GEOMETRA DESCRIPTIVA

Primera Edicin

Geometra

Descriptiva

CAPTULO

Interseccin Autor:Vctor Vidal Barrena

Universidad

Nacional de Ingeniera

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

Interseccin

Plano

Poliedro

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

INTERSECCIN DE PLANO CON

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 1 - 2

DE PLANO CONPOLIEDRO

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

LA INTERSECCION ENTRE DOS SLIDOS SE CONOCECOMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALESINTERSECCIONES SON COMUNES EN LASCONSTRUCCION SE EDIFICIOS, METALISTERIA,CONSTRUCCION DE MAQUINAS Y EN CUALQUIERCAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SLIDOS

8.1 INTRODUCCIN.-

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 3

LIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LAINTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOSSUCESIVOS DE RECTAS DE INTERSECCION DELPLANO CON LA SUPERFICIE PLANA DEL SLIDO, LARECTA DE INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ESUNA SERIE DE RECTAS UNIDAS, QUE FORMA UNPOLIGONO IRREGULAR.

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SE LLAMA POLIEDRO, A LOS CUERPOS GEOMETRICOS CUYA PORCION DEESPACIO ES TOTALMENTE LIMITADA, POR POLIGONOS PLANOS NOCOPLANARES.

AC

D

VERTICE

DIAGONAL

8.2 POLIEDROS: SU REPRESENTACIN.

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 4

H

EG

F

B

ARISTA

CARA

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

a).- LAS CARAS: formadas por polgonos que limitan el poliedro.

b).- LAS ARISTAS: que son los lados del polgono.

c).- LOS VRTICES: que son los extremos de las aristas.

8.3 ELEMENTOS DE UN POLIEDRO.

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 5

d).- LAS DIAGONALES: aristas que unen dos vrtices opuestos.

e).- LOS DIEDROS: formados por dos caras consecutivas.

f).- ANGULOS POLIEDRICOS: formados por aristas que concurren enun vrtice.

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

1).- POLIEDROS REGULARES: Son los poliedros que tienen todas sus caras

y ngulos iguales. Ejemplo:

8.4 CLASIFICACIN DE LOS POLIEDROS.

D

A

D

B

C C

F

DB

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 6

C

TETRAEDRO

A

BH

E

F

HEXAEDRO

B

G

OCTAEDRO

E

A

DB

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

2) POLIEDROS IRREGULARES: Es aquel cuya cuyas caras es un polgono cualquiera

y las dems caras son paralelogramos (prismas) o tringulos (pirmides) entre los

principales tenemos los prismas y las pirmides. Ejemplo:

L

K

J I

HI

H

KM

C A

H

I

JK

LM

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 7

D

F

E

A

C

B

E

B

F

D

PRISMA

TRIANGULAR

TRUNCADO

PRISMA

HEXAGONAL

OBLICUO

A

B

C

D

E

F

PRISMA

HEXAGONAL

RECTO

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

1) PRISMAS: Es un slido geomtrico determinado por unasuperficie engendrada por una recta generatriz que se deslizaparalela por una lnea poligonal o directriz

C

A

BK

L G

J

H

I

A

D

8.4 CLASIFICACIN DE LOS POLIEDROS.

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 8

PRISMA

HEXAGONAL

D

F

EF

E

D

A

B

C H

PRISMA

CUADRADO

E

F

G

CA

B

PRISMA

TRIANGULAR

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

2) PIRAMIDE: Es un slido geomtrico determinado por unasuperficie engendrada por una recta generatriz que esta unida a unpunto fijo llamado vrtice, a la vez que se desliza por una lneapoligonal o directriz.

VV

V

8.4 CLASIFICACIN DE LOS POLIEDROS.

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 9

PIRAMIDE

TRIANGULAR

B

CA

PIRAMIDE DE

BASE

CUADRADA

A

D

B

CE

PIRAMIDE

HEXAGONAL

B

F A

DC

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

V es el vrtice de una pirmide de base ABCD.Hallar la interseccin del plano RST con lapirmide dada. Mostrar la visibilidad de la

interseccin.

PROBLEMA N 9.1:

V(1, 4.5, 13), A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15),

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 10

V(1, 4.5, 13), A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15), C(9.5, 7, 12), D(5, 9, 15), R(1, 9, 15.5), S(12.5, 4, 11),H(8, 2, 17).

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION:

13

12

15

18

R HD H

S

T H

B H

H

V H

A H

HC

15.5

11

17

ubicamos los puntos

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 11

6.51

2

4.55 VF

R

7

F

5

D F

12.5

S

9.5 11

T F

BF

C F

F

A F

3

9

4

8

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION:

HC

V H

R H4

2

1

D H

6

5

A H

T H

HS

B H

11

17

1515.5

13

12

18

PLANO++ AVDRT

VDRS

++

++

RSTDVC

RECTA H F+ - +1 -++

++

23

++

++

H F INT H F

solucion final

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 12

VF

R F

A6

4

1F

5

T F

2 3

D F

C F

BF

FS

1 5 6.5 8 9.5 12.511

5

4

3

2

4.5

7

9

VBRS

RTRS

BVC++

+-

+AVB+

+ RST

+ DVC

-+- 6+- -

+

+ +45

--

3 +

+

-+

+

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

V es el vrtice de una pirmide oblicua cuya

base es ABCD. Determine la interseccin y

mostrar la visibilidad del plano RST con la

pirmide dada. Hacer la tabla de visibilidad.

Resolver sin vistas auxiliares.

