‖Au‖H ≤ γ ==⇒supu

‖A‖ ≤ γ = sup‖x‖H=1

|〈Ax, x〉|

Bemerkung : später: A : H→ H linear & symmetrisch, d.h. 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, x, y ∈ H=⇒ A ∈ L(H), A = A∗

Satz 2.43 Seien H ein Hilbertraum und A ∈ L(H).

(i) Falls A selbstadjungiert ist, sowie für alle x ∈ H gilt 〈Ax, x〉 = 0, so ist A = 0.

(ii) A normal ⇐⇒ ‖Ax‖H = ‖A∗x‖H, x ∈ H.

(iii) Sei H komplex. Es gilt A = A∗ genau dann, wenn 〈Ax, x〉 ∈ R für alle x ∈ H ist.

Be w e i s : zu (i): 〈Ax, x〉 = 0, x ∈ H =====⇒Satz 2.42

‖A‖ = 0 ⇐⇒ A = 0

zu (ii): ‖Ax‖2H − ‖A∗x‖2H = 〈Ax,Ax〉︸︷︷︸

〈Ax,(A∗)∗x〉,Satz 2.41

− 〈A∗x,A∗x〉︸︷︷︸

〈A(A∗x),x〉

= 〈A∗Ax, x〉 − 〈AA∗x, x〉 = 〈(A∗A−AA∗)x, x〉

A normal ⇐⇒ A∗A = AA∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(i), da (A∗A−AA∗)∗=(A∗A−AA∗)

‖Ax‖H = ‖A∗x‖H, x ∈ H

zu (iii): =⇒ folgt aus Satz 2.42


⇐= x, y ∈ H y 〈A(x + y), x+ y〉︸︷︷︸

∈R

= 〈Ax, x〉︸︷︷︸

∈R

+〈Ax, y〉+ 〈x,Ay〉+ 〈Ay, y〉︸︷︷︸

∈R

y 〈Ax, y〉+ 〈x,Ay〉 ∈ R y ℑm(

〈Ax, y〉+ 〈x,Ay〉)

︸︷︷︸

ℑm 〈Ax,y〉−ℑm 〈x,Ay〉

= 0 y ℑm 〈Ax, y〉 = ℑm 〈x,Ay〉, x, y ∈ H (24)

====⇒z = ix

ℑm 〈Az, y〉︸︷︷︸

i〈Ax,y〉︸︷︷︸

iℜe 〈Ax,y〉

= ℑm 〈z, Ay〉︸︷︷︸

i〈x,Ay〉︸︷︷︸

iℜe 〈x,Ay〉

⇐⇒ ℜe 〈Ax, y〉 = ℜe 〈x,Ay〉 ==⇒(24)

〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, x, y ∈ H

=====⇒A∗ eind.

A = A∗

Bemerkung : A normal =======⇒Satz 2.43(ii)

‖Ax‖H = ‖A∗x‖H, d.h. Ax = 0 ⇐⇒ A∗x = 0 ⇐⇒ N(A) =

N(A∗)

Projektoren im Hilbertraum

bisher: orthogonale Projektoren (Def. 2.28), d.h. U ⊂ H abgeschlossener Teilraum von H,

PU : H→ U, PU : f 7→ PUf ∈ U mit f − PUf ∈ U⊥, ‖f − PUf‖H = infh∈U‖f − h‖H

Satz 2.44 Seien H ein Hilbertraum und P ∈ L(H). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(i) P ist ein orthogonaler Projektor, d.h. es existiert ein abgeschlossener Teilraum U ⊂ H mit P = PU .

(ii) Es gilt P ∗ = P = P 2.

(iii) Es gilt P = P 2 und P ≥ 0, d.h. für alle x ∈ H ist 〈Px, x〉 ≥ 0.

Be w e i s : (i) =⇒ (ii) z.z.: P 2U = PU : P 2

U : HPU−−→ U ⊆ H

PU−−→ U ; sei f = PUf y g.z.z.: PUf beste

Approximation zu f

0 = ‖PUf − PUf‖H = ‖f − PUf‖H ≥ infh∈U‖f − h‖H ≥ 0 y ‖f − PUf‖H = inf

h∈U‖f − h‖H = 0

f − PUf = PUf − PUf = 0 ∈ U⊥ =====⇒Satz 2.25

PUf ist eindeutig bestimmte beste Approximation zu

f = PUf =====⇒Def. 2.28

P 2Uf = PU f = PUf ======⇒

f ∈ H bel.P 2U = PU

z.z.: P ∗U = PU : h ∈ H =====⇒

Satz 2.26h = PUh

︸︷︷︸

∈U

+(h− PUh)︸︷︷︸

∈U⊥

y 〈PUf, g〉 = 〈PUf, PUg〉+ 〈PUf︸︷︷︸

∈U

, g − PUg︸︷︷︸

U⊥

〉

︸︷︷︸0

= 〈f, PUg〉+ 〈PUf − f︸︷︷︸

∈U⊥

, PUg︸︷︷︸

∈U

〉

︸︷︷︸0

= 〈f, PUg〉 =====⇒P∗ eind.

P ∗ = P

(ii) =⇒ (iii) 〈Px, x〉 =P 2 = P

〈P 2x, x〉 =P∗ = P

〈Px, Px〉 = ‖Px‖2H ≥ 0

(iii) =⇒ (i) setzen U := R(P ) = P (H) = x ∈ H : x = Px ⊆ H ======⇒P ∈ L(H)

U linearer Teilraum

z.z.: U = U : sei (yj)j ⊂ U, yj −−−→j→∞

y y ∃ (xj)j ⊂ H : yj = Pxj −−−→j→∞

y

======⇒P ∈ L(H)

∃ (xj)j ⊂ H : Pyj = P 2xj︸︷︷︸

Pxj

−−−→j→∞

Py ========⇒Pxj −−−−→

j→∞y

y = Py y y ∈ U

sei x ∈ H y P (x−Px) = Px− P 2x︸︷︷︸

Px

= 0 y x−Px ∈ N(P ), Px = P 2x = P (Px) y Px ∈ R(P ) = U

y ∀ x ∈ H ∃ x1 = x−Px ∈ N(P ), x2 = Px ∈ R(P ) : x = x1+x2 y H = N(P )+R(P ) = N(P )+U


sei y ∈ U ∩N(P ) y y = Py = 0 y U ∩N(P ) = 0; n.z.z.: N(P ) = U⊥

seien x1 ∈ N(P ), x2 ∈ U = R(P ), z.z.: 〈x1, x2〉 = 〈x2, x1〉 = 0

0 ≤ 〈P (x1 + x2), x1 + x2〉 = 〈 Px1︸︷︷︸0

, x1 + x2〉︸︷︷︸

0

+〈 Px2︸︷︷︸x2

, x1〉+ 〈 Px2︸︷︷︸x2

, x2〉

︸︷︷︸

‖x2‖2H

= 〈x2, x1〉+ ‖x2‖2H

y −‖x2‖2H ≤ 〈x2, x1〉 ∈ R; Annahme: 〈x2, x1〉 =: γ > 0 y x2 6= 0

betrachten u = −2‖x2‖2Hγ

x1 ======⇒x1 ∈ N(P )

u ∈ N(P )

==⇒s.o.−‖x2‖2H ≤ 〈x2, u〉 = −

2‖x2‖2Hγ

〈x2, x1〉︸︷︷︸

γ

= −2‖x2‖2H y ‖x2‖H = 0 y x2 = 0

bisher: A ∈ L(H) ⇐⇒ A∗ ∈ L(H); jetzt: A ∈ K(H)?⇐=⇒ A∗ ∈ K(H)

zur Erinnerung: F(H1,H2) = A ∈ L(H1,H2) : rank(A) <∞H1 = H2 = H, A ∈ F(H) y ∃ n ∈ N : rank(A) = n ========⇒

Gram-Schmidt∃ ejnj=1 ⊂ H : ejnj=1 ONB in R(A)

Lemma 2.45 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ F(H) mit rank(A) = n ∈ N, ejnj=1 ONB in R(A). Danngelten

Ax =

n∑

j=1

〈x,A∗ej〉ej , A∗x =

n∑

j=1

〈x, ej〉A∗ej , x ∈ H,

sowie rank(A) = rank(A∗) = n.

Be w e i s : x ∈ H y Ax ∈ R(A) ==⇒ONB

Ax =

n∑

j=1

〈Ax, ej〉ej =n∑

j=1

〈x,A∗ej〉ej

sei y ∈ H y 〈Ax, y〉 =n∑

j=1

〈x,A∗ej〉〈ej , y〉 =⟨

x,

n∑

j=1

〈y, ej〉A∗ej

⟩

===⇒Eind.

A∗y =

n∑

j=1

〈y, ej〉A∗ej

y rank(A∗) ≤ n y n = rank(A) = rank ((A∗)∗) ≤ rank(A∗) ≤ n

Satz 2.46 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H).

(i) A ∈ K(H) ⇐⇒ ∃ (An)n∈N ∈ F(H) : ‖A−An‖ −−−−→n→∞

0

(ii) A ∈ K(H) ⇐⇒ A∗ ∈ K(H)

Be w e i s : 1. Schritt: zu (i) ⇐= Folg. 2.12

=⇒ sei A ∈ K(H) =====⇒Def. 2.10

A(UH) = Ax : x ∈ H, ‖x‖H ≤ 1 präkompakt

=====⇒Satz 1.17

∀ ε > 0 ∃ y1, . . . , ynε ⊂ H : endliches ε-Netz für A(UH)

sei ε > 0, setzen Vε := spany1, . . . , ynε ⊂ H y dim Vε ≤ nε y Vε = Vε abgeschlossen

sei Pε = PVε : H → Vε orthogonaler Projektor y Aε := PεA : H → Vε ⊂ H, y Aε ∈ L(H), mitrank(Aε) ≤ rank(Pε) = rank(Vε) ≤ nε y Aε ∈ F(H)

sei x ∈ UH, d.h. ‖x‖H ≤ 1

y ‖Ax−Aεx‖H =y = Ax

‖y − Pεy‖H =Satz 2.26

infh∈Vε

‖y − h‖H ≤y = Ax

minj=1,...,nε

∥∥

∈A(UH)︷︸︸︷

Ax −yj∥∥H

<ε-Netz

ε

==⇒supx

‖A−Aε‖ < ε y ∀ ε > 0 ∃ Aε ∈ F(H), rank(Aε) ≤ nε : ‖A− Aε‖ < ε

2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 93

2. Schritt: zu (ii) =⇒ A ∈ K(H) =⇒(i)∃ (An)n ∈ F(H) : ‖A−An‖ −−−−→

n→∞0

=======⇒Lemma 2.45

∃ (A∗n)n ∈ F(H) : ‖A∗ −A∗

n‖ =Satz 2.41

‖A−An‖ −−−−→n→∞

0 =⇒(i)

A∗ ∈ K(H)

⇐= A∗ ∈ K(H) ==⇒s.o.

(A∗)∗ ∈ K(H) =====⇒Satz 2.41

A = (A∗)∗ ∈ K(H)

Bemerkung : • (i) entsprichtF(H) = K(H); allgemein: F(H1,H2) = K(H1,H2), H1, H2 Hilberträume

• siehe Bemerkung nach Folg. 2.12: für Banachräume gilt i.a. F(X,Y) ( K(X,Y)

2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum

2.3.1 Die Fredholmsche Alternative

H Hilbertraum, A ∈ L(H), id = idH y id∗ = id,

============⇒Satz 2.41 für A − id

H = R(A− id)⊕N (A∗ − id) = R (A∗ − id)⊕N(A− id)

Lemma 2.47 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ K(H). Dann existiert ein c > 0, so dass gilt

‖z‖H ≤ c ‖(A− id)z‖H für alle z ∈ N(A− id)⊥.

Be w e i s : indirekt, Annahme: ∀ k ∈ N ∃ zk ∈ N(A− id)⊥ : ‖zk‖H > k ‖(A− id)zk‖Ho.B.d.A. ‖zk‖H = 1, k ∈ N y ∀ k ∈ N ∃ zk ∈ N(A− id)⊥, ‖zk‖H = 1 : ‖(A− id)zk‖H < 1

k (25)

A ∈ K(H) =====⇒Def. 2.10

A(UH) = Ax : x ∈ H, ‖x‖H ≤ 1 präkompakt

(Azk)k ⊂ A(UH) y ∃ (Azkr )r∈N ⊂ (Azk)k ∃ y ∈ H : Azkr −−−→r→∞

y

y zkr = Azkr︸︷︷︸−−−→r→∞

y

− (A− id)zkr︸︷︷︸

−−−→r→∞

0,(25)

−−−→r→∞

y ==============⇒zkr ∈ N(A − id)⊥ abg.

y ∈ N(A− id)⊥, ‖y‖H = limr→∞

‖zkr‖H = 1

(A− id)y = limr→∞

(A− id)zkr =(25)

0 y y ∈ N(A− id) ∩N(A− id)⊥ = 0, ‖y‖H = 1

Satz 2.48 (Fredholmsche Alternative)

Seien H ein Hilbertraum und A ∈ K(H). Dann gelten folgende Aussagen:

(i) dimN(A− id) <∞

(ii) R(A− id) = R(A− id), d.h. R(A− id) ist abgeschlossen

(iii) R(A− id) = N(A∗ − id)⊥, d.h. H = R(A− id)⊕N(A∗ − id)

(iv) R(A− id) = H ⇐⇒ N(A− id) = 0

(v) dimN(A− id) = dimN(A∗ − id)

Bemerkung : (iv) . . . abstrakte Fassung der Fredholmschen Alternative, direkte Formulierung in Folg. 2.49;A− id surjektiv genau dann, wenn A− id injektiv

B e w e i s : zu (i): indirekt, d.h. Annahme: dimN(A− id) =∞========⇒Gram-Schmidt

∃ (ek)k∈N ONS : N(A− id) = spanek, k ∈ N y ∀ k ∈ N : (A− id)ek = 0 ⇐⇒ Aek = ek

y ‖Aek − Aem‖2H = ‖ek − em‖2H =ONS‖ek‖2H + ‖em‖2H = 2, k,m ∈ N, k 6= m

y Aek, k ∈ N nicht präkompakt, aber ek, k ∈ N beschränkt y A /∈ K(H)


zu (ii): sei (yk)k ⊂ R(A− id), yk −−−−→k→∞

y ∈ H; z.z.: y ∈ R(A− id)

(yk)k ⊂ R(A− id) y ∃ (xk)k ⊂ H : yk = (A− id)xk

Satz 2.26 mit U = N(A− id) y H = N(A− id)⊕N(A− id)⊥

y ∀ k ∈ N ∃ ! uk ∈ N(A− id) ∃ ! vk ∈ N(A− id)⊥ : xk = uk + vk

y yk = (A− id) (uk + vk)︸︷︷︸

xk

= (A− id)uk︸︷︷︸

0,uk∈N(A− id)

+(A− id)vk = (A− id)vk, vk ∈ N(A− id)⊥

=======⇒Lemma 2.47

∃ c > 0 ∀ k,m ∈ N : ‖vk − vm‖H ≤ c‖(A− id)(vk − vm)‖H = ‖yk − ym‖H −−−−−→k,m→∞

0

y (vk)k∈N ⊂ H Cauchy-Folge y ∃ v ∈ H : vk −−−−→k→∞

v

y ∃ v ∈ H : y = limk→∞

yk = limk→∞

(A− id)vk =A ∈ L(H)

(A− id)v ⇐⇒ y ∈ R(A− id)

zu (iii): folgt aus (ii) und Satz 2.41 für A− id

zu (iv): ⇐= sei N(A− id) = 0, z.z.: R(A− id) = H; indirekt, Annahme: R(A− id) ( H

=====⇒Satz 2.41

N(A∗ − id) ) 0 y ∃ y1 ∈ H, y1 6= 0 : (A∗ − id)y1 = 0, o.B.d.A. ‖y1‖H = 1

N(A− id) = 0 =====⇒Satz 2.41

H = R(A∗ − id) =(iii)

R(A∗ − id)

y1 ∈ H ==========⇒H = R(A∗ − id)

∃ y2 ∈ H : y1 = (A∗ − id)y2 y y2 6= 0, (A∗ − id)2y2 = (A∗ − id)y1 = 0

y y2 ∈ N((A∗ − id)2) \N(A∗ − id)

Iteration 99K ∃ (yk)k∈N ⊂ H : yk 6= 0, (A∗ − id)yk+1 = yk, yk ∈ N((A∗ − id)k

)\N

((A∗ − id)k−1

)

y N (A∗ − id) ( N((A∗ − id)2

)( · · · ( N

((A∗ − id)k−1

)( N

((A∗ − id)k

)( · · ·

setzen Hk := N((A∗ − id)k

)y H1 ( H2 ( · · · ( Hk−1 ( Hk ( · · ·

=====⇒Satz 2.26

Hk+1 = Hk︸︷︷︸

(Hk+1

⊕H⊥k y H⊥

k ) 0, k ∈ N y ∃ (yk)k ⊂ H : yk+1 ∈ H⊥k ⊂ Hk+1, ‖yk‖H = 1

A ∈ K(H) =====⇒Satz 2.46

A∗ ∈ K(H) y A∗yk, k ∈ N präkompakt in H

sei n > m ∈ N y ‖A∗yn −A∗ym‖2H =∥∥yn +

y∈Hn−1︷︸︸︷

(A∗ − id)yn︸︷︷︸

yn−1∈Hn−1

− ym︸︷︷︸

∈Hm⊆Hn−1

− (A∗ − id)ym︸︷︷︸

ym−1∈Hm−1(Hn−1

∥∥2

H= ‖yn − y‖2H

======⇒yn ∈ H⊥

n−1

‖A∗yn −A∗ym‖2H = ‖yn − y‖2H =Satz 2.24(i)

‖yn‖2H + ‖y‖2H︸︷︷︸

≥0

≥ ‖yn‖2H = 1, n > m

y A∗yk, k ∈ N nicht präkompakt in H

=⇒ R(A− id) = H =====⇒Satz 2.41

N(A∗ − id)⊥ = H =====⇒Satz 2.26

N(A∗ − id) = 0 ==⇒s.o.

R(A∗ − id) = H

=====⇒Satz 2.41

0 = N ((A∗)∗ − id) =(A∗)∗ = A

N(A− id)

zu (v): seien dimN(A− id) = m, dimN(A∗ − id) = n, z.z.: m = n

indirekt, Annahme: dimN(A− id) = m < n = dimN(A∗ − id) =Satz 2.41

dimR(A− id)⊥

y ∃ L0 : N(A− id)→ R(A− id)⊥, L0 linear, injektiv, nicht surjektiv(da dimL0(N(A− id)) ≤ dimN(A− id) < dimR(A− id)⊥)

zerlegen H = N(A− id)⊕N(A− id)⊥ y ∀ x ∈ H ∃ ! x1 ∈ N(A− id) ∃ ! x2 ∈ N(A− id)⊥ : x = x1+x2


setzen L : H→ H mit Lx = L0x1 ∈ R(A− id)⊥, insbesondere Lx =

L0x, x ∈ N(A− id)

0, x ∈ N(A− id)⊥

y L : H→ R(A− id)⊥ =============⇒dimR(A − id)⊥ = n

L ∈ K(H) (Satz 2.11) ======⇒A ∈ K(H)

K = A+ L ∈ K(H)

sei u ∈ N(K− id) y 0 = (K− id)u = Au+Lu−u ⇐⇒ (A− id)u︸︷︷︸

∈R(A− id)

= −Lu ∈ R(A− id)⊥∩R(A− id) = 0

y (A− id)u = 0 = −Lu y u = 0, da L|N(A− id)= L0 injektiv

y N(K − id) = 0 =======⇒(iv), A = K

R(K − id) = H

L injektiv, nicht surjektiv y ∃ v ∈ R(A− id)⊥ \R(L) ============⇒v ∈ H = R(K − id)

∃ u ∈ H : (K − id)u = v

y (A− id)u︸︷︷︸

∈R(A− id)

= (K − id)u− Lu = v − Lu︸︷︷︸

∈R(A− id)⊥

∈ R(A− id)⊥ ∩R(A− id) = 0

y (A− id)u = 0 ⇐⇒ v = Lu ∈ R(L) y Annahme falsch, d.h. dimN(A− id) ≥ dimN(A∗ − id)

analog für A↔ A∗ y dimN(A∗ − id) ≥ dimN(A− id) y dimN(A∗ − id) = dimN(A− id)

Bemerkung : • sei U ⊆ H abgeschlossen, H = U ⊕ V 99K codimU := dim V Kodimension von U

• T ∈ L(H) Fredholm-Operator

⇐⇒ R(T ) = R(T ), dimN(T ) <∞, codimR(T ) <∞

T = A− id, A ∈ K(H) =====⇒Satz 2.48

R(T ) = R(T ), codimR(T ) = dimN(T ∗) <∞,

dimN(T ) <∞ y T = A− id Fredholm-Operator

Folgerung 2.49 (Fredholmsche Alternative)

Seien H ein Hilbertraum und A ∈ K(H).

