Estudo Do LançaMento Oblíquo

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  • 8/16/2019 Estudo Do LançaMento Oblíquo

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    MATEMÁTICA E O INÍCIO DA CIVILIZAÇÃOEPISÓDIO 4

    ESTUDO DOLANÇAMENTO 

    OBLÍQUO ASSISTIDO

    POR COMPUTADOR

    PROFESSORES ANDERSON PIFER Física

    JULIANO S. DI SIERVO Matemática

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     APRESENTAÇÃOO documentário mostra que o desenvolvimen-to da civilização sempre foi acompanhado do

    desenvolvimento da Matemática, que, comodisciplina escolar, unirá esforços junto com aFísica para compor este trabalho de estudo domovimento. A tecnologia será um importanterecurso para que alguns conteúdos abordadosno documentário e ministrados tradicionalmen-te com base em “giz e lousa”, ganhem maissignicado para ambas as disciplinas e, princi-

    palmente, para os nossos alunos.

    SINOPSE DO PROGRAMA O documentário vai ao século XVIII para mostrar aépoca em que a Europa se tornou o centro mundialdo pensamento matemático. Nesta época, gran-des nomes como Descartes, Bernoulli, Newton eLeibniz perceberam que para compreender comoo mundo funciona, era preciso trabalhar com o quese move e encontrar meios matemáticos para ex-plicar os fenômenos da natureza. Nesse momentoespecial surgiu o Cálculo e a Matemática Moderna.Os professores de Física e Matemática, convida-dos para desenvolverem um projeto interdisciplinarno programa “Sala de Professor”, apresentaramuma proposta que utiliza desde a construção derampas de madeira até a utilização de avançados

    softwares disponíveis na internet.

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    SALA DE PROFESSOR EPISÓDIO 4: MATEMÁTICA E O INÍCIO DA CIVILIZAÇÃO 3

    UM OLHAR PARA O DOCUMENTÁRIO A PARTIR DA MATEMÁTICA 

     A partir do documentário é feita uma abordagem sobreFunção Polinomial de 1° e 2° graus e um estudo expe-rimental sobre a curva denominada cicloide. O projetopode ser realizado na 1ª série do Ensino Médio, intro-duzindo funções ou com maior aprofundamento na 3ªsérie do Ensino Médio, trazendo a parametrização.

    Sugerimos que o professor de Matemática não deixede abordar biograa de Descartes, um dos persona-gens do vídeo, resgatando seu aspecto humano paraalém do grande lósofo e matemático como tambéma relação dos problemas cotidianos que enfrentoucom seus trabalhos futuros, como o plano cartesiano.

    Retrato de René Descartes (1596-1650).

    entre o ângulo do canhão e a distância dos soldadosinimigos. Nesse momento é aigido por um senti-mento de culpa, pois não queria ser responsável pelamorte de pessoas. Seu grande medo era descobrir“a verdade” sobre a balística e ser responsável porvárias mortes, pois não erraria tiro algum. Diante dodilema, optou pelo trabalho, e, como operador decanhão, falava o ângulo de inclinação para cada dis-tância do alvo anunciado pelos generais.

    Descartes nunca usou sua arma e sempre se ques-tionou sobre o motivo de matar os inimigos. Emmeio a este conito pessoal e ao viver um grandemisticismo, ingressou na Sociedade Rosacruz,onde discutiu temas relacionados à transcendên-cia espiritual e à transmutação da prata em ouro.

    Pensando na relação entre o ângulo de inclinação

    do canhão e o alcance da bala, o professor poderáiniciar o trabalho interdisciplinarmente com a Física,apresentando o lançamento oblíquo e suas equações.

    O LANÇAMENTO OBLÍQUO

    O objetivo do trabalho com os alunos é o estudo dolançamento oblíquo e, tal como Descartes, deter-minar como o alcance da bala de canhão varia emfunção do ângulo de inclinação do canhão. Este é

    um estudo clássico em Física que envolve concei-tos como movimento uniforme (MU) e movimentouniformemente variado (MUV). A Matemática trarácomo suporte a trigonometria na decomposiçãode velocidades e na análise da função quadrática.

