Exercícios Resolvidos de

lançamento Oblíquo.

01-(Ufmg-MG) Clarissa chuta, em seqüência, três bolas - P, Q e R -,

cujas trajetórias estão representadas nesta figura:

Sejam t(P), t(Q) e t(R) os tempos gastos, respectivamente, pelas

bolas P, Q e R, desde o momento do chute até o instante em que atingem o solo.

Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que

a) t(Q) > t(P) = t(R) b) t(R) > t(Q) = t(P) c) t(Q) > t(R)

> t(P) d) t(R) > t(Q) > t(P) e) d) t(R) = t(Q) = t(P)

02-(Ufsm-RS) Um índio dispara uma flecha obliquamente. Sendo a

resistência do ar desprezível, a flecha descreve uma parábola

num referencial fixo ao solo. Considerando o movimento da flecha

depois que ela abandona o arco, afirma-se:

I. A flecha tem aceleração mínima, em módulo, no ponto mais alto da trajetória.

II. A flecha tem aceleração sempre na mesma direção e no mesmo

sentido.

III. A flecha atinge a velocidade máxima, em módulo, no ponto mais alto da trajetória.

Está(ão) correta(s)

a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas

II. d) apenas III. e) I, II e III.

03-(CEFET-CE) Duas pedras são lançadas do mesmo ponto no solo no

mesmo sentido. A primeira tem velocidade inicial de módulo 20 m/s e forma um ângulo de 60° com a horizontal, enquanto, para a outra

pedra, este ângulo é de 30°. O módulo da velocidade inicial da

segunda pedra, de modo que ambas tenham o mesmo alcance, é:

DESPREZE A RESISTÊNCIA DO AR.

a) 10 m/s b) 10√3 m/s c) 15

m/s d) 20 m/s e) 20√3 m/s

04-(CEFET-CE) Um caminhão se desloca em movimento retilíneo e

horizontal, com velocidade constante de 20m/s. Sobre sua carroceria,

está um canhão, postado para tiros verticais, conforme indica a figura. A origem do sistema de coordenadas coincide com a boca do

canhão e, no instante t=0, ele dispara um projétil, com velocidade de

80m/s. Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s2.

Determine o deslocamento horizontal do projétil, até ele retornar à altura de lançamento, em relação:

a) ao caminhão;

b) ao solo.

05-(Ufms-MS) Em um lançamento oblíquo (trajetória mostrada na

figura a seguir) em um local onde a aceleração constante da

gravidade é g, sejam respectivamente, H, X e β a altura máxima, o alcance horizontal e o ângulo de lançamento do projétil, medido em

relação ao eixo horizontal x. Desprezando-se a resistência do ar, é

correto afirmar que

(01) o tempo para que se alcance X é igual ao tempo de subida do

projétil.

(02) o tempo para que se alcance X é igual ao dobro do tempo de

descida do projétil. (04) se tg(β) = 4, então H = X.

(08) a energia cinética do projétil é máxima quando é atingida a

altura máxima.

(16) a energia mecânica do projétil aumenta no trecho de descida.

06-(CEFET-CE) Um aluno do CEFET em uma partida de futebol lança

uma bola para cima, numa direção que forma um ângulo

de 60° com a horizontal. Sabendo que a velocidade na altura máxima

é 20 m/s, podemos afirmar que a velocidade de lançamento da bola, em m/s, será:

a) 10 b) 17 c) 20 d)

30 e) 40

07-(PUCCAMP-SP) Observando a parábola do dardo arremessado por

um atleta, um matemático resolveu obter uma expressão

que lhe permitisse calcular a altura y, em metros, do dardo em relação ao solo, decorridos t segundos do instante de seu lançamento

(t = 0). Se o dardo chegou à altura máxima de 20 m e atingiu o solo

4 segundos após o seu lançamento, então, desprezada a altura do

atleta, considerando g=10m/s2, a expressão que o matemático encontrou foi

a) y = - 5t2 + 20t b) y = - 5t2 + 10t c) y = - 5t2

+ t d) y = -10t2 + 50 e) y = -10t2 + 10

08-(Ufpe-PE) Um projétil é lançado obliquamente no ar, com

velocidade inicial vo = 20 m/s, a partir do solo. No ponto mais alto de

sua trajetória, verifica-se que ele tem velocidade igual à metade de sua velocidade inicial. Qual a altura máxima, em metros, atingida

pelo projétil? (Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s2).

09-(FUVEST-SP) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima. Com auxílio de

uma câmera digital, foi possível reconstituir a trajetória da bola,

desde o ponto em que ela atingiu sua altura máxima (ponto A) até o

ponto em que bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão representadas na figura. Após o choque, que é elástico, a bola

retorna ao chão e o jogo prossegue.

a) Estime o intervalo de tempo t1, em segundos, que a bola levou

para ir do ponto A ao ponto B.

b) Estime o intervalo de tempo t2, em segundos, durante o qual a

bola permaneceu no ar, do instante do chute até atingir o chão após o choque.

c) Represente, em sistema de eixos, em função do tempo, as

velocidades horizontal Vx e vertical Vy da bola em sua trajetória, do

instante do chute inicial até o instante em que atinge o chão, identificando por Vx e Vy, respectivamente, cada uma das curvas.

NOTE E ADOTE:

Vy é positivo quando a bola sobe

Vx é positivo quando a bola se move para a direita

10-(PUCCAMP-SP) Um atleta arremessa um dardo sob um ângulo de

45° com a horizontal e, após um intervalo de tempo t, o

dardo bate no solo 16 m à frente do ponto de lançamento. Desprezando a resistência do ar e a altura do atleta, o intervalo de

tempo t, em segundos, é um valor mais próximo de:

Dados: g = 10 m/s2 e sen 45° = cos 45° = 0,7

a) 3,2 b) 1,8 c) 1,2 d) 0,8 e) 0,4

11- Ufjf-MG) Durante uma partida de futebol, um jogador, percebendo que o goleiro do time adversário está longe do gol,

resolve tentar um chute de longa distância (vide figura). O jogador se

encontra a 40 m do goleiro. O vetor velocidade inicial da bola tem

módulo Vo = 26 m/s e faz um ângulo de 25° com a horizontal, como mostra a figura a seguir.

Desprezando a resistência do ar, considerando a bola pontual e

usando cos 25° = 0,91, sen 25° = 0,42 e g=10m/s2:

a) Faça o diagrama de forças sobre a bola num ponto qualquer da

trajetória durante o seu vôo, após ter sido chutada. Identifique a(s) força(s).

b) Saltando com os braços esticados, o goleiro pode atingir a altura

de 3,0 m. Ele consegue tocar a bola quando ela passa sobre ele?

Justifique. c) Se a bola passar pelo goleiro, ela atravessará a linha de gol a uma

altura de 1,5 m do chão. A que distância o jogador se encontrava da

linha de gol, quando chutou a bola? (Nota: a linha de gol está atrás

do goleiro.)

12-(CEFET-CE) Uma roda de raio R rola uniformemente, sem

escorregar, ao longo de uma superfície horizontal. Do ponto A da roda se desprende uma gota de barro, como mostra a figura a seguir.

Com que velocidade v deve se deslocar a roda, se a gota, depois de lançada ao espaço, volta a cair sobre o mesmo ponto da roda após

efetuar uma volta? Considere desprezível a resistência do ar.

13-(UNICAMP-SP) Uma bola de tênis rebatida numa das

extremidades da quadra descreve a trajetória representada na figura

a seguir, atingindo o chão na outra extremidade da quadra. O

comprimento da quadra é de 24 m.

a) Calcule o tempo de vôo da bola, antes de atingir o chão.

Desconsidere a resistência do ar nesse caso.

b) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso acima?

c) Quando a bola é rebatida com efeito, aparece uma força, FE,

vertical, de cima para baixo e igual a 3 vezes o peso da bola. Qual

será a velocidade horizontal da bola, rebatida com efeito para uma trajetória idêntica à da figura?

14-(UNICAMP-SP) O famoso salto duplo twistcarpado de Daiane dos Santos foi analisado durante um dia de treinamento no Centro

Olímpico em Curitiba, através de sensores e filmagens que

permitiram reproduzir a trajetória do centro de gravidade de Daiane

na direção vertical (em metros), assim como o tempo de duração do

salto.

