Download pdf - Bentuk Aljabar

Pada arena balap mobil, sebuahmobil balap mampu melaju dengankecepatan (3x + 10) km/jam selama0,5 jam. Berapakah kecepatannyajika jarak yang ditempuh mobil ter-sebut 200 km?

3 OPERASI HITUNGBENTUK ALJABAR

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat menjelaskan pengertian variabel, konstanta, faktor, suku, dan suku sejenis; dapat melakukan operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada

bentuk aljabar; dapat menerapkan operasi hitung pada bentuk aljabar untuk menyelesaikan

soal;

Sumber: Ensiklopedi Umum untukPelajaran, 2005

Kata-Kata Kunci:

variabel dan konstanta operasi hitung bentuk aljabar faktor dan suku pecahan bentuk aljabar

80Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, kalian harusmenguasai konsep mengenai faktor sekutu, kelipatan persekutuanterkecil (KPK), dan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari duabilangan atau lebih. Konsep mengenai bentuk aljabar dan operasihitungnya selanjutnya akan sangat bermanfaat dalam mempelajaribab berikutnya. Perhatikan uraian berikut.

A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA

Perhatikan ilustrasi berikut.

Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyakboneka Desy dinyatakan dengan x m aka b anyak b oneka R ikadinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah makaboneka Rika sebanyak 9 buah.

Bentuk seperti ( x + 5) disebut bentuk aljabar.

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalampenyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yangbelum diketahui.

Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikanmasalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahuiseperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuahbis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu,atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari,dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, 3p, 4y + 5, 2x2 3x +7, (x + 1)(x 5), dan 5x(x 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan ypada bentuk aljabar tersebut disebut variabel.

Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsuraljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan sukutak sejenis.

Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentukaljabar, pelajarilah uraian berikut.

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x 6y + 9.

Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belumdiketahui nilainya dengan jelas.

Variabel disebut juga peubah. V ariabel biasanya dilam-bangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

Kata aljabar (aljabr)diambil dari judul bukuHisab al Jabr Wal Mu-qabalah (Perhitungandengan Restorasi danReduksi), karyaseorang ahli mate-matika Arab, Muham-mad Al-Khwarizmi(780850 M).Aljabar menjadi salahsatu cabang ilmumatematika yangsangat bermanfaatdalam ilmu ekonomidan ilmu sosiallainnya. Nanti padabab selanjutnya, kalianakan mempelajaripenerapan aljabardalam kegiatanekonomi.

Al-Khwarizmi

Sumber: Ensiklopedi Ma-tematika danPeradaban Ma-nusia, 2003

81Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebutkonstanta.

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupabilangan dan tidak memuat variabel.

Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p u q dengana, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Pada be ntuk aljabar d i atas, 5 x dapat diuraikan sebagai5x = 5 u x atau 5x = 1 u 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1,5, x, dan 5x.

Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta darisuatu suku pada bentuk aljabar.

Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar5x + 3y + 8x 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku 6y adalah 6.

2. Suku Sejenis dan Suku T ak Sejenis

a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta padabentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang sama.

Contoh: 5x dan 2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

Contoh: 2x dan 3x2, y dan x3, 5x dan 2y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan olehoperasi jumlah atau selisih.

Contoh: 3 x, 2a2, 4xy, ...

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satuoperasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2x + 3, a2 4, 3 x2 4x, ...

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh duaoperasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2x2 x + 1, 3 x + y xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebutsuku banyak .

Catatan:Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar

suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyakdisebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajaripemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.

(Menumbuhkan krea-tivitas)Buatlah sebarangbentuk aljabar.Mintalah temanmuuntuk menunjukkanunsur-unsur aljabardari bentuk aljabartersebut. Lakukan halini bergantian denganteman sebangkumu.


Tentukan koefisien dari x2

dan faktor dari masing-ma-sing bentuk aljabar berikut.

a. 7x2

b. 3x2 + 5

c. 2x2 + 4x 3

Penyelesaian:

a. 7x2 = 7 u x u xKoefisien dari x2 adalah 7.Faktor dari 7x2 adalah 1, 7, x, x2, 7x, dan 7x2.

b. 3x2 + 5 = 3 u x u x + 5 u 1Koefisien dari x2 adalah 3.Faktor dari 3x2 adalah 1, 3, x, x2, 3x, dan 3x2.

Faktor dari 5 adalah 1 dan 5.

c. 2x2 + 4x 3 = 2 u x u x + 4 u x 3 u 1Koefisien dari 2x2 adalah 2.Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x, x2, dan 2x.

Koefisien dari 4x adalah 4.Faktor dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x.

Faktor dari 3 adalah 3, 1, 1, dan 3.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Tulislah setiap kalimat berikut denganmenggunakan variabel x dan y.

a. Suatu bilangan jika dikalikan 2, ke-mudian dikurangi 3 menghasilkan bi-langan 5.

b. Empat lebihnya dari keliling suatupersegi adalah 16 cm2.

c. Selisih umur Bella dan Awang adalah5 tahun, sedangkan jumlah umurmereka 15 tahun.

d. Kuadrat suatu bilangan jika ditambah1 menghasilkan bilangan 50.

2. Tentukan koefisien x dari bentuk aljabarberikut.

a. 3 2x

b. x2 2xy + x2 + 3

c. 4x2 5x + 6

d.23 1 5

4 2 4 x x

e. x3 + 4x2 + x 3

3. Tentukan konstanta dari bentu k aljabarberikut.a. 5x 3b. 2y2 + y 5c. (3x + 5)2

d. 3xy + 2x y + 1e. 4 3x + 5x2


4. Tentukan suku-suku yang sejenis dantidak sejenis pada bentuk aljabar berikut.a. 3m 2n + 9m + 15n 6b. 9a2 3ab + 4a + 6ab 18ac. 5x2 + 6xy 8y2 2xy + 9y2

d. 8p2q2 p2q + 12 pq + 5 pq + 3 p2qe. 5y2 3y + 4y2 + x2 y2 + y 1

5. Termasuk suku berapakah bentuk alja-bar berikut?a. 2x d. a2 2ab + b2

b. 4x2 3 e.23 4

2 x x

c. y2 x2

B. OPERASI HITUNG P ADA BENTUKALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan penguranganhanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkanatau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabarberikut.

a. 4ax + 7 ax

b. (2x2 3x + 2) + (4 x2 5x + 1)

c. (3a2 + 5) (4 a2 3a + 2)

Ingat bahwa untuksebarang bilanganbulat a dan b, berlaku1) a u b = ab2) a u (b) = ab3) (a) u b = ab4) (a) u (b) = ab

Penyelesaian:

a. 4ax + 7 ax = (4 + 7) ax

= 3ax

b. (2x2 3x + 2) + (4 x2 5x + 1)

= 2x2 3x + 2 + 4 x2 5x + 1

= 2x2 + 4x2 3x 5x + 2 + 1

= (2 + 4)x2 + (3 5)x + (2 + 1)

= 6x2 8x + 3

c. (3a2 + 5) (4 a2 3a + 2) = 3a2 + 5 4 a2 + 3a 2

= 3a2 4a2 + 3a + 5 2

= (3 4)a2 + 3a + (5 2)

= a2 + 3a + 3

(kelompokkan suku-suku sejenis)


2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilanganbulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitua u (b + c) = ( a u b) + ( a u c) dan sifat distributif perkalianterhadap pengurangan, yaitu a u (b c) = ( a u b) ( a u c),untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku padaperkalian bentuk aljabar.

a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentukaljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

k (ax) = kax

k (ax + b) = kax + kb

Panjang sisi miring se-gitiga siku-siku adalah(2x + 1) cm, sedangkanpanjang sisi siku-siku-nya (3x 2) cm dan(4x 5) cm. Tentukanluas segitiga tersebut.

Jabarkan bentuk aljabarberikut, kemudian sederha-nakanlah.

a. 4(p + q)

b. 5(ax + by)

c. 3(x 2) + 6(7x + 1)

d. 8(2x y + 3z)

Penyelesaian:

a. 4(p + q) = 4p + 4q

b. 5(ax + by) = 5ax + 5by

c. 3(x 2) + 6(7 x + 1) = 3x 6 + 42x + 6

= (3 + 42)x 6 + 6

= 45x

d. 8(2x y + 3z) = 16x + 8y 24z

b. Perkalian a ntara d ua b entuk a ljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentukaljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kitadapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadappenjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antaradua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut.

Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengansuku dua berikut.

(ax + b) (cx + d) = ax u cx + ax u d + b u cx + b u d= acx2 + ( ad + bc)x + bd

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Dengan memanfaat-kan sifat distributifperkalian terhadappenjumlahan dan sifatdistributif perkalianterhadap pengurang-an, buktikan perkalianbentuk aljabar berikut.(ax + b) (ax b) =a2x2 b2

(ax + b)2 =a2x2 + 2abx + b2

(ax b)2 =a2x2 2abx + b2


Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikanbentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifatdistributif seperti uraian berikut.

2

2

u u u u

ax+b cx d ax cx d b cx d

ax cx ax d b cx b d

acx adx bcx bd

acx ad bc x bd

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan sukutiga berlaku sebagai berikut.

(ax + b) (cx2 + dx + e)

= ax u cx2 + ax u dx + ax u e + b u cx2 + b u dx + b u e= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be

= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be

Tentukan hasil perkalianbentuk aljabar berikut da-lam bentuk jumlah atauselisih.

1. (2x + 3) (3x 2)

2. (4a + b) (4a + 2b)

3. (2x 1) ( x2 2x + 4)

4. (x + 2) (x 2)

Penyelesaian:

1. Cara (1) dengan sifat distributif.

(2x + 3) (3x 2) = 2x(3x 2) + 3(3x 2)

= 6x2 4x + 9x 6

= 6x2 + 5x 6

Cara (2) dengan skema.

(2x + 3) (3x 2)

= 2x u 3x + 2x u (2) + 3 u 3x + 3 u (2)= 6x2 4x + 9x 6

= 6x2 + 5x 6


(4a + b) (4a + 2b) = 4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)

= 16a2 8 ab + 4 ab + 2 b2

= 16a2 4 ab + 2 b2

(Berpikir kritis)Coba jabarkanperkalian bentukaljabar(ax + b)(cx2 + dx + e)dengan menggunakansifat distributif.Bandingkan hasilnyadengan uraian disamping.



(4a + b) (4a + 2b)

= (4a) u 4a + (4a) u 2b + b u 4a + b u 2b= 16a2 8 ab + 4 ab + 2 b2

= 16a2 4 ab + 2 b2


(2x 1) (x2 2x + 4)

= 2x(x2 2x + 4) 1( x2 2x + 4)

= 2x3 4x2 + 8x x2 + 2x 4

= 2x3 4x2 x2 + 8x + 2x 4

= 2x3 5x2 + 10x 4


(2x 1) (x2 2x + 4)

= 2x u x2 + 2x u (2x) + 2x u 4 + (1) u x2 + ( 1)u (2x) + (1) . 4

= 2x3 4x2 + 8x x2 + 2x 4

= 2x3 4x2 x2 + 8x + 2x 4

= 2x3 5x2 + 10x 4


(x + 2) (x 2) = x(x 2) + 2( x 2)

= x2 2x + 2x 4

= x2 4


(x + 2) (x 2) = x u x + x u (2) + 2 u x + 2 u (2)

= x2 2x + 2x 4

= x2 4

Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahanseperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan.



c. 1 2 62

xd. 2(x + 3)

e. 3(2a + 5)f. p(p2 3)

4. Nyatakan bentuk aljabar berikut sebagaiperkalian konstanta dengan bentukaljabar.

a. 5x 15y

b. 2p + q 3r

c. 3x2 + 9 xy 18 xy2

d. 4p + 8 r2

5. Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabarberikut ini.

a. (x + 2) (x 3)

b. (2x 3) (x + 4)

c. (4k + 1) 2

d. (3m + 2n) (3m 2n)

e. (3 a) (5 + a)

f. (2 + a) (a2 2a + 1)

1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabarberikut.

a. 8p 3 + (3 p) + 8

b. 9m + 4mn + (12m) 7mn

c. 2a2 + 3ab 7 5 a2 + 2ab 4

d. 4x2 3xy + 7y 5x2 + 2xy 4y

e. 4p2 + 3pq 2 6 p2 + 8pq 3

f. 12kl 20mn 5kl 3mn

2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabarberikut.

a. 4m 5 6m + 8

b. 9p2 4 pq q2 4 p2 + 5 pq 3 q2

c. 2(8a 3 b) 4a + 9b

d. 12x3 9x2 8 15x3 + 7x2 + 5

e. 3(4k2l + 3 kl2) + 2(9 k2l 4kl2)

f. 5(3m3 5 m2 + m) 2( m3 + 4 m2 9m)

3. Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabarberikut sebagai jumlah atau selisih.

a. 3(a 2b + 5)

b. xy(x2 4)

3. PerpangkatanCoba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan

bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulangdengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a,berlaku

faktor

... u u u unn

a a a a a

Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar.

Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakatbahwa secara umum bentuk perkalian (x + a) (x a) = x2 a2?Diskusikan hal ini dengan temanmu.

Jumlah dua buahbilangan adalah 35.Jika bilangan keduaadalah lima lebihnyadari bilangan pertama,tentukan hasil kalikedua bilangan itu.


Tentukan hasil perpang-katan bentuk aljabar beri-kut.

1. (2p)2

2. (3 x2yz3)3

3. (3p2q)2

Penyelesaian:

1. (2p)2 = (2p) u (2p)= 4p2

2. (3 x2yz3)3 = 27 x6y3z9

3. (3p2q)2 = 9p4q2

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiapsuku ditentukan menurut segitiga Pascal.

Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaranbentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

Perhatikan uraian berikut.

(a + b)1 = a + b o koefisiennya 1 1(a + b)2 = (a + b) (a + b)

= a2 + ab + ab+ b2

= a2 + 2ab+ b2 o koefisiennya 1 2 1(a + b)3 = (a + b) (a + b)2

= (a + b) (a2 + 2ab + b2)

= a3 + 2 a2b + ab2 + a2b + 2 ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 o koefisiennya 1 3 3 1dan seterusnya

Adapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulaidari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 padasuku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai denganb1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn

pada suku ke-(n + 1).

Perhatikan p ola k oefisien y ang t erbentuk d ari p enjabaranbentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukanmenurut segitiga Pascal berikut.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

( + )a b 0

( + )a b 1

( + )a b 2

( + )a b 3

( + )a b 4

( + )a b 5

( + )a b 6

(Berpikir kritis)Pada bentuk aljabarberikut, tentukankoefisien daria. x2 pada (2x 5)2;b. x5 pada (x 3)5;c. x3y pada (3x + 2y)4;d. x2y2 pada (x + 2y)4;e. a3 pada (4 2a)4.

(Menumbuhkan ino-vasi)Jabarkan bentukaljabar suku dua(a + b)n dengan7 d n d 10. Tentukanpola koefisien yangterbentuk. Kemudian,tuliskan pola koefisientersebut dalamsegitiga Pascal.Diskusikan hal inidengan temanmu.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.


Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada dibawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatanyang berada di atasnya.

Jabarkan bentuk aljabarberikut.

a. (3x + 5) 2

b. (2x 3 y)2

c. (x + 3 y)3

d. (a 4) 4

Penyelesaian:

a. (3x + 5)2 = 1(3x)2 + 2 u 3x u 5 + 1 u 52= 9x2 + 30x + 25

b. (2x 3y)2 = 1(2x)2 + 2(2x) (3y) + 1 u (3y)2= 4x2 12xy + 9y2

c. (x + 3y)3

= 1x3 + 3 u x2 u (3y)1 + 3 u x u (3y)2 + 1 u (3y)3= x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3

d. (a 4) 4

= 1a4 + 4 u a3 u (4)1 + 6 u a2 u (4)2 + 4 u a u(4)3 + 1 u (4)4

= a4 16 u a3 + 6a2 u 16 + 4a u (64) + 1 u 256= a4 16a3 + 96a2 256a + 256

4. Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh denganmenentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentukaljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilangdan penyebutnya.

Sederhanakanlah pemba-gian bentuk aljabar berikut.

1. 3xy : 2y

2. 6a3b2 : 3 a2b

3. x3y : ( x2y2 : xy)

4. (24p2q + 18pq2) : 3pq

Penyelesaian:

1.3x y

2 y

3(faktor sekutu )

2x y

2.3 2

3 2 22

2

66 :3

3

3

a ba b a b

a b

a b

2

2

3

ab

a b

u 2(faktor sekutu 3 )2

a b

ab


3.2 2

3 2 2 3

3

: ( : ) :

:

x yx y x y xy x y

xy

xyx y

xy

xy

u

3 23 2:

x y xy xx y xy x

xy xy

u

4.2 2

2 2 24 18(24 18 ) :33

6 (4 3 )

32(4 3 )

p q pqp q pq pq

pqpq p q

pqp q


3. Tentukan koefisien ( a + b)n pada sukuyang diberikan.

a. Suku ke-2 pada (2a 3)4.

b. Suku ke-3 pada (x + 2y)3.

c. Suku ke-4 pada ( a 3b)4.

d. Suku ke-5 pada (2x + 3)5.

4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.

a. 16p2 : 4p

b. 6a6b2 : a3b

c. 3x2y5 : x2y2 : xy2

d. 15p4q5r3 : (6 p2qr3 : 2pqr)

e. (2a2bc2 + 8 a3b2c3) : 2 abc

f. (p3qr2 + p2q2r3 p5q3r2) : p2qr2

1. Tentukan hasil perpangkatan bentukaljabar berikut.

a. (2a)2 e. 3(x2y)3

b. (3xy)3 f. (2pq)4

c. (2ab)4 g. 21

(2 )2

xy

d. (4a2b2)2 h. a(ab2)3

2. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabarberikut.

a. (x + 2) 2 e. (4x 2y)3

b. 3(2x 1) 3 f. 5(3a + 2)4

c. 2(3p + q)4 g. (y + 1) 5

d. 3(x y)3 h. (2x 3 y)3

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan caramenyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentukaljabar tersebut.


1. Jika m = 3, tentukannilai dari 5 2m.

Penyelesaian:

Substitusi nilai m = 3 pada 5 2m, maka diperoleh

5 2m = 5 2(3)

= 5 6

= 1

2. Jika x = 4 dan y = 3,tentukan nilai dari2x2 xy + 3y2.

Penyelesaian:

Substitusi x = 4 dan y = 3, sehingga diperoleh

2x2 xy + 3 y2 = 2(4)2 (4) (3) + 3(3) 2

= 2(16) (12) + 3(9)

= 32 + 12 + 27

= 71

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPBdari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentukaljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapatdilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebutmenjadi perkalian faktor-faktor primanya.

Perhatikan contoh berikut.

Tentukan KPK dan FPBdari bentuk aljabar berikut.

a. 12pq dan 8 pq2

b. 45x5y2 dan 50 x4y3

Penyelesaian:

a. 12pq = 22 u 3 u p u q8pq2 = 23 u p u q2KPK = 23 u 3 u p u q2

= 24pq2

FPB = 22 u p u q= 4pq

b. 45x5y2 = 32 u 5 u x5 u y250x4y3 = 2 u 52 u x4 u y3KPK = 2 u 32 u 52 u x5 u y3

= 450x5y3

FPB = 5 u x4 u y2= 5 x4y2



1. Jika a = 6 dan b = 1, tentukan nilai daribentuk aljabar berikut.a. a2 + 2 ab + b2

b. a2b ab2 + a2b2

c. 2a + 2a2b2 + 3 ab2 + b3

d. a4 + 4a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

e. 3a2 2 b + abf. 2a3 3a2 + ab 5

2. Hitunglah nilai p2 2qr + 3p jikaa. p = 1, q = 2, dan r = 3;b. p = 2, q = 3, dan r = 1;c. p = 1, q = 5, dan r = 2;d. p = 3, q = 2, dan r = 5.

3. Tentukan KPK dari bentuk aljabarberikut.

a. 15ab dan 20ab

b. 10a2b3c dan 15 b2c2d

c. 24p2q, 36p3q2, dan 60 pqr

d. 16pq2r, 30qr2s2, dan 36 p3r2s5

4. Tentukan FPB dari bentuk aljabarberikut.

a. 2x dan 3 x2

b. 4x2y dan 12 xy2

c. 48a3b5 dan 52a2b3c2

d. 12pq, 6q2r, dan 15p2qr

C. PECAHAN BENTUK ALJABAR

Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentukaljabar beserta operasi h itungnya. Pada bagian i ni kalian akanmempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yangpembilang, a tau p enyebut, a tau k edua-duanya m emuat b entuk

aljabar. Misalnya 24 3 3

dan 2 7

a a m x

p bc n x y, , , , .

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk AljabarSuatu pecahan bentuk aljaba r dikatakan paling sederhana

apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktorpersekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol.Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukandengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebutdengan FPB dari keduanya.

(Menumbuhkan inovasi)Berdasarkan contoh di atas, buatlah kesimpulan mengenai caramenentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar. Diskusikan hal inidengan temanmu.


Sederhanakan pecahanbentuk aljabar berikut, jikax, y z 0.a. 2

3

6

x

x y

b.2 3

2

4

2

x yz

xy

Penyelesaian:

a. FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga

2 2

3 3 :3

6 6 :31

2

x x x

x y x y x

xy

Jadi, bentuk sederhana dari 23

6

x

x y adalah

1.

2xy

b. FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga2 3 2 3

2 2

3

4 4 : 2

2 2 : 2

2

x yz x yz xy

xy xy xy

xz

y

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut SukuTunggal

a. Penjumlahan dan penguranganPada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil

operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperolehdengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkanatau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingatbahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukanKPK dari penyebut-penyebutnya.

Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasipenjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar.

Perhatikan contoh berikut.

Sederhanakan penjumlah-an atau pengurangan pe-cahan aljabar berikut.

1. 1 5

2 3p q

Penyelesaian:

1. 1 5

2 31 3 5 2

2 3 3 23 10

6 63 10

6

u u u u

p qq p

p q q pq p

pq pqq p

pq


b. Perkalian dan pembagian

Ingat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapatdinyatakan sebagai berikut.

; untuk , 0a c ac

b db d bdu z

Hal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar.

2.1 2

3 1 k k

3. 2 1 m nm n

2.

2 2

2

2

1 2 1( 1) 2( 3)

3 1 ( 3)( 1) ( 3)( 1)1 2 6

2 3 2 31 2 6

2 37

2 3

k k

k k k k k kk k

k k k kk k

k kk

k k

3.

2 12 1

2

2

2

2

n m m nm n

m n m n n mmn mmn n

mn mnmn n mn m

mnmn mn n m

mnn m

mn

u u

Tentukan hasil perkalianpecahan bentuk aljabarberikut.

1.4

3 2u ab

a

2.1 1 ux y

y x

3.2 1 2

5 3

ux x

Penyelesaian:

1.4 4 2

3 2 3 2 3

ab ab b

a a

uu u2.

1 11 11

1

u u

x yx y

y x y xxy y x

xyxy x y

xy


3.2 2

3

2

1 2 ( 1)2

5 3 5 32 2

152

( 1)15

u u

x x x x

x x

xx

Kalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan invers(operasi kebalikan) dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapatdikatakan bahwa membagi dengan suatu pecahan sama artinyadengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut.

untuk 0, 0

1untuk 0, 0

untuk 0, 0

b c aca a b c

c b ba a a

c b cb b c bca c a d ad

b cb d b c bc

u z z u z z u z z

:

:

:

Hal ini juga berlaku untuk pembagian pada pecahan bentuk aljabar.

Sederhanakan pembagianpecahan aljabar berikut.

1.4 2

3 9

p q

q p:

2.2

3

4

a c

b b:

3.2ab b

c ac:

Penyelesaian:

1.

2

2

2

2

4 2 4 9

3 9 3 2

36

6

6

u

p q p p

q p q q

p

q

p

q

:

2.2

2

2

3 3 4

412

12

u

a c a b

b b cbab

bcab

c

:

3.2

2

2

2

2

1 1 u

ab b ab ac

c ac c ba bc

b ca

b

:


c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang denganbilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatanpecahan bentuk aljabar.

1

2 2

2

3 3

3

a a

b b

a a a a

b b b b

a a a a a

b b b b b

u u u

sebanyak kali

... u u u u

n n

n

n

a a a a a a

b b b b b b

Sederhanakan perpang-katan pecahan aljabarberikut.

1.3

3

2

x

2.

2

2

4

5

y

3.2

2 1 a

b

4.2

5 3

2

p

Penyelesaian:

1.3 33 3 3 3 27

2 2 2 2 8

x x x x x u u

2.

2

2 2 2 4

4 4 4 16

5 5 5 25

u y y y y

3.

2

2

2 2

2 2

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

4 2 2 1 4 4 1

a a a

b b ba a

ba a a a a

b b

u

4.

2

2

2

5 3 5 3 5 3

2 2 25 3 5 3

425 15 15 9

425 30 9

4

p p p

p p

p p p

p p

u

(Berpikir kritis)Tunjukkan berlakunyasifat perpangkatanpecahan bentukaljabar di samping.Gunakan contoh yangmendukung.



3. Tentukan h asil k ali p ecahan a ljabarberikut.

a.3

2u q

p

b.3

2 5um m

n n

c.2

2

9 6

4 3umn kn

k m

d.2 1 3 ux x

y z

e. 3 1 1

2

ux xx y

f.2

2 23

u p q p q

p q

4. Tentukan hasil bagi bentuk pecahan alja-bar berikut.

a.4 12

x y: d.