    Como demonstraremos abaixo, a trajetória dequalquer corpo lançado com velocidade oblíquaem relação ao solo, desprezando a resistênciado ar, é uma curva chamada parábola, tradução

    geométrica de uma função do segundo grau ouquadrática. Lembramos que Galileu foi o primeiroa determinar esta curva com exatidão.

    René Descartes, em certo período de sua vida, ente-diado com o cotidiano, buscava aventura. Procuravaemprego querendo livrar-se da família, e em 10 de

    março de 1619 tornou-se soldado mercenário doexército de Maurício de Nassau. Na função de ope-rador de canhão, percebeu que existe uma relação

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    SALA DE PROFESSOREPISÓDIO 4: MATEMÁTICA E O INÍCIO DA CIVILIZAÇÃO4

    O desenho abaixo descreve a situação.

    Como não há ação de força na horizontal, a aceleração nessa direção é nula e, portanto, a velocidade ho-rizontal vx é constante. Na direção vertical, a ação da gravidade provoca uma aceleração vertical constantee não nula. Assim, nessa direção, a velocidade vy da bala varia de maneira uniforme.

    Decompondo a velocidade inicial do lançamentoem termos de vx e vy, temos:

    O movimento horizontal da bala em x é um MU, afunção horária da posição x = x 

    0 + v 

     x t . O movimen-

    to vertical da bala, em y, é um MUV, cuja função daposição é:

    Para determinarmos a curva da trajetória, isto é,uma relação de y em função x, y(x), precisamos

    retirar a dependência das funções em relação aotempo. Para isto, isolamos a variável t na primeirafunção horária e a substituímos na segunda.

    cos(α) =V  X   => V  x  = V 0 .cos(α)

     V o

     sen(α) =V  y   => V  y  = V 0 .sen(α)

     V o

     y = y 0 + v 

     y t +

     α.t  2

       2

     x = x 0+ v 

     xt => x = 0 + v 

    0 .cosα.t => t =  x 

      v0 .cosα

    Lembre-se de adotar a origem dos eixos ordena-dos na posição do canhão, assim x0 = y0 = 0.

     Após a dedução da equação, leve os alunos aolaboratório de informática e valide os resultadosutilizando o software de geometria dinâmica Geo-Gebra (criado pelo austríaco Markus Hohenwarter,

    este é um software educativo e gratuito que buscaintegrar a geometria, com a álgebra, o cálculo, aestatística, e outros).

     y = y 0+ v 

     yt +

     at  2  => y = 0 + v 

    0 .senα.t -

     gt  2  =>

       2 2

     y = 0 + v 0 .senα.  x   -

     g  .  x 2

      V 0 .cosα 2 V 

    0 .cosα

     y = x .tgα - gx  2

      2v o 2.cos 2α 

    Decomposição do vetor velocidade da bala do canhão no momento do lançamento.

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    No campo de entrada do programa, digite os parâ-metros da equação da trajetória, por exemplo:

     Ainda no campo de entrada, digite a equaçãoencontrada e varie o ângulo para observar os pos-síveis trajetos da bala de canhão.

    ETAPAS

    Reexão sobre a vida e obra de René Descartes;

     Aplicação dos conceitos matemáticos na de-dução da equação da trajetória de uma bala decanhão em função de seu ângulo de inclinação;

     Análise dos parâmetros encontrados.

    MATERIAL

    Televisão e DVD ou Projetor Multimídia paratransmissão do documentário;

    Projetor Multimídia para explanação da Históriade René Descartes;

    Laboratório de Informática para o trabalho comas equações da trajetória.

     VEJA MAIS

    Função quadrática. Disponível em: .

    GeoGebra. Disponível em: . Acesso em 14 de novembro de 2012.

    α = π  ; v = 30; g = 10   4 

     , supondo lançamento a 45 ,̊

    com velocidade inicial de 30m/s e aceleração da

     gravidade local de 10m/s 2

    .

    Tela do programa GeoGebra com o gráco da trajetória para ; vo = 30 m/s; g = 10 m/s2.

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    ETAPAS

     Apresentação teórica do lançamento oblíquo;

    Gravação e análise dos vídeos de objetos em

    movimento com o programa Tracker.

    MATERIAL

    Computador;

    Câmera de vídeo (máquina fotográca, webcam,celulares etc.).

     VEJA MAIS

    Disponível em: .

