GUÍA DO ALUMNADO 1º DE BACHARELATO MATEMÁTICAS I … file2 Matemáticas I. 1º de bacharelato a distancia. Guía do alumno. MATEMÁTICAS 1 -É autor desta guía Miguel Ares Diñeiro

Matemáticas I. 1º de bacharelato a distancia. Guía do alumno. 1

BACHARELATO SEMIPRESENCIAL E A DISTANCIA

GUÍA DO ALUMNADO

1º DE BACHARELATO

MATEMÁTICAS I

MATERIAS PROPIAS DE MODALIDADE


MATEMÁTICAS 1

-É autor desta guía Miguel Ares Diñeiro.

1. A MATERIA

Dunha forma cada vez máis frecuente, as matemáticas están consideradas como unha ferramenta sumamente útil e eficaz, aplicable aos máis diversos e variados aspectos da realidade, un instrumento potente e capaz de resolver problemas nos distintos ámbitos da actividade humana, non só na científica e tecnolóxica, senón tamén nos aspectos sociais, económicos, laborais...

As matemáticas son útiles cando responden ás necesidades sociais, e estas necesidades non se limitan ás destrezas aritméticas, senón que son habilidades de índole máis xeral que poden desenvolverse traballando coas matemáticas.

A formación matemática que vas adquirir ao longo destes dous cursos débeche servir, entre outras cousas, para tomar decisións, para te enfrontar a novas situacións e a desenvolver a túa capacidade de razoamento, non só o dedutivo, senón tamén o indutivo e o intuitivo, xa que todos eles xogan un papel importante no traballo e na vida diaria.

A materia ten unha orientación eminentemente práctica que, como terás ocasión de comprobar ao longo do curso, queda perfectamente reflectida nas distintas unidades que o compoñen, pero non debes descoidar os aspectos teóricos, que son os que en definitiva che permitirán adquirir os coñecementos e as destrezas necesarias para abordar os distintos problemas que se che van formular.

A materia está agrupada en catro bloques temáticos: aritmética e álxebra, xeometría, funcións e gráficas e estatística e probabilidade, cun total de quince unidades didácticas.

ARITMÉTICA E ÁLXEBRA

As matemáticas estudan as relacións, e gran parte destas relacións exprésanse de forma alxébrica, de aí a importancia de introducir símbolos que substitúan obxectos, co fin de representar unha situación e de comunicar información sobre ela, simbolizar cantidades coñecidas e descoñecidas, pero determinadas incógnitas mediante letras, expresar alxebricamente enunciados de problemas e obter métodos de resolución de ecuacións e inecuacións de primeiro e segundo grao, e de sistemas de ecuacións e inecuacións para resolvelos.

XEOMETRÍA


A xeometría consiste no estudo das figuras, as súas propiedades e relacións. Co estudo da trigonometría aprenderemos a resolver situacións nas que interveñen triángulos xerais. En canto ao estudo da xeometría no plano, debemos indicar a importancia das rectas en moitos problemas xeométricos, o seu comportamento reflicte o de fenómenos ou magnitudes que varían de forma lineal.

Malia que é certo que as rectas teñen unha forma moi especial e, polo tanto, cabería esperar que rara vez aparecesen como formulación dun proceso natural, dáse a circunstancia de que, á parte dunha serie de fenómenos sinxelos que teñen carácter lineal evidente, outros máis complexos tamén se comportan, cando se analizan nun pequeno intervalo de valores, de forma lineal.

FUNCIÓNS E GRÁFICAS

A análise é de grande utilidade para describir, ilustrar, interpretar, predicir e explicar fenómenos moi diversos: económicos, sociais, físicos..., mediante táboas, gráficas e modelos matemáticos. Cómpre prestarlle especial atención á confección e interpretación de gráficas, pola súa grande eficacia para comunicar información.

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

A estatística é o campo da matemática que trata de atopar as leis que rexen o mundo do azar, co fin de tomar as decisións oportunas naqueles aspectos do noso ámbito que parecen estar dominados polo aleatorio. A estatística trata, en primeiro lugar, de acumular a masa de datos numéricos provenientes da observación de multitude de fenómenos, procesándoos de modo razoable. Mediante a teoría da probabilidade, analiza e explora a estrutura matemática subxacente ao fenómeno do que estes datos proveñen e, mediante o coñecemento de tal estrutura, trata de sacar conclusións e prediccións que axudan ao mellor aproveitamento do fenómeno para os fins que del se poden pretender.

A estatística é de enorme interese por si mesma e pola utilización que fan dela as demais disciplinas. Capacítanos para tomar decisións cando só dispoñemos de datos variables e afectados de incerteza, e proporciona unha filosofía do azar de grande alcance no mundo actual.

OBXECTIVOS ESPECÍFICOS

Inclúense, a continuación, os obxectivos que se pretenden conseguir co estudo destes bloques.

- Coñecer os diferentes tipos de números e operar correctamente con eles.

- Adquirir a suficiente destreza e habilidade para realizar as diferentes operacións matemáticas con polinomios e fraccións alxébricas.

- Resolver con suficiente soltura ecuacións de primeiro e segundo grao.

- Interpretar e resolver sistemas de ecuacións lineais con dúas ou tres incógnitas.


- Traducir á linguaxe alxébrica situacións cotiás, formulando e resolvendo problemas que orixinen sistemas de ecuacións lineais.

- Empregar métodos alxébricos, gráficos e numéricos para atopar a solución, interpretala dentro da situación formulada e valorar se é adecuada ao problema formulado.

- Resolver inecuacións cunha incógnita.

- Interpretar e resolver graficamente sistemas de inecuacións lineais con dúas incógnitas.

- Identificar e distinguir as sucesións de números reais.

- Identificar, analizar, interpretar e coñecer as distintas propiedades das progresións aritméticas e xeométricas.

- Coñecer e utilizar correctamente as propiedades dos logaritmos.

- Describir e estudar procesos naturais mediante funcións exponenciais.

- Resolver ecuacións e sistemas de ecuacións exponenciais e logarítmicas.

- Coñecer as formas binomial, polar e trigonométrica dos números complexos e aprender as operacións básicas que se poden realizar con eles, elixindo a forma máis conveniente para realizalas.

- Aprender o significado das razóns trigonométricas e aprender a calculalas.

- Establecer relacións básicas entre as razóns trigonométricas.

- Resolver ecuacións nas que interveñen razóns trigonométricas.

- Coñecer os teoremas do seno e coseno e aplicalos á resolución de triángulos en situacións prácticas de estimación de lonxitudes, alturas e ángulos.

- Coñecer e manexar as distintas ecuacións da recta.

- Coñecer o significado da pendente dunha recta e establecer con rigor as condicións de paralelismo e perpendicularidade.

- Determinar as posicións relativas de rectas no plano.

- Calcular o ángulo que forman dúas rectas, as bisectrices e obter fórmulas para calcular distancias entre puntos e rectas.

- Recoñecer determinadas rectas e curvas no plano como lugares xeométricos.

- Definir e estudar as propiedades da circunferencia, elipse, hipérbole e parábola.

- Empregar con precisión os conceptos e a terminoloxía relacionada coas funcións.

- Coñecer e interpretar diferentes aspectos dunha función co estudo da súa gráfica.

- Distinguir se unha gráfica define ou non unha función.


- Representar graficamente funcións lineais e cuadráticas.

- Formular e resolver problemas sinxelos asociados a situacións reais que poidan ser descritos mediante funcións lineais ou cuadráticas.

- Coñecer e traballar con funcións específicas polinómicas e racionais, exponenciais e logarítmicas, periódicas e resolver problemas sinxelos que se axusten a este tipo de funcións.

- Calcular límites das funcións máis usuais, calcular límites laterais e resolver indeterminacións.

- Estudar a continuidade dunha función e clasificar as súas descontinuidades.

- Manexar e interpretar os conceptos de taxa de variación media e taxa de variación instantánea.

- Coñecer o significado xeométrico da derivada e utilizalo para calcular a ecuación da tanxente e normal a unha curva nun punto.

- Obter as derivadas das funcións elementais e as súas composicións.

- Estudar as características dunha función mediante o estudo da súa derivada, e con elas obter a súa representación gráfica.

- Formular e resolver con axuda das derivadas problemas sinxelos de optimización.

- Ler, confeccionar e interpretar unha táboa de frecuencias.

- Confeccionar e interpretar os gráficos estatísticos usuais.

- Calcular e interpretar as medidas de centralización e dispersión máis usuais.

- Estudar distribucións entre dúas variables.

- Aprender a descubrir a dependencia estatística entre dúas variables.

- Entender o significado da correlación lineal.

- Estimar o valor aproximado da correlación lineal a partir da nube de puntos.

- Saber que a correlación lineal pode medirse mediante o coeficiente de correlación.

- Empregar a recta de regresión para facer estimacións.

- Aprender a calcular números combinatorios e a súa utilidade no cómputo de sucesos.

- Distinguir entre variacións, permutacións e combinacións.

- Calcular o espazo mostral asociado a un experimento aleatorio.

- Distinguir os distintos tipos de sucesos e as operacións con eles.

- Calcular probabilidades e probabilidades condicionadas.


- Calcular a probabilidade da unión e intersección de sucesos distinguindo se son compatibles ou incompatibles, dependentes ou independentes.

- Adquirir a noción de distribución de probabilidade.

- Coñecer a función de masa de probabilidade e a función de distribución dunha variable aleatoria discreta.

- Calcular e interpretar a media e a varianza dunha función de probabilidade discreta.

- Coñecer as características dunha distribución binomial.

- Calcular probabilidades de fenómenos que se axusten a unha distribución binomial.

- Coñecer as características da función de densidade e da función de distribución dunha variable aleatoria continua.

- Calcular a media e a varianza dunha variable aleatoria continua.

- Coñecer as características dunha distribución normal.

- Tipificar unha variable ( )N µ σ, e calcular probabilidades de fenómenos que se axusten a ela.

- Calcular a probabilidade de sucesos de orixe binomial coa axuda da distribución normal.

2. O LIBRO DE TEXTO

O libro de texto que se utilizou para a elaboración desta guía e que se encomendou para o estudo da materia é:

Matemáticas 1

Autores: Andrés Nortes, Pedro Jiménez, Francisco Lozano, Antonio Miñano e José A. Ródenas.

Editorial Santillana.

Para preparar a materia serve calquera outro libro que cubra os obxectivos sinalados na guía.

2.1. Estrutura do libro

Cada unha das unidades didácticas está estruturada do seguinte xeito:

1. - Esquema da unidade: nel aparecen claramente definidos os obxectivos de aprendizaxe que se deben alcanzar na unidade, xunto cun esquema gráfico que indica a orde temporal dos contidos. Esta orde tamén se fai explícita de forma escrita mediante un breve texto introdutorio.


2. - Avaliación inicial: con ela preténdese explorar os coñecementos previos dos alumnos, tanto da unidade como de conceptos relacionados e importantes para a súa comprensión.

3. - Información básica: nela desenvólvense os aspectos teóricos, xeralmente a partir de contextos problemáticos.

4. - Actividades de pé de páxina: ao pé de cada páxina ofrécense unha serie de actividades para practicar os conceptos e os procedementos vistos. Teñen por obxecto reforzar a comprensión e asegurar o dominio das técnicas esenciais.

5. - O máis importante: unha vez concluída a información básica da unidade, ofrécese un resumo das ideas e conceptos claves desta; con iso, preténdense recordar estes aspectos e facilitar a autoanálise do nivel de coñecementos.

6. - Exercicios e problemas resoltos: ao final de cada unidade ofrécense catro páxinas de exercicios e problemas resoltos. Con estas páxinas preténdense deixar totalmente claros os procedementos vistos na unidade, resolvendo todos os problemas paso a paso. O alumno debe intentar resolvelos por si mesmo, e logo comprobar a solución atopada.

7. - Exercicios e problemas propostos: similares aos anteriores dos que se seleccionan as Actividades para lle enviar ao titor ou á titora; con eles practícanse todos os conceptos e técnicas claves da unidade.

2.2. Método de traballo recomendado

En primeiro lugar, debes abordar esta materia con optimismo e convencido de que, aínda que no seu estudo xurdirán dificultades, con esforzo e constancia poderalas superar. Pensa que as matemáticas teñen unhas regras lóxicas e que as cousas non suceden porque si, senón que teñen un porqué lóxico.

Utiliza sempre no teu estudo lapis e papel. Non te limites a ler, tes que facer, xa que como mellor asimilarás e consolidarás os conceptos estudados será facéndoos, pois o que se oe, esquécese, o que se ve recórdase, pero o que se fai sábese.

Debes ter a suficiente destreza e habilidade para facer con soltura as diferentes operacións matemáticas. Se non a tes, debes repasar estes aspectos ata alcanzala.

En cada unidade, e unha vez coñecidos os obxectivos que se perseguen, comeza co estudo dos aspectos teóricos e procura resolver os exercicios de aplicación deses conceptos.

No apartado “Problemas resoltos”, estes están clasificados por tipos e cobren os aspectos máis interesantes de cada unidade. Primeiro intenta facelos sen axuda do libro e, se ves que non es capaz, recorre a el e non te desanimes. Ao principio é


normal que pase iso, pero pouco a pouco comprobarás os teus progresos. Aprende as estratexias usadas para resolvelos e trata de aplicalas aos do apartado de “Exercicios” e “Problemas propostos”, serviranche para que comprobes o grao de asimilación dos conceptos estudados. Neste apartado de “Exercicios” e “Problemas propostos” atoparás diferentes tipos de exercicios: os de aplicación inmediata dos coñecementos e destrezas estudadas; e outros, que chamaremos problemas, que resultan algo máis complexos porque requiren unha formulación previa e, polo tanto, un estudo máis profundo. Para resolver este tipo de problemas debes elaborar unha estratexia que considere as seguintes etapas:

1. - Comprender o problema

Para entender o problema, hai que ler moi de vagar, e mesmo varias veces, o seu enunciado. A continuación debes formularte as seguintes cuestións: que me preguntan? Que datos me dan? Cal é a incógnita? Que condición relaciona unhas cousas con outras? É condición suficiente para determinar a incógnita? É insuficiente? (faltan datos) É redundante? (sobra algún dato) É contraditoria?

2. - Idear un plan

Agora, trátase de relacionar os datos coas incógnitas, pero pode ser que isto non resulte tan sinxelo; nese caso, adopta a seguinte estratexia: Atopei algunha vez un problema semellante? Enfronteime outras veces ao mesmo problema presentado de forma diferente? Coñezo algún problema relacionado con este? No apartado de “Problemas resoltos” hai un problema parecido a este: Podería usalo? Podería usar o seu resultado? Podería empregar o seu método ou tería que introducir algún elemento auxiliar para poder empregalo? Coñezo algunha propiedade ou teorema que poida aplicar a este problema? Podería enunciar o problema de forma diferente e máis parecida a outro similar que xa está resolto? Podo resolver unha parte do problema? Empreguei todos os datos? Empreguei todas as condicións?

