Click here to load reader

A MATEMATIKA FILOZÓFIÁJA fizikalista megközelítés

  • View
    220

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of A MATEMATIKA FILOZÓFIÁJA fizikalista megközelítés

  • A MATEMATIKA FILOZFIJAfizikalista megkzelts

    E. Szab LszlLogika Tanszk, ELTE BTK Filozfia Intzet

    http://phil.elte.hu/leszabo

    2009. oktber 5.

    TartalomjegyzkMi teszi a logika kvetkeztetsi szablyait helyess? 4

    Mi tesz egy matematikai lltst igazz? 5Realizmus, platonizmus, intuicionizmus . . . . . . . . . . . 5A matematika formalista felfogsa . . . . . . . 6Metodolgiai megjegyzsek . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    The essential difference between mathematical truth anda semantical truth in a scientific theory describingsomething in the world 12

    Mathematical objects have no meanings 15Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    How is it then possible that mathematical structuresprove themselves to be so expressive in the physical

    1

  • applications? 22

    A matematikai elmletek mint formlis rendszerek 25Plda (Paul Lorenzen) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    The sentence calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    A prediktum kalkulus (PC) 27A PC aximi s a kvetkeztetsi szablyok . . . . . . . . 27Elemi ttelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    Interpretci 39Egy nem teljesen helynval elzetes plda . . . . . . . . . 39Interpretci s modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Teljessgi ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45PC(=) (prediktum kalkulus identitssal) . . . . . . . . . 46Az egyenlsg aximi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    Igaz-e, hogy 2 + 2 = 4? 49

    Halmazelmlet 55Naiv halmazelmlet formlis (axiomatikus) halmazel-

    mlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A halmazelmlet (ZF) aximi . . . . . . . . . . . . . . . 55

    The physicalist ontology of formal systems 60

    Abstraction is a move from the concrete to the concrete 69

    Induction versus deduction 78

    Meta-mathematical theory 83Ember tervez, Isten vgez! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    Turing-gpek 91

    2

  • A Turing-gp lersa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Pldk elemi mveleteket vgrehajt Turing-gpekre . . . . 93A Turing-gpek standard lersa . . . . . . . . . . . . . . 95Egy eldnthetetlen problmaosztly (Halting problem) . . 95Univerzlis Turing-gp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Halting-problma, episztemolgia, endofizika . . . . . . . . 98

    Gdel inkomplettsgi ttel 100Gdel-szmozs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Gdel-mondat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    Bizonyts s Igazsg 104

    Gdel msodik inkomplettsgi ttele 106

    3

  • Mi teszi a logika kvetkeztetsi szablyaithelyess?

    Elterjedt felfogs szerint az igazsg-megrz tulajdonsga,vagyis, hogy igaz premisszkbl igaz konklzikra vezetnek.

    Br tttelesen bepl a racionlis gondolkods s rvels trsadal-milag/trtnetileg kialakult normiba, mindenekeltt a nyelv hasz-nlatval sszefgg trsadalmi normkba, s ezrt gy tnhet, hogysemmifle tapasztalsra nincs szksg egy kvetkeztets helyessg-nek megtlshez, ez a tulajdonsg alapveten empirikusan tesz-

    4

  • telhet.

    ha a premisszk igazak a kvetkeztetsek igazakl l

    vilg tnyei vilg tnyei

    A logikai kvetkeztets helyessgnek krdse ott tnik proble-matikusnak, ahol ezt a legkevsb vrnnk: a matematikban!Mi teszi helyess azt a kvetkeztetst, hogy

    ha az Euklideszi aximk igazak igaz, hogy a2 + b2 = c2

    Honnan tudjuk ugyanis, hogy a2 + b2 = c2 igaz?!

    Mi tesz egy matematikai lltst igazz?

    Realizmus, platonizmus, intuicionizmusA realizmus szerint (pl. J. S. Mill) a matematikai lltsok akkorigazak, ha megfelelnek a minket krlvev fizikai valsgnak. Msszval, a matematika empirikus tudomny: a matematikai llt-sok a fizikai vilg legltalnosabb tulajdonsgait fejezik ki. E felfo-gs fontos szerepet tlttt be a matematika trtnetben, manapsgazonban senki sem gondolja komolyan, hiszen a matematika fogal-mai nincsenek kzvetlen megfelelsben a valsg elemeivel, pldula vgtelen fogalmnak semmi sem felel meg a kls (a matematiknkvli) vilgban.

    A matematikai platonizmus a matematika klasszikus fo-galmainak nll ltezst tulajdont, fggetlenl attl, gondoljuk-eazokat vagy nem, s gy vli, a matematikai lltsok igazsgt pusz-tn e fogalmak analzisvel, logikai ton fedezhetjk fel.

    Az intuicionistk tagadjk a matematikai objektumoknak az rtelemszeren vges konstrukcijuktl fggetlen ltezst, m

    5

  • helyette sajt istenk (Curry kifejezse1), az Intuci ltezsbenhisznek, vagyis valami olyasmiben, ami az egyetemes emberi rtelemszmra a priori adott, garantlva ezzel a matematika objektivitsts hasznlhatsgt.

    Realistk, platonistk s intuicionistk mind hisznekazonban abban, hogy a matematikai lltsoknak jelentsk van, sha a Hilbert-programot kvetve formalizljuk is a matematikanyelvezett, azt azrt tesszk, hogy e jelentst preczebben s tm-rebben adhassuk vissza.