De acordo com o gráfico, determine:

a) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Daiane.

b) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se que a distância percorrida nessa direção é de 1,3m.

c) A velocidade vertical de saída do solo.

15-(PUC-SP) Futebol é, sem dúvida, o esporte mais popular de nosso

país. Campos de futebol são improvisados nas ruas, nas praças, nas

praias. Já os campos de futebol profissional são projetados e

construídos seguindo regras e dimensões bem definidas

O comprimento do campo pode variar de um mínimo de 90m até um

máximo de 120m, enquanto a medida da largura pode variar entre

45m e 90m. De qualquer maneira, independentemente das

dimensões do campo, a distância entre as traves verticais de um mesmo gol é de 7,3m, e a grande área do campo, dentro da qual

ficam o goleiro e as traves, tem as medidas assim definidas:

"A grande área, ou área penal, está situada em ambas as

extremidades do campo e será demarcada da seguinte maneira:

serão traçadas duas linhas perpendiculares à linha de meta, a 16,5m de cada trave do gol. Essas linhas se adentrarão por 16,5m no campo

e se unirão a uma linha paralela à linha de meta. Em cada grande

área será marcado um ponto penal, a 11,0m de distância a partir do

ponto médio da linha entre as traves, eqüidistantes às mesmas, Por fora de cada grande área será traçado um semicírculo com raio de

9,2m a partir de cada ponto penal." (fig. 1)

Para alcançar o gol, os jogadores lançam mão de várias técnicas e

fundamentos. Dentre esses fundamentos, um dos mais difíceis de serem executados pelos jogadores, e que está diretamente ligado às

medidas do campo, é o 'lançamento'. Nestas jogadas, em que se

destacaram Gerson e Pelé, dentre outros, um jogador chuta a bola

que, a partir daí, sobe, descreve uma parábola sob a ação da gravidade e vai alcançar outro jogador, uns tantos metros à frente.

Instruções: Nas respostas lembre-se de deixar os processos de resolução claramente expostos.

Não basta escrever apenas o resultado final. É necessário registrar os

cálculos e/ou raciocínio utilizado.

Sempre que necessário, utilize: g = 10m/s2, sen 20° = 0,35 e cos

20° = 0,95

Nas questões seguintes, eventualmente, você precisará de dados

numéricos contidos no texto. Procure-os com atenção.

Para as questões seguintes, considere a fig. 2 , na qual um jogador

chuta a boa com velocidade de módulo 72 km/h e em um ângulo de 20° em relação à horizontal. A distância inicial entre a bola e a

barreira é de 9,5m e entre a bola e a linha do gol, 19m. A trave

superior do gol encontra-se a 2,4m do solo.

Considere desprezível o trabalho de forças dissipativas sobre a bola. a) Determine qual é a máxima altura que a barreira pode ter para

que a bola a ultrapasse.

b) Determine a distância entre a trave superior e a bola, no instante

em que ela entra no gol.

c) A trajetória da bola chutada pelo jogador da figura pode ser descrita pela equação y = 7/19x - (5/361)x2, na qual 'y' é a medida,

em metros, da altura em que a bola se encontra, e 'x' é a medida da

distância horizontal percorrida pela bola, em metros, durante seu

movimento. Desenhe o gráfico cartesiano representativo do movimento da bola durante o lançamento, assinalando a altura

máxima e o ponto em que a bola retornaria ao solo, caso não batesse

na rede.(fig. 2)

16-(UNESP-SP) Um garoto, voltando da escola, encontrou seus

amigos jogando uma partida de futebol no campinho ao lado de sua

casa e resolveu participar da brincadeira. Para não perder tempo, atirou sua mochila por cima do muro, para o quintal de sua casa:

postou-se a uma distância de 3,6 m do muro e, pegando a mochila

pelas alças, lançou-a a partir de uma altura de 0,4 m.

