Guía de Matemáticas · 2015-11-05 · Guía de Matemáticas 1 Matemáticas del PAI Cómo utilizar esta guía Esta guía se publica para comenzar a utilizarse en septiembre de 2011

Guía de MatemáticasPara uso a partir de septiembre de 2011 o enero de 2012

Programa de los Años Intermedios

Guía de MatemáticasPara uso a partir de septiembre de 2011 o enero de 2012

Programa de los Años Intermedios

MYP280

International Baccalaureate, Baccalauréat International y Bachillerato Internacional son marcas registradas de la Organización del Bachillerato Internacional.

Impreso en el Reino Unido por Anthony Rowe Ltd (Chippenham, Wiltshire)

Publicada en enero de 2011

Bachillerato InternacionalPeterson House, Malthouse Avenue, Cardiff Gate

Cardiff, Wales GB CF23 8GLReino Unido

Tel.: +44 29 2054 7777Fax: +44 29 2054 7778

Sitio web: http://www.ibo.org

© Organización del Bachillerato Internacional, 2011

El Bachillerato Internacional (IB) ofrece tres programas educativos exigentes y de calidad a una comunidad de colegios de todo el mundo, con el propósito de crear un mundo mejor y más pacífico.

El IB agradece la autorización para reproducir en esta publicación material protegido por derechos de autor. Cuando procede, se han citado las fuentes originales y, de serle notificado, el IB enmendará cualquier error u omisión con la mayor brevedad posible.

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Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede reproducirse, almacenarse o distribuirse de forma total o parcial, en manera alguna ni por ningún medio, sin la previa autorización por escrito del IB, sin perjuicio de lo estipulado expresamente por la ley o por la política y normativa de uso de la propiedad intelectual del IB. Véase la página http://www.ibo.org/es/copyright del sitio web del IB para más información.

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Programa de los Años IntermediosGuía de Matemáticas

Versión en español del documento publicado en enero de 2011 con el título Mathematics guide

Declaración de principios del IBEl Bachillerato Internacional (IB) tiene como meta formar jóvenes solidarios, informados y ávidos de conocimiento, capaces de contribuir a crear un mundo mejor y más pacífico, en el marco del entendimiento mutuo y el respeto intercultural.

En pos de este objetivo, la organización colabora con establecimientos escolares, gobiernos y organizaciones internacionales para crear y desarrollar programas de educación internacional exigentes y métodos de evaluación rigurosos.

Estos programas alientan a estudiantes del mundo entero a adoptar una actitud activa de aprendizaje durante toda su vida, a ser compasivos y a entender que otras personas, con sus diferencias, también pueden estar en lo cierto.

Perfil de la comunidad de aprendizaje del IBEl objetivo fundamental de los programas del IB es formar personas con mentalidad internacional que, conscientes de la condición que los une como seres humanos y de la responsabilidad que comparten de velar por el planeta, contribuyan a crear un mundo mejor y más pacífico.

Los miembros de la comunidad de aprendizaje del IB se esfuerzan por ser:

Indagadores Desarrollan su curiosidad natural. Adquieren las habilidades necesarias para indagar y realizar investigaciones, y demuestran autonomía en su aprendizaje. Disfrutan aprendiendo y mantendrán estas ansias de aprender durante el resto de su vida.

Informados e instruidos

Exploran conceptos, ideas y cuestiones de importancia local y mundial y, al hacerlo, adquieren conocimientos y profundizan su comprensión de una amplia y equilibrada gama de disciplinas.

Pensadores Aplican, por propia iniciativa, sus habilidades intelectuales de manera crítica y creativa para reconocer y abordar problemas complejos, y para tomar decisiones razonadas y éticas.

Buenos comunicadores

Comprenden y expresan ideas e información con confianza y creatividad en diversas lenguas, lenguajes y formas de comunicación. Están bien dispuestos a colaborar con otros y lo hacen de forma eficaz.

Íntegros Actúan con integridad y honradez, poseen un profundo sentido de la equidad, la justicia y el respeto por la dignidad de las personas, los grupos y las comunidades. Asumen la responsabilidad de sus propios actos y las consecuencias derivadas de ellos.

De mentalidad abierta

Entienden y aprecian su propia cultura e historia personal, y están abiertos a las perspectivas, valores y tradiciones de otras personas y comunidades. Están habituados a buscar y considerar distintos puntos de vista y dispuestos a aprender de la experiencia.

Solidarios Muestran empatía, sensibilidad y respeto por las necesidades y sentimientos de los demás. Se comprometen personalmente a ayudar a los demás y actúan con el propósito de influir positivamente en la vida de las personas y el medio ambiente.

Audaces Abordan situaciones desconocidas e inciertas con sensatez y determinación y su espíritu independiente les permite explorar nuevos roles, ideas y estrategias. Defienden aquello en lo que creen con elocuencia y valor.

Equilibrados Entienden la importancia del equilibrio físico, mental y emocional para lograr el bienestar personal propio y el de los demás.

Reflexivos Evalúan detenidamente su propio aprendizaje y experiencias. Son capaces de reconocer y comprender sus cualidades y limitaciones para, de este modo, contribuir a su aprendizaje y desarrollo personal.

© Organización del Bachillerato Internacional, 2007

Guía de Matemáticas

Índice

Matemáticas del PAI 1

Cómo utilizar esta guía 1

Introducción a Matemáticas del PAI 2

Objetivos generales y específicos 4

Requisitos 7

Desarrollo del currículo 11

Marco general de Matemáticas 23

Evaluación 30

La evaluación en el PAI 30

Criterios de evaluación de Matemáticas 32

Cómo determinar la calificación final 38

Matemáticas: moderación 40

Matemáticas: seguimiento de la evaluación 45

Apéndices 47

Preguntas frecuentes 47

Glosario de Matemáticas del PAI 54

Ejemplos de objetivos intermedios 55

Guía de Matemáticas 1

Matemáticas del PAI

Cómo utilizar esta guía

Esta guía se publica para comenzar a utilizarse en septiembre de 2011 o enero de 2012, dependiendo del comienzo del año académico en cada colegio, y se aplicará por primera vez para la evaluación final en junio de 2012 en los colegios del hemisferio norte y diciembre de 2012 en los colegios del hemisferio sur.

Este documento proporciona el marco para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en el Programa de los Años Intermedios (PAI) y debe leerse y utilizarse junto con el documento El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008).

Guía de Matemáticas2


Introducción a Matemáticas del PAI

Las matemáticas no conocen ni razas ni barreras geográficas; para las matemáticas todas las culturas del globo forman un país único.

David Hilbert (1862-1943)

Las matemáticas cumplen una función fundamental tanto dentro del colegio como en la sociedad en general. Fomentan un lenguaje universal que ofrece enormes posibilidades, y estimulan las habilidades de razonamiento analítico y resolución de problemas que contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico, abstracto y analítico. Además, comprender y ser capaz de utilizar las matemáticas con confianza no solo es una ventaja para la educación dentro del colegio sino también para la resolución de problemas y la toma de decisiones en la vida diaria. Por lo tanto, debe ser una asignatura al alcance de todos los alumnos y que todos los alumnos deben estudiar.

Las matemáticas constituyen la base para el estudio de las ciencias, la ingeniería y la tecnología, y son cada vez más importantes en otras áreas del conocimiento tales como la economía y otras ciencias sociales. El curso de Matemáticas del PAI tiene como objetivo proporcionar a los alumnos los conocimientos, la comprensión y las habilidades intelectuales necesarias para realizar cursos posteriores en esta disciplina, así como preparar a aquellos alumnos que utilizarán las matemáticas en su trabajo y en la vida en general.

En Matemáticas del PAI, los cuatro objetivos principales buscan plasmar las características del perfil de la comunidad de aprendizaje del IB, ya que fomentan el desarrollo de alumnos que sean informados e instruidos, indagadores, buenos comunicadores y reflexivos.

El conocimiento y la comprensión promueven el aprendizaje de las matemáticas, permitiendo a los alumnos interpretar resultados, formular conjeturas y emplear el razonamiento matemático para resolver problemas en el colegio y en situaciones de la vida real.

La investigación de patrones sirve de apoyo al aprendizaje basado en la indagación. Mediante las investigaciones, los profesores ofrecen a los alumnos la posibilidad de descubrir por sí mismos, reconocer patrones y estructuras y describirlos como relaciones o reglas generales, y explicar su razonamiento empleando justificaciones y demostraciones matemáticas.

La comunicación en matemáticas estimula a los alumnos a utilizar el lenguaje matemático y las diversas formas de representarlo para comunicar los hallazgos y los razonamientos de manera eficaz, tanto oralmente como por escrito.

La reflexión en matemáticas les ofrece la oportunidad de reflexionar sobre los hallazgos y los procesos utilizados, además de evaluar su importancia en contextos de la vida diaria. La reflexión permite a los alumnos conocer sus puntos fuertes y los desafíos que enfrentan en el proceso de aprendizaje.

En general, se espera que a través del curso de Matemáticas del PAI todos los alumnos logren apreciar la belleza y utilidad de las matemáticas como importante legado cultural e intelectual de la humanidad, y como instrumento valioso para los cambios sociales y económicos.

Esta guía ofrece a los profesores y alumnos del PAI:

• Los requisitos del curso

• Estrategias para incorporar las áreas de interacción a las matemáticas

• Los objetivos generales y específicos del curso de Matemáticas del PAI

Introducción a Matemáticas del PAI


• El marco curricular prescrito

• Información pormenorizada sobre los requisitos de la evaluación final, incluida la moderación y el seguimiento de la evaluación

El IB publica un material de ayuda al profesor que complementa esta guía y facilita la implementación del curso en los colegios.

El continuo de matemáticas del IBMatemáticas del PAI se basa en las experiencias de aprendizaje de matemáticas que los alumnos han adquirido durante el Programa de la Escuela Primaria del IB (PEP). Las experiencias de enseñanza y aprendizaje del PEP animan a los alumnos a que sean curiosos, hagan preguntas, exploren e interactúen con el entorno de forma física, social e intelectual para que construyan significado y perfeccionen su comprensión. El uso de la indagación estructurada los prepara para el enfoque basado en la indagación y la resolución de problemas de Matemáticas del PAI. Los alumnos que continúen su formación en el Programa del Diploma del IB no solo habrán desarrollado un enfoque de indagación y reflexión en el aprendizaje de las matemáticas sino también habilidades de pensamiento crítico y resolución de problemas que podrán aplicar y ampliar en posteriores cursos de matemáticas del Programa del Diploma. En concreto, el marco general de Matemáticas del PAI refleja los conceptos y habilidades que se consideran conocimientos previos necesarios para los cursos de Matemáticas Nivel Medio (NM) y Matemáticas Nivel Superior (NS) del Programa del Diploma. Los dos niveles de Matemáticas del PAI (general y avanzado) se han perfeccionado para facilitar la transición entre Matemáticas del PAI y los cursos de Matemáticas del Programa del Diploma.

Al planificar la transición de los cursos de Matemáticas del PAI a los del Programa del Diploma, los profesores y los departamentos de esta disciplina deben remitirse al documento El continuo de Matemáticas del IB: del PAI al Programa del Diploma.



Objetivos generales y específicos

Objetivos generalesLos objetivos generales de todas las asignaturas del PAI formulan a grandes rasgos lo que se espera que el profesor enseñe o lleve a cabo durante el curso y lo que el alumno podrá experimentar o aprender en las clases. Además, sugieren las formas en que la experiencia de aprendizaje puede transformar al alumno.

Los objetivos generales de la enseñanza y del estudio de Matemáticas del PAI son fomentar y favorecer que los alumnos:

• Disfruten de las matemáticas y desarrollen la curiosidad y una apreciación de la elegancia y las posibilidades que ofrecen

• Desarrollen una comprensión de los principios y la naturaleza de las matemáticas

• Comuniquen con claridad y confianza en diversos contextos

• Desarrollen el pensamiento lógico, crítico y creativo, y ejerciten la paciencia y la perseverancia en la resolución de problemas

• Desarrollen sus capacidades de generalización y abstracción

• Apliquen destrezas a una buena variedad de situaciones de la vida real, a otras áreas del conocimiento y a avances futuros

• Aprecien cómo los avances tecnológicos han influido en los avances en matemáticas, y viceversa

• Aprecien las implicaciones morales, sociales y éticas del trabajo de los matemáticos y las aplicaciones de las matemáticas

• Aprecien la dimensión internacional de las matemáticas, reconociendo su universalidad y sus perspectivas multiculturales e históricas

• Valoren la contribución de las matemáticas a otras áreas del conocimiento

• Desarrollen el conocimiento, las habilidades y las actitudes necesarias para continuar estudiando matemáticas

• Desarrollen la capacidad de reflexionar de manera crítica sobre su propio trabajo y el de los demás

Objetivos específicosLos objetivos específicos de todas las asignaturas del PAI formulan los fines concretos que se persiguen con el aprendizaje de la asignatura. Establecen lo que el alumno será capaz de hacer como resultado de haber estudiado la asignatura.

Estos objetivos específicos están directamente relacionados con los criterios de evaluación que figuran en la sección “Criterios de evaluación de Matemáticas”.



A Conocimiento y comprensiónEl conocimiento y la comprensión son fundamentales en el estudio de las matemáticas y constituyen la base para explorar conceptos y desarrollar habilidades para la resolución de problemas. A través del conocimiento y la comprensión, los alumnos desarrollan el razonamiento matemático para hacer deducciones y resolver problemas.

Al final del curso, el alumno debe ser capaz de:

• Conocer y demostrar comprensión de los conceptos de las cinco ramas de las matemáticas (números y operaciones, álgebra, geometría y trigonometría, estadística y probabilidad, y matemática discreta)

• Hacer uso adecuado de las habilidades y los conceptos matemáticos al resolver problemas en situaciones conocidas y desconocidas, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real

• Seleccionar y aplicar correctamente reglas generales para hacer deducciones y resolver problemas, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real

B Investigación de patronesLa investigación de patrones permite a los alumnos experimentar el placer y la satisfacción del descubrimiento matemático. El trabajo mediante la investigación los anima a ser audaces, indagadores y pensadores críticos.

La capacidad de indagar es de gran valor en el PAI y contribuye a formar personas que continúan aprendiendo durante toda la vida.

Mediante el uso de investigaciones matemáticas, los alumnos tienen la oportunidad de aplicar conocimientos matemáticos y técnicas de resolución de problemas, generar y analizar información, encontrar relaciones y patrones, y describirlos en términos matemáticos como reglas generales proporcionando justificaciones o pruebas.


• Seleccionar y aplicar las técnicas matemáticas de resolución de problemas y de investigación adecuadas

• Reconocer patrones

• Describir patrones como relaciones o reglas generales

• Extraer conclusiones coherentes con los hallazgos

• Justificar o demostrar reglas generales y relaciones matemáticas

C Comunicación en matemáticasLas matemáticas constituyen un lenguaje universal que ofrece enormes posibilidades. Se espera que los alumnos utilicen el lenguaje matemático adecuadamente al comunicar las ideas, los razonamientos y los hallazgos, tanto de forma oral como escrita.

Al final del curso el alumno deberá ser capaz de comunicar las ideas, los razonamientos y los hallazgos demostrando que:

• Utiliza el lenguaje matemático adecuado en explicaciones tanto orales como escritas

• Utiliza diferentes formas de representación matemática

• Comunica una línea de razonamiento matemático completa y coherente utilizando diferentes formas de representación en la investigación de problemas



Se anima a los alumnos a elegir y utilizar las tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC) apropiadas, cuando dispongan de ellas, para mejorar la comunicación de sus ideas matemáticas. Algunos recursos relacionados con las TIC que se pueden emplear en matemáticas incluyen hojas de cálculo, programas informáticos de trazado de gráficos, programas de geometría dinámica, programas de cálculo simbólico, programas de contenido matemático específico, calculadoras de pantalla gráfica, procesadores de textos, programas de autoedición, organizadores gráficos y capturas de pantalla.

D Reflexión en matemáticasLa asignatura de Matemáticas del PAI favorece que los alumnos reflexionen sobre sus hallazgos y los procesos de resolución de problemas que utilizan.

Se anima a los alumnos a examinar diferentes estrategias para la resolución de problemas y a comunicar sus ideas a profesores y compañeros. La reflexión crítica en matemáticas los ayuda a identificar sus puntos fuertes y débiles y apreciar el valor de los errores como eficaces elementos motivadores del aprendizaje y la comprensión.


• Explicar si sus resultados tienen sentido en el contexto del problema

• Explicar la importancia de sus hallazgos en relación con la vida real, cuando corresponda

• Justificar el grado de precisión de sus resultados, cuando corresponda

• Sugerir mejoras para el método cuando sea necesario



Requisitos

Matemáticas es un componente obligatorio en todos los años del PAI.

Organización del curso de Matemáticas en el colegioEs responsabilidad de los colegios desarrollar su propio currículo para Matemáticas del PAI de modo que los objetivos generales y específicos finales establecidos por el IB puedan alcanzarse satisfactoriamente al final del programa. El PAI permite a los colegios gran flexibilidad en la forma de estructurar y organizar sus cursos, para que también cumplan con los requisitos de los sistemas educativos locales y nacionales.

Horas lectivasEs esencial que los profesores dispongan del número de horas lectivas necesarias para cumplir los requisitos del curso de Matemáticas del PAI. Si bien el mínimo prescrito de horas lectivas para cada grupo de asignaturas en cada año es de 50, el IB reconoce que, en la práctica, serán necesarias más horas, no solo para cumplir los requisitos del programa en los cinco años, sino también para poder enseñar las disciplinas simultáneamente, con continuidad y en cada año del programa, lo cual hace posible el aprendizaje interdisciplinario.

Además, los colegios deben asegurarse de que los alumnos dispongan de tiempo de clase suficiente para poder alcanzar los objetivos finales de Matemáticas.

Marco general de MatemáticasEl curso de Matemáticas del PAI proporciona un marco de conceptos y habilidades organizado en las siguientes ramas de la disciplina:

• Números y operaciones

• Álgebra

• Geometría y trigonometría

• Estadística y probabilidad

• Matemática discreta

Los colegios deben estructurar sus currículos de Matemáticas de modo que las cinco ramas mencionadas se estudien a lo largo de los cinco años (o la duración completa) del programa.

Se espera que utilicen este marco general como herramienta para elaborar un mapa curricular que les permita realizar la planificación vertical y la articulación horizontal de los cursos y desarrollar unidades de trabajo para Matemáticas. No se prescribe ningún orden o secuencia en particular para el estudio de las distintas ramas incluidas en el marco general, así como tampoco ningún modo específico de utilizar los conceptos y las habilidades a la hora de estructurar las unidades de trabajo. Los colegios pueden desarrollar los cursos y estructurar las unidades de trabajo de manera que se ajusten a sus preferencias y a las necesidades de sus alumnos.

Requisitos


No obstante, a lo largo de los cinco años de duración del programa los colegios deben asegurarse de ofrecer a sus alumnos oportunidades de aprendizaje en todas las ramas del marco general y garantizar que no se vea afectado el cumplimiento de los objetivos generales y específicos de Matemáticas del PAI.

Niveles de MatemáticasMatemáticas del PAI debe ser una disciplina al alcance de todos los alumnos y que todos los alumnos deben estudiar. Los colegios deben asegurarse de que el currículo permita a todos los alumnos desarrollar su potencial al máximo y alcanzar los objetivos generales y específicos finales de la asignatura. Para ello, los conceptos y habilidades del marco general están organizados de manera que los alumnos puedan trabajar en dos niveles de aptitud: Matemáticas (nivel general) y Matemáticas (nivel avanzado).

Matemáticas (nivel general) ofrece a todos los alumnos un conocimiento sólido de los conceptos matemáticos básicos y, además, les permite desarrollar las habilidades necesarias para cumplir con los objetivos específicos de la asignatura.