3. - Executar o plan

Unha vez concibido o plan, parece que todo é sinxelo, pero non te confíes e presta especial atención en utilizar correctamente os medios dos que dispós, non te confundas nas operacións, asegúrate da corrección de cada un dos pasos que dás, e non saltes as regras da linguaxe matemática, nin cometas erros absurdos á hora de realizar os cálculos.


4. - Examinar a solución alcanzada

Unha vez atopada a solución, cabe preguntarse: A solución alcanzada responde ao que me pedían? Podo comprobala? É lóxica ou carece de sentido? É coherente ou contradise con algún dos teoremas ou propiedades que coñezo? Se é así, haberá que revisar todo o proceso. Tamén é posible que o problema estea mal enunciado ou que teña erratas.

Aínda sendo correcta a solución alcanzada, cabe preguntarse se se podería obter de forma máis clara e con menos esforzo empregando outro método ou se se pode empregar este método noutros problemas.

As actividades que se propoñen en cada unidade para lle enviar ao titor están sacadas do apartado “Problemas propostos” e, aínda que non é obrigatorio, si é aconsellable o seu envío periódico ao titor, pois aínda que non van determinar a cualificación da materia, serven para comprobar a evolución do alumno e para corrixir os posibles erros.

As “Actividades de autoavaliación” que se propoñen en cada unidade, cuxa solución aparece no ”Solucionario”, ao final da guía, están sacadas do apartado “Problemas propostos” do libro de texto e deben servir para que o alumno comprobe os coñecementos e as habilidades adquiridas co estudo da unidade.

2.3. Distribución trimestral dos contidos

Como xa se dixo ao principio desta guía, a materia está agrupada en tres bloques temáticos, cun total de once unidades didácticas. A distribución temporal destas unidades ao longo do curso será a seguinte:

PRIMEIRO TRIMESTRE (primeira avaliación): unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

SEGUNDO TRIMESTRE (segunda avaliación): unidades 8, 9, 10, 11 e 12.

TERCEIRO TRIMESTRE (terceira avaliación): unidades 14, 15 e 16.

Criterios de avaliación

A avaliación está encamiñada a saber ata que punto se asimilaron os coñecementos e se alcanzaron os obxectivos marcados. Valóranse os coñecementos teórico-prácticos do alumno, o emprego adecuado das ferramentas matemáticas, así como o rigor nos razoamentos desenvolvidos e na terminoloxía empregada. No desenvolvemento dos exercicios e problemas valóranse os seguintes aspectos:

- A coherencia ordenada e razoada da resposta.

- A claridade na exposición.

- A utilización dunha axeitada terminoloxía e notación matemática.

- A facilidade, precisión e simplificación na realización dos cálculos.


- Se no desenvolvemento dun exercicio, ben por unha mala formulación ou por erros nos cálculos, o alumno obtén un resultado absurdo (o seno dun ángulo maior ca un, por exemplo), valórase positivamente que se decate dese feito e que poña de manifesto o absurdo de tal resultado.

- Tamén se valora positivamente que o alumno explique cada un dos pasos que dá na solución dos exercicios.

En cada avaliación haberá un exame, que consistirá en resolver unha serie de exercicios de características similares ás que figuran no libro de texto recomendado.

Os alumnos que aproben as tres avaliacións teñen aprobada a materia. Se non as aproban todas, na convocatoria final do mes de xuño terán que examinarse das avaliacións suspensas. De non aprobaren nesta convocatoria, en setembro deberán examinarse de toda a materia, aínda que tivesen aprobada algunha das avaliacións.


3. - PROGRAMACIÓN. ORIENTACIÓNS E ACTIVIDADES

BLOQUE 1: ARITMÉTICA E ÁLXEBRA

UNIDADE 1. - NÚMEROS REAIS

Con esta unidade preténdese repasar, afondar e consolidar aspectos estudados en cursos anteriores. Iníciase recordando os conceptos de números naturais e enteiros. A continuación, estúdianse os números racionais e os reais e as súas operacións.


Ao finalizar o estudo desta unidade debes ser capaz de:

- Distinguir os diferentes tipos de números.

- Realizar correctamente as operacións usuais.

- Realizar con precisión as diferentes operacións con potencias e radicais.

- Coñecer as propiedades do valor absoluto e calcular a distancia entre dous puntos da recta real.

Actividades para lle enviar ao titor ou á titora

1. Calcula os valores de a e b para que se cumpra a relación seguinte:

613

3=+

aba

2. Dado un cadrado de 36 cm de lado, quérese construír outro cuxa área sexa a dobre. Por canto haberá que multiplicar o lado?

3. Suma os seguintes radicais, reducíndoos previamente a radicais semellantes:

a) 48626724 −+ b) 33 322108 −

Actividades de autoavaliación

1. Como se poden repartir equitativamente 30 salchichas iguais entre 18 persoas, realizando o menor número posible de cortes? Cal é o mínimo número de anacos que se necesitan facer?

2. Calcula o factor polo que hai que multiplicar a expresión 5 44 33 2 aaa ⋅⋅ para que o resultado sexa 1.


UNIDADE 2. - ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS

Nesta unidade estudarás métodos alxébricos e xeométricos para a resolución de ecuacións e inecuacións, e a formulación e resolución de problemas de aplicación destes métodos. A maioría xa son coñecidas de cursos anteriores, agora trátase de afianzalos e de corrixir os posibles erros.

Tamén vas estudar os diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuacións lineais con dúas ou tres incógnitas e interpretar graficamente a compatibilidade ou incompatibilidade dun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas. Debes recordar a representación gráfica de rectas no plano, que tamén utilizarás na resolución gráfica de sistemas de inecuacións lineais con dúas incógnitas.

Por último, debes ser capaz de formular e resolver problemas resolubles con estas técnicas.



- Resolver ecuacións de primeiro e segundo grao e as que se poidan reducir a elas.

- Resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita.

- Representar graficamente os intervalos solución destas inecuacións.

- Formular e resolver problemas mediante ecuacións de primeiro e segundo grao.

- Resolver sistemas de ecuacións lineais con dúas e tres incógnitas.

- Estudar a compatibilidade ou incompatibilidade dun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas. Interpretalo xeometricamente.

- Resolver graficamente sistemas de inecuacións lineais con dúas incógnitas.

- Formular e resolver sistemas asociados a problemas reais. Valorar a solución.


1. Un número capicúa de cinco cifras verifica: a) A suma das súas cifras é 9. b) A cifra das centenas é igual á suma da das unidades e da das decenas. c) Se se intercambian as cifras das unidades e decenas, o número resultante

diminúe en 9. Atopa o número.


UNIDADE 3. - POLINOMIOS E FRACCIÓNS ALXÉBRICAS.

Nesta unidade, igual que acontecía coa 1, trátase de repasar e afianzar coñecementos estudados en cursos anteriores. Comezará co estudo dos polinomios e as operacións usuais entre eles: suma, resta, produto e cociente, dedicando unha atención especial á regra de Ruffini, á obtención das raíces dun polinomio e á factorización de polinomios. Finalmente estúdianse as fraccións alxébricas poñendo especial coidado nas operacións con fraccións e en simplificar os resultados.



- Realizar con soltura as diferentes operacións con polinomios empregando, se é o caso, a regra de Ruffini.

- Coñecer e aplicar o teorema do resto e a súa relación co valor numérico dun polinomio.

- Calcular as raíces e factorizar polinomios.

Actividades para lle enviar ao titor ou á titora (continuación)

2. Un almacenista dispón de tres tipos de café: o A, a 9,8 euros/kg; o B, a 8,75 euros/kg; e o C, a 9,5 euros/kg. Desexa facer unha mestura cos tres tipos de café para subministrar un pedido de 1.050 kg a un prezo de 9,4 euros/kg. Cantos quilogramos de cada tipo de café debe mesturar sabendo que debe poñer do terceiro tipo o dobre do que poña do primeiro e do segundo xuntos?


