Operasi aljabar

by.: Arif Syarifudin


Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

2. Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel.

2.1. Mengenali bentuk aljabar dan unsur-

unsurnya.2.2. Melakukan operasi pada bentuk aljabar

2.3. Menyelesaikan persamaan linear satu variabel.2.4.Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel.


Indikator

Menjelaskan pengertian variabel, konstanta, suku, koefisien suku, suku sejenis, dan suku tak sejenis.

Menerapkan operasi hitung pada bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal

Menyelesaikan operasi hitung (penjumlahan, pengurangan,perkalian, pembagian, pangkat, dan akar) pada bentuk aljabar dan pecahan aljabar dengan penyebut suku tunggal menggunakan sifat-sifat operasi hitung

Menjelaskan PLSV dalam berbagai bentuk dan variabel

Menentukan bentuk setara dari PLSV dengan cara kedua ruas ditambah,dikurangi, dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang samaMenentukan penyelesaian PLSV


JUDUL MATERI

KD 2.1.MENGENAL BENTUK ALJABAR

KD 2.1.MELAKUKAN OPERASI BENTUK ALJABAR


= Rp 45.000,- = P

3P = 45.000 Kalimat matematika = bentuk Aljabar

Amir membeli barang-barang berikut:

+ +

Buatlah bentuk Aljabarnya !Jika

= b

= j

= p

KD 2.1.MENGENAL BENTUK ALJABAR


2 . Suku, Variabel, Koefisien, dan Konstanta 2 . Suku, Variabel, Koefisien, dan Konstanta

Jawaban :3b + 2j + 2p

MENGENAL BAGIAN-BAGIAN BENTUK ALJABAR

3b + 2j + 2p3b + 2j + 2p b j p3 + 2 + 2Suku -suku DalamBentuk Aljabar

Variable/peubah

Koefisien

Disebut bentuk aljabar tiga suku (Trinomial)


MARI KITA MENGENAL MACAM BENTUK ALJABAR

1. 5x Ini bentuk Aljabar 1 suku/monomial Variabelnya x

Koefisienny 5 atau +5

2. 5x + 9 Ini bentuk Aljabar 2 suku/binomial Variabelnya x

Koefisiennya 5 atau +5 Konstantanya 9 atau +9

3. 2x -4y + 3 Ini bentuk Aljabar 3 suku/trinomial variabelnya x dan y Koefisiennya 2 dan -4 konstantanya 3

4. 6x2 + 4x + 2y – 4 Ini bentuk Aljabar 4 suku/polinomial


Menggunakan Variable/peubah, koefisien dan konstanta dalamMengubah soal cerita ke dalam Bentuk Aljabar1. Variabel

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga

peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a,

b, c, ... z.2. Koefisen adalah nilai yang menunjukkan banyaknya

suatu variabel pada bentuk aljabar Jika suatu suku ditulis : 2a, artinya : i. Koefisien variabel a adalah 2 ii. 2a = 2 x a atau 2a = 2 . a3. Konstanta adalah nilai tetap berupa angka yang tak

bervariabel

a. Jumlah dua bilangan ganjil berurutan adalah 20 Penyelesaian:

a. Misalkan bilangan tersebut x dan x + 2, berarti x + x + 2 = 20.

Contoh Penggunaannya :


b. Suatu bilangan jika dikalikan 5 kemudian dikurangi 3, hasilnyaadalah 12b. Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x - 3 =

12.


1. Tulislah setiap kalimat berikut d enga menggunakan variabel x atau y. a. Suatu bilangan jika dikalikan 2,kemudian dikurangi 3 menghasilkan bilangan 5 b. Empat lebihnya dari keliling suatu persegi adalah 16 cm c . Selisih umur Bella dan Awang adalah 5 tahun, sedangkan jumlah umur mereka 15 tahun. d. Kuadrat suatu bilangan jika ditambah 1 menghasilkan bilangan 50.

