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58 2 Lineare und beschränkte Operatoren 2 Lineare und beschränkte Operatoren 2.1 Operatoren im Banachraum 2.1.1 Grundbegriffe Definition 2.1 Seien [X, ‖·‖ X ] und [Y, ‖·‖ Y ] normierte Vektorräume. (i) Ein linearer Operator A : X Y heißt beschränkt, falls ein c> 0 existiert, so dass für alle x X AxY c xX gilt. (ii) L(X, Y)= {A : X Y linearer und beschränkter Operator} (iii) Für A ∈L(X, Y) nennt man A= sup xX 1 AxY die Operatornorm von A. Bemerkung : A : X Y linear ⇐⇒ ∀ x, y X λ, μ K : A (λx + μy)= λAx + μAy falls X = Y: L(X) := L(X, X) weitere Schreibweisen in (iii): A= AL(X,Y) = AXY für A ∈L(X, Y) Satz 2.2 Seien [X, ‖·‖ X ] und [Y, ‖·‖ Y ] normierte Vektorräume, A : X Y linear. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) A ist beschränkt (ii) A ist Lipschitz-stetig (iii) A ist gleichmäßig stetig (iv) A ist stetig (v) Es existiert ein x 0 X, so dass A in x 0 stetig ist (vi) A= sup xX 1 AxY < Beweis : (i) (ii) seien x, z X Ax Az Y = linear A(x z )Y beschränkt c x z X (ii) (iii) (iv) (v) klar (v) (vi) δ = δ(x 0 ) > 0 x X, x x 0 X : Ax Ax 0 Y < 1 sei x X, xX 1 x 0 + δ 2 x x 0 X δ 2 == s.o. δ 2 AxY = A ( x 0 + δ 2 x ) Ax 0 Y < 1 x X, xX 1: AxY < 2 δ < (vi) (i) sei x X, x =0 AxY = A x xX Y xX sup zX 1 Az Y xX = A‖‖xX

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  • 58 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    2 Lineare und beschränkte Operatoren

    2.1 Operatoren im Banachraum

    2.1.1 Grundbegriffe

    Definition 2.1 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.(i) Ein linearer Operator A : X→ Y heißt beschränkt, falls ein c > 0 existiert, so dass für alle x ∈ X

    ‖Ax‖Y ≤ c ‖x‖X

    gilt.

    (ii) L(X,Y) = {A : X→ Y linearer und beschränkter Operator}

    (iii) Für A ∈ L(X,Y) nennt man‖A‖ = sup

    ‖x‖X≤1‖Ax‖Y

    die Operatornorm von A.

    Bemerkung : • A : X→ Y linear ⇐⇒ ∀ x, y ∈ X ∀ λ, µ ∈ K : A (λx+ µy) = λAx + µAy

    • falls X = Y: L(X) := L(X,X)

    • weitere Schreibweisen in (iii): ‖A‖ = ‖A‖L(X,Y) = ‖A‖X→Y für A ∈ L(X,Y)

    Satz 2.2 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume, A : X → Y linear. Dann sind folgendeAussagen äquivalent:

    (i) A ist beschränkt

    (ii) A ist Lipschitz-stetig

    (iii) A ist gleichmäßig stetig

    (iv) A ist stetig

    (v) Es existiert ein x0 ∈ X, so dass A in x0 stetig ist

    (vi) ‖A‖ = sup‖x‖X≤1

    ‖Ax‖Y 0 ∀ x ∈ X, ‖x− x0‖X < δ : ‖Ax−Ax0‖Y < 1sei x ∈ X, ‖x‖X ≤ 1 y

    ∥∥x0 +

    δ2x− x0

    ∥∥X≤ δ2 < δ ==⇒s.o.

    δ2 ‖Ax‖Y =

    ∥∥A

    (x0 +

    δ2x

    )−Ax0

    ∥∥Y

    < 1

    y ∀ x ∈ X, ‖x‖X ≤ 1 : ‖Ax‖Y < 2δ

  • 2.1 Operatoren im Banachraum 59

    Satz 2.3 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.(i) Für A ∈ L(X,Y) gilt

    ‖A‖ = sup‖x‖X≤1

    ‖Ax‖Y = supx 6=0

    ‖Ax‖Y‖x‖X

    = sup‖x‖X=1

    ‖Ax‖Y

    = inf{c > 0 : ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ c ‖x‖X}

    (ii) Falls Y ein Banachraum ist, so auch L(X,Y).

    (iii) Sind [W, ‖ · ‖W] ein normierter Raum, A ∈ L(X,Y), B ∈ L(Y,W), so gilt B ◦A ∈ L(X,W) mit

    ‖B ◦A‖L(X,W) ≤ ‖B‖L(Y,W)‖A‖L(X,Y)

    Be w e i s : zu (i):

    supx 6=0

    ‖Ax‖Y‖x‖X

    ≤ supx 6=0

    ∥∥∥∥A

    (x

    ‖x‖X

    )∥∥∥∥Y

    = sup‖z‖X=1

    ‖Az‖Y ≤ sup‖z‖X≤1

    ‖Az‖Y = ‖A‖ ≤ sup0 0 : ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ c ‖x‖X} ≤ ‖A‖

    g.z.z.: ∀ c ∈ (0, ‖A‖) ∃ x0 ∈ X : ‖Ax0‖Y > c ‖x0‖X

    c < ‖A‖ = supx 6=0

    ‖Ax‖Y‖x‖X

    ==⇒sup∃ x0 ∈ X, x0 6= 0 : c <

    ‖Ax0‖Y‖x0‖X

    ≤ ‖A‖ y ∃ x0 ∈ X\{0} : ‖Ax0‖Y > c‖x0‖X

    zu (ii): ‖ · ‖L(X,Y) Norm auf L(X,Y) X; n.z.z.: Vollständigkeit von L(X,Y)

    sei (Ak)k ⊂ L(X,Y) mit ‖Ak −Am‖ −−−−−→k,m→∞

    0 y ‖Akx−Amx‖Y ≤ ‖Ak −Am‖‖x‖X −−−−−→k,m→∞

    0, x ∈ Xy (Akx)k ⊂ Y Cauchy-Folge für alle x ∈ X =======⇒

    Y vollständig∃ y = yx ∈ Y : lim

    k→∞Akx = yx =: Ax, x ∈ X

    y A : X→ Y, A linear,‖(A−Am)x‖Y = lim

    k→∞‖Akx−Amx‖Y ≤ lim inf

    k→∞‖Ak −Am‖‖x‖X −−−−→

    m→∞0

    y A−Am ∈ L(X,Y) y A ∈ L(X,Y), limm→∞

    ‖A−Am‖ = 0

    zu (iii): x ∈ X y Ax ∈ Y y (B ◦A)x = B(Ax) ∈W,‖(B ◦A)x‖W ≤ ‖B‖L(Y,W)‖Ax‖Y ≤ ‖B‖L(Y,W)‖A‖L(X,Y)‖x‖X

    Bemerkung : X Banachraum y L(X) Banachraum mit Einselement idX→X ∈ L(X)

    Beispiele : (a) dimX 0 ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ c maxj=1,...,m

    ‖Aξj‖Y ‖x‖X = C‖x‖X y A ∈ L(X,Y)

  • 60 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    Beispiele : (b) Matrix-Operator A ←→ a = (ajk)j,k∈N ∈ ℓ2(N× N), X = Y = ℓ2(N)

    x = (xk)k ∈ ℓ2(N) y Ax = ((Ax)j)j∈N mit (Ax)j =∞∑

    k=1

    ajkxk, j ∈ N

    y |(Ax)j | ≤Hölder

    ( ∞∑

    k=1

    |ajk|2) 1

    2 ‖x‖2, j ∈ N

    y ‖Ax‖2 =( ∞∑

    j=1

    |(Ax)j |2) 1

    2 ≤ ‖x‖2( ∞∑

    j=1

    ∞∑

    k=1

    |ajk|2) 1

    2

    ︸ ︷︷ ︸

    ‖a|ℓ2(N×N)‖

    = ‖x‖2 ‖a|ℓ2(N× N)‖

    y A ∈ L(ℓ2(N)), ‖A‖ ≤ ‖a|ℓ2(N× N)‖

    (c) X = Y = C[0, 1], sei ϕ ∈ C[0, 1]; Multiplikationsoperator Mϕ : f 7→ ϕfy Mϕ linear, ‖Mϕf‖∞ ≤ ‖ϕ‖∞‖f‖∞ y ‖Mϕ‖ ≤ ‖ϕ‖∞ y Mϕ ∈ L(C[0, 1])f0 ≡ 1 ∈ C[0, 1] y ‖Mϕf0‖∞ = ‖ϕ‖∞ =⇒

    inf‖Mϕ‖ ≥ ‖ϕ‖∞ y ‖Mϕ‖ = ‖ϕ‖∞

    analog: Mϕ : Lp(Ω)→ Lp(Ω) mit ϕ ∈ L∞(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞

    (d) X = Y = Lp(Rn), 1 ≤ p 0 ======⇒ϕ ∈ C[0, 1]

    ϕε(x) =ϕ(x)

    |ϕ(x)| + ε ∈ C[0, 1],‖ϕε‖∞ < 1

    Bϕϕε =

    1∫

    0

    |ϕ(x)|2|ϕ(x)| + ε dx

    ︸ ︷︷ ︸

    =|Bϕϕε|, da ≥0

    >

    1∫

    0

    |ϕ(x)|2 − ε2|ϕ(x)|+ ε dx =

    1∫

    0

    (|ϕ(x)| − ε) dx = ‖ϕ|L1(0, 1)‖ − ε

    y ‖Bϕ‖ = sup‖f‖∞≤1

    |Bϕf | ≥ supε>0|Bϕϕε| = ‖ϕ|L1(0, 1)‖ − inf

    ε>0ε = ‖ϕ|L1(0, 1)‖

    (f) X = C1[0, 1], Y = C[0, 1], Differentialoperator D =d

    dx: f 7→ f ′ y D linear,

    ‖Df |C[0, 1]‖ = supx∈[0,1]

    |f ′(x)| ≤ supx∈[0,1]

    |f(x)|+ supx∈[0,1]

    |f ′(x)| = ‖f |C1[0, 1]‖

    y D ∈ L(C1[0, 1],C[0, 1]), ‖D‖ ≤ 1

    analog: Dm =∑

    |α|≤maαD

    α : Cm(Ω)→ C(Ω), aα ∈ K, m ∈ N, ‖Dm‖ ≤ sup

    |α|≤m|aα|

  • 2.1 Operatoren im Banachraum 61

    Bemerkung : betrachten X = C1[0, 1] ⊂ C[0, 1] Teilraum mit ‖f‖∞ = supx∈[0,1]

    |f(x)| y D 6∈ L(X,C[0, 1]):

    fn(x) = xn ∈ X, n ∈ N, ‖fn‖X = ‖fn‖∞ = 1, ‖Dfn‖∞ = sup

    x∈[0,1]nxn−1 = n = n‖fn‖∞

    y ‖D‖ ≥ n −−−−→n→∞

    Beispiel : (g) Verallgemeinerung von (d): X = Y = C[0, 1], sei k : [0, 1]× [0, 1] → K mit k ∈ C([0, 1]2);Fredholmscher Integraloperator

    (Kf)(x) =

    ∫ 1

    0

    k(x, y)f(y) dy, f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1]

    Kf ∈ C[0, 1]: k(·, y) ∈ C[0, 1] y k(·, y) gleichmäßig stetig für alle y ∈ [0, 1]

    y |Kf(x)−Kf(x′)| ≤∫ 1

    0

    |k(x, y)− k(x′, y)|︸ ︷︷ ︸

  • 62 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    ∥∥A

    ∥∥L(D,Y) =

    ∥∥Ã

    ∥∥L(X,Y):

    ∥∥Ã

    ∥∥L(X,Y) = sup

    x∈X,‖x‖X≤1

    ∥∥Ãx

    ∥∥Y= sup

    x∈X,‖x‖X≤1limk→∞

    ∥∥Axk

    ∥∥Y≤ sup

    x∈X,‖x‖X≤1

    ∥∥A

    ∥∥L(D,Y) limk→∞

    ‖xk‖X︸ ︷︷ ︸

    ‖x‖X=

    ∥∥A

    ∥∥L(D,Y)

    = supx∈D,‖x‖X≤1

    ∥∥Ax

    ∥∥Y

    ︸ ︷︷ ︸

    =‖Ãx‖Y, x∈D

    ≤D ⊂ X

    supx∈X,‖x‖X≤1

    ∥∥Ãx

    ∥∥Y=

    ∥∥Ã

    ∥∥L(X,Y)

    2.1.2 Lineare Funktionale und Dualraum

    Definition 2.5 Sei [X, ‖ · ‖X] ein normierter Vektorraum. Dann nennt man A ∈ L(X,K) ein lineares Funk-tional auf X und X′ = L(X,K) Dualraum zu X.

    Bemerkung : Satz 2.3(ii) ===⇒Y = K

    X′ Banachraum mit ‖A‖ = sup‖x‖X≤1

    |Ax|, A ∈ X′ = L(X,K)

    Schreibweise: X →֒ Y (stetige Einbettung) ⇐⇒ idX→Y ∈ L(X,Y) ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ x ∈ X : ‖x‖Y ≤ c‖x‖X

    Lemma 2.6 Falls X →֒ Y dicht ist, so folgt Y′ →֒ X′ in dem Sinn, dass für alle ϕ ∈ Y′ gilt ϕ|X ∈ X′.

    Be w e i s : ϕ ∈ Y′ = L(Y,K) ====⇒X →֒ Y

    ϕ|X = ϕ ◦ idX→Y ∈ L(X,K) = X′ linear und beschränkt; Eindeutig-keit von ϕ|X folgt aus Satz 2.4;sei ϕ ∈ Y′, x ∈ X →֒ Y y

    ∣∣ϕ|X(x)

    ∣∣ = |ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖Y′‖x‖Y ≤ c‖ϕ‖Y′‖x‖X y ϕ|X ∈ X′, ‖ϕ|X‖X′ ≤ c ‖ϕ‖Y′

    Erinnerung: [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] isometrisch-isomorph ⇐⇒ ∃ L : X→ Y linear, isometrisch, surjektiv⇐⇒ ∃ L : X→ Y ∀ x ∈ X : ‖Lx‖Y = ‖x‖X ∧ L(X) = Y (Def. 1.9)

    Schreibweise: X ∼= Y

    Satz 2.7 Seien 1 < p

  • 2.1 Operatoren im Banachraum 63

    sei ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , ), k ∈ N, kanonische Basis in ℓp(N), d.h. ekj = δj,k ={

    1, k = j

    0, k 6= j

    x ∈ ℓp(N) y x =∞∑

    k=1

    xkek,

    ∥∥∥x−

    m∑

    k=1

    xkek∥∥∥p=

    ( ∞∑

    k=m+1

    |xk|p) 1

    p −−−−→m→∞

    0

    =========⇒ϕ linear & stetig

    ϕ(x) =

    ∞∑

    k=1

    xk ϕ(ek)

    ︸ ︷︷ ︸=:ηk

    =

    ∞∑

    k=1

    xkηk (16)

    n.z.z.: η ∈ ℓp′(N), ‖η‖p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′

    betrachten (ξm)m∈N mit ξmk =

    |ηk|p′

    ηk, ηk 6= 0 ∧ k ≤ m,

    0, sonst

    y ξm ∈ ℓp(N), m ∈ N ==⇒(16)

    ϕ(ξm) =m∑

    k=1

    |ηk|p′

    ηk︸ ︷︷ ︸

    ξk

    ηk =

    m∑

    k=1

    |ηk|p′

    ︸ ︷︷ ︸

    ≥0

    = |ϕ(ξm)|

    ym∑

    k=1

    |ηk|p′

    = |ϕ(ξm)| ≤ϕ ∈ (ℓp(N))′

    ‖ϕ‖(ℓp(N))′‖ξm‖p

    = ‖ϕ‖(ℓp(N))′( m∑

    k=1

    |ηk|(p′−1)p

    ) 1p

    =p(p′ − 1) = p′

    ‖ϕ‖(ℓp(N))′( m∑

    k=1

    |ηk|p′) 1

    p

    ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′‖η‖p′−1

    p′

    ====⇒m → ∞

    ∞∑

    k=1

    |ηk|p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′‖η‖p

    ′−1p′ ⇐⇒ ‖η‖p

    p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′‖η‖p′−1

    p′

    y ‖η‖p′ ≤ ‖ϕ‖(ℓp(N))′

    y η ∈ ℓp′(N), η = L−1ϕ ⇐⇒ ϕ = Lη = ϕη mit ηk = ϕ(ek), k ∈ N, ‖η‖p′ ≤ ‖ϕη‖(ℓp(N))′ ≤1. Schritt

    ‖η‖p′

    y L Isometrie

    Übung II-4 : In welchem Sinn gelten folgende Aussagen?(a)

    (ℓ1(N)

    )′= ℓ∞(N) (b)

    (c0(N)

    )′= ℓ1(N) (c)

    (c(N)

    )′= ℓ1(N)

    Bemerkung : • Es ist ℓ1(N) ( (ℓ∞(N))′.

