Bentuk Aljabar

  • View
    440

  • Download
    6

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Bentuk Aljabar

Text of Bentuk Aljabar

  • Pada arena balap mobil, sebuahmobil balap mampu melaju dengankecepatan (3x + 10) km/jam selama0,5 jam. Berapakah kecepatannyajika jarak yang ditempuh mobil ter-sebut 200 km?

    3 OPERASI HITUNGBENTUK ALJABAR

    Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat menjelaskan pengertian variabel, konstanta, faktor, suku, dan suku sejenis; dapat melakukan operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada

    bentuk aljabar; dapat menerapkan operasi hitung pada bentuk aljabar untuk menyelesaikan

    soal;

    Sumber: Ensiklopedi Umum untukPelajaran, 2005

    Kata-Kata Kunci:

    variabel dan konstanta operasi hitung bentuk aljabar faktor dan suku pecahan bentuk aljabar

  • 80Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

    Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, kalian harusmenguasai konsep mengenai faktor sekutu, kelipatan persekutuanterkecil (KPK), dan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari duabilangan atau lebih. Konsep mengenai bentuk aljabar dan operasihitungnya selanjutnya akan sangat bermanfaat dalam mempelajaribab berikutnya. Perhatikan uraian berikut.

    A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA

    Perhatikan ilustrasi berikut.

    Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyakboneka Desy dinyatakan dengan x m aka b anyak b oneka R ikadinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah makaboneka Rika sebanyak 9 buah.

    Bentuk seperti ( x + 5) disebut bentuk aljabar.

    Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalampenyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yangbelum diketahui.

    Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikanmasalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahuiseperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuahbis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu,atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari,dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

    Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, 3p, 4y + 5, 2x2 3x +7, (x + 1)(x 5), dan 5x(x 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan ypada bentuk aljabar tersebut disebut variabel.

    Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsuraljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan sukutak sejenis.

    Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentukaljabar, pelajarilah uraian berikut.

    1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

    Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x 6y + 9.

    Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.

    Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belumdiketahui nilainya dengan jelas.

    Variabel disebut juga peubah. V ariabel biasanya dilam-bangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

    Kata aljabar (aljabr)diambil dari judul bukuHisab al Jabr Wal Mu-qabalah (Perhitungandengan Restorasi danReduksi), karyaseorang ahli mate-matika Arab, Muham-mad Al-Khwarizmi(780850 M).Aljabar menjadi salahsatu cabang ilmumatematika yangsangat bermanfaatdalam ilmu ekonomidan ilmu sosiallainnya. Nanti padabab selanjutnya, kalianakan mempelajaripenerapan aljabardalam kegiatanekonomi.

    Al-Khwarizmi

    Sumber: Ensiklopedi Ma-tematika danPeradaban Ma-nusia, 2003

  • 81Operasi Hitung Bentuk Aljabar

    Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebutkonstanta.

    Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupabilangan dan tidak memuat variabel.

    Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p u q dengana, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

    Pada be ntuk aljabar d i atas, 5 x dapat diuraikan sebagai5x = 5 u x atau 5x = 1 u 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1,5, x, dan 5x.

    Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta darisuatu suku pada bentuk aljabar.

    Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar5x + 3y + 8x 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku 6y adalah 6.

    2. Suku Sejenis dan Suku T ak Sejenis

    a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta padabentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

    Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang sama.

    Contoh: 5x dan 2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...

    Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

    Contoh: 2x dan 3x2, y dan x3, 5x dan 2y, ...

    b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan olehoperasi jumlah atau selisih.

    Contoh: 3 x, 2a2, 4xy, ...

    c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satuoperasi jumlah atau selisih.

    Contoh: 2x + 3, a2 4, 3 x2 4x, ...

    d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh duaoperasi jumlah atau selisih.

    Contoh: 2x2 x + 1, 3 x + y xy, ...

    Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebutsuku banyak .

    Catatan:Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar

    suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyakdisebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajaripemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.

    (Menumbuhkan krea-tivitas)Buatlah sebarangbentuk aljabar.Mintalah temanmuuntuk menunjukkanunsur-unsur aljabardari bentuk aljabartersebut. Lakukan halini bergantian denganteman sebangkumu.

  • 82Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

    Tentukan koefisien dari x2

    dan faktor dari masing-ma-sing bentuk aljabar berikut.

    a. 7x2

    b. 3x2 + 5

    c. 2x2 + 4x 3

    Penyelesaian:

    a. 7x2 = 7 u x u xKoefisien dari x2 adalah 7.Faktor dari 7x2 adalah 1, 7, x, x2, 7x, dan 7x2.

    b. 3x2 + 5 = 3 u x u x + 5 u 1Koefisien dari x2 adalah 3.Faktor dari 3x2 adalah 1, 3, x, x2, 3x, dan 3x2.