Matemáticas (nivel avanzado) incluye el marco del nivel general complementado por conceptos y habilidades adicionales. Este nivel proporciona las bases para los alumnos que deseen realizar estudios avanzados de matemáticas, por ejemplo, Matemáticas Nivel Superior (NS) en el Programa del Diploma.

Ambos niveles permiten solicitar calificaciones finales validadas por el IB y la certificación al término del programa. Los colegios pueden ofrecer un solo nivel o ambos; en este último caso, se ubicará a los alumnos en el nivel que corresponda.

Los criterios de evaluación de Matemáticas, que se refieren directamente a los objetivos generales y específicos de la asignatura, se aplican en los dos niveles. Para consultar ejemplos de cómo aplicar los criterios cuando se evalúa el trabajo de los alumnos, véase el material de ayuda al profesor que complementa esta guía.

Enseñanza diferenciada y necesidades educativas especialesSe reconoce que no todos los alumnos aprenden matemáticas al mismo ritmo ni de la misma forma, y que no responden de igual manera a las mismas estrategias de enseñanza. Los alumnos de un mismo año pueden presentar aptitudes muy diferentes para las matemáticas, y pueden contar con distintos conocimientos previos y experiencias en relación con la disciplina. También pueden tener diferentes intereses y preferencias en cuanto a la forma de aprender. Sin embargo, es importante que se ofrezca a todos los alumnos una experiencia de aprendizaje positiva en matemáticas y la oportunidad de desarrollar su potencial al máximo.

Cuando los alumnos de una misma clase presentan diversos niveles de aptitud, los profesores deben diferenciar la enseñanza y adaptar las tareas de evaluación teniendo en cuenta la diversidad de habilidades y aptitudes presentes en la clase. Es responsabilidad de los colegios y los profesores desarrollar estrategias de enseñanza y aprendizaje que ofrezcan a los alumnos la oportunidad de alcanzar los objetivos finales de Matemáticas del PAI.

Existen distintas formas de diferenciar la enseñanza, tales como:

• Examinar el contenido del curso y determinar qué nivel esencial de comprensión se requiere en cada caso

• Centrarse en los resultados y permitir diferentes modos de demostrar la comprensión

• Evaluar cuál es la mejor manera de utilizar el espacio, el tiempo y los recursos de que se dispone para crear condiciones eficaces que permitan mejorar el aprendizaje de todos los alumnos

Para obtener más información y asesoramiento sobre la enseñanza diferenciada y cómo crear un entorno donde los alumnos con necesidades educativas especiales se integren eficazmente, consulte la página de necesidades educativas especiales, los materiales pedagógicos y los foros de debate respectivos en el Centro pedagógico en línea (CPEL) o escriba a [email protected].

Requisitos


Recursos pedagógicosLos recursos usados y las tareas asignadas deberán escogerse y prepararse cuidadosamente para permitir el logro de los objetivos específicos y la aplicación de los criterios de evaluación. Los recursos pedagógicos del colegio también deben reflejar los diferentes niveles de aptitud de los alumnos.

BibliotecaLos colegios deben facilitar a profesores y alumnos una amplia variedad de recursos pedagógicos para reforzar la enseñanza y el aprendizaje en matemáticas. Una biblioteca dotada de un amplio catálogo y actualizada, provista de libros, revistas y recursos multimedia y que refleje la diversidad de aptitudes de los alumnos del colegio puede contribuir a incentivar su curiosidad y a estimular su interés.

Tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC)El uso adecuado de computadores, aplicaciones informáticas y calculadoras pueden contribuir a la comprensión de los temas por parte de todos los alumnos.

Dependiendo de los recursos del colegio, las TIC deben utilizarse cuando resulte apropiado:

• Como medio para ampliar los conocimientos que tienen los alumnos sobre el mundo en que viven

• Como vía para desarrollar conceptos y habilidades

• Como una poderosa herramienta de comunicación

Las TIC ofrecen una amplia variedad de recursos y aplicaciones que los profesores pueden explorar a fin de mejorar la enseñanza y el aprendizaje.

En matemáticas, pueden utilizarse como herramienta para realizar cálculos complejos, resolver problemas, dibujar gráficos e interpretar y analizar datos. También pueden resultar útiles para:

• Investigar datos y conceptos matemáticos

• Obtener respuestas rápidamente en la comprobación de soluciones

• Observar patrones y hacer generalizaciones

• Pasar de la representación analítica a la gráfica y viceversa

• Visualizar transformaciones geométricas

Asimismo, el uso adecuado de las TIC puede contribuir al desarrollo de las habilidades de comunicación de los alumnos, ya que resultan de utilidad en la recopilación, organización y análisis de la información y en la presentación de los hallazgos.

No obstante, para que las TIC constituyan una herramienta útil para el aprendizaje, los alumnos deben estar familiarizados con los recursos y las aplicaciones, y saber cómo y cuándo utilizarlos. Los alumnos deben ser capaces de decidir cuándo resulta apropiado el uso de estas tecnologías y cuándo es mejor utilizar otros métodos, tales como papel y lápiz, cálculo mental o diagramas. Por lo tanto, es importante que los profesores les enseñen cómo emplear estos recursos de modo eficaz apoyando a la vez el desarrollo de sus habilidades intelectuales.

Las TIC pueden servir de apoyo a los alumnos con necesidades educativas especiales que tengan dificultades para entender un concepto en particular o que requieran más práctica. También pueden suponer un desafío adicional a los alumnos talentosos y superdotados, permitiéndoles explorar otras ideas y conceptos. Las tecnologías adaptativas pueden ayudar a los alumnos con dificultades de aprendizaje graves a participar en la clase junto con sus compañeros. Para obtener más información sobre tecnologías adaptativas y necesidades educativas especiales, véase la sección correspondiente a dichas necesidades educativas en el CPEL.

Requisitos


Dependiendo de las instalaciones y recursos de cada colegio, se anima a los profesores a utilizar las TIC siempre que sea posible y adecuado como medio para reforzar el aprendizaje.

Algunos recursos relacionados con las TIC que se pueden emplear en matemáticas son:

• Bases de datos y hojas de cálculo

• Programas informáticos de trazado de gráficos

• Programas de geometría dinámica

• Programas de cálculo simbólico

• Lenguajes de programación

• Programas de contenido matemático específico

• Calculadoras de pantalla gráfica

• Motores de búsqueda en Internet

• CD–ROM

• Procesadores de textos y programas de autoedición

• Organizadores gráficos

Lenguas de instrucciónEn aquellos colegios en que la lengua de instrucción de Matemáticas no es la lengua materna de algunos de los alumnos, deben tomarse las medidas necesarias para que dichos alumnos no se encuentren en desventaja y tengan la oportunidad de demostrar el nivel de logro más alto de los objetivos finales. Estas medidas pueden incluir:

• La capacitación de profesores

• La adaptación del lenguaje de los materiales

• La diferenciación de las tareas de evaluación

• La búsqueda de recursos paralelos en la lengua materna de los alumnos

Para obtener más información, véase el documento El aprendizaje en una lengua distinta a la materna en los programas del IB.

Desarrollo profesionalEl desarrollo profesional debe planificarse cuidadosamente en el colegio con el fin de ayudar a los profesores a cumplir los objetivos generales y específicos de Matemáticas del PAI. Es necesario que los profesores tengan la posibilidad de asistir a talleres realizados en el colegio y conferencias regionales del IB para poder comprender cabalmente la filosofía en que se basa el programa y los requisitos de Matemáticas del PAI en particular.

El Centro pedagógico en línea (CPEL)El CPEL es un recurso valioso para los profesores del PAI. Se invita a los profesores a participar y aportar materiales en este sitio web como forma de desarrollar la comunidad de aprendizaje en línea del IB. El CPEL ofrece foros de debate y materiales didácticos para todos los grupos de asignaturas del PAI, el Proyecto Personal, las necesidades educativas especiales y la probidad académica.

Cuenta también con consejeros pedagógicos designados por el IB que responden a consultas de los profesores y les proporcionan asesoramiento sobre la enseñanza, el aprendizaje, la implementación del programa y la moderación. Los profesores pueden publicar consultas, compartir materiales y descargar todas las publicaciones oficiales del IB. Para obtener el código del colegio y la contraseña de acceso, póngase en contacto con su coordinador del PAI.



Desarrollo del currículo

IntroducciónTodos los grupos de asignaturas del PAI, incluido Matemáticas, tienen un marco curricular con objetivos generales y específicos finales. Los colegios son responsables de desarrollar y estructurar los cursos de forma que permitan a los alumnos alcanzar dichos objetivos al final del programa.

Se espera que los profesores organicen las experiencias de enseñanza y aprendizaje de los alumnos para cada año del programa. Los cursos de Matemáticas del PAI deben estructurarse cuidadosamente de manera secuencial y articulada con el fin de contribuir a que los alumnos desarrollen su comprensión conceptual y habilidades prácticas e intelectuales, así como valores y creencias personales.

El PAI insta a los colegios a facilitar y promover el trabajo en colaboración para planificar y revisar el currículo, así como para reflexionar sobre este.

El personal responsable de la enseñanza y el aprendizaje de Matemáticas deberá determinar los contenidos de la asignatura en cada año para asegurarse de que las cinco ramas del marco general se cubren a lo largo de los cinco años (o la duración completa) del programa. Todos los objetivos específicos se deben desarrollar en el nivel apropiado en cada año del programa. Al planificar el currículo de Matemáticas, los profesores deberán organizar los objetivos específicos de modo que lo que se aprenda del primer al cuarto año permita alcanzar los niveles de logro más altos en el último año del programa, para lo cual debe haber una continuidad y una progresión en todos los objetivos específicos. Los objetivos específicos enunciados en esta guía y los ejemplos de objetivos intermedios de Matemáticas disponibles en el CPEL servirán a los profesores para tomar decisiones sobre la elección de contenidos y experiencias de aprendizaje que se ofrecerán a los alumnos, incluidos los tipos de evaluación adecuados para cada etapa de desarrollo particular de los alumnos.

Al desarrollar el currículo para los distintos años del programa, se recomienda a los profesores que planifiquen tareas o unidades de trabajo cada vez más complejas que cubran los objetivos específicos en todo su alcance. No obstante, en estas tareas o unidades puede haber, a su vez, tareas o unidades de trabajo más pequeñas que se concentren en objetivos específicos.

En el último año del programa, el currículo debe dar a los alumnos la oportunidad de alcanzar los niveles más altos de los criterios de evaluación final (véase “Criterios de evaluación de Matemáticas”).

En el documento El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008) se proporciona información detallada sobre cómo organizar el currículo escrito, su evaluación y su enseñanza, incluido el uso de objetivos intermedios, criterios de evaluación modificados para los años 1 al 4 del programa y la planificación de unidades de trabajo.

El desarrollo del currículo en la asignaturaAdemás de cumplir con las normas educativas nacionales y locales, los profesores deben asegurarse de que el currículo que desarrollen refleje los principios y prácticas del PAI. Para ello, deben utilizarse los conceptos fundamentales y el perfil de la comunidad de aprendizaje del IB como principios rectores.



Estrategias de enseñanza y aprendizajePara ofrecer a los alumnos oportunidades de lograr los objetivos de Matemáticas del PAI, los profesores deben crear en el aula un entorno que favorezca el aprendizaje y utilizar una variedad de estrategias de enseñanza y aprendizaje para estimular a los alumnos.

Para lograr esto, los profesores del PAI deben adoptar las estrategias que se mencionan a continuación.

Utilizar las áreas de interacción como punto de partida para la enseñanza y el aprendizajeLa enseñanza de las matemáticas a través de las áreas de interacción refuerza la experiencia de aprendizaje en la asignatura. El uso de las áreas de interacción incorpora una nueva dimensión a la indagación y permite una exploración más rica y profunda de los conceptos y los temas. Pueden utilizarse como punto de partida para desarrollar unidades de trabajo en Matemáticas, o como puentes para explorar conexiones con otras disciplinas y temas del mundo real.

Permitir a los alumnos comunicar su pensamiento matemáticoLa lectura e interpretación de textos matemáticos, problemas, funciones y ecuaciones no resulta algo natural para la mayor parte de los alumnos. En matemáticas, algunas palabras y símbolos no tienen el mismo significado que en la vida diaria. Además, muchos alumnos no estudian el currículo en su lengua materna. Los alumnos deben familiarizase con el lenguaje matemático para poder comunicar sus ideas y los hallazgos cada vez con mayor seguridad.

Los profesores pueden ayudar a los alumnos a comprender el lenguaje matemático y desarrollar las habilidades de comunicación proporcionándoles tareas que les permitan leer textos matemáticos, expresar su razonamiento y comunicar los hallazgos utilizando el lenguaje matemático (terminología, notación, símbolos) y el formato apropiados.

Asimismo, pueden facilitar la comprensión si reformulan las instrucciones, plantean los problemas de forma oral y explican su propio razonamiento para que los alumnos aprendan y realicen las tareas matemáticas habiendo comprendido los temas.

Concebir investigaciones para explorar ideas y conceptos matemáticosSe espera que los profesores del PAI conciban investigaciones en las que los alumnos puedan elegir sus propias estrategias y métodos para la resolución de problemas. Dichas investigaciones pueden estar relacionadas con situaciones de la vida real o puramente matemáticas. En Matemáticas del PAI se hace hincapié en las investigaciones abiertas donde es posible más de una respuesta.

Utilizar contextos y situaciones de la vida realCuando los alumnos resuelven problemas que se enmarcan dentro de situaciones de la vida real o que se relacionan con sus intereses, establecen conexiones entre lo que han aprendido en la clase y sus aplicaciones en otras asignaturas y en el mundo real. Poder conectar las ideas y los conceptos matemáticos con otras asignaturas y con contextos de la vida real los ayuda a entender que aprender matemáticas es importante y útil. Esto permite que razonen y utilicen las matemáticas para resolver problemas tanto en contextos matemáticos propiamente dichos como en otros contextos.

En general, las prácticas docentes en esta disciplina están cambiando. En la tabla que se incluye a continuación se mencionan algunas prácticas que han cambiado y han resultado eficaces para mejorar la comprensión de las matemáticas por parte de los alumnos. Estos cambios se deben reflejar en el aula del PAI.



¿Cómo están cambiando las prácticas docentes en matemáticas?

Mayor énfasis en: Menor énfasis en:

Conectar los conceptos y las aplicaciones matemáticas

Considerar las matemáticas como hechos y conceptos aislados

Desarrollar la comprensión matemática mediante el desarrollo del razonamiento y las habilidades analíticas, para hacer que los alumnos vean la importancia de las matemáticas

La repetición, memorización y manipulación de símbolos

La solución de problemas de la vida real en los cuales el contexto es significativo para el alumno

La solución de problemas descontextualizados

La enseñanza basada en lo que los alumnos ya saben y en lo que necesitan aprender

La enseñanza centrada en lo que los alumnos no saben

Una variedad de estrategias para obtener varias soluciones posibles

Un solo método, una sola respuesta

Estimular a los alumnos a que realicen especulaciones y sigan sus propias ideas

El profesor como la única autoridad para dar respuestas correctas

Explicar procesos de modo claro y lógico, y reflexionar sobre los resultados obtenidos

Obtener respuestas

El trabajo en equipo entre los profesores y colegas de su asignatura y de otros grupos de asignaturas

El trabajo de forma aislada por parte de los profesores

El uso de diversas fuentes y recursos para el aprendizaje

Un currículo basado en un libro de texto

La investigación, cuestionamiento, debate y justificación o demostración por parte de los alumnos

El uso de hojas de ejercicios

Las actividades prácticas, incluidas tareas conjuntas o en grupos dependiendo de la actividad

Las clases tradicionales basadas en lo que el profesor dice y escribe en la pizarra

La evaluación como parte integral de la enseñanza (evaluación formativa)

Los exámenes finales

Una amplia gama de estrategias de evaluación, que incluye pruebas donde los alumnos deben mostrar su razonamiento

La evaluación basada en preguntas de respuesta corta y opción múltiple

Desarrollo de las unidades de trabajoAl planificar una unidad de trabajo de Matemáticas, los profesores deben asegurarse de que:

• Los aspectos pertinentes de la unidad se presenten desde la perspectiva de al menos una de las áreas de interacción

• Se desarrollen conocimientos, comprensión y habilidades matemáticas

• Se utilice un enfoque de enseñanza interdisciplinario siempre que sea pertinente



• Se utilicen diversas estrategias de enseñanza y enseñanza diferenciada como apoyo para el aprendizaje basado en la indagación y los distintos niveles de aptitud de los alumnos

• Se empleen situaciones de la vida real como contexto para las tareas matemáticas, siempre que resulte adecuado

• Se usen cuestiones locales o globales para fomentar la indagación de la función que desempeñan las matemáticas en la sociedad y en relación con el medio ambiente

• Las tareas permitan a los alumnos pensar en los procesos de resolución de problemas, reflexionar sobre los métodos que emplean y los resultados que obtienen, y explorar las conexiones con la vida diaria

• Se informe a todos los alumnos sobre las herramientas de evaluación tales como tablas de evaluación, con descripciones claras de los resultados, y que estos reflejen los objetivos generales y específicos de Matemáticas del PAI (véase la sección “Objetivos generales y específicos”)

• Los resultados del aprendizaje se correspondan con los objetivos específicos de Matemáticas del PAI (véase la sección “Objetivos generales y específicos”) y se tengan en cuenta durante los cinco años del programa

• El desempeño de los alumnos en relación con los objetivos específicos se valore empleando los criterios de evaluación (véase la sección “Criterios de evaluación de Matemáticas”)

Cómo utilizar las áreas de interacciónLas áreas de interacción proporcionan los contextos en los que los profesores y los alumnos ubican la enseñanza y el aprendizaje, abordan las disciplinas y establecen relaciones entre estas. Son elementos organizadores que fortalecen y amplían el conocimiento y la comprensión de los alumnos mediante una exploración de temas de la vida real. Todos los profesores comparten la responsabilidad de utilizar las áreas de interacción como eje de las unidades de trabajo.

El proceso de indagación en los contenidos de la asignatura mediante las distintas perspectivas o contextos de las áreas de interacción permite a los alumnos desarrollar una comprensión más profunda de la asignatura, así como de las dimensiones de las áreas de interacción. Mediante el ciclo de indagación que abarca comprensión y conocimiento, reflexión y acción, los alumnos participan en la reflexión y la metacognición, lo cual los lleva del conocimiento académico a la acción meditada y ayuda a que desarrollen actitudes positivas y un sentido de responsabilidad tanto personal como social.

En la publicación El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008), en la sección “Áreas de interacción”, se proporciona más información con respecto a las dimensiones de cada área de interacción, el ciclo de indagación, la planificación de unidades de trabajo y cómo abordar los contenidos mediante las áreas de interacción.

Las áreas de interacción son cinco:

• Aprender a Aprender (AaA)

• Comunidad y Servicio

• Salud y Educación Social

• Entornos

• Ingenio Humano

Las siguientes secciones sobre las áreas de interacción proporcionan ejemplos de preguntas que se pueden utilizar para formular preguntas de las unidades de trabajo del PAI o en el ciclo de indagación,



dependiendo del contenido que se enseñe. Estas preguntas en particular se pueden aplicar a cualquier contenido que se imparta y, al preparar sus propias preguntas, los profesores pueden relacionarlas con el contenido específico que se explore en una unidad de trabajo.

Es importante tener en cuenta que las áreas de interacción son maneras de enfocar el contenido: algunas de las siguientes preguntas podrían abordarse desde la perspectiva de más de un área de interacción, y también pueden explorarse mediante otras asignaturas, además de Matemáticas.