2. Tentukan koefisien x dari bentuk aljabar berikut.

a . 3 – 2x

b. x 2 – 2 xy + x + 32

c. 4x2– 5 x + 6

d.

e

3. Tentukan konstanta dari bentuk aljabar berikut.

a. 5x – 3

b.(3x + 5)2

c. 3xy + 2x – y + 1

d. 4 – 3x + 5x2


1. a. Misal suatu bilangan itu x, maka kalimat dalam variabel x nya : 2x – 3 = 5 b. Misal keliling persegi = x, 4 lebihnya dari keliling persegi 16 kalimat dalam x nya : x + 4 = 16 c. Misal : Umur Bella = x, Umur Awang = y selisih umur bella dan Awang = 5 x – y = 5 Jumlah umur mereka= 15 x + y = 15 d. Misal bilangan itu x,

2 . a. -2 3. a . – 3 b. 1 b. 25 c. -5 c. 1 d. d. 4 e. 1


Mengenal Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

1. Mengenal Suku Sejenis

Rp 3.500

Misal : 1 Apel = 1a = a, jika kita ingi membeli ApelSebanyak

Rp 3.500Rp 3.500Rp 3.500= a + a + a= 3.500+3.500+3.500= 10.500

ATAU kita dapat menggabungnya sebagai berikut :

Rp 3.500Rp 3.500 Rp 3.500 = a + a + a= 3a= 3 x 3.500= 10.500

Jadi :a sejenis dengan aKarena jika ada tigabuah a kita dapat menggabunya menjadi 3a, Dan hasil harga belinya sama 10.500


Contoh suku-suku sejenis yang lainnya :

1. Apakah a dan 3a suku yang sejenis ?

Bukti : misal nilai a = 4Kita lakukan operasi penjumlahan :a + 3a = a + ( 3 x a ) = a + ( a + a + a ) = a + a + a + a = 4a = 4 x 4 = 16 ( ternyata kita dapat menggabungkan a menjadi 4a )Jadi : a da 3a adalah dua suku yg sejenis

2. Apakah xy dan yx suku yang sejenis ?

Bukti : misal nilai x = 4 dan y = 2i. xy = x . y yx = y . x = 4 . 2 = 2 . 4 = 8 = 8 xy + yx = 8 + 8 = 16

ii. xy + yx = xy + xy = 2xy = 2 . x. y = 2 . 4 . 2 = 16


2. Suku Tak SejenisContoh : a dan a2

Misal nilai a = 3Maka : suku a bernilai 3 atau a = 3

dan suku a2 bernilai 32= 3 x 3 = 9Jadi Nilai , ( jadi a dan a2 dua suku tak sejenis )

Misal kita lakukan penjumlahan :a + a2 = 3 + 32 = 3 + 9 = 12Bagaimana kalau kita gabung dengan ?i. a + a2 = 2a, nilainya 2 x 3 = 6 jadi hasilnya bukan 12,

artinya hasil gabungan salahii. a + a2 = 2a2, nilainya 2 x 32= 18, hasilnya bukan 12,

artinya hasilgabungan salah.

iii. a + a2 = a3, nilainya 32 = 9, hasilnya bukan 12, iv. a + a2 = 2a3, nilainya 2 x 32 = 2 x 9 = 18, hasilnya bukan

12

Kesimpulan : a dan a2 , dua suku tak sejenis


1. Tentukan suku-suku yang sejenis dan tidak sejenis pada bentuk aljabar berikut

a. 3m – 2n + 9m + 15n – 6

b. 9a2 – 3 ab + 4 a + 6 ab – 1 8a

c. 5x2 + 6 xy – 8 y2– 2 xy + 9y2

d. 8p2q2 – p2q + 12 pq + 5 pq + 3 p2qe. 5y2 – 3y + 4y2 + x2 – y2 + y – 1

2. Termasuk suku berapakah bentuk aljabar berikut?

a. –2x

b. 4x2 – 3

c. y2 – x2

d. a2 – 2 ab + b2

e.


JAWABAN :

1. suku-suku yang sejenis dan tidak sejenis a. 3m – 2n + 9m + 15n – 6suku-suku sejenis : +3m dan +9m

-2n dan +15nsuku-suku tidak sejenis : -6

b. 9a2 – 3 ab + 4 a + 6 ab – 1 8asuku-suku sejenis : - 3ab dan +6ab

+4a dan -18a suku-suku tidak sejenis : 9a2

c. 5x2 + 6 xy – 8 y2– 2 xy + 9y2

suku-suku sejenis : +6xy dan – 2 xy – 8y2 dan +9y2

suku-suku tidak sejenis : 5x2

d. 8p2q2 – p2q + 12 pq + 5 pq + 3 p2qsuku-suku sejenis : +12pq dan +5pq

– p2q dan +3p2q suku-suku tidak sejenis : 8p2q2

e. 5y2 – 3y + 4y2 + x2 – y2 + y – 1 suku-suku sejenis : +5y2, +4y2 dan – 1y2

– 3y dan +y suku-suku tidak sejenis : +1x2 ,dan – 1


2. Termasuk suku berapakah bentuk aljabar berikut :

a. – 2x Suku satu / monomial

b. 4x2 – 3 Suku dua / binomial

c. y2 – x2 Suku dua / binomial

d. a2 – ab + b2 Suku tiga/trinomial/polinom

e. Suku tiga/trinomial/polinom


FAKTOR BENTUK ALJABARFAKTOR BENTUK

ALJABARFaktor Bentuk AljabarPedoman menentukan faktor bentuk Aljabar ada dua bagian :1. Kita harus memahami faktor suatu bilangan2. Kita harus memahami faktor suatu variabel. contoh : tentukan faktor dari a. 8x

b. 12x2 c. 8xy Jawab : 8x : 1 = (8 : 1)x = 8x a. Faktor dari 8x 8x : 2 = (8 : 2)x = 4x

4x : 2 = (4 : 2)x = 2x 2x : 2 = (2 : 2)x = 1x=x

Jadi Faktor dari 8x adalah = 1, 2, 4, 8, x, 2x, 4x, 8x


Jawab : a.Faktor 8x

8x : 1 = ( 8 : 1 ) x = 8x

Jadi Faktor dari 8x adalah = 1, 2, 4, 8,

8x : 4 = ( 8 : 4 ) x = 2x

8x : 2 = ( 8 : 2 ) x = 4x

8x : 8 = ( 8 : 8 ) x = 1x = x

8x : x = 8

8x : 2x = 4

8x : 4x = 2

8x : 8x = 1

x, 2x, 4x, 8x

b. Faktor 12x2

12x2 : x2 = 1212x2 : 2x2 = 6

12x2 : 3x2 = 4

12x2 : 4x2 = 3

12x2 : 6x2 = 2

12x2 : 12x2 = 1

12x2 : x = 12x12x2 : 2x = 6x

12x2 : 3x = 4x

12x2 : 4x = 3x

12x2 : 6x = 2x

12x2 : 12x = x Jadi Faktor dari 12x2 adalah =

1,2,3,4,6,12,x,2x,3x,4x,6x,12x,x2,2x2,3x2,4x2,6x2,12x2


c. Faktor 8xy

8xy : xy = 8

8xy : 2xy = 4

8xy : 4xy = 2

8xy : 8xy = 1

8xy : x = 8y

8xy : 2x = 4y

8xy : 4x = 2y

8xy : 8x = y

Jadi Faktor 8xy = 1,2,4,8,x,2x,4x,8x,y,2y,4y,8y,xy,2xy,4xy,8xy


FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR BENTUK ALJABAR

FPB

Contoh : Tentukan FPB dari 12x2 dan 8xyDapat dilakukan dengan dua caraCara I : Mendaftar semua faktor 12x2 dan 8xy, kemudian diambil faktor yg sama dan yang terbesar

Dari slide 17 :

Dari slide 18 :

Faktor 12x2 = 1,2,3,4,6,12,x,2x,3x,4x,6x,12x,x2,2x2,3x2,4x2,6x2,12x2

Faktor 8xy = 1,2,4,8,x,2x,4x,8x,y,2y,4y,8y,xy,2xy,4xy,8xy

Faktor persekutuan 12x2 dan 8xy = 1,2,4,x,2x,4x

FPB 12x2 dan 8xy = 4x


Cara II : Perkalian faktor prima koefisien 12x2 dan 8xy, lalu diambil variabel yang berpangkat lebih kecil/rendah

i. Suku 12x2

Tentukan perkalian faktor prima 12 = 22 x 3 maka suku 12x2 = 22 . 4 . X2

ii. Suku 8xy Tentukan perkalian faktor prima 8 = 23 maka suku 8xy = 23 . x . y

Jadi FPB 12x2 dan 8xy adalah = 22x = 4x

Hasil cara II = hasil cara I yaitu 4x

Cara II lebih mudah dan tepat

Cara I


KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL BENTUK ALJABAR KPK

KELIPATAN BENTUK ALJABAR

Pedoman menentukan faktor bentuk Aljabar ada dua bagian :1. Kita harus memahami kelipatan suatu bilangan2. Kita harus memahami kelipatn bentuk Aljabar adalah

menentukan kelipatan koefisien dari variabel contoh : tentukan kelipatan dari : 3xy kelipatan dari suku aljabar 3xy adalah : (1x3)xy, (2x3)xy, (3x3)xy, (4x3)xy, (5x3)xy,..... 3xy, 6xy, 9xy, 12xy, 15xy,...... Jadi Keliptan 3xy = 3xy, 6xy, 9xy, 12xy, 15xy,....


KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL BENTUK ALJABAR

Contoh : Tentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil dari 3xy dan 2x2

Jawab : Kelipatan 4xy = 4xy, 8xy, 12xy, 16xy, 15xy,..... Kelipatan 2x2 = 2x2 , 4x2 , 6x2 , 8x2 , 10x2 KPK dari 4xy dan 2x2 ditentukan dengan aturan : 1. Ambil kelipatan terkecil dari koefisiennya 2. Variabel yang berhuruf sama diambil variabel yang berpangkat lebih tinggi 3. variabel yang tidak sama selalu diambil Perhatikan : bentuk di atas 4xy dan 2x2 1. Kelipatan perekutuan terkecil koefisenn 4 dan 2 = 4 2. Variabel yang berhuruf sama x dan x2 3. Variabel yang beda y, maka KPK dari 4xy dan 2x2 = 4x2y

Cara I


Cara II : Perkalian faktor prima koefisien 2x2 dan 4xy, lalu diambil variabel yang berpangkat lebih tinggi dan variabel yang tidak sama diambil juga.i. Suku 2x2

Tentukan perkalian faktor prima 2 = 21 maka suku 12x2 = 21 . x2

ii. Suku 8xy Tentukan perkalian faktor prima 4 = 2 x 2 = 22 maka suku 4xy = 22 . x . y KPK 4xy dan 2x2 = 22x2y = 4x2y

Hasil cara II = hasil cara I yaitu 4x2y

Cara II lebih mudah dan tepat

Cara I


1. Tentukan KPK dari bentuk aljabar berikut.

a. 15ab dan 20 ab

b. 10a2 b3c dan 15 b2c2dc. 24p2q, 36p3q22, dan 60 pqr

d. 16pq2 r, 30qr2s2, dan 36 p3r2s5

2. Tentukan FPB dari bentuk aljabar berikut.a. 2x dan –3x2

b. 4x2y dan 12xy2

c. 48a3b5 dan 52a2b3c2

d. 12pq, 6q2r, dan 15p2qr


1. KPK dari a. 15ab dan 20 ab

Perkalian faktor prima 15ab = 3 x 5 x a x b

Perkalian faktor prima 20 ab = 2 x 2 x 5 x a x b

Jadi KPK dari 15ab dan 20 ab = 2 x 2 x 3 x 5 x a x b = 60ab b. 10a2 b3c dan 15 b2c2d

