Click here to load reader

cuerpos - Aprende Matematicas Online. Primaria, Secundaria ESO · PDF file · 2011-10-07130 MATEMÁTICAS 3º ESO Poliedros semirregulares Un poliedro semirregular es un poliedro cuyas

  • View
    219

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of cuerpos - Aprende Matematicas Online. Primaria, Secundaria ESO · PDF file ·...

  • MATEMTICAS 3 ESO 123

    Antes de empezar

    Recuerda Un poliedro es un cuerpo cerrado limitado por polgonos. Cada uno de ellos recibe el nombre de cara. Los lados de las caras son las aristas del poliedro y los extremos de las aristas son los vrtices del poliedro.

    En todo poliedro simple (sin huecos) se cumple la relacin de Euler:

    El nmero de caras de un poliedro (C) es igual al nmero de aristas (A) menos el de vrtices (V) ms 2.

    C = A - V + 2

    Un cuerpo de revolucin es cualquier figura geomtrica construida al hacer girar una figura plana alrededor de un eje contenido en el mismo plano.

    Cuerpos geomtricos

    Eje de rotacin

    C=6 V=8 A=12 A-V+2=128+2=6=C

  • 124 MATEMTICAS 3 ESO

    1. Poliedros regulares

    Definiciones

    Diremos que un poliedro es regular cuando se cumplen las siguientes condiciones:

    Sus caras son polgonos regulares iguales.

    En cada vrtice concurren el mismo nmero de caras.

    Slo hay cinco poliedros regulares (llamados tambin Slidos Platnicos):

    Tetraedro: 4 caras (tringulos equilteros)

    Hexaedro o cubo: 6 caras (cuadrados)

    Octaedro: 8 caras (tringulos equilteros)

    Dodecaedro: 12 caras (pentgonos regulares)

    Icosaedro: 20 caras (tringulos equilteros)

    Desarrollos

    Se dice que un cuerpo geomtrico es desarrollable cuando puede ser construido a partir de una figura plana formada por todas las caras del cuerpo.

    Todos los poliedros regulares son desarrollables y en este apartado te mostramos las figuras que permiten su construccin.

    Caractersticas Desarrollo

    Cuerpos geomtricos

  • MATEMTICAS 3 ESO 125

    Poliedros duales

    Se dice que dos poliedros son duales si el nmero de vrtices del primero coincide con el nmero de caras del segundo y viceversa. Adems ambos deben tener el mismo nmero de aristas.

    Si dos poliedros son duales puede construirse uno a partir del otro uniendo con segmentos los centros de cada dos caras contiguas del primero.

    En las imgenes se muestra que el cubo y el octaedro son duales, el dodecaedro y el icosaedro tambin y que el tetraedro es dual consigo mismo.

    Tetraedro: n de vrtices = 4 = n de caras.

    N de caras del cubo = 6 = n de vrtices del octaedro

    N de caras del octaedro = 8 = n de vrtices del cubo

    N de aristas del cubo = 12 = n de aristas del octaedro.

    N de caras del dodecaedro = 12 = n de vrtices del icosaedro

    N de caras del icosaedro = 20 = n de vrtices del dodecaedro

    N de aristas del dodecaedro = 30 = n de aristas del icosaedro.

    Cuerpos geomtricos

  • 126 MATEMTICAS 3 ESO

    2. Otros poliedros Prismas

    Un prisma es un poliedro con dos caras paralelas formadas por polgonos iguales cuyos lados se unen mediante paralelogramos. Las caras paralelas son las bases y los paralelogramos son los lados.

    Si los lados son rectngulos es un prisma recto, en caso contrario es un prisma oblicuo.

    Si las bases son paralelogramos es un paraleleppedo y si las bases y los lados son rectngulos es un ortoedro.

    Si las bases de un prisma recto son polgonos regulares decimos que es un prisma regular.

    Prisma regular pentagonal

    Prisma regular triangular

    Prisma oblicuo

    Prisma oblicuo

    Paraleleppedo

    Prisma recto

    Ortoedro

    Cuerpos geomtricos

  • MATEMTICAS 3 ESO 127

    Cuerpos geomtricos

    Desarrollos, reas y volmenes de prismas regulares Los prismas son cuerpos desarrollables. En particular, los prismas regulares tienen un desarrollo muy sencillo, formado por tantos rectngulos iguales como lados tenga y dos polgonos regulares que forman las bases. Esto facilita el clculo de sus reas y volmenes.

    1. Desarrollo y rea de un prisma regular pentagonal:

    2. Volumen de un prisma pentagonal regular:

    a = arista de las bases = base de los rectngulos laterales H = altura del prisma = altura de los rectngulos laterales

  • 128 MATEMTICAS 3 ESO

    Pirmides

    Una pirmide es un poliedro con una cara formada por un polgono cualquiera sobre cuyos lados se levantan tringulos que se unen en un punto comn. El polgono es la base de la pirmide, los tringulos son los lados y el punto comn es el vrtice.

    Si el vrtice se proyecta verticalmente sobre el centro de la base es una pirmide recta, en caso contrario es una pirmide oblicua.

    Si la base de una pirmide recta es un polgono regular decimos que es una pirmide regular. En ese caso los lados son tringulos issceles y todos iguales. El tetraedro es un caso particular de pirmide.

    Pirmide octogonal recta

    Pirmide pentagonal oblicua

    Cuerpos geomtricos

    Desarrollos, reas y volmenes de pirmides regulares Las pirmides son cuerpos desarrollables. En particular, las pirmides regulares tienen un desarrollo muy sencillo, formado por tantos tringulos issceles iguales como lados tenga y un polgonos regular que forma la base. Al igual que en los prismas esto facilita el clculo de sus reas y volmenes.

    3. Desarrollo de una pirmide regular pentagonal:

  • MATEMTICAS 3 ESO 129

    Cuerpos geomtricos

    4. rea de una pirmide regular pentagonal:

    5. Volumen de una pirmide regular pentagonal:

  • 130 MATEMTICAS 3 ESO

    Poliedros semirregulares

    Un poliedro semirregular es un poliedro cuyas caras son polgonos regulares de dos o ms tipos, de forma que en cada vrtice concurren los mismos polgonos (en nmero y en tipo).

    Se pueden obtener con cierta facilidad poliedros semirregulares a partir de los poliedros regulares mediante la tcnica del truncamiento.

    Truncar un poliedro consiste en suprimir uno de sus vrtices mediante la aplicacin de un corte plano.

  • MATEMTICAS 3 ESO 131

    EJERCICIOS resueltos

    6. Determinar la longitud de la arista de un tetraedro, de un octaedro o de un icosaedro que hay que truncar a partir de un vrtice para obtener un poliedro semirregular.

    7. Determinar la longitud de la arista de un cubo que hay que truncar a partir de un vrtice para obtener un poliedro semirregular.

    8. Analiza la dualidad de poliedros regulares cuando se truncan por la mitad de la arista.

    Cuerpos geomtricos

  • 132 MATEMTICAS 3 ESO

    3. Cuerpos de revolucin Cilindros

    Un cilindro es un cuerpo generado por un segmento (generatriz) al girar alrededor de una recta paralela al mismo (eje). El cilindro es un cuerpo desarrollable.

    Un cilindro tiene 3 caras: dos de ellas son crculos paralelos e iguales (bases) y la otra es una cara curva (cara lateral) que desarrollada se transforma en un rectngulo.

    El radio del cilindro es el radio de cualquiera de sus bases y la altura del cilindro es la longitud de la generatriz.

    La cara lateral desarrollada es un rectngulo cuya base es la longitud de la circunferencia que

    rodea la base y cuya altura es la generatriz.

    Conos

    Un cono es un cuerpo generado por un segmento (generatriz) al girar alrededor de una recta sobre la que se apoya uno de sus extremos (eje). El cono es un cuerpo desarrollable.

    Un cono tiene 2 caras: un crculo (base) y una cara curva (cara lateral) que desarrollada se transforma en un sector circular.

    El punto de apoyo de la generatriz sobre el eje es el vrtice del cono. El radio del cono es el radio de su base y la altura del cono es la distancia del

    vrtice al centro de la base.

    La cara lateral desarrollada es un sector circular cuyo radio es la generatriz y cuya amplitud es la longitud de la circunferencia de la base.

    .

    Cuerpos geomtricos

  • MATEMTICAS 3 ESO 133

    Esferas

    Una esfera es un cuerpo generado por un crculo al girar alrededor de cualquiera de sus dimetros.

    El radio de una esfera es el mismo que el radio del crculo que la engendra y coincide con la distancia del centro de la esfera a cualquiera de los puntos de su superficie. Esta propiedad caracteriza a la esfera: la esfera es el conjunto de puntos del espacio que equidistan de un punto fijo, llamado centro.

    Las esferas no son desarrollables. Por ese motivo la elaboracin de mapas es un problema importante. Analizaremos este problema con ms detalle en el ltimo captulo.

    rea de la esfera

    Volumen de la esfera

    3E r3

    4V =

    Cuerpos geomtricos

    El rea de una esfera de radio r es igual al rea lateral del cilindro que la circunscribe.

    Como el radio de ese cilindro tambin es r y su altura 2r, el rea de la esfera es:

    2r4r2r2A == Adems el rea de un casquete esfrico o de una zona esfrica tambin es igual al rea lateral del cilindro que la contiene.

    rea del casquete=2rh1 rea de la zona=2rh2

    El volumen del cilindro circunscrito es:

    VCI=r22r = 2r3 Por tanto el volumen de la esfera equivale a los dos tercios del volumen del cilindro circunscrito.

    Como el volumen de un cono del mismo radio y altura es la tercera parte del volumen del cilindro:

    VE + VCO = VCI La misma relacin vale para el volumen de una zona esfrica:

    El volumen de una zona esfrica es igual al volumen del cilindro que la rodea menos el volumen del tronco de cono que queda en su interior.

    VZE=r2h2 - VTCO

  • 134 MATEMTICAS 3 ESO

    Crculos en la esfera Cuando un plano corta a una esfera la interseccin de ambas figuras produce siempre un crculo. Si ese crculo contiene al centro de la esfera se dice que es un CRCULO MXIMO.

    Las circunferencias que limitan a los crculos mximos tienen la propiedad de que son caminos ms cortos entre dos puntos cualesquiera de la superficie de la esfera.

    Cuerpos geomtricos

  • MATEM