    • p = 2 = p′ ====⇒Satz 2.7

    (ℓ2(N))′ ∼= ℓ2(N)

    Satz 2.8 Seien [Ω,A, µ] ein σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, 1 ≤ p

  • 64 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    sei g ∈ Lp(A, µ) ===⇒Hölder

    |Lf(g)| ≤ ‖f |Lp′(A, µ)‖‖g|Lp(A, µ)‖ ==⇒sup

    ‖Lf‖(Lp(A,µ))′ ≤ ‖f |Lp′(A, µ)‖y Lf injektiv

    z.z.: ‖f |Lp′(A, µ)‖ = ‖Lf‖(Lp(A,µ))′ = sup‖g|Lp(A,µ)‖=1

    |Lf(g)|

    y g.z.z.: ∃ g ∈ Lp(A, µ), ‖g|Lp(A, µ)‖ = 1 : |Lf (g)| = ‖f |Lp′(A, µ)‖

    sei f ∈ Lp′(A, µ), o.B.d.A. f 6= 0, setzen g(x) =f(x)

    |f(x)|( |f(x)|‖f |Lp′(A, µ)‖

    ) p′p

    y ‖g|Lp(A, µ)‖ =( ∫

    A

    |f(x)|p′

    ‖f |Lp′(A, µ)‖p′dµ(x)

    ) 1p

    = 1

    sowie

    |Lf(g)| =∣∣∣∣

    A

    f(x)f(x)

    |f(x)|( |f(x)|‖f |Lp′(A, µ)‖

    ) p′p

    ︸ ︷︷ ︸

    g(x)

    dµ(x)

    ∣∣∣∣

    =

    A

    |f(x)| p′

    p +1

    ‖f |Lp′(A, µ)‖p′

    p

    dµ(x) =p′

    p + 1 = p′

    1

    ‖f |Lp′(A, µ)‖p′

    p

    A

    |f(x)|p′ dµ(x)︸ ︷︷ ︸

    ‖f |Lp′(A,µ)‖p′

    = ‖f |Lp′(A, µ)‖

    ==⇒sup

    ‖Lf‖(Lp(A,µ))′ ≥ ‖f |Lp′(A, µ)‖

    ==⇒s.o.‖Lf‖(Lp(A,µ))′ = ‖f |Lp′(A, µ)‖

    Bemerkung : • Lp′(A, µ) →֒(Lp(A, µ)

    )′, 1 ≤ p ≤ ∞, Interpretation:

    f ∈ Lp′(A, µ) 7→ Lf ∈(Lp(A, µ)

    )′mit Lf (g) =

    A

    f(x)g(x) dµ(x), g ∈ Lp(A, µ)

    und ‖f |Lp′(A, µ)‖ = ‖Lf‖(Lp(A,µ)

    )′ = sup‖g|Lp(A,µ)‖≤1

    ∣∣∣

    A

    f(x)g(x) dµ(x)∣∣∣

    • L1(A, µ) →֒(L∞(A, µ)

    )′echter Teilraum, d.h.

    Lp′(A, µ) =(Lp(A, µ)

    )′(Interpretation) ⇐⇒ 1 ≤ p

  • 2.1 Operatoren im Banachraum 65

    Satz 2.9 (Rieszscher Darstellungssatz)Seien Ω ein kompakter metrischer Raum, M(Ω) der Raum der regulären Borelmaße auf Ω. Dann sind

    (C(Ω))′ ∼= M(Ω) isometrisch-isomorph,

    wobei

    L : M(Ω) → (C(Ω))′ , µ 7→ Lµ, Lµ(g) =∫

    g dµ, g ∈ C(Ω),

    der isometrische Isomorphismus ist.

    Be w e i s : siehe [Wer00, Satz II.2.5]

    2.1.3 Kompakte Operatoren und inverse Abbildungen

    Definition 2.10 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.(i) Ein linearer Operator A : X → Y heißt kompakt, falls das Bild jeder in X beschränkten Menge in Y

    präkompakt ist.

    (ii) K(X,Y) = {A : X→ Y linearer und kompakter Operator}

    Bemerkung : UX = {x ∈ X : ‖x‖X ≤ 1} y A ∈ K(X,Y) ⇐⇒ A(UX) präkompakt in Y ⇐⇒ A(UX)kompakt in Y

    Beispiele : (i) X = Lipb(I), Y = Lipa(I), I ⊂ R kompakt, 0 < a < b < 1====⇒ÜA I-13

    idX→Y ∈ K(Lipb(I),Lipa(I))

    (ii) X = C1[0, 1] mit ‖f |C1[0, 1]‖ = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞, Y = C[0, 1] mit ‖ · ‖∞====⇒ÜA I-15

    idX→Y ∈ K(C1[0, 1],C[0, 1])

    Satz 2.11 Seien [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] normierte Vektorräume.(i) Es gilt K(X,Y) ⊂ L(X,Y), d.h. jeder kompakte Operator ist beschränkt.

    (ii) A ∈ K(X,Y) ⇐⇒ ∀ (xn)n ⊂ X, ‖xn‖X ≤ c ∃ (xnk )k ⊂ (xn)n : (Axnk)k konvergent in Y

    (iii) Für dimX

  • 66 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    zu (iii): sei dimX < ∞, Ω ⊂ X beschränkt =======⇒Satz 1.23(ii)

    Ω präkompakt =======⇒A ∈ L(X,Y)

    A(Ω) präkompakt

    (analog zu Argument für (ii))

    sei dimY 0 ============⇒‖An − A‖ −−−−→

    n→∞0∃ n0 = n0(ε) ∀ n ≥ n0 : ‖An −A‖ < ε

    y ‖Axkk −Axmm‖Y ≤ ‖Axkk −An0xkk‖Y︸ ︷︷ ︸

    ≤‖A−An0‖2C

  • 2.1 Operatoren im Banachraum 67

    B e w e i s : Ak ∈ L(X,R(Ak)), rank(Ak)

  • 68 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    1. Schritt: sei f ∈ C(Ω), ‖f‖∞ ≤ 1

    y ‖Kf‖∞ = supx∈Ω

    ∣∣∣

    k(x, y)f(y) dy∣∣∣

    ︸ ︷︷ ︸

    |(Kf)(x)|

    ≤ supx∈Ω

    ‖k(x, ·)‖∞ ‖f‖∞︸ ︷︷ ︸

    ≤1

    |Ω| ≤ |Ω|‖k|C(Ω× Ω)‖ ≤ ck,Ω

    y K(UC(Ω)) = {Kf : ‖f‖∞ ≤ 1} beschränkt,

    |(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| ≤∫

    |k(x+ h, y)− k(x, y)|︸ ︷︷ ︸

  • 2.1 Operatoren im Banachraum 69

    Bemerkung : • ∃ A−1 ∈ L(X) ⇐⇒ R(A− λ idX) = X, A injektiv, A−1 beschränktspäter: Satz vom inversen Operator, d.h.

    R(A− λ idX) = X, A injektiv =⇒ A−1 beschränkt

    • λ ∈ C Eigenwert von A ⇐⇒ ∃ x ∈ X, x 6= 0 : Ax = λxy dimN(A− λ idX) > 0 y ∄ (A− λ idX)−1 y λ ∈ σσσ(A)

    • A ∈ K(X) y 0 ∈ σσσ(A) für dimX =∞

    nächstes Ziel: Darstellung von (A− λ idX)−1, A ∈ L(X)

    formal: ( idX −A)−1 =1

    idX −A=

    ∞∑

    k=0

    Ak, falls konvergent, wobei Ak+1 = A ◦Ak, k ∈ N0

    Vereinbarung: A ∈ L(X) y A0 := idX

    y Konvergenz von∞∑

    k=0

    Ak in L(X):

    ∥∥∥

    ∞∑

    k=0

    Ak∥∥∥ ≤

    ∞∑

    k=0

    ∥∥Ak

    ∥∥ ≤

    Satz 2.3(iii)

    ∞∑

    k=0

    ‖A‖k konvergent für ‖A‖ < 1

    früher: Konvergenzradius 99K betrachten ‘Spektralradius von A’: limk→∞

    k√

    ‖Ak‖ (falls er existiert)

    ===⇒früher

    limk→∞

    k√

    ‖Ak‖

    < 1 99K Konvergenz von∞∑

    k=0

    ∥∥Ak

    ∥∥

    > 1 99K Divergenz von∞∑

    k=0

    ∥∥Ak

    ∥∥

    y ∃ limk→∞

    k√

    ‖Ak‖ ? 99K verwenden spezielle Struktur der Folge:∥∥Aj+k

    ∥∥ =

    ∥∥Aj ◦Ak

    ∥∥ ≤

    Satz 2.3(iii)

    ∥∥Aj

    ∥∥∥∥Ak

    ∥∥

    Lemma 2.15 Seien aj ≥ 0 sowie aj+k ≤ ajak, j, k ∈ N. Dann existiert limk→∞

    k√ak, es gilt

    limk→∞

    k√ak = inf

    k∈Nk√ak.

    Be w e i s : ak ≥ 0 y ∃ a := infk∈N

    k√ak, sei ε > 0 =⇒

    inf∃ k0 ∈ N : a ≤ k0

    √ak0 < a+ ε y ak0 < (a+ ε)

    k0

    sei m ∈ N beliebig y ∃ ! r0 =⌊mk0

    ∈ N0 : r0k0 ≤ m < (r0 + 1)k0y ∃ ! r0 ∈ N0 ∃ ! p0 ∈ {0, . . . , k0 − 1} : m = r0k0 + p0, setzen a0 := 1

    y ∀ m ∈ N : am = ar0k0+p0 ≤Vor.

    ar0k0ap0 ≤Iteration

    ar0k0 maxj=0,...,k0−1aj

    ︸ ︷︷ ︸

    =:M0

    = M0 ar0k0

    y am ≤M0ar0k0 0 ∃ m0 ∈ N ∀ m ≥ m0 : a ≤ m√am < a+ 2ε ⇐⇒ lim

    m→∞m√am = a

    Folgerung 2.16 Sei A ∈ L(X). Dann existiert limk→∞

    k

    ‖Ak‖ = infk∈N

    k

    ‖Ak‖ ≤ ‖A‖.

  • 70 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    Definition 2.17 Für A ∈ L(X) nennt man

    r(A) = limk→∞

    k

    ‖Ak‖

    Spektralradius von A.

    Bemerkung : A ∈ L(X) =====⇒Folg. 2.16

    r(A) ≤ ‖A‖

    Satz 2.18 Seien X ein Banachraum, A ∈ L(X).(i) Für |λ| > r(A) existiert (A− λ idX)−1 ∈ L(X), und es gilt

    (A− λ idX)−1 = −∞∑

    k=0

    Ak

    λk+1,

    in L(X), sowie für |λ| > ‖A‖,

    ∥∥(A− λ idX)−1

    ∥∥ ≤ 1|λ| − ‖A‖ .

    (ii) Die Reihe∞∑

    k=0

    Ak

    λk+1konvergiert in L(X) genau dann, wenn |λ| > r(A) ist.

    Bemerkung : • Konvergenz bezüglich der Operatornorm ‖ · ‖ in L(X)

    •∞∑

    k=0

    Ak

    λk+1heißt Neumann41sche Reihe

    Be w e i s : 1. Schritt: betrachten Spezialfall λ = 1 > r(A) 99K z.z.: ( idX −A)−1 =∞∑

    k=0

    Ak in L(X)

    sei B :=∞∑

    k=0

    Ak, Bn =n∑

    k=0

    Ak y ‖B −Bn‖ ≤∞∑

    k=n+1

    ‖Ak‖ −−−−→n→∞

    0, da r(A) < 1 y B ∈ L(X)

    andererseits: BnA =( n∑

    k=0

    Ak)

    A =n∑

    k=0

    Ak+1 = A( n∑

    k=0

    Ak)

    = ABn

    y BnA = ABn =n+1∑

    l=1

    Al =

    n+1∑

    l=0

    Al − idX, ‖BnA−BA‖ ≤ ‖Bn −B‖︸ ︷︷ ︸−−−−→n→∞

    0

    ‖A‖ −−−−→n→∞

    0,

    ‖ABn −AB‖ ≤ ‖A‖ ‖Bn −B‖︸ ︷︷ ︸−−−−→n→∞

    0

    −−−−→n→∞

    0

    y BA = limn→∞

    BnA = B − idX = limn→∞

    ABn = AB

    in L(X) y idX = B −BA = B( idX −A) = ( idX −A)B (18)

    y idX −A injektiv: ( idX −A)x = 0 ==⇒(18)

    x = idXx = B ( idX −A)(x)︸ ︷︷ ︸

    0

    = 0 y N( idX −A) = {0}

    41Carl Gottfried Neumann (∗ 7.5.1832 Königsberg † 27.3.1925 Leipzig)

  • 2.1 Operatoren im Banachraum 71

    idX −A surjektiv: sei y ∈ X ==⇒(18)

    y = idXy = ( idX −A) By︸︷︷︸

    z∈X

    y ∃ z ∈ X : y = ( idX −A)z

    y ∃ ( idX −A)−1 =(18)

    B

    2. Schritt: sei jetzt λ ∈ C, |λ| > r(A) beliebig y λ 6= 0,

    A− λ idX = λ( 1

    λA− idX

    )

    y (A− λ idX)−1 =1

    λ

    ( 1

    λA− idX

    )−1

    r

    ( 1

    λA)

    = limk→∞

    k

    √∥∥∥∥

    Ak

    λk

    ∥∥∥∥=

    1

    |λ|r(A) ‖A‖ y∥∥∥∥

    A

    λ

    ∥∥∥∥< 1 y ‖(A− λ idX)−1‖ ≤

    1

    |λ|

    ∞∑

    k=0

    ∥∥∥∥

    A

    λ

    ∥∥∥∥

    k

    ︸ ︷︷ ︸1

    1−‖A‖|λ|

    =1

    |λ| − ‖A‖

    n.z.z.: ∃∞∑

    k=0

    Ak

    λk+1∈ L(X) =⇒ r(A) < |λ|

    ∃∞∑

    k=0

    Ak

    λk+1y

    ∥∥∥∥

    Ak

    λk

    ∥∥∥∥−−−−→k→∞

    0 ===⇒ε = 1

    ∃ k0 ∀ k ≥ k0 : ‖Ak‖ < |λ|k y infk∈N

    k

    ‖Ak‖ < |λ|

    ============⇒Folg. 2.16, Def. 2.17

    r(A) = limk→∞

    k√

    ‖Ak‖ = infk∈N

    k√

    ‖Ak‖ < |λ|

    Bemerkung : • möglich: ∃ (A− λ idX)−1 ∈ L(X), aber∞∑

    k=0

    Ak

    λk+1divergent

    • Man kann zeigen:

    ∃ λ0 ∈ σσσ(A) : |λ0| = r(A),

    siehe z.B. [Wer00, Satz VI.1.6]

    λ0

    σσσ(A)

    ‖A‖

    r(A)

    Anwendung: Volterra42sche Integraloperatoren

    a x

    k ≡ 0

    D

    b

    x = y

    y

    b

    a

    Ω = (a, b) ⊂ R beschränkt, k(·, ·) : [a, b]× [a, b]→ C λ2-messbar

    speziell: k ∈ L∞([a, b]× [a, b]), k(x, y) = 0 für x < y

    [a, b] ⊂ R beschränkt y L∞([a, b]× [a, b]) →֒ L2([a, b]× [a, b])

    y (Kf)(x) =∫ b

    a

    k(x, y)︸ ︷︷ ︸

    =0, x

  • 72 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    Satz 2.19 Seien [a, b] ⊂ R, k : [a, b]× [a, b]→ C λ2-messbar mit k(x, y) = 0 für x < y, und

    (Kf)(x) =

    ∫ x

    a

    k(x, y)f(y) dy, x ∈ [a, b].

    (i) Für k ∈ L∞([a, b] × [a, b]) gelten K ∈ K(L2[a, b]), σσσ(K) = {0} und r(K) = 0. Die VolterrascheIntegralgleichung

    Kf − λf = gbesitzt für λ 6= 0 und jedes g ∈ L2[a, b] genau eine Lösung f ∈ L2[a, b], die sich mittels der in L2[a, b]konvergenten Neumannschen Reihe berechnen lässt.