2 2

2

16 8

5 3

a b ab

c c:

b.4 9

3 2

a b

b c: e.

24 3

9 8

klm k m

l:

c.2

8

6 15

mn mn

l l: f.

2 2 2

2

20

3 8

x y xy

z z:

5. Selesaikan operasi perpangkatan pecah-an aljabar berikut.

a.2

2

3

xe.

24 1

x

y y

b.3

2

3

4 x f.

2

2

2 1

3

a

b

c.2

4 2 x

yg.

33

2

a b

d.3

2

5

3

yh.

22

3

p q

pq

1. Sederhanakan pecahan-pecahan bentukaljabar berikut.

a.2

2, , 0

4

pqp q

pqz

b.2 33

, , , 06

zx yz x y zxyz

c.23 15

, , , 0 zx y yz x y z

xyz

d.26 4 8

, , 02

zxy xy xz x zxz

2. Sederhanakan penjumlahan dan pengu-rangan pecahan aljabar berikut.

a.3

2 q

p

b.23 x x x

y xy

c.3

12 3

p p

d.24 2 a a a

b ab

e. x y x yx y

f.7 3

10 10b b

g.12 9x x

y y

h. 22 4 2

9

x xyy y

i.2 3 4

6 9

p qq p

j.4 3 5 12

3 12

m mmn n


D. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYE-LESAIKAN MASALAH

Diketahui usia ayah empatkali u sia a naknya. L imatahun kemudian, usia ayahtiga kali usia anaknya.Tentukan masing- masingumur ayah dan anaknya.

Penyelesaian:

Misalkan: umur ayah = x;umur anak = y,

sehingga diperoleh persamaan

x = 4 y ..................................... (i)

x + 5 = 3( y + 5) ...................... (ii)

Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh

x + 5 = 3(y + 5)

4y + 5 = 3(y + 5) 4y + 5 = 3y + 15 4y 3y = 15 5 y = 10Untuk y = 10, maka x = 4y

x = 4 u 10 x = 40

Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10tahun.


2. Tiga tahun yang lalu jumlah umurseorang ibu beserta anak kembarnyadiketahui 35 tahun. Jika pada saat ituumur ibunya 29 tahun, berapa tahunkahumur anak kembarnya sekarang?

1. Panjang suatupersegi panjang diketahui(3x + 2) cm dan lebarnya (2 x 3) cm.a. Tentukan keliling persegi panjang

dinyatakan dalam x.

b. Jika kelilingnya 36 cm, tentukanukuran persegi panjang tersebut.


1. Variabel, konstanta, faktor, serta suku sejenis dan tak sejenis.

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yangbelum diketahui nilainya dengan jelas.

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yangberupa bilangan dan tidak memuat variabel.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang sama.

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

3. Pak Ketut melakukan suatu perjalananke luar kota. Mula-mula ia mengendaraisepeda motor selama 2 jam dengan ke-cepatan rata-rata (5 x 2) km/jam.Kemudian Pak Ketut melanjutkan perja-lanan dengan naik bus selama 3 jamdengan kecepatan rata-rata (4 x + 15)km/jam. Tentukana. jarak yang ditempuh dalam x;

b. nilai x, jika jarak yang ditempuh239 km.

4. Seekor kambing setiap hari menghabis-kan (x + 2) kg ransum makanan, sedang-kan seekor sapi setiap hari menghabis-kan (2x 1) kg ransum makanan.

a. Nyatakan jumlah ran sum makananuntuk seekor kambing dan seekorsapi selama 1 minggu.

b. Tentukan nilai x jika jumlah ransummakanan yang habis dalam 1 mingguadalah 70 kg.

5. Suatu model kerangka balok terbuat darikawat dengan ukuran panjang(2x + 1) cm, lebar (x + 5) cm, dan tinggix cm. Tentukana. persamaan panjang kawat dalam x;

b. nilai x, jika panjang kawat seluruhnya= 104 cm.

(Menumbuhkan inovasi)Amatilah lingkungan di sekitarmu.Buatlah contoh masalah sehari-hari yang berkaitan denganpenggunaan operasi hitung bentuk aljabar. Selesaikanlah danhasilnya ceritakan secara singkat di depan kelas.


2. Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan penguranganhanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.

3. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabarsuku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

k (ax) = kax

k (ax + b) = kax + kb

4. Perkalian antara dua bentuk aljabar dinyatakan sebagai berikut.

(ax + b) (cx + d) = acx2 + ( ad + bc)x + bd

(ax + b) (cx2 + dx + e) = acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be

(x + a) (x a) = x2 a2

5. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien suku-sukunya ditentukan dengan segitiga Pascal.

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

dan seterusnya

6. Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan caramenyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabelbentuk aljabar tersebut.

7. Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana jikapembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor perseku-tuan kecuali 1 dan penyebutnya tidak sama dengan nol.

8. Hasil operasi penjumlahan dan pengur angan pada pe cahanaljabar diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya,kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya.

Setelah mempelajari mengenai Operasi Hitung BentukAljabar, materi manakah yang telah kalian pahami? Buatlahrangkuman dari materi yang telah kalian pahami. Catatlah materiyang belum kalian pahami. Lalu, tanyakan pada temanmu yanglebih tahu atau kepada gurumu. Berilah contoh masalah dalamkehidupan sehari-hari beserta penyelesaiannya yang berkaitandengan operasi hitung bentuk aljabar . Susunlah dalam sebuahlaporan dan kumpulkan kepada gurumu.


1. Koefisien dari x pada bentuk aljabar2x2 24x + 7adalah ....a. 2 c. 24b. 7 d. 24

2. Bentuk aljabar berikut yang terdiriatas tiga suku adalah ....a. abc + pqr c. ab pqb. ab + ac bc d. 3ab 3 cd

3. Bentuk paling sederhana dari2(3x +2y) 4(x 5y) adalah ....a. 10x 10y c. 2x yb. 2x + 24y d. 2x 3y

4. Bentuk sederhana dari8x 4 6x + 7 adalah ....a. 2x + 3 c. 2x 3b. 2x + 3 d. 2x 3

5. Jika p = 2, q = 3, dan r = 5, nilai dari2p2r pq adalah ....a. 74 c. 86b. 46 d. 34

6. Hasil penjabaran dari (2x 3)2 adalah....a. 4x2 + 6x + 9b. 4x2 12x + 9c. 2x2 + 12x + 3d. 2x2 + 6x + 3

7. KPK dan FPB dari ab2c2 dan b3c2dadalah ....a. b2c2 dan a2b2c2

b. ab3c2d dan b2c2

c. ab3c3d dan b3c3

d. b3c3 dan ab3c2d2

8. Hasil dari 7 2 4

3 5

x x adalah ....

a.11 3

15

xc.

11 23

15

x

b.11 11

15

xd.

11 47

15

x

9. Nilai dari 9 2

3 5

x x adalah ....

a.7

15xc.

39

15x

b.19

15xd.

11

15x

10. Panjang sisi-sisi suatu segitiga diketa-hui berturut-turut p cm, 2p cm, dan(p + 4) cm. Keliling segitiga tersebutadalah ....a. (4p + 4) cm c. (2p + 6) cmb. (3p + 4) cm d. (2p + 2) cm

Kerjakan di buku tugasmu.

A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.

1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a. 4x + 5y 10x + yb. (5x + 7) 3(2x 5)c. 8x 2(4x + 7)d. 3(2x 5) + 2( x + 4)e. 2x2 3x + 5 3 x2 + x 9

2. Tentukan hasilnya.a. (2x 1) (3 x + 4)b. (3p + 1)2

c. (5x 3) 3

d. 2x(x + 3) (3 x 1)


3. Tentukan KPK dan FPB dari bentukaljabar berikut.a. 5p2q3 dan 18pq2r3

b. 20pq dan 35 p2qc. 25p2qr2, 30pqr2, dan 36p3q2rd. 12pq3r, 24pqr, dan 20p2q2r

4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.

a.2 1 3 2

3 5

x x

b.1 1

2 3

x x

x x

c.

32

2

2

6

xy x

y

u d. : ; , 0

6 12

p q pqp q

z5. Sebuah yayasan sosial memberikan

bantuan kepada korban banjir berupa35 dus mi dan 50 dus air mineral. Satudus mi berisi 40 bungkus dengan hargaRp900,00/bungkus. Adapun satu dusair mineral berisi 48 buah dengan hargaRp500,00/buah. Tentukan harga ke-seluruhan mi dan air mineral tersebut.