(i) Entweder ist die inhomogene Gleichung

Au− u = v

eindeutig lösbar für alle v ∈ H, oder die homogene Gleichung

Au− u = 0

besitzt nicht-triviale Lösungen.

(ii) Der Raum der Lösungen der homogenen Gleichung ist endlich-dimensional, dimN(A− id) <∞.Falls die homogene Gleichung nicht-triviale Lösungen besitzt, so ist die inhomogene Gleichung

Au− u = v

genau dann lösbar, wenn v ∈ N(A∗ − id)⊥ gilt.

(iii) Wenn die Gleichung Au− u = v eindeutig lösbar ist für alle v ∈ H, so existiert (A− id)−1 ∈ L(H).

Be w e i s : zu (iii): N(A− id) = 0 y N(A− id)⊥ = H = R(A− id)

=======⇒Lemma 2.47

∃ c > 0 ∀ z ∈ H : ‖z‖H ≤ c ‖(A− id)z‖H========⇒y = (A − id)z

∃ c > 0 ∀ y ∈ H : ‖(A− id)−1y‖H ≤ c‖y‖H y (A− id)−1 ∈ L(H)


2.3.2 Das Spektrum kompakter und selbstadjungierter Operatoren

Erinnerung: H Hilbertraum, A ∈ L(H), id = idH (Definition 2.14)

• (A) =λ ∈ C : ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H)

Resolventenmenge von A

• σσσ(A) = C \ (A) Spektrum von A

• λ ∈ C Eigenwert von A ⇐⇒ ∃ x0 ∈ H, x0 6= 0 : Ax0 = λx0 ⇐⇒ dimN(A− λ id) ≥ 1x0 ∈ H Eigenvektor zum Eigenwert λ für A

• λ Eigenwert von A der (geometrischen) Vielfachheit k ∈ N ⇐⇒ dimN(A− λ id) = k

• λ Eigenwert y λ ∈ σσσ(A)

• dimH =∞, A ∈ K(H) y 0 ∈ σσσ(A)

Satz 2.50 Seien H ein Hilbertraum mit dimH =∞ und A ∈ K(H).

(i) Das Spektrum σσσ(A) besteht aus 0 und höchstens abzählbar unendlich vielen Eigenwerten endlicherVielfachheit, die verschieden von 0 sind,

σσσ(A) = 0 ∪ λk, k ∈ N : λk 6= 0, λk Eigenwert zu A, dimN(A− λk id) <∞.

(ii) Falls abzählbar unendlich viele Eigenwerte existieren, so häufen sich diese in 0.

(iii) Es gilt σσσ(A∗) = λ : λ ∈ σσσ(A).

Bemerkung : falls nur endlich viele Eigenwerte λ1, . . . , λm existieren 99K λn := λm, n ≥ m+ 1

Be w e i s : zu (i): 0 ∈ σσσ(A) bekannt; o.B.d.A. λ 6= 0

z.z.: λ ∈ σσσ(A) ⇐⇒ λ Eigenwert ⇐⇒ ∃ x0 ∈ H, x0 6= 0 : Ax0 = λx0 ⇐⇒ dimN(A− λ id) ≥ 1

indirekt, Annahme: dimN(A− λ id) = 0 ===⇒λ 6= 0

N(1λA− id

)= 0 =====⇒

Satz 2.48R

(1λA− id

)= H

=======⇒Folg. 2.49(iii)

∃(1λA− id

)−1 ∈ L(H) ⇐⇒ ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H) ⇐⇒ λ ∈ (A) = C \ σσσ(A)

sei λ ∈ σσσ(A) Eigenwert, λ 6= 0 =======⇒Folg. 2.49(iii)

dimN(1λA− id

)= dimN(A− λ id) <∞

zu (ii): seien (λj)j ⊂ σσσ(A) Eigenwerte von A, z.z.: ∀ r > 0 : #j ∈ N : |λj | ≥ r ≤ nr <∞(99K ∀ r > 0 : #Kr(0) ∩ λj , j ∈ N =∞ y 0 ist einziger Häufungspunkt von (λj)j)

Annahme: ∃ r0 > 0 ∃ (λj)∞j=1 (Teil-) Folge von Eigenwerten mit λj 6= λk, j 6= k, und |λk| ≥ r0 y

∃ (xj)∞j=1 ⊂ H : xj 6= 0, Axj = λjxj , o.B.d.A. ‖xj‖H = 1

zeigen: xj , j ∈ N linear unabhängig:Induktion, n→ n+ 1: seien xj , j = 1, . . . , n linear unabhängig

n+1∑

j=1

αjxj = 0

=====⇒λn+1 6= 0

n+1∑

j=1

λn+1αjxj = 0

=====⇒A ∈ L(H)

A

( n+1∑

j=1

αjxj

)

=

n+1∑

j=1

αj Axj︸︷︷︸

λjxj

= 0

======⇒Subtraktion

n∑

j=1

(λn+1 − λj)αjxj = 0

====⇒Ind.vor.

(λn+1 − λj)︸︷︷︸

6=0,j≤n

αj = 0, j = 1, . . . , n y αj = 0, j = 1, . . . , n

==⇒s.o.

0 =

n+1∑

j=1

αjxj = αn+1 xn+1︸︷︷︸

6=0

y αn+1 = 0


sei Hn = spanx1, . . . , xn y dimHn = n y Hm−1 ( Hm ⊆ Hn−1 ( Hn, n > m

x ∈ Hn y (A− λn id)(x) = (A− λn id)( n∑

j=1

αjxj

)

=n∑

j=1

αj(Axj − λnxj) =n−1∑

j=1

αj(λj − λn)xj ∈ Hn−1

y (A− λn id)(Hn) ⊆ Hn−1

Hn = Hn−1 ⊕H⊥n−1, n ≥ 2; dimHn > dimHn−1 y ∃ yn ∈ H⊥

n−1 ⊂ Hn, ‖yn‖H = 1; sei n > m

‖Ayn −Aym‖2H = ‖ (A− λn id)yn︸︷︷︸

∈Hn−1

− (A− λm id)ym︸︷︷︸

∈Hm−1⊂Hn−1

+ λnyn︸︷︷︸

∈H⊥n−1

−λmym︸︷︷︸

∈Hm⊆Hn−1

‖2H

= ‖ y︸︷︷︸

∈Hn−1

+ λnyn︸︷︷︸

∈H⊥n−1

‖2H =Satz 2.24

‖y‖2H + ‖λnyn‖2H︸︷︷︸

|λn|2

≥ |λn|2 ≥ r20

y ∃ ynn ⊂ H, ‖yn‖H = 1 : ‖Ayn−Aym‖H ≥ r0, n > m y ∃ ynn ⊂ H : ynn beschränkt, Aynnnicht präkompakt, aber A ∈ K(H)

zu (iii): sei λ ∈ (A) ⇐⇒ ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H)

=======⇒Satz 2.41(vi)

∃ ((A− λ id)∗)−1=

((A− λ id)−1

)∗ ∈ L(H) ⇐⇒ ∃(A∗ − λ id

)−1 ∈ L(H) y λ ∈ (A∗)

y λ : λ ∈ (A) ⊆ (A∗) y σσσ(A∗) ⊆ λ : λ ∈ σσσ(A)y σσσ(A) = σσσ ((A∗)∗) ⊆ λ : λ ∈ σσσ(A∗) ⊆ σσσ(A) ⇐⇒ σσσ(A∗) = λ : λ ∈ σσσ(A)

jetzt: A ∈ K(H), A = A∗

• Folg. 2.16: r(A) = limk→∞

k

√

‖Ak‖ ≤ ‖A‖; ÜA II-19: A ∈ L(H) normal y r(A) = ‖A‖

• Satz 2.18: |λ| > r(A) y ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H) y λ ∈ C : |λ| > r(A) ⊆ (A)y σσσ(A) ⊆ λ ∈ C : |λ| ≤ r(A)

• Satz 2.42: 〈Ax, x〉 ∈ R, x ∈ H, ‖A‖ = sup‖x‖H=1

|〈Ax, x〉|

• Satz 2.50: dimH =∞ y σσσ(A∗) = λ : λ ∈ σσσ(A),

σσσ(A) = 0 ∪ λk, k ∈ N : λk 6= 0, λk Eigenwert zu A, dimN(A− λk id) <∞

Folgerung 2.51 Seien H ein Hilbertraum und A ∈ L(H) mit A = A∗.

(i) Die Eigenwerte von A sind reell, Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zuein-ander.

(ii) Gilt zusätzlich A ∈ K(H), so existiert ein Eigenwert λ0 mit |λ0| = ‖A‖ = r(A).

Be w e i s : zu (i): sei λ ∈ σσσ(A) Eigenwert

y ∃ x 6= 0 : Ax = λx y λ 〈x, x〉︸︷︷︸

∈R

= 〈Ax, x〉 ∈ R ===⇒x 6= 0

λ ∈ R

seien λ1, λ2 Eigenwerte, λ1 6= λ2 y ∃ x1, x2 ∈ H \ 0 : Axj = λjxj , j = 1, 2

y λ1〈x1, x2〉 = 〈Ax1, x2〉 =A = A∗

〈x1, Ax2〉 =λ2 ∈ R

λ2〈x1, x2〉 ⇐⇒ (λ1 − λ2)︸︷︷︸

6=0

〈x1, x2〉 = 0 ⇐⇒ 〈x1, x2〉 = 0

zu (ii): o.B.d.A. A 6= 0; ‖A‖ = sup‖x‖H=1

|〈Ax, x〉| ==⇒sup

∃ (xn)n ⊂ H, ‖xn‖H = 1 : |〈Axn, xn〉| −−−−→n→∞

‖A‖

y (xn)n ⊂ H beschränkt ======⇒A ∈ K(H)

∃ (xnr )r ⊂ (xn)n ∃ y ∈ H : Axnr −−−→r→∞y


y (〈Axnr , xnr 〉)r ⊂ R beschränkt ===========⇒Bolzano-Weierstraß

∃(

xnrk

)

k⊂ (xnr )r ∃ λ0 ∈ R :

⟨

Axnrk, xnrk

⟩

−−−−→k→∞

λ0,∣∣∣

⟨

Axnrk, xnrk

⟩∣∣∣ −−−−→

k→∞‖A‖ y |λ0| = ‖A‖ 6= 0

0 ≤∥∥∥Axnrk

− λ0xnrk

∥∥∥

2

H=

∥∥∥Axnrk

∥∥∥

2

H︸︷︷︸

≤‖A‖2‖xnrk‖2=|λ0|2

− 2λ0

⟨

Axnrk, xnrk

⟩

+ |λ0|2 ‖xnrk‖2H

︸︷︷︸

1

≤ 2|λ0|2 − 2λ0

⟨

Axnrk, xnrk

⟩

︸︷︷︸

−−−−→k→∞

λ0

−−−−→k→∞

0

y y = limk→∞

Axnrk= lim

k→∞

(

Axnrk− λ0xnrk

)

︸︷︷︸0

+λ0 limk→∞

xnrky ∃ x0 =

y

λ0∈ H : x0 = lim

k→∞xnrk

y ‖x0‖H = limk→∞

‖xnrk‖H = 1, Ax0 = lim

k→∞Axnrk

= y = λ0x0 y λ0 = ±‖A‖ Eigenwert zu x0 ∈ H

Satz 2.52 Seien H ein Hilbertraum mit dimH =∞ und A ∈ K(H) mit A = A∗.

(i) Das Spektrum σσσ(A) besteht aus 0 und höchstens abzählbar unendlich vielen von Null verschiedenenreellen Eigenwerten endlicher Vielfachheit, die sich in 0 häufen.

(ii) Sei (λn)n∈N die Folge aller Eigenwerte, geordnet entsprechend ihrer Vielfachheit und Größe,

|λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · |λn| ≥ · · · ≥ 0, λn −−−−→n→∞

0.

Dann existiert ein ONS (xn)n ⊂ H von Eigenelementen, mit folgenden Eigenschaften:

(a) Axn = λnxn, n ∈ N;

(b) für Hn = spanx1, . . . , xn, n ∈ N, H0 = 0, ist

|λn+1| = supx ∈ H⊥

n‖x‖H = 1

|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥n ), n ∈ N0;

(c) es gilt die Spektraldarstellung für A,

Ax =

∞∑

n=1

λn〈x, xn〉xn, x ∈ H.

(d) Ist λ = 0 kein Eigenwert, so ist (xn)n eine ONB in H, insbesondere ist H dann separabel.

Be w e i s : o.B.d.A. A 6= 0;

1. Schritt: zu (i); Satz 2.50 y g.z.z.: σσσ(A) = 0 ∪ λn, n ∈ N aus (ii), zunächst: λn ∈ σσσ(A), n ∈ N

Folgerung 2.51 y ∃ λ1 ∈ R ∃ x1 ∈ H, ‖x1‖H = 1 : Ax1 = λ1x1, |λ1| = ‖A‖ = sup‖x‖H=1

|〈Ax, x〉|

setzen H0 = 0 y H⊥0 = 0⊥ = H

y ∃ λ1 ∈ R ∃ x1 ∈ N(A− λ1 id), ‖x1‖H = 1 : |λ1| = supx ∈ H⊥

0‖x‖H = 1

|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥0 )

setzen H1 = spanx1 y H⊥1 = x ∈ H : 〈x, x1〉 = 0 y A1 := A|H⊥

1

∈ L(H⊥1 ) : A1 linear,

x ∈ H⊥1 y 0 = 〈x, λ1x1〉 = 〈x,Ax1〉 =

A = A∗〈Ax, x1〉 =

x ∈ H⊥1

〈A1x, x1〉 y A1x ∈ H⊥1 y A1 : H⊥

1 → H⊥1


A ∈ K(H), A = A∗ y A1 ∈ K(H⊥1 ), A

∗1 = A1

falls H⊥1 ) 0 y wenden Folgerung 2.51 auf A1, H⊥

1 an

y ∃ λ2 ∈ R ∃ x2 ∈ H⊥1 , ‖x2‖H = 1 : Ax2 = A1x2 = λ2x2, |λ2| = ‖A1‖L(H⊥

1 )

x1 ∈ H1, x2 ∈ H⊥1 y 〈x1, x2〉 = 0

y ∃ λ2 ∈ R ∃ x2 ∈ N(A− λ2 id) ∩H⊥1 , ‖x2‖H = 1, 〈x1, x2〉 = 0 : |λ2| = sup

x ∈ H⊥1

‖x‖H = 1

|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥1 )

setzen H2 = spanx1, x2 ⊃ H1 y H⊥2 ⊂ H⊥

1 , A2 := A1|H⊥2

= A|H⊥2

∈ K(H⊥2 ), A2 = A∗

2

y ∃ λ3 ∈ R ∃ x3 ∈ N(A− λ3 id) ∩H⊥2 , ‖x3‖H = 1, 〈xj , x3〉 = 0, j = 1, 2 : |λ3| = sup

x ∈ H⊥2

‖x‖H = 1

|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥2 )

Iteration 99K Hn = spanx1, . . . , xn y H⊥n ⊂ H⊥

n−1 ⊂ · · · ⊂ H⊥1 , An := A|H⊥

n∈ K(H⊥

n ), An = A∗n

y ∀ n ∈ N0 ∃ λn+1 ∈ R ∃ xn+1 ∈ N(A− λn+1 id) ∩H⊥n , ‖xn+1‖H = 1 :

〈xj , xn+1〉 = 0, j = 1, . . . , n, |λn+1| = supx ∈ H⊥

n‖x‖H = 1

|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥n )

y (λn)n∈N Eigenwertfolge mit zugehörigem ONS (xn)n∈N, limn→∞

λn = 0, monoton geordnet:

|λn+1| = supx ∈ H⊥

n‖x‖H = 1

|〈Ax, x〉| ≤H⊥

n ⊂ H⊥n−1

supx ∈ H⊥

n−1

‖x‖H = 1

|〈Ax, x〉| = |λn|, n ∈ N

z.z.: ∀ n ∈ N : H⊥n ) 0

Annahme: ∃ m ∈ N : H⊥m = 0 ⇐⇒ Hm = Hm = H y dimH = dimHm = m <∞

falls Ak = A|H⊥k

= 0 ∈ L(H) y λm = 0 ∈ σσσ(A), m ≥ k + 1 y σσσ(A) ⊇ 0 ∪ λk, k ∈ N

2. Schritt: zeigen Spektraldarstellung in (c)

seien (λn)n∈N Eigenwertfolge mit zugehörigem ONS (xn)n∈N aus 1. Schritt, x ∈ H

∥∥∥Ax −

n∑

k=1

λk〈x, xk〉xk

∥∥∥

2

H=

∥∥∥A

(

x−n∑

k=1

〈x, xk〉xk

︸︷︷︸

∈Hn︸︷︷︸

∈H⊥n

)∥∥∥

2

H≤ ‖A‖2L(H⊥

n )

︸︷︷︸

|λn+1|2

∥∥∥x−

n∑

k=1

〈x, xk〉xk

∥∥∥

2

H

︸︷︷︸

‖x‖2H−

n∑

k=1

|〈x,xk〉|2, Satz 2.34

≤ |λn+1|2‖x‖2H −−−−→n→∞0

3. Schritt: sei (λn)n∈N Eigenwertfolge mit ONS (xn)n∈N aus 1. Schritt, z.z.: σσσ(A) = 0 ∪ λkk∈N

Annahme: ∃ λ ∈ σσσ(A), λ 6= 0 ∀ k ∈ N : λ 6= λk y ∃ x ∈ H, x 6= 0 : Ax = λx

=====⇒2. Schritt

λx = Ax =

∞∑

k=1

λk〈x, xk〉xk ==⇒ONS

λ〈x, xm〉 = λm〈x, xm〉, m ∈ N ====⇒λ 6= λm

〈x, xm〉 = 0, m ∈ N

y λx =

∞∑

k=1

λk〈x, xk〉xk = 0 ===⇒λ 6= 0

x = 0

4. Schritt: seien λ = 0 ∈ σσσ(A) kein Eigenwert, (λn)n∈N Eigenwertfolge mit ONS (xn)n∈N aus 1. Schritt


z.z.: (xn)n∈N ONB in H

sei x ∈ H =====⇒Satz 2.34

∞∑

j=1

|〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H <∞; setzen sn =

n∑

j=1

〈x, xj〉xj , n ∈ N y (sn)n Cauchyfolge

in H =======⇒H vollständig

∃ y ∈ H : y = limn→∞

sn =

∞∑

j=1

〈x, xj〉xj

y Ay = limn→∞

Asn =

∞∑

k=1

〈x, xk〉Axk︸︷︷︸

λkxk

=

∞∑

k=1

λk〈x, xk〉xk =2. Schritt

Ax

y A(x− y) = 0 =========⇒0 kein Eigenwert

x = y =

∞∑

j=1

〈x, xj〉xj y (xn)n∈N ONB in H

Anwendung

seien A ∈ K(H), A = A∗, y ∈ H, µ 6= 0; suchen x ∈ H mit

Ax− µx = y

seien (λk)k Eigenwerte von A mit zugehörigem ONS (xk)k

y = Ax− µx =Satz 2.52(ii)

∑

k∈N

λk〈x, xk〉xk − µx ===⇒µ 6= 0

x = − 1

µy +

1

µ

∑

k∈N

λk〈x, xk〉xk

==⇒ONS

〈x, xj〉 = −1

µ〈y, xj〉+

1

µλj〈x, xj〉

y 〈y, xj〉 = 0 falls µ = λj ; anderenfalls, für µ 6= λj

y

(

1− λj

µ

)

︸︷︷︸µ−λj

µ

〈x, xj〉 = −1

µ〈y, xj〉 ⇐⇒ 〈x, xj〉 =

1

λj − µ〈y, xj〉

y falls µ /∈ λk, k ∈ N ∪ 0 ⇐⇒ µ /∈ σσσ(A):

Ax− µx = y ⇐⇒ x = − 1

µy +

1

µ

∑

k∈N

λk 〈x, xk〉︸︷︷︸

1λk−µ 〈y,xk〉

xk = − 1

µy +

1

µ

∑

k∈N

λk

λk − µ〈y, xk〉xk

Folgerung 2.53 (Hilbertsche Methode)

Seien H ein Hilbertraum, A ∈ K(H) mit A = A∗, µ 6= 0, sowie (λk)k die Eigenwerte von A mit zugehörigemONS (xk)k.

(i) Die Gleichung Ax− µx = y ist genau dann eindeutig lösbar, wenn y ∈ N(A− µ id)⊥ gilt.

(ii) In diesem Fall wird durch

x0 = − 1

µy +

1

µ

∑

k ∈ Nλk 6= µ

λk

λk − µ〈y, xk〉xk (26)

eine Lösung beschrieben.

(iii) Sämtliche Lösungen sind in der Form x = x0 +N(A− µ id) darstellbar.