    (ii) Falls k auf D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ x} ⊂ [a, b]× [a, b] stetig ist, so gelten K ∈ K(C[a, b]),σσσ(K) = {0} und r(K) = 0. Die Volterrasche Integralgleichung

    Kf − λf = g

    besitzt für λ 6= 0 und jedes g ∈ C[a, b] genau eine Lösung f ∈ C[a, b], die sich mittels der in C[a, b]konvergenten Neumannschen Reihe berechnen lässt.

    Be w e i s : 1. Schritt: K ∈ K(L2[a, b]) nach Vorbemerkung klar; zu K ∈ K(C[a, b]):sei f ∈ C[a, b], ‖f‖∞ ≤ 1 y ‖Kf‖∞ ≤ (b − a) max

    (x,y)∈D|k(x, y)| =: (b − a)‖k‖∞,D y K(UC[a,b])

    beschränkt; seien x ∈ [a, b] und h so, dass x+ h ∈ [a, b] , o.B.d.A. h ≥ 0

    |(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| =∣∣∣

    ∫ x+h

    a

    k(x+ h, y)f(y) dy −∫ x

    a

    k(x, y)f(y) dy∣∣∣

    ≤∫ x

    a

    |k(x+ h, y)− k(x, y)|︸ ︷︷ ︸

  • 2.1 Operatoren im Banachraum 73

    Induktion, o.B.d.A. x > z:

    |km(x, z)| ≤x∫

    z

    |km−1(x, y)|︸ ︷︷ ︸

    ≤|x−y|m−2‖k‖

    m−1∞,D

    (m−2)!

    |k(y, z)|︸ ︷︷ ︸

    ≤‖k‖∞,D

    dy

    ≤‖k‖m∞,D(m− 2)!

    x∫

    z

    (x− y)m−2︸ ︷︷ ︸

    =|x−y|m−2, y

  • 74 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    Beispiel : Spezialfall: [a, b] = [0, 1], k ≡ 1 auf D y (Kf)(x) =∫ x

    0

    f(y) dy, f ∈ C[0, 1]y K ∈ K(C[0, 1]) injektiv, R(K) ⊂ {g ∈ C[0, 1] : g(0) = 0} ( C[0, 1], d.h.R(K) ( C[0, 1] y K nicht surjektiv

    suchen Lösung von Kf − λf = g, λ 6= 0

    y f(x) = (K − λ id)−1g(x) =∞∑

    m=0

    1

    λm+1(Kmg)(x)

    =

    ∞∑

    m=0

    1

    λm+1

    x∫

    0

    km(x, y)g(y) dy

    ︸ ︷︷ ︸

    (Kmg)(x)

    =K0 = id

    g(x)

    λ+

    ∞∑

    m=1

    1

    λm+1

    x∫

    0

    (x− y)m−1(m− 1)!

    ︸ ︷︷ ︸

    km(x,y)

    g(y) dy

    sowie, fallsx∫

    0

    · · · gleichmäßig konvergent,

    =g(x)

    λ+

    x∫

    0

    ∞∑

    m=1

    (x− y)m−1λm+1(m− 1)! g(y) dy

    2.2 Operatoren im Hilbertraum

    2.2.1 Hilberträume

    Definition 2.20 Seien H ein Vektorraum über K.

    (i) Eine Abbildung 〈·, ·〉 : H×H→ K heißt Skalarprodukt, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind:(1) Für alle x ∈ H gilt: 〈x, x〉 ≥ 0, sowie 〈x, x〉 = 0 ⇐⇒ x = 0.(2) Für alle x, y ∈ H gilt: 〈x, y〉 = 〈y, x〉.(3) Für alle x, y, z ∈ H und λ ∈ K gelten:

    〈λx, y〉 = λ〈x, y〉, sowie 〈x+ z, y〉 = 〈x, y〉+ 〈z, y〉.

    (ii) Ein normierter Raum H heißt Prä-Hilbert43raum, wenn es ein Skalarprodukt 〈·, ·〉 auf H gibt, so dass‖x‖H =

    〈x, x〉 auf H eine Norm definiert.

    (iii) Ein Prä-Hilbertraum H heißt Hilbertraum, falls H bezüglich ‖ · ‖H vollständig ist.

    Bemerkung : • aus (2) & (3) folgt:

    〈x, λy〉 = λ〈x, y〉, sowie 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉

    • in H immer: ‖ · ‖H =√

    〈·, ·〉, gelegentlich 〈·, ·〉H für 〈·, ·〉

    43David Hilbert (∗ 23.1.1862 Königsberg † 14.2.1943 Göttingen)

  • 2.2 Operatoren im Hilbertraum 75

    Satz 2.21 (i) Sei H ein Prä-Hilbertraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉. Dann gilt die Cauchy-Schwarz44-Ungleichung,

    |〈x, y〉| ≤ ‖x‖H‖y‖H für alle x, y ∈ H,wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn x und y linear abhängig sind.

    (ii) Seien H ein normierter Raum mit der Norm ‖ · ‖. Dann ist H ein Prä-Hilbertraum genau dann, wenndie Parallelogramm-Gleichung gilt,

    ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2

    )für alle x, y ∈ H.

    Das zugehörige Skalarprodukt ist dann definiert als

    〈x, y〉 ={

    14

    (‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2

    ), K = R,

    14

    (‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2

    )+ i4

    (‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2

    ), K = C.

    Be w e i s : bekannt aus früheren Vorlesungen bzw. Übung

    Bemerkung : aus (i) folgt ‖ · ‖H Norm (Dreiecksungleichung)

    Beispiele : (a) Rn, Cn mit 〈x, y〉 =n∑

    j=1

    xjyj

    (b) ℓ2(N) mit 〈x, y〉2 =∞∑

    j=1

    xjyj , x = (xj)j , y = (yj)j

    (c) [Ω,A, µ] σ-endlicher Maßraum, A ∈ A µ-messbar, L2(A, µ) wie in Abschnitt 1.3.3L2(A, µ) Hilbertraum mit

    〈f, g〉2 =∫

    A

    fg dµ,

    insbesondere gilt für [Ω,A, µ] = [Rn,Ln, λn], G ⊆ Rn offen, G ∈ Ln: L2(G) Hilbertraumetwas allgemeiner: gewichtete L2-Räume: dµ = w(x) dx, w ≥ 0 λn-messbar:

    〈f, g〉w =∫

    G

    f(x)g(x)w(x) dx

    (d) C[a, b] Prä-Hilbertraum mit ‖ · ‖2, aber nicht vollständig:

    [a, b] = [0, 1], fn(x) =1

    3

    max(x, 1n

    )

    y fn ∈ C[0, 1], n ∈ N

    fn(x) −−−−→n→∞

    13√x=: f(x), x ∈ (0, 1]

    y f 6∈ C[0, 1], aber

    f20(x)

    f10(x)

    f2(x)

    f5(x)

    1

    0.4 0.6 0.8 1

    3

    2

    0 0.2‖fn − f‖22 =∫ 1

    0

    |fn(x)− f(x)|2 dx

    =

    ∫ 1/n

    0

    ∣∣∣∣

    3√n− 1

    3√x

    ∣∣∣∣

    2

    dx+

    ∫ 1

    1/n

    0 dx

    =

    ∫ 1/n

    0

    n23 dx

    ︸ ︷︷ ︸

    n−1/3

    −2n 13∫ 1/n

    0

    x−13 dx

    ︸ ︷︷ ︸32n

    −2/3

    +

    ∫ 1/n

    0

    x−23 dx

    ︸ ︷︷ ︸

    3n−1/3

    = n−13 −−−−→

    n→∞0

    44Hermann Amandus Schwarz (∗ 25.1.1843 Hermsdorf (Schlesien) † 30.11.1921 Berlin)

  • 76 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    Folgerung 2.22 Sei H ein Prä-Hilbertraum.

    (i) Für (xj)j , (yj)j ⊂ H mit xj −−−→j→∞

    x, yj −−−→j→∞

    y gilt

    〈xj , yj〉 −−−→j→∞

    〈x, y〉.

    (ii) Aus∑

    n∈Nxn = x ∈ H folgt für alle y ∈ H: 〈x, y〉 =

    〈∑

    n∈Nxn, y

    =∑

    n∈N〈xn, y〉.

    (iii) Ist U ⊂ H ein dichter Teilraum und gilt 〈x, u〉 = 0 für alle u ∈ U , so ist x = 0.

    Be w e i s : (i) und (ii) Folge der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, Satz 2.21(i):

    |〈x, y〉 − 〈xj , yj〉| ≤ |〈x− xj , yj〉|+ |〈x, y − yj〉| ≤Satz 2.21(i)

    ‖x− xj‖H︸ ︷︷ ︸

    −−−→j→∞

    0

    ‖yj‖H︸ ︷︷ ︸

    ≤c

    +‖x‖H ‖y − yj‖H︸ ︷︷ ︸

    −−−→j→∞

    0

    −−−→j→∞

    0

    zu (iii): sei x ∈ H ====⇒U dicht

    ∃ {uj}j ⊂ U : uj −−−→j→∞

    x =⇒(i)〈uj, x〉︸ ︷︷ ︸

    0

    −−−→j→∞

    〈x, x〉 = ‖x‖2H y x = 0

    Definition 2.23 Sei H ein Prä-Hilbertraum.

    (i) x, y ∈ H heißen orthogonal, d.h. x⊥y, falls 〈x, y〉 = 0 gilt.

    (ii) Zwei Teilräume U, V ⊂ H heißen orthogonal, falls für alle u ∈ U und v ∈ V gilt 〈u, v〉 = 0.

    (iii) Sei U ⊂ H ein Teilraum. Dann nennt man

    U⊥ = {v ∈ H : v⊥u für alle u ∈ U}

    heißt orthogonales Komplement von U .

    Bemerkung : U ∩ U⊥ = {0}: x ∈ U ∩ U⊥ y 〈x, x〉 = 0 = ‖x‖2H ⇐⇒ x = 0

    Satz 2.24 Sei H ein Prä-Hilbertraum.

    (i) Für x, y ∈ H mit x⊥y gilt ‖x+ y‖2H = ‖x‖2H + ‖y‖2H.

    (ii) Für U ⊂ H ist U⊥ ein abgeschlossener Teilraum von H, es gilt(U)⊥

    = U⊥.

    (iii) Es gilt: U ⊂(U⊥

    )⊥.

    Bemerkung : (i) . . . Satz des Pythagoras

    B e w e i s : zu (i): ‖x+ y‖2H = 〈x+ y, x+ y〉 = ‖x‖2H + ‖y‖2H + 〈x, y〉︸ ︷︷ ︸

    0, x⊥y

    + 〈y, x〉︸ ︷︷ ︸

    0, x⊥y

    = ‖x‖2H + ‖y‖2H

    zu (ii): U⊥ linearer Teilraum: y1, y2 ∈ U⊥, λ, µ ∈ K

    x ∈ U y 〈λy1 + µy2, x〉 = λ 〈y1, x〉︸ ︷︷ ︸

    0

    +µ 〈y2, x〉︸ ︷︷ ︸

    0

    = 0 y λy1 + µy2 ∈ U⊥

    U⊥ abgeschlossen: sei (yj)j ⊂ U⊥ mit yj −−−→j→∞

    y, z.z.: y ∈ U⊥

    x ∈ U y 〈x, y〉 =Folg. 2.22(i)

    limj→∞

    〈x, yj〉︸ ︷︷ ︸

    0, yj∈U⊥

    = 0

  • 2.2 Operatoren im Hilbertraum 77

    (U)⊥ ⊆ U⊥: v ∈

    (U)⊥

    y 〈v, u〉 = 0 ∀ u ∈ U ====⇒U ⊂ U

    〈v, u〉 = 0 ∀ u ∈ U y v ∈ U⊥

    U⊥ ⊆(U)⊥

    : v ∈ U⊥, u ∈ U y ∃ (uj)j ⊂ U : uj −−−→j→∞

    u y 〈v, u〉 =Folg. 2.22(i)

    limj→∞

    〈v, uj〉︸ ︷︷ ︸

    0, v∈U⊥

    = 0 y v ∈(U)⊥

    zu (iii): u ∈ U , v ∈ U⊥ y 〈u, v〉 = 0 y u ∈(U⊥

    )⊥

    Approximationsproblem in Hilberträumen

    allgemeines Problem: f ∈ H, U ⊂ H gegeben∃ g0 ∈ U : ‖f − g0‖ = inf

    g∈U‖f − g‖ ? Eindeutigkeit?

    geometrische Deutung: ‘Lot’ von f auf U fällen

    f

    g0U

    Bezeichnungen:

    • δ(f, U) = infg∈U

    ‖f − g‖Hfalls ∃ g0 ∈ U : ‖f − g0‖H = δ(f,U) y g0 heißt beste Approximation von f in U

    • U ⊆ H konvex ⇐⇒ ∀ x1, x2 ∈ U ∀ λ ∈ [0, 1] : λx1 + (1 − λ)x2 ∈ U

    Satz 2.25 Seien H ein Hilbertraum und U 6= ∅ eine konvexe, abgeschlossene Teilmenge von H. Dannexistiert für alle f ∈ H genau eine beste Approximation g0 ∈ U . Die Abbildung P : H −→ U , f 7→ g0 = P (f)ist stetig.

    Be w e i s : 1. Schritt: Unitätseien g1, g2 ∈ U beste Approximationen zu f , g1 6= g2 y ‖f − g1‖H = ‖f − g2‖H = δ(f, U),

    g =g1 + g2

    2∈ U y δ(f, U) = inf

    h∈U‖f − h‖H ≤

    ∥∥∥f − g1 + g2

    2︸ ︷︷ ︸

    g

    ∥∥∥H≤ 1

    2‖f − g1‖H︸ ︷︷ ︸

    δ(f,U)

    +1

    2‖f − g2‖H︸ ︷︷ ︸

    δ(f,U)

    = δ(f, U)

    y ‖f − g‖H = δ(f, u)

    andererseits: g1 6= g2 y ‖g1 − g2‖H > 0

    =========⇒Parallelogramm

    ‖f−g‖2H =1

    4‖f−g1+f−g2‖2H =

    1

    4

    (

    2 ‖f − g1‖2H︸ ︷︷ ︸

    δ(f,U)2

    +2 ‖f − g2‖2H︸ ︷︷ ︸

    δ(f,U)2

    −‖g1 − g2‖2H︸ ︷︷ ︸

    >0

    )

    < δ(f, U)2

    2. Schritt: Existenz; zeigen zunächst

    ∀ ε > 0 ∃ α(ε) > 0 ∀ f ∈ H ∀ g1, g2 ∈ U, ‖f − g1‖H < δ(f, U) + α(ε), ‖f − g2‖H < δ(f, U) + α(ε) :

    ‖g1 − g2‖H < ε (1 + δ(f, U)) (20)

    denn: aus der Parallelogramm-Gleichung, Satz 2.21(ii), folgt

    ‖g1 − g2‖2H = 2 ‖f − g1‖2H︸ ︷︷ ︸

  • 78 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    jetzt: Existenz einer Bestapproximation

    δ(f, U) = infg∈U‖f − g‖H =⇒ ∃ (gn)n ⊂ U : lim

    n→∞‖f − gn‖H = δ(f, U) ==⇒

    (20)(gn)n Cauchy-Folge in H

    ====⇒H vollst.

    ∃ g0 ∈ H : limn→∞

    ‖gn−g0‖H = 0 ====⇒U abg.

    g0 ∈ U =======⇒‖ · ‖H stetig

    ‖f−g0‖H = limn→∞

    ‖f−gn‖H = δ(f, U)

    3. Schritt : sei P : H −→ U , P (f) = g mit ‖f − g‖H = δ(f, U); z.z.: P stetigseien f0 ∈ H, g0 = P (f0) ⇐⇒ ‖f0 − g0‖H = δ(f0, U)z.z.: ∀ ε > 0 ∃ γ(ε) > 0 ∀ f1 ∈ H, ‖f1 − f0‖H < γ(ε) : ‖P (f1)

    ︸ ︷︷ ︸g1

    −P (f0)︸ ︷︷ ︸

    g0

    ‖H < ε

    seien ε > 0, δ(f0, U) ≤ µ, wollen (20) anwenden auf ε′ =ε

    1 + µ, f0, g0, g1: ‖f0 − g0‖H = δ(f0, U) X

    y brauchen noch ‖f0 − g1‖H < δ(f0, U) + α(ε′) für ‖f1 − f0‖H < γ(ε):‖f0 − g1‖H ≤ ‖f0 − f1‖H + ‖f1 − g1‖H

    ︸ ︷︷ ︸

    δ(f1,U)≤ ‖f1−g0‖H

    ≤ ‖f0 − f1‖H + ‖f1 − g0‖H︸ ︷︷ ︸

    ≤δ(f0,U)+‖f1−f0‖H

    ≤ δ(f0, U) + 2 ‖f1 − f0‖H︸ ︷︷ ︸

    0

    < ‖f − P (f)‖2H

    =========⇒P (f) + λu ∈ U

    P (f) nicht Bestapproximation y Widerspruch

  • 2.2 Operatoren im Hilbertraum 79

    zu (ii): f ∈ H =⇒(i)∃ u = P (f) ∈ U, v = f − P (f) ∈ U⊥ : f = u+ v

    n.z.z.: Eindeutigkeit: seien f = u0 + v0 = u1 + v1 mit ui ∈ U , vi ∈ U⊥, i = 0, 1 y u0 − u1︸ ︷︷ ︸

    ∈U

    = v1 − v0︸ ︷︷ ︸

    ∈U⊥y u0 − u1 ∈ U ∩ U⊥ ⇐⇒ u0 = u1, analog: v0 = v1

    Bemerkung : seien U ⊂ H ein abgeschlossener Teilraum von H, H = U ⊕ V mit U⊥V ==⇒s.o.

    V = U⊥

    Folgerung 2.27 Seien H ein Hilbertraum und U ⊂ H ein Teilraum. Dann gilt(U⊥

    )⊥= U,

    insbesondere ist für U⊥ = {0} der Raum U dicht in H, d.h. U = H.

    Be w e i s : U ⊂ H abgeschlossener Teilraum =======⇒Satz 2.26(ii)

    H = U ⊕(U)⊥

    =Satz 2.24(ii)

    U ⊕ U⊥ =: V ⊕ U⊥

    ===⇒Bem.

    (U⊥

    )⊥= V = U

    Definition 2.28 Seien H ein Hilbertraum und U ⊂ H ein abgeschlossener Teilraum von H. Dann heißt

    PU : H→ U, PU : f 7→ PUf = g ∈ U und f − PUf ∈ U⊥

    orthogonale Projektion von H auf U .

    Bemerkung : • PU = P : H −→ aus Satz 2.25, d.h. PUf = g0 ∈ U beste Approximation,

    ‖f − PUf‖H = δ(f, U) = infg∈U‖f − g‖H

    PU : H→ U ⊂ H stetig

    • außerdem gelten: PU linear,

    P 2U = PU , ‖PU‖L(H) = 1, N(PU ) = U⊥,

    sowieidH − PU = PU⊥ y ‖ idH − PU‖L(H) = ‖PU⊥‖L(H) = 1

    Dualräume, der Rieszsche Darstellungssatz

    in Abschnitt 2.1.2:

    • Satz 2.7 mit p = 2: (ℓ2(N))′ ∼= ℓ2(N) isometrisch-isomorph, wobei L : ℓ2(N)→ (ℓ2(N))′, y 7→ Ly mit

    Ly(x) =

    ∞∑

    k=1

    xkyk = 〈x, y〉2, x ∈ ℓ2(N), sowie ‖Ly‖(ℓ2(N))′ = ‖y‖ℓ2(N)

    • Satz 2.8 mit p = 2: [Ω,A, µ] σ-endlicher Maßraum, A ∈ A y (L2(A, µ))′ ∼= L2(A, µ) isometrisch-isomorph, wobei L : L2(A, µ)→ (L2(A, µ))′, f 7→ Lf mit

    Lf(g) =

    A

    f(x)g(x) dµ(x) = 〈g, f〉2, g ∈ L2(A, µ), sowie∥∥Lf | (L2(A, µ))′

    ∥∥ = ‖f |L2(A, µ)‖

    ℓ2(N), L2(A, µ) Hilberträume 99K Gilt i.a. H′ ∼= H isometrisch-isomorph, wobei L : H → H′, L : y 7→ Lymit

    Ly(x) = 〈x, y〉, x ∈ H, sowie ‖Ly‖H′ = ‖y‖H ?

  • 80 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    Lemma 2.29 Seien H ein Prä-Hilbertraum, y ∈ H, und Ly gegeben durch

    Ly : H→ K, x 7→ Ly(x) = 〈x, y〉, x ∈ H.

    Dann gilt Ly ∈ H′ = L(H,K) mit ‖Ly‖H′ = ‖y‖H.

    Be w e i s : Ly linear X; Ly beschränkt:

    |Ly(x)| = |〈x, y〉| ≤Satz 2.21(i)

    ‖x‖H ‖y‖H y Ly ∈ H′, ‖Ly‖H′ ≤ ‖y‖H

    sei y 6= 0 y x = y‖y‖H∈ H, ‖x‖H = 1 y ‖Ly‖H′ ≥ |Ly(x)| =

    ∣∣∣∣

    〈y

    ‖y‖H, y

    〉∣∣∣∣=‖y‖2H‖y‖H

    = ‖y‖H

    Satz 2.30 (Satz von Riesz-Fréchet45)Seien H ein Hilbertraum und L ∈ H′. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Element y ∈ H mit derEigenschaft, dass gelten

    L(x) = 〈x, y〉 für alle x ∈ H, sowie ‖L‖H′ = ‖y‖H.

    Be w e i s : L ≡ 0 y y := 0; ab jetzt: L 6≡ 0

    aus Lemma 2.29 klar: falls y ∈ H existiert mit L = Ly y ‖L‖H′ = ‖y‖H

    Unität: ∃ y1, y2 ∈ H ∀ x ∈ H : L(x) = 〈x, y1〉 = 〈x, y2〉 y ∀ x ∈ H : 〈x, y1−y2〉 = 0 =======⇒x = y1 − y2

    y1 = y2

    Existenz: suchen y ∈ H mit L(x) = 〈x, y〉, x ∈ H y ∀ x ∈ N(L) : L(x) = 0 = 〈x, y〉 y y ∈ N(L)⊥

    N(L) abgeschlossen =====⇒Satz 2.26

    H = N(L)⊕N(L)⊥; zeigen: dimN(L)⊥ = 1L : N(L)⊥ → K Isomorphismus, denn: L linear ===⇒

    L 6≡ 0L(N(L)⊥

    )= L(H) = K, L injektiv auf N(L)⊥:

    Lx1 = Lx2, xi ∈ N(L)⊥ y L(x1 − x2) = 0, x1, x2 ∈ N(L)⊥ y x1 − x2 ∈ N(L)∩N(L)⊥ y x1 = x2y dimN(L)⊥ = 1 ⇐⇒ ∃ y0 ∈ H, y0 6= 0 : N(L)⊥ = {λy0 : λ ∈ K}, o.B.d.A. ‖y0‖H = 1

    sei x ∈ H ============⇒H = N(L) ⊕ N(L)⊥

    ∃ ! x0 ∈ N(L) ∃ ! λ0 ∈ K : x = x0 + λ0y0

    y Lx = Lx0︸︷︷︸

    0,x0∈N(L)

    +λ0Ly0 = λ0Ly0 〈y0, y0〉︸ ︷︷ ︸

    1

    =〈λ0y0, (Ly0)y0

    ︸ ︷︷ ︸

    =:y∈N(L)⊥

    = 〈x0, y〉︸ ︷︷ ︸

    0

    +〈λ0y0, y〉 = 〈x0 + λ0y0︸ ︷︷ ︸

    x

    , y〉 = 〈x, y〉

    Bemerkung : betrachten J : H→ H′, Jy = Ly = 〈·, y〉 y J isometrisch, bijektiv, konjugiert-linear, d.h.

    J(λ1y1 + λ2y2)(·) = 〈·, λ1y1 + λ2y2〉 = λ1〈·, y1〉+ λ2〈·, y2〉 =(λ1J(y1) + λ2J(y2)

    )(·)

    J∗ : H → H′, J∗y = 〈·, y〉 y J∗ isometrischer Isomorphismus y H′ ∼= H isometrisch-isomorph y (H′)′ ∼= H′ ∼= H, d.h. H ist reflexiv, H′ ist Hilbertraum bezüglich

    〈L,K〉 := 〈J−1L, J−1K〉, L,K ∈ H′

    45Maurice René Fréchet (∗ 2.9.1878 Maligny/Frankreich † 4.6.1973 Paris)

  • 2.2 Operatoren im Hilbertraum 81

    Definition 2.31 Sei H ein Hilbertraum. Eine Abbildung s : H×H→ K heißt Sesquilinearform, falls für allex, y, z ∈ H und λ, µ ∈ K gelten:

    s (λx+ µy, z) = λs(x, z) + µs(y, z)

    sowie

    s (x, λy + µz) = λs(x, y) + µs(x, z).

    Beispiele : • s(x, y) = 〈x, y〉 Skalarprodukt

    • A ∈ L(H), s(x, y) = 〈Ax, y〉

    Satz 2.32 (Lax46-Milgram47)Seien H ein Hilbertraum und s : H×H→ K eine stetige Sesquilinearform, d.h.

    ∃ C ≥ 0 ∀ x, y ∈ H : |s(x, y)| ≤ C‖x‖H‖y‖H.

    (i) Es existiert genau ein Operator S ∈ L(H), für den gelten

    ‖S‖L(H) ≤ C und s(x, y) = 〈x, Sy〉, x, y ∈ H.

    (ii) Ist s zusätzlich koerzitiv, d.h.

    ∃ c > 0 ∀ x ∈ H : |s(x, x)| ≥ c‖x‖2H,

    so ist S invertierbar, S−1 ∈ L(H) mit∥∥S−1

    ∥∥L(H) ≤

    1c .

    Be w e i s : zu (i): seien y ∈ H, betrachten sy(x) := s(x, y), x ∈ H y sy ∈ H′, ‖sy‖H′ ≤ C‖y‖H

    =====⇒Satz 2.30

    ∃ ! y∗ ∈ H : s(x, y) = sy(x) = 〈x, y∗〉, x ∈ H, ‖y∗‖H = ‖sy‖H′ ≤ C‖y‖H;

    setzen S : H→ H, Sy := y∗ y ‖Sy‖H ≤ C‖y‖H, s(x, y) = 〈x, y∗〉 = 〈x, Sy〉, x, y ∈ H =====⇒Def. 2.31

    S linear

    y S ∈ L(H), ‖S‖L(H) ≤ C

    zu (ii): s koerzitiv y ∃ c > 0 ∀ x ∈ H : c‖x‖2H ≤ |s(x, x)| =(i)|〈x, Sx〉| ≤

    Satz 2.21(i)‖x‖H ‖Sx‖H

    y ∃ c > 0 ∀ x ∈ H : ‖Sx‖H ≥ c‖x‖H y S injektiv; n.z.z.: S surjektiv auf H

    S : H→ R(S) ⊆ H y g.z.z.: R(S) abgeschlossener Teilraum, R(S) = H

    R(S) ⊆ H abgeschlossen: sei (yn)n ⊂ R(S) mit yn −−−−→n→∞

    y ∈ H y ∃ (xn)n ⊂ H : Sxn −−−−→n→∞

    y

    y ‖xn − xm‖H ≤ 1c ‖Sxn − Sxm‖H −−−−−→n,m→∞ 0 y (xn)n ⊂ H Cauchyfolge =======⇒H vollständig ∃ x ∈ H :xn −−−−→

    n→∞x =====⇒

    S ∈ L(H)Sxn −−−−→

    n→∞Sx = y y ∃ x ∈ H : Sx = y y y ∈ R(S)

    R(S) = H: sei y ∈ R(S)⊥ y 0 = |〈y, Sy〉| = |s(y, y)| ≥ c‖y‖2H y y = 0 =====⇒Folg. 2.27 R(S) = H

    y ∃ S−1 ∈ L(H),∥∥S−1

    ∥∥L(H) ≤

    1c

    46Peter David Lax (∗ 1.5.1926 Budapest)47Arthur Norton Milgram (∗ 3.6.1912 Philadelphia † 30.1.1961 )

  • 82 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    2.2.2 Orthonormalbasen und Fourierreihen

    Definition 2.33 Sei H ein Prä-Hilbertraum.

    (i) Ein System {xj , j ∈ N} ⊂ H heißt Orthonormalsystem (ONS), falls für alle j, k ∈ N gilt

    〈xj , xk〉 ={

    1, j = k,

    0, j 6= k.

    (ii) Ein ONS {xj , j ∈ N} ⊂ H heißt Orthonormalbasis (ONB), falls gilt

    ∀ x ∈ H ∃ αj ∈ K : x =∞∑

    j=1

    αjxj (mit Konvergenz in H).

    Bemerkung : • {xj , j ∈ N} ONS ⇐⇒ 〈xj , xk〉 = δjk ={

    1, j = k,

    0, j 6= k. Kronecker48-Symbol

    ⇐⇒ 〈xj , xk〉{

    6= 0, j = k,= 0, j 6= k,

    ︸ ︷︷ ︸

    {xj ,j∈N} Orthogonalsystem

    und ‖xj‖H = 1, j ∈ N︸ ︷︷ ︸

    {xj,j∈N} normiert

    • {xj , j ∈ N} ONS y {xj , j ∈ N} linear unabhängig

    • ONB ist i.a. keine (Vektorraum-)Basis, da für dimH = ∞ i.a. nicht endliche Linear-kombinationen zur Darstellung von x ausreichen

    • {xj , j ∈ N} ONB y ∀ x ∈ H ∃ ! αj = 〈x, xj〉 ∈ K : x =∑

    j∈N〈x, xj〉xj :

    x =

    ∞∑

    j=1

    αjxj y 〈x, xk〉 =∞∑

    j=1

    αj 〈xj , xk〉︸ ︷︷ ︸

    δjk

    = αk, k ∈ N

    Bezeichnung: x =∑

    j∈N〈x, xj〉xj . . . (abstrakte) Fourierreihe von x, αj = 〈x, xj〉 j-ter Fourierkoeffizient

    Satz 2.34 Seien H ein Prä-Hilbertraum und {xj , j ∈ N} ⊂ H ein ONS. Dann gelten folgende Aussagen:

    (i) Für n ∈ N und αj ∈ K ist∥∥∥

    n∑

    j=1

    αjxj

    ∥∥∥

    2

    H=

    n∑

    j=1

    |αj |2.

    (ii) Aus x =∞∑

    j=1

    αjxj folgt∞∑

    j=1

    |αj |2 = ‖x‖2H.

    (iii) Für x ∈ H ist∥∥∥x−

    n∑

    j=1

    αjxj

    ∥∥∥H

    genau dann minimal, wenn α = 〈x, xj〉, j ∈ N, gilt.

    (iv) Für alle x ∈ H und n ∈ N gilt∥∥∥x−

    n∑

    j=1

    〈x, xj〉xj∥∥∥

    2

    H= ‖x‖2H −

    n∑

    j=1

    |〈x, xj〉|2 ,

    sowie die Bessel49sche Ungleichung∞∑

    j=1

    |〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H .

    48Leopold Kronecker (∗ 7.12.1823 Liegnitz/Preußen † 29.12.1891 Berlin)49Friedrich Wilhelm Bessel (∗ 22.7.1784 Minden † 17.3.1846 Königsberg)

  • 2.2 Operatoren im Hilbertraum 83

    Bemerkung : • in (ii) insbesondere: x ∈ H y∞∑

    j=1

    |αj |2 =∞∑

    j=1

    |〈x, xj〉|2

  • 84 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    Satz 2.36 Seien H ein Hilbertraum und {xj , j ∈ N} ⊂ H ein ONS. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

    (i) {xj , j ∈ N} ⊂ H ist eine Orthonormalbasis, d.h. ∀ x ∈ H : x =∞∑

    j=1

    〈x, xj〉xj

    (ii) Für alle x, y ∈ H gilt: 〈x, y〉 =∞∑

    j=1

    〈x, xj〉〈xj , y〉.

    (iii) Für alle x ∈ H gilt die Parsevalsche Gleichung: ‖x‖2H =∞∑

    j=1

    |〈x, xj〉|2 .

    (iv) Es ist span {xj , j ∈ N}⊥ = {0}, d.h. 〈x, xj〉 = 0, j ∈ N ⇐⇒ x = 0.

    (v) span {xj , j ∈ N} ist dicht in H, d.h. span {xj , j ∈ N} = H.