Los contextos en los que se desarrolle el contenido del currículo de Matemáticas deben ser naturales y pertinentes para los alumnos. A menudo, al diseñar unidades de trabajo, el contexto del contenido surgirá de manera natural. Para que las experiencias de aprendizaje sean pertinentes, los profesores deben cerciorarse de que la pregunta de la unidad de trabajo del PAI permita a los alumnos indagar en los temas del contenido. En consecuencia, el área de interacción servirá de guía para la indagación, ya sea dirigida por el profesor o iniciada por el alumno.

Recuerde que cualquier referencia a la primera persona del singular en las preguntas de las áreas de interacción podría sustituirse por la primera persona del plural en los casos en los que sea más apropiado para los valores sociales del colegio o lugar.

Aprender a Aprender¿Cómo aprendo mejor?¿Cómo sé?¿Cómo comunico lo que he comprendido?

Aprender a Aprender (AaA) es un área de interacción clave en todos los grupos de asignaturas del PAI y en el Proyecto Personal. A través de ella, los colegios proporcionan a los alumnos las herramientas que les permitirán hacerse responsables de su propio aprendizaje. Para ello, tienen que articular, organizar y enseñar las habilidades, las actitudes y las prácticas que los alumnos necesitan para poder aprender.

En el PAI, AaA abarca siete grupos de habilidades: organización, colaboración, comunicación, manejo de la información, reflexión, pensamiento y transferencia. La comunidad escolar debe dedicar el tiempo necesario a definir las actitudes, las habilidades y las prácticas de AaA que se consideran importantes en cada uno de estos grupos, tanto en cada asignatura como en todas en su conjunto.

Habilidades de AaA

Ejemplos de expectativas de aprendizaje de los alumnos

Ejemplos de preguntas

Organización Manejo del tiempo

Organización autónoma

¿Cómo puedo planificar y organizar mi aprendizaje de manera más eficaz?

Colaboración Trabajo en grupo ¿Qué maneras de trabajar con mis compañeros de clase son eficaces?

¿Cómo puede el trabajo en equipo mejorar mis habilidades matemáticas?

Comunicación Adquisición de conocimientos matemáticos: adquirir, interpretar y utilizar el lenguaje específico de las matemáticas y sus formas de representación

Comunicar ideas de forma clara y lógica

¿En qué se diferencia la comunicación en Matemáticas de otras asignaturas?

¿Cómo puedo hacer para que los demás entiendan lo que quiero decir?



Habilidades de AaA

Ejemplos de expectativas de aprendizaje de los alumnos

Ejemplos de preguntas

Pensamiento Comprender y aplicar conocimientos y conceptos

Identificar y seleccionar estrategias para resolver problemas

¿Cómo puede el aprendizaje de las matemáticas mejorar mis habilidades de pensamiento?

Reflexión Evaluar resultados y procesos

Evaluar mi propio aprendizaje

¿Qué valor tiene la reflexión en matemáticas?

¿Cómo puedo aprender Matemáticas?

¿Cómo aprendo mejor Matemáticas?

Manejo de la información

Obtener, seleccionar y organizar información a partir de varias fuentes utilizando diferentes herramientas tecnológicas

¿Cómo pueden las tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC) ayudarme a aprender matemáticas?

Transferencia Utilizar habilidades y conocimientos matemáticos en contextos de la vida real y establecer conexiones con otras áreas del conocimiento

¿Qué habilidades son específicas de Matemáticas?

¿En qué se parecen y en qué se diferencian el aprendizaje en Matemáticas y el aprendizaje en otras asignaturas?

¿De qué manera el aprendizaje de las matemáticas me ayuda a aprender en otras asignaturas?

¿Qué habilidades y conocimientos puedo tomar de otras asignaturas para utilizarlos en Matemáticas?

Algunas actividades que pueden llevarse a cabo para desarrollar habilidades de AaA a través de las matemáticas son las siguientes:

• Utilizar el razonamiento deductivo para resolver un problema en un contexto dado que analice e interprete información presentada en forma de tablas, cuadros y gráficos de varias fuentes, tales como periódicos, revistas y otras publicaciones

• Usar investigaciones abiertas que tengan más de una solución posible y permitan emplear más de una estrategia para resolver problemas, con el fin de fomentar el pensamiento divergente

• Emplear las teselaciones de Escher para examinar principios y diseños geométricos, y explorar cómo se pueden usar las matemáticas para crear diseños y efectos artísticos

• Utilizar juegos de azar para entender conceptos relacionados con la probabilidad y las posibilidades de que ocurra un acontecimiento

• Usar problemas de la vida real tales como embotellamientos, colas en el supermercado o situaciones de distintos juegos para diseñar modelos matemáticos basados en la probabilidad y encontrar soluciones para esos problemas

• Emplear redes y diagramas de flujo como herramientas para tomar decisiones en la planificación de un itinerario de viaje

• Utilizar el concepto de algoritmo para planificar y programar tareas para el Proyecto Personal



Comunidad y Servicio¿Cómo vivimos en relación con los demás?¿Cómo puedo contribuir a la comunidad?¿Cómo puedo ayudar a los demás?

El objetivo del área de Comunidad y Servicio es desarrollar en los alumnos una conciencia comunitaria y un sentido de pertenencia y responsabilidad hacia la comunidad para que se comprometan y se sientan capaces de responder a las necesidades de los demás.

Comunidad y Servicio comienza en el aula pero trasciende sus límites y requiere que los alumnos descubran la realidad social propia, de los demás y de las comunidades. A su vez, esto puede dar lugar a su participación en la comunidad en que viven y a que lleven a cabo acciones de servicio en ella. La reflexión sobre las necesidades de los demás y el desarrollo de la capacidad de los alumnos de comprometerse y responder a dichas necesidades contribuyen a su formación como personas responsables y solidarias.

Los alumnos explorarán a través de las matemáticas la naturaleza de comunidades pasadas y actuales, así como su lugar en sus propias comunidades. Al incorporar Comunidad y Servicio al estudio de las matemáticas se promueve la ciudadanía responsable, pues los alumnos profundizan sus conocimientos y su comprensión del mundo que los rodea.

Ejemplos de expectativas de aprendizaje de los alumnos Ejemplos de preguntas

Conciencia y comprensión de:

El concepto de comunidad, por ejemplo: lo que significa “comunidad”, las diferencias y similitudes entre las comunidades, lo que conforma una comunidad

Los individuos y las comunidades, por ejemplo: el papel y las necesidades del individuo, las responsabilidades de las comunidades hacia sus miembros

Diferentes comunidades, por ejemplo: diversas formas de comunidad, necesidades de diferentes comunidades, problemas dentro de una comunidad, organizaciones dentro de las comunidades

¿Qué utilidad tienen los conocimientos de matemáticas en las comunidades?

¿Cómo puede una comunidad influir en el aprendizaje de las matemáticas?

Reflexión sobre: Actitudes, por ejemplo: reflexión sobre distintos patrones sociales y formas de vida, demostración de iniciativa

Responsabilidades, por ejemplo: repercusiones éticas de la actividad o inactividad dentro de la comunidad, uso de las capacidades personales para enriquecer las comunidades, identificación de capacidades y limitaciones personales

¿Cuál es la función de las matemáticas en la comunidad?

¿Cómo sería el mundo sin las matemáticas?




Participación mediante el servicio en términos de:

Participación en la comunidad, por ejemplo: tipos de participación, efectos en las comunidades en distintos ámbitos, participación personal

Contribución activa, por ejemplo: demostrar voluntad y habilidades para responder a las necesidades de los demás, ofrecer soluciones para resolver problemas dentro de las comunidades de manera activa.

¿Cómo puedo contribuir a mi comunidad por medio de las matemáticas?

¿Cómo puedo mejorar mi comunidad mediante lo que aprendo en Matemáticas?

Algunas actividades que pueden llevarse a cabo para integrar Comunidad y Servicio en Matemáticas son:

• Organizar un acto en el colegio a fin de recaudar fondos para una organización benéfica; preparar un presupuesto sencillo estimando los gastos, los ingresos y las ganancias de las diversas actividades programadas

• Usar pruebas para medir la condición física de diferentes grupos de personas en una comunidad; analizar los resultados teniendo en cuenta la edad, la actividad, si se es fumador o no, etc.; comunicar los resultados empleando tablas y gráficos comparativos y elaborar carteles para generar conciencia sobre la importancia de mantener una buena condición física

• Utilizar periódicos locales para analizar artículos relacionados con estadísticas y temas sociales y debatir de qué forma las estadísticas pueden informar correctamente o inducir a error

• Emplear un folleto local sobre seguridad vial para explorar los conceptos de velocidad, aceleración, distancia y desplazamiento; elaborar folletos para la comunidad a fin de generar conciencia sobre la importancia de reducir la velocidad de circulación en las áreas cercanas a colegios

• Investigar las consecuencias económicas de la descarga ilegal en editores de música, productoras cinematográficas y editores de software

Salud y Educación Social¿Cómo pienso y actúo?¿Cómo estoy cambiando?¿Cómo puedo cuidar de mí mismo y de los demás?

Esta área de interacción trata sobre el efecto que tienen varios temas sociales (incluida la salud) en la humanidad. Incluye una apreciación de estos efectos en varios contextos culturales y en distintas épocas. Esta área se ocupa de la inteligencia y de la salud física, social y emocional, aspectos clave del desarrollo que llevan a una vida plena y equilibrada.





Nosotros en la sociedad, por ejemplo: temas como la libertad, políticas de salud gubernamentales y globalización

Nosotros y los demás, por ejemplo: temas como las relaciones, el sexo y la muerte

Comprenderse a sí mismo, por ejemplo: temas como la organización personal, la autoestima y el crecimiento

Cuidarse a sí mismo, por ejemplo: temas como la higiene personal, las enfermedades y el abuso de drogas

¿Cómo afectan las matemáticas a la sociedad? ¿Y a las personas? ¿Y a mí?

¿Se pueden emplear las matemáticas para influir en la salud de una sociedad?

¿En qué medida pueden contribuir las matemáticas al bienestar de las personas y sociedades?

¿Cómo pueden ayudar las matemáticas a comunicar la salud de una sociedad o nación?

Reflexión sobre: ¿De qué formas me permiten las matemáticas expresarme?

¿Cómo me permiten las matemáticas aprender sobre mí mismo y sobre los demás?

Adoptar decisiones en términos de:

Nosotros en la sociedad, por ejemplo: comportamiento y ética

Nosotros y los demás, por ejemplo: valores personales y responsabilidades

Comprenderse a sí mismo, por ejemplo: autocontrol o necesidades y deseos

Cuidarse a sí mismo, por ejemplo: dietas y ejercicio

¿Cómo puede ayudarme el aprendizaje de las matemáticas a elegir opciones más saludables?

Algunas actividades que pueden llevarse a cabo para integrar Salud y Educación Social en Matemáticas son:

• Investigar sobre proporciones y relaciones: considerar platos típicos de distintas culturas y realizar cálculos a fin de adaptar las recetas para prepararlos para toda la clase

• Utilizar observaciones: investigar sobre el tráfico mediante observaciones, así como análisis de datos y estadísticas, para realizar una campaña de seguridad vial en los alrededores del colegio

• Investigar sobre el crecimiento de la población: usar análisis de datos, estadísticas y probabilidad para comparar tasas de crecimiento de la población de distintos países

• Investigar sobre el proceso de codificar y decodificar, o el tráfico en calles de sentido único empleando matemática discreta

• Utilizar funciones matemáticas para predecir la propagación de una enfermedad o el comportamiento de una determinada población

• Discutir la función de la estadística y la probabilidad como fuente de información, así como su importancia y fiabilidad



Entornos¿Cuáles son nuestros entornos?¿Qué recursos tenemos o necesitamos?¿Cuáles son mis responsabilidades?

Esta área de interacción considera los entornos como la totalidad de las condiciones que nos rodean, ya sean naturales, artificiales o virtuales. Se centra en el lugar del ser humano en el mundo y en cómo creamos nuestros entornos e influimos en ellos. Anima a los alumnos a cuestionar, a desarrollar actitudes positivas y responsables, y a adquirir la motivación, las habilidades necesarias y el compromiso para mejorar sus entornos.



Las funciones que desempeñan nuestros entornos en la vida y el bienestar de los seres humanos

Los efectos de un entorno en otro

Los efectos de nuestras acciones, actitudes y conceptos, como desarrollo sustentable y conservación

Dimensiones físicas, sociales, políticas, económicas y culturales

La naturaleza y el papel de las organizaciones locales e internacionales responsables de proteger nuestros medios naturales

El modo en que las políticas institucionales relativas a una dimensión de un entorno influyen en otros entornos

¿De qué modo pueden influir las matemáticas en los entornos naturales, artificiales y virtuales?

¿Cómo influyen las matemáticas en el entorno escolar?

¿Qué cuestiones plantean los entornos naturales, artificiales y virtuales a las matemáticas?

¿Cómo pueden las matemáticas afectar a nuestra comprensión de los distintos entornos?

Reflexión sobre: Nuestras responsabilidades hacia nuestros entornos

El papel de los entornos virtuales en la conformación de otros entornos

¿Cómo me permiten mis habilidades en matemáticas comprender distintos entornos?

Actuar en relación con: Una serie de cuestiones vinculadas a los entornos

¿Cómo pueden mis habilidades en matemáticas ayudarme a mejorar mis entornos?

¿Qué poder nos pueden conferir las matemáticas para informar al mundo de cuestiones relacionadas con nuestros entornos?



Algunas actividades que pueden llevarse a cabo para fomentar la conciencia, responsabilidad, acción y reflexión en relación con el medio ambiente en Matemáticas son:

• Investigar sobre los recursos naturales: utilizar técnicas para medir y analizar datos a fin de formular preguntas y realizar predicciones sobre el uso y la disponibilidad de un recurso específico en un momento dado del futuro

• Desarrollar proyectos prácticos: usar la geometría y la trigonometría para responder a necesidades específicas en el medio ambiente local (planificación urbana, diseño y realización de modelos de edificios reales o imaginarios, u otras aplicaciones relacionadas con la gestión del espacio)

• Estimar el uso del agua: emplear las matemáticas para estimar el consumo de agua y elaborar planes para la gestión y conservación de este recurso tanto en el colegio como en casa

• Investigar sobre los desechos del hogar o del colegio: predecir la cantidad de desechos de la comunidad para elaborar una campaña de toma de conciencia sobre la gestión de los residuos, sugiriendo formas de reducir, reutilizar y reciclar los desechos y optimizar el diseño del embalaje con el fin de reducir la pérdida de los recursos naturales

• Investigar sobre especies en peligro de extinción: usar estadísticas y probabilidad para estimar el tamaño de la población de una especie determinada en un momento dado, para generar conciencia sobre la conservación y protección de especies en su ambiente natural

• Investigar sobre el cambio climático: utilizar análisis de datos y probabilidad para debatir la evidencia de la correlación existente entre la emisión de gases de efecto invernadero y el aumento de la temperatura del planeta

• Utilizar modelos para predecir o interpretar patrones naturales como la erosión de las costas y el aumento del nivel del mar producto del calentamiento global

• Investigar el uso de las redes sociales por medio de análisis estadísticos

Ingenio Humano¿Por qué y cómo creamos?¿Cuáles son las consecuencias?

En Ingenio Humano, se estudian las contribuciones humanas al mundo en sus respectivos contextos y como parte de un proceso continuo. Hace hincapié en la manera en que los seres humanos pueden generar cambios, ya sea para bien o para mal, y analiza sus consecuencias (tanto intencionadas como no intencionadas). Esta área también pone énfasis tanto en la importancia de investigar los avances logrados por el ser humano en diferentes lugares, épocas y culturas, como en la importancia de detenerse a reflexionar sobre dichos avances.



El significado de “creativo”

Una serie de sistemas, soluciones y productos

Los procesos implicados en la innovación, la creación, el desarrollo y el cambio

El deseo individual de crear, desarrollar o cambiar las cosas

Modo en el que se desarrollan los sistemas o productos y cómo cambian con el tiempo

¿Qué son las matemáticas? ¿De dónde proceden las matemáticas?

¿Cómo han evolucionado las matemáticas a lo largo del tiempo?

¿Cómo pueden las matemáticas generar cambios?




Reflexión sobre: El impacto de la innovación y la creación en los individuos, las comunidades, las sociedades y el mundo

Los productos de la innovación, la creación y el desarrollo en contexto

Los “modos de pensar” de las asignaturas

Una serie de sistemas, soluciones y productos

¿Cómo sería el mundo sin las matemáticas?

¿De qué manera han dado las personas forma a las matemáticas?

¿De qué manera han dado las matemáticas forma a nuestras vidas?

¿Cómo afectan las matemáticas a la lengua?

¿De qué maneras ha influido el conocimiento en las matemáticas?

¿De qué maneras han influido las matemáticas en el conocimiento?

¿Cómo se están desarrollando las matemáticas en mi época y en mi cultura?

¿Qué utilidad tienen las matemáticas en mi vida?

¿Cómo han contribuido las matemáticas a las civilizaciones?

Actuar para: Crear soluciones y productos para resolver problemas propios y de otras personas

Pensar de modo creativo

Las matemáticas son uno de los grandes logros intelectuales de la humanidad y, como tal, ofrecen muchas oportunidades para integrar esta área de interacción en el currículo. Algunas actividades que pueden llevarse a cabo son:

• Investigar la historia y la evolución de las matemáticas en distintas culturas y su impacto en los individuos y las sociedades

• Investigar sobre los inventos matemáticos, por ejemplo, la universalidad de las matemáticas como lenguaje o el concepto de cero

• Explorar la aplicación del conocimiento matemático en el desarrollo industrial y tecnológico

• Desarrollar modelos y fórmulas matemáticas para describir fenómenos de la vida real

• Desarrollar ideas matemáticas tales como la simetría en geometría, mediante la creación de teselaciones

• Explorar proyectos matemáticos con temas interdisciplinarios, por ejemplo, investigar los vínculos entre la geometría y el arte o la arquitectura, o las formas y motivos que utilizan distintas culturas



Marco general de Matemáticas

El marco general de Matemáticas del PAI comprende cinco ramas de estudio:


• Álgebra




Los colegios pueden usar este marco como herramienta para elaborar sus mapas curriculares a fin de diseñar y planificar los cursos de Matemáticas. No se espera que se estudien todas las ramas indicadas en cada año del programa, ni que se traten todos los conceptos y habilidades sugeridos. No obstante, es importante que a lo largo de los cinco años (o la duración completa) del programa, los alumnos tengan una experiencia de aprendizaje en las cinco ramas del marco general de Matemáticas.

En esta sección, se sugieren conceptos y habilidades que se pueden tratar en cada una de las cinco ramas de la asignatura. Dichos conceptos y habilidades son ejemplos de lo que los alumnos pueden estudiar en los dos niveles: Matemáticas (nivel general) y Matemáticas (nivel avanzado).

Conceptos y habilidades

Números y operacionesLa capacidad de trabajar con números es una habilidad fundamental en matemáticas. Se espera que los alumnos comprendan los conceptos relacionados con los números y desarrollen habilidades de cálculo y estimación. Deben comprender que el uso de números para expresar patrones y describir situaciones de la vida real se remonta a los orígenes de la humanidad, y que las matemáticas tienen raíces multiculturales.