Be w e i s : zu (i): Folgerung 2.49 mit A = A∗; zu (iii): klar


zu (ii): sei µ 6= 0, sn =∑

k ≤ nλk 6= µ

λk

λk − µ〈y, xk〉xk

Satz 2.52 y λj −−−→j→∞

0 y ∃ cµ > 0 ∀ j ∈ N :

∣∣∣∣

λj

µ− λj

∣∣∣∣≤ cµ

sei n > m y ‖sn − sm‖2H =ONS

n∑

j = m + 1λj 6= µ

∣∣∣∣

λj

µ− λj

∣∣∣∣

2

|〈y, xj〉|2 ≤ cµ

n∑

j=m+1

|〈y, xj〉|2 Satz 2.34−−−−−−→n>m→∞

0

y (sn)n Cauchyfolge in H =======⇒H vollständig

∃ u ∈ H : u = limn→∞

sn ==⇒(26)

x0 = − 1

µy +

1

µu ∈ H

1. Fall: µ /∈ λk, k ∈ N

y (A− µ id)x0 = − 1

µ(A− µ id)y +

1

µ

∑

k ∈ Nλk 6= µ

λk

λk − µ〈y, xk〉 (A− µ id)xk

︸︷︷︸

(λk−µ)xk

= y − 1

µAy +

1

µ

∑

k ∈ Nλk 6= µ

λk〈y, xk〉xk

︸︷︷︸

Ay, Satz 2.52, falls µ/∈λk,k∈N

= y − 1

µAy +

1

µAy

= y, falls µ /∈ λk, k ∈ N

2. Fall: ∃ k ∈ N : µ = λk

y ∈ N(A− λk id)⊥ ===========⇒

xk ∈ N(A − λk id)〈y, xk〉 = 0

y Ay =Satz 2.52

∑

j 6=k

λj〈y, xj〉xj + λk 〈y, xk〉︸︷︷︸

0

xk =∑

j 6=k

λj〈y, xj〉xj

==⇒s.o.

(A− µ id)x0 = y − 1

µAy +

1

µ

∑

j 6=k

λj〈y, xj〉xj

︸︷︷︸

Ay

= y

Beispiel : Fredholm-Integraloperator

seien Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, k : Ω× Ω→ K, k ∈ L2(Ω× Ω), k(x, y) = k(y, x), x, y ∈ Ω

(Kf)(x) =

∫

Ω

k(x, y)f(y) dy, x ∈ Ω

=====⇒Satz 2.13

K ∈ K(L2(Ω)), k(x, y) = k(y, x) ========⇒Abschnitt 2.2.3

K = K∗

y Kf − µf = g lösbar mit Folgerung 2.53, wenn Eigenwerte und -funktionen bekannt sind

Bemerkung : Voraussetzung A ∈ K(H) in Satz 2.52 wesentlich!


Beispiel : MultiplikationsoperatorA ∈ L(L2[0, 1]), f 7→ Af mit (Af)(x) = xf(x) ϕ(x) = x ∈ R ========⇒

Abschnitt 2.2.3A = A∗,

‖A‖ = 1 y σσσ(A) ⊆ [−‖A‖, ‖A‖] = [−1, 1]

Beh.: ÜA II-22: σσσ(A) = [0, 1], A hat keine Eigenwerte

• A hat keine Eigenwerte: sei Af = λf ⇐⇒ xf(x) = λf(x), x ∈ [0, 1]⇐⇒ (x − λ)f(x) = 0 f.ü. in [0, 1] =============⇒

x− λ 6= 0 f.ü. in [0, 1]f ≡ 0 f.ü. in [0, 1] y f nicht

Eigenelement

• σσσ(A) ⊆ [0, 1]: sei λ /∈ [0, 1]

y ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(L2[0, 1]) :((A− λ id)−1h

)(x) =

h(x)

x− λ, x ∈ [0, 1], denn

(A− λ id)−1 ((A− λ id)f) (x) =1

x− λ(x− λ)f(x)︸︷︷︸

(A−λ id)f(x)

= f(x)

y λ ∈ (A) y σσσ(A) ⊆ [0, 1]

• σσσ(A) = [0, 1]: sei λ ∈ [0, 1] ==⇒s.o.

λ kein Eigenwert y N(A−λ id) = 0, d.h. A injektiv

y ∃ (A− λ id)−1 : R(A− λ id) ( H→ H

z.z. (A− λ id)−1 /∈ L(H) 99K λ /∈ (A) ⇐⇒ λ ∈ σσσ(A)

g.z.z. ∃ fn ∈ L2[0, 1], ‖fn|L2[0, 1]‖ = 1, (A− λ id)fn −−−−→n→∞

0

λ ∈ [0, 1] y o.B.d.A. 0 ≤ λ < 1 y ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : 0 ≤ λ+ 1n < 1

setzen fn(x) =

√n, x ∈ [λ, λ + 1

n ]

0, sonsty fn ∈ L2[0, 1], ‖fn|L2[0, 1]‖ = 1, n ≥ n0

(A−λ id)fn(x) = (x−λ)fn(x) y ‖(A−λ id)fn|L2[0, 1]‖2 = n

λ+ 1n∫

λ

(x−λ)2 dx =1

3n2, n ≥ n0

y ‖(A− λ id)fn|L2[0, 1]‖ =1√3n−−−−→n→∞

0

=====⇒Satz 2.52

A /∈ K(L2[0, 1])

zusätzlich gilt: ∃ (fn)n beschränkt, nicht präkompakt (z.B. ‖fn− f2n|L2[0, 1]‖ =√

2−√2), mit

(A− λ id)fn −−−−→n→∞

0

Zerlegung des Spektrums

bisher: λ ∈ σσσ(A) ⇐⇒ λ /∈ (A) ⇐⇒ ∄(A− λ id)−1 ∨ (A− λ id)−1 6∈ L(H) y zerlegen σσσ(A)

Definition 2.54 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H).

(i) Es ist σσσ∗p(A) = λ ∈ C : ∃ x ∈ H, x 6= 0 : Ax = λx die Menge aller Eigenwerte von A.

(ii) Es sei σσσr(A) =λ ∈ C : ∃ (A− λ id)−1, (A− λ id)−1 /∈ L(H)

.

(iii) Eine Folge (xn)n ⊂ H heißt Weyl56sche Folge zu A und λ ∈ C, falls (xn)n ⊂ H beschränkt ist, nichtpräkompakt, und zusätzlich gilt

(A− λ id)xn −−−−→n→∞

0.

56Hermann Klaus Hugo Weyl (∗ 9.11.1885 Elmshorn † 8.12.1955 Zürich)


Lemma 2.55 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H). Dann gilt

σσσ(A) = σσσ∗p(A) ∪ σσσr(A), sowie σσσ∗

p(A) ∩ σσσr(A) = ∅.

Be w e i s : σσσ(A) = σσσ∗p(A) ∪ σσσr(A) klar; z.z.: σσσ∗

p(A) ∩ σσσr(A) = ∅:

λ ∈ σσσr(A) y ∃ (A− λ id)−1 /∈ L(H) y N(A− λ id) = 0 y λ /∈ σσσ∗p(A)

λ ∈ σσσ(A) \ σσσr(A) y ∄ (A− λ id)−1 y N(A− λ id)−1 ) 0 y ∃ x0 ∈ H, x0 6= 0 : Ax0 = λx0

y λ ∈ σσσ∗p(A)

Beispiel : MultiplikationsoperatorA ∈ L(L2[0, 1]), (Af)(x) = xf(x) y σσσ∗p(A) = ∅, σσσ(A) = σσσr(A) = [0, 1],

∀ λ ∈ σσσ(A) ∃ (fn)n Weylsche Folge zu λ

ergänzen Lemma 2.47 für A ∈ L(H), A = A∗

Lemma 2.56 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H) mit A = A∗.

(i) Für alle x ∈ H und λ ∈ C gilt ‖(A− λ id)x‖H ≥ | ℑm λ|‖x‖H, insbesondere also

σσσ(A) ⊆ R, sowie∥∥(A− λ id)−1

∥∥ ≤ 1

| ℑm λ| für λ ∈ C, ℑmλ 6= 0.

(ii) Es gilt für alle λ ∈ C,

λ ∈ (A) ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ u ∈ H : ‖(A− λ id) u‖H ≥ c‖u‖H.

Be w e i s : zu (i): sei x ∈ H, λ ∈ C

y ‖Ax− λx‖2H = ‖Ax‖2H − 2 ℜe λ 〈Ax, x〉︸︷︷︸

≤‖Ax‖H‖x‖H

+(| ℜe λ|2 + | ℑm λ|2)︸︷︷︸

|λ|2

‖x‖2H

≥ (‖Ax‖H −ℜeλ‖x‖H)2︸︷︷︸

≥0

+| ℑm λ|2‖x‖2H ≥ | ℑm λ|2‖x‖2H

sei λ ∈ C, ℑmλ 6= 0 ==⇒s.o.

(A− λ id) injektiv, ∃ (A− λ id)−1,∥∥(A− λ id)−1

∥∥ ≤ 1

| ℑm λ|y (A− λ id)−1 ∈ L(H) y λ ∈ (A)

zu (ii) =⇒ sei λ ∈ (A) y ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H), d.h

∃ C > 0 ∀ v ∈ H :∥∥∥(A− λ id)

−1v∥∥∥H≤ C ‖v‖H (27)

sei u ∈ H y v = (A− λ id)u ∈ H ==⇒(27)

‖u‖H ≤ C ‖(A− λ id)u‖H , c := 1C

⇐= λ ∈ C, ℑmλ 6= 0 =====⇒σσσ(A) ⊆ R

λ ∈ (A)

sei jetzt λ ∈ R, ∃ c > 0 ∀ u ∈ H : ‖(A− λ id)u‖H ≥ c ‖u‖H, z.z. : λ ∈ (A)

λ

c2

R

Cµ

wählen µ ∈ C \ R mit |λ− µ| ≤ c

2y

c ‖u‖H ≤ ‖Au− λu‖H ≤ ‖(A− µ id)u‖H +

≤ c2

︷︸︸︷

|λ− µ| ‖u‖Hy ‖(A− µ id)u‖H ≥

c

2‖u‖H , u ∈ H

y∥∥∥(A− µ id)−1

∥∥∥ ≤ 2

c, µ ∈ (A) \ R, |λ− µ| ≤ c

2(28)


sei v ∈ H gegeben, z.z. : ∃ ! u ∈ H : Au − λu = v

Unität : seien u1, u2 ∈ H, Au1 − λu1 = v = Au2 − λu2 y (A− λ id) (u1 − u2) = 0

y ‖(A− λ id) (u1 − u2)‖H︸︷︷︸

0

≥ c︸︷︷︸>0

‖u1 − u2‖H y u1 = u2

Existenz : Au− λu = v ⇐⇒ (A− µ id)u+ (µ− λ)u = v

⇐===⇒µ∈(A)

(

id + (µ− λ) (A− µ id)−1

︸︷︷︸

G

)

u = (A− µ id)−1

v

=⇒(28)

‖G‖ ≤ |µ− λ|∥∥∥(A− µ id)

−1∥∥∥ ≤ 2|µ− λ|

c≤ 1

2für µ ∈ C \ R geeignet gewählt, |µ− λ| ≤ c

4

y −1 6∈ σσσ(G) ⊂

ν ∈ C : |ν| ≤ 1

2

⇐⇒ ( id +G)−1 ∈ L(H)

⇐⇒ ∃ ! u ∈ H : ( id +G)u = (A− µ id)−1

v

⇐⇒ ∃ ! u ∈ H : (A− λ id)u = v

Satz 2.57 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H) mit A = A∗.

