# Zadatak 181 (Vlado, srednja إ،kola) Rjeإ،enje 181 Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve

• View
0

0

Embed Size (px)

### Text of Zadatak 181 (Vlado, srednja إ،kola) Rjeإ،enje 181 Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne...

• 1

Izračunaj zbroj umnožaka znamenaka svih troznamenkastih brojeva.

Rješenje 181 Ponovimo!

1 , , , ., 0 0 0

x n xn m n m x x x x x n x x x

y n y

⋅+ ⋅ = = = ≠ + = + =

( )1 1 2 3 ... .

2

n n n

⋅ + + + + + =

Troznamenkasti prirodni broj je oblika

,abc

gdje je { } { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .a b c∈ ∈

Zbroj umnožaka znamenaka svih troznamenkastih brojeva iznosi:

( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9+ + + + + + + + ⋅ + + + + + + + + + ⋅ + + + + + + + + + =

( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9+ + + + + + + + ⋅ + + + + + + + + ⋅ + + + + + + + + ==

( ) ( )

( )

3 3 3 9 9 1 9 10 193 3 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 5 45 91125 0

. 2 22

⋅ + ⋅ ⋅ = + + + + + + + + = = = = ⋅ = =

           

    

Vježba 181

Izračunaj zbroj umnožaka znamenaka svih dvoznamenkastih brojeva.

Rezultat: 2025.

6 8 6 9

Pojednostavnite : 2 3 2 3 .⋅ + ⋅

Rješenje 182 Ponovimo!

( ), , 1

. nn m n m n n

a a a a a a b a b +

⋅ = = ⋅ = ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

( ) 6 8 6 9 6 8 6 8 1 6 8 6 8 6 8

2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + =

( ) 86 8 6 8 2 6 2 8 8 8 8

2 3 4 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 6 .= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Vježba 182

5 7 5 8

Pojednostavnite : 2 3 2 3 .⋅ + ⋅

Rezultat: 7

6 .

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 Ako je + = , koliko je ?

1 1 1 1a b b a a b a b +

⋅ + ⋅ + + ⋅ +

Rješenje 183 Ponovimo!

, 1

. y x y x y

y x x n n n

+ ⋅ = = +

• 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 + = + =

1 1 1 1 1

1 1 1 / 1

1a b b a a b a a

b b a a b b⇒ ⇒

⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ + +

⋅ +

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1 +

1 1 1 1

1 1 1 1 = + =

1 1 1 1

a b a b a b ba b

a b b a a

a

b a

b

b a a bb

a+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⇒ ⇒

+ + + ⋅ + ⇒

⋅ + ⋅ + + + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ++ +

1 1 1 1 1 1 1 1 + =1 + + =1 + + =1 1 +1+ =1

a b a b

a b a a b b a b a b

a b

a b

+ + ⇒ ⇒ + ⇒ + ⇒ + ⇒

1 1 1 1 1 1 +1+ +1+ 01 1 + 1.

a b a b a b ⇒ + = ⇒ = ⇒ = −

Vježba 183

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 Ako je + = , koliko je ?

1 1 1 1a b b a a b a b +

⋅ − ⋅ − − ⋅ −

Rezultat: 1.

Zapiši u obliku potencije s bazom 2 sljedeći broj: 3 6 42 16 3 4 5 8 .⋅ − ⋅ + ⋅

Rješenje 184 Ponovimo!

( ) , . mn n m n m n m

a a a a a ⋅ +

= ⋅ =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Uoči da se brojevi 16, 4 i 8 mogu napisati kao potencije s bazom 2.

( ) ( ) ( ) 3 6 4

3 6 4 4 2 3 12 12 12 2 16 3 4 5 8 2 2 3 2 5 2 2 2 3 2 5 2⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ =

( ) 12 12 12 2 14

2 3 5 2 2 12 12 12

2 2 2 3 5 2 4 2 2 2 .= ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − + = ⋅ = ⋅ =

Vježba 184

Zapiši u obliku potencije s bazom 2 sljedeći broj: 13 112 4 2 .+ ⋅

Rezultat: 14

2 .

Zapiši u obliku potencije sljedeći broj: 6 4 33 9 5 27 81 .⋅ + ⋅ +

Rješenje 185 Ponovimo!

( ) , . mn n m n m n m

a a a a a ⋅ +

= ⋅ =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Uoči da se brojevi 9, 27 i 81 mogu napisati kao potencije s bazom 3.

( ) ( ) ( ) 6 4 3

6 4 3 2 3 4 12 12 12 3 9 5 27 81 3 3 5 3 3 3

12 12 12 3 33 5 3 3 5 33⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + =

( ) 12 12 12 2 14

3 3 5 1 3 9 3 3 3 .= ⋅ + + = ⋅ = ⋅ =

• 3

Vježba 185

Zapiši u obliku potencije sljedeći broj: 6 5 33 9 45 9 81 .⋅ + ⋅ +

Rezultat: 14

3 .

1 1 2 2

Ako je 2 , 5 , koliko znamenki ima broj ? n n

x y x y + +

= = ⋅

Rješenje 186 Ponovimo!

( ) ( ), . mnn n n n m

a b a b a a ⋅

⋅ = ⋅ =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + 1.inačica

( ) ( ) ( )( ) ( ) 22 22 12 2 1 1 1 2 2

2 5 2 5 10 10 . nn n n n

x y x y ++ + + ⋅ +

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = =

2.inačica

( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 1 1 2 2 2 2 2 2

2 5 2 5 2 5 10 . nn n n n n

x y ⋅ ++ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Uočimo da broj:

• 1

10 10 ima 2 znamenke=

• 2

10 100 ima 3 znamenke=

• 3

10 1000 ima 4 znamenke=

• 4

10 10000 ima 5 znamenaka=

n nula

10 1000...0 ima 1 znamenku. n

n= + ���

Dakle, zadani broj ima 2 · n + 3 znamenke.

Vježba 186

2 2

Ako je 2 , 5 , koliko znamenki ima broj ? n n

x y x y= = ⋅

Rezultat: 2 · n + 1.

Koliki je zbroj prvih 100 parnih prirodnih brojeva? Poopći te odredi formulu za zbroj prvih n parnih prirodnih brojeva.

Rješenje 187 Ponovimo!

( ) ( ), .a b b a a b c a b c+ = + + + = + + Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve. Parni brojevi su oni brojevi koji su djeljivi sa 2, a

neparni su oni koji nisu djeljivi sa 2.

Da je neki prirodan broj m paran znači da se može napisati u obliku

( )2 neki prirodan , 2 .broj ,m m k k N= ⋅ = ⋅ ∈ Na primjer,

• 4

8 4 , 24 12 , 198 99 , 2570 1282 2 .2 52= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

Parni brojevi mogu se prikazati općom formulom 2 ,n⋅

gdje n pripada skupu prirodnih brojeva.

Označimo općenito sa slovom s zbroj prvih n prirodnih brojeva, tj.:

( ) ( )1 2 3 ... 2 1 .s n n n= + + + + − + − + Sada pribrojnike zbroja napišemo u obrnutom poretku.

( ) ( )1 2 ... 3 2 1.s n n n= + − + − + + + + Ako zbrojimo obje jednakosti, imamo:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 3 ... 2 1 zb

1 2 ... 3 2

rojimo

jednak1 osti

s n n n

s n n n

= + + + + − + − + ⇒ ⇒

= + − + − + + + +

     

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 ... 2 3 1 2 1s s n n n n n n⇒ + = + + + − + + − + + − + + − + + + ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) na desnoj strani jednakosti

ima pribrojni 2 1 1 1 ... 1 1 1

ka 1n n n n

n s n n n⇒ ⋅ = + + + + + + + + + + + ⇒

+ + ⇒

     

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n pribrojnika

2 1 1 1 ... 1 1 1 2 1s n n n n n n s n n⇒ ⋅ = + + + + + + + + + + + + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ �����������������������

( ) ( )

/ : 2 1

2 1 . 2

n n s n n s

⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ =

Dakle, za prirodne brojeve vrijedi formula

( ) ( ) ( )1

1 2 3 ... 2 1 2

. n n

n n n ⋅ +

+ + + + − + − + =

1.inačica Računamo zbroj prvih 100 parnih prirodnih brojeva.

2 4 6 8 ... 194 196 198 200.+ + + + + + + + Brojeve ćemo združiti u parove: prvi s posljednjim (2 + 200), drugi s pretposljednjim (4 + 198) itd. Tako se dobije 50 parova, a u svakom je zbroj 202. Konačni rezultat jednak je:

202 50 10100.⋅ = 2.inačica Računamo zbroj prvih 100 parnih prirodnih brojeva.

2 4 6 8 ... 194 196 198 200.+ + + + + + + + Izlučimo broj 2 i uporabimo formulu za zbroj prvih n prirodnih brojeva.

( )2 4 6 8 ... 194 196 198 200 2 1 2 3 ... 97 98 99 100+ + + + + + + + = ⋅ + + + + + + + =

( ) 2

100 100 1 100 101 2 10100.

2 2

⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Odredit ćemo formulu za zbroj prvih n parnih prirodnih brojeva. Označimo općenito sa slovom s zbroj prvih n parnih prirodnih brojeva, tj.:

( ) ( )2 4 6 ... 2 4 2 2 2 .s n n n= + + + + ⋅ − + ⋅ − + ⋅

Sada pribrojnike zbroja napišemo u obrnutom p

Recommended

Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents