Zadatak 181 (Vlado, srednja إ،kola) Rjeإ،enje 181 Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Zadatak 181 (Vlado, srednja إ،kola) Rjeإ،enje 181 Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne...

  • 1

    Zadatak 181 (Vlado, srednja škola)

    Izračunaj zbroj umnožaka znamenaka svih troznamenkastih brojeva.

    Rješenje 181 Ponovimo!

    1 , , , ., 0 0 0

    x n xn m n m x x x x x n x x x

    y n y

    ⋅+ ⋅ = = = ≠ + = + =

    ( )1 1 2 3 ... .

    2

    n n n

    ⋅ + + + + + =

    Troznamenkasti prirodni broj je oblika

    ,abc

    gdje je { } { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .a b c∈ ∈

    Zbroj umnožaka znamenaka svih troznamenkastih brojeva iznosi:

    ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9+ + + + + + + + ⋅ + + + + + + + + + ⋅ + + + + + + + + + =

    ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9+ + + + + + + + ⋅ + + + + + + + + ⋅ + + + + + + + + ==

    ( ) ( )

    ( )

    3 3 3 9 9 1 9 10 193 3 3

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 5 45 91125 0

    . 2 22

    ⋅ + ⋅ ⋅ = + + + + + + + + = = = = ⋅ = =

               

        

    Vježba 181

    Izračunaj zbroj umnožaka znamenaka svih dvoznamenkastih brojeva.

    Rezultat: 2025.

    Zadatak 182 (Ivona, srednja škola)

    6 8 6 9

    Pojednostavnite : 2 3 2 3 .⋅ + ⋅

    Rješenje 182 Ponovimo!

    ( ), , 1

    . nn m n m n n

    a a a a a a b a b +

    ⋅ = = ⋅ = ⋅

    Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

    ( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

    ( ) 6 8 6 9 6 8 6 8 1 6 8 6 8 6 8

    2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + =

    ( ) 86 8 6 8 2 6 2 8 8 8 8

    2 3 4 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 6 .= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

    Vježba 182

    5 7 5 8

    Pojednostavnite : 2 3 2 3 .⋅ + ⋅

    Rezultat: 7

    6 .

    Zadatak 183 (Goran, srednja škola)

    ( ) ( ) ( ) ( )

    1 1 1 1 1 Ako je + = , koliko je ?

    1 1 1 1a b b a a b a b +

    ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

    Rješenje 183 Ponovimo!

    , 1

    . y x y x y

    y x x n n n

    + ⋅ = = +

  • 2

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    1 1 1 1 1 1 + = + =

    1 1 1 1 1

    1 1 1 / 1

    1a b b a a b a a

    b b a a b b⇒ ⇒

    ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

    + ⋅ + +

    ⋅ +

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    1 1 1 1 1 1 1 1 +

    1 1 1 1

    1 1 1 1 = + =

    1 1 1 1

    a b a b a b ba b

    a b b a a

    a

    b a

    b

    b a a bb

    a+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⇒ ⇒

    + + + ⋅ + ⇒

    ⋅ + ⋅ + + + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ++ +

    1 1 1 1 1 1 1 1 + =1 + + =1 + + =1 1 +1+ =1

    a b a b

    a b a a b b a b a b

    a b

    a b

    + + ⇒ ⇒ + ⇒ + ⇒ + ⇒

    1 1 1 1 1 1 +1+ +1+ 01 1 + 1.

    a b a b a b ⇒ + = ⇒ = ⇒ = −

    Vježba 183

    ( ) ( ) ( ) ( )

    1 1 1 1 1 Ako je + = , koliko je ?

    1 1 1 1a b b a a b a b +

    ⋅ − ⋅ − − ⋅ −

    Rezultat: 1.

    Zadatak 184 (Goran, srednja škola)

    Zapiši u obliku potencije s bazom 2 sljedeći broj: 3 6 42 16 3 4 5 8 .⋅ − ⋅ + ⋅

    Rješenje 184 Ponovimo!

    ( ) , . mn n m n m n m

    a a a a a ⋅ +

    = ⋅ =

    Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

    ( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

    Uoči da se brojevi 16, 4 i 8 mogu napisati kao potencije s bazom 2.

    ( ) ( ) ( ) 3 6 4

    3 6 4 4 2 3 12 12 12 2 16 3 4 5 8 2 2 3 2 5 2 2 2 3 2 5 2⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ =

    ( ) 12 12 12 2 14

    2 3 5 2 2 12 12 12

    2 2 2 3 5 2 4 2 2 2 .= ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − + = ⋅ = ⋅ =

    Vježba 184

    Zapiši u obliku potencije s bazom 2 sljedeći broj: 13 112 4 2 .+ ⋅

    Rezultat: 14

    2 .

    Zadatak 185 (Goran, srednja škola)

    Zapiši u obliku potencije sljedeći broj: 6 4 33 9 5 27 81 .⋅ + ⋅ +

    Rješenje 185 Ponovimo!

    ( ) , . mn n m n m n m

    a a a a a ⋅ +

    = ⋅ =

    Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

    ( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

    Uoči da se brojevi 9, 27 i 81 mogu napisati kao potencije s bazom 3.