    Be w e i s : (i) =⇒ (ii) 〈x, y〉 =∞∑

    j=1

    ∞∑

    k=1

    〈x, xj〉〈y, xk〉 〈xj , xk〉︸ ︷︷ ︸

    δjk

    =

    ∞∑

    j=1

    〈x, xj〉〈xj , y〉

    (ii) =⇒ (iii) ‖x‖2H = 〈x, x〉 =(ii)

    ∞∑

    j=1

    〈x, xj〉〈x, xj〉︸ ︷︷ ︸

    |〈x,xj〉|2

    =

    ∞∑

    j=1

    |〈x, xj〉|2

    (iii) =⇒ (iv) sei x ∈ span {xj , j ∈ N}⊥ y 〈x, xj〉 = 0, j ∈ N ==⇒(iii)‖x‖H = 0 ⇐⇒ x = 0

    (iv) =⇒ (i) seien x ∈ H =======⇒Satz 2.34(v)

    ∞∑

    j=1

    |〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H n y ‖sn − sm‖2H =∥∥∥

    m∑

    j=n+1

    〈x, xj〉xj∥∥∥

    2

    H=

    Satz 2.34(i)

    m∑

    j=n+1

    |〈x, xj〉|2 −−−−−→m,n→∞

    0

    y (sn)n Cauchy-Folge in H =======⇒H vollständig

    ∃ y ∈ H : sn −−−−→n→∞

    y y ∃ y ∈ H : y =∞∑

    j=1

    〈x, xj〉xj

    y 〈y, xj〉 = 〈x, xj〉, j ∈ N y 〈y − x, xj〉 = 0, j ∈ N ==⇒(iv)

    x = y =

    ∞∑

    j=1

    〈x, xj〉xj

    (iv) =⇒ (v) sei U = span {xj , j ∈ N} ⊆ H ==⇒(iv)

    U⊥ = {0} =====⇒Folg. 2.27

    U = H

    (v) =⇒ (iv) seien U = span {xj , j ∈ N}, y ∈ U⊥, z.z.: y = 0

    y ∈ H =⇒(v)∃ (yj)j ⊂ U : yj −−−→

    j→∞y ====⇒

    y ∈ U⊥〈y, yj〉 = 0, j ∈ N y ‖y‖2H = limj→∞ 〈y, yj〉︸ ︷︷ ︸

    0

    = 0 y y = 0

    Bemerkung : H Hilbertraum, dimH =∞, {xj , j ∈ N} ONB in H y H separabel:

    betrachten UQ = spanQ {xj , j ∈ N} ={

    m∑

    j=1

    λjxj : m ∈ N, λj ∈ KQ}

    abzählbar, UQ = H

    jetzt: sei H separabel y ∃ U = {hj, j ∈ N} ⊂ H : U = H, U abzählbar

    o.B.d.A. U linear unabhängig, aber nicht orthogonal y können ONS daraus konstruieren

    Lemma 2.37 (Gram-Schmidt51sches Orthogonalisierungsverfahren)Seien H ein Hilbertraum und U = {hj}j∈N ⊂ H linear unabhängig. Dann existiert ein ONS E = {ej}j∈Nin H, so dass gelten

    span{h1, . . . , hn} = span{e1, . . . , en} für alle n ∈ N, sowie spanU = spanE.

    51Erhard Schmidt (∗ 13.1.1876 Dorpat (Tartu)/Estland † 6.12.1959 Berlin)

  • 2.2 Operatoren im Hilbertraum 85

    B e w e i s : z.z.: ∀ j, k ∈ N, k ≤ j ∃ ajk, ajj > 0 : ej =j

    k=1

    ajkhk ONS in H, d.h. 〈em, er〉 = δmr

    {hn}n∈N linear unabhängig y hn 6= 0, n ∈ N

    induktiv : n = 1 : e1 :=h1‖h1‖H

    , a11 =1

    ‖h1‖H> 0

    n→ n+ 1 : seien jetzt e1, . . . , en−1 entsprechend definiert, setzen

    un := hn −n−1∑

    k=1

    〈hn, ek〉ek, en :=un‖un‖H

    un 6= 0, denn: un = 0 ⇐⇒ hn =n−1∑

    k=1

    〈hn, ek〉 ek ⇐⇒ hn ∈ span{e1, . . . , en−1}

    ====⇒Ind.vor.

    hn ∈ span{h1, . . . , hn−1} ⇐⇒ {h1, . . . , hn} linear abhängig y Widerspruch

    〈un, em〉 = 〈hn, em〉 −n−1∑

    k=1

    〈hn, ek〉 〈ek, em〉︸ ︷︷ ︸

    δkm

    = 〈hn, em〉 − 〈hn, em〉 = 0, m = 1, . . . , n− 1

    y en ⊥ span{e1, . . . , en−1}, ‖en‖H = 1, ann =1

    ‖un‖H> 0

    Bemerkung : geometrische Deutung für n = 3, H = ℓ32, d.h. R3 mit euklidischem Skalarprodukt

    〈x, y〉 = 〈x, y〉2 =3∑

    j=1

    ξjηj , x = (ξ1, ξ2, ξ3), y = (η1, η2, η3)

    h1

    h2

    u2 = h2 − 〈h2, e1〉e1

    e2

    e1

    h3

    e3 u3 = h3 − 〈h3, e1〉e1 − 〈h3, e2〉e2

    e1〈h2, e1〉e1 〈h3, e1〉e1

    e2

    〈h3, e2〉e2

    Satz 2.38 Sei H ein Hilbertraum mit dimH = ∞. Dann ist H separabel genau dann, wenn eine ONBE = {ej}j∈N in H existiert. In diesem Fall ist H ∼= ℓ2(N) isometrisch-isomorph.

    Be w e i s : nach Vorbemerkungen und Lemma 2.37 klar: H = U ⊂ span(U) = span(E) ⊆ H, {ej}j∈N ONS=====⇒Satz 2.36

    {ej}j∈N ONB in H

    zu H ∼= ℓ2(N): H separabel ∃ {xj}j ONB in H, betrachten

    L : H→ ℓ2(N), x 7→ Lx = {〈x, xj〉}j∈N

    =======⇒Satz 2.36(iii)

    ‖x‖H = ‖Lx‖2 y L isometrisch, injektiv, linear, surjektiv: sei (αj)j∈N ∈ ℓ2(N)

    y( n∑

    j=1

    αjxj)

    n∈N Cauchy-Folge in H =======⇒H vollständig ∃ x ∈ H : x =∞∑

    j=1

    αjxj ==⇒ONS

    αj = 〈x, xj〉, j ∈ N

    y ∃ x ∈ H : Lx = (αj)j∈N y L isometrischer Isomorphismus

  • 86 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    Beispiele : Orthogonale Polynome

    betrachten gewichtete (reelle) L2-Räume auf (a, b) ⊂ R, −∞ ≤ a < b ≤ ∞, mit w λ1-messbar,w ≥ 0, sowie w > 0 λ1-f.ü.

    〈f, g〉w =∫ b

    a

    f(x)g(x)w(x) dx

    y orthogonalisieren (reelle) Polynome (Monome) {xj, j ∈ N0} bzgl. 〈·, ·〉w mit Gram-Schmidt-Verfahren (Lemma 2.37), gelegentlich andere Normierung üblich (statt ‖en‖H = 1)

    (a) (a, b) = (−1, 1), w(x) = (1 − x)α(1 + x)β , α, β > −1 99K Jacobi-Polynome P (α,β)n (x)speziell: α = β = 0 ⇐⇒ w(x) ≡ 1 99K Legendre52-Polynome:

    P0(x) =1√2, P1(x) =

    3

    2x, P2(x) =

    3

    4

    √10

    (

    x2 − 13

    )

    , . . .

    speziell: α = β = − 12 ⇐⇒ w(x) =1√

    1− x299K Tschebyscheff53-Polynome (1. Art):

    T0(x) =1√π, T1(x) =

    2

    πx, T2(x) =

    2

    π

    (2x2 − 1

    ), . . .

    üblich : Standardisierung, Tn(1) = 1

    (b) (a, b) = (0,∞), w(x) = xα e−x, α > −1 99K Laguerre54-Polynome

    L(α)0 (x) =

    1√

    Γ(α+ 1), L

    (α)1 (x) =

    1√

    Γ(α+ 2)(x− (α + 1)) ,

    L(α)2 (x) =

    1√

    2Γ(α+ 3)

    ((α+ 2)(α+ 1)− 2(α+ 2)x+ x2

    ), . . .

    üblich : Standardisierung, an =(−1)n

    n in L(α)n (x) = anx

    n + · · ·+ a1x+ a0

    (c) (a, b) = (−∞,∞) = R, w(x) = e−x2 99K Hermite55-Polynome:

    H0(x) =14√π, H1(x) =

    √2

    4√π

    x, H2(x) =

    √2

    4√π

    (

    x2 − 12

    )

    , . . .

    üblich : Standardisierung, an = 2n in Hn(x) = anxn + · · ·+ a1x+ a0

    Klassische Fourierreihen

    H = L2(T) = L2,2π(R) = {f : R→ C : f ∈ L2(R), f 2π − periodisch},

    〈f, g〉2 =∫ π

    −πf(x)g(x) dx

    y E =

    {1√2π

    eikx}

    k∈ZONS in L2,2π(R): 〈eikx, eimx〉 =

    ∫ π

    −πei(k−m)x dx =

    {

    2π, k = m

    0, k 6= m

    Menge der trigonometrischen Polynome T ={ m∑

    k=−make

    ikx, ak ∈ C, m ∈ N0}

    = spanE (Folg. 1.45)

    52Adrien-Marie Legendre (∗ 18.9.1752 Paris † 10.1.1833 Paris)53Pafnutij Lwowitsch Tschebyscheff (∗ 16.5.1821 Okatovo/Russland † 8.12.1894 St. Petersburg/Russland)54Edmond Nicolas Laguerre (∗ 9.4.1834 Bar-le-Duc/Frankreich † 14.8.1886 Bar-le-Duc/Frankreich)55Charles Hermite (∗ 24.12.1822 Dieuze, Lorraine/Frankreich † 14.1.1901 Paris)

  • 2.2 Operatoren im Hilbertraum 87

    Folgerung 2.39 (i){

    1√2π

    eikx}

    k∈Zist eine ONB in L2,2π(R)

    (ii) Für alle f ∈ L2,2π(R) gilt

    f(x) =∑

    k∈Zcke

    ikx, x ∈ [−π, π], mit ck =1

    ∫ π

    −πf(x)e−ikx dx.

    (iii) Für alle f ∈ L2,2π(R) gilt‖f |L2,2π‖2 = 2π

    k∈Z|ck|2.

    (iv) Die trigonometrischen Polynome liegen dicht in L2,2π(R) und C2π(C).

    (v) Es gilt:∫ π

    −πf(x)eikx dx = 0, k ∈ Z ⇐⇒ f = 0 f.ü.

    Bemerkung : • ck . . . (klassische) Fourierkoeffizienten

    • in (iv) auch Dichtheit in Lp,2π(R), 1 ≤ p

  • 88 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    y ak = ck + c−k, k ∈ N0, bk =c−k − ck

    i, k ∈ N

    y f =∑

    k∈Zcke

    ikx =a02

    ︸︷︷︸c0

    +∑

    k∈N(ak cos(kx) + bk sin(kx))︸ ︷︷ ︸

    (ckeikx+c−ke−ikx)

    ‖f |L2,2π‖2 = 2π∑

    k∈Z|ck|2 = 2π

    (a204

    ︸︷︷︸

    |c0|2

    +∑

    k∈N

    ( (ak − ibk)24

    ︸ ︷︷ ︸

    |ck|2

    +(ak + ibk)

    2

    4︸ ︷︷ ︸

    |c−k|2

    ))

    = π(a202

    +

    ∞∑

    k=1

    (a2k + b2k))

    2.2.3 Adjungierte Operatoren und Projektoren

    H Hilbertraum, A ∈ L(H), betrachten Sesquilinearform s(x, y) = 〈Ax, y〉=====⇒A ∈ L(H)

    |s(x, y)| ≤ ‖A‖‖x‖H‖y‖H y s stetig =====⇒Satz 2.32

    ∃ ! S =: A∗ ∈ L(H) ∀ x, y ∈ H:

    〈Ax, y〉 = s(x, y) = 〈x,A∗y〉, und ‖A∗‖L(H) ≤ ‖A‖L(H) (21)

    Definition 2.40 Seien H ein Hilbertraum und A ∈ L(H).(i) Der durch (21) gegebene Operator A∗ ∈ L(H) heißt zu A ∈ L(H) adjungierter Operator.

    (ii) A ∈ L(H) heißt selbstadjungiert, falls gilt A∗ = A.

    (iii) A ∈ L(H) heißt normal, falls gilt A∗A = AA∗.

    (iv) A ∈ L(H) heißt unitär, falls gilt A∗ = A−1.

    Bemerkung : • A ∈ L(H1,H2) y A∗ ∈ L(H2,H1) adjungierter Operator zu A ∈ L(H1,H2)

    • A ∈ L(H) selbstadjungiert ⇐⇒ A = A∗ ⇐⇒ 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, x, y ∈ HA ∈ L(H) selbstadjungiert =⇒ A normal

    • A ∈ L(H) unitär ⇐⇒ A surjektiv und 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉, x, y ∈ HA ∈ L(H) unitär =⇒ A normal

    Beispiele : (a) Matrix-Operator A ←→ a = (ajk)nj,k=1, A ∈ L(Kn)

    x, y ∈ Kn y 〈Ax, y〉 =n∑

    j=1

    (Ax)jyj =

    n∑

    j=1

    n∑

    k=1

    ajkxk

    ︸ ︷︷ ︸

    (Ax)j

    yj =

    n∑

    k=1

    xk

    n∑

    j=1

    ajkyj

    ︸ ︷︷ ︸

    (A∗y)k

    = 〈x,A∗y〉

    mit A∗ ←→ (akj)nj,k=1(b) Fredholm-Integraloperator Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, k : Ω×Ω→ K, k ∈ L2(Ω×Ω),

    (Kf)(x) =

    k(x, y)f(y) dy, x ∈ Ω

    =====⇒Satz 2.13

    K ∈ K(L2(Ω)) ⊂ L(L2(Ω))

    〈Kf, g〉2 =∫

    (∫

    k(x, y)f(y) dy)

    ︸ ︷︷ ︸

    Kf(x)

    g(x) dx =Fubini

    (∫

    k(x, y)g(x) dx)

    ︸ ︷︷ ︸∫Ωk(x,y)g(x) dx

    f(y) dy

    = 〈f,K∗g〉2

    mit (K∗g)(y) =∫

    k(x, y)g(x) dx

  • 2.2 Operatoren im Hilbertraum 89

    Beispiele : (c) Multiplikationsoperator Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, ϕ ∈ L∞(Ω)Mϕ : L2(Ω)→ L2(Ω), f 7→Mϕf = ϕf y Mϕ ∈ L(L2(Ω))

    〈Mϕf, g〉2 =∫

    ϕ(x)f(x)︸ ︷︷ ︸

    Mϕf(x)

    g(x) dx =

    f(x)(ϕg)(x) dx = 〈f,Mϕg〉2 y (Mϕ)∗ = Mϕ

    y (Mϕ)∗ Mϕ = MϕMϕ = Mϕϕ = Mϕ (Mϕ)

    ∗ y Mϕ normal

    Mϕ selbstadjungiert ⇐⇒ Mϕ = (Mϕ)∗ ⇐⇒ ϕ = ϕ f.ü. in ΩMϕ unitär ⇐⇒ id = Mϕ (Mϕ)∗ = Mϕϕ ⇐⇒ ϕ(x)ϕ(x) = |ϕ(x)|2 = 1 f.ü. in Ωspeziell: ϕ(x) = eix y Mϕ unitär

    (d) H Hilbertraum, {xj}j ONB in H, L : H→ ℓ2(N), x 7→ Lx = {〈x, xj〉}j∈Ny L unitär, da surjektiv und

    〈Lx,Ly〉2 =∞∑

    j=1

    〈x, xj〉︸ ︷︷ ︸

    (Lx)j

    〈y, xj〉︸ ︷︷ ︸

    (Ly)j

    =

    ∞∑

    j=1

    〈x, xj〉〈xj , y〉 =Satz 2.36(ii)

    〈x, y〉H, x, y ∈ H

    Satz 2.41 Seien H ein Hilbertraum und A,B ∈ L(H).(i) (A+B)∗ = A∗ +B∗, (λA)∗ = λA∗, λ ∈ K

    (ii) (AB)∗ = B∗A∗

    (iii) (A∗)∗ = A

    (iv) ‖A∗‖ = ‖A‖

    (v) ‖AA∗‖ = ‖A∗A‖ = ‖A‖2

    (vi) Falls A−1 ∈ L(H) existiert, so auch (A∗)−1 ∈ L(H), es gilt (A∗)−1 =(A−1

    )∗.

    (vii) Es sind R(A)⊥ = N (A∗) und R (A∗)⊥ = N(A), insbesondere gilt

    H = R(A)⊕N (A∗) = R (A∗)⊕N(A).

    Be w e i s : zu (i)-(iii): folgt aus Definition 2.40 und Satz 2.32, z.B.

