Apresentação do PowerPointfge.if.usp.br/~ttome/cursos/dinamicaestocastica/de_aula6.pdf · D k T D B (26) Generalização para 3 dimensões Partícula esférica de raio imersa em

Dinâmica EstocásticaAula 6

2016

Equação de Langevin (continuação)

1) Deslocamento quadrático médio2) Energia & Potência

1Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Equação de movimento da partícula

)(tFvdt

dvm

v

)(tF

velocidade da partícula

(movimento em uma dimensão)

força aleatória ou flutuante

m

v força de atrito (proporcional à velocidade da partícula)

característica do movimento browniano

massa da partícula

Equação de Langevin

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 2

(1)

coeficiente de atrito

mtF

mv

dt

dv ),(

1

0)( tF

)()()( ttm

BtFtF



(2)

(3-a)

(3-b)

)(tvdt

dv

0)( t

)()()( tttt

(4)

(5)

(6)

m

tFt

)()(

m

2m

B

(4-a)

(6-a)


Tânia Tomé - Din Estoc - 20164

(4-b)

Obtivemos na aula passada




6

))2exp(1(2

)()( 22 ttvtv

variância da velocidade

)exp()( 0 tvtv

1t 0)( tv

Limite de tempos longos 1t

(A-4)

0)exp( t

valor médio da velocidade

(A-2)

(A-3)

(A-1)


1t 0)2exp( t2

)()( 22 tvtv


7

2)(2 tv1t

Velocidade quadrática média no limite de tempos longos

(A-5)

Portanto, a partir das equações (22) e (23) temos:



2/2 v

A partir do teorema da equipartição de energia temos:

2/2/2 Tkmv B

Portanto: Tkm B2

1)2/(

2

1

Tm

kB2

Bk Tconstante de Boltzmann temperatura absoluta

(A-8)



(A-6)

E,

(A-7)


)(2 txObtenção de:

Deslocamento quadrático médio



Vamos agora obter uma expressão para o deslocamento quadrático médio


10



'))'(exp(1)'(''))''(exp(1)(1

)(00

2

2 dttttdtttttx

tt

''))''(exp(1)(1

)(0

dtttttx

t

(7)

Obtivemos na última aula que a posição x(t) pode ser expressa como:

Portanto:

(8)


11

Equação de Langevin )(2 txObtenção de:

'))'(exp(1)'(''))''(exp(1)(1

)(00

2

2 dttttdtttttx

tt

'''))''(exp(1))'(exp(1)()'(1

)(0 0

2

2 dtdttttttttx

t t

(9)

(8)




'''))''(exp(1))'(exp(1)()'(1

)(0 0

2

2 dtdttttttttx

t t

(9)

'''))''(exp(1))'(exp(1)()'(1

)(0 0

2

2 dtdttttttttx

t t

(10)




'''))''(exp(1))'(exp(1)()'(1

)(0 0

2

2 dtdttttttttx

t t

(10)

Mas, (6)

'''))''(exp(1))'(exp(1)'''()(0 0

2

2 dtdttttttttx

t t

(11)

)()()( tttt



'''))''(exp(1))'(exp(1)'''()(0 0

2

2 dtdttttttttx

t t

'))'(exp(1))'(exp(1)(0

2

2 dttttttx

t

Integrando em t’’:

'))'(exp(1)(0

2

2

2 dttttx

t

(13)

(11)

(12)

))'(exp(1''))''(exp(1)'''(0

ttdttttt

t



'))'(exp(1)(0

2

2

2 dttttx

t

(13)

'))'(2exp())'(exp(21)(0

2

2 dttttttx

t

(14)


16


'))'(2exp())'(exp(21)(0

2

2 dttttttx

t

'))'(2exp('))'(exp(2')(

0 00

2

2 dtttdtttdttx

t tt

1)2exp(

2

)2exp(1)exp(

)exp(2)(

2

2 tt

tt

ttx

(15)

(16)

(17)




1)2exp(

2

)2exp(1)exp(

)exp(2)(

2

2 tt

tt

ttx

)2exp(1

2

1)exp(1

2)(

2

2 ttttx

(18)

(17)


)2exp(1

2

1)exp(1

2)(

2

2 ttttx

Comportamento para tempos longos

o 1º termo do lado direito da Eq. (19) é proporcional a t. E, portanto,domina sobre o 2º e o 3º termo no limite de tempos longos

(19)

1t

t2

)2exp(12

)exp(12

)(332

2 ttttx

(20)

1º 2º 3º

(20-a)



19


Comportamento para tempos longos 1t

0)exp( t33

2))exp(1(

2

t

2º e 3º termos para

33 2))2exp(1(

2

t 0)2exp( t

pois,.const

.const pois,

1t

1t

2º termo

3º termo

1t

)2exp(12

)exp(12

)(332

2 ttttx

(20)

