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CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE

Circunferencia

Ricardo Villafaña Figueroa

2

Contenido


Material desarrollado con Maple

Ecuación de la circunferencia dados las coordenadas de su centro y su radio ..................... 3

La ecuación de la circunferencia dados tres puntos .............................................................. 6

La ecuación de la circunferencia dado dos puntos extremos de su diámetro ..................... 10

Definición de una circunferencia a partir de su expresión algebraica ................................. 14

Circunferencia inscrita en un triángulo ................................................................................ 15

Circunferencia circunscrita a un triángulo ........................................................................... 18

Intersección de recta y circunferencia: tangentes a la circunferencia ................................ 20

Aplicaciones .......................................................................................................................... 31

3

Ecuación de la circunferencia dados las coordenadas de su centro y su radio

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en A (‐1, 5) y radio 7.

Solución 1

En la ecuación general de la circunferencia sustituimos los valores de las coordenadas del centro y el radio dados utilizando la función subs (almacenamos el resultado en la variable temporal eq1 para facilitar su manipulación):

Expandir el resultado obtenido en eq1:

Igualar el resultado a cero:



4

Solución 2

Utilizar la biblioteca de Geometría de Maple.

Inicio de variables y carga de biblioteca:

Función para encontrar la ecuación de la circunferencia dadas las coordenadas de su centro d de su radio: (punto A) y la longitu

, ,

Definimos la circunferencia c a partir del punto y radio dados:

Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation:

Los detalles de la ecuación encontrada los obtenemos con la función detail:



5

Dibujar el punto y la circunferencia:



6

La ecuación de la circunferencia dados tres puntos

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (‐1, 4), B (1,‐ 2), C(5,2). Encontrar las coordenadas de su centro, la longitud de su radio y su área.

Solución 1

En la ecuación general de la circunferencia sustituimos los valores de los tres puntos dados:

Resolvemos el sistema de tres ecuaciones:



7

Convertimos el valor de r encontrado en forma de radical:

Sustituimos los valores de h, k y r en la fórmula general de la circunferencia:

Expandimos la ecuación encontrada:

Igualamos a cero la ecuación:

Ordenamos la ecuación conforme a X e Y:



8

Solución 2



Función ecuación de la circunferencia dados tres de sus puntos para encontrar la

, , ,

Definimos la circunferencia c a partir de los tres puntos dados con la función:

Encontramos la ecuación:

Encontramos las coordenadas del centro y la longitud del radio con la función detail:



9

Las coordenadas del centro también podemos encontrarlas con las funciones center y coordinates:

La longitud del radio la encontramos con la función radius:

El área del círculo se calcula con la función area:

Dibujamos los tres puntos y la circunferencia:



10

La ecuación de la circunferencia dado dos puntos extremos de su diámetro

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyos puntos finales de su diámetro son A(0,0), B (5, 0). Encontrar las coordenadas de su centro, la longitud del radio, dibujar la gráfica de

la circunferencia dada y calcular su área.

Solución 1

Definimos los puntos dados en forma de vector:

Encontramos el punto medio entre los puntos A y B (centro de la circunferencia):

Encontramos la longitud del radio por medio de la fórmula de distancia entre dos puntos:



11

Sustituimos las coordenadas del centro y el radio en la fórmula general de la circunferencia:

Expandimos el resultado encontrado:

Igualamos a cero la ecuación:

Ordenamos los términos de la ecuación:



12

Solución 2


Iniciamos variables:

Cargamos la biblioteca de geometría:

Fórmula para encontrar la ecuación de la circunferencia dados los puntos extremos de su diámetro

, ,

Definimos la circunferencia C a partir de los dos puntos dados:

Encontramos la ecuación:

Detalles de la ecuación encontrada:



13

Encontrado el centro y sus coordenadas:

Encontrando el radio de la circunferencia:

Dibujamos la gráfica de la circunferencia

Calculamos el área del círculo:



14

Definición de una circunferencia a partir de su expresión algebraica

Ejemplo

Dada la ecuación 9 encontrar las coordenadas de su centro y la longitud de su radio.

Solución



Función unferencia a partir de su representación algebraica para definir una circ

, ó

Definición de la circunferencia:

Detalles de la circunferencia encontrada:



15

Circunferencia inscrita en un triángulo

Ejemplo

Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto denominado incentro (centro de la circunferencia inscrita en el triángulo).

Calcula

r la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas:

2

4 143 3


125

285

Solución



Función erencia inscrita a un triángulo para encontrar la circunf

, á

Función lo a partir de las ecuaciones de cada uno de sus lados para definir un triángu

, 1, 2, 3

Definición del triángulo

Almacenamos las tres ecuaciones dadas en variables temporales:


16

Definimos las ecuaciones para utilizarlas con el paquete de geometry:

Definimos el triángulo con la función triangle a partir de las tres líneas dadas:

Detalles del triángulo encontrado:

Encontramos el incentro del triángulo con la función incircle y lo llamamos inc:



17

Detalles del incentro:

Dibujamos el incentro y el triángulo:



18

Circunferencia circunscrita a un triángulo

Ejemplo

Encontrar la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son A (‐2, 0), B (2, 3) y C(2, 0).