    〈(AB)x, y〉 = 〈Bx,A∗y〉 = 〈x, (B∗A∗)y〉 ===⇒Unität

    (AB)∗ = B∗A∗

    〈A∗x, y〉 = 〈y,A∗x〉 = 〈Ay, x〉 = 〈x,Ay〉 = 〈x, (A∗)∗ y〉 ===⇒Unität

    (A∗)∗ = A

    zu (iv): aus Satz 2.32 bereits ‖A∗‖ ≤ ‖A‖sei x ∈ H, ‖x‖H = 1 y ‖Ax‖2H = 〈Ax,Ax〉 = 〈x,A∗Ax〉 ≤ ‖A∗A‖

    1︷ ︸︸ ︷

    ‖x‖2H ≤ ‖A∗‖ ‖A‖==⇒supx

    ‖A‖2 ≤ ‖A∗A‖ ≤ ‖A∗‖ ‖A‖, o.B.d.A. A 6= 0 y ‖A‖ ≤ ‖A∗‖

    zu (v): ‖AA∗‖ =(ii)-(iv)

    ‖A∗A‖ ≤(iv)‖A‖2 ≤

    (iv)‖A∗A‖ = ‖AA∗‖

    zu (vi): ∃ A−1 ∈ L(H) y A−1A = idH = id∗H =(A−1A

    )∗=(ii)

    A∗(A−1

    )∗

    analog: idH =(A−1

    )∗A∗ y (A∗)−1 =

    (A−1

    )∗ ∈ L(H)zu (vii): x ∈ N(A) ⇐⇒ 〈Ax, y〉 = 0, y ∈ H ⇐⇒ 〈x,A∗y〉 = 0, y ∈ H ⇐⇒ x ∈ (R(A∗))⊥

    y R (A∗)⊥ = N(A) y R(A)⊥ = R ((A∗)∗)⊥ = N(A∗) =====⇒Satz 2.26

    H = R(A)⊕N (A∗) = R (A∗)⊕N(A)

  • 90 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    Bemerkung : analoge Aussagen gelten für A ∈ L(H1,H2), A∗ ∈ L(H2,H1)

    Satz 2.42 Sei A ∈ L(H) selbstadjungiert. Dann gelten

    〈Ax, x〉 ∈ R, x ∈ H, sowie ‖A‖ = sup‖x‖H=1

    |〈Ax, x〉| .

    Be w e i s : A = A∗ y 〈Ax, x〉 = 〈x,Ax〉 = 〈Ax, x〉 y 〈Ax, x〉 ∈ R

    sei x ∈ H, ‖x‖H = 1 y |〈Ax, x〉| ≤Satz 2.21(i)

    ‖A‖ ‖x‖2H︸ ︷︷ ︸

    1

    y sup‖x‖H=1

    |〈Ax, x〉| ≤ ‖A‖

    n.z.z.: ‖A‖ ≤ sup‖x‖H=1

    |〈Ax, x〉| =: γ

    sei x ∈ H, x 6= 0 y |〈Ax, x〉| = ‖x‖2H∣∣∣∣

    Ax

    ‖x‖H,

    x

    ‖x‖H

    〉∣∣∣∣

    ︸ ︷︷ ︸

    ≤γ

    ≤ γ‖x‖2H (22)

    〈A(y + z), y + z〉 − 〈A(y − z), y − z〉 = 〈Ay, y〉+ 〈Ay, z〉+=〈z,Ay〉,A=A∗︷ ︸︸ ︷

    〈Az, y〉 +〈Az, z〉− 〈Ay, y〉+ 〈Ay, z〉+ 〈Az, y〉

    ︸ ︷︷ ︸

    =〈z,Ay〉,A=A∗

    −〈Az, z〉

    = 2〈Ay, z〉+ 2 〈z, Ay〉︸ ︷︷ ︸

    〈Ay,z〉

    = 4 ℜe 〈Ay, z〉 ∈ R

    y 4 ℜe 〈Ay, z〉 = 〈A(y + z), y + z〉 − 〈A(y − z), y − z〉 ≤(22)

    γ(‖y + z‖2H + ‖y − z‖2H

    )

    ︸ ︷︷ ︸

    =2‖y‖2H+2‖z‖2

    H, Satz 2.21(ii)

    y 2 ℜe 〈Ay, z〉 ≤ γ(‖y‖2H + ‖z‖2H

    )(23)

    sei u ∈ H, ‖u‖H = 1, setzen y = ‖Au‖Hu, z = Au y ‖y‖H = ‖z‖H = ‖Au‖H

    ==⇒(23)

    2ℜe 〈Ay, z〉 = 2ℜe ‖Au‖H〈Au,Au〉︸ ︷︷ ︸

    ‖Au‖3H

    ≤ 2γ‖Au‖2H y ‖Au‖H ≤ γ ==⇒supu

    ‖A‖ ≤ γ = sup‖x‖H=1

    |〈Ax, x〉|

    Bemerkung : später: A : H→ H linear & symmetrisch, d.h. 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, x, y ∈ H=⇒ A ∈ L(H), A = A∗

    Satz 2.43 Seien H ein Hilbertraum und A ∈ L(H).(i) Falls A selbstadjungiert ist, sowie für alle x ∈ H gilt 〈Ax, x〉 = 0, so ist A = 0.

    (ii) A normal ⇐⇒ ‖Ax‖H = ‖A∗x‖H, x ∈ H.

    (iii) Sei H komplex. Es gilt A = A∗ genau dann, wenn 〈Ax, x〉 ∈ R für alle x ∈ H ist.

    Be w e i s : zu (i): 〈Ax, x〉 = 0, x ∈ H =====⇒Satz 2.42

    ‖A‖ = 0 ⇐⇒ A = 0

    zu (ii): ‖Ax‖2H − ‖A∗x‖2H = 〈Ax,Ax〉

    ︸ ︷︷ ︸

    〈Ax,(A∗)∗x〉,Satz 2.41

    − 〈A∗x,A∗x〉︸ ︷︷ ︸

    〈A(A∗x),x〉

    = 〈A∗Ax, x〉 − 〈AA∗x, x〉 = 〈(A∗A−AA∗)x, x〉

    A normal ⇐⇒ A∗A = AA∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⇀↽−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(i), da (A∗A−AA∗)∗=(A∗A−AA∗)

    ‖Ax‖H = ‖A∗x‖H, x ∈ H

    zu (iii): =⇒ folgt aus Satz 2.42

  • 2.2 Operatoren im Hilbertraum 91

    ⇐= x, y ∈ H y 〈A(x + y), x+ y〉︸ ︷︷ ︸

    ∈R

    = 〈Ax, x〉︸ ︷︷ ︸

    ∈R

    +〈Ax, y〉+ 〈x,Ay〉+ 〈Ay, y〉︸ ︷︷ ︸

    ∈R

    y 〈Ax, y〉+ 〈x,Ay〉 ∈ R y ℑm(

    〈Ax, y〉+ 〈x,Ay〉)

    ︸ ︷︷ ︸

    ℑm 〈Ax,y〉−ℑm 〈x,Ay〉

    = 0 y ℑm 〈Ax, y〉 = ℑm 〈x,Ay〉, x, y ∈ H (24)

    ====⇒z = ix

    ℑm 〈Az, y〉︸ ︷︷ ︸

    i〈Ax,y〉︸ ︷︷ ︸

    iℜe 〈Ax,y〉

    = ℑm 〈z, Ay〉︸ ︷︷ ︸

    i〈x,Ay〉︸ ︷︷ ︸

    iℜe 〈x,Ay〉

    ⇐⇒ ℜe 〈Ax, y〉 = ℜe 〈x,Ay〉 ==⇒(24)

    〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, x, y ∈ H

    =====⇒A∗ eind.

    A = A∗

    Bemerkung : A normal =======⇒Satz 2.43(ii)

    ‖Ax‖H = ‖A∗x‖H, d.h. Ax = 0 ⇐⇒ A∗x = 0 ⇐⇒ N(A) =N(A∗)

    Projektoren im Hilbertraum

    bisher: orthogonale Projektoren (Def. 2.28), d.h. U ⊂ H abgeschlossener Teilraum von H,

    PU : H→ U, PU : f 7→ PUf ∈ U mit f − PUf ∈ U⊥, ‖f − PUf‖H = infh∈U‖f − h‖H

    Satz 2.44 Seien H ein Hilbertraum und P ∈ L(H). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:(i) P ist ein orthogonaler Projektor, d.h. es existiert ein abgeschlossener Teilraum U ⊂ H mit P = PU .

    (ii) Es gilt P ∗ = P = P 2.

    (iii) Es gilt P = P 2 und P ≥ 0, d.h. für alle x ∈ H ist 〈Px, x〉 ≥ 0.

    Be w e i s : (i) =⇒ (ii) z.z.: P 2U = PU : P 2U : HPU−−→ U ⊆ H PU−−→ U ; sei f̃ = PUf y g.z.z.: PUf beste

    Approximation zu f̃

    0 = ‖PUf − PUf‖H = ‖f̃ − PUf‖H ≥ infh∈U‖f̃ − h‖H ≥ 0 y ‖f̃ − PUf‖H = inf

    h∈U‖f̃ − h‖H = 0

    f̃ − PUf = PUf − PUf = 0 ∈ U⊥ =====⇒Satz 2.25

    PUf ist eindeutig bestimmte beste Approximation zu

    f̃ = PUf =====⇒Def. 2.28

    P 2Uf = PU f̃ = PUf ======⇒f ∈ H bel.

    P 2U = PU

    z.z.: P ∗U = PU : h ∈ H =====⇒Satz 2.26 h = PUh︸︷︷︸∈U

    +(h− PUh)︸ ︷︷ ︸

    ∈U⊥

    y 〈PUf, g〉 = 〈PUf, PUg〉+ 〈PUf︸︷︷︸

    ∈U

    , g − PUg︸ ︷︷ ︸

    U⊥

    ︸ ︷︷ ︸0

    = 〈f, PUg〉+ 〈PUf − f︸ ︷︷ ︸

    ∈U⊥

    , PUg︸︷︷︸

    ∈U

    ︸ ︷︷ ︸0

    = 〈f, PUg〉 =====⇒P∗ eind.

    P ∗ = P

    (ii) =⇒ (iii) 〈Px, x〉 =P 2 = P

    〈P 2x, x〉 =P∗ = P

    〈Px, Px〉 = ‖Px‖2H ≥ 0

    (iii) =⇒ (i) setzen U := R(P ) = P (H) = {x ∈ H : x = Px} ⊆ H ======⇒P ∈ L(H)

    U linearer Teilraum

    z.z.: U = U : sei (yj)j ⊂ U, yj −−−→j→∞

    y y ∃ (xj)j ⊂ H : yj = Pxj −−−→j→∞

    y

    ======⇒P ∈ L(H)

    ∃ (xj)j ⊂ H : Pyj = P 2xj︸ ︷︷ ︸

    Pxj

    −−−→j→∞

    Py ========⇒Pxj −−−−→

    j→∞y

    y = Py y y ∈ U

    sei x ∈ H y P (x−Px) = Px− P 2x︸︷︷︸

    Px

    = 0 y x−Px ∈ N(P ), Px = P 2x = P (Px) y Px ∈ R(P ) = U

    y ∀ x ∈ H ∃ x1 = x−Px ∈ N(P ), x2 = Px ∈ R(P ) : x = x1+x2 y H = N(P )+R(P ) = N(P )+U

  • 92 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    sei y ∈ U ∩N(P ) y y = Py = 0 y U ∩N(P ) = {0}; n.z.z.: N(P ) = U⊥

    seien x1 ∈ N(P ), x2 ∈ U = R(P ), z.z.: 〈x1, x2〉 = 〈x2, x1〉 = 0

    0 ≤ 〈P (x1 + x2), x1 + x2〉 = 〈 Px1︸︷︷︸0

    , x1 + x2〉︸ ︷︷ ︸

    0

    +〈 Px2︸︷︷︸x2

    , x1〉+ 〈 Px2︸︷︷︸x2

    , x2〉

    ︸ ︷︷ ︸

    ‖x2‖2H

    = 〈x2, x1〉+ ‖x2‖2H

    y −‖x2‖2H ≤ 〈x2, x1〉 ∈ R; Annahme: 〈x2, x1〉 =: γ > 0 y x2 6= 0

    betrachten u = −2‖x2‖2H

    γx1 ======⇒

    x1 ∈ N(P )u ∈ N(P )

    ==⇒s.o.−‖x2‖2H ≤ 〈x2, u〉 = −

    2‖x2‖2Hγ

    〈x2, x1〉︸ ︷︷ ︸

    γ

    = −2‖x2‖2H y ‖x2‖H = 0 y x2 = 0

    bisher: A ∈ L(H) ⇐⇒ A∗ ∈ L(H); jetzt: A ∈ K(H) ?⇐=⇒ A∗ ∈ K(H)

    zur Erinnerung: F(H1,H2) = {A ∈ L(H1,H2) : rank(A) 0 ∃ {y1, . . . , ynε} ⊂ H : endliches ε-Netz für A(UH)

    sei ε > 0, setzen Vε := span{y1, . . . , ynε} ⊂ H y dim Vε ≤ nε y Vε = Vε abgeschlossensei Pε = PVε : H → Vε orthogonaler Projektor y Aε := PεA : H → Vε ⊂ H, y Aε ∈ L(H), mitrank(Aε) ≤ rank(Pε) = rank(Vε) ≤ nε y Aε ∈ F(H)sei x ∈ UH, d.h. ‖x‖H ≤ 1

    y ‖Ax−Aεx‖H =y = Ax

    ‖y − Pεy‖H =Satz 2.26

    infh∈Vε

    ‖y − h‖H ≤y = Ax

    minj=1,...,nε

    ∥∥

    ∈A(UH)︷︸︸︷

    Ax −yj∥∥H

    <ε-Netz

    ε

    ==⇒supx

    ‖A−Aε‖ < ε y ∀ ε > 0 ∃ Aε ∈ F(H), rank(Aε) ≤ nε : ‖A− Aε‖ < ε

  • 2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 93

    2. Schritt: zu (ii) =⇒ A ∈ K(H) =⇒(i)∃ (An)n ∈ F(H) : ‖A−An‖ −−−−→

    n→∞0

    =======⇒Lemma 2.45

    ∃ (A∗n)n ∈ F(H) : ‖A∗ −A∗n‖ =Satz 2.41

    ‖A−An‖ −−−−→n→∞

    0 =⇒(i)

    A∗ ∈ K(H)

    ⇐= A∗ ∈ K(H) ==⇒s.o.

    (A∗)∗ ∈ K(H) =====⇒Satz 2.41

    A = (A∗)∗ ∈ K(H)

    Bemerkung : • (i) entsprichtF(H) = K(H); allgemein: F(H1,H2) = K(H1,H2), H1, H2 Hilberträume

    • siehe Bemerkung nach Folg. 2.12: für Banachräume gilt i.a. F(X,Y) ( K(X,Y)

    2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum

    2.3.1 Die Fredholmsche Alternative

    H Hilbertraum, A ∈ L(H), id = idH y id∗ = id,

    ============⇒Satz 2.41 für A − id

    H = R(A− id)⊕N (A∗ − id) = R (A∗ − id)⊕N(A− id)

    Lemma 2.47 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ K(H). Dann existiert ein c > 0, so dass gilt

    ‖z‖H ≤ c ‖(A− id)z‖H für alle z ∈ N(A− id)⊥.