(i) Für λ ∈ C mit ℑmλ 6= 0 gilt H = R(A− λ id).

(ii) Für λ ∈ σσσr(A) existiert eine Weylsche Folge zu λ, es gilt R(A− λ id) = H.

Be w e i s : zu (i): sei λ ∈ C, ℑmλ 6= 0 =====⇒σσσ(A) ⊆ R

N(A− λ id) = N(A− λ id) = 0

=====⇒Satz 2.41

H = R(A− λ id); z.z.: R(A− λ id) = R(A− λ id)

sei y ∈ R(A− λ id) y ∃ (yj)j ⊂ R(A− λ id) : yj −−−→j→∞

y y ∃ (xj)j ⊂ H : (A− λ id)xj︸︷︷︸

yj

−−−→j→∞

y

y ‖xj − xk‖H ≤1

| ℑm λ|︸︷︷︸

>0

‖(A− λ id)(xj − xk)‖H︸︷︷︸

=‖yj−yk‖H−−−−−→j,k→∞

0

−−−−−→j,k→∞

0 y (xj)j Cauchyfolge in H

=======⇒H vollständig

∃ x ∈ H : xj −−−→j→∞

x =====⇒A ∈ L(H)

y = limj→∞

(A− λ id)xj = (A− λ id)x y y ∈ R(A− λ id)

zu (ii): sei λ ∈ σσσr(A) ⊂ σσσ(A) =======⇒Lemma 2.56

λ ∈ R, Annahme: R(A− λ id) ( H

=====⇒Satz 2.41

N(A− λ id) =λ ∈ R

N(A− λ id) ) 0 y ∃ x0 ∈ H, x0 6= 0 : Ax0 = λx0 y λ ∈ σσσ∗p(A)

=======⇒Lemma 2.55

λ /∈ σσσr(A)

Annahme: ∃ c > 0 ∀ y ∈ R(A− λ id) : ‖(A− λ id)−1y‖H ≤ c‖y‖H (29)

sei y ∈ H beliebig ==========⇒R(A− λ id) = H

∃ (xj)j ⊂ H : (A− λ id)xj −−−→j→∞

y ==⇒(29)

∃ x ∈ H : x = (A− λ id)−1y,

‖(A− λ id)−1y‖H ≤ c‖y‖H y (A− λ id)−1 ∈ L(H) y λ ∈ (A)

===⇒¬ (29)

∀ n ∈ N ∃ yn ∈ R(A− λ id) : ‖(A− λ id)−1yn‖H > n‖yn‖H, o.B.d.A. ‖(A− λ id)−1yn‖H = 1

y ∀ n ∈ N ∃ yn ∈ R(A− λ id) : ‖yn‖H <1

ny yn −−−−→

n→∞0

sei zn = (A− λ id)−1yn, n ∈ N; Beh.: (zn)n Weylsche Folge zu λ:


‖zn‖H =∥∥(A− λ id)−1yn

∥∥H= 1, (A− λ id)zn = yn −−−−→

n→∞0, (zn)n nicht präkompakt:

Annahme: (zn)n präkompakt y ∃ (znk)k ⊂ (zn)n ∃ z ∈ H : znk

−−−−→k→∞

z y ‖z‖H = 1, (A−λ id)z = 0

y ∃ z ∈ H, z 6= 0 : Az = λz y λ ∈ σσσ∗p(A) =======⇒

Lemma 2.55λ /∈ σσσr(A)

Folgerung 2.58 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H) mit A = A∗.

(i) λ ∈ σσσ∗p(A) ⇐⇒ R(A− λ id) ( H

(ii) λ ∈ σσσr(A) ⇐⇒ R(A− λ id) ( H und R(A− λ id) = H.

Be w e i s : zu (i): R(A− λ id) ( H ⇐⇒ N(A− λ id) ) 0 ⇐⇒ λ ∈ σσσ∗p(A)⇐=======⇒

Eigenwerte reellλ ∈ σσσ∗

p(A)

zu (ii) ⇐= R(A− λ id) = H =⇒(i)

λ /∈ σσσ∗p(A), R(A− λ id) ( H y λ /∈ (A) =======⇒

Lemma 2.55λ ∈ σσσr(A)

=⇒ λ ∈ σσσr(A) =====⇒Satz 2.57

R(A− λ id) = H

Annahme: R(A− λ id) = H =======⇒Lemma 2.56

∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H) ⇐⇒ λ ∈ (A)

Bemerkung : λ ∈ (A) ⇐⇒ R(A− λ id) = H

Definition 2.59 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H) mit A = A∗.

(i) Die Mengeσσσp(A) = λ ∈ C : λ Eigenwert endlicher Vielfachheit von A

heißt diskretes Spektrum bzw. Punktspektrum von A.

(ii) Die Mengeσσσe(A) = λ ∈ C : es existiert eine Weylsche Folge zu λ und A

heißt wesentliches/stetiges Spektrum von A.

Beispiel : Multiplikationsoperator y σσσ(A) = σσσe(A) = [0, 1]

Bemerkung : • σσσp(A) ⊆ σσσ∗p(A), Satz 2.57 y σσσr(A) ⊆ σσσe(A), i.a. nicht σσσp(A) ∩ σσσe(A) = ∅

• A = A∗ Operator mit reinem Punktspektrum ⇐⇒ σσσe(A) = ∅

Satz 2.60 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H) mit A = A∗. Dann gilt σσσp(A) ∪ σσσe(A) = σσσ(A).

Be w e i s : λ ∈ σσσe(A) =======⇒Lemma 2.56

λ ∈ σσσ(A), d.h. σσσe(A) ⊆ σσσ(A) ========⇒σσσp(A) ⊆ σσσ(A)

σσσp(A) ∪ σσσe(A) ⊆ σσσ(A)

z.z.: σσσ(A) ⊆ σσσp(A) ∪ σσσe(A)

sei λ ∈ σσσ∗p(A) \ σσσp(A), d.h. λ Eigenwert unendlicher Vielfachheit, dimN(A− λ id) =∞

y ∃ (xn)n∈N ⊂ N(A− λ id) ⊆ H : 〈xj , xk〉 = δjk, Axj = λxj

y ‖xj − xk‖2H = ‖xj‖2H + ‖xk‖2H = 2 y (xn)n Weylsche Folge zu λ und A y λ ∈ σσσe(A)

y σσσ∗p(A) = σσσp(A) ∪

(σσσ∗p(A) \ σσσp(A)

)⊆ σσσp(A) ∪ σσσe(A)

y σσσ(A) =Lemma 2.55

σσσ∗p(A) ∪ σσσr(A) ⊆ σσσp(A) ∪ σσσe(A)


ergänzen Folg. 2.51 für (nur) selbstadjungierte Operatoren

Folgerung 2.61 Seien H ein Hilbertraum und A ∈ L(H) mit A = A∗. Dann gilt ‖A‖ ∈ σσσ(A) oder−‖A‖ ∈ σσσ(A).

Be w e i s : falls A ∈ K(H) =====⇒Folg. 2.51

∃ λ0 ∈ σσσ∗p(A) : |λ0| = ‖A‖ y ‖A‖ ∈ σσσ(A) ∨ −‖A‖ ∈ σσσ(A)

jetzt Konstruktion wie in Folg. 2.51, o.B.d.A. A 6= 0; ‖A‖ = sup‖x‖H=1

|〈Ax, x〉| ==⇒sup∃ (xn)n ⊂ H, ‖xn‖H = 1:

|〈Axn, xn〉| −−−−→n→∞

‖A‖ y (〈Axn, xn〉)n ⊂ R beschränkt ===========⇒Bolzano-Weierstraß

∃ (xnk)k ⊂ (xn)n :

〈Axnk, xnk〉 −−−−→

k→∞‖A‖ (oder −‖A‖); o.B.d.A. ‖A‖

0 ≤ ‖Axnk− ‖A‖xnk

‖2H = ‖Axnk‖2H

︸︷︷︸

≤‖A‖2‖xnk‖2=‖A‖2

− 2‖A‖ 〈Axnk, xnk〉+ ‖A‖2 ‖xnk

‖2H︸︷︷︸

1

≤ 2‖A‖2 − 2‖A‖ 〈Axnk, xnk〉

︸︷︷︸

−−−−→k→∞

‖A‖

−−−−→k→∞

0

1. Fall: (xnk)k nicht präkompakt y (xnk

)k Weylsche Folge zu ‖A‖ y ‖A‖ ∈ σσσe(A) ⊆ σσσ(A)

2. Fall: (xnk)k präkompakt y ∃

(xnkm

)

m⊂ (xn)n ∃ x0 ∈ H : xnkm

−−−−→m→∞

x0 y ‖x0‖H = 1,

Ax0 = limm→∞

(Axnkm

− ‖A‖xnkm

)

︸︷︷︸0

+ limm→∞

‖A‖xnkm= ‖A‖x0 y ‖A‖ ∈ σσσ∗

p(A) ⊆ σσσ(A)

Satz 2.62 Seien H ein Hilbertraum mit dimH =∞, A ∈ L(H) mit A = A∗. Dann gilt

A ∈ K(H) ⇐⇒ σσσe(A) = 0.