    Disponível em: .

    Tracker Brasil. Disponível em: . Acesso em 14 denovembro de 2012.

    UM OLHAR PARA O DOCUMENTÁRIO A PARTIR DA FÍSICA  

     A partir do documentário é feita uma abordagem arespeito do estudo do movimento em que são tra-tados conceitos de cinemática. Esse estudo seráfeito por meio da análise da gravação de vídeosde objetos em movimento pelo software Tracker ,disponível gratuitamente na internet.

     A análise feita com o software permite o acom-panhamento da evolução das grandezas físicas ea construção de grácos em tempo real a partirda gravação do vídeo. Esta análise quantitativa éfundamental para a construção do conhecimentofísico em atividades experimentais.

     A realização de experimentos em aulas de Físicamediados por tecnologias educacionais livres apre-

    sentam, em geral, exibilidade de uso e baixo custo,compatíveis com a realidade educacional brasileira.

    Esta atividade experimental de análise do mo-vimento pode ser aplicada nas três séries doEnsino Médio, sendo limitada apenas pelo tipo demovimento escolhido para o estudo. Recomen-da-se o uso principalmente no 1º ano, em que,tradicionalmente, encontram-se os conteúdos decinemática e dinâmica.

    Como exemplo para o trabalho interdisciplinar,sugerimos a análise do movimento oblíquo, sen-do pré-requisito o conhecimento do movimentouniforme e uniformemente variado, bem como adecomposição de vetores.

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    UMA CONVERSAENTRE AS DISCIPLINAS

    Nesta atividade propomos o estudo do lançamen-to oblíquo. Descrevemos, a seguir, a construçãodo lançador de projéteis e a utilização do progra-ma Tracker para a análise desse movimento. Estetrabalho pode ser realizado em grupos de alunos,

    e cada grupo deverá construir o lançador de projé-teis e realizar a gravação e análise do movimento.Os resultados obtidos podem ser confrontadospara a posterior discussão e conclusões.

    CONSTRUÇÃO DO LANÇADOR DE PROJÉTEIS

     Apresentaremos apenas uma sugestão naconstrução do lançador de projéteis, mas suaconfecção e os materiais utilizados dependerãoda criatividade e da dedicação do professor oudo grupo de alunos, caso a tarefa seja solicita-da a eles.

    Detalhes do tubo de PVC do e êmbolo móvel.

    Neste lançador utilizamos um tubo de PVC de 2” dediâmetro e 22cm de comprimento. Nele foi feito umrasgo longitudinal de 4mm de largura por 13cm decomprimento. Na parte frontal do tubo e na mes-ma direção longitudinal do rasgo, foram colocadosdois parafusos diametralmente opostos (gura a).

    O êmbolo lançador foi feito com uma tampinhaplástica (em vermelho na gura) com o mesmodiâmetro interno do tubo. Deverão ser prendidosnele dois arames encurvados para trás (gura b),onde será preso o elástico ou a mola de tração.Em seu centro foi xada uma haste cilíndrica demadeira de 18cm de comprimento e 6cm de diâ-metro (de cor preta nas guras b e c), que serviráde puxador. O tubo foi fechado na extremida-de com outra tampinha plástica com um orifíciocentral para a haste (gura c).

     A base do lançador foi feita com placas de ma-deira de 1” de espessura (gura g e h), e o me-canismo articulador com tubos de PVC de 5/4” éconstituído por três segmentos (guras d). A par-te central é preparada para receber a base quexará o lançador (gura f) com 10cm de compri-mento. Os anéis das extremidades têm 4cm decomprimento e um rasgo na direção longitudinalpara o encaixe no mecanismo central (gura e).Estes anéis serão xados na base lateral de ma-deira em uma abertura feita para eles (gura h).

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    Um transferidor é xado no eixo central de maneira para permitir a leitura do ângulo de inclinação(gura j).

     A seguir são mostradas guras com as partes a serem montadas e a fotograa do lançador pronto.

    Detalhes do transferidor xado no eixo central.

    Esquema de montagem do lançador na base articulada.

    Detalhes da base.

    Detalhes da base articuladora do lançador.

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    PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

    Como dissemos, o programa Tracker permite re-alizar a análise de vídeos quadro a quadro, sendopossível o estudo de diversos tipos de movimen-tos a partir de lmes feitos com câmeras digitaisou telefones celulares. É um software livre ligado

    ao projeto Open Source Physics - relacionadoao desenvolvimento de programas com códigosabertos destinados ao ensino de Física.

    Um procedimento típico para o uso do Trackerconsiste na organização do experimento e nalmagem do movimento de interesse. Em se-guida, transfere-se o arquivo de vídeo para oprograma (que deve estar previamente insta-lado no computador) e faz-se a marcação dospontos quadro a quadro. Os procedimentosnecessários são explicados em detalhes nosmanuais presentes no programa.

    INSTALAÇÃO DO SOFTWARE

    Faça o download  do programa Tracker  gratui-tamente a partir do endereço disponível em: einstale-o em seu computador.

    CAPTURA DO VÍDEO

    O local para a lmagem é muito importante, etrês fatores principais devem ser levados emconta: iluminação, plano de fundo e a cor doobjeto a ser lmado. É importante que haja umbom contraste entre o objeto móvel (que podeser uma bolinha ou um carrinho em miniatura,por exemplo) e o plano de fundo. Durante almagem, recomenda-se que a câmera queimóvel e com o campo de visão amplo, lem-brando que é possível lmar todo o movimen-to do objeto em estudo ou apenas detalhesdas partes que interessam ao experimento.

     As análises realizadas com o Tracker têm comobase dimensões espaciais (comprimentos, altu-ras, etc.) relativas e, para tal, é necessário colo-car um padrão de tamanho conhecido na cenade lmagem, uma régua, por exemplo. Ao rodaro programa, a visualização e a marcação de umcomprimento padrão se fazem necessárias eeste programa corresponderá a certa quantida-de de pixels no lme; é deste modo que o pro-grama pode estabelecer distâncias reais.

     Antes de executar o programa, o arquivo de ví-deo com o experimento deverá ter sido gravado.

    EXECUÇÃO DO PROGRAMA 

    Na sequência, será exposto um procedimentopasso a passo para o uso do programa.

    �  Na tela inicial do Tracker clique ARQUIVO, ABRIR e escolha o vídeo a ser carregado no

    programa;�  Na sequência, é necessário criar os eixos. Para

    isto, clique no ícone EIXOS (em rosa na barrade ferramentas). É aconselhável que o pontoinicial do movimento coincida com a origemdos eixos. Assim, após clicar no ícone, bastamover os eixos até o ponto de interesse;

    �  Ao lado direito do ícone dos EIXOS, encon-tra-se o ícone FITA MÉTRICA (em azul). Paraestabelecer o padrão de distâncias, deve-seclicar na ta métrica e arrastar as duas pon-

    tas da ta que surgirá na tela para as extre-midades do padrão de medida utilizado nalmagem (por exemplo, uma régua colocadano plano de fundo);

    �  Em seguida, deve-se ir ao ícone NOVO ecriar um novo PONTO DE MASSA. Isto per-mitirá marcar as posições consecutivas doobjeto em estudo;

    � Na parte inferior da tela inicial, na extrema di-reita, encontra-se um ícone denominado CLIP

    SETTINGS, que serve para escolher o pontoinicial e nal do vídeo a ser analisado e o “ta-manho do passo” dos frames (esta opção éimportante caso a memória RAM do compu-tador seja pequena). Note que o intervalo tem-poral entre dois eventos depende do númerode frames por segundo da máquina utilizadapara as lmagens. Ao clicar em CLIP SET-TINGS, pode-se selecionar os quadros inicial(start frame) e nal (end frame) do movimento;

    � Após demarcados o intervalo de tempo e os

    quadros a serem analisados,deve-se marcarcada ponto do vídeo. Para isto é preciso, apartir do início do movimento selecionado,segurar a tecla shift e clicar no ponto deseja-do. Este primeiro clique irá selecionar a posi-ção inicial. Será criado, assim, o primeiro parde pontos (posição e tempo). Em seguida,o próximo quadro será mostrado e deve-seclicar (mantendo a tecla shift pressionada)no objeto, a m de marcar o segundo pon-to. Este procedimento deve ser repetido paracada frame até o m do movimento. Cada

    marcação irá produzir um par de pontos (po-sição e tempo). O conjunto destes pontos

