TUGAS 3

STRUKTUR ALJABAR

Oleh : Kelompok 2

Anggota :

1. Ikhsan Magribi NIM. 09075042. Novaliyosi NIM. 09075643. Tintin Kartini NIM. 09076044. Lia Yuliawaty NIM. 0907560

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKASEKOLAH PASCA SARJANA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA2009

Soal halaman 47

4. a). Misalkan H adalah subgroup dari G dan .

. Tunjukkan bahwa adalah subgroup dari G.

Jawab:Adt

Perhatikan

, maka

Maka adalah subgrup dari G.

b). Jika H berhingga, apa itu ?

Jawab:

Untuk membuktikan:

Adt dengan untuk semua

. Jika maka

Misalkan terdefinisi dengan baik, sehingga .

, maka , maka .

Dari hal tersebut maka menunjukkan bahwa adalah satu-satu.

Untuk menunjukkan onto ,

. Untuk beberapa , sebutlah .

Maka onto .

adalah

6. Tuliskan semua koset kanan H pada G dimana:a). adalah grup siklik dengan order 10 dan adalah subgroup G

dengan generator .Jawab:

dan

Misalkan adalah sebarang unsur dari G. Koset kanan diberikan oleh

b). G adalah bagian dari , adalah subgroup G dengan generator .

Jawab:

dan

Misalkan adalah sebarang unsur dari G. Koset kanan diberikan oleh

c). dan

Jawab:

Maka koset kanannya adalah

7. Tuliskan semua koset kiri dari H pada G untuk H dan G sebagai bagian dari

pada soal nomor 6.

Jawab:

a).

b).

c).

8. Apakah setiap koset kanan H pada G merupakan koset kiri H pada G pada grup nomor 6?Jawab:Benar, setiap koset kanan H pada G merupakan koset kiri H pada G.

9. Misalkan H adalah subgrup G sedemikian sehingga jika maka .

Buktikan bahwa untuk semua .

Jawab:Asumsi bahwa H subgroup normal G, maka

Adt

Ambil

Maka benar

Adt

maka

karena terbukti maka

maka untuk

21. Pemetaan untuk bilangan real. Pemetaan bilangan real pada bilangan real

dengan syarat . Didefinisikan . Buktikan bahwa G

adalah grup pada komposisi pemetaan. Temukan rumus untuk .

Jawab:Adt G adalah grup

Ambil

1) memenuhi sifat tertutup, sbb.

2) memenuhi sifat asosiatif, sbb.

3) mempunyai identitas, sbb.Misalkan

Ambil

4) mempunyai invers, sbb.

Rumus untuk

Misalkan , maka:

Tugas tambahan

Carilah subgrup dari dimana setiap koset kirinya sama dengan koset kanannya.

Jawab:

Misal: H subgroup dimana

Dicari dan

Perhatikan

Maka, Koset kanannya adalah

Perhatikan

Koset kirinya adalah

Tugas tambahanCarilah subgrup dari dimana setiap koset kirinya sama dengan koset kanannya.

Jawab:

Misal: H subgroup dimana

Dicari dan

Perhatikan

Maka, Koset kanannya adalah

Perhatikan

Koset kirinya adalah

Soal halaman 53

2. Jika grup dan indeks 2, tunjukkan

Jawab

;grup siklis berorde 2

Karena maka hanya terdapat 2 koset dari dalam , yaitu sendiri dan lainnya adalah dimana

Akan ditunjukan subgrup normal di , maka untuk sebarang , oleh karena itu,

Maka untuk suatu dan ternyata:

Jadi adalah subgrup normal

Misalkan dan serta

maka sehingga

diketahui bahwa

karena normal maka , sehingga jadi karena dan maka

Jadi adalah subgrup normal

3. Diketahui dan sebarang buktikan

Jawab

5. dan , tunjukkan

Jawab

8. Berilah sebuah contoh grup , subgrup dan tetapi

Jawabdiketahui

salah satu contoh ambil sehingga

jadi

10. Jika sebuah subgrup , , Buktikana) Subgrup

Jawab

i. ambil

ii. Akan ditunjukkan tertutup di Ambil dan

Belum selesai

iii. Memiliki invers

Ambil tunjukkan

Perhatikan bahwa ada di

Sekarang perhatikan bahwa

b) adalah normal dalam Definisi :

Misalkan

c) Jika subgrup nomal dari subgrup di , (sehingga adalah sugrup terbesar di dimana normal)Jawab :

d) Normal di jika dan hanya jikaJawab :

maka akan ditunjukan

21. Misal himpunan semua bilangan real dengan matrik 2x2, dimana

dengan perkalian matriks, , buktikan :

a)Jawab :Untuk menunjukkan maka harus ditunjukkan jika dan

Ambil akan ditunjukkan

Karena maka sehingga Terbukti bahwa

b) abelian

Ambil

Karena maka abelian.

