BENTUK PANGKAT , AKAR DAN LOGARITMA I. Bentuk pangkat I.1. Pangkat Bulat Positif

Contoh 1 : Tuliskanlah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat / eksponen 1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 jawab : 54 2. ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) jawab : ( )32-

3. ÷øö

çèæ

÷øö

çèæ

÷øö

çèæ

÷øö

çèæ

51

51

51

51

xxx jawab : 4

51÷øö

çèæ

4. 81 jawab : 43 5. 256 jawab : 44 6. 30.000 jawab : 4103x I.2. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat positif Untuk m , n +Î B dan RaÎ maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut 1. nmnm aaxa += Bukti :

2. nmnm aaa -= : Bukti :

3. ( ) mnmn aa = Bukti :

Standar Kompetensi Memahami dan menggunakan aturan dan sifat serta manipulasi Aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma. Kompetensi Dasar Menggunakan sifat, aturan dan manipulasi Aljabar dalam pemecahan masalah akar, pangkat dan logaritma

Definisi Bilangan berpangkat bulat positif Misalkan n bilangan bulat positif dan a bilangan Real, bilangan na mempunyai arti a x a x a x … x a ( sebanyak n factor yang sama ). Bilangan a disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.

4. m

mm

ba

ba

=÷øö

çèæ

Bukti :

5. ( ) mmm xbabxa = Bukti :

Contoh 2 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat

1. ...6

832

65

=- yx

yx jawab : 333625

34

34

yxyx -=- --

2. ( )

...4

23

22

=yxyx

jawab : xyyxyxyx

== -- 12343

24

44

3. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ...

64

442222

22323

=+-

yxxy

yxyx jawab : ( ) ( )28

111

22282

616416

422

422

2222

2236

-=-

=

+-

yxyx

yxyx

yxyxyxyx

I.3. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat negatif dan nol 1. Jika 1 maka ,0 0 =¹ aa Bukti :

2. Jika n

n

aaaBn

1 maka 0dan =¹Î -

Bukti :

Contoh 3 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat bulat positif

1. 161

21

24

4 ==-

2. ( )( ) 44

4

811

3

13

xxx =

-=- -

LATIHAN 1

1. Sederhanakan 3

2

32

4

2

. ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ -

- xy

yx

6. Sederhanakan

2

12

4

11

5

12

3

23

-

-

-

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

z

yx

2. Sederhanakan 2

44

332

32

43

.-

-

-

-

-

÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æsq

rpsrqp

7. =ïþ

ïý

ü

ïî

ïí

ì

÷÷ø

öççè

æ

úúú

û

ù

êêê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ

-

--

3

4

1

4

1

10

4

1

3

2

5

2

: yxyx

3. Sederhanakan 21

12

--

--

++

baba

8. Tentukan nilai dari 4

4

33

2

cabT = , untuk

a = 100 , b = 81

dan c = 0,01

4. Sederhanakan 21

11

--

--

--

abbaab

9. Sederhanakan

( )( ) ( ) ( )[ ]=-+-ú

û

ùêë

é--

---

-222

233.3

3

1

5. Buktikan 3

3

33

33

1

1

÷÷ø

öççè

æ-

÷÷ø

öççè

æ+

=-+

--

--

yx

yx

yxyx

10. Sederhanakan ( )[ ] ( )[ ] =--

6 205 32 8.8

TUGAS 1

1. Sederhanakan 55

32

1218

yxyx

-

-

--

6. Tulis dalam satu suku

321

161

81

41

21

++++

2. Sederhanakan ( ) 222 --- + yx

7. Tulis dalam bentuk n

m

22

7654

32

632

252

432

8 ÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ-÷

øö

çèæ

3. Sederhanakan

12

3

43

7

2

.

-

-

-

úúû

ù

êêë

é÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æba

ba

8. Sederhanakan =--

--

--

22

44

baba

4. Sederhanakan

( )( )( )( ) =ú

û

ùêë

é

----

-- 2

524

232

2 42 4

yxyxxyyx

9. Sederhanakan =+-

--

--

11

11

xyyxxy

5. Sederhanakan ( ) ( )( ) ( )

=-

--

3522

2342

22

22

10. Sederhanakan =úúú

û

ù

êêê

ë

é

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ3

2

13.

1.