Para que a mochila passasse para o outro lado com segurança, foi

necessário que o ponto mais alto da trajetória estivesse a 2,2 m do

solo. Considere que a mochila tivesse tamanho desprezível

comparado à altura do muro e que durante a trajetória não houve

movimento de rotação ou perda de energia. Tomando g = 10 m/s2, calcule

a) o tempo decorrido, desde o lançamento, para a mochila atingir a

altura máxima.

b) o ângulo de lançamento. Dados:

17-(UNIFESP-SP) Um projétil de massa m = 0,10 kg é lançado do

solo com velocidade de 100 m/s, em um instante t = 0, em uma

direção que forma 53° com a horizontal. Admita que a resistência do

ar seja desprezível e adote g = 10 m/s2. a) Utilizando um referencial cartesiano com a origem localizada no

ponto de lançamento, qual a abscissa x e a ordenada y da posição

desse projétil no instante t = 12 s?

Dados: sen 53° = 0,80; cos 53°= 0,60.

b) Utilizando este pequeno trecho da trajetória do projétil:

Desenhe no ponto O, onde está representada a velocidade do projétil, a força resultante que nele atua. Qual o módulo dessa

força?

18- (Ufc-CE) Uma partícula pontual é lançada de um plano inclinado

conforme esquematizado na figura a seguir. O plano tem um ângulo

de inclinação θ em relação à horizontal, e a partícula é lançada, com

velocidade de módulo v, numa direção que forma um ângulo de inclinação α em relação ao plano inclinado. Despreze qualquer efeito

da resistência do ar. Considere que a aceleração da gravidade local é

constante (módulo igual a g, direção vertical, sentido para baixo).

a) Considerando o eixo x na horizontal, o eixo y na vertical e a

origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto de

lançamento, determine as equações horárias das coordenadas da

partícula, assumindo que o tempo é contado a partir do instante de lançamento.

b) Determine a equação da trajetória da partícula no sistema de

coordenadas definido no item (a).

19-(UNESP-SP) Em uma partida de futebol, a bola é chutada a partir

do solo descrevendo uma trajetória parabólica cuja altura máxima e o

alcance atingido são, respectivamente, h e s.

Desprezando o efeito do atrito do ar, a rotação da bola e sabendo que

o ângulo de lançamento foi de 45° em relação ao solo horizontal,

calcule a razão s/h.

Dado: sen 45° = cos 45° = √2/2.

20-(UNICAMP–SP) Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se

que, quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade

constante.

Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir

o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada.

Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade

inicial de 100 m/s, fazendo um ângulo de 30º com a horizontal. Dois

artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os

dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do

projétil.

Considere √3 =1,8 ; sen 30º = 0,5 ; cos 30º = 0,9.

Despreze a resistência do ar.

a) Qual é o alcance do projétil?

b) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Simplício?

c) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, calculada por

Salviati?

21-(PUC-PR) Um projétil de massa 100 g é lançado obliquamente a

partir do solo, para o alto, numa direção que forma 60° com a

horizontal com velocidade de 120 m/s, primeiro na Terra e posteriormente na Lua.

Considerando a aceleração da gravidade da Terra o sêxtuplo da

gravidade lunar, e desprezíveis todos os atritos nos dois

experimentos, analise as proposições a seguir:

I- A altura máxima atingida pelo projétil é maior na Lua que na Terra.

II- A velocidade do projétil, no ponto mais alto da trajetória será a

mesma na Lua e na Terra.

III- O alcance horizontal máximo será maior na Lua.

IV- A velocidade com que o projétil toca o solo é a mesma na Lua e na Terra.

22-(FUVEST-SP-2008) No "salto com vara", um atleta corre segurando uma vara e, com perícia e treino, consegue projetar seu

corpo por cima de uma barra. Para uma estimativa da altura

alcançada nesses saltos, é possível considerar que a vara sirva

apenas para converter o movimento horizontal do atleta (corrida) em movimento vertical, sem perdas ou acréscimos de energia. Na análise

de um desses saltos, foi obtida a seqüência de imagens reproduzida a

seguir. Nesse caso, é possível estimar que a velocidade máxima

atingida pelo atleta, antes do salto, foi de, aproximadamente,

Desconsidere os efeitos do trabalho muscular após o início do salto.

a) 4 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s d) 8 m/s e) 9 m/s

23-(