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    será armazenado pelo programa, o que tornarápossível a análise do movimento;

    � Caso seja necessário, o botão direito do mousedá acesso a um comando de zoom que podeauxiliar na visualização do objeto, tornando amarcação dos pontos mais precisa;

    RESULTADOS OBTIDOS

     A imagem a seguir mostra a análise do movimento para um lançamento a um ângulo de 45º com ahorizontal. Utilizamos uma bolinha de tênis de mesa como projétil. Embora essa bola seja bastanteleve, os resultados não foram comprometidos devido à resistência do ar, provavelmente por causadas pequenas velocidades envolvidas.

    � Ao m da marcação, o Tracker gera, à direitada tela, uma tabela e um gráco com os da-dos. Estes dados poderão ser analisados comauxílio do próprio programa ou poderão serexportados para outros aplicativos.

     Ao clicar duas vezes sobre o gráco, uma nova tela será mostrada. Nesta tela podemos utilizar a fun-ção FIT para que o programa faça uma curva de regressão linear, e FIT NAME para ajustar a melhorcurva a ser esboçada.

    Tela principal da análise do movimento.

    Tela de análise do gráco.

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     ANÁLISE DOS RESULTADOS

    Tabela com resultados obtidos.

     A m de estudar com mais detalhes o movi-mento gravado, analisaremos os grácos e asfunções criadas pelo programa para x(t), y(t) ey(x), em que x é a direção horizontal (note que

    a orientação padrão é positiva para a direita), ey é a direção vertical. A tabela e os grácos sãogerados diretamente pelo programa.

    -0,2

    -0,4

    -0,6

    -0,8

    -1,0

    -1,2

    -1,4

    -1,6

    -1,8

    x

    t0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

    Gráco x(t).

    0,45

    0,400,35

    0,30

    0,25

    0,20

    0,15

    0,10

    0,05

    0

    y

    t

    0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

    Gráco y(t).

    0,45

    0,400,35

    0,30

    0,25

    0,20

    0,15

    0,10

    0,05

    0

    v

    x-1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2

    Gráco v(x).

     ANÁLISE FÍSICA E MATEMÁTICA DOS RESULTADOS

    Esta etapa da atividade é uma ótima oportunidade

    para os professores de Física e Matemática mos-

    trarem a relação entre estas duas disciplinas. Em

    especial, optamos pela linguagem do cálculo ao

    nos referirmos às derivadas de uma função. Em-

    bora esta não seja uma abordagem convencionalno Ensino Médio, sua inclusão poderia despertar

    interesse e motivação nos alunos.

     Através do gráco de x(t) nota-se a linearidadeda função. A inclinação desta reta nos revelaseu coeciente angular, que também pode serobtido derivando-se a função.

     x(t) = -2,97t + 0,07 (em unidades do SI)

    v  x  =dx   = -2,97m/s

      dt 

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     A interpretação física é de que essa derivada

    nos mostra a velocidade constante na direçãohorizontal. A resultante das forças nesta dire-

    ção é nula, e o movimento é uniforme. O sinalnegativo desta velocidade se deve simples-

    mente ao referencial escolhido.

    O alcance horizontal pode ser obtido fazendoy(t) = 0, para encontrar o instante nal do mo-

    vimento e substituir este valor na função x(t):

     A altura máxima atingida é de 0,486m e ocorre a

    0,953m da origem.

     A derivada segunda d2 y/dt2 nos mostra o co-eciente angular desta reta, sicamente esta é

    a aceleração do projétil. Como nesta direção a

    resultante das forças é o próprio peso, a ace-leração do projétil é a aceleração do campogravitacional g.

    DEMONSTRAÇÃO DA TAUTÓCRONA E BRAQUISTÓCRONA 

     y(t) = -5,02t  2 + 3,46t - 0,11 = 0 => t = 0,671s

     x(t) = x(0,671) = -1,923m

    O alcance horizontal é de 1,923m a partir

    da origem.