Be w e i s : =⇒ zeigen zuerst: σσσe(A) ⊆ 0; sei λ ∈ σσσe(A), λ 6= 0

y ∃ (zn)n Weylsche Folge zu λ und A y (zn)n beschränkt, nicht präkompakt, (A− λ id)zn −−−−→n→∞

0

======⇒A ∈ K(H)

(Azn)n präkompakt y ∃ (znk)k ⊂ (zn)n ∃ u ∈ H : Aznk

−−−−→k→∞

u

y znk=

1

λ

(

Aznk︸︷︷︸→u

− (A− λ id)znk︸︷︷︸

→0

)

−−−−→k→∞

u

λ∈ H y (zn)n präkompakt d.h. σσσe(A) \ 0 = ∅

jetzt: 0 ∈ σσσe(A); z.z.: ∃ (xn)n Weylsche Folge: (xn)n beschränkt, nicht präkompakt, Axn −−−−→n→∞

0

verwenden Konstruktion aus Beweis von Satz 2.52, Eigenwertfolge (λn)n, zugehöriges ONS (xn)n von Eigen-vektoren, Hn = spanx1, . . . , xn, n ∈ N

setzen H∞ :=∞⋃

n=1

Hn y H = H∞ ⊕H⊥∞; nach Konstruktion im Beweis von Satz 2.52:

• entweder unendliche Folge (λn)n mit zugehörigem ONS (xn)n ⊂ H, limn→∞

λn = 0

• oder ∃ m ∈ N : Am = A|H⊥m= 0 ∈ L(H) y λk = 0 ∈ σσσ(A), k ≥ m+ 1, ONS (xn)

mn=1

1. Fall: dimH∞ =∞ ⇐⇒ (xn)∞n=1 ONS von Eigenvektoren, Axn = λnxn, lim

n→∞λn = 0


y (xn)n Weylsche Folge zu λ = 0 : (xn)n beschränkt, nicht präkompakt, ‖Axj‖H = |λj | ‖xj‖H︸︷︷︸

=1

−−−→j→∞

0

2. Fall: dimH∞ <∞ ⇐⇒ ∃ m ∈ N : H∞ =

m⋃

n=1

Hn = Hm, (xn)mn=1 ONS, Axn = λnxn, n = 1, . . . ,m,

λk = 0, k ≥ m+ 1 y A|H⊥m= 0 ∈ L(H) y R(A) ⊆ Hm ===========⇒

H = R(A) ⊕ N(A)H⊥

m ⊆ N(A)

dimH =∞ =========⇒H = H∞ ⊕ H⊥

∞

dimH⊥∞ =∞ y dimN(A) ≥ dimH⊥

m = dimH⊥∞ =∞

y λ = 0 ∈ σσσ∗p(A) \ σσσp(A) ⊆

Satz 2.60σσσe(A)

⇐= seien λj , j ∈ N ⊂ σσσ(A) =Satz 2.60

σσσp(A) ∪ σσσe(A) = σσσp(A) ∪ 0

y ∀ λj ∈ σσσ(A) \ 0 : λj ∈ σσσp(A) y ∃ (xj)j ⊂ H, o.B.d.A. ONS, mit Axj = λjxj

falls #λj ∈ σσσp(A) : λj 6= 0 =∞ ==================⇒σσσp(A) ⊆ σσσ(A) ⊆ [−‖A‖, ‖A‖]

∃ λ ∈ R ∃ (λjk )k ⊂ (λj)j : λjk −−−−→k→∞

λ

Annahme: λ 6= 0 y (xjk)k Weylsche Folge zu λ: beschränkt, nicht präkompakt (da ONS),

Axjk − λxjk = (A− λjk )xjk︸︷︷︸

0

+ (λjk − λ)xjk︸︷︷︸

|·|≤|λjk−λ|→0

−−−−→k→∞

0 y 0 6= λ ∈ σσσe(A)

y einziger möglicher Häufungspunkt von λj ∈ σσσp(A), λj 6= 0 ist 0 y können λjj entsprechend Größeund gemäß ihrer Vielfachheit ordnen,

|λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · ≥ |λn| ≥ · · · ≥ 0, limn→∞

λn = 0

bzw. λm = 0, m ≥ m0 99K ordnen ONS (xn)n entsprechend;

setzen wieder Hn = spanx1, . . . , xn, n ∈ N, sowie H∞ =⋃

k∈N

Hk y H = H∞ ⊕H⊥∞

zeigen: A|H⊥∞

= 0 ∈ L(H): seien x ∈ H⊥∞, y ∈ Hn

y 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉 =⟨

x,

n∑

k=1

〈y, xk〉Axk︸︷︷︸

λkxk

⟩

=

n∑

k=1

λk︸︷︷︸

λk∈R

〈y, xk〉〈∈H⊥

∞︷︸︸︷x ,

∈Hk⊂H∞︷︸︸︷xk 〉

︸︷︷︸0

= 0

=====⇒A ∈ L(H)

〈Ax, y〉 = 0, y ∈ H∞ y Ax ∈ H⊥∞ für x ∈ H⊥

∞ y A|H⊥∞∈ L(H⊥

∞)

A|H⊥∞

= An|H⊥∞

y ‖A‖L(H⊥∞) ≤ ‖An‖L(H⊥

n ) =Folg. 2.61

|λn+1| −−−−→n→∞

0 y A|H⊥∞

= 0 ∈ L(H)

H∞ = spanxn, n ∈ N, (xn)n ONS, wählen ONS (ξk)k in H⊥∞ mit H⊥

∞ = spanξk, k ∈ N

y xn, n ∈ N ∪ ξk, k ∈ N ONS in H; sei x ∈ H = H∞ ⊕H⊥∞ y ∃ ! x1 ∈ H∞ ∃ ! x2 ∈ H⊥

∞ :

x = x1 + x2 =∑

n

〈x, xn〉xn +∑

k

〈x, ξk〉ξk

=====⇒A ∈ L(H)

Ax =∑

n

〈x, xn〉Axn︸︷︷︸

λnxn

+∑

k

〈x, ξk〉 Aξk︸︷︷︸

0, ξk∈H⊥∞

=∑

n

λn〈x, xn〉xn

1. Fall: #λk ∈ σσσp(A) \ 0 <∞ y dimH∞ <∞ y dimR(A) = rank(A) <∞ =====⇒Satz 2.11

A ∈ K(H)

2. Fall: #λk ∈ σσσp(A) \ 0 =∞; setzen

Amx :=

m∑

j=1

λj〈x, xj〉xj y Am : H→ Hm y rank(Am) ≤ dimHm = m <∞ =====⇒Satz 2.11

Am ∈ K(H)


andererseits ist ‖(A−Am)x‖2H =

∞∑

j=m+1

|λj |2 |〈x, xj〉|2 ≤ |λm+1|2∞∑

j=m+1

|〈x, xj〉|2

︸︷︷︸

≤‖x‖2H

≤ |λm+1|2‖x‖2H

y ‖A−Am‖ ≤ |λm+1| −−−−→m→∞

0 =====⇒Satz 2.46

A ∈ K(H)

2.3.3 Die Normaldarstellung kompakter Operatoren

seien H Hilbertraum, A ∈ K(H), nicht notwendig A = A∗

Ziel: Darstellung Ax =∑

k∈N

sk〈x, ek〉fk, x ∈ H, mit ONS (ek)k, (fk)k und Nullfolge (sk)k

Definition 2.63 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H) mit A = A∗. A heißt positiv, falls 〈Ax, x〉 ≥ 0 füralle x ∈ H gilt.

Bemerkung : • A = A∗ =====⇒Satz 2.42

〈Ax, x〉 ∈ R, d.h. 〈Ax, x〉 ≥ 0 sinnvoll

• A positiv 99K Schreibweise häufig A ≥ 0

• A positiv, sei λ Eigenwert von A = A∗ y ∃ x 6= 0 : Ax = λx

y λ ‖x‖2H︸︷︷︸>0

= 〈λx, x〉 = 〈Ax, x〉 ≥ 0 y λ ≥ 0 99K σσσ∗p(A) ⊂ [0,∞)

Satz 2.64 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ K(H) positiv mit A = A∗. Dann existiert genau ein positiverOperator B ∈ K(H) mit B = B∗, so dass B2 = A gilt.

Bemerkung : Schreibweise B =√A

Be w e i s : A ∈ K(H), A = A∗ ==========⇒Satz 2.52, A ≥ 0

∃ (λj)j ⊂ σσσp(A) ∩ (0,∞) : λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn ≥ · · · ≥ 0

Eigenwertfolge, limn→∞

λn = 0, ∃ (xn)n ONS von Eigenvektoren, mit

Ax =∑

n

λn〈x, xn〉xn, x ∈ Hdefinieren

Bx =∑

n

√

λn 〈x, xn〉xn, x ∈ H

B ∈ L(H) : sm =

m∑

n=1

√

λn 〈x, xn〉xn, k > m

y ‖sk − sm‖2H =

k∑

n=m+1

λn|〈x, xn〉|2 ≤ λ1

k∑

n=m+1

|〈x, xn〉|2 Satz 2.34−−−−−−→k>m→∞

0

y Bx ∈ H, ‖B‖L(H) ≤√

λ1

B ∈ K(H) :∥∥∥Bx−

m∑

n=1

√

λn〈x, xn〉xn

︸︷︷︸

=:Bm∈K(H), rank(Bm)≤m<∞

∥∥∥

2

H≤

∞∑

n=m+1

λn︸︷︷︸

≤λm+1

|〈x, xn〉|2 ≤Satz 2.34

λm+1‖x‖2H

y ‖B −Bm‖ ≤√

λm+1 −−−−→m→∞

0 =====⇒Satz 2.46

B ∈ K(H)

B = B∗ : 〈Bx, y〉 =∑

n

√

λn 〈x, xn〉〈xn, y〉 =∑

n

√

λn︸︷︷︸

∈R

〈y, xn〉〈x, xn〉 = 〈x,By〉, x, y ∈ H

B ≥ 0 : 〈Bx, x〉 =∑

n

√

λn 〈x, xn〉〈xn, x〉︸︷︷︸

〈x,xn〉

=∑

n

√

λn |〈x, xn〉|2 ≥ 0, x ∈ H


B2 = A : B2x = B(∑

n

√

λn 〈x, xn〉xn

︸︷︷︸

Bx

)

=B ∈ L(H)

∑

n

√

λn 〈x, xn〉Bxn

=∑

n

√

λn 〈x, xn〉∑

k

√

λk

δnk︷︸︸︷

〈xn, xk〉xk

︸︷︷︸

Bxn

=∑

n

√

λn 〈x, xn〉√

λn xn

=∑

n

λn 〈x, xn〉xn = Ax, x ∈ H

n.z.z.: Unität; Annahme: ∃ D ∈ K(H), D = D∗, D ≥ 0, D2 = A

==========⇒Satz 2.52, D ≥ 0

∃ (µk)k Eigenwertfolge, µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µk ≥ · · · ≥ 0, limk→∞