1. Unha tenda vende unha clase de calcetíns a 12 euros o par. Ao chegar as rebaixas, durante o primeiro mes realiza un 30% de desconto sobre o prezo inicial e, no segundo mes, un 40% tamén sobre o prezo inicial. Sabendo que vende un total de 600 pares de calcetíns por 5.976 euros e que nas rebaixas vendeu a metade do devandito total: A cantos pares de calcetíns se lles aplicou o desconto do 40%?

2. Dúas cidades A e B distan 380 quilómetros. Se ao mesmo tempo sae un coche de A en dirección a B cunha velocidade de 110 km/h, e un camión sae de B en dirección a A cunha velocidade de 85 km/h: A que hora se atopan os dous vehículos e cal é a distancia percorrida por ambos ata atoparse?


- Realizar con fluidez as distintas operacións con fraccións alxébricas simplificando os resultados.

UNIDADE 4. - SUCESIÓNS NUMÉRICAS. LOGARITMOS

Nesta unidade aprenderás a identificar e a distinguir as sucesións de números reais e a traballar cun tipo particular delas: as progresións aritméticas e xeométricas, de grande importancia en moitos aspectos da vida.

Estudaranse tamén as funcións exponenciais que serven de modelo a fenómenos tan dispares como a evolución de poboacións, desintegración radioactiva, intereses financeiros, etc.

Estudaranse tamén os logaritmos que durante séculos foron instrumento esencial, á hora de realizar cálculos complicados. Os logaritmos varían moi lentamente, o que os fai ser escala numérica axeitada para medir fenómenos naturais que implican números moi grandes, tales como a intensidade do son, a dos movementos sísmicos, etc.


Actividades para lle enviar ao titor ou á titora.

1. O polinomio P( 4) 3 +++= nxmxxx é divisible por 1−x e dá o mesmo resto aodividilo entre 2−x e 3+x . Calcula m e n .

2. Realiza as operacións que se indican: 3

391

96

31

32

22

−−

−+

+−+

++−

xxxx

xx

xx

Actividades de autoevaluación

1. Calcula un polinomio )(xP tal que, ao dividilo entre 32 +− xx , dá de cociente 542 23 −+− xxx e de resto 7.

2. Factoriza o seguinte polinomio: 1036 23 ++− xxx . Cales son as súas raíces?



- Determinar o termo xeral de sucesións de números reais sinxelos.

- Determinar o termo xeral e a suma dos n primeiros termos dunha progresión aritmética ou xeométrica.

- Determinar o produto dos n primeiros termos dunha progresión xeométrica.

- Obter logaritmos de números en distintas bases.

- Formular e resolver ecuacións nas que a incógnita aparece como base ou argumento dun logaritmo ou como expoñente dunha potencia.

- Formular e resolver ecuacións e sistemas de ecuacións exponenciais e logarítmicas.

UNIDADE 5. - NÚMEROS COMPLEXOS

Nesta unidade estudarás uns números que os matemáticos tardaron anos en admitir, por iso se lles chamou "complexos" e "imaxinarios". A pesar de estar en aparencia desligados por completo do mundo real, os números complexos interveñen na descrición de movementos ondulatorios, circuítos eléctricos, etc.




1. Unha persoa envíalles unha carta a dous amigos, pedíndolles que, pola súa vez, cada un deles lles envíe unha copia da devandita carta a outros dous amigos, e así sucesivamente. Despois de 10 envíos: Cantas copias se fixeron da carta?

2. Resolve os seguintes sistemas de ecuacións:

a)

=+=+

1loglog7yx

yx b)

=+=⋅−

−− 253210322

12 yx

yx


1. Cantos múltiplos de 3 hai entre os números comprendidos entre 100 e 1000?

2. Un depósito de viño contén 4.096 litros. Se un día se saca a metade do contido, ao día seguinte vólvese sacar a metade do que quedaba, e así sucesivamente todos os días. Que cantidade de viño se sacou o undécimo día?


- Identificar os números complexos e representalos no plano.

- Coñecer as distintas formas de expresar os números complexos, así como pasar dunha a outra forma.

- Elixir a forma máis conveniente para realizar as operacións e operar correctamente.

- Calcular potencias e raíces enésimas de números complexos.

BLOQUE 2. XEOMETRÍA

UNIDADE 6. - TRIGONOMETRÍA


1. Calcula o valor de x para que o complexo ixi

4332

+−

a) Sexa un número real. b) Sexa un número imaxinario puro. c) O seu afixo estea na bisectriz do primeiro cuadrante.

2. Resolve a ecuación ( ) 352432 +=−+− xixi . Expresa a solución en forma polar.


1. O número 3i é unha raíz cúbica dun número complexo, calcula as outras raíces e o número complexo.

2. Calcula o valor de x para que o afixo do cociente iix

232−−

se atope en:

a) O eixe de abscisas. b) O eixe de ordenadas. c) Na bisectriz do cuarto cuadrante.


Nesta unidade estúdanse as distintas unidades de medida de ángulos, introdúcense as razóns trigonométricas e establécense as relacións existentes entre elas, así como os teoremas do seno e coseno, instrumentos fundamentais para a resolución de triángulos.



- Coñecer as razóns trigonométricas e as relacións entre elas. Redución ao primeiro cuadrante.

- Coñecer as razóns trigonométricas dos ángulos notables.

- Resolver ecuacións trigonométricas.

- Resolver calquera tipo de triángulos e situacións prácticas de cálculo de alturas, distancias e ángulos utilizando as fórmulas axeitadas.

UNIDADE 7. - VECTORES NO PLANO

Nesta unidade estúdianse as características dun vector fixo que permitirán introducir o concepto de vector libre. Con vectores libres realízanse as operacións de suma de vectores e produto por un escalar.


1. Unha rúa dunha gran cidade ten unha anchura de 24 m. Un edificio da devandita rúa ten 40 m de altura. Nun momento do día no que os raios do sol forman un ángulo de 60º coa horizontal: Chegará o sol a iluminar o pavimento da rúa?

2. Dende un punto do chan a 10 m da parede, na que hai colgado un cadro, vese a parte inferior deste cun ángulo de elevación de 24º, e a parte superior cun ángulo de 37º. Que altura ten o cadro?


1. Resolve a seguinte ecuación trigonométrica: 0cos275 2 =−− xsenx .

2. Comproba se é certa ou non a igualdade: aa

aa cos3cos

1cos2cos 2

=++


Remata a unidade coa introdución do produto escalar de vectores, o estudo das súas propiedades e a súa aplicación á determinación do módulo dun vector e o ángulo que forman dous vectores de grande importancia para a seguinte unidade.



- Operar con vectores libres.

- Estudar a dependencia e independencia lineal.

- Determinar as coordenadas dun vector nunha base.

- Calcular o módulo dun vector e o ángulo que forman dous vectores utilizando o produto escalar.

UNIDADE 8. - XEOMETRÍA ANALÍTICA NO PLANO

Nesta unidade estúdase a xeometría no plano estudando as distintas ecuacións da recta. Estúdiase a posición relativa de rectas no plano, o ángulo de dúas rectas, distancia entre puntos, entre un punto e unha recta e entre dúas rectas, punto medio dun segmento, elementos notables dun triángulo (medianas, mediatrices, alturas e bisectrices), punto medio dun segmento, etc.



1. Dados os vectores ( )2,1−=→

u e ( )xv ,3=→

, determina x para que →

u e →

v :

a) Sexan paralelos. b) Sexan perpendiculares. c) Formen un ángulo de 30º.

2. Determina o vector →

u sabendo que forma un ángulo de 45º con (1,2) e é unitario.


1. Determina as coordenadas dos puntos que dividen o segmento de extremos A(0,-2) e B(9,7) en tres partes iguais.

2. Determina o vector →

u , sabendo que ten módulo 2 e forma un ángulo de 90º con (2,-1).



- Coñecer as distintas ecuacións da recta e elixir a máis adecuada en cada caso.

- Establecer con rigor as condicións de paralelismo e perpendicularidade.

- Estudar a posición relativa de rectas no plano.

- Calcular o ángulo de dúas rectas e as distancias entre puntos e rectas.

- Calcular alturas, medianas, mediatrices e bisectrices dun triángulo.


1. Calcula nos seguintes casos o valor de k , para que a recta 01=++ kyx .

a) Teña pendente 3. b) Pase polo punto (2,1). c) Sexa paralela á recta 052 =−+ yx . d) Sexa perpendicular á recta 042 =+− yx .

2. Os vértices dun triángulo son A(1,1); B(5,2) e C(4,6). a) É equilátero, isóscele ou escaleno? b) É acutángulo, rectángulo ou obtusángulo?


UNIDADE 9. - LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS

As curvas chamadas cónicas teñen esta denominación porque se obteñen cortando mediante planos en diferentes posicións unha superficie cónica.

Nesta unidade estudaremos o concepto de lugar xeométrico como o conxunto de puntos do plano que verifican unha determinada propiedade. Estudarase con máis detalle a circunferencia e introduciranse os conceptos de elipse, hipérbole e parábola, os seus elementos característicos e a forma de obter as súas ecuacións.



- Recoñecer determinadas curvas e rectas como lugares xeométricos.

- Estudar as posicións dunha recta e unha circunferencia.

- Caracterizar as rectas tanxente e normal á circunferencia.

- Calcular a potencia dun punto respecto dunha circunferencia e o eixe radical de dúas circunferencias.

- Estudar a elipse, hipérbole e parábola, os seus elementos característicos e as distintas formas de expresar a súa ecuación.

BLOQUE 3. - FUNCIÓNS E GRÁFICAS


1. Dadas as rectas: ,052:032:,0523: 321 =−−=+−=+− ykxryyxryxr

calcula k para que:

a) 32 ryr sexan paralelas. b) 32 ryr sexan perpendiculares. c) As tres rectas pasen por un punto. d) 31 ryr formen un ángulo de 45º.

2. Un triángulo isóscele ABC ten como vértices do lado desigual os puntos A(3,1) e B(6,3), e o terceiro vértice C atópase na recta, cuxa ecuación é 5+= xy . Calcula: a) As coordenadas do punto C. b) A altura correspondente ao lado AB. c) A área do triángulo.


1. Calcula a ecuación dunha elipse, cuxos focos son F(2, 0) e F´(-2, 0) e a súa

excentricidade é 21

=e .

2. Calcula a ecuación da hipérbole que pasa polo punto P(4, 3), e tal que a distancia entre os seus vértices é 8.


1. Obtén a ecuación dunha circunferencia que pasa pola orixe de coordenadas e polo punto (-5, 8) e que ten o centro no eixe das ordenadas.

2. Calcula a ecuación da parábola de vértice (3, -1) de eixe a recta e +1 =0 e que pasa polo punto (2, -2).


UNIDADE 10. - FUNCIÓNS REAIS DE VARIABLE REAL

O concepto de función é moi importante en matemáticas, intervén en todo tipo de fenómenos científicos e pode utilizarse para modelizar moitos de carácter social.

Coas funcións, intentamos representar e estudar cuantitativamente o cambio que experimenta unha magnitude determinada cando varía outra.

Nesta unidade estudarás as propiedades xerais, analíticas e gráficas, que debe cumprir unha expresión alxébrica ou unha curva para definir unha función.

As funcións polinómicas teñen unhas propiedades que as fan axeitadas para cuantificar moitos fenómenos sociais e económicos: oferta e demanda, ingresos e gastos..., ademais explican cuestións matemáticas e físicas notables como lonxitudes, áreas e volumes de figuras xeométricas, o espazo percorrido por un móbil, a altura que alcanza un obxecto lanzado ao aire...

As funcións racionais cociente de dúas funcións polinómicas tamén describen situacións cotiás, como a proporcionalidade inversa.

Outras funcións importantes que se estudarán nesta unidade son as funcións circulares e a función exponencial e logarítmica, fundamentais para estudar determinados procesos ligados á economía e ás ciencias sociais.

O concepto de límite é un dos máis importantes do cálculo infinitesimal e o fundamento da maioría dos seus resultados. Trátase de atopar, se existe, o valor ao que se achega unha función cando a variable independente toma valores cada vez máis próximos a un determinado.

Unido ao concepto de límite está o de continuidade, cuxo significado coincide co dunha curva sen cortes na súa gráfica.



- Coñecer o concepto de función.

- Representar graficamente funcións sinxelas.

- Saber interpretar unha gráfica.

- Distinguir se unha gráfica define ou non unha función.

- Vincular as funcións a procesos de carácter económico (oferta, demanda, ingresos, gastos, beneficios...).

- Resolver problemas sinxelos con axuda das funcións.

- Coñecer as funcións exponenciais e logarítmicas, as súas características e representación gráfica.


- Empregar estas funcións para resolver problemas sinxelos asociados a situacións reais.

- Manexar a calculadora para realizar os cálculos.

- Identificar as gráficas das funcións seno, coseno e tanxente e comprobar a súa periodicidade.

- Ter a noción intuitiva do concepto de límite dunha función nun punto.

- Calcular límites de funcións elementais.

- Resolver indeterminacións sinxelas da forma 00

, ∞∞

e ∞−∞ .

- Calcular límites laterais e coñecer a condición necesaria e suficiente para a existencia do límite dunha función nun punto.

- Comprender o significado gráfico da continuidade dunha función.

- Estudar e clasificar as descontinuidades dunha función.


1. Nun aparcadoiro débese aboar 1 euro por cada hora ou fracción, ata un máximo de 15 euros ao día. Fai unha gráfica que represente as cantidades que se han aboar por un vehículo que está aparcado entre 0 e 48 horas.

2. Dada a función ( )

=

≠−

−=

20

222

xsi

xsixx

xf , estuda a súa continuidade.


UNIDADE 11. - DERIVADA DUNHA FUNCIÓN

A observación dun fenómeno, dun cambio, conduce a unha función. Cando os científicos decidiron interesarse non só polos cambios que se efectúan nas cousas, senón polo máis ou menos rapidamente que as cousas cambian, comeza o estudo das derivadas.

Os conceptos de taxa de variación media e taxa de variación instantánea a derivada é a axuda que a matemática lle presta á ciencia para medir e interpretar a magnitude dos cambios.

Intuitivamente, unha función con derivada en cada punto é aquela na que a gráfica

non varía bruscamente de dirección en ningún punto.



- Manexar os conceptos de taxa de variación media e instantánea.

- Coñecer o significado xeométrico da derivada.

- Calcular a ecuación da tanxente a unha curva nun punto.

- Coñecer a relación entre continuidade e derivabilidade.

- Calcular a derivada dunha función a partir da definición.

- Calcular a derivada de funcións sinxelas e das súas composicións.

- Calcular derivadas laterais.


1. Determina a e b para que a función

<+

≤<−

−≤−+

=− xsibe

xsix

axsiaxx

xfx 12

112

112)(

1

23

sexa continua en 1−=x e 1=x .

Para os valores de a e b obtidos anteriormente, estuda se )(xf é derivable en 1=x .

2. Dada a función 21)(

xxxf+

= , determina:

a) As coordenadas dos seus puntos, nos que as tanxentes forman un ángulo de 45º coa parte positiva do eixe de abscisas.

b) A ecuación da tanxente no punto de abscisa 3=x .

c) A ecuación da recta normal á curva no devandito punto.


1. Calcula o seguinte límite: 52

9lim2

2

3 −−

−→ x

xx

2. Considérase a función )(xf definida por:

≥<≤+

<−=

2203

0)(

2 xsiaxxsibx

xsixxf

Calcula os valores de a e b , para que )(xf sexa continua.


1. Dada a función polinómica de segundo grao cbxaxy ++= 2 , determina os coeficientes a , b e c , se se sabe que a gráfica desta función pasa polos puntos (1, 2) e (2, 6) e que, neste último punto, a recta tanxente á curva ten como ecuación: 087 =−− yx . Explica de xeito razoado os cálculos efectuados.


- UNIDADE 12. - REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIÓNS

Estúdanse nesta unidade dúas das aplicacións máis importantes das derivadas: o comportamento dunha función ao longo do seu dominio para obter a súa representación gráfica e a formulación e resolución de problemas de optimización de funcións.


- Calcular intervalos de crecemento e decrecemento, extremos relativos, concavidade e convexidade, puntos de inflexión.

- Representar graficamente unha función.

- Formular e resolver problemas de optimización vinculados a situacións reais.

Actividades de autoavaliación (continuación)

2. Considera a curva de ecuación 32)( 2 +−= xxxf .

a) Traza unha recta que sexa tanxente á devandita curva e que forme un ángulo de 45º co eixe de abscisas.

b) Hai algún punto da curva en que a recta tanxente sexa horizontal? En caso afirmativo, calcula a ecuación da devandita recta tanxente e, en caso negativo, explica por que.


1. Calcula o dominio de definición, máximos e mínimos e intervalos de crecemento

e decrecemento da función 4

1)( 2 −=

xxf e atopa as asíntotas e posibles

simetrías da curva que representa.

2. Descompón un segmento de 20 m de lonxitude en catro partes para obter un rectángulo da maior área posible.


1. Hase de editar un libro e cada folla debe conter 18 centímetros cadrados de texto. As marxes superior e inferior de cada folla han de ter 2 cm cada un, e as marxes laterais, 1 cm cada un. Calcula as dimensións de cada folla do libro para que o gasto de papel sexa mínimo.


BLOQUE 4. - ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

UNIDADE 14. - ESTATÍSTICA DESCRITIVA BIDIMENSIONAL

A tarefa de describir e procesar de modo axeitado a masa de datos proveniente das observacións e experimentos é o obxecto da estatística descritiva. Realízase mediante gráficos ou ben mediante números ou parámetros estatísticos que esquematizan a información.

Nesta unidade empezaremos recordando a organización dun conxunto de datos mediante táboas e gráficos, así como a obtención das medidas de centralización e de dispersión máis usuais.

A maioría dos conceptos que constitúen a estatística elemental son doadas de manexar e non requiren en xeral cálculos difíciles. Sen embargo, a interpretación do seu significado, ou a utilización dos valores que toman nun problema estatístico concreto, co fin de chegar a conclusións e de tomar decisións, esixe certo coidado.

Continuaremos co estudo de relacións de tipo estatístico entre dúas variables e procuraremos determinar procedementos que nos permitan, co menor risco de erro posible, calcular o valor dunha variable a partir da outra.



- Confeccionar e interpretar táboas de frecuencias e os gráficos estatísticos usuais.

- Calcular e interpretar as medidas de centralización e dispersión.

- Calcular e coñecer o significado do coeficiente de variación dun conxunto de datos.

- Distinguir entre relacións funcionais e estatísticas.

- Comprender o concepto de correlación lineal.

- Entender que o grao de correlación informa sobre a influencia dunha variable sobre outra.

- Decidir, segundo o valor de r, se pode facerse unha estimación fiable.

- Utilizar a recta de regresión para estimar unha variable a partir doutra.


UNIDADE 15. - PROBABILIDADE

A teoría da probabilidade que estudarás nesta unidade trata de establecer e de analizar matematicamente os estraños modos a través dos cales o que é imprevisible e azaroso nun fenómeno ou suceso individual, debido á multitude de causas diversas que nel interveñen e que non podemos controlar, pasa a ser previsible, ordenado, suxeito a leis matemáticas, cando se considera a repetición, por moitas veces, dese mesmo fenómeno. Non sabemos o que sairá ao lanzar un dado unha vez, pero sabemos que se o lanzamos 60.000 veces, cada número sairá aproximadamente 10.000 veces.


1. As cualificacións obtidas por oito alumnos en matemáticas e estatística foron:

Matemáticas 2 4 6 5 6 8 9 10

Estatística 3 4,5 7 5,5 6 8,5 10 1

a) Calcula o coeficiente de correlación entre ambas as dúas cualificacións para os sete primeiros alumnos.

b) Calcula tamén o coeficiente de correlación entre as notas das dúas materias para todos os alumnos.

c) Xustifica a diferenza entre os resultados obtidos.


1. Unha persoa sométese durante cinco semanas a unha dieta de adelgazamento baixo control médico. O seu peso ao termo de cada unha desas semanas vén dado na seguinte táboa:

Semana de dieta 1 2 3 4 5

Peso en quilos 88,5 87 84 82,5 79

a) Calcula o coeficiente de correlación. b) A partir do valor da correlación lineal, responde: Resultaría axeitado utilizar a

recta de regresión para facer prediccións na avaliación do peso, a medida que se prolonga a dieta?

c) Axusta a mencionada recta de regresión. d) Que peso cabe esperar que alcance esta persoa se mantén a dieta durante

dúas semanas máis? E se prolonga a dieta durante 25 semanas?




- Obter o espazo mostral dun experimento aleatorio.

- Asignar probabilidades a sucesos e facer operacións con eles.

- Distinguir os distintos tipos de sucesos e avaliar a influencia dun suceso na probabilidade da realización doutros.

- Entender o significado da independencia e incompatibilidade entre sucesos.

- Calcular probabilidades condicionadas.


1. Nunha universidade existen tres facultades A, B e C. En A hai matriculadas 150 rapazas e 50 rapaces, en B hai 300 rapazas e 200 rapaces, e en C 150 rapazas e 150 rapaces. a) Calcula a probabilidade de que un estudante elixido ao chou sexa rapaz. b) Se un estudante elixido ao chou resulta ser rapaz: Cal é a súa facultade máis

probable?

2. Nunha cidade, o 35% dos censados vota ao partido A, o 45% ao partido B e o 20% abstense. Sábese ademais que o 20% dos votantes de A, o 30% dos de B e o 15% dos que se absteñen son maiores de 60 anos. Elixido ao chou un veciño desa cidade: Cal é a probabilidade de que sexa maior de 60 anos?


UNIDADE 16. - COMBINATORIA. DISTRIBUCIÓNS

Unha distribución de probabilidade non é máis cá asignación a cada posible suceso dun experimento aleatorio da probabilidade que lle corresponde. Isto ten un sentido aceptable cando os sucesos posibles nun experimento son uns poucos; é dicir: hai un número finito. Cando isto é así, a variable que estudamos é discreta. Entre todas as distribucións de probabilidade discreta, a binomial é a máis sinxela e a máis básica.

Cando o experimento para estudar pode tomar, polo menos teoricamente, un número infinito de valores, a variable que estudamos é continua. A curva normal é a representación de probabilidade continua que aparece con maior frecuencia nas exploracións das que ordinariamente se ocupan científicos, tales como sociólogos, psicólogos, xeógrafos..., debido á enorme complexidade das causas que interveñen nas situacións que estudan as ciencias sociais e humanas.



- Aprender a calcular números combinatorios.

- Aplicalos ao binomio de Newton.

- Resolver problemas de uso frecuente.

- Distinguir entre variacións, permutacións e combinacións.

- Coñecer as características dunha distribución de probabilidade discreta.

- Asignar probabilidades a sucesos dos que se coñece a súa distribución de probabilidade.

- Coñecer as características dunha distribución binomial e distinguir este tipo de distribucións.

- Coñecer os parámetros da distribución binomial e o seu significado.

. - Asignar probabilidades a sucesos mediante a distribución binomial.

- Coñecer as características dunha distribución continua.


1. Nun banco hai dous sistemas de seguridade, A e B. O sistema A funciona 90 de cada 100 veces, e o B, 80 de cada 100 veces, e os dous á vez 75 de cada 100. Cal é a probabilidade de que non funcione ningún dos dous sistemas?

2. O 40% das declaracións do imposto sobre a renda son positivas. Un 10% das que resultaron positivas fórono como consecuencia de erros aritméticos na realización da declaración. Se hai un 5% de declaracións con erros aritméticos:Que porcentaxe destas resultaron positivas?


- Manexar a función de densidade e a función de distribución

- Coñecer as características básicas da distribución normal.

- Tipificar unha variable normal e, coa axuda da táboa normal tipificada, calcular probabilidades asociadas a ela.

- Utilizar, cando sexa adecuado, a distribución normal como aproximación da binomial.


1. A lotería primitiva consiste en elixir 6 números do 1 ao 49, pero tamén se admiten apostas múltiples, podendo sinalar 7, 8, 9, 10 ou 11 números en cada bloque. d) Se sinalas 8, a cantos boletos sinxelos equivale? Que probabilidade tes de

acertar? e) Se cada boleto sinxelo custa 1 euro, canto custará un boleto múltiple de 10

números?

2. Sexa

>

≤<−

≤

=

20

202

100

)(

xsi

xsixxsi

xf a función de densidade de certa variable

aleatoria X. Calcula a función de distribución )(xF .

Actividades para lle enviar ao titor ou á titora (continuación)

1. En certa poboación, a idade dos individuos ten unha distribución normal, cunha media de 32 anos e unha desviación típica de 8 anos. a) Calcula a proporción de individuos menores de 18 anos. b) Se na citada poboación viven 2 millóns de persoas, calcula o número

aproximado de persoas maiores de 60 anos.


1. Un exame de opción múltiple está composto por oito preguntas, con catro posibles respostas cada unha, das cales só unha é correcta. Supóñase que un dos estudantes que realiza o exame responde ao chou. a) Cal é a probabilidade de que conteste correctamente polo menos 7

preguntas? b) Cal é a probabilidade de que non acerte ningunha?


UNIDADE 1

1. 321

18121

1830

+=+= ⇒a cada persoa correspóndelle unha salchicha e 32⇒ se se

lle dá unha salchicha a cada persoa quedan 30-18 =12 salchichas para cortar, e

como a cada persoa lle corresponde 32

máis, haberá que cortar cada unha das 12

salchichas en dous anacos de 31

e 32

, respectivamente, e darlles a 12 persoas un

anaco de 32

a cada unha e ás 6 restantes dous anacos de 31

a cada unha.

En total, 12 cortes e 24 anacos.

2. Reducindo previamente os radicais a índice común obtemos:

60 13260 13360 4860 4560 405 44 33 2 aaaaaaaaa ==⋅⋅=⋅⋅ ⇒o factor polo que hai

que multiplicar esa expresión para que o resultado sexa 1 é 60 132

1

aa.

UNIDADE 2

1. Se lles chamamos x aos pares de calcetíns vendidos cun desconto do 40%, as condicións do problema dinnos que se venden 300 pares a 12 euros e x−300 pares cun desconto do 30%, co cal se obtén a ecuación:

5976126,0)300(127,030012 =⋅⋅+−⋅⋅+⋅ xx

que dá como resultado: 120=x pares vendidos, cun desconto do 40%. Tamén podes intentar facelo formulando un sistema de ecuacións.

2. Atoparanse nun punto C situado a x quilómetro de A e a x−380 quilómetros de B. Como ambos móbiles levan circulando o mesmo tempo ata o seu encontro, igualando os seus tempos obtemos a ecuación:

85380

110xx −

= a solución da cal é 36,214=x quilómetros⇒atópanse a

36,214 quilómetros de A, e a 64,16536,214380 =− quilómetros de B, e o tempo

que tardan en atoparse é 95,1110

36,214==t horas = 1hora 56 minutos 55,41 seg.

SOLUCIONARIO


Tamén podes facelo igualando a 380 a suma dos espazos percorridos polos dous móbiles. Inténtao.

UNIDADE 3

1. Como sabemos, dividendo = divisor . cociente + resto, co cal: 81715937)542()3()( 2345232 −+−+−=+−+−⋅+−= xxxxxxxxxxxP

2. Utilizando a regra de Ruffini obtemos que as raíces do polinomio son –1, 2 e 5 e, polo tanto, a factorización é: )5)(2)(1(1036 23 −−+=++− xxxxxx .

UNIDADE 4

1. O primeiro múltiplo é 1021 =a e o último 999=na e forman unha progresión aritmética de diferenza 3. Como ⇒−+= dnaan )1(1 999=102+ )1( −n 3 300=⇒ n .

2. Trátase dunha progresión xeométrica de razón 21

=r e 40961 =a ;

422

214096 10

121010

111 ==

⋅=⋅= raa litros.

UNIDADE 5

1. Se 0º9033 =i é unha raíz cúbica, o complexo é ( ) 00 270

390

273 = e as outras raíces

cúbicas teñen de módulo 3273 = e de argumentos

2,1,03

º360º270=

⋅+= kkα ⇒ as raíces son : 090

3 , 00 33011033 y .

2. ixxiiiix

iix

1334

1326

)23)(23()23)(2(

232 −

++

=+−+−

=−−

a) Para que o seu afixo se atope no eixe de abscisas, a parte imaxinaria debe ser

0, co cal 430340

1334

=⇒=−⇒=− xxx

.

b) Para que o afixo se atope no eixe de ordenadas, a parte real debe ser 0, co cal

.310260

1326

−=⇒=+⇒=+ xxx


c) Para que o afixo estea na bisectriz do cuarto cuadrante, a ordenada e a abscisa deben ser opostas, co cal

1011104326

1334

1326

=⇒=⇒−=+⇒−

−=+ xxxxxx

UNIDADE 6

1. 03720)1(2750cos275 222 =+−⇒=−−−⇒=−− senxxsenxsensenxxsenx . Resolvendo esa ecuación de segundo grao en senx obtense que 3=senx ,

21

=senx

A solución 3=senx non corresponde a ningún ángulo porque o seo dun ángulo non pode ser maior que 1.

Coa outra solución 21

=senx obtense Zkkx ∈⋅+= º360º30 .

2.

A igualdade é certa.

UNIDADE 7

1. Se lles chamamos ),( 11 yxC e ),( 22 yxD aos puntos buscados, tense que cumprir:

→→

= ABAC31

, ⇒ )3,3()9,9(31)2,( 11 ==+yx , 1,3 11 ==⇒ yx

,6),6,6()9,9(32)2,(,

32

222 =⇒==+⇒=→→

xyxABAD 42 =y

As coordenadas dos puntos buscados son: )1,3( e )4,6( .