Solución

Cargar la biblioteca de geometría:

Función a un triángulo para definir la circunferencia circunscrita

, á

Definición del triángulo T:

Definición de la circunferencia Cc:

Detalles de la circunferencia:



19

Dibujo de la circunferencia:



20

Intersección de recta y circunferencia: tangentes a la circunferencia

Ejemplo

Determinar las coordenadas de los puntos donde la recta 2 0 interseca a la circunferencia 4 8 16 0.

Solución



Definimos la ecuación de la recta:

Definimos la ecuación de la circunferencia:

Detalle de la circunferencia definida:



21

Encontramos la intersección de la línea recta y la circunferencia con la función intersection y le llamamos Interseccion:

Note que el sistema devuelve dos resultados (la línea corta a la circunferencia en dos puntos.

Detalles del objeto geométrico Interseccion:

Para fines de graficación, encontramos por separado las coordenadas de los dos puntos de intersección y definimos los puntos de corte respectivos:



22

Dibujamos los puntos de corte A y B, la circunferencia C1 y la línea l1:



23

Ejemplo

Determinar las coordenadas de los puntos donde la recta 2 10 0 interseca a la circunferencia 20. Solución



Definimos la ecuación de la recta:

Definimos la ecuación de la circunferencia:

Detalle de la circunferencia definida:



24

Encontramos la intersección de la línea recta y la circunferencia con la función intersection y le llamamos Interseccion:

Note que la función intersection sólo devuelve un valor. La recta toca un solo punto de tangencia de la circunferencia.

Detalles del objeto geométrico Interseccion:

A partir de las coordenadas del punto de intersección, definimos el punto A para su graficación:



25

Dibujamos el punto de tangencia A, la circunferencia C1 y la línea l1:



26

Ejemplo

Determinar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3 0 en el punto (2, 5), y el centro está sobre la recta 2 5 0.

Solución



Definición de la línea tangente (l1):

Definición del punto de tangencia (A):

Cálculo y definición de la línea perpendicular a la tangente (lp):

Definición de la línea que pasa por el centro (l2):



27

Cálculo de la intersección entre la línea del centro (l2) y la línea perpendicular a tangente (lp), centro de la circunferencia:

Definición de las coordenadas del centro (centro):

Cálculo del radio (radio):

Definición de la circunferencia a partir del centro (C) y del radio (radio):

Reduciendo la ecuación:



28

Dibujar el punto, la circunferencia, la línea tangente y la línea que pasa por el centro de la circunferencia:



29

Ejemplo

Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 2 1

en el punto .

Solución



Definición del punto (A):

Definición de la circunferencia (C):

Detalle de la circunferencia encontrada:



30

Definición de la línea tangente (l) con la función tangentpc:

Ecuación buscada:

Dibujar el punto de tangencia, la circunferencia y la línea tangente:



31

Aplicaciones

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3 4 4 0 y cuyo centro está sobre las rectas 5 7 0 y 4 9 0.

Solución


Definimos las ecuaciones dadas:

Determinamos las coordenadas del centro con la función intersection:

Para calcular el radio de la circunferencia usamos la función distance en su forma de punto y línea:

Definimos la ecuación de la circunferencia con la función circle en su forma centro ‐ radio:



32

Determinamos la ecuación de la circunferencia y de las líneas:



33

Ejemplo

Deducir una(s) ecuación(es) del o de los círculos de radio 4, cuyo centro está en la recta 4 3 7 0 y es o son tangentes a 3 4 34 0.

Solución


Para encontrar las coordenadas del centro vamos a considerar que la ecuación de la circunferencia debe satisfacer las tres condiciones dada:

(1) El radio dado:

(2) Un punto cualquiera (h, k) que pase por la circunferencia debe también satisfacer a la recta que pasa por el centro:

(3) La tercera condición viene dada por la distancia que existe entre el radio y la recta tangente dada. Definimos primero la recta tangente en función de (h, k):

Y luego definimos la ecuación de la distancia en función de la línea obtenida el radio dado:

Resolvemos el par de ecuaciones encontradas con la función solve:



34

El par de ecuaciones nos da dos pares de valores para encontrar las ecuaciones de los círculos:

Primer círculo:


Segundo círculo:


Graficamos las circunferencias encontradas, la línea que pasa por el centro y la línea tangente.



35



Definimos la línea del centro para graficarla:

Dibujamos las dos circunferencias y las dos líneas:

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