1ab

ba

II. Bentuk Akar Pangkat Rasional

Jika m , n bilangan bulat dan ala ReÎ , maka

( )mnn mn

m

aaa ==

Bukti

Contoh 4 : Tuliskan dalam bentuk akar yang sederhana

1. 5 25

2

aa =

2. 3 23

27

21

2

aaa ==÷÷ø

öççè

æ

3. 3

3

33

1

3 431

27

4274

274

==÷øö

çèæ=

Bilangan Irasional dan Bentuk Akar

Beberapa contoh bilangan irasional dalam bentuk akar : 3 2,7,3,2,0 Beberapa contoh bilangan yang ditulis dengan tanda akar, akan tetapi bukan merupakn bentuk akar : 33 001,0,8,16,9 (i) Penjumlahan , pengurangan dan perkalian bentuk akar

1. ( ) 0dengan ³+=+ aanmanam

2. ( ) 0dengan ³-=- aanmanam

3. 0dan 0dengan ³³= baabbxa Contoh 5 : 1. ( ) aaaaa 4752752 =+-=+-

2. ( ) 42342232232 -=-=-

3. ( )( ) 636626422461648232 -=--+=--+=+- (ii) Merasionalkan pecahan

Bentuk : b

a

Cara merasional:

b

bx

b

a

Bentuk : ba +

1

Cara merasional:

ba

bax

ba --

+1

Bentuk : ba +

1

Cara merasional:

ba

bax

ba --

+1

Contoh 6 :

1. 335

3

3

3

5

3

5== x

2. 21

2010

20100

20

20

20

5

20

5==== x

3. ( ) ( ) 232312

31314

31

31

31

4

31

4-=--=

--

=--

+=

+x

4. ( ) ( )

572

57257

572

57

57

57

2

57

2-=

-=

--

=--

+=

+x

(iii) Menyederhanakan bentuk akar

Sifat – sifat

a. ( ) abbaba 2++=+ Bukti :

b. ( ) abbaba 2-+=- untuk a > b > 0 , karena harus merupakan bilangan-bilangan positif

Bukti :

Contoh 7 :

1. ( ) 25252251027 +=++=+ x

2. ( ) 35352351528 -=-+=- x LATIHAN 2 1. Sederhanakan

=+- 1127252

6. Dengan merasionalkan penyebut,

sederhanakan : =- 35

4

2. Sederhanakan =-- 125580

7. Sederhanakan : 2

6363 ÷øöç

èæ -++

3. Tentukan bentuk sederhana dari

=+ 246

8. Sederhanakan :

( ) ( ) =÷øöç

èæ +--÷

øöç

èæ -+ 32323232

4. Jika 52 -=x dan 52 +=y

maka nilai =- 22 yx

9.Sederhanakan : =++

+

322

32

5. Sederhanakan dengan merasionalkan penyebutnya :

=+ 53

8

10. Sederhanakan : =-151

2158

TUGAS 2 1. Sederhanakan

=-- 4875451502

6. Sederhanakan dengan merasionalkan

penyebutnya ; =--

23

63

2. Sederhanakan : ( )( )=-- 35232

7. Sederhanakan dengan merasionalkan

penyebutnya ; =-+ 325

3

3. Sederhankan : =-61

265

8. Sederhanakan :

( )( )=-+-- 1 1 22 tttt

4. Sederhanakan : =- 7823

9. Sederhanakan : =-4 11827

5. Diketahui 53+=p dan

53-=q . Tentukan nilai

( ) =+ 2qp

10. Rasionalkan penyebut dari pecahan

berikut ; =+

-+ 32

6

63

23

III. Bentuk Logaritma 3.1 Definisi

bacb ca =«=log a disebut basis atau bilangan pokok ( )0dan 1 >¹ aa b disebut numerus ( b > 0 ) c disebut hasil logaritma

Contoh 8 : 1. 327log3 = karena 2733 =

2. ( ) 62log2log6232 ==

3.2 Sifat-sifat Logaritma

1. ( ) cbbxc aaa logloglog +=

5. naa naaa === log,01log,1log

2. ( ) cbcb aaa loglog:log -=

6. bxnm

b aman

loglog =

3. bnxb ana loglog =

7. ba ba

=log

4. aa

bb

bp

pa

log1

loglog

log ==

8. ddcb acba loglog.log.log =

Contoh 9 :

1. Diketahui 4771,03logdan 3010,02log == maka nilai ( ) 7781,04771,03010,03log2log32log6log =+=+== x

2. Diketahui pp 33log 32log

32

3log 2

2log

3log4log9log

9logmaka 3log 8

2

8

22

28

8

848

3 ======

3. Sederhanakan : 35log x 3log35log x 3log5log x 27log 3533535 === IV. 1. Persamaan pangkat dan bentuk akar sederhana Contoh 10 : 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 3124 =+++ xx

Jawab :

( )

( )

( )) (60atau 0

060

060

36123672

36121236

6126

1261294

1234x

21

2

2

2

memenuhitidakxx

xx

xx

xxx

xxx

xx

xxx

x

===-=-

++=+

++=+

+=+

+-++=+

+-=+

2. Diketahui : ( ) 1682=x , tentukan nilai x yang memenuhi

Jawab :

( )32

4622162 4623 =®=«=«= xxxx

3. Diketahui : ( ) 4 53 84 ++ = xx , tentukan nilai x yang memenuhi Jawab :

( )

59

532484

153622222 4

153624

53

32 -=®+=+«+

=+«=«=+

+÷øö

çèæ +

+ xxxx

xx

xx

x

IV.2. Persamaan Logaritma Sederhana Contoh 11 : 1. Diketahui : ( ) 32loglog 22 =++ xx , tentukan nilai x yang memenuhi

Jawab : ( ) ( )

( )( ) ( )memenuhitidak 4atau 204208282

8log2log2log2log

2122

222322

-==®=+-«=-+«=+«

=+«=+

xxxxxxxx

xxxx

2. Tentukan nilai x jika diketahui 2log9log

2

1

100 x 10-

=x Jawab :

245

49

x 10

10 x 10

100 x 10

100 x 10

2

3log2

2

3log

2log3log

==

=

=

= -

x

x

x

x

LATIHAN 3 1. Tentukan nilai x yang memenuhi

( ) 4loglog4log +=+ xx

6. Tentukan nilai x yang memenuhi

persamaan ( ) 1642

=+xx

2. Diketahui a=3log2 dan b=2log5 .

Nyatakan 90log30 dalam a dan b

7. Tentukan nilai x yang memenuhi

persamaan 11

11

--+-++

xx

xx

3. Tentukan penyelesaian dari persamaan 116 =--+ xx

8. Nilai x yang memenuhi persamaan ÷øö

çèæ +-

=÷øö

çèæ 1

312

2731 x

x

adalah

4. Jika x1 dan x2 adalah penyelesaian

dari persamaan ( ) 4log3loglog 2 ++= xx , hitunglah

x1 + x2

9. Nilai x yang memenuhi persamaan ( ) ( ) 34log2log 22 =++ +xx adalah

5. Tentukan x jika diketahui 4 105 84 ++ = xx

10. Nilai x yang memenuhi persamaan ( ) 1log10logloglog 22222 +-= xx adalah

TUGAS 3 1. Diketahui a=2log7 dan b=3log2 .

Nyatakan 98log6 dalam a dan b

6. Nilai x yang memenuhi persamaan

xxx

x33

28.264

82

=+ adalah

2. Tentukan nilai x yang memenuhi ( ) ( )

( ) 186log

2log32log=

-++-

xxx

7. =++++ naaaa log...logloglog 32

3. =-53

2323

12log

4log36log

8. Nilai x yang memenuhi persamaan ( ) ( ) 0103log23log 2 =+-=+ xxx xx

adalah

4. Penyelesaian dari persamaan

283 3662 ++- = xxx adalah x1 dan x2

dengan x1 > x2. Nilai dari x1 – x2 =

9. Tentukan nilai x yang memenuhi

persamaan 1212

1212

-++--+

xx

xx

5. Nilai x yang memenuhi persamaan ( ) 01 4log.312log =+-+ xx x

adalah

10. Jika a dan b adalah akar-akar

persamaan ( ) ( ) 4943 1log34log 223=+ -+ xx ,

maka a + b =

LATIHAN ULANGAN HARIAN

1. Jika a=2log7 dan b=3log2 , maka

=98log6

A. ba

a+

D. ( )12++

baa

B. ab

a++ 2

E. ( )12++

abb

C. 21

++

ba

2. Bentuk sederhana dari 13

1

- adalah

…

A. 232 + D. 341

41+-

B. 21

321

+ E. 341

41--

C. 321

21-

3. Bentuk 35

4

- dapat disederhanakan

menjadi… A. 3454 + D. 3252 +

B. 3454 - E. 3252 -

C. 2434 -

4. Nilai x yang memenuhi persamaan ( ) 1log10logloglog 22222 +-= xx

adalah … A. 4 D. 6 B. 16 E. 32 C. 12

5. Nilai 21 xx + yang memenuhi

persamaan ( ) 4log3loglog 2 ++= xx adalah … A. 4 D. -3 B. 3 E. - 12 C. -4

6. Nilai x yang memenuhi pertaksamaan 2

33

934

xx

=- adalah …

A. 1 atau 5 D. 5 B. –5 atau 1 E. – 1 C. – 5 atau –1

7. Jika 21 xdanx adalah akar-akar

persamaan 093.22 19log.2 =++ +xx maka nilai dari 21 xx + = … A. log 3 B. log 2 C. 2 D. 3 E. 4

8. Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma

( ) ( ) 1log11

6loglog

32log22

2

=+

++--

xx

xx x

adalah … A. { }6 D. {3} B. { }6 E. { 1 , 6 } C. {1}

9. Bentuk paling sederhana dari

625

1

- adalah …

A. 23 - D. 32 +

B. 23 + E. 5

C. 23+ 10. Jika xx dan 1 adalah penyelsesaian dari

persamaan 332

327 4 +-

=+ xxx , maka

21 xx + =… A. –6 D. 6 B. –5 E.8 C. 6