    A matematika formalista felfogsa

    szerint az igazsg ezzel szemben az, hogy a matematikai objektu-moknak nincs jelentse. A matematika a formlis rendszerek tudo-mnya: Jeleket definilunk s szablyokat, melyek alapjn e jeleketkombinlhatjuk. Ahogy Hilbert mondta A matematika egy jtk,melyet a paprlapra rt, jelents nlkli szimblumokkal jtszunk,egyszer szablyok szerint. Pont, egyenes s sk helyett folyama-tosan mondhatnnk, asztalt, szket s srskorst mondta egymsik alkalommal az euklideszi geometrira utalva.

    A matematiknak semmi kze nincs a vgtelen metafizikai fo-galmhoz, s kzmbs a trre, idre, valsznsgre vagy a folyto-nossgra vonatkoz intucinkkal szemben. A matematika nem pro-dukl, s nem old meg Znn-paradoxonokat! Lerhatok egy jelet,mondjuk -t, s elnevezhetem az egsz szmok kardinalitsnak. Az-tn rgzthetem a r vonatkoz manipulcis szablyokat, mondjaDieudonn.2 Az egsz finitista prblkozs felesleges. Ha a paprraazt rom 101010, ez ppgy csak egy jel, amellyel manipullhatok, mintbrmelyik ms. A matematika jelenlegi gyakorlata azt mutatja, hogyminl preczebben ltjuk be valamely matematikai llts igazsgt,

    1Haskell B. Curry: Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics, North-Holand, Am-sterdam 1951.

    2Lsd Arend Heyting: Intuitionism: an Introduction, North-Holland, Amsterdam 1956.

    6

  • annl nyilvnvalbb, hogy t kizrlag az teszi igazz, hogy levezet-het az rendszer aximibl a rendszerben rvnyes kvetkeztetsiszablyok segtsgvel fggetlenl attl, hogy egybknt milyen fi-lozfiai nzeteket vall egy matematikus. Jl jellemzi a helyzetet JeanDieudonn-nek, a francia Bourbaki csoport egyik vezralakjnak so-kat idzett mondsa :

    In everyday life, we speak as Platonists, treating the ob-jects of our study as real things that exist independentlyof human thought. If challenged on this, however, weretreat to some sort of formalism, arguing that in factwe are just pushing symbols around without making anymetaphysical claims. Most of all, however, we want to domathematics rather than argue about what it actually is.Were content to leave that to the philosophers.

    Teht,

    1. A formalizmus lnyege, hogy egy llts bizonyts-nak/levezetsnek ltezse nem ms, mint a szban forg lltsigazsgfelttele.

    2. Az aximk sem azrt igazak, mert valamifle referencijukvan a valsgos (vagy valamifle platni) vilgra, hanem mert(trivilisan) levezethetk (tudniillik az aximkbl), ms szvaldefinci szerint igazak.

    3. A matematikban az igazsg fogalma ltalban rtelmetlen,csak egy adott aximarendszerre nzve rtelmes (ahol az axi-marendszerbe a kvetkeztetsi szablyokat is belertjk). An-nak a kijelentsnek, hogy a hromszg szgeinek sszege 180fok az igazsgrl nincs rtelme anlkl beszlnnk, hogy nespecifiklnnk, hogy melyik aximarendszerben (teht melyikgeometriban) van rtve.

    7

  • 4. A matematika trtnete ebben a vonatkozsban nem egys-ges. A matematika relis interpretcija pldul szinte kihalt anem-euklideszi geometrik megszletse utn. Korbbi korok-ban elfogadottnak tekintett bizonytsokat ma nem tekintnkelfogadhat, precz formlis bizonytsnak. Mint kiss sar-ktva Russell rja Boole Laws of Thought -ja (1854) volt azels knyv, amelyet matematikrl rtak.

    8

  • 2.

    Clunk teht az, hogy megvizsgljuk, mi tesz egy matematikai ll-tst igazz. Filozfiai szempontbl az alapvet problma a kvetkez:

    If you are an incorrigible empiricist, you might encounter thefollowing difficulties in connection with the truths of formal logicand mathematics. In Ayers words:

    For whereas a scientific generalization is readily admittedto be fallible, the truths of mathematics and logic appearto everyone to be necessary and certain. But if empiri-cism is correct no proposition which has a factual contentcan be necessary or certain. Accordingly the empiricistmust deal with the truths of logic and mathematics inone of the following ways: he must say either that theyare not necessary truths, in which case he must accountfor the universal conviction that they are; or he mustsay that they have no factual content, and then he mustexplain how a proposition which is empty of all factualcontent can be true and useful and surprising. ...

    If neither of these courses proves satisfactory, we shallbe obliged to give way to rationalism. We shall be obligedto admit that there are some truths about the worldwhich we can know independently of experience; ...

    9

  • Metodolgiai megjegyzsek Legyen mindvgig vilgos: a matematikai igazsg problm-

    jt egy adott metafizikai pozci (nyilvn a sajt metafizikaifelfogsom) nzpontjbl tekintem vgig. Ezt a pozcit gyfogom nevezni, hogy fizikalizmus.

    Physicalist =

    Empiricism: Ge-nuine informationabout the worldmust be acquired bya posteriori means.

    +

    Physicalist account of the men-tal: Experiencing itself, as any othermental phenomena, including the mentalprocessing the experiences, can be whollyexplained in terms of physic

Search related