1º 2º 3º

(20-b)

(20-c)


20


(22)


ttx2

2 )(

0 xpois,

txtx2

22 )(

Variância

(21)

1t

A partir das equações (20), (20-a), (20-b) e (20-c) temos:


21


(22)


txtx2

22 )(

Variância associada à posição

Dtxtx 2)( 22

Seja: 22

D

222

2

22

B

m

BmD

m

(4-a)

2m

B (6-a)

22

B(*)

(*)

(23)

(24)


22

Equação de LangevinComportamento para tempos longos

Variânciaassociada à posição

Dtxtx 2)( 22

22

B

(25)

coeficiente de difusão

Tm

kB2

(A-8)Mas, já obtivemos que

22

D

m

TkD B

2

2

m

TkD B (26)

(23)


23

Equação de LangevinComportamento para tempos longos

Variância associadaà posição

Dtxtx 2)( 22 (25)

Coeficiente de difusão

TkD B

(26)

Generalização para 3 dimensões

Partícula esférica de raio imersa em um líquido viscoso de coeficiente de viscosidade a

Lei de Stokes

Podemos verificar que os resultados (49) e (50) (obtidos aqui para 1 dimensão) valem para 3 dimensões

a 6

a

TkD B

6 Relação de Sutherland - Einstein

(27)


24


a

TkD B

6 Relação de Sutherland – Einstein

(1905)

Ta,, D

então obtemos:

Bk constante de Boltzmann

Jean Perrin (1908) obteve a constante de Boltzmann dessa maneira, quando observou o movimento brownianode partículas imersas em um líquido viscoso.

(27)

Se conhecemos: e


http://www.scielo.br/pdf/rbef/v27n2/a13v27n2.pdf

Sugestão de leitura sobre movimento browniano e relação de Sutherland-Einstein

. Silvio R. A. Salinas, Einstein e a teoria do movimento browniano, Revista Brasileira de Ensino de Física 27, 263 (2005).

. Sutil é o Senhor, A. Pais, Editora Nova Fronteira, 1995

. S. Chandrasekhar em Noise and stochastic processes, N. Wax (editor), Dover, 1954.

. A. Einstein, Investigations on the Brownian movement, editado por R. Fürth, Dover, 1956.

http://www.scielo.br/pdf/rbef/v27n2/a13v27n2.pdf


2) Energia & Potência


27


Energia & Potência

Choque com as moléculas do fluído transferência de energia cinética para a partícula

A partícula dissipa energia devido ao atrito com o fluído


28


)(tFvdt

dvm

m v

v

)(tF

massa da partícula velocidade da partícula

força de atrito viscoso coeficiente de atrito

força aleatória


(1)

29


Energia & Potência

)(tFvdt

dvm

vtFvdt

dvmv )(2

Multiplicando ambos os membros da equação de Langevin (1) por v:

dt

dv

dt

dvv

2

2

1

Mas,

2

2mv

dt

d

dt

dvmv


(1)

(28)

(29)

30


Energia & Potência

Portanto,

vFvmv

dt

d

22

2

vFvFmv

dt

datrito

2

2

Substituindo a expressão (29) na expressão (28) obtemos:

(31)

vFatrito


(30)

31


Energia & Potência

Portanto,

vFvFmv

dt

datrito

2

2

vFvFmv

dt

datrito

2

2

(32)

(33)


32


Energia & Potência

vFvFmv

dt

datrito

2

2

cinEdt

d

dissP

P potência transferida

(33)

2

2mv

dt

d

atritovF

Fv

potência dissipada

taxa de variação da energia cinética média



33

Limite de tempos longos


2)(2 tv1t (A-5)

02

)(2

tvm

dt

d

1t

(34)1t

Portanto,

2

2 v

2/2/2 Tkmv B


Tm

kB2

Bk Tconstante de Boltzmann temperatura absoluta


34

Portanto:T

m

kv B

2

2

já vimos


Além disso, (A-7)

(A-8)

35


Energia & Potência

dissPatritovF 2v

atritovF mTkB /


Tm

kv B

2

2

atritovF 2vm

TkB

Potência dissipada


(35)

(A-5)

36


Energia & Potência

m

TkFP B

atritodiss

02

2

mv

dt

d

Limite de tempos longos Estado estacionário

vFFmv

dt

datrito

2

2

(33)

vFmTkB /(34)

(35)


(36)

37


Energia & Potência

Limite de tempos longos estado estacionário

mTkvFP B / potência transferidaP=<vF>para a partícula

(36)

mTkFP Batritodiss /

Portanto, no estado estacionário a potência transferida é dissipada

(37)Pois,


FIM


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