µk = 0, ∃ (ξk)k ONS von

Eigenvektoren, mitDx =

∑

k

µk〈x, ξk〉ξk, x ∈ H

1. Fall: µj > µj+1, j ∈ N

y D2x =D ∈ L(H)

∑

k

µk 〈Dx, ξk〉ξk =D = D∗

∑

k

µk 〈x,Dξk︸︷︷︸

µkξk

〉ξk =∑

k

µ2k〈x, ξk〉ξk =

D2 = AAx

====⇒x = ξm

Aξm = µ2mξm

y ∀ m ∈ N ∃ km ∈ N : µ2m = λkm , ξm = γmxkm mit |γm| = 1; falls auch (λj)j streng monoton fallend

y λm = µ2m, ξm = γmxm (ansonsten evtl. Umbenennung)

y Dx =∑

k

√

λk︸︷︷︸µk

〈x, γkxk︸︷︷︸

ξk

〉 γkxk︸︷︷︸

ξk

=∑

k

√

λk γkγk︸︷︷︸

|γk|2=1

〈x, xk〉xk = Bx, x ∈ H

2. Fall: Berücksichtigung der Vielfachheiten rj ∈ N: benennen Eigenwertfolge (µj)j um,

(µj)j 7−→ (νj,k)j∈N,k=1,...,rj mit νj−1,rj−1 > νj,1 = · · · = νj,rj > νj+1,1, j ∈ N

entsprechend (ξj)j 7−→ (ηj,k)j∈N,k=1,...,rj 99K Dx =∞∑

j=1

rj∑

k=1

νj,k〈x, ηj,k〉ηj,k =∞∑

j=1

νj,1

rj∑

k=1

〈x, ηj,k〉ηj,k︸︷︷︸

∈N(D−νj,1 id)

y technische Modifikation der Argumente

H1, H2 Hilberträume, T ∈ K(H1,H2) =====⇒Satz 2.46

T ∗ ∈ K(H2,H1) =========⇒Sätze 2.11, 2.41

A = T ∗T ∈ K(H1),

A∗ = (T ∗T )∗ = T ∗T = A y selbstadjungiert, A = T ∗T ≥ 0:

〈T ∗Tx, x〉 = 〈Tx, Tx〉 = ‖Tx‖2H2≥ 0, x ∈ H1

99K√A =

√T ∗T existiert nach Satz 2.64

Definition 2.65 Seien H1, H2 Hilberträume, T ∈ K(H1,H2). Dann bezeichnet man den nach Satz 2.64eindeutig bestimmten positiven, kompakten, selbstadjungierten Operator

√T ∗T mit |T |, d.h.

|T | ∈ K(H1), |T |∗ = |T |, |T | ≥ 0, |T |2 = T ∗T.

Bemerkung : • Schreibweise: |T | =√T ∗T = (T ∗T )

12

• Motivation: λ ∈ K y (λT )∗(λT ) = λλT ∗T = |λ|2|T |2

• i.a. gilt nicht |T + S| ≤ |T |+ |S| ⇐⇒ R := (|T |+ |S|)− |T + S| ≥ 0


Satz 2.66 (Polarzerlegung)

Seien H1, H2 Hilberträume, T ∈ K(H1,H2). Dann existiert genau ein U ∈ L(H1,H2), so dass gilt

T = U |T |, N(U) = N(T ), und ‖Ux‖H2=

‖x‖H1 , x ∈ N(U)⊥ = R(|T |),0, x ∈ N(U).

Be w e i s : Satz 2.64 & Definition 2.65 y |T | ∈ K(H1), |T |∗ = |T |, |T | ≥ 0, |T |2 = T ∗T

〈|T |x, |T |y〉 = 〈x, |T |2y〉 = 〈x, T ∗Ty〉 = 〈Tx, T y〉, x, y ∈ H1 y∥∥∥|T |x

∥∥∥H1

=∥∥Tx

∥∥H2, x ∈ H1 (30)

y N(|T |) = N(T ) =====⇒Satz 2.41

H1 =|T |∗ = |T |

R(|T |)⊕N(|T |) = R(|T |)⊕N(T ), N(T )⊥ = R(|T |)

sei U gegeben auf R(|T |) durch U (|T |x) := Tx, x ∈ H1

y U |T | = T, U : R(|T |) ⊆ H1 → R(T ) ⊆ H2

x, y ∈ R(|T |) y ∃ x1, y1 ∈ H1 : x = |T |x1, y = |T |y1

y 〈Ux,Uy〉H2 = 〈U |T |x1, U |T |y1〉H2 =Def.〈Tx1, T x2〉H2 =

(30)〈|T |x1, |T |y1〉H1 = 〈x, y〉H1 , x, y ∈ R(|T |)

y ∃ eindeutig bestimmte unitäre Fortsetzung von U : R(|T |) = N(T )⊥ → R(T ), setzen

U := 0 auf R(|T |)⊥ = N(T )

===============⇒Bem. nach Def. 2.40, (30)

U unitär von R(|T |) auf R(T ),

‖U (|T |x)‖2H2= 〈Tx, Tx〉H2 =

(30)‖|T |x‖2H1

y ‖Uz‖H2 =

‖z‖H1, z ∈ R(|T |) = N(T )⊥

0, z ∈ N(T )

Bemerkung : U : N(U)⊥ → R(U) unitär, “partiell isometrisch”

〈Ux,Uy〉H2 = 〈x, y〉H1 , x, y ∈ N(U)⊥ = N(T )⊥ = R(T ) = R(|T |)

Satz 2.67 (Singulärwertzerlegung)

Seien H1, H2 Hilberträume, A ∈ K(H1,H2). Dann existieren ein ONS (ek)k ⊂ H1 und (fk)k ⊂ H2, sowieeine monoton fallende Nullfolge (sk)k, so dass gilt

Ax =∑

k∈N

sk〈x, ek〉H1fk, x ∈ H1.

Dabei sind die Zahlen s2k die monoton fallend geordneten und entsprechend ihrer Vielfachheit gezähltenEigenwerte von A∗A.

Be w e i s : A ∈ K(H1,H2) =====⇒Def. 2.65

|A| ∈ K(H1), |A|∗ = |A|, |A| ≥ 0, |A|2 = A∗A

=====⇒Satz 2.52

∃ (sj)j ⊂ σσσp(|A|) ∩ (0,∞) : s1 ≥ s2 ≥ · · · ≥ sn ≥ · · · ≥ 0 Eigenwertfolge, limn→∞

sn = 0,

∃ (en)n ⊂ H1 ONS von Eigenvektoren, |A|en = snen mit

|A|x =∑

n

sn〈x, en〉H1en, x ∈ H1


sei U ∈ L(H1,H2) nach Satz 2.66 zu |A| gegeben

y Ax = (U |A|)x =U ∈ L(H1,H2)

∑

n

sn〈x, en〉 Uen︸︷︷︸

=:fn

=∑

n

sn〈x, en〉H1fn, x ∈ H1

|A|en = snen, n ∈ N y (en)n ⊂ R(|A|) ⊆ N(|A|)⊥

=====⇒Satz 2.66

〈fm, fn〉H2 = 〈Uem, Uen〉H2 =Satz 2.66

〈em, en〉H1 =ONS

δmn y (fn)n ⊂ H2 ONS

Satz 2.64 y (s2n)n Eigenwertfolge von |A|2 = A∗A

Bemerkung : • sk = sk(A) . . . Singulärwerte/singuläre Zahlen von A

• A ∈ K(H1,H2) y |A| ∈ K(H1), |A|∗ = |A|, |A| ≥ 0

=====⇒Satz 2.52

s1 = |s1| =∥∥|A|

∥∥L(H1)

= ‖A∗A‖1/2L(H1)=

Satz 2.41(v)‖A‖

Folgerung 2.68 Seien H1, H2 Hilberträume, A ∈ K(H1,H2). Dann existieren Operatoren V ∈L(H1, ℓ2(N)), W ∈ L(ℓ2(N),H2) und ein Diagonaloperator S ∈ K(ℓ2(N)) mit S : (xj)j 7→ (sjxj)jfür s1 ≥ s2 ≥ · · · ≥ sn ≥ · · · ≥ 0, lim

n→∞sn = 0, so dass gelten

A = WSVsowie

‖V ‖L(H1,ℓ2(N)) = ‖W‖L(ℓ2(N),H2) = 1, und ‖S‖L(ℓ2(N)) = ‖A‖L(H1,H2).

Be w e i s : nach Satz 2.67 y ∃ ONS (ek)k ⊂ H1, (fk)k ⊂ H2 ∃ (sk)k monoton fallende Nullfolge:

Ax =∑

k∈N

sk〈x, ek〉H1fk, x ∈ H1

setzen

V : H1 → ℓ2(N), x 7→ (〈x, ek〉H1)k y V ∈ L(H1, ℓ2(N)),

W : ℓ2(N)→ H2, (ξn)n 7→∑

n

ξnfn =====⇒Satz 2.34

∥∥∥W (ξj)j

∥∥∥H2

=ONS‖ (ξj)j ‖ℓ2(N) y W ∈ L(ℓ2(N),H2),

sowie

‖V ‖L(H1,ℓ2(N)) = 1 : x = ej y ‖V ‖L(H1,ℓ2(N)) ≥ 1, Satz 2.34 y ‖V ‖L(H1,ℓ2(N)) ≤ 1

‖W‖L(ℓ2(N),H2) = 1 : s.o. y ‖W‖L(ℓ2(N),H2) ≤ 1, ξj = δjk, j ∈ N y ‖W‖L(ℓ2(N),H2) ≥ 1

H1A−−−−→ H2

Vy

xW

ℓ2(N)S−−−→ ℓ2(N)

sei x ∈ H1 y V x = (〈x, ek〉H1)k

y S(V x) = (sk〈x, ek〉H1)k

y W (SV )(x) =∑

k

sk〈x, ek〉H1fk = Ax

y A = WSV ====⇒Satz 2.3

‖A‖L(H1,H2) ≤ ‖W‖L(ℓ2(N),H2)︸︷︷︸

1

‖S‖L(ℓ2(N)) ‖V ‖L(H1,ℓ2(N))︸︷︷︸

1

= ‖S‖L(ℓ2(N))

Beispiel nach Folg. 2.12 y S ∈ K(ℓ2(N)), ‖S(xj)j‖ℓ2(N) = ‖(sjxj)j‖ℓ2(N) ≤ supj∈N

sj ‖(xj)j‖ℓ2(N)y ‖S‖L(ℓ2(N)) ≤ sup

j∈Nsj = s1 =

Bem.‖A‖L(H1,H2)

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