    Faktor dari 5 adalah 1 dan 5.

    c. 2x2 + 4x 3 = 2 u x u x + 4 u x 3 u 1Koefisien dari 2x2 adalah 2.Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x, x2, dan 2x.

    Koefisien dari 4x adalah 4.Faktor dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x.

    Faktor dari 3 adalah 3, 1, 1, dan 3.

    Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

    1. Tulislah setiap kalimat berikut denganmenggunakan variabel x dan y.

    a. Suatu bilangan jika dikalikan 2, ke-mudian dikurangi 3 menghasilkan bi-langan 5.

    b. Empat lebihnya dari keliling suatupersegi adalah 16 cm2.

    c. Selisih umur Bella dan Awang adalah5 tahun, sedangkan jumlah umurmereka 15 tahun.

    d. Kuadrat suatu bilangan jika ditambah1 menghasilkan bilangan 50.

    2. Tentukan koefisien x dari bentuk aljabarberikut.

    a. 3 2x

    b. x2 2xy + x2 + 3

    c. 4x2 5x + 6

    d.23 1 5

    4 2 4 x x

    e. x3 + 4x2 + x 3

    3. Tentukan konstanta dari bentu k aljabarberikut.a. 5x 3b. 2y2 + y 5c. (3x + 5)2

    d. 3xy + 2x y + 1e. 4 3x + 5x2

  • 83Operasi Hitung Bentuk Aljabar

    4. Tentukan suku-suku yang sejenis dantidak sejenis pada bentuk aljabar berikut.a. 3m 2n + 9m + 15n 6b. 9a2 3ab + 4a + 6ab 18ac. 5x2 + 6xy 8y2 2xy + 9y2

    d. 8p2q2 p2q + 12 pq + 5 pq + 3 p2qe. 5y2 3y + 4y2 + x2 y2 + y 1

    5. Termasuk suku berapakah bentuk alja-bar berikut?a. 2x d. a2 2ab + b2

    b. 4x2 3 e.23 4

    2 x x

    c. y2 x2

    B. OPERASI HITUNG P ADA BENTUKALJABAR

    1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

    Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan penguranganhanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkanatau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

    Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabarberikut.

    a. 4ax + 7 ax

    b. (2x2 3x + 2) + (4 x2 5x + 1)

    c. (3a2 + 5) (4 a2 3a + 2)

    Ingat bahwa untuksebarang bilanganbulat a dan b, berlaku1) a u b = ab2) a u (b) = ab3) (a) u b = ab4) (a) u (b) = ab

    Penyelesaian:

    a. 4ax + 7 ax = (4 + 7) ax

    = 3ax

    b. (2x2 3x + 2) + (4 x2 5x + 1)

    = 2x2 3x + 2 + 4 x2 5x + 1

    = 2x2 + 4x2 3x 5x + 2 + 1

    = (2 + 4)x2 + (3 5)x + (2 + 1)

    = 6x2 8x + 3

    c. (3a2 + 5) (4 a2 3a + 2) = 3a2 + 5 4 a2 + 3a 2

    = 3a2 4a2 + 3a + 5 2

    = (3 4)a2 + 3a + (5 2)

    = a2 + 3a + 3

    (kelompokkan suku-suku sejenis)

  • 84Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

    2. Perkalian

    Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilanganbulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitua u (b + c) = ( a u b) + ( a u c) dan sifat distributif perkalianterhadap pengurangan, yaitu a u (b c) = ( a u b) ( a u c),untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku padaperkalian bentuk aljabar.

    a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

    Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentukaljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

    k (ax) = kax

    k (ax + b) = kax + kb

    Panjang sisi miring se-gitiga siku-siku adalah(2x + 1) cm, sedangkanpanjang sisi siku-siku-nya (3x 2) cm dan(4x 5) cm. Tentukanluas segitiga tersebut.

    Jabarkan bentuk aljabarberikut, kemudian sederha-nakanlah.

    a. 4(p + q)

    b. 5(ax + by)

    c. 3(x 2) + 6(7x + 1)

    d. 8(2x y + 3z)

    Penyelesaian:

    a. 4(p + q) = 4p + 4q

    b. 5(ax + by) = 5ax + 5by

    c. 3(x 2) + 6(7 x + 1) = 3x 6 + 42x + 6

    = (3 + 42)x 6 + 6

    = 45x

    d. 8(2x y + 3z) = 16x + 8y 24z

    b. Perkalian a ntara d ua b entuk a ljabar

    Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentukaljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kitadapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadappenjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

    Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antaradua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut.

    Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengansuku dua berikut.

    (ax + b) (cx + d) = ax u cx + ax u