Soal Halaman 55

Contoh 270 :

Misalkan G1 , G2 adalah grup .

G1 G2 adalah pemetaan dengan aturan ( ) =

Untuk setiap G, Tunjukkan G1 G2 homomorfisma

Jawab :

Adt G1 G2 pemetaan

Ambil 1 dan 2 G maka ( 1) = dan ( 2) = = ( 1)

Maka G1 G2 pemetaan

Adt ( ) = ( ) . ( )

Ambil , G berdasarkan definisi ( ) = = = ( ) . ( )

Jadi ( )= ( ) . ( )

Jadi berdasarkan pembuktian di atas G1 G2 adalah sebuah homomorfisma.

Homomorfisma seperti ini disebut homomorfisme trivial.

Contoh hal 273

Diketahui G grup pada bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan misal G=G

untuk setiap bilangan bulat didefinisikan buktikan adalah

sebuah Homomorfisme

Jawab :

(i). Akan ditunjukan pemetaan

Ambil X1, X2 dengan X1 = X2 maka akan ditunjukan 2X1 = 2X2 atau

(X1) = (X2)

Ambil X1 maka (X1) = 2 X1

X2 maka (X2) = 2 X2

Karena X1 = X2 , maka 2X1 = 2X2 akibatnya (X1) = (X2)

(ii). Akan ditunjukan (X + Y) = (X) + (Y)

Ambil X dan Y G

(X + Y) = 2 (X + Y)

= 2 X + 2Y

= (X) + (Y)

Jadi (X + Y) = (X) + (Y)

Karena merupakan pemetaan dan (X + Y) = (X) + (Y)

Maka Homomorfisme

Contoh 274 :

Misal G adalah grup pada bilangan real positif G = { -1,1 } dengan 1.1

= 1 , -1.- 1 = 1 , 1. -1 = -1 , -1.1 = -1

Didefinisikan f : G G dengan F ( )= 1 ,jika positif dan F( )= -1

Tunjukan G merupakan hoomorfisma.

Jawab :

(i). Adt f : G G merupakan suatu pemetaan

Ambil 1= 1 dan 2 = 1 G maka F ( 1)= 1 dan F ( 2)= 1

Jadi untuk 1= 2 = 1 maka F ( 1)= F ( 2).

(ii). Adt untuk F ( Y)= F ( ) . F (Y)

Ambil dan

F (1.1) =1 = F (1) . F(1) = 1 . 1 = 1

F (-1.1) = -1 = F (-1) . F(1) = -1 . 1 = -1

F (1.-1) =-1 = F (1) . F(-1) = 1 . -1 = -1

F (-1 . -1) =-1 = F (-1) . F(-1) = -1 . -1 = 1

Jadi berdasarkan (i) dan (ii) maka, F = G1 G2 adalah suatu homomorfisme

Contoh 2.7.6 :

Misal G grup pada operasi perkalian bilangan real positif

Misal G grup untuk bilangan real penjumlahan

didefinisikan

(i) Buktikan adalah homomorfisma dari G ke G

Jawab:

Adt pemetaan

Ambil maka

Karena maka

(ii) Buktikan pada operasi penjumlahan homomorfisma 1-1 dan onto

Jawab :

Adt

Ambil maka berdasarkan definisi

Jadi terbukti bahwa adalah homomorfisma dari G ke G.

Contoh 2.7.7 :

Misal G grup pada matrik 2 x 2 bilangan real dengan ad – bc

Missal G grup bilangan real tidak nol didefinisikan

dengan = ad – bc

Tunjukan Homomorfisme

Jawab :

(i) Akan ditunjukan pemetaan

(ii) Misal X = Y

Akan ditunjukan ( x . y ) = (x) . (y)

( x . y ) = Y = =

a d e h + b c f g – b c e h – a d f g . . . (*)

( x ) = = ad – bc

(y) = = e h – f g

Dari … (*) dan (**) tersebut (xy) = (x) (y)

Jadi berdasarkan (i) dan (ii) merupakan Homomorfisma