2. Se denotamos ),( yxu =→

, por ser ortogonal ao vector (2,-1) o seu produto escalar ha de ser 0, co cal .2,02,0)1,2(),( xyyxyx =⇒=−⇒=−⋅ ⇒Os vectores ortogonais a (2,-1) son da forma R∈λλ ),2,1( . Como ha de ter módulo 2, ⇒

54,44,4 2222 =⇒=+⇒=+ xxxyx . O vector buscado é

54,

52

o

−−

54,

52

.

aaa

aasena

aaasena

aaa

cos3coscos3

cos)1(cos2

cos1coscos

cos1cos2cos

2

222222

==

=−+

=++−

=++


UNIDADE 8

1. A pendente da recta dada é k1

− , e para que 3131

−=⇒=− kk

.

a) O punto (2,1) debe cumprir a ecuación da recta: 3,012 −=⇒=++ kk .

b) A pendente da recta 052 =−+ yx é 21

− e como rectas paralelas teñen a

mesma pendente, 2,121

=⇒−=− kk

.

c) A pendente da recta 042 =+− yx é 2, e para que sexa perpendicular á dada

ha de ser 2,121=⇒−=⋅− k

k.

2. a) 17),(;34),(;17),( === CBdCAdBAd . Dous lados iguais: é isóscele.

b) 222 ),(),(),( CBdBAdCAd += : é rectángulo.

UNIDADE 9

1. Se o centro está no eixe de ordenadas, é da forma ),0( b ; como pasa pola orixe de coordenadas, o radio é b ; por pasar por (-5,8):

( ) 2)8(25),0(),8,5( bbd −+=− ; resolvendo esa ecuación obtemos 1689

=b . Así

pois, o centro é

1689,0 e o radio é

1689

. A ecuación da circunferencia é:

22

2

1689

1689

=

−+ yx .

2. Como o eixe é a recta 1−=y , paralela ao eixe OX, e o vértice é (3,-1), a súa

ecuación será da forma ( ) )3(2)1( 2 −=−− xpy . E como pasa por (2,-2), hase de

cumprir que: )32(2)12( 2 −=+− p , co cal 21−

=p , e a ecuación é

)3()1( 2 −−=+ xy


UNIDADE 10

1. Trátase de resolver unha indeterminación da forma 00

.

( )( )

( )( ) ( ) 452lim5252

529lim52

9lim 2

322

22

32

2

3=−+=

−+−−

−+−=

−−

−→→→

xxx

xx

xx

xxx

2. Para que unha función )(xf sexa continua en ax = , ten que cumprirse que )()(lim)(lim afxfxf

axax==

−+ →→. Os puntos onde pode haber problemas de

continuidade son 0=x e 2=x .

bf =)0( ; 0)(lim)(lim00

=−=−− →→

xxfxx

; bbxxfxx

=+=++ →→

)3(lim)(lim00

. Polo tanto, para

que a función sexa continua en 0=x debe ser 0=b .

af 4)2( = ; 6)03(lim)(lim22

=+=−− →→

xxfxx

; aaxxfxx

4lim)(lim 2

22==

++ →→. Para que a

función sexa continua en 2=x debe ser 2346 =⇒= aa .

Así pois, para que sexa continua en todos os seus puntos debe ser 23

=a e 0=b .

UNIDADE 11

1. Se a súa gráfica pasa por (1,2) cba ++=⇒ 2 .

Se a súa gráfica pasa por (2,6) cba ++=⇒ 246 .

Se en (2,6) a súa tanxente é a recta 087 =−− yx a pendente da cal é 7, a derivada en 2=x ten que ser 7. Como 74)2´(,2´ =+=+= baybaxy . Resolvendo o sistema formado por esas tres ecuacións obtense

45,3 =−== cyba .

2. a) As rectas que forman un ángulo de 45º co eixe de abscisas teñen de pendente 1º45 =tg . Como a pendente da tanxente a unha curva nun punto é o valor da

derivada nese punto, trátase de calcular o valor de x para o cal

23,122)´( =⇒=−= xxxf . O punto de tanxencia é .

49,

23

23,

23

=

f

A recta tanxente é

−=−

23

49 xy 0344 =+−⇒ yx .

b) As rectas horizontais (paralelas ao eixe OX) teñen pendente 0. Trátase de ver se hai algún punto da curva en que a derivada sexa cero

.1,022)´( =⇒=−=⇒ xxxf


O punto de tanxencia é ( ) )2,1()1(,1 =f e a ecuación da tanxente é .2=y

UNIDADE 12

1. Se lle chamamos x e y ao ancho e alto de cada folla, hai que minimizar a función xyS = .

Polas condicións do problema, sabemos que 18)4)(2( =−− yx , co cal obtemos

que 42

18+

−=

xy . Substituíndo ese valor na expresión de S , obtense

xx

xS 42

18+

−= . Para calcular o mínimo, derivamos esa expresión e igualamos a

cero. .1,5,04)2(

36´ 2 −==⇒=+−−

= xxx

S A solución 1−=x non serve para o

problema. Comprobamos co signo da segunda derivada, se o valor 5=x

corresponde a un mínimo. 3)2(72´´−

=x

S , y 0)5´´( >S ⇒Para 5=x o gasto de

papel é mínimo. As dimensións da folla son 5 cm×10cm.

UNIDADE 14

1. a) Se consideramos os 7 primeiros alumnos e lle chamamos smatemáticax = e aestadísticy = obtemos:

x y x2 y2 xy 2 3 4 9 6

4 4,5 16 20,25 18

6 7 36 49 42

5 5,5 25 30,25 27,5

6 6 36 36 36

8 8,5 64 72,25 68

9 10 81 100 90

40 44,5 262 316,75 287,5

99,062,459,4

59,44,67,57

5,287

1,2)4,6(7

75,316

2,2)7,5(7

262

4,67

5,44

7,5740

2

2

_

_

==⋅

=

=⋅−=

=−=

=−=

==

==

yx

xy

xy

y

x

r

y

x

σσσ

σ

σ

σ


b) Se consideramos todos os alumnos obtemos:

c) No primeiro caso, a correlación é forte e no segundo débil. No segundo caso, hai maior dispersión en x e en y . As cualificacións do último alumno non seguen a tónica dos anteriores.

UNIDADE 15

1. ( )( ) ( ) 05,075,08,09,01()()(11 =+−−=∩+−−=∪−=∪ BAPBPAPBAPBAP c

2. 8,005,0

4,01,0)(

)()/()/( =⋅

=⋅

=erroresP

positivaPpositivaerroresPerrorespositivaP .

UNIDADE 16

1. a) Trátase de formar con 8 números grupos de 6, sen que importe a orde: .286,8 =C Equivale a 28 boletos. Como o número de combinacións posibles é

816.983.136,49 =C , a probabilidade de acertar é 816.983.13

28.

b) Un boleto múltiple de 10 números equivale a 2106,10 =C boletos sinxelos e

custará 210 euros.

x y x2 y2 xy 2 3 4 9 6

4 4,5 16 20,25 18

6 7 36 49 42

5 5,5 25 30,25 27,5

6 6 36 36 36

8 8,5 64 72,25 68

9 10 81 100 90

10 1 100 1 10

50 45,5 362 317,75 297,5 197,0

7,24,228,1

28,17,53,68

5,297

7,27,58

75,317

4,23,68

362

7,58

5,45

3,68

50

2

2

_

_

=⋅

=⋅

=

=⋅−=

=−=

=−=

==

==

yx

xy

xy

y

x

r

y

x

σσσ

σ

σ

σ


2.

>

≤<−

≤

=⇒−=

−= ∫

21

204

00

)(,42

1)(22

0

xsi

xsixx

xsi

xFxxdttxFx

Documents

GUÍA DO ALUMNADO 1º DE BACHARELATO MATEMÁTICAS I … file2 Matemáticas I. 1º de bacharelato a distancia. Guía do alumno. MATEMÁTICAS 1 -É autor desta guía Miguel Ares Diñeiro