    Be w e i s : indirekt, Annahme: ∀ k ∈ N ∃ zk ∈ N(A− id)⊥ : ‖zk‖H > k ‖(A− id)zk‖Ho.B.d.A. ‖zk‖H = 1, k ∈ N y ∀ k ∈ N ∃ zk ∈ N(A− id)⊥, ‖zk‖H = 1 : ‖(A− id)zk‖H < 1k (25)

    A ∈ K(H) =====⇒Def. 2.10

    A(UH) = {Ax : x ∈ H, ‖x‖H ≤ 1} präkompakt(Azk)k ⊂ A(UH) y ∃ (Azkr )r∈N ⊂ (Azk)k ∃ y ∈ H : Azkr −−−→

    r→∞y

    y zkr = Azkr︸ ︷︷ ︸−−−→r→∞

    y

    − (A− id)zkr︸ ︷︷ ︸

    −−−→r→∞

    0,(25)

    −−−→r→∞

    y ==============⇒zkr ∈ N(A − id)⊥ abg.

    y ∈ N(A− id)⊥, ‖y‖H = limr→∞

    ‖zkr‖H = 1

    (A− id)y = limr→∞

    (A− id)zkr =(25)

    0 y y ∈ N(A− id) ∩N(A− id)⊥ = {0}, ‖y‖H = 1

    Satz 2.48 (Fredholmsche Alternative)

    Seien H ein Hilbertraum und A ∈ K(H). Dann gelten folgende Aussagen:(i) dimN(A− id)

  • 94 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    zu (ii): sei (yk)k ⊂ R(A− id), yk −−−−→k→∞

    y ∈ H; z.z.: y ∈ R(A− id)

    (yk)k ⊂ R(A− id) y ∃ (xk)k ⊂ H : yk = (A− id)xkSatz 2.26 mit U = N(A− id) y H = N(A− id)⊕N(A− id)⊥

    y ∀ k ∈ N ∃ ! uk ∈ N(A− id) ∃ ! vk ∈ N(A− id)⊥ : xk = uk + vk

    y yk = (A− id) (uk + vk)︸ ︷︷ ︸

    xk

    = (A− id)uk︸ ︷︷ ︸

    0,uk∈N(A− id)

    +(A− id)vk = (A− id)vk, vk ∈ N(A− id)⊥

    =======⇒Lemma 2.47

    ∃ c > 0 ∀ k,m ∈ N : ‖vk − vm‖H ≤ c‖(A− id)(vk − vm)‖H = ‖yk − ym‖H −−−−−→k,m→∞

    0

    y (vk)k∈N ⊂ H Cauchy-Folge y ∃ v ∈ H : vk −−−−→k→∞

    v

    y ∃ v ∈ H : y = limk→∞

    yk = limk→∞

    (A− id)vk =A ∈ L(H)

    (A− id)v ⇐⇒ y ∈ R(A− id)

    zu (iii): folgt aus (ii) und Satz 2.41 für A− id

    zu (iv): ⇐= sei N(A− id) = {0}, z.z.: R(A− id) = H; indirekt, Annahme: R(A− id) ( H

    =====⇒Satz 2.41

    N(A∗ − id) ) {0} y ∃ y1 ∈ H, y1 6= 0 : (A∗ − id)y1 = 0, o.B.d.A. ‖y1‖H = 1

    N(A− id) = {0} =====⇒Satz 2.41

    H = R(A∗ − id) =(iii)

    R(A∗ − id)

    y1 ∈ H ==========⇒H = R(A∗ − id)

    ∃ y2 ∈ H : y1 = (A∗ − id)y2 y y2 6= 0, (A∗ − id)2y2 = (A∗ − id)y1 = 0y y2 ∈ N((A∗ − id)2) \N(A∗ − id)

    Iteration 99K ∃ (yk)k∈N ⊂ H : yk 6= 0, (A∗ − id)yk+1 = yk, yk ∈ N((A∗ − id)k

    )\N

    ((A∗ − id)k−1

    )

    y N (A∗ − id) ( N((A∗ − id)2

    )( · · · ( N

    ((A∗ − id)k−1

    )( N

    ((A∗ − id)k

    )( · · ·

    setzen Hk := N((A∗ − id)k

    )y H1 ( H2 ( · · · ( Hk−1 ( Hk ( · · ·

    =====⇒Satz 2.26

    Hk+1 = Hk︸︷︷︸

    (Hk+1

    ⊕H⊥k y H⊥k ) {0}, k ∈ N y ∃ (yk)k ⊂ H : yk+1 ∈ H⊥k ⊂ Hk+1, ‖yk‖H = 1

    A ∈ K(H) =====⇒Satz 2.46

    A∗ ∈ K(H) y {A∗yk, k ∈ N} präkompakt in H

    sei n > m ∈ N y ‖A∗yn −A∗ym‖2H =∥∥yn +

    y∈Hn−1︷ ︸︸ ︷

    (A∗ − id)yn︸ ︷︷ ︸

    yn−1∈Hn−1

    − ym︸︷︷︸

    ∈Hm⊆Hn−1

    − (A∗ − id)ym︸ ︷︷ ︸

    ym−1∈Hm−1(Hn−1

    ∥∥2

    H= ‖yn − y‖2H

    ======⇒yn ∈ H⊥n−1

    ‖A∗yn −A∗ym‖2H = ‖yn − y‖2H =Satz 2.24(i)

    ‖yn‖2H + ‖y‖2H︸ ︷︷ ︸

    ≥0

    ≥ ‖yn‖2H = 1, n > m

    y {A∗yk, k ∈ N} nicht präkompakt in H

    =⇒ R(A− id) = H =====⇒Satz 2.41

    N(A∗ − id)⊥ = H =====⇒Satz 2.26

    N(A∗ − id) = {0} ==⇒s.o.

    R(A∗ − id) = H=====⇒Satz 2.41

    {0} = N ((A∗)∗ − id) =(A∗)∗ = A

    N(A− id)

    zu (v): seien dimN(A− id) = m, dimN(A∗ − id) = n, z.z.: m = nindirekt, Annahme: dimN(A− id) = m < n = dimN(A∗ − id) =

    Satz 2.41dimR(A− id)⊥

    y ∃ L0 : N(A− id)→ R(A− id)⊥, L0 linear, injektiv, nicht surjektiv(da dimL0(N(A− id)) ≤ dimN(A− id) < dimR(A− id)⊥)

    zerlegen H = N(A− id)⊕N(A− id)⊥ y ∀ x ∈ H ∃ ! x1 ∈ N(A− id) ∃ ! x2 ∈ N(A− id)⊥ : x = x1+x2

  • 2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 95

    setzen L : H→ H mit Lx = L0x1 ∈ R(A− id)⊥, insbesondere Lx ={

    L0x, x ∈ N(A− id)0, x ∈ N(A− id)⊥

    y L : H→ R(A− id)⊥ =============⇒dimR(A − id)⊥ = n

    L ∈ K(H) (Satz 2.11) ======⇒A ∈ K(H)

    K = A+ L ∈ K(H)

    sei u ∈ N(K− id) y 0 = (K− id)u = Au+Lu−u ⇐⇒ (A− id)u︸ ︷︷ ︸

    ∈R(A− id)

    = −Lu ∈ R(A− id)⊥∩R(A− id) = {0}

    y (A− id)u = 0 = −Lu y u = 0, da L|N(A− id) = L0 injektiv

    y N(K − id) = {0} =======⇒(iv), A = K

    R(K − id) = H

    L injektiv, nicht surjektiv y ∃ v ∈ R(A− id)⊥ \R(L) ============⇒v ∈ H = R(K − id)

    ∃ u ∈ H : (K − id)u = v

    y (A− id)u︸ ︷︷ ︸

    ∈R(A− id)

    = (K − id)u− Lu = v − Lu︸︷︷︸

    ∈R(A− id)⊥∈ R(A− id)⊥ ∩R(A− id) = {0}

    y (A− id)u = 0 ⇐⇒ v = Lu ∈ R(L) y Annahme falsch, d.h. dimN(A− id) ≥ dimN(A∗ − id)

    analog für A↔ A∗ y dimN(A∗ − id) ≥ dimN(A− id) y dimN(A∗ − id) = dimN(A− id)

    Bemerkung : • sei U ⊆ H abgeschlossen, H = U ⊕ V 99K codimU := dim V Kodimension von U

    • T ∈ L(H) Fredholm-Operator

    ⇐⇒ R(T ) = R(T ), dimN(T )

  • 96 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    2.3.2 Das Spektrum kompakter und selbstadjungierter Operatoren

    Erinnerung: H Hilbertraum, A ∈ L(H), id = idH (Definition 2.14)• ̺̺̺(A) =

    {λ ∈ C : ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H)

    }Resolventenmenge von A

    • σσσ(A) = C \ ̺̺̺(A) Spektrum von A• λ ∈ C Eigenwert von A ⇐⇒ ∃ x0 ∈ H, x0 6= 0 : Ax0 = λx0 ⇐⇒ dimN(A− λ id) ≥ 1x0 ∈ H Eigenvektor zum Eigenwert λ für A• λ Eigenwert von A der (geometrischen) Vielfachheit k ∈ N ⇐⇒ dimN(A− λ id) = k• λ Eigenwert y λ ∈ σσσ(A)• dimH =∞, A ∈ K(H) y 0 ∈ σσσ(A)

    Satz 2.50 Seien H ein Hilbertraum mit dimH =∞ und A ∈ K(H).(i) Das Spektrum σσσ(A) besteht aus 0 und höchstens abzählbar unendlich vielen Eigenwerten endlicher

    Vielfachheit, die verschieden von 0 sind,

    σσσ(A) = {0} ∪ {λk, k ∈ N : λk 6= 0, λk Eigenwert zu A, dimN(A− λk id) 0 ∃ (λj)∞j=1 (Teil-) Folge von Eigenwerten mit λj 6= λk, j 6= k, und |λk| ≥ r0 y∃ (xj)∞j=1 ⊂ H : xj 6= 0, Axj = λjxj , o.B.d.A. ‖xj‖H = 1

    zeigen: {xj , j ∈ N} linear unabhängig:Induktion, n→ n+ 1: seien {xj , j = 1, . . . , n} linear unabhängig

    n+1∑

    j=1

    αjxj = 0

    =====⇒λn+1 6= 0

    n+1∑

    j=1

    λn+1αjxj = 0

    =====⇒A ∈ L(H)

    A

    ( n+1∑

    j=1

    αjxj

    )

    =

    n+1∑

    j=1

    αj Axj︸︷︷︸

    λjxj

    = 0

    ======⇒Subtraktion

    n∑

    j=1

    (λn+1 − λj)αjxj = 0

    ====⇒Ind.vor.

    (λn+1 − λj)︸ ︷︷ ︸

    6=0,j≤n

    αj = 0, j = 1, . . . , n y αj = 0, j = 1, . . . , n

    ==⇒s.o.

    0 =

    n+1∑

    j=1

    αjxj = αn+1 xn+1︸ ︷︷ ︸

    6=0

    y αn+1 = 0

  • 2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 97

    sei Hn = span{x1, . . . , xn} y dimHn = n y Hm−1 ( Hm ⊆ Hn−1 ( Hn, n > m

    x ∈ Hn y (A− λn id)(x) = (A− λn id)( n∑

    j=1

    αjxj

    )

    =n∑

    j=1

    αj(Axj − λnxj) =n−1∑

    j=1

    αj(λj − λn)xj ∈ Hn−1

    y (A− λn id)(Hn) ⊆ Hn−1

    Hn = Hn−1 ⊕H⊥n−1, n ≥ 2; dimHn > dimHn−1 y ∃ yn ∈ H⊥n−1 ⊂ Hn, ‖yn‖H = 1; sei n > m

    ‖Ayn −Aym‖2H = ‖ (A− λn id)yn︸ ︷︷ ︸

    ∈Hn−1

    − (A− λm id)ym︸ ︷︷ ︸

    ∈Hm−1⊂Hn−1

    + λnyn︸ ︷︷ ︸

    ∈H⊥n−1

    −λmym︸ ︷︷ ︸

    ∈Hm⊆Hn−1

    ‖2H

    = ‖ y︸︷︷︸

    ∈Hn−1

    + λnyn︸ ︷︷ ︸

    ∈H⊥n−1

    ‖2H =Satz 2.24

    ‖y‖2H + ‖λnyn‖2H︸ ︷︷ ︸

    |λn|2

    ≥ |λn|2 ≥ r20

    y ∃ {yn}n ⊂ H, ‖yn‖H = 1 : ‖Ayn−Aym‖H ≥ r0, n > m y ∃ {yn}n ⊂ H : {yn}n beschränkt, {Ayn}nnicht präkompakt, aber A ∈ K(H)

    zu (iii): sei λ ∈ ̺̺̺(A) ⇐⇒ ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H)=======⇒Satz 2.41(vi)

    ∃ ((A− λ id)∗)−1 =((A− λ id)−1

    )∗ ∈ L(H) ⇐⇒ ∃(A∗ − λ id

    )−1 ∈ L(H) y λ ∈ ̺̺̺(A∗)

    y {λ : λ ∈ ̺̺̺(A)} ⊆ ̺̺̺(A∗) y σσσ(A∗) ⊆ {λ : λ ∈ σσσ(A)}y σσσ(A) = σσσ ((A∗)∗) ⊆ {λ : λ ∈ σσσ(A∗)} ⊆ σσσ(A) ⇐⇒ σσσ(A∗) = {λ : λ ∈ σσσ(A)}

    jetzt: A ∈ K(H), A = A∗

    • Folg. 2.16: r(A) = limk→∞

    k

    ‖Ak‖ ≤ ‖A‖; ÜA II-19: A ∈ L(H) normal y r(A) = ‖A‖

    • Satz 2.18: |λ| > r(A) y ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H) y {λ ∈ C : |λ| > r(A)} ⊆ ̺̺̺(A)y σσσ(A) ⊆ {λ ∈ C : |λ| ≤ r(A)}

    • Satz 2.42: 〈Ax, x〉 ∈ R, x ∈ H, ‖A‖ = sup‖x‖H=1

    |〈Ax, x〉|

    • Satz 2.50: dimH =∞ y σσσ(A∗) = {λ : λ ∈ σσσ(A)},

    σσσ(A) = {0} ∪ {λk, k ∈ N : λk 6= 0, λk Eigenwert zu A, dimN(A− λk id)

  • 98 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    y (〈Axnr , xnr 〉)r ⊂ R beschränkt ===========⇒Bolzano-Weierstraß ∃(

    xnrk

    )

    k⊂ (xnr )r ∃ λ0 ∈ R :

    Axnrk , xnrk

    −−−−→k→∞

    λ0,∣∣∣

    Axnrk , xnrk

    〉∣∣∣ −−−−→

    k→∞‖A‖ y |λ0| = ‖A‖ 6= 0

    0 ≤∥∥∥Axnrk − λ0xnrk

    ∥∥∥

    2

    H=

    ∥∥∥Axnrk

    ∥∥∥

    2

    H︸ ︷︷ ︸

    ≤‖A‖2‖xnrk ‖2=|λ0|2

    − 2λ0〈

    Axnrk , xnrk

    + |λ0|2 ‖xnrk ‖2H

    ︸ ︷︷ ︸

    1

    ≤ 2|λ0|2 − 2λ0〈

    Axnrk , xnrk

    ︸ ︷︷ ︸

    −−−−→k→∞

    λ0

    −−−−→k→∞

    0

    y y = limk→∞

    Axnrk = limk→∞

    (

    Axnrk − λ0xnrk)

    ︸ ︷︷ ︸0

    +λ0 limk→∞

    xnrk y ∃ x0 =y

    λ0∈ H : x0 = lim

    k→∞xnrk

    y ‖x0‖H = limk→∞

    ‖xnrk ‖H = 1, Ax0 = limk→∞Axnrk = y = λ0x0 y λ0 = ±‖A‖ Eigenwert zu x0 ∈ H

    Satz 2.52 Seien H ein Hilbertraum mit dimH =∞ und A ∈ K(H) mit A = A∗.(i) Das Spektrum σσσ(A) besteht aus 0 und höchstens abzählbar unendlich vielen von Null verschiedenen

    reellen Eigenwerten endlicher Vielfachheit, die sich in 0 häufen.

    (ii) Sei (λn)n∈N die Folge aller Eigenwerte, geordnet entsprechend ihrer Vielfachheit und Größe,

    |λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · |λn| ≥ · · · ≥ 0, λn −−−−→n→∞

    0.

    Dann existiert ein ONS (xn)n ⊂ H von Eigenelementen, mit folgenden Eigenschaften:(a) Axn = λnxn, n ∈ N;(b) für Hn = span{x1, . . . , xn}, n ∈ N, H0 = {0}, ist

    |λn+1| = supx ∈ H⊥n‖x‖H = 1

    |〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥n ), n ∈ N0;

    (c) es gilt die Spektraldarstellung für A,

    Ax =

    ∞∑

    n=1

    λn〈x, xn〉xn, x ∈ H.

    (d) Ist λ = 0 kein Eigenwert, so ist (xn)n eine ONB in H, insbesondere ist H dann separabel.