     A direção vertical é representada pelo grácode  y(t). Esta é uma função polinomial do 2º

    grau que mostra como  y  varia em função dotempo t. Sua derivada primeira dy /dt nos for-

    nece uma função que expressa a inclinação dareta tangente a um dado ponto nesta curva.

     y(t) = -5,02t  2 + 3,46t - 0,11

    dy  = v  y  = -10,04t + 3,46dt 

     y(x) = -0,57x  2 - 1,07x 

     x = 1,065m

     y(x) = y(1,065) = 0,493m

    dy  = -1,14x - 1,07 = 0dx 

    d  2 y  = α = -10,04m/s 2

    dt  2

     y(t) = y(0,3446) = 0,486m

     x(t) = x(0,3446) = 0,953m

    dy  = v  y  = -10,04t + 3,46 = 0 => t = 0,3446sdt 

    Na interpretação física, a derivada primeira de y  revela a velocidade do projétil na direção vertical.

     A altura máxima atingida pelo projétil pode serobtida quando esta derivada é nula ou quando

    a velocidade nesta direção é igual a zero, assimque o projétil inverte o sentido do movimento.

    Comparando esta aceleração obtida com o valoresperado g = 9,80m/s2 temos um erro de 2,45%.

    Também podemos estudar a curva obtida pelográco  y(x), que nos mostra a trajetória descritapelo projétil no plano vertical. A partir de sua de-rivada, também obtemos a máxima variação dacurva em função de x.

     Assim, por outra maneira, encontramos a alturamáxima igual a 0,493m, que ocorre a 1,065m dedistância da origem. Estes valores concordam mui-to bem com os resultados obtidos anteriormente.

    Este software oferece incontáveis possibilidadesde uso para a análise não só da cinemática do

    movimento, mas também da dinâmica envolvida.

    Outro assunto abordado no documentário foi

    a curva de nome braquistócrona. A história

    conta que o matemático suíço Jean Bernouilli

    apresentou um problema que logo despertou

    o interesse de seus colegas. Tratava-se de

    achar a forma de uma rampa para que umapartícula deslizasse por ela a partir do repouso

    e sob a ação da gravidade gastando o menor

    tempo possível para atingir outro ponto mais

    baixo da trajetória. O problema foi espalhado

    por carta aos maiores matemáticos da época.

    Descobrir qual é a curva que possui o tempo

    de descida mais curto é o mesmo que resolvero problema da braquistócrona.

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    SALA DE PROFESSOR EPISÓDIO 4: MATEMÁTICA E O INÍCIO DA CIVILIZAÇÃO 13

     A solução foi rapidamente encontrada por vá-

    rios deles, como Leibniz, Isaac Newton e ospróprios irmãos Bernouilli. Todos indicaram

    que a curva mais rápida, ou braquistócrona(  brakhisto  = mais ligeiro, chronos  = tempo),

    deveria ser um arco de cicloide.

     A cicloide é uma curva muito interessante, queé a curva traçada por um ponto qualquer daborda de uma roda que rola sem deslizar porum plano horizontal. Um exemplo da aplica-ção deste conceito pode ser encontrado naspistas de skate.

     A cicloide é também a solução de outra ques-tão interessante, o “problema da tautócrona”(tempo igual). Em uma curva deste tipo, sesoltarmos duas esferas simultaneamente deduas alturas distintas, ambas chegarão aoponto mais baixo da rampa ao mesmo tempo.

    Para construir uma prancha com a braquistó-crona e/ou a tautócrona, basta reproduzi-lasutilizando um software matemático - como oGeoGebra - traçá-las em material manipulável(como o isopor) e fazer a experiência utilizan-

    do esferas pequenas, como bolinhas de gude.Rampas braquistócrona e retilínea.

    Retilínea

    Braquistócrona

    Construção da cicloide utilizando o software GeoGebra. Tutorial da construção disponível em: .

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    SALA DE PROFESSOREPISÓDIO 4: MATEMÁTICA E O INÍCIO DA CIVILIZAÇÃO14

    MATERIALLançador de projéteis

    30cm de tubos de PVC 2” e 5/4”;

    Placa de madeira 40X40cm;

    Cola, tesoura, régua, lâmina de serra, elástico;

    Computador;

    Câmera de vídeo (máquina fotográca, webcam,celulares etc.).

    MATERIALConstrução da braquistócrona

    2 tábuas de madeira;

    2 placas de isopor;

    Cola, tesoura, régua, lâmina de serra;

    Computador;

    2 bolinhas de gude.