Conceptos Habilidades

Matemáticas (nivel general y nivel avanzado)

Formas de los números: enteros, fracciones, decimales, potencias, forma estándar (notación científica) e irracionales/radicales

Conjuntos de números: conjuntos de enteros positivos y el cero ( ), enteros ( ), racionales ( ), irracionales ( ′

) y números reales ( )

Ordenar números

Transformar números entre distintas formas

Simplificar expresiones numéricas en los sistemas numéricos y las formas de los números

Reconocer y clasificar números en diferentes sistemas numéricos

Las cuatro operaciones Utilizar las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) con enteros, decimales y fracciones simples




Números y factores primos, incluido el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

Representar un número como el producto de sus factores primos y usar esa representación para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

Rectas numéricas Expresar el conjunto de soluciones de una inecuación lineal en la recta numérica

Estimación Emplear diferentes formas de redondeo, aproximación decimal y cifras significativas

Utilizar formas de redondeo adecuadas para estimar resultados

Unidades de medida Convertir entre diferentes unidades de medida y entre diferentes monedas

Razón, porcentaje, proporción directa e inversa Dividir una cantidad entre una razón dada

Hallar una constante de proporcionalidad, establecer ecuaciones y graficar relaciones directas e inversas

Sucesiones numéricas Predecir el término siguiente de la sucesión (lineal, cuadrática, triangular, Fibonacci)

Solo Matemáticas (nivel avanzado)

Exponentes fraccionarios Usar las propiedades de las potencias para simplificar expresiones numéricas con radicales y potencias

Error absoluto y porcentaje de error en estimaciones

Calcular el error absoluto y el porcentaje de error

ÁlgebraEl álgebra es una abstracción de los conceptos relacionados con los números y es fundamental para realizar estudios posteriores de matemáticas. Utiliza letras y símbolos para representar números, cantidades y operaciones, y emplea variables para resolver problemas matemáticos.

Los alumnos que deseen continuar el estudio de las matemáticas después del PAI necesitarán adquirir conceptos y habilidades algebraicas. Cuando resulte apropiado, los profesores deben ayudar a los alumnos a entender el álgebra mediante la aplicación de conocimientos y habilidades algebraicas a la resolución de problemas en situaciones de la vida real.





Suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas

Desarrollar y simplificar expresiones algebraicas

Factorización de expresiones lineales y cuadráticas Factorizar expresiones algebraicas

Sustitución Usar la sustitución para evaluar expresiones

Transformación de expresiones algebraicas Expresar una variable en función de la otra en una fórmula

Fracciones algebraicas Resolver ecuaciones con fracciones algebraicas

Exponentes enteros (incluidos los números negativos)

Utilizar las propiedades de las potencias

Patrones y sucesiones Hallar y justificar o demostrar reglas generales y fórmulas para sucesiones

Funciones:

• Tipos de funciones: lineales, cuadráticas

• Dominio y recorrido

Resolver la función linear f (x) = mx + c, su gráfico, pendiente e intersección con el eje y

Graficar diferentes tipos de funciones y comprender sus características

Determinar el recorrido, dado el dominio

Gráficos Trazar e interpretar gráficos

Ecuaciones:

• Lineales

• Simultáneas

• Cuadráticas

Resolver ecuaciones de manera algebraica y utilizar gráficos

Inecuaciones Resolver y graficar inecuaciones lineales


Logaritmos y potencias:

• Exponentes fraccionarios

• Logaritmos con distintos números de base (incluidos los logaritmos naturales)

Utilizar las propiedades de los logaritmos

Funciones y gráficos:

• Tipos de funciones: trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, función

recíproca f xx

( ) = y sus

transformaciones), raíz cuadrada

• Función inversa y compuesta

Graficar diferentes tipos de funciones y comprender sus características

Determinar las funciones inversa y compuesta, y sus gráficos




Ecuaciones con las funciones anteriores Resolver ecuaciones de manera algebraica y utilizar gráficos

Inecuaciones Resolver inecuaciones no lineales

Programación lineal

Series aritméticas y geométricas Desarrollar y justificar o demostrar reglas generales y fórmulas para sucesiones

Hallar la suma de una serie

Hallar incógnitas (razón, término, etc.)

Matrices Realizar operaciones básicas con matrices

Utilizar matrices (resolver ecuaciones, transformaciones, modelos de crecimiento, etc.)

Geometría y trigonometríaEl estudio de la geometría y la trigonometría contribuye al desarrollo de la noción de espacio y ofrece a los alumnos las herramientas necesarias para analizar, medir y transformar cantidades geométricas en dos y tres dimensiones.



Elementos geométricos y su clasificación Nombrar y clasificar diferentes elementos geométricos (punto, recta, ángulo, figuras planas regulares e irregulares, sólidos)

Distancia Medir distancias (entre dos puntos, entre una recta y un punto)

Propiedades de los ángulos Resolver problemas empleando las propiedades de:

• Ángulos en diferentes figuras o posiciones

• Ángulos agudos, rectos y obtusos en triángulos

• Ángulos entre rectas que se cortan y en rectas paralelas

• Ángulos en polígonos regulares e irregulares

• Ángulos en círculos

Propiedades de los triángulos Resolver problemas con triángulos aplicando:

• El teorema de Pitágoras y su recíproco

• Las propiedades de los triángulos semejantes

• Las propiedades de los triángulos congruentes




Perímetro, área y volumen Hallar el perímetro (circunferencia), el área y el volumen de formas bidimensionales (2D) y tridimensionales (3D) regulares e irregulares

El plano cartesiano Identificar los distintos componentes del plano cartesiano: ejes, origen, coordenadas (x , y) y puntos

Comprender y utilizar el plano cartesiano, elaborar gráficos y medir distancias entre puntos

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Relacionar ángulos y lados de triángulos rectángulos utilizando seno, coseno y tangente

Resolver problemas en triángulos rectángulos usando razones trigonométricas

Construcciones Utilizar instrumentos de geometría para realizar construcciones básicas y emplear estas para resolver problemas

Transformaciones isométricas sencillas Transformar una figura por rotación, simetría, traslación y homotecia

Lugares geométricos Emplear el concepto de lugar geométrico para resolver problemas en dos dimensiones


Vectores y espacios vectoriales Sumar, restar y realizar la multiplicación escalar de vectores

Teoremas de congruencia y semejanza Justificar o demostrar teoremas de congruencia, semejanza, figura y ángulos

Razones trigonométricas para ángulos de más de 90°

Justificar o demostrar relaciones trigonométricas sencillas para simplificar y resolver ecuaciones donde 0° ≤ θ ≤ 360°

Teorema del seno y teorema del coseno Utilizar el teorema del seno y el del coseno para resolver problemas

Estadística y probabilidadEsta rama de las matemáticas trata sobre la obtención, el análisis y la interpretación de datos cuantitativos y emplea la teoría de la probabilidad para estimar parámetros, establecer leyes empíricas, comprobar hipótesis y predecir sucesos.

Mediante el estudio de la estadística, los alumnos desarrollarán habilidades vinculadas a la obtención, organización y análisis de datos, lo cual les permitirá presentar la información de manera clara y encontrar patrones. Asimismo, desarrollarán habilidades de pensamiento crítico mediante las cuales podrán diferenciar lo que sucede en teoría (probabilidad) de lo que se observa (estadística).



Los alumnos comprenderán las posibilidades y limitaciones de la estadística, tomando conciencia de su empleo legítimo para fundamentar y cuestionar hipótesis, pero también reconociendo cómo puede emplearse para inducir a error, para rebatir opiniones y con fines propagandísticos.

Deben utilizar estas habilidades en sus investigaciones y, cuando corresponda, se les debe animar a usar las tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC).



Análisis gráfico y representación gráfica (gráficos circulares, histogramas, gráficos de líneas)

Trazar e interpretar gráficos

Muestreo de población Seleccionar muestras y hacer inferencias sobre poblaciones

Medidas de posición o tendencia central (media, moda, mediana, cuartil, percentil)

Calcular la media, la mediana y la moda y elegir la mejor medida de tendencia central

Medidas de dispersión (rango, rango intercuartil) Calcular el rango intercuartil

Probabilidad de un suceso

Probabilidad de sucesos incompatibles (o mutuamente excluyentes) y combinados

Probabilidad de pruebas sucesivas

Calcular las probabilidades de sucesos simples

Calcular probabilidades de sucesos mutuamente excluyentes y combinados

Usar diagramas de árbol para determinar la probabilidad de sucesos repetidos


Distribución normal y desviación típica Hacer inferencias sobre datos con distribución normal dada la media y la desviación típica

Regresión lineal

Correlación

Dibujar la curva de ajuste óptimo

Probabilidad condicionada Calcular la probabilidad condicionada

Matemática discretaLa matemática discreta es una rama de las matemáticas relativamente nueva que tiene sus raíces en el álgebra abstracta y ha adoptado el lenguaje y la notación de la teoría de grafos. Contribuye a la comprensión de los sistemas y las estructuras formales, y sus técnicas se utilizan cada vez más para analizar y resolver problemas en tecnología, ciencia, ingeniería, negocios y otros sistemas complejos.

Los alumnos deberán desarrollar habilidades de pensamiento lógico y poder expresarlo mediante diagramas de Venn, diagramas de estructura y diagramas de flujo. La matemática discreta ofrece nuevos enfoques para Aprender a Aprender (AaA) en el PAI.

Los alumnos deberán conocer las aplicaciones de la matemática discreta en la vida real, por ejemplo, en redes de carreteras o ferrocarriles, redes informáticas, redes de comunicación, optimización de rutas, técnicas de optimización de tiempos y de gestión de proyectos, y análisis del camino crítico.





Conjuntos

Diagramas de Venn

Realizar operaciones

Dibujar e interpretar diagramas de Venn

Usar diagramas de Venn para resolver problemas en contextos de la vida real

Lógica Expresar ideas en sistemas de dos valores (álgebra de Boole)

Aplicar tablas de verdad para determinar la veracidad de enunciados complejos

Redes (incluidos los diagramas de árbol) Hallar caminos y ciclos

Analizar redes para hallar caminos completos y el camino más corto

Resolver problemas que incluyan soluciones óptimas

Elaborar y describir procedimientos para realizar cálculos completos

Usar redes y diagramas de flujo para resolver problemas en contextos de la vida real

Algoritmos Analizar y utilizar procedimientos bien definidos para resolver problemas complejos


Topología Clasificar y describir objetos topológicos y simplificar nudos

Redes dirigidas Realizar análisis de caminos críticos

Códigos y cifrados Codificar y decodificar información utilizando traslaciones y aritmética modular

Generar y hacer traslaciones de códigos de barras

Codificar y decodificar utilizando algoritmos RSA con claves públicas y privadas


Evaluación

La evaluación en el PAI

El IB no ofrece evaluación externa para el PAI, es decir, no existen exámenes elaborados o corregidos por una autoridad externa al colegio. Toda la evaluación del PAI la llevan a cabo los profesores de los colegios y depende de su experiencia profesional para realizar valoraciones cualitativas de las mismas características que las que hacen diariamente en sus aulas. De conformidad con los principios generales del sistema de evaluación del IB, el enfoque normativo no es apropiado para el PAI. Los colegios que impartan este programa deben adoptar un sistema de evaluación por criterios según el cual el trabajo de los alumnos se evalúa con relación a criterios de evaluación previamente establecidos y no con relación al trabajo de otros alumnos.

Los procedimientos de moderación y seguimiento de la evaluación del IB garantizan que las valoraciones finales de estos profesores se ajusten a una escala basada en criterios comunes aceptada por todos.

Se espera que los procedimientos de evaluación y los criterios de evaluación del PAI se den a conocer a padres y alumnos como apoyo al proceso de aprendizaje.

Uso de los criterios de evaluaciónLos criterios de evaluación publicados en esta guía se corresponden con los objetivos específicos de este grupo de asignaturas. Los descriptores de niveles de logro han sido formulados con vistas a la evaluación final que tiene lugar en el quinto año.

Todos los colegios deben emplear los criterios de evaluación publicados en esta guía para la evaluación final, aunque es posible que deban utilizar otros modelos y criterios para cumplir con requisitos locales y nacionales.

Del primer al cuarto año, los colegios deben modificar los descriptores de los niveles de logro en cada criterio de evaluación de acuerdo con su propia progresión del aprendizaje y los objetivos intermedios. Estos criterios modificados deben estar basados en los principios de evaluación del PAI y deben mantener un enfoque coherente con las prácticas de evaluación de todo el programa. A los criterios del PAI, los colegios pueden añadir otros criterios para cumplir con los requisitos nacionales e informar a padres y alumnos acerca del rendimiento con relación a dichos criterios.

Principios generalesCada criterio se compone de descriptores que siguen un orden jerárquico. Al evaluar el trabajo de un alumno, los profesores deben leer los descriptores, empezando por el nivel 0, hasta llegar a uno que describa un nivel de logro que el trabajo que se está evaluando no haya alcanzado. El trabajo, entonces, estará mejor descrito por el descriptor anterior.

Cuando no esté claro cuál es el descriptor adecuado, los profesores deben usar su buen juicio para seleccionar el descriptor que mejor corresponda al trabajo del alumno.

En los casos en que un mismo descriptor de nivel comprenda dos o más puntuaciones, los profesores deben conceder las puntuaciones más altas si el trabajo del alumno demuestra en gran medida las cualidades descritas. Los profesores deben conceder las puntuaciones inferiores del descriptor si el trabajo del alumno demuestra en menor medida las cualidades descritas.

La evaluación en el PAI


Solamente deben utilizarse números enteros y no notas parciales, como fracciones o decimales.

Los niveles atribuidos a los descriptores no deben considerarse porcentajes fijos, ni tampoco se debe suponer que existen relaciones aritméticas entre los descriptores. Por ejemplo, un nivel de rendimiento de 4 no es necesariamente el doble de bueno que un nivel de rendimiento de 2 y así sucesivamente.

Los profesores no deben pensar en términos de aprobado o no aprobado para cada criterio o establecer comparaciones con, o conversiones a, la escala de calificaciones finales de 1 a 7 del IB, sino que deben concentrarse en identificar el descriptor apropiado para cada criterio de evaluación.

Los descriptores más altos no implican un desempeño perfecto, sino que deben ser accesibles para alumnos de 16 años de edad. Por lo tanto, los profesores no deben dudar en utilizar los niveles más altos y más bajos si describen apropiadamente el trabajo que se está evaluando.

Un alumno que alcance un nivel de logro alto en un criterio no necesariamente alcanzará niveles altos en los demás criterios. Igualmente, un alumno que alcance un nivel bajo en un criterio no necesariamente obtendrá niveles bajos en los demás criterios.

Los profesores no deben suponer que los resultados de un grupo de alumnos que están siendo evaluados seguirán un patrón de distribución determinado.

Para obtener más información sobre la evaluación, consulte la sección “Evaluación” de la publicación El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008).

Clarificación de los criterios publicados para el quinto añoDurante el último año del programa, para otorgar las puntuaciones por criterio se deben usar los criterios de evaluación finales publicados en las guías de los grupos de asignaturas. No obstante, igualmente deben definirse (o “clarificarse”) las expectativas concretas del desempeño de los alumnos en relación con cada tarea.

Los profesores deberán clarificar las expectativas sobre las tareas concretas haciendo referencia directa a los criterios de evaluación publicados. Por ejemplo, en Matemáticas, los profesores tendrán que aclarar exactamente qué significa “deducciones adecuadas” en el contexto de una tarea determinada. Esto puede hacerse mediante:

• La formulación de aclaraciones específicas para cada tarea, que se basen en los criterios publicados pero con una redacción diferente para que se adapten a la tarea

• La explicación oral de las expectativas

• La elaboración de instrucciones donde se expliquen las expectativas

Lo importante es que, al principio de cada tarea individual, se especifique lo que se espera de los alumnos para que sepan perfectamente lo que se les exige.

A la hora de clarificar las expectativas, los profesores deben asegurarse de no alterar el estándar indicado en los criterios publicados ni introducir aspectos nuevos, y cuando otorgan las puntuaciones por criterio en el quinto año del programa siempre deben aplicar los criterios publicados.

Consulte también la sección “Matemáticas: moderación” para obtener orientación sobre lo que se necesita incluir en la información de contexto.


Evaluación

Criterios de evaluación de Matemáticas

Los criterios de evaluación que aparecen en esta guía se deben utilizar por primera vez en la evaluación final de 2012.

El IB ha establecido los siguientes criterios de evaluación para Matemáticas del PAI. Todas las evaluaciones finales del último año del PAI se deben basar en estos criterios de evaluación, incluso si los colegios no solicitan calificaciones finales validadas por el IB ni la certificación para ningún alumno.

Criterio A Conocimiento y comprensión Máximo 8

Criterio B Investigación de patrones Máximo 8

Criterio C Comunicación en matemáticas Máximo 6

Criterio D Reflexión en matemáticas Máximo 6

Para cada criterio de evaluación, se definen varios descriptores de bandas de puntuación. Estos describen diferentes niveles de logro, el más bajo de los cuales se representa con un 0. No todos los criterios tienen la misma ponderación.

Los descriptores se centran en los aspectos positivos, aunque la descripción de los niveles más bajos también puede incluir la imposibilidad de alcanzar determinado nivel.



Criterio A: Conocimiento y comprensiónMáximo: 8El conocimiento y la comprensión son fundamentales en el estudio de Matemáticas y constituyen el punto de partida para explorar conceptos y desarrollar habilidades. Según este criterio, se espera que los alumnos utilicen su conocimiento y demuestren su comprensión de los conceptos y habilidades del marco curricular prescrito con el fin de hacer deducciones y resolver problemas.

Con este criterio se evalúa el grado en que un alumno:

• Conoce y demuestra su comprensión de los conceptos de las cinco ramas de las matemáticas (números y operaciones, álgebra, geometría y trigonometría, estadística y probabilidad, y matemática discreta)

• Hace uso adecuado de las habilidades y los conceptos matemáticos al resolver problemas en situaciones conocidas y desconocidas, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real

• Selecciona y aplica correctamente reglas generales para hacer deducciones y resolver problemas, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real

Las tareas de evaluación para este criterio pueden ser pruebas de clase, exámenes, problemas de la vida real e investigaciones abiertas.

Nivel de logro Descriptor de nivel

0El alumno no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores que se exponen a continuación.

1–2Por lo general, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas sencillos y en contextos conocidos.

3–4Por lo general, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas de carácter más complejo en contextos conocidos.

5–6Por lo general, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas que plantean un desafío en una variedad de contextos conocidos.

7–8El alumno hace deducciones adecuadas en todo momento al resolver problemas que plantean un desafío en una variedad de contextos, incluidas situaciones desconocidas.

Notas• Situación desconocida: se refiere a preguntas o instrucciones complejas establecidas en un contexto

nuevo en el que los alumnos tienen que aplicar los conocimientos o las habilidades que han adquirido.

• Deducción: es el razonamiento que parte de conceptos generales para llegar a conclusiones particulares o específicas a partir de la información proporcionada.

• Contexto: es la situación en que se plantea un problema y los parámetros que lo definen.



Criterio B: Investigación de patronesMáximo: 8Mediante el uso de investigaciones matemáticas, los alumnos tienen la oportunidad de aplicar conocimientos matemáticos y técnicas de resolución de problemas, generar y analizar información, encontrar relaciones y patrones, y describirlos en términos matemáticos como reglas generales proporcionando justificaciones o pruebas.


• Selecciona y aplica las técnicas matemáticas de resolución de problemas y de investigación adecuadas

• Reconoce patrones

• Describe patrones como relaciones o reglas generales

• Extrae conclusiones coherentes con los hallazgos

• Justifica o demuestra reglas generales y relaciones matemáticas

Las tareas de evaluación para este criterio deben ser investigaciones matemáticas de cierta complejidad, de acuerdo con el nivel de Matemáticas del PAI. Estas tareas deberán permitir a los alumnos elegir sus propias técnicas matemáticas para investigar problemas y razonar de lo particular a lo general. Pueden tener varias soluciones y plantearse en contextos tomados de la vida real. Los profesores deben especificar claramente si el alumno tiene que proporcionar justificaciones o demostraciones.

Los docentes deben preparar tareas tratando de guardar un equilibrio entre los ejercicios realizados en condiciones de examen y las realizadas en casa, a fin de garantizar el desarrollo de un pensamiento matemático autónomo.



1–2El alumno aplica técnicas matemáticas de resolución de problemas para reconocer patrones sencillos, aunque necesita cierta orientación por parte del profesor.

3–4El alumno aplica técnicas matemáticas de resolución de problemas para reconocer patrones y sugiere relaciones o reglas generales.

5–6El alumno selecciona y aplica técnicas matemáticas de resolución de problemas para reconocer patrones, describe los patrones como relaciones o reglas generales y saca conclusiones de acuerdo con los hallazgos.

7–8

El alumno selecciona y aplica técnicas matemáticas de resolución de problemas para reconocer patrones, describe los patrones como relaciones o reglas generales, saca conclusiones correctas de acuerdo con los hallazgos y proporciona justificaciones o demostraciones.

Notas• Patrón: es el orden subyacente, la regularidad o previsibilidad entre los elementos de un sistema

matemático. Reconocer un patrón es comenzar a comprender cómo se aplican las matemáticas al mundo en el que vivimos. Las características o rasgos que se repiten se pueden identificar y describir como relaciones o reglas generales.



• Justificación: es la presentación de razones o pruebas válidas que respalden la conclusión y expliquen por qué funciona la regla.

• Demostración: es una prueba matemática de la verdad de las relaciones o reglas generales.

• Un alumno que describa una regla general de acuerdo con hallazgos incorrectos podrá alcanzar la banda 5–6 siempre y cuando esta regla posea un nivel de complejidad equivalente.

• En la tarea del profesor se deberán incluir pautas claras para asegurarse de que todos los alumnos reciban la misma orientación y entiendan los requisitos básicos de la tarea.



Criterio C: Comunicación en matemáticasMáximo: 6Se espera que los alumnos utilicen el lenguaje matemático adecuadamente al comunicar las ideas, los razonamientos y los hallazgos, tanto de forma oral como escrita.


• Utiliza el lenguaje matemático adecuado en explicaciones tanto orales como escritas

• Utiliza diferentes formas de representación matemática


Se anima a los alumnos a elegir y utilizar herramientas de las TIC, cuando dispongan de ellas, para mejorar la comunicación de sus ideas matemáticas. Algunas de estas herramientas que se pueden emplear en matemáticas incluyen hojas de cálculo, programas informáticos de trazado de gráficos, programas de geometría dinámica, programas de cálculo simbólico, programas de contenido matemático específico, calculadoras de pantalla gráfica, procesadores de textos, programas de autoedición, organizadores gráficos y capturas de pantalla.

Las tareas de evaluación para este criterio pueden ser problemas tomados de contextos de la vida real, pruebas, exámenes e investigaciones.

Las pruebas y los exámenes que se vayan a evaluar con el criterio C deben diseñarse de modo que se permita a los alumnos mostrar líneas de razonamiento completas utilizando el lenguaje matemático.



1–2

El alumno muestra un uso básico del lenguaje matemático o de las formas de representación matemática, o ambos.

Las líneas de razonamiento son difíciles de seguir.

3–4

El alumno muestra un uso suficiente del lenguaje matemático y de las formas de representación matemática.

Las líneas de razonamiento son claras, pero no siempre lógicas o completas.

El alumno cambia de unas formas de representación matemática a otras con cierta eficacia.

5–6

El alumno muestra un buen uso del lenguaje matemático y de las formas de representación matemática.

Las líneas de razonamiento son concisas, lógicas y completas.

El alumno cambia de unas formas de representación matemática a otras de forma eficaz.

Notas• Lenguaje matemático: se refiere al uso de la notación, los símbolos, la terminología y la explicación

verbal.

• Formas de representación matemática: se refiere a las fórmulas, diagramas, tablas, cuadros, gráficos y modelos utilizados para representar información matemática.



Criterio D: Reflexión en matemáticasMáximo: 6La asignatura de Matemáticas del PAI favorece que los alumnos reflexionen sobre sus hallazgos y los procesos de resolución de problemas que utilizan.


• Explica si sus resultados tienen sentido en el contexto del problema

• Explica, cuando corresponde, la importancia de sus hallazgos en relación con la vida real

• Justifica, cuando corresponde, el grado de precisión de sus resultados

• Sugiere mejoras para el método cuando es necesario

Las tareas de evaluación pueden ser sobre todo investigaciones matemáticas o problemas de la vida real. Por lo general, este tipo de tareas brinda a los alumnos la oportunidad de utilizar las habilidades y los conceptos matemáticos para resolver problemas tomados de contextos de la vida real.



1–2

El alumno intenta explicar si sus resultados tienen sentido en el contexto del problema.

El alumno intenta describir la importancia de sus hallazgos en relación con la vida real, cuando corresponde.

3–4

El alumno explica de forma correcta, aunque breve, si sus resultados tienen sentido en el contexto del problema.

El alumno describe la importancia de sus hallazgos en relación con la vida real, cuando corresponde.

El alumno intenta justificar el grado de precisión de sus resultados, cuando corresponde.

5–6

El alumno explica de forma razonada si sus resultados tienen sentido en el contexto del problema.

El alumno proporciona una explicación detallada de la importancia de sus hallazgos en relación con la vida real, cuando corresponde.

El alumno justifica el grado de precisión de sus resultados, cuando corresponde.

El alumno sugiere mejoras para el método, cuando corresponde.

Notas• Explicar: es la presentación de información detallada, proporcionando razones o causas.

• Describir: es la presentación de información detallada.


Evaluación

Cómo determinar la calificación final

En esta sección se explica el proceso mediante el cual el nivel de logro global de un alumno (con respecto a los criterios de evaluación) se convierte en una calificación final única.

1. Obtención de la informaciónLos profesores utilizarán tareas de evaluación para medir el desempeño de sus alumnos con respecto a los criterios de evaluación periódicamente durante el último año de la asignatura. Muchas tareas les permitirán evaluar a los alumnos con respecto a más de un criterio.

Para la evaluación final, los profesores deben asegurarse de efectuar para cada alumno varias valoraciones con respecto a cada criterio. Esto puede lograrse utilizando algunos tipos de tareas de evaluación más de una vez, o bien empleando otros tipos de actividades de evaluación. Matemáticas del PAI tiene cuatro criterios de evaluación y, por tanto, deben realizarse al menos ocho valoraciones (dos por cada criterio) para la evaluación final de los alumnos en el último año. No obstante, como las tareas más complejas generalmente se pueden evaluar mediante varios criterios, la evaluación final puede basarse en un número reducido de tareas.

Importante: Si más de un profesor imparte la misma asignatura en el mismo curso, el colegio debe asegurarse de que se lleve a cabo una estandarización interna para garantizar que a todos los alumnos se les apliquen los criterios de evaluación de la misma manera. En los casos de evaluación conjunta, la mejor manera de llevar a cabo la estandarización interna es mediante:

• El uso de las mismas tareas de evaluación

• La evaluación compartida entre varios profesores

• El contacto frecuente entre los profesores

Es posible que en algunos colegios los alumnos estén agrupados según su nivel de aptitud en una asignatura. En estos casos, la evaluación final en todos los grupos debe basarse en la aplicación coherente de los criterios de evaluación a todos los alumnos. No deben aplicarse estándares diferentes a los distintos grupos.

2. La valoración final para cada criterioUna vez realizadas las valoraciones de las distintas tareas, los profesores podrán decidir cuál es el nivel de logro de cada alumno al final del programa. Esto se hace determinando el nivel más adecuado para cada criterio. Si las valoraciones realizadas para un criterio son distintas en diferentes tareas de evaluación, el profesor debe decidir cuál de ellas refleja mejor el nivel de logro alcanzado por el alumno al final del programa.

Importante: Los profesores no deben calcular un promedio aritmético de los niveles obtenidos por el alumno en cada criterio durante el quinto año, puesto que el desarrollo académico de los alumnos continúa hasta el final del programa. Los profesores deben hacer uso de su criterio profesional (basándose en el trabajo realizado) para determinar qué nivel de logro refleja mejor el desempeño general del alumno con respecto a cada uno de los criterios al final del programa.

Cómo determinar la calificación final


3. Cómo determinar la puntuación totalLas valoraciones finales de cada criterio deben sumarse para obtener la puntuación total del alumno en Matemáticas. En Matemáticas, el nivel máximo es 8 para los criterios A y B, y 6 para los criterios C y D. Por lo tanto, la puntuación total máxima será 28.

La puntuación total de la asignatura es la que los colegios que inscriban alumnos para recibir calificaciones finales validadas por el IB deberán enviar mediante IBIS (sistema de información del Bachillerato Internacional).

4. Cómo determinar la calificación final para MatemáticasPara hallar la calificación final del alumno, se deben aplicar las bandas de calificación a la puntuación total en la asignatura.

Las bandas de calificación de Matemáticas se publican en el Manual para coordinadores del PAI.

En todas las asignaturas del PAI las calificaciones finales van del 1 (la más baja) al 7 (la más alta) en la hoja de resultados finales del IB, que es el documento que reciben los alumnos inscritos para recibir calificaciones finales validadas por el IB. Los descriptores generales de calificaciones finales del PAI describen los requisitos que deben cumplir los alumnos para obtener cada calificación. Después de utilizar la tabla de conversión para determinar la calificación final del alumno en Matemáticas, los profesores deben consultar la tabla de los descriptores generales de calificaciones finales para asegurarse de que la descripción refleje adecuadamente los logros del alumno.

Los colegios que solicitan la validación de las calificaciones finales por el IB deben utilizar solamente los criterios de evaluación publicados para la asignatura del PAI como base para determinar los resultados finales que remiten al IB (para la moderación y como evaluación final a fin de obtener la certificación).

Los colegios que no soliciten la validación de las calificaciones finales por el IB pueden utilizar estos criterios junto con otros que hayan desarrollado en el propio colegio, e informarán a padres y a alumnos acerca del rendimiento con relación a dichos criterios. Estos colegios pueden optar por utilizar sus propias bandas de calificación (si utilizan los criterios publicados y criterios adicionales), o bien las publicadas por el IB.


Evaluación

Matemáticas: moderación

La siguiente información solamente concierne a aquellos colegios que soliciten calificaciones validadas por el IB para sus alumnos.

Asegúrese de consultar también la sección “La evaluación en el PAI”.

Propósito de la moderaciónEl propósito del procedimiento de moderación externa en todos los grupos de asignaturas del PAI y el Proyecto Personal es garantizar que los alumnos de diferentes colegios y diferentes países reciban calificaciones finales equiparables por trabajo equiparable, y que se apliquen los mismos estándares de un año a otro.

Toda la evaluación del PAI la realizan los propios profesores (o los supervisores en el caso del Proyecto Personal). Los procedimientos de moderación del IB garantizan que las tareas finales asignadas por los profesores sean adecuadas y que las valoraciones finales de estos se ajusten a una escala basada en criterios comunes aceptada por todos.

Para garantizar la equivalencia y la conformidad a pautas comunes, las muestras para moderación que se envían al IB deben evaluarse con los criterios de evaluación y los niveles de logro que figuran en esta guía.

Las muestras para moderación deben enviarse al IB antes de que termine el año académico. Las tareas que se envían para moderación no son las últimas del curso. Después de enviar las muestras, los colegios deben continuar evaluando el trabajo de los alumnos, ya que las tareas posteriores también contribuirán a la puntuación total del alumno en la asignatura.

Para obtener información general sobre la moderación, consulte el apéndice “Moderación” de la publicación El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008).

El proceso de moderación consta de tres fases bien diferenciadas:

• Fase 1: envío de las muestras para moderación

• Fase 2: envío de las puntuaciones totales

• Fase 3: concesión de las calificaciones finales del PAI

Fase 1: envío de las muestras para moderaciónLos colegios que soliciten calificaciones finales validadas por el IB para sus alumnos deben inscribir a dichos alumnos según las directrices que se indican en el Manual para coordinadores del PAI. Dichas directrices



se aplican tanto a los alumnos que solo pueden recibir la hoja de resultados finales como a aquellos que también pueden recibir el certificado del PAI.

Cada muestra para moderación debe incluir ocho carpetas, cada una con el trabajo de un solo alumno. La muestra debe reflejar los distintos niveles de aptitud del grupo de alumnos del último año e incluir dos carpetas comparativamente buenas, cuatro de nivel medio y dos comparativamente débiles. Solo se debe enviar el trabajo de alumnos inscritos para recibir calificaciones finales validadas por el IB. Si hay menos de ocho alumnos inscritos, la muestra constará de menos de ocho carpetas.

Desde junio de 2006, los colegios a cuyos resultados solo se hayan hecho ajustes mínimos durante un período de tres años deben enviar solo cuatro carpetas de trabajos de alumnos en lugar de ocho en las asignaturas correspondientes. “Ajustes mínimos” quiere decir diferencias de, como máximo, 3 puntos entre las puntuaciones totales que conceden los profesores y las que conceden los moderadores. Esto no significa que no pueda haber cambios en las calificaciones finales, ya que es posible que las puntuaciones totales de algunos alumnos pasen de una banda de calificación a otra aunque las diferencias —y, por tanto, los factores de moderación que se apliquen— sean pequeñas. En los informes de moderación se indica a los colegios si el año siguiente pueden enviar solamente cuatro carpetas. Esta situación se revisa todos los años y se aplica solamente a las asignaturas que se especifiquen en los informes de moderación. Para obtener más información, póngase en contacto con su coordinador del PAI.

Mínimo de trabajos prescritosEn la hoja de presentación para la moderación de la carpeta de cada alumno, debe haber únicamente dos valoraciones para cada criterio de Matemáticas (A, B, C, D) y en cada carpeta deberá incluirse lo siguiente:

• Una prueba o examen realizado en clase basado en una gran parte del temario, compuesto por una variedad de preguntas y problemas en situaciones conocidas y desconocidas, que cubra al menos tres ramas del marco de trabajo de Matemáticas y que permita a los alumnos alcanzar todos los niveles de logro. (Se recomienda el uso del criterio A para evaluar esta tarea.)

• Una investigación matemática realizada en condiciones de examen en la que se brinde a los alumnos la oportunidad de reconocer patrones y describirlos como relaciones o reglas generales, y justificarlos o demostrarlos. (Se recomienda el uso del criterio B para evaluar esta tarea.)

• Un problema de la vida real en el que se brinde a los alumnos la oportunidad de aplicar las matemáticas en una situación de la vida real, de reflexionar y de evaluar los hallazgos. (Es esencial utilizar el criterio D como uno de los criterios para evaluar esta tarea.)

Para la moderación de Matemáticas (nivel avanzado), los profesores deben indicar en las tareas de evaluación qué temas del marco general correspondientes a ese nivel se evalúan mediante dichas tareas.

Si fuera necesaria una cuarta tarea para poder realizar dos valoraciones en relación con cada criterio, podrá incluirse en la muestra para moderación una de las siguientes tareas:

• Una segunda prueba o examen que no tiene que abarcar obligatoriamente una gran parte del temario

• Una segunda investigación matemática que no tiene que ser necesariamente realizada en condiciones de examen

• Un segundo problema de la vida real



Se sugiere a los colegios que envíen un máximo de cuatro tareas para la moderación.

Características de las tareas prescritas para la moderaciónPrueba o examen realizado en clase basado en una gran parte del temarioEsta tarea debe permitir a los alumnos demostrar conocimientos y comprensión en relación con al menos tres ramas del marco general de Matemáticas, y debe constar de preguntas y problemas planteados en situaciones conocidas y desconocidas. Las pruebas o exámenes consistentes exclusivamente en preguntas de opción múltiple o que requieren simplemente una respuesta de “verdadero” o “falso” no son adecuados, ya que no ofrecen a los alumnos la oportunidad de demostrar su comprensión mediante el uso del razonamiento matemático. Se recomienda que uno de los criterios utilizados para evaluar esta tarea sea el criterio A.

Investigación matemáticaEsta tarea debe desarrollarse a partir de un problema inicial que no tenga una solución o un enfoque obvios.

La investigación:

• Debe suponer un desafío y permitir el uso de la creatividad

• Debe permitir a los alumnos elegir distintas formas de proceder entre una gama de opciones

• Puede tener diversas respuestas

• Debe favorecer el desarrollo de las habilidades de:

– Elaboración de estrategias

– Generación de datos

– Reconocimiento de patrones o estructuras

– Búsqueda de otros casos

– Formulación, comprobación y justificación o demostración de una regla general

El alumno debe diseñar y realizar la investigación matemática de forma independiente. Las tareas guiadas en las que los alumnos simplemente deben seguir un procedimiento no son adecuadas.

Se recomienda que uno de los criterios utilizados para evaluar esta tarea sea el criterio B.

Problema de la vida realEsta tarea puede estar inspirada en la relación entre las matemáticas y otras áreas del conocimiento, tales como las ciencias, el mundo físico, medio ambiente, economía, tecnología, salud, medicina o sociedad. Asimismo, debe destacar el papel que desempeña esta disciplina en el mundo real.

Debe permitir al alumno aplicar las matemáticas a la vida real mediante:

• La identificación del problema

• La expresión matemática del problema

• La resolución del problema

• La interpretación de las soluciones en el contexto de la vida real

Es esencial utilizar el criterio D como uno de los criterios para evaluar esta tarea.



Notas• En la medida de lo posible, se deben incluir las mismas unidades de trabajo para todos los alumnos de

la muestra para moderación.

• Los trabajos que se envíen para la moderación deben reflejar los tipos de tareas utilizadas para la evaluación final y diseñarse de tal forma que permitan a los alumnos alcanzar los descriptores más altos de cada criterio.

• Para ayudar a los colegios a programar la preparación de las muestras para la moderación, se permite incluir trabajos correspondientes al final del cuarto año del programa, siempre que se hayan aplicado los criterios de evaluación del último año. La muestra también deberá incluir trabajos realizados en el quinto año.

• Si bien en la práctica se fomenta el trabajo en grupo, no se deben presentar trabajos grupales para la moderación pues resulta difícil para los moderadores saber cuál es la contribución de cada alumno a un trabajo realizado en estas circunstancias.

• Por ley, los alumnos son los titulares de los derechos de autor de sus trabajos y, en la mayoría de los casos, el colegio es titular de los derechos de autor de las tareas creadas por los profesores. No obstante, cuando el colegio envía estos materiales al IB, se interpreta que los alumnos y los colegios otorgan al IB una licencia no exclusiva válida en todo el mundo para utilizarlos. Consulte las secciones F1 y F3 del Manual para coordinadores del PAI para más información sobre cómo pueden utilizarse estos materiales, y la sección F4 para obtener una copia del formulario Reclamación de exclusividad de derechos de autor, si es necesario.

• A efectos de la moderación, cada criterio (A, B, C, D) debe contar con dos valoraciones.

• Los profesores pueden haber diseñado tareas que se centran solamente en uno o dos de los criterios, por lo que no pueden realizar dos valoraciones por criterio solo con el mínimo de tres tareas prescritas. En estos casos, los profesores pueden incluir tareas adicionales en la muestra hasta que se hayan hecho dos valoraciones con cada criterio. Si se ha evaluado con un criterio más de dos veces en la muestra, las evaluaciones adicionales no se moderarán.

Organización práctica de la muestra para moderación• Debe utilizarse la hoja de presentación (formulario F3.1) para registrar las valoraciones de cada criterio

en la carpeta de cada alumno.

• La información de contexto debe compilarse en una carpeta independiente de las carpetas de los alumnos. La información de contexto debe aportar datos que sean útiles para los moderadores:

– El contexto y los resultados esperados de la unidad de trabajo

– El tiempo asignado

– El grado de apoyo recibido del profesor

– Las condiciones en las que se realizó el trabajo

– Información sobre la aplicación de los criterios de evaluación

Se deben incluir planificadores de unidades en la información de contexto para que los moderadores conozcan en qué contexto se realizó la tarea. El moderador no formulará comentarios acerca del planificador de unidades.

• En Matemáticas, la información de contexto debe indicar también en qué conceptos y habilidades se centraron específicamente las tareas de evaluación.

• La información de contexto debe compilarse en una novena carpeta. No es necesario incluir esta información en las carpetas de los alumnos. Dicha información puede enviarse en la lengua de trabajo del colegio (español, francés, o inglés).



• En la muestra, deben incluirse copias claras y legibles de los trabajos. Se pueden enviar los originales de los trabajos de los alumnos, pero estos no serán devueltos a los colegios.

• Se espera que los alumnos siempre citen las fuentes que hayan consultado para realizar sus trabajos.

• Si los profesores o los alumnos utilizan material de terceros como estímulos o como parte de sus tareas, deberán citarse todas las fuentes correspondientes, incluyendo el título de la fuente, el autor, la fecha de publicación, la editorial y, si se trata de un libro, el ISBN. Ejemplos de material de terceros son artículos de revistas y periódicos, tiras cómicas, videos, partes de películas, pasajes de libros, fotos (la referencia de la fuente original se encontrará en la publicación de la que se extrajo la foto), diagramas, gráficos, tablas, estadísticas, materiales de sitios web, entre otros.

Fase 2: envío de las puntuaciones totalesLa fase 1 del proceso de moderación tiene lugar antes de finalizar el año académico en la mayoría de los colegios. Después de enviar las muestras para moderación, los profesores deben continuar evaluando el trabajo de los alumnos hasta la evaluación final.

Tras la evaluación final, los profesores deben utilizar el procedimiento descrito en “Cómo determinar la calificación final” para calcular la puntuación total de cada alumno inscrito para el certificado.

El coordinador del PAI ingresará en IBIS la puntuación total de la asignatura de cada alumno inscrito y la enviará al IB.

Fase 3: concesión de las calificaciones finales del PAIUna vez realizada la moderación de cada asignatura, el IB aplicará, cuando sea apropiado, un factor de moderación a las puntuaciones totales para la asignatura enviadas por un colegio. Las calificaciones finales se determinarán entonces aplicando las bandas de calificación a estas puntuaciones totales moderadas.

Las calificaciones finales de los alumnos serán notificadas a los colegios y el IB facilitará también un informe de moderación específico para el colegio y uno general de cada asignatura en que hubo alumnos matriculados.

El Manual para coordinadores del PAI ofrece más información sobre el envío de las puntuaciones totales de cada asignatura.


Evaluación

Matemáticas: seguimiento de la evaluación

La siguiente sección solamente concierne a aquellos colegios que no soliciten calificaciones finales validadas por el IB.

Asegúrese de consultar también las secciones “La evaluación en el PAI” y “Matemáticas: moderación”.

DefiniciónEl seguimiento de la evaluación es un servicio disponible para los Colegios del Mundo del IB que ofrecen el PAI por el cual pueden enviar al IB muestras de trabajos de alumnos ya evaluados y recibir al respecto un informe de un moderador con experiencia. Para recibir este servicio, es necesario pagar una tasa.

El objetivo de este seguimiento es guiar a los colegios en la implementación y desarrollo del programa con respecto a los procedimientos y prácticas de la evaluación interna. El seguimiento de la evaluación no está relacionado con la validación de calificaciones finales y, por tanto, difiere del proceso de moderación externa. Este servicio actualmente se limita a la evaluación realizada en los tres últimos años del programa.

Las muestras para el seguimiento de la evaluación en Matemáticas deben enviarse en español, francés, o inglés, aunque también se admiten traducciones en dichas lenguas.

En el Manual para coordinadores del PAI se detalla el proceso de inscripción y las tasas para el seguimiento de la evaluación, y contiene las versiones más actuales de las hojas de presentación.

Para obtener más información sobre el seguimiento de la evaluación, consulte el apéndice “Seguimiento de la evaluación” de la publicación El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008). A continuación se facilita un resumen de la información.

PropósitoExisten tres razones por las que los colegios pueden enviar una muestra para el seguimiento de la evaluación:

1. Como requisito previo a la visita de evaluación

2. Como comprobación previa al envío de muestras para moderación

3. Para recibir orientación sobre una asignatura específica

Matemáticas: seguimiento de la evaluación


Elección de tareas para el seguimiento de la evaluación

Muestras para la visita de evaluación u orientación generalLos colegios deciden qué tipos de tareas enviar para el seguimiento de la evaluación previo a la visita de evaluación o para obtener orientación general. Sin embargo, se recomienda considerar la lista de tareas indicadas en la sección “Matemáticas: moderación” porque está concebida para aplicar de forma homogénea los criterios de evaluación de Matemáticas.

Antes de la moderaciónSi el colegio solicita el seguimiento de la evaluación como preparación para una futura moderación, la muestra de trabajos de alumnos ya evaluados debe contener las tareas que se indican a continuación. Estas son el mínimo obligatorio que se detalla en la sección “Matemáticas: moderación”.

• Una prueba o examen realizado en clase basado en una gran parte del temario, compuesto por una variedad de preguntas y problemas en situaciones conocidas y desconocidas, que cubre al menos tres ramas del marco de trabajo de Matemáticas y que permite a los alumnos alcanzar todos los niveles de logro. (Se recomienda el uso del criterio A para evaluar esta tarea.)

• Una investigación matemática realizada en condiciones de examen en la que se brinde a los alumnos la oportunidad de reconocer patrones y describirlos como relaciones o reglas generales, y justificarlos o demostrarlos. (Se recomienda el uso del criterio B para evaluar esta tarea.)

• Un problema de la vida real en el que se brinde a los alumnos la oportunidad de aplicar las matemáticas en una situación de la vida real, de reflexionar y de evaluar los hallazgos. (Es esencial utilizar el criterio D como uno de los criterios para evaluar esta tarea.)

Consulte la sección “Matemáticas: moderación” para obtener más información.


Apéndices

Preguntas frecuentes

Generalidades¿En qué se diferencia Matemáticas del PAI de otros cursos de matemáticas?

El objetivo de Matemáticas del PAI es desarrollar en los alumnos la competencia matemática y la capacidad intelectual necesarias para realizar estudios posteriores en la disciplina, y adquirir confianza para usar las matemáticas en el futuro. Por lo tanto, debe ser una asignatura al alcance de todos los alumnos y que todos los alumnos deben estudiar.

A diferencia de otros cursos de matemáticas, en los cuales el énfasis se pone exclusivamente en el desarrollo de conocimientos y habilidades matemáticas, en Matemáticas del PAI se hace hincapié en el desarrollo de una capacidad intelectual para continuar aprendiendo durante toda la vida. Los objetivos finales de la asignatura buscan plasmar las características del perfil de la comunidad de aprendizaje del IB, ya que fomentan el desarrollo de alumnos que sean informados e instruidos, indagadores, buenos comunicadores y reflexivos.

En Matemáticas del PAI se fomenta el uso de las investigaciones como medio para el aprendizaje basado en la indagación, a la vez que se permite a los alumnos explorar conceptos y resolver problemas utilizando habilidades y razonamientos matemáticos. La comunicación y la reflexión son fundamentales en la enseñanza y el aprendizaje de esta asignatura, y contribuyen a formar a los alumnos como pensadores analíticos y críticos que pueden acceder a la información y comunicar las ideas y los hallazgos con confianza mediante el lenguaje matemático.

Asimismo, se fomenta el uso por parte de los profesores de investigaciones y problemas enmarcados en contextos de la vida real, para ayudar a los alumnos a ver las conexiones entre las matemáticas y otras áreas, y apreciar la función de las matemáticas en la vida y la sociedad.

¿Cómo prepara el PAI a los alumnos para el Programa del Diploma?

Matemáticas del PAI tiene como finalidad preparar a los alumnos para los cursos de matemáticas que pueden realizar después de los 16 años de edad, incluidos los de Matemáticas Nivel Medio (NM) y Matemáticas Nivel Superior (NS) del Programa del Diploma.

El marco general de Matemáticas ofrece suficiente amplitud y profundidad para satisfacer las necesidades de los alumnos que deseen estudiar esta asignatura en el Programa del Diploma.

Dicho marco general se ha revisado teniendo en cuenta el currículo del Programa del Diploma con el fin de cubrir los conceptos y habilidades que se consideran conocimientos previos necesarios para los cursos de Matemáticas NM y NS. Los dos niveles (general y avanzado) indicados en el marco general de la asignatura se han perfeccionado para facilitar la transición entre Matemáticas del PAI y los cursos de Matemáticas del Programa del Diploma.

¿Es posible adoptar otros objetivos aparte de los indicados en la guía de Matemáticas?

Los profesores pueden adoptar otros objetivos además de los indicados. No obstante, al término del último año del PAI, los alumnos deben haber tenido la oportunidad de alcanzar todos los objetivos establecidos en esta guía.



¿Qué nivel de matemáticas debemos ofrecer? ¿Es necesario agrupar a los alumnos según sus aptitudes?

El marco general de Matemáticas del PAI permite a los alumnos trabajar en dos niveles: Matemáticas (nivel general) y Matemáticas (nivel avanzado). Sin embargo, es prerrogativa del colegio decidir si ofrecerá uno o ambos niveles, y si agrupará a los alumnos según sus aptitudes o si habrá alumnos con diversos niveles de aptitud dentro de un mismo grupo.

Estas decisiones deben basarse en el análisis de una serie de factores, incluidos los requisitos de los sistemas educativos locales y nacionales, las características del alumnado y los recursos de que disponga el colegio.

La mayoría de los colegios que ofrecen los niveles general y avanzado de Matemáticas no enseñan a los alumnos con aptitudes diferentes en clases diferentes hasta que cursan el tercer año del PAI.

Se recomienda que los alumnos que deseen estudiar Matemáticas Nivel Superior (NS) en el Programa del Diploma cursen el nivel avanzado de Matemáticas del PAI. No obstante, muchos colegios preparan a sus alumnos para este curso con el nivel general.

¿Se deben estudiar todas las ramas indicadas en el marco general de Matemáticas en cada año del programa?

No, no es obligatorio estudiar todas las ramas del marco general en cada año del programa. Tampoco se espera que el programa de estudios del colegio cubra todos los conceptos y las habilidades de las cinco ramas.

Los colegios deben decidir cómo estructurar y organizar la secuencia de la enseñanza, utilizando el marco general como guía para que los cursos que diseñen se ajusten a las necesidades de sus alumnos y, a la vez, cumplan con los requisitos educativos a nivel local y nacional. Por ejemplo, el colegio puede decidir hacer mayor hincapié en determinadas ramas en los primeros años del PAI y dejar otras para los últimos años, o puede preferir abordar determinados conceptos y habilidades en todas las ramas a medida que los alumnos avanzan en el programa.

Sin embargo, a fin de permitir que los alumnos alcancen los objetivos finales de Matemáticas del PAI, los colegios deben asegurarse de que en los cinco años (o la duración completa) del programa, los alumnos tengan experiencias de aprendizaje en relación con todas las ramas: números y operaciones, álgebra, geometría y trigonometría, estadística y probabilidad, y matemática discreta.

¿Qué parte del marco general de Matemáticas debe cubrirse en cada nivel?

El marco general de Matemáticas no constituye un temario que los profesores deben cubrir en el curso. Debe utilizarse como guía para ayudar a los profesores a diseñar y planificar sus cursos en los dos niveles. Se estructura en cinco ramas y sugiere conceptos y habilidades para los niveles general y avanzado de Matemáticas.

El currículo de Matemáticas que el colegio diseñe debe permitir que al finalizar el programa los alumnos hayan tenido experiencias de aprendizaje en esas cinco ramas. Por otra parte, los colegios deben asegurarse de que los cursos que diseñen no afecten al cumplimiento de los objetivos finales de Matemáticas del PAI.

¿Cómo puedo ayudar a los alumnos que tienen dificultades con el nivel general de Matemáticas?

Algunos alumnos pueden necesitar apoyo adicional para alcanzar los objetivos del nivel general de Matemáticas del PAI. En ese caso, es importante determinar las necesidades de los alumnos para poder apoyar su aprendizaje de la mejor manera posible. Es posible que algunos alumnos realicen el curso en una lengua que no sea la suya materna, o que tengan alguna necesidad educativa especial, ya sea diagnosticada o no. Cualquiera de esos casos debe ser investigado e identificado para que el colegio pueda organizar sistemas adecuados de apoyo a esos alumnos. Ello puede incluir capacitación para los profesores, cursos de apoyo lingüístico, clases individuales de apoyo en la asignatura, designación de alumnos mentores, enseñanza diferenciada, modificación de las tareas de evaluación o una entrevista con un especialista en necesidades educativas especiales para realizar un diagnóstico y ofrecer orientación para la enseñanza.



Para más información sobre estos temas, véase el documento El aprendizaje en una lengua distinta a la materna en los programas del IB, y la página de necesidades educativas especiales, los materiales pedagógicos y los foros de debate respectivos en el Centro pedagógico en línea (CPEL).

¿Cómo puedo adaptar la enseñanza de las matemáticas para atender las necesidades educativas especiales?

Existen varias formas de diferenciar la enseñanza para atender las necesidades educativas especiales que puedan tener los alumnos. Los profesores deben centrarse en el desarrollo de habilidades y competencias básicas, a fin de apoyar el desarrollo de la capacidad matemática de los alumnos como parte de las habilidades necesarias para continuar aprendiendo toda la vida.

A continuación se ofrecen algunas sugerencias para diferenciar la enseñanza en matemáticas:

• Utilizar contextos de la vida real para la aplicación de conocimientos y habilidades a la hora de diseñar situaciones para la resolución de problemas, de modo que las experiencias que se ofrezcan a los alumnos resulten significativas.

• Diferenciar las tareas para incorporar las diversas habilidades y aptitudes de los alumnos.

• Emplear la enseñanza directa en el caso de las habilidades básicas, para ayudar a los alumnos a procesar el vocabulario, el formato de los textos, la estructura y el uso de los símbolos en matemáticas.

• Fomentar el uso de estrategias de aprendizaje cooperativo y emplear un enfoque individualizado.

• Fomentar la repetición y dedicar tiempo adicional a la consolidación de los conocimientos.

• Limitar el número de ejercicios y concentrarse en reforzar la comprensión. No esperar que los alumnos con necesidades educativas especiales hagan tantos problemas como los demás; limitar el número requerido para demostrar la comprensión y aplicación de los temas.

• Utilizar las TIC (por ejemplo, calculadoras, programas informáticos de matemáticas) como ayuda y apoyo para la comprensión.

• Desarrollar un enfoque de los conocimientos estructurado en niveles para ajustarse a las necesidades de los alumnos:

– Conocimientos básicos que todos deberían tener

– Conocimientos que la mayoría de los alumnos deberían tener

– Conocimientos que representen un mayor desafío y se basen en los intereses de los alumnos, para aquellos que deseen exigirse más

• Fomentar el diseño de proyectos que ofrezcan opciones relacionadas con los intereses de los alumnos (por ejemplo, analizar los precios de distintos proveedores de teléfonos móviles).

• Realizar un seguimiento y registrar el progreso de los alumnos de forma regular y elaborar planificaciones anuales dirigidas a diferentes grupos de alumnos.

Para consultar otras estrategias, véase la página de necesidades educativas especiales, los materiales pedagógicos y los foros de debate respectivos en el Centro pedagógico en línea (CPEL).

¿Cómo puedo detectar el plagio? ¿Qué puedo hacer para evitarlo?

Si sospecha que un trabajo ha sido plagiado, una manera de verificarlo es hacer una búsqueda en Internet. Utilizando un motor de búsqueda, escriba una sección del texto entre comillas (suele bastar con una oración). Si el trabajo se ha copiado directamente de un sitio web, será detectado. Su colegio puede también suscribirse a un servicio de detección de plagio. El plagio de otras fuentes puede ser más difícil de detectar, dependiendo de cómo esté el profesor de familiarizado con todos los recursos a los que pueden acceder los alumnos.



La mejor solución es evitar proponer a los alumnos tareas que son fáciles de realizar mediante plagio u otras formas de deshonestidad académica. Asimismo, las tareas deben ser estimulantes, pero no tan difíciles como para que los alumnos estén tentados de recurrir a medios que contravengan la probidad académica para realizarlas. Los alumnos deben contar con apoyo cuando lo necesiten. Para obtener más información sobre la política del IB en materia de probidad académica, consulte la publicación Probidad académica que se encuentra disponible en el CPEL.

¿El IB recomienda algún estilo en particular para la presentación de referencias, citas y notas a pie de página?

No hay un estilo establecido para la presentación de referencias en el PAI. Los colegios deben optar por uno o más estilos reconocidos académicamente que convengan a las necesidades de los alumnos y del colegio.

¿Podemos utilizar materiales didácticos si no tenemos una idea clara de cuál es su origen?

Los profesores, al igual que los alumnos, deben respetar las directrices relativas a la probidad académica. Por tanto, deben hacer todo lo posible por citar las referencias del trabajo de otras personas que utilicen en la clase.

¿Por qué no se incluyen las bandas de calificación en la guía?

Las bandas de calificaciones finales se incluyen en el Manual para coordinadores del PAI (disponible en el CPEL), que se actualiza cada año. Esto permite ajustar las bandas de calificación, de ser necesario, después de la primera sesión de moderación.

EvaluaciónMe gustaría evaluar a mis alumnos mediante una amplia variedad de tareas, sin tener que limitarme a una prueba o examen, una investigación matemática o un problema de la vida real. ¿Puedo evaluar de otras formas también?

Sí. La prueba o examen, la investigación matemática y el problema de la vida real son las tareas mínimas necesarias para la moderación o el seguimiento de la evaluación, y constituyen solamente una parte de lo que se evalúa en los colegios. Las capacidades de los alumnos deben evaluarse mediante una amplia variedad de actividades durante todos los años del PAI.

¿Por qué se decidió que la investigación se realice “en condiciones de examen”?

Esta decisión se tomó por dos razones. En primer lugar para reducir la carga de trabajo general de los alumnos, y en segundo lugar a fin de asegurar que el trabajo que se envía para moderación es individual y auténtico. La realización de la investigación en condiciones de examen conlleva limitaciones de tiempo y puede ayudar a los alumnos a delimitar mejor el alcance de la indagación. Por lo tanto, los profesores deben asegurarse de que las tareas que diseñen proporcionen suficiente información para que los alumnos realicen la investigación y puedan llevarla a cabo en el tiempo establecido.

¿Qué se entiende por investigación abierta en matemáticas?

Una investigación abierta es aquella que tiene más de una solución posible, o que permite más de un enfoque. Un ejemplo de lo primero podría ser: “Diseñe un recipiente que pueda contener 330 ml de líquido utilizando la menor cantidad de material posible”. Un ejemplo de lo segundo podría ser: “A partir de las marcas de los últimos 100 años en las carreras de 1.500 metros, prediga cuál será el récord en el año 2050”.

¿Cuál es la diferencia entre “aplica” y “selecciona y aplica” en la redacción que se le da al criterio B?

En el nivel de logro 3–4 los alumnos aplican técnicas matemáticas de resolución de problemas con cierta orientación por parte del profesor. En ese contexto, “aplica” implica que el alumno puede haber recibido instrucciones para resolver el problema o ayuda del profesor.



Sin embargo, un alumno alcanza el nivel 5–6 cuando “selecciona y aplica” técnicas matemáticas de resolución de problemas sin orientación. “Selecciona” en este contexto implica que el alumno ha contemplado distintas alternativas y ha decidido consciente e independientemente qué técnica matemática emplear.

¿Cuál es la relación entre la puntuación total de cada criterio y la calificación final?