    Be w e i s : o.B.d.A. A 6= 0;

    1. Schritt: zu (i); Satz 2.50 y g.z.z.: σσσ(A) = {0} ∪ {λn, n ∈ N} aus (ii), zunächst: λn ∈ σσσ(A), n ∈ N

    Folgerung 2.51 y ∃ λ1 ∈ R ∃ x1 ∈ H, ‖x1‖H = 1 : Ax1 = λ1x1, |λ1| = ‖A‖ = sup‖x‖H=1

    |〈Ax, x〉|

    setzen H0 = {0} y H⊥0 = {0}⊥ = H

    y ∃ λ1 ∈ R ∃ x1 ∈ N(A− λ1 id), ‖x1‖H = 1 : |λ1| = supx ∈ H⊥0‖x‖H = 1

    |〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥0 )

    setzen H1 = span{x1} y H⊥1 = {x ∈ H : 〈x, x1〉 = 0} y A1 := A|H⊥1 ∈ L(H⊥1 ) : A1 linear,

    x ∈ H⊥1 y 0 = 〈x, λ1x1〉 = 〈x,Ax1〉 =A = A∗

    〈Ax, x1〉 =x ∈ H⊥1

    〈A1x, x1〉 y A1x ∈ H⊥1 y A1 : H⊥1 → H⊥1

  • 2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 99

    A ∈ K(H), A = A∗ y A1 ∈ K(H⊥1 ), A∗1 = A1

    falls H⊥1 ) {0} y wenden Folgerung 2.51 auf A1, H⊥1 an

    y ∃ λ2 ∈ R ∃ x2 ∈ H⊥1 , ‖x2‖H = 1 : Ax2 = A1x2 = λ2x2, |λ2| = ‖A1‖L(H⊥1 )

    x1 ∈ H1, x2 ∈ H⊥1 y 〈x1, x2〉 = 0

    y ∃ λ2 ∈ R ∃ x2 ∈ N(A− λ2 id) ∩H⊥1 , ‖x2‖H = 1, 〈x1, x2〉 = 0 : |λ2| = supx ∈ H⊥1‖x‖H = 1

    |〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥1 )

    setzen H2 = span{x1, x2} ⊃ H1 y H⊥2 ⊂ H⊥1 , A2 := A1|H⊥2 = A|H⊥2 ∈ K(H⊥2 ), A2 = A

    ∗2

    y ∃ λ3 ∈ R ∃ x3 ∈ N(A− λ3 id) ∩H⊥2 , ‖x3‖H = 1, 〈xj , x3〉 = 0, j = 1, 2 : |λ3| = supx ∈ H⊥2‖x‖H = 1

    |〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥2 )

    Iteration 99K Hn = span{x1, . . . , xn} y H⊥n ⊂ H⊥n−1 ⊂ · · · ⊂ H⊥1 , An := A|H⊥n ∈ K(H⊥n ), An = A

    ∗n

    y ∀ n ∈ N0 ∃ λn+1 ∈ R ∃ xn+1 ∈ N(A− λn+1 id) ∩H⊥n , ‖xn+1‖H = 1 :〈xj , xn+1〉 = 0, j = 1, . . . , n, |λn+1| = sup

    x ∈ H⊥n‖x‖H = 1

    |〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥n )

    y (λn)n∈N Eigenwertfolge mit zugehörigem ONS (xn)n∈N, limn→∞

    λn = 0, monoton geordnet:

    |λn+1| = supx ∈ H⊥n‖x‖H = 1

    |〈Ax, x〉| ≤H⊥n ⊂ H⊥n−1

    supx ∈ H⊥n−1‖x‖H = 1

    |〈Ax, x〉| = |λn|, n ∈ N

    z.z.: ∀ n ∈ N : H⊥n ) {0}Annahme: ∃ m ∈ N : H⊥m = {0} ⇐⇒ Hm = Hm = H y dimH = dimHm = m

  • 100 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    z.z.: (xn)n∈N ONB in H

    sei x ∈ H =====⇒Satz 2.34

    ∞∑

    j=1

    |〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H

  • 2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 101

    zu (ii): sei µ 6= 0, sn =∑

    k ≤ nλk 6= µ

    λkλk − µ

    〈y, xk〉xk

    Satz 2.52 y λj −−−→j→∞

    0 y ∃ cµ > 0 ∀ j ∈ N :∣∣∣∣

    λjµ− λj

    ∣∣∣∣≤ cµ

    sei n > m y ‖sn − sm‖2H =ONS

    n∑

    j = m + 1λj 6= µ

    ∣∣∣∣

    λjµ− λj

    ∣∣∣∣

    2

    |〈y, xj〉|2 ≤ cµn∑

    j=m+1

    |〈y, xj〉|2 Satz 2.34−−−−−−→n>m→∞

    0

    y (sn)n Cauchyfolge in H =======⇒H vollständig

    ∃ u ∈ H : u = limn→∞

    sn ==⇒(26)

    x0 = −1

    µy +

    1

    µu ∈ H

    1. Fall: µ /∈ {λk, k ∈ N}

    y (A− µ id)x0 = −1

    µ(A− µ id)y + 1

    µ

    k ∈ Nλk 6= µ

    λkλk − µ

    〈y, xk〉 (A− µ id)xk︸ ︷︷ ︸

    (λk−µ)xk

    = y − 1µAy +

    1

    µ

    k ∈ Nλk 6= µ

    λk〈y, xk〉xk

    ︸ ︷︷ ︸

    Ay, Satz 2.52, falls µ/∈{λk,k∈N}

    = y − 1µAy +

    1

    µAy

    = y, falls µ /∈ {λk, k ∈ N}

    2. Fall: ∃ k ∈ N : µ = λk

    y ∈ N(A− λk id)⊥ ===========⇒xk ∈ N(A − λk id)

    〈y, xk〉 = 0

    y Ay =Satz 2.52

    j 6=kλj〈y, xj〉xj + λk 〈y, xk〉

    ︸ ︷︷ ︸0

    xk =∑

    j 6=kλj〈y, xj〉xj

    ==⇒s.o.

    (A− µ id)x0 = y −1

    µAy +

    1

    µ

    j 6=kλj〈y, xj〉xj

    ︸ ︷︷ ︸

    Ay

    = y

    Beispiel : Fredholm-Integraloperator

    seien Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, k : Ω× Ω→ K, k ∈ L2(Ω× Ω), k(x, y) = k(y, x), x, y ∈ Ω

    (Kf)(x) =

    k(x, y)f(y) dy, x ∈ Ω

    =====⇒Satz 2.13

    K ∈ K(L2(Ω)), k(x, y) = k(y, x) ========⇒Abschnitt 2.2.3

    K = K∗

    y Kf − µf = g lösbar mit Folgerung 2.53, wenn Eigenwerte und -funktionen bekannt sind

    Bemerkung : Voraussetzung A ∈ K(H) in Satz 2.52 wesentlich!

  • 102 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    Beispiel : MultiplikationsoperatorA ∈ L(L2[0, 1]), f 7→ Af mit (Af)(x) = xf(x) ϕ(x) = x ∈ R ========⇒

    Abschnitt 2.2.3A = A∗,

    ‖A‖ = 1 y σσσ(A) ⊆ [−‖A‖, ‖A‖] = [−1, 1]

    Beh.: ÜA II-22: σσσ(A) = [0, 1], A hat keine Eigenwerte

    • A hat keine Eigenwerte: sei Af = λf ⇐⇒ xf(x) = λf(x), x ∈ [0, 1]⇐⇒ (x − λ)f(x) = 0 f.ü. in [0, 1] =============⇒

    x− λ 6= 0 f.ü. in [0, 1]f ≡ 0 f.ü. in [0, 1] y f nicht

    Eigenelement

    • σσσ(A) ⊆ [0, 1]: sei λ /∈ [0, 1]y ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(L2[0, 1]) :

    ((A− λ id)−1h

    )(x) =

    h(x)

    x− λ , x ∈ [0, 1], denn

    (A− λ id)−1 ((A− λ id)f) (x) = 1x− λ (x− λ)f(x)︸ ︷︷ ︸

    (A−λ id)f(x)

    = f(x)

    y λ ∈ ̺̺̺(A) y σσσ(A) ⊆ [0, 1]

    • σσσ(A) = [0, 1]: sei λ ∈ [0, 1] ==⇒s.o.

    λ kein Eigenwert y N(A−λ id) = {0}, d.h. A injektivy ∃ (A− λ id)−1 : R(A− λ id) ( H→ Hz.z. (A− λ id)−1 /∈ L(H) 99K λ /∈ ̺̺̺(A) ⇐⇒ λ ∈ σσσ(A)g.z.z. ∃ fn ∈ L2[0, 1], ‖fn|L2[0, 1]‖ = 1, (A− λ id)fn −−−−→

    n→∞0

    λ ∈ [0, 1] y o.B.d.A. 0 ≤ λ < 1 y ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : 0 ≤ λ+ 1n < 1

    setzen fn(x) =

    {√n, x ∈ [λ, λ + 1n ]

    0, sonsty fn ∈ L2[0, 1], ‖fn|L2[0, 1]‖ = 1, n ≥ n0

    (A−λ id)fn(x) = (x−λ)fn(x) y ‖(A−λ id)fn|L2[0, 1]‖2 = nλ+ 1n∫

    λ

    (x−λ)2 dx = 13n2

    , n ≥ n0

    y ‖(A− λ id)fn|L2[0, 1]‖ =1√3n−−−−→n→∞

    0

    =====⇒Satz 2.52

    A /∈ K(L2[0, 1])zusätzlich gilt: ∃ (fn)n beschränkt, nicht präkompakt (z.B. ‖fn− f2n|L2[0, 1]‖ =

    2−√2), mit

    (A− λ id)fn −−−−→n→∞

    0

    Zerlegung des Spektrums

    bisher: λ ∈ σσσ(A) ⇐⇒ λ /∈ ̺̺̺(A) ⇐⇒ ∄(A− λ id)−1 ∨ (A− λ id)−1 6∈ L(H) y zerlegen σσσ(A)

    Definition 2.54 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H).(i) Es ist σσσ∗p(A) = {λ ∈ C : ∃ x ∈ H, x 6= 0 : Ax = λx} die Menge aller Eigenwerte von A.

    (ii) Es sei σσσr(A) ={λ ∈ C : ∃ (A− λ id)−1, (A− λ id)−1 /∈ L(H)

    }.

    (iii) Eine Folge (xn)n ⊂ H heißt Weyl56sche Folge zu A und λ ∈ C, falls (xn)n ⊂ H beschränkt ist, nichtpräkompakt, und zusätzlich gilt

    (A− λ id)xn −−−−→n→∞

    0.

    56Hermann Klaus Hugo Weyl (∗ 9.11.1885 Elmshorn † 8.12.1955 Zürich)

  • 2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 103

    Lemma 2.55 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H). Dann gilt

    σσσ(A) = σσσ∗p(A) ∪ σσσr(A), sowie σσσ∗p(A) ∩ σσσr(A) = ∅.

    Be w e i s : σσσ(A) = σσσ∗p(A) ∪ σσσr(A) klar; z.z.: σσσ∗p(A) ∩ σσσr(A) = ∅:

    λ ∈ σσσr(A) y ∃ (A− λ id)−1 /∈ L(H) y N(A− λ id) = {0} y λ /∈ σσσ∗p(A)

    λ ∈ σσσ(A) \ σσσr(A) y ∄ (A− λ id)−1 y N(A− λ id)−1 ) {0} y ∃ x0 ∈ H, x0 6= 0 : Ax0 = λx0y λ ∈ σσσ∗p(A)

    Beispiel : MultiplikationsoperatorA ∈ L(L2[0, 1]), (Af)(x) = xf(x) y σσσ∗p(A) = ∅, σσσ(A) = σσσr(A) = [0, 1],∀ λ ∈ σσσ(A) ∃ (fn)n Weylsche Folge zu λ

    ergänzen Lemma 2.47 für A ∈ L(H), A = A∗

    Lemma 2.56 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H) mit A = A∗.(i) Für alle x ∈ H und λ ∈ C gilt ‖(A− λ id)x‖H ≥ | ℑm λ|‖x‖H, insbesondere also

    σσσ(A) ⊆ R, sowie∥∥(A− λ id)−1

    ∥∥ ≤ 1| ℑm λ| für λ ∈ C, ℑmλ 6= 0.

    (ii) Es gilt für alle λ ∈ C,

    λ ∈ ̺̺̺(A) ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ u ∈ H : ‖(A− λ id) u‖H ≥ c‖u‖H.

    Be w e i s : zu (i): sei x ∈ H, λ ∈ C

    y ‖Ax− λx‖2H = ‖Ax‖2H − 2 ℜe λ 〈Ax, x〉︸ ︷︷ ︸

    ≤‖Ax‖H‖x‖H

    +(| ℜe λ|2 + | ℑm λ|2)︸ ︷︷ ︸

    |λ|2

    ‖x‖2H

    ≥ (‖Ax‖H −ℜeλ‖x‖H)2︸ ︷︷ ︸

    ≥0

    +| ℑm λ|2‖x‖2H ≥ | ℑm λ|2‖x‖2H

    sei λ ∈ C, ℑmλ 6= 0 ==⇒s.o.

    (A− λ id) injektiv, ∃ (A− λ id)−1,∥∥(A− λ id)−1

    ∥∥ ≤ 1| ℑm λ|

    y (A− λ id)−1 ∈ L(H) y λ ∈ ̺̺̺(A)

    zu (ii) =⇒ sei λ ∈ ̺̺̺(A) y ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H), d.h

    ∃ C > 0 ∀ v ∈ H :∥∥∥(A− λ id)−1 v

    ∥∥∥H≤ C ‖v‖H (27)

    sei u ∈ H y v = (A− λ id)u ∈ H ==⇒(27)

    ‖u‖H ≤ C ‖(A− λ id)u‖H , c := 1C

    ⇐= λ ∈ C, ℑmλ 6= 0 =====⇒σσσ(A) ⊆ R

    λ ∈ ̺̺̺(A)

    sei jetzt λ ∈ R, ∃ c > 0 ∀ u ∈ H : ‖(A− λ id)u‖H ≥ c ‖u‖H, z.z. : λ ∈ ̺̺̺(A)

    λ

    c2

    R

    wählen µ ∈ C \ R mit |λ− µ| ≤ c2

    y

    c ‖u‖H ≤ ‖Au− λu‖H ≤ ‖(A− µ id)u‖H +≤ c2

    ︷ ︸︸ ︷

    |λ− µ| ‖u‖Hy ‖(A− µ id)u‖H ≥

    c

    2‖u‖H , u ∈ H

    y∥∥∥(A− µ id)−1

    ∥∥∥ ≤ 2

    c, µ ∈ ̺̺̺(A) \ R, |λ− µ| ≤ c

    2(28)

  • 104 2 Lineare und beschränkte Operatoren

    sei v ∈ H gegeben, z.z. : ∃ ! u ∈ H : Au − λu = v

    Unität : seien u1, u2 ∈ H, Au1 − λu1 = v = Au2 − λu2 y (A− λ id) (u1 − u2) = 0

    y ‖(A− λ id) (u1 − u2)‖H︸ ︷︷ ︸

    0

    ≥ c︸︷︷︸>0

    ‖u1 − u2‖H y u1 = u2

    Existenz : Au− λu = v ⇐⇒ (A− µ id)u+ (µ− λ)u = v⇐===⇒µ∈̺̺̺(A)

    (

    id + (µ− λ) (A− µ id)−1︸ ︷︷ ︸

    G

    )

    u = (A− µ id)−1 v

    =⇒(28)

    ‖G‖ ≤ |µ− λ|∥∥∥(A− µ id)−1

    ∥∥∥ ≤ 2|µ− λ|

    c≤ 1

    2für µ ∈ C \ R geeignet gewählt, |µ− λ| ≤ c

    4

    y −1 6∈ σσσ(G) ⊂{

    ν ∈ C : |ν| ≤ 12

    }

    ⇐⇒ ( id +G)−1 ∈ L(H)

    ⇐⇒ ∃ ! u ∈ H : ( id +G)u = (A− µ id)−1 v⇐⇒ ∃ ! u ∈ H : (A− λ id)u = v

    Satz 2.57 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ L(H) mit A = A∗.(i) Für λ ∈ C mit ℑmλ 6= 0 gilt H = R(A− λ id).

    (ii) Für λ ∈ σσσr(A) existiert eine Weylsche Folge zu λ, es gilt R(A− λ id) = H.

    Be w e i s : zu (i): sei λ ∈ C, ℑmλ 6= 0 =====⇒σσσ(A) ⊆ R

    N(A− λ id) = N(A− λ id) = {0}

    =====⇒Satz 2.41

    H = R(A− λ id); z.z.: R(A− λ id) = R(A− λ id)

    sei y ∈ R(A− λ id) y ∃ (yj)j ⊂ R(A− λ id) : yj −−−→j→∞

    y y ∃ (xj)j ⊂ H : (A− λ id)xj︸ ︷︷ ︸

    yj

    −−−→j→∞

    y

    y ‖xj − xk‖H ≤1

    | ℑm λ|︸ ︷︷ ︸

    >0

    ‖(A− λ id)(xj − xk)‖H︸ ︷︷ ︸

    =‖yj−yk‖H−−−−−→j,k→∞

    0

    −−−−−→j,k→∞

    0 y (xj)j Cauchyfolge in H

    =======⇒H vollständig

    ∃ x ∈ H : xj −−−→j→∞

    x =====⇒A ∈ L(H)

    y = limj→∞

    (A