     VEJA MAIS

    Lançamento oblíquo. Disponível em: ;

    Movimento de projétil. Disponível em: .

    ETAPAS

    Exibição do vídeo;

     Apresentação conceitual e demonstração da

    braquistócrona;Construção do lançador de projéteis;

    Filmagem do lançamento;

     Análise do movimento no computador;

    Discussão sobre os resultados.

    Em uma placa de madeira são xados dois

    “trilhos” de isopor. Um deles na forma de

    uma reta e o outro na de uma cicloide (a

    braquistócrona). As pequenas esferas são

    mantidas nos pontos mais altos das curvas

    e liberadas ao mesmo tempo. Com o plano

    da prancha na vertical, o tempo de queda émuito curto e ca difícil observar qual das

    esferas chega primeiro. Pode-se, então, re-

    petir a experiência com a prancha inclinada,

    diluindo a aceleração e facilitando a obser-

    vação. Essa variação possibilita que o pro-

    fessor chame a atenção para o fato de que o

    resultado independe do valor da aceleração

    da gravidade. O experimento, se feito na

    Lua, teria o mesmo desfecho. Analogamen-

    te pode-se construir a tautócrona fazendo

    sua modelagem em isopor e xando-a emuma tábua de madeira.

     A avaliação pode ser feita individualmente

    ou em grupo, de acordo com o número de

    alunos na turma. Como esta atividade tem

    caráter efetivamente interdisciplinar, sugeri-

    mos que a avaliação seja feita contemplan-

    do alguns critérios: relatório do experimento

    com os resultados obtidos (textos grácos e

    tabelas), organização no processo e cumpri-

    mento dos prazos.

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    SALA DE PROFESSOR EPISÓDIO 4: MATEMÁTICA E O INÍCIO DA CIVILIZAÇÃO 15

    SUGESTÕES DE LEITURA E OUTROS RECURSOS

    BEZERA JR, A. G. et al. Videoanálise com o software livre Tracker no laboratório didático de Física: movimento parabólicoe segunda lei de Newton. Caderno Brasileiro de Ensino de Física. 29 (Especial 1 ): p. 469-490, setembro de 2012.

    CARVALHO, Anna Maria P. (org.). Ensino de Ciências: Unindo a Pesquisa e a Prática. São Paulo: Pioneira ThompsonLearning, 2003.

    DESCARTES, René. Discurso do Método / Meditações. Tradução por Roberto Leal Ferreira. São Paulo: Martin Claret, 2008.

    FAMAT em Revista. Modelagem Matemática das Pistas de Skate. Minas Gerais: Universidade Federal de Uberlândia,n. 10, abril de 2008.

    NÓBRIGA, J. Cassio C. Aprendendo Matemática com o GeoGebra. São Paulo: Editora Exato, 2010.

    RICCIERI, Aguinaldo Prandini. Matemáticos – Vida e Obra. Vol. 1. São Paulo: Ed. Prandiano.

    SENA DOS ANJOS, A. J. As Novas Tecnologias e o Uso dos Recursos Telemáticos na Educação Cientíca: A SimulaçãoComputacional na Educação em Física. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 25, n. 3, p. 569-600.

    LIVROS E REVISTAS

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    Um documentário da TV Escola. Um pontode partida para grandes trabalhos com os

    alunos. Assim é o Sala de Pofessor. O progra-ma incentiva os professores de Ensino Médioa desenvolverem projetos que mudem a roti-na em sala de aula. Em cada programa, doisprofessores convidados criam um projeto apartir de documentários exibidos na TV Es-cola. São sempre propostas e experimentosinovadores, que podem ser reaplicados emqualquer escola do país.

    Os trabalhos apresentados são detalhadosem dicas pedagógicas como essa e camdisponíveis no site da TV Escola. Os profes-sores também podem usar as artes criadaspara o programa: são animações, tabelas,mapas e infográcos que tornam os con-

    teúdos mais visuais e interativos. As dicaspedagógicas e as computações grácas fo-ram transformadas em fascículos interativospara tablets. E o professor também podenavegar pelo material extra do programa no blog do Sala. Para ter acesso a esses pro-dutos, acesse o site tvescola.mec.gov.br oucurta a fan page da TV Escola no Facebook.

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