Faktorisasi prima 10a2 b3c = 2 x 5 x a2 x b3 x c

Faktorisasi priam 15 b2c2d = 3 x 5 x b2 x c2 x d

Jadi KPK dari10a2 b3c dan 15 b2c2d = 2 x 3 x 5 x a2 x b3 x c2 x d

= 30a2b3c2dc. 24p2q, 36p3q2, dan 60 pqr

Faktorisasi prima 24p2q = 2 x 2 x 2 x 3 x p2 x q = 23 x 3 x p2 x q

Faktorisasi prima 36p3q2 = 2 x 2 x 3 x 3 x p x q = 22 x 32 x p3 x q2

Faktorisasi 60 pqr = 2 x 2 x 3 x 5 x p x q x r = 22 x 3 x 5 x p x r

Jadi KPK dari 24p2q, 36p3q2, dan 60 pqr = 23 x 32 x 5 x p3 x q2 x r = 360p3q2r


d. 16pq2 r, 30qr2s2, dan 36 p3r2s5

Faktorisasi prima 16pq2 r = 2 x 2 x 2 x 2 x p x q2 x r = 24 x p x q2 x r

Faktorisasi prima 30qr2s2 = 2 x 3 x 5 x q x r x s = 2 x 3 x 5 x q x r2 x s2

Faktorisasi prima 36 p3r2s5 = 2 x 2 x 3 x 3 x p x r x s = 22 x 32 x p3 x r2 x s5

2. FPB dari bentuk aljabar berikut.

a. 2x dan –3x2

Faktorisasi prima dari 2x = 2 . x

Faktorisasi prima dari –3x2 = - 3 . x2

Jadi FPB dari 2x dan –3x2 = x

b. 4x2y dan 12xy2

Faktorisasi prima dari 4x2y = 2 . 2 . x2 . Y = 22 .x2.yFaktorisasi prima dari 12xy2 = 2 . 2 . 3 . x . Y2 = 22 . 3 . x .y2

Jadi FPB dari 4x2y dan 12xy2 = 22 . x . Y = 4xy


c. 48a3b5 dan 52a2b3c2

Faktorisasi prima dari 48a3b5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x a3 x b5 = 24 x 3 x a3 x b5

Faktorisasi prima dari 52a2b3c2 = 2 x 2 x 13 x a2 x b3 x c2 = 22 x 13 x a2 x b3 x c2

Jadi FPB dari 48a3b5 dan 52a2b3c2 = 22 x a2 x b3 = 4a2b3

d. 12pq, 6q2r, dan 15p2qr

Faktorisasi prima 12pq = 2 x 2 p x q = 22 x p x q

Faktorisasi prima 6q2r = 2 x 3 x q2 x r = 21 x q2 x r

Faktorisasi prima 15p2qr = 3 x 5 x p2 x q x r

Jadi FPB dari 12pq, 6q2r, dan 15p2qr = q


KD 2.1.MELAKUKAN OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

1 . Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan penguranganhanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkanatau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabarberikut.a. –4ax + 7 ax Ini Bentuk Aljabar suku dua -4ax dan

+7ax keduanya suku sejenis

– 4ax + 7ax =(–4 + 7) ax

= + 3ax

Penyelesaian:

= 3ax


b. (2x2 – 3x + 2) + (4 x2 – 5x + 1)

Penyelesaian:

b. (2x2 – 3x + 2) + (4 x2 – 5x + 1)Pedoman :1. Buka tanda kurung untuk kelompok depan ( 2x2 – 3x + 2) buka saja.2. Untuk kelompok belakang (4x2 – 5x + 1) lakukan perkalian tanda + yg diepannya dengan tiap suku dalam kurung yaitu : + kali 4x2 = + 4x2 + kali – 5x = – 5x + kali + 1 = + 1

3. (2x2 – 3x + 2) + (4 x2 – 5x + 1) =

(2x2 – 3x + 2)+ (4 x2 – 5x + 1)

x

= 2x2 – 3x + 2+ 4x2

x

– 5x

x

+ 1

=

(2x2 – 3x + 2)

= (2 + 4)x2 (– 3 – 5 )x ( + 2 + 1)= 6x2 – 8x + 3

2x2 – 3x + 2 + 4 x2 – 5x + 1 2x2– 3x+ 2 – 5x+ 1+ 4 x2


c . (3a2 + 5) – (4a2 – 3 a + 2)

Penyelesaian:

Pedoman :1. Buka tanda kurung untuk kelompok depan ( 3a2 + 5) buka saja.2. Untuk kelompok belakang (4a2 – 3a + 2) lakukan perkalian tanda – yg diepannya dengan tiap suku dalam kurung yaitu : – kali 4a2 = – 4a2 – kali – 3a = + 3a – kali + 2 = – 2

3. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) =

– (4a2 – 3a + 2)(3a2 + 5)

3a2 + 5= + 53a2

x

– 4a2 + 3a– 2

x

x

= (3 – 4)a2 + 3a (+5 – 2 ) = – 1a2 + 3a + 3

= – a2 + 3a + 3


Sederhanakanlah dengan operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk-bentuk aljabar berikut.

1. 8p – 3 + (–3 p) + 8

2. 9m + 4mn + (–12m) – 7mn

3. 2a2+ 3 ab – 7 – 5a2 + 2 ab – 44. 4x2 – 3xy + 7 y – 5x2 + 2xy – 4y5. –4p2+ 3pq – 2 – 6p2+ 8 pq – 3

6. 12 kl – 20mn –5 kl – 3 mn


JAWAB :1. 8p – 3 + (–3 p) + 8 = 8p – 3p + 8 – 3

= (8 – 3)p (8 – 3) = 5p + 5

2. 9m + 4mn + (–12m) – 7mn = 9m – 12m + 4mn – 7mn = (9 – 12)m (+4 – 7)mn = – 3m – 3mn

3. 2a2+ 3 ab – 7 – 5a2 + 2 ab – 4 = 2a2 – 5a2 + 3ab + 2ab – 4 – 7

= (2 – 5)a (+3 + 2)ab (– 4 – 7 ) = – 3a2 + 5ab – 11 4. 4x2 – 3xy + 7 y – 5x2 + 2xy – 4y = 4x – 5x + 7y – 4y + 2xy – 3xy = (4 – 5)x (+7 – 4)y (+2 – 3)xy

= – 5x2 + 3y – 1xy5. –4p2+ 3pq – 2 – 6p2+ 8 pq – 3 = – 4p – 6p + 3pq + 8pq – 2 – 3

= ( – 4 – 3)p (+3 + 8)pq (– 2 – 3 ) = – 10p + 11pq – 5 6. 12 kl – 20mn –5 kl – 3 mn = 12kl – 5kl – 20mn – 3 mn

= (12 – 5)kl (1 – 20mn – 3mn) = 7kl – 23mn


. Jف Lر NشLا د Rم LحUم يZدYنLا Lس عLلى Uم Lال RالسLو Uة Lال RالصLو يNن JمLعالNال Zب Lر JهmلJل Uد Nم LحNلL اعJين Lم NجLأ JهJب Nح LصLو JهJال وعLلى ، LنNيJسل NرUمNال.

، JلRوUمNال LكJد Nو UجLو ،JمNيJظLعNال LكJل NضLف وLعLلى ، UلRوL Nاال UمNيJد LقNال اNالLبLدJي� LتNنL أ Rم UهmللL ا

عLلLيNنLا LلLب NقLأNد�قدNيJد Lج هذLاعLام� Lو،عLلى LنNوLعNال Lو دJه، NوUن UجLو لJيLائJه Nأو Lو JمNي Jج Rالر JانLطNي Rالش LنJم JهNي Jف Lة Lم NصJعNال LكUلL أ NسLن

لNفى Uز LكNيLلJ بUنLاإ Zر LقUاي LمJب LالLغJت NشJ Nاال LوJء Nو بJالس� Jة Lار RمL Nاال JسNفRالن JهJهذ،وLعLلى Jد Rم LحUامLنJدZي Lس عLلى Uهmالل لRى LصLو ، LنNي Jم Jاح Rالر Lم Lح Nر

يLاأ� Jام LرNكJاإل LوJلLل LجNاالLاذLي . LنNي JمLالLعNال Zب Lر JهmلJل Uد Nم LحNال Lو LمRل LسLو JهJب Nح LصLو JهJال

JمNي Jح Rالر JنLم Nح Rالر Jالله Jم NسJب

Education

Operasi aljabar