La puntuación obtenida en un criterio constituye solamente una parte de la evaluación de Matemáticas. Por ejemplo, el nivel obtenido en el criterio C refleja solamente los logros del alumno en cuanto a la “comunicación en matemáticas” y no ofrece una imagen de conjunto de sus competencias matemáticas. Para hallar la calificación final de un alumno, el profesor debe tener en cuenta las puntuaciones de cada uno de los criterios y adjudicar un resultado final equilibrado. En resumen, la calificación final refleja de manera global los logros del alumno en la asignatura, mientras que las puntuaciones obtenidas en cada criterio muestran los logros del alumno en los distintos componentes de la asignatura.

Por ejemplo:

Criterio A (/8)

Criterio B (/8)

Criterio C (/6)

Criterio D (/6)

Total (/28) Calificación final

Alumno 1 5 4 6 6 21 5

Alumno 2 8 8 3 3 22 5

Las puntuaciones de los criterios y las calificaciones finales tienen utilidades diferentes. Por ejemplo, los colegios pueden utilizar las calificaciones finales en los boletines escolares y los informes para los padres, y utilizar las puntuaciones obtenidas en los criterios al preparar sus clases, ya que estas reflejan de manera más específica las necesidades de los alumnos.

¿En qué momento resulta apropiado utilizar “cuando corresponde”?

El profesor debe determinar en qué momento un aspecto de la evaluación resulta apropiado para la tarea. Es esencial permitir a los alumnos abordar todos los aspectos de la evaluación en cada año del programa. Tenga en cuenta que es imprescindible evaluar el aspecto siguiente del criterio D en todos los problemas de la vida real tratados:

“El alumno proporciona una explicación detallada de la importancia de sus hallazgos en relación con la vida real, cuando corresponde.”

Moderación¿Cuáles son los requisitos para la moderación de Matemáticas (nivel avanzado)?

Los requisitos para la moderación del nivel avanzado de Matemáticas son los mismos que los del nivel general. En ambos se debe cumplir con el mínimo de tareas prescrito que se indica en la sección “Matemáticas: moderación” de esta guía. No obstante, para la moderación de Matemáticas (nivel avanzado), los profesores deben indicar en las tareas de evaluación qué temas del marco general correspondientes a ese nivel se evalúan mediante dichas tareas.

¿Cómo puedo abordar cada criterio dos veces en las tres tareas requeridas para moderación?

Al diseñar una tarea, los profesores deben verificar los descriptores de los criterios a fin de asegurarse de que dicha tarea es adecuada para evaluar a los alumnos en relación con los criterios deseados y que les ofrece la oportunidad de alcanzar los niveles de logro más altos.



Aunque, teóricamente, cualquier tipo de tarea puede adecuarse para utilizarse con cualquiera de los cuatro criterios, una prueba amplia que incluya gran parte del temario sería lo más adecuado para evaluar en relación con el criterio A, una investigación matemática para el criterio B, y un problema de la vida real para el criterio D, tal como lo indica la tabla que sigue:

Tarea A B C D

Prueba amplia ü

Investigación matemática ü

Problema de la vida real ü

Para poder realizar dos valoraciones en relación con cada criterio utilizando el número mínimo de tareas de evaluación, los profesores deben buscar el modo de adaptar las tareas para que puedan evaluarse en relación con más de un criterio.

Una prueba generalmente puede diseñarse de forma que resulte adecuado evaluarla según el criterio relativo a la comunicación (criterio C), pero no resultaría fácil evaluarla adecuadamente según los criterios B y D. Una investigación matemática puede diseñarse de forma que permita la evaluación según los criterios B, C y D, mientras que un problema de la vida real puede permitir una evaluación adecuada según los criterios A y C.

Tarea A B C D

Prueba amplia ü (ü)

Investigación matemática ü (ü) (ü)

Problema de la vida real (ü) (ü) ü

ü Más recomendable(ü) Podría evaluarse

Si no es posible realizar dos valoraciones para cada criterio utilizando tres tareas de evaluación, debe enviarse una cuarta tarea.

¿Qué es la “información de contexto”? ¿Qué debo incluir?

La información de contexto es la información proporcionada en una muestra para moderación o para el seguimiento de la evaluación que ofrece al moderador o al evaluador datos concretos sobre las tareas, indica cuáles eran las expectativas, con qué recursos se contó y en qué condiciones se realizaron las tareas. Algunos ejemplos de información de contexto son las hojas de trabajo, las instrucciones o notas dadas a los alumnos, información sobre el tiempo dedicado a la tarea y el tiempo de preparación, el grado de apoyo permitido del profesor o de los compañeros, copias en blanco de las tareas y comentarios sobre los trabajos de los alumnos. En Matemáticas es importante que la información de contexto indique el grado de ayuda que recibió el alumno para realizar las tareas. Cuando resulte pertinente, también se deben incluir respuestas a las sugerencias propuestas en los informes de moderación o de seguimiento de la evaluación que el colegio ha recibido.

Si los profesores utilizan material de terceros, tanto como estímulos, como parte de sus tareas, o ambos, deberán citarse todas las fuentes correspondientes incluyendo el título de la fuente, el autor, la fecha de publicación, la editorial y, si se trata de un libro, el ISBN. Ejemplos de material de terceros son artículos de revistas y periódicos, tiras cómicas, videos, partes de películas, pasajes de libros, fotos (la referencia de la fuente original se encontrará en la publicación de la que se extrajo la foto), diagramas, gráficos, tablas, estadísticas, materiales de sitios web, entre otros.



Si la muestra difiere de forma alguna de los requisitos indicados, esto deberá explicarse también en la información de contexto.

Si las tareas que les planteo a mis alumnos no son las adecuadas, ¿se les penalizará?

Se considera que una tarea enviada para moderación es inadecuada cuando no ofrece a los alumnos la oportunidad de demostrar todas las habilidades indicadas en el criterio o criterios correspondientes, o si el nivel de desempeño que se espera es demasiado bajo para alumnos del último año.

Cuando las tareas son inadecuadas, sucede a menudo que los niveles otorgados por el profesor son demasiado altos. En estos casos, se bajarán según corresponda, lo que puede tener como consecuencia que las calificaciones finales de los alumnos también sean más bajas.

¿Es necesario que en todas las tareas que enviamos para moderación se utilicen las TIC y recursos o materiales de terceros?

No, no es necesario. Las TIC deben utilizarse cuando resulte apropiado como apoyo para el aprendizaje, para favorecer la comprensión o para contribuir a una comunicación más eficaz. Naturalmente, si se emplean recursos o materiales de terceros en las tareas, se espera que alumnos y profesores indiquen las fuentes de donde provienen según una convención reconocida.


Apéndices

Glosario de Matemáticas del PAI

contexto La situación en que se plantea un problema y los parámetros que lo definen.

demostración Prueba matemática de la verdad de una proposición dada.

enseñanza directa (necesidades educativas especiales)

Enfoque de la enseñanza en el cual el profesor transmite la información directamente a los alumnos, generalmente de manera muy estructurada (paso a paso). El profesor ofrece comentarios inmediatos, ejemplos y tiempo suficiente para la práctica individual. La enseñanza directa es especialmente eficaz para enseñar habilidades básicas.

formas de representación (matemática)

Se refiere a las fórmulas, diagramas, tablas, cuadros, gráficos y modelos utilizados para representar información matemática.

grupo con diversos niveles de aptitud

Grupo conformado por alumnos con diferentes niveles de aptitud; no se agrupa a los alumnos según su nivel de aptitud ni se diferencia la enseñanza.

investigación matemática

Una investigación que requiere que los alumnos razonen partiendo de lo específico para llegar a lo general; puede tener diversas soluciones y ubicarse en el contexto de una situación de la vida real.

justificación Explicación matemática clara y lógica de por qué funciona una regla.

lenguaje matemático El uso de la notación, los símbolos, la terminología y las explicaciones verbales.

patrón El orden subyacente, la regularidad o previsibilidad entre los elementos de un sistema matemático.

razonamiento deductivo Razonamiento que parte de conceptos generales para llegar a conclusiones específicas.

razonamiento inductivo Implica realizar generalizaciones a partir de observaciones específicas, reconociendo patrones y elaborando reglas generales.

reglas generales Incluyen fórmulas, teoremas, relaciones y leyes comprobadas.

situación desconocida Se refiere a preguntas o instrucciones complejas establecidas en un contexto nuevo en el que los alumnos tienen que aplicar los conocimientos o las habilidades que han adquirido.


Apéndices

Ejemplos de objetivos intermedios

Objetivos específicos para el primer, el tercer y el quinto año del Programa de los Años Intermedios

Objetivos para el quinto añoEn la sección “Matemáticas del PAI” de esta guía se establecen los objetivos correspondientes a esta asignatura para el quinto año del Programa de los Años Intermedios (PAI). Ese conjunto de objetivos prescritos constituye la base para los criterios de evaluación, también publicados en dicha guía, que deben emplearse en la evaluación final del trabajo de los alumnos durante el quinto año.

Ejemplos de objetivos intermediosEn las tablas que se incluyen a continuación se presentan los ejemplos de objetivos intermedios para el primer y el tercer año del PAI, que se han elaborado con el fin de:

• Facilitar la articulación entre el PAI y el Programa de la Escuela Primaria (PEP)

• Brindar apoyo a los colegios en el desarrollo de un currículo coherente para los cinco años del programa (o los años que el colegio esté autorizado a ofrecer)

• Hacer hincapié en la necesidad de comenzar a trabajar desde el primer año en los conocimientos, comprensión, habilidades y actitudes que procura desarrollar el PAI

• Aportar ejemplos de experiencias de aprendizaje que permitan a los alumnos alcanzar los objetivos finales correspondientes al quinto año

• Ayudar a los colegios autorizados a ofrecer los tres primeros años del PAI a diseñar tareas de evaluación adecuadas para el final del tercer año

A diferencia de los objetivos específicos para el quinto año, los objetivos intermedios para el primer y el tercer año no son obligatorios, aunque el IB recomienda su uso en todos los colegios. Los colegios pueden adoptar los objetivos presentados en esta publicación o elaborar objetivos propios.

Si deciden elaborar objetivos intermedios propios, deben comenzar con los objetivos prescritos para el quinto año y modificarlos teniendo en cuenta la edad, los conocimientos previos y la etapa de desarrollo de los alumnos. De ese modo, cada uno de los objetivos intermedios de los años anteriores se corresponderá directamente con un objetivo del quinto año. No se debe omitir ningún objetivo en los años anteriores, ya que es fundamental asegurar la progresión coherente del aprendizaje a lo largo de los cinco años del programa.

Unidades de trabajoEn las tablas que se presentan a continuación se ofrecen ejemplos de experiencias de aprendizaje, cada una de las cuales corresponde a un objetivo específico. Cada experiencia de aprendizaje formará parte de una unidad de trabajo planteada para abordar una pregunta o tema central, que denominamos pregunta de la unidad. En la publicación El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008), el capítulo sobre “Planificación de la enseñanza y el aprendizaje” ofrece más información al respecto.



Dentro de cada unidad de trabajo, el contexto para el aprendizaje, los conceptos importantes y las tareas de evaluación se determinan en función de la pregunta de la unidad. Las áreas de interacción aportan el contexto para el aprendizaje, mientras que los conceptos importantes son aquellos que definen el propósito principal de la unidad. Las tareas de evaluación se crean de modo que permitan valorar el trabajo de los alumnos en relación con la pregunta de la unidad y los objetivos específicos correspondientes.

Contexto para el aprendizajeCada unidad de trabajo del PAI tiene un componente de Aprender a Aprender (AaA), un conjunto común de habilidades que todos los profesores habrán acordado y procurarán desarrollar en sus alumnos a lo largo de todo el programa. El contexto en que se enmarcan las unidades de trabajo generalmente deriva de una de las otras cuatro áreas de interacción aunque, en algunas ocasiones, AaA será el contexto específico. Algunas de las experiencias de aprendizaje planteadas a continuación tienen una clara vinculación con una de las áreas de interacción, por ejemplo, investigar la relación entre el volumen del aire en un aula (y otros espacios cerrados) y los requisitos de cada alumno en materia de salud. Otras vinculaciones pueden resultar claras sólo mediante un enfoque más detenido, pero los profesores deben ser capaces de establecerlas y planteárselas a los alumnos en relación con cada unidad de trabajo.

Varias de las experiencias de aprendizaje propuestas sugieren la posibilidad de planificar una unidad interdisciplinaria en colaboración con otros profesores como, por ejemplo, representar las leyes del movimiento de Newton en forma de ecuaciones algebraicas, tablas y gráficos utilizando datos generados y obtenidos de forma práctica.

Tareas de evaluaciónUna de las primeras etapas de la planificación de una unidad de trabajo es diseñar tareas de evaluación sumativa, vinculadas a la pregunta de la unidad, que ofrezcan diferentes oportunidades para que los alumnos demuestren sus conocimientos, comprensión, habilidades y actitudes. Asimismo, es importante incluir tareas de evaluación formativa continua, dado que constituyen un valioso medio para apreciar el nivel de comprensión de los alumnos a medida que se desarrolla la unidad.

Es importante tener presente que las tareas de evaluación sumativa y formativa no deben limitarse a exámenes, pruebas, cuestionarios y preguntas escritas asignadas como tarea domiciliaria. Estos tipos de tareas son válidos en algunos casos, pero no siempre toman en cuenta los diferentes estilos de aprendizaje y es posible que no permitan a los alumnos aplicar la creatividad suficiente para demostrar todo lo que han aprendido. Existen numerosas maneras de obtener pruebas del aprendizaje de los alumnos. Por ejemplo, las tareas de evaluación pueden consistir en:

• Realizar una presentación utilizando materiales visuales (hojas de tamaño grande, diapositivas, etc.)

• Resolver un juego de “números cruzados”, similar a los crucigramas de palabras, pero donde las pistas se dan a través de problemas y cálculos

• Jugar a un juego que requiera un conjunto de habilidades o conocimientos determinado y la comprensión de ciertos conceptos

• Crear un modelo tridimensional (por ejemplo, maquetas a escala de la Tierra, la Luna y el Sol)

• Contar un cuento (por ejemplo, un cuento en el que los números aumenten o disminuyan deliberadamente de diez en diez para ofrecer un relato cómico entretenido y demostrar así la necesidad de ser precisos con respecto al valor relativo)

• Llevar un diario personal donde el alumno documente el desarrollo de su comprensión matemática

• Hacer un póster o un mural

• Escribir una canción o poema corto que incorpore principios matemáticos importantes (por ejemplo, un rap basado en los principios del teorema de Pitágoras)



• Crear palabras o frases que los ayuden a recordar (por ejemplo, expresar en una sola palabra, SOHCAHTOA, o una frase las definiciones de seno, coseno y tangente de un triángulo rectángulo)

• Armar un álbum de recortes con material publicado en la prensa que ilustre una propiedad matemática determinada

• Tener una carpeta donde reúnan sus trabajos

• Elaborar un folleto o librillo informativo que describa pormenorizadamente un concepto o proceso matemático

• Redactar un resumen como guía para la revisión de un tema matemático concreto

• Crear dibujos, diagramas o caricaturas para ilustrar un concepto o proceso determinado

• Llevar a cabo una investigación

• Recopilar datos y guardarlos en formatos adecuados (por ejemplo, tablas y hojas de cálculo)

• Crear un cuadernillo de datos personal



Tablas de objetivos específicosA Conocimiento y comprensiónEl conocimiento y la comprensión son fundamentales en el estudio de Matemáticas y constituyen la base para explorar conceptos y desarrollar habilidades para la resolución de problemas. A través del conocimiento y la comprensión, los alumnos desarrollan el razonamiento matemático para hacer deducciones y resolver problemas.

Primer año Tercer año Quinto año

Objetivos específicos

Al final del primer año, el alumno debe ser capaz de demostrar conocimientos y una comprensión básicos de las cinco ramas de las matemáticas:


• Álgebra




Para ello debe ser capaz de:

Al final del tercer año, el alumno debe ser capaz de demostrar algunos conocimientos y cierta comprensión de las cinco ramas de las matemáticas:


• Álgebra





Al final del quinto año, el alumno debe ser capaz de demostrar conocimientos y comprensión de las cinco ramas de las matemáticas:


• Álgebra





• Conocer y demostrar comprensión de algunos conceptos básicos de las cinco ramas de las matemáticas (números y operaciones, álgebra, geometría y trigonometría, estadística y probabilidad, y matemática discreta)

• Conocer y demostrar comprensión de algunos conceptos de las cinco ramas de las matemáticas (números y operaciones, álgebra, geometría y trigonometría, estadística y probabilidad, y matemática discreta)

• Conocer y demostrar comprensión de los conceptos de las cinco ramas de las matemáticas (números y operaciones, álgebra, geometría y trigonometría, estadística y probabilidad, y matemática discreta)

• Hacer uso de estrategias básicas relacionadas con conceptos concretos para resolver problemas en situaciones conocidas y desconocidas, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real

• Hacer uso adecuado de las habilidades y los conceptos matemáticos al resolver problemas sencillos en situaciones conocidas y desconocidas, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real

• Hacer uso adecuado de las habilidades y los conceptos matemáticos al resolver problemas en situaciones conocidas y desconocidas, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real

• Aplicar correctamente reglas básicas para resolver problemas sencillos, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real

• Seleccionar y aplicar correctamente reglas básicas para resolver problemas, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real

• Seleccionar y aplicar correctamente reglas generales para resolver problemas, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real




Ejemplos de experiencias de aprendizaje

Números y operacionesLos alumnos pueden:

• Buscar datos en periódicos y clasificarlos en discretos o continuos

• Clasificar los números en naturales, pares, impares, cuadrados y triangulares

• Aplicar la “criba de Eratóstenes” para hallar números primos menores de 100

• Contar conjuntos muy grandes de objetos (monedas, los automóviles que pasan por la calle, las personas presentes en un espacio amplio, números) para apreciar la importancia de la organización y la formación de grupos

• Hacer una línea de tiempo en la pared del aula para indicar el momento en que vivieron los matemáticos más destacados y se realizaron los hallazgos matemáticos más importantes


• Hacer una línea de tiempo geológico en la pared del aula

• Investigar la relación entre el volumen del aire de un aula (y otros espacios cerrados) y los requisitos de cada alumno en materia de salud

• Investigar el redondeo de números a una cantidad determinada de cifras significativas teniendo en cuenta la precisión de las medidas en algunas situaciones de la vida real (por ejemplo, la longitud de una pista de atletismo de 100 m), los posibles errores y las consecuencias que pueden tener


• Comparar el número de kilómetros por litro de combustible por pasajero que consumen los aviones, trenes, autobuses o automóviles

• Explorar la historia y la importancia de los números irracionales e identificar los símbolos utilizados para representar a algunos de ellos, por ejemplo, π (pi), e (número de Euler), φ (número de oro)

ÁlgebraLos alumnos pueden:

• Usar una balanza y tratar de mantener los platillos en equilibrio para simular la suma y resta de cantidades iguales de ambos lados de una ecuación

• Utilizar el mismo principio de equilibrio para crear ecuaciones que deberán resolver los compañeros

• Crear ilustraciones en papel cuadriculado y proporcionar una lista de coordenadas para que los compañeros unan los puntos siguiendo el orden establecido y descubran las ilustraciones

• Crear un cuadernillo con información sobre temas de álgebra (explicaciones, ejemplos y ejercicios) para uso de los alumnos el año siguiente


• Generar una serie de pares ordenados mediante la sustitución de valores en una ecuación lineal, para que luego los compañeros identifiquen los patrones presentes, hallen la fórmula o ambas cosas

• Hallar una regla para el número de cuadrados de 1 cm de lado que se necesita para hacer un marco de 1 cm de ancho para una pintura cuadrada de n cm de lado


• Demostrar que las razones entre los términos sucesivos de una sucesión de Fibonacci (un /un+1) convergen en el mismo valor independientemente del término elegido como u1

• Hallar el mejor ángulo para lanzar una pelota de basquetbol para encestar desde la línea de tiro libre, mediante la representación gráfica de su trayectoria utilizando sus conocimientos sobre las ecuaciones de segundo grado

• Investigar el crecimiento exponencial de una población biológica




Geometría y trigonometríaLos alumnos pueden:

• Investigar la suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros dibujando y recortando diferentes figuras en papel, para luego cortar los ángulos y colocarlos juntos para formar líneas rectas y círculos

• Investigar la razón de la tangente mediante la comparación de la altura de los alumnos y el largo de sus sombras

• Investigar la simetría utilizando un espejo para reflejar sus caras en relación con distintos ejes


• Dibujar o crear una maqueta de un edificio (el colegio o su casa) utilizando solamente prismas rectangulares o triangulares

• Calcular aproximadamente el volumen de sólidos irregulares como la suma de figuras similares más sencillas, y verificar los resultados sumergiendo los objetos en agua y midiendo el volumen de agua desplazado

• Investigar los patrones y formas presentes en determinados diseños y obras de arte (por ejemplo, diseños marroquíes tradicionales), y luego crear sus propios diseños teselados

• Usar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas como instrumentos para medir objetos y distancias grandes en espacios abiertos


• Utilizar el círculo de radio unidad o radio unitario como instrumento físico para calcular los valores de diferentes razones trigonométricas (a fin de apreciar la naturaleza circular y la simetría de cada función, y la importancia de las asíntotas en la función tangente)

• Utilizar las transformaciones de la traslación, simetría, rotación y homotecia y deformación (shear) para describir las acciones de un personaje de una caricatura

• Llevar a cabo una investigación sobre la historia de la medición de ángulos y la introducción de la trigonometría

Estadística y probabilidadLos alumnos pueden:

• Hallar el rango y la media del largo de las hojas de dos árboles de la misma especie ubicados en lugares distintos (al sol y a la sombra)


• Proyectar estudios estadísticos para investigar temas relativos a la educación social y la salud, con orientación del profesor

• Crear un diagrama de árbol para el pronóstico del tiempo para un período de tres días, donde la probabilidad de lluvias cualquiera de esos días se calcule a partir de datos históricos

• Comparar el largo de palabras u oraciones de textos destinados a diferentes grupos de lectores


• Recopilar información relacionada con la venta de automóviles usados (kilometraje, antigüedad, marca, tamaño del motor, costo actual, costo cuando era nuevo), y explorar las relaciones entre diferentes pares de variables

• Seleccionar varios países y buscar estadísticas clave (crecimiento demográfico, renta media y esperanza de vida) en Internet para contestar preguntas como: “¿Las personas que viven en los países desarrollados viven más años?”, “¿Existe una relación entre el tamaño de una población y la renta per cápita media?”




Matemática discretaLos alumnos pueden:

• Dibujar en el piso dos círculos grandes que se cortan y determinar dos categorías de alumnos, por ejemplo, {niñas} y {alumnos que tienen puesto algo azul}, y ubicarse en una de las cuatro regiones definidas según sus características

• Jugar a juegos matemáticos (por ejemplo, al bingo, calculando las respuestas a problemas sencillos que va leyendo el profesor) para repasar y consolidar el aprendizaje previo


• Crear una red mínima de cables de banda ancha para conectar cinco ciudades importantes de su país

• Crear un copo de nieve de Koch a partir de un triángulo equilátero grande, dividiendo cada lado en tres partes iguales, quitando la parte del medio y sustituyéndola por un nuevo triángulo equilátero con lados de igual longitud a los del triángulo que se quitó, y así sucesivamente


• Resolver un enigma lógico del siguiente tipo: “Tienes tres cajas de fruta, una con manzanas, una con naranjas y otra mezclada. Todas las cajas tienen etiquetas, pero estas están mezcladas. ¿Cómo puedes saber qué contiene cada caja sacando solamente una fruta de una de las cajas?”

• Crear un enigma lógico utilizando sitios web tales como http://www.edhelper.com/logic_puzzles.htm (en inglés)

• Jugar al juego del caos (consulte el sitio web http://www.telefonica.net/web2/imix/Fractales/frac/caos/node1.html)



B Investigación de patronesLa investigación de patrones permite a los alumnos experimentar el placer y la satisfacción del descubrimiento matemático. La indagación matemática los anima a ser audaces, indagadores y pensadores críticos. La capacidad de indagar es de gran valor en el PAI y contribuye a formar personas que continúan aprendiendo durante toda la vida.

Mediante el uso de investigaciones matemáticas, los alumnos tienen la oportunidad de aplicar conocimientos matemáticos y técnicas de resolución de problemas, generar y analizar información, encontrar relaciones y patrones, y describirlos en términos matemáticos como reglas generales proporcionando justificaciones o pruebas.



Al final del primer año, cuando se investiguen problemas tanto teóricos como de la vida real, el alumno debe ser capaz de:

Al final del tercer año, cuando se investiguen problemas tanto teóricos como de la vida real, el alumno debe ser capaz de:

Al final del quinto año, cuando se investiguen problemas tanto teóricos como de la vida real, el alumno debe ser capaz de:

• Aplicar técnicas matemáticas básicas de resolución de problemas y de investigación, con orientación del profesor, a fin de identificar variables, formular preguntas pertinentes, organizar datos y utilizar un modelo adecuado

• Seleccionar y aplicar técnicas matemáticas básicas de resolución de problemas y de investigación mediante la formulación de preguntas que permitan obtener información útil para la investigación

• Seleccionar y aplicar las técnicas matemáticas de resolución de problemas y de investigación adecuadas

• Reconocer patrones sencillos similares a ejemplos vistos anteriormente

• Reconocer patrones sencillos en situaciones diferentes

• Reconocer patrones

• Describir patrones sencillos en palabras y mediante diagramas

• Describir patrones sencillos como relaciones o reglas generales

• Describir patrones como relaciones o reglas generales

• Llegar a un resultado o un conjunto de resultados y hacer predicciones basadas en la ampliación del patrón o los patrones

• Llegar a un resultado o un conjunto de resultados y hacer predicciones coherentes con los hallazgos

• Extraer conclusiones coherentes con los hallazgos

• Describir relaciones matemáticas sencillas

• Explicar relaciones matemáticas y reglas generales sencillas utilizando argumentos lógicos

• Justificar o demostrar reglas generales y relaciones matemáticas






• Predecir los próximos tres números de una sucesión

• Hallar números grandes que los compañeros pueden descomponer en factores primos

• Investigar cuántos dibujos diferentes pueden obtenerse mediante el sombreado de cuadrados en un cuadrado de 3 × 3


• Determinar las formas de hallar la suma de los términos de una sucesión aritmética y describir los métodos de forma general

• Investigar el significado de los exponentes negativos utilizando una calculadora

• Investigar los patrones presentes en la sucesión de Fibonacci


• Partiendo de que el diámetro de una maqueta de la Tierra (globo terráqueo) es de 100 cm, investigar los diámetros de las maquetas de distintos planetas —sabiendo sus diámetros reales expresados de forma normalizada (a x 10n)—y comentar la situación de Plutón como planeta


• Investigar los gráficos de y = mx + c utilizando el software adecuado

• Medir y representar la longitud de un resorte estirado en relación con el peso de un objeto que cuelga de él

• Investigar problemas similares al siguiente: “¿Cuánto tiempo se tarda en hacer una cantidad n de tostadas en una tostadora que tuesta de un solo lado y en la que solo se pueden colocar dos trozos de pan a la vez?”


• Investigar los gráficos de y = (x – a)(x – b) y sus soluciones para diferentes valores de y usando una calculadora de pantalla gráfica


• Analizar y comparar las marcas récord logradas por hombres y mujeres en un determinado deporte (atletismo, natación) desde 1900 hasta hoy, y predecir las marcas récord para el año 2050 mediante el estudio de las curvas de ajuste óptimo para los datos obtenidos


• Investigar los ángulos interiores de diferentes polígonos de un número n de lados (n > 2)

• Utilizar diferentes instrumentos para medir distintos objetos, y analizar la facilidad y precisión de cada técnica empleada


• Redactar una explicación lógica para el caso en que la suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360°

• Investigar cómo se mide la altura de estructuras, postes de telégrafo y edificios altos

• Utilizar la geometría para predecir el ángulo del Sol a mediodía en los dos solsticios


• Realizar un estudio de las instalaciones del colegio para crear un mapa o plano a escala detallado y preciso

• Investigar cómo se proyecta una esfera en un plano





• Investigar las probabilidades de los diferentes resultados que se pueden obtener cuando se lanzan dos monedas o dos dados


• Elegir, dando explicaciones lógicas, las medidas de tendencia central más adecuadas para valores típicos del tamaño de una familia, la estatura de los alumnos y el monto de dinero para gastos personales


• Confeccionar un cuestionario para obtener datos sobre las actitudes ante temas importantes para ellos, entregar el cuestionario a los alumnos de su colegio y de otro colegio, que podría ser de otro país, y luego recopilar y comparar la información

• Crear un juego de azar para recaudar fondos que sea redituable y atractivo


• Utilizar diagramas de Venn para analizar diferentes aspectos de las actividades realizadas después del horario escolar


• Investigar los caminos más cortos en las redes locales (rutas de autobús, líneas de metro)

• Investigar el concepto de coloreado de mapas analizando el teorema de los cuatro colores e intentar ilustrar esta regla coloreando un mapa de su país donde se muestren las diferentes regiones o estados


• Partiendo de un número impar a, que se eleva al cuadrado para obtener b, se le resta 1 para obtener c, se divide entre 2 para obtener d y se le suma 1 para obtener e, investigar si siempre se cumple la ecuación a² + d² = e²



C Comunicación en matemáticasLas matemáticas constituyen un lenguaje universal que ofrece enormes posibilidades. Se espera que los alumnos utilicen el lenguaje matemático adecuadamente al comunicar las ideas, los razonamientos y los hallazgos, tanto de forma oral como escrita.



Al final del primer año el alumno debe ser capaz de comunicar las ideas, los razonamientos y los hallazgos demostrando que:

Al final del tercer año el alumno debe ser capaz de comunicar las ideas, los razonamientos y los hallazgos demostrando que:

Al final del quinto año el alumno debe ser capaz de comunicar las ideas, los razonamientos y los hallazgos demostrando que:

• Utiliza el lenguaje matemático adecuado (notación, símbolos, terminología) en la expresión oral y escrita, con orientación del profesor

• Utiliza el lenguaje matemático adecuado (notación, símbolos, terminología) en explicaciones tanto orales como escritas en situaciones conocidas

• Utiliza el lenguaje matemático adecuado (notación, símbolos, terminología) en explicaciones tanto orales como escritas

• Utiliza diferentes formas de representación matemática (fórmulas, diagramas, tablas, cuadros, gráficos y modelos sencillos), con orientación del profesor

• Utiliza diferentes formas de representación matemática (fórmulas sencillas, diagramas, tablas, cuadros, gráficos y modelos)

• Utiliza diferentes formas de representación matemática (fórmulas, diagramas, tablas, cuadros, gráficos y modelos)

• Indica, por escrito y verbalmente, los pasos seguidos para resolver problemas sencillos

• Comunica una línea de razonamiento matemático utilizando diferentes formas de representación en la resolución de problemas sencillos



GeneralLos alumnos pueden:

• Turnarse para resumir los elementos importantes de algunas lecciones y organizar la información en archivos de clase o publicarlos en un sitio web en forma de blog; luego el documento puede utilizarse para la revisión de los temas por parte del grupo





• Modificar las cantidades y medidas relacionadas con acontecimientos o historias conocidos para crear absurdos y luego representarlos o crear modelos; por ejemplo, cambiar el límite de velocidad de 50 m por hora a 50 km por hora, o suponer que en las dimensiones de una cancha de fútbol 1 m² = 100 cm²

• Investigar los descuentos de los anuncios publicitarios para determinar cuáles son las mejores ofertas


• Recolectar recortes de prensa que muestren el uso inadecuado de símbolos y terminología matemáticos, y representaciones incorrectas de datos (por ejemplo, rótulos confusos en gráficos) y describir cómo pueden conducir a interpretaciones erróneas


• Realizar una serie de cálculos relacionados con la vida real utilizando una calculadora (por ejemplo, “Un tercio de los habitantes de una ciudad cuya población es de 500.000 personas viven en situación de pobreza; ¿cuántas son esas personas?”), y justificar el número de cifras significativas que incluyen en sus respuestas


• Explicar los pasos que se siguen para resolver una ecuación lineal

• Explicar la importancia de m y c en relación con el gráfico de la línea representado por y = mx + c


• Usar equipos para registrar movimientos para crear gráficos de distancia/tiempo

• Crear gráficos de distancia/tiempo viables para que los compañeros los representen físicamente moviéndose en el espacio de la clase


• Resolver un problema abierto con costos fijos y variables (por ejemplo, calcular el presupuesto para una actividad), donde la solución depende de los parámetros, los resultados esperados y la precisión de los cálculos aproximados

• Investigar las leyes de Newton en forma de ecuaciones algebraicas, tablas y gráficos utilizando los datos generados y los obtenidos de forma práctica

• Investigar y describir la trayectoria de la caída de objetos pequeños desde diferentes medios de transporte (bicicleta, camión, tren, globo aerostático)


• Hacer un dibujo a escala de una bicicleta

• Investigar las propiedades de figuras bidimensionales similares (triángulos, cuadrados y círculos)


• Redactar instrucciones, utilizando demoras y distancias, para describir las ciclovías de su área

• Realizar un estudio de las instalaciones de su colegio para elaborar un plano preciso


• Diseñar un circuito para una actividad de orientación en el campo de deportes del colegio, donde los puntos de partida y llegada coincidan, y utilizar comprobaciones prácticas o el teorema del seno y el coseno para demostrar que esos puntos coinciden





• Medir el largo de sus orejas y representar los datos en tablas y gráficos, y luego hallar las medidas de tendencia central

• Investigar la probabilidad de que ocurran diversos acontecimientos basándose en la información disponible (por ejemplo, la probabilidad de lluvias un determinado día del año)


• Recopilar datos de una estación meteorológica y representarlos gráficamente como instrumento para investigar tendencias

• Analizar las ventajas y desventajas de obtener datos a partir de muestras grandes de población, refiriéndose a las técnicas de muestreo utilizadas en los medios de comunicación (por ejemplo, sondeos de opinión)


• Investigar diferentes métodos de muestreo para poblaciones grandes (aleatorio, estratificado, sistemático, por conglomerados, de conveniencia), y crear un póster donde se explique cada uno


• Usar diagramas de Venn para clasificar cuadriláteros que tienen lados iguales, líneas paralelas y ángulos iguales

• Dibujar diagramas de tres rutas diferentes que pueden tomar para viajar desde su casa a un destino concreto, y determinar cuál es la mejor en cuanto a tiempos o distancias


• Investigar las similitudes y diferencias entre las habilidades necesarias en dos profesiones diferentes utilizando diagramas de Venn (por ejemplo, profesor de música y estrella de rock)

• Crear diagramas de flujo para describir algunos procesos matemáticos sencillos (por ejemplo, hallar el máximo común divisor de dos números)


• Realizar una encuesta entre ellos para determinar sus preferencias sobre música, comparar los resultados en forma de diagrama de Venn, y luego describir la información presentada

Se anima a los alumnos a elegir y utilizar las tecnologías de la información y las comunicaciones apropiadas, cuando se disponga de ellas, para mejorar la comunicación de sus ideas matemáticas. Dichas herramientas pueden incluir hojas de cálculo, programas informáticos de trazado de gráficos, programas de geometría dinámica, programas de cálculo simbólico, programas de contenido matemático específico, calculadoras de pantalla gráfica, procesadores de textos, programas de autoedición, organizadores gráficos y capturas de pantalla.



D Reflexión en matemáticasLa asignatura de Matemáticas del PAI favorece que los alumnos reflexionen sobre sus hallazgos y los procesos de resolución de problemas que utilizan. Se los estimula para que comuniquen sus ideas a profesores y compañeros, y examinen diferentes estrategias para la resolución de problemas. La reflexión crítica en matemáticas los ayuda a identificar sus puntos fuertes y débiles, y apreciar el valor de los errores como eficaces elementos motivadores del aprendizaje y la comprensión.



Al final del primer año, el alumno debe ser capaz de:

Al final del tercer año, el alumno debe ser capaz de:

Al final del quinto año, el alumno debe ser capaz de:

• Considerar si sus resultados son razonables en el contexto del problema

• Considerar si sus resultados son razonables en el contexto del problema, e intentar explicar si tienen sentido

• Explicar si sus resultados tienen sentido en el contexto del problema

• Considerar la importancia de sus hallazgos, con orientación del profesor

• Considerar la importancia de sus hallazgos

• Explicar la importancia de sus hallazgos

• Distinguir entre contar y medir, y demostrar que aprecia la diferencia entre los grados de error en las medidas y los errores en el conteo, la medición y el cálculo

• Considerar el grado de precisión de sus resultados cuando sea adecuado, y calcular los errores en mediciones sencillas

• Justificar el grado de precisión de sus resultados

• Considerar métodos alternativos cuando corresponda, con orientación del profesor

• Considerar métodos alternativos cuando corresponda

• Sugerir mejoras para el método



• Dar respuestas aproximadas antes de realizar los cálculos

• Analizar la precisión de los diferentes instrumentos de medición (reglas, calibradores, transportadores de ángulos, teodolitos)


• Investigar la aplicación del “número de oro/razón áurea” a casos de edificios o pinturas famosos


• Analizar si los grados de precisión para diferentes datos o información obtenidos de los medios de comunicación son apropiados





• Sustituir las respuestas en los problemas originales para verificar sin son correctas


• Determinar el dominio y el rango de funciones que implican procesos físicos, por ejemplo, el límite de una banda elástica como función lineal dentro de un dominio restringido


• Analizar en qué casos la sustitución, la elaboración de gráficos o la eliminación son las estrategias más adecuadas para resolver diferentes conjuntos de ecuaciones simultáneas

• Investigar si una pelota de ping-pong que se deja caer rodando de un escritorio seguirá una trayectoria parabólica


• Hallar la cantidad mínima y máxima de pintura necesaria para pintar su dormitorio


• Diseñar una forma económica para una botella de refresco de 500 ml

• Utilizar el teorema de Pick para calcular aproximadamente el área de distintas regiones en un mapa

• Aumentar la escala de las medidas de una muñeca o un juguete popular para determinar si, llevadas a escala real, las proporciones resultarían absurdas


• Hacer un reloj solar e investigar la posición de la sombra en diferentes momentos del año, en comparación con las posiciones calculadas con anterioridad


• Dibujar un gráfico de barras que represente el número de horas que miran televisión sus compañeros cada día

• Recopilar ejemplos en los medios de comunicación de distintas formas de presentar datos (gráficos de barra, gráficos circulares, pictogramas) y comentar su eficacia


• Analizar los datos recopilados para investigar un problema ambiental


• Investigar, mediante la recopilación de los datos adecuados, si la pesca anual de una determinada especie de peces justifica la creación de leyes de conservación


• Inventar un problema similar al de los puentes de Königsberg


• Inventar un problema de tráfico en el que hay calles de un solo sentido y de ambos sentidos y crear una maqueta


• Diseñar caminos de salida de emergencia para la evacuación rápida y segura de los alumnos y el personal del colegio

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Guía de Matemáticas · 2015-11-05 · Guía de Matemáticas 1 Matemáticas del PAI Cómo utilizar esta guía Esta guía se publica para comenzar a utilizarse en septiembre de 2011