    ( ) ( ) ( ) 6 4 3

    6 4 3 2 3 4 12 12 12 3 9 5 27 81 3 3 5 3 3 3

    12 12 12 3 33 5 3 3 5 33⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + =

    ( ) 12 12 12 2 14

    3 3 5 1 3 9 3 3 3 .= ⋅ + + = ⋅ = ⋅ =

  • 3

    Vježba 185

    Zapiši u obliku potencije sljedeći broj: 6 5 33 9 45 9 81 .⋅ + ⋅ +

    Rezultat: 14

    3 .

    Zadatak 186 (Tihana, srednja škola)

    1 1 2 2

    Ako je 2 , 5 , koliko znamenki ima broj ? n n

    x y x y + +

    = = ⋅

    Rješenje 186 Ponovimo!

    ( ) ( ), . mnn n n n m

    a b a b a a ⋅

    ⋅ = ⋅ =

    Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

    ( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + 1.inačica

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22 22 12 2 1 1 1 2 2

    2 5 2 5 10 10 . nn n n n

    x y x y ++ + + ⋅ +

    ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = =

    2.inačica

    ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 1 1 2 2 2 2 2 2

    2 5 2 5 2 5 10 . nn n n n n

    x y ⋅ ++ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

    ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

    Uočimo da broj:

    • 1

    10 10 ima 2 znamenke=

    • 2

    10 100 ima 3 znamenke=

    • 3

    10 1000 ima 4 znamenke=

    • 4

    10 10000 ima 5 znamenaka=

    n nula

    10 1000...0 ima 1 znamenku. n

    n= + ���

    Dakle, zadani broj ima 2 · n + 3 znamenke.

    Vježba 186

    2 2

    Ako je 2 , 5 , koliko znamenki ima broj ? n n

    x y x y= = ⋅

    Rezultat: 2 · n + 1.

    Zadatak 187 (Iva, gimnazija)

    Koliki je zbroj prvih 100 parnih prirodnih brojeva? Poopći te odredi formulu za zbroj prvih n parnih prirodnih brojeva.

    Rješenje 187 Ponovimo!

    ( ) ( ), .a b b a a b c a b c+ = + + + = + + Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

    ( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve. Parni brojevi su oni brojevi koji su djeljivi sa 2, a

    neparni su oni koji nisu djeljivi sa 2.

    Da je neki prirodan broj m paran znači da se može napisati u obliku

    ( )2 neki prirodan , 2 .broj ,m m k k N= ⋅ = ⋅ ∈ Na primjer,

  • 4

    8 4 , 24 12 , 198 99 , 2570 1282 2 .2 52= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

    Parni brojevi mogu se prikazati općom formulom 2 ,n⋅

    gdje n pripada skupu prirodnih brojeva.

    Označimo općenito sa slovom s zbroj prvih n prirodnih brojeva, tj.:

    ( ) ( )1 2 3 ... 2 1 .s n n n= + + + + − + − + Sada pribrojnike zbroja napišemo u obrnutom poretku.

    ( ) ( )1 2 ... 3 2 1.s n n n= + − + − + + + + Ako zbrojimo obje jednakosti, imamo:

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    1 2 3 ... 2 1 zb

    1 2 ... 3 2

    rojimo

    jednak1 osti

    s n n n

    s n n n

    = + + + + − + − + ⇒ ⇒

    = + − + − + + + +

         

     

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 ... 2 3 1 2 1s s n n n n n n⇒ + = + + + − + + − + + − + + − + + + ⇒

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) na desnoj strani jednakosti

    ima pribrojni 2 1 1 1 ... 1 1 1

    ka 1n n n n

    n s n n n⇒ ⋅ = + + + + + + + + + + + ⇒

    + + ⇒

         

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    n pribrojnika

    2 1 1 1 ... 1 1 1 2 1s n n n n n n s n n⇒ ⋅ = + + + + + + + + + + + + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ �����������������������

    ( ) ( )

    / : 2 1

    2 1 . 2

    n n s n n s

    ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ =

    Dakle, za prirodne brojeve vrijedi formula

    ( ) ( ) ( )1

    1 2 3 ... 2 1 2

    . n n

    n n n ⋅ +

    + + + + − + − + =

    1.inačica Računamo zbroj prvih 100 parnih prirodnih brojeva.

    2 4 6 8 ... 194 196 198 200.+ + + + + + + + Brojeve ćemo združiti u parove: prvi s posljednjim (2 + 200), drugi s pretposljednjim (4 + 198) itd. Tako se dobije 50 parova, a u svakom je zbroj 202. Konačni rezultat jednak je:

    202 50 10100.⋅ = 2.inačica Računamo zbroj prvih 100 parnih prirodnih brojeva.

    2 4 6 8 ... 194 196 198 200.+ + + + + + + + Izlučimo broj 2 i uporabimo formulu za zbroj prvih n prirodnih brojeva.

    ( )2 4 6 8 ... 194 196 198 200 2 1 2 3 ... 97 98 99 100+ + + + + + + + = ⋅ + + + + + + + =

    ( ) 2

    100 100 1 100 101 2 10100.

    2 2

    ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ =

    Odredit ćemo formulu za zbroj prvih n parnih prirodnih brojeva. Označimo općenito sa slovom s zbroj prvih n parnih prirodnih brojeva, tj.:

    ( ) ( )2 4 6 ... 2 4 2 2 2 .s n n n= + + + + ⋅ − + ⋅ − + ⋅

    Sada pribrojnike zbroja napišemo u obrnutom p