PROBLEMA N 9.2:

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 13

V(1, 4.5, 13), A(6.5, 5, 18) B(11, 3, 15) C(9.5, 7, 12)

D(5, 9, 15);

R(1, 9, 15) S(9, 9, 11) T(9, 2, 18)

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION:

V

R

H

HC

HS

R H

A H

D H

TH

B H

11

12

13

15

18

GRAFICO DE

LAS

COORDENADAS

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 14

VF

RF

FT

BF

F

A F

D S F

C F

4.5

1

2

3

9

7

5

5 6.5 9 119.5

COORDENADAS

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION:

HV

HA

B H

C H

HDHR

SH

HT

1

2

3

4

5

6

+

+

++

+

-+

+

++

++

++

+

---

+

-+

-+ +

++

-+

+ -

TABLA DE VISIBILIDAD

18

12

15

13

11

RT

VDDC

ST

ST

AVD

RSTRST

ABCDAVB

1

23

45U

RECTA H PLANOF INTH F H F

PC

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 15

VF

A F

BF

FC

D FFR FS

H

TF

F

2

1

3

4

56

++

-++ -

---- - -

1

9

9.5

7

116.5

4.55

5 9

2

3

ST

RT

AVBAVB

5

6HU

U

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION SOMBREADA

VH

HC

3

2

R H

A H

D

16

H

T

5

4

H

B HDR

HV

H

2

H

3

C H

4 B H

TH

16

A

5

H

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 16

2

F

RF

6

FT

5

BF

F

1 A F

D S F

4

C3 F

H

V

S H

4

S

T

V F

1

6FA

RF

2

D F

3

S

F

5

BF

FC

F

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

ABCD y EFGH, son las bases de un prisma de

base cuadrada determinar la interseccin y

mostrar la visibilidad del plano RST. con el

prisma dado Hallar la tabla de visibilidad.

resolver sin vistas auxiliares.

PROBLEMA N 9.3:

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 17

A(10, 9, 17), B(13, 7, 16), C(12, 5, 19), D(9, 7, 20),

E(3, 5, 12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14), H(2, 3, 15)

R(4, 8, 19), S(13, 4, 14), T(9,1, 11).

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION:

H15

E13

12

14

H

GH

17

16H

19

20

HR

AH

DH

SH

HC

HB

GRAFICO DE LOS

PUNTOS

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 18

7

E

2

F3

1

5

4 H

4

G3 65

F

FF

T8 109

F

F

11

9

8 FR

HF

F

DF

TA

H

F

12 13

CF

S

FB

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION FINAL:

16

20

14

17 HA

BH

CH19

HD

12E

H

11

GH

15 HH

RH

13S

H

1

2

3

4

PC-1

HP

HQ

5

8

6

7

HW

HZ

PC-2

TABLA DE VISIBILIDAD

RECTA H PLANOF H F INT H F

SOLUCION

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada 7 - 19

2

5

9

1

9

3 6 10

AF

7

13

FB

CF

12

DF

FE

3

11

HF

FF

5F

G

HF

FR

8

4

4

FS

8

HT

FT

1

2

3

4

FP

QF

7

6

5

8

Z F

WF

-++ BFCGRS

RT + BFCG+ -

+RS

RT +

+AEDH+

AEDH+ +

+-P+

Z+ - +

-+- P

Z- -+

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

V es el vrtice de una pirmide de baseABCD. Hallar la interseccin y visibilidaddel plano RST con la pirmide dada.

PROBLEMA N 9.4:

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

V(1, 4.5, 13), A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15), C(9.5, 7, 12), D(5, 9, 15), R(1, 9, 15.5), S(12.5, 4, 11),H(8, 2, 17).

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION

13

12

15

18

R HD H

S

T H

B H

H

V H

A H

HC

15.5

11

17

ubicamos los puntos

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

6.51

2

4.55 VF

R

7

F

5

D F

12.5

S

9.5 11

T F

BF

C F

F

A F

3

9

4

8

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION

HC

V H

R H4

2

1

D H

6

5

A H

T H

HS

B H

11

17

1515.5

13

12

18

PLANO++ AVDRT

VD + + RST

RECTA H F+ - +1 -+ + 2 + +

H F INT H F

solucion final

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

VF

R F

A6

4

1F

5

T F

2 3

D F

C F

BF

FS

1 5 6.5 8 9.5 12.511

5

4

3

2

4.5

7

9

VD

VBRS

RTRS

BVC++

+-

++

AVB++ RST

++

RSTDVC

-+- 6+- -

+

++

++

45

--

23

++

+

-+

++

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

Se dan las proyecciones principales del plano RSTy del prisma oblicuo ABC-DEF cuyas bases sonnormales ; se desea determinar la interseccin ymostrar la visibilidad que produce en el prisma elplano dado.

PROBLEMA N 9.5:

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA N 5:SOLUCION:

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA N 5:SOLUCION:

Primeramente

hallamos los puntos 1y

2 por el mtodo del

plano cortante que

contiene a la recta TS ,

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

contiene a la recta TS ,

la recta TS se

intercepta con el plano

ABED en 1 , y con el

plano BCFE en 2.

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA N 5:SOLUCION:

Luego hallemos los

punto 3 y 4 por el

mtodo cortante siendo

la recta 3 para FC y 4

para la recta AD ;

unimos los puntos de

interseccin 1-2-3-4; y

luego se halla la tabla de

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

luego se halla la tabla de

visibilidad

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

ABCD EFGH son las bases de un prisma quetiene a AE como arista lateral. Determinar lainterseccin del plano PQR con el poliedro dado.Mostrar la visibilidad de la interseccin.

PROBLEMA N 9.6:

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

A(1,7,17) B(5,11,19) C(10,9,15) D(6,5,13)

E(3,3,21)

P(1,4,19.5) Q(11,11,22) R(8,3,13)

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA N 5:SOLUCION:

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Prim

eraE

dici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA N 5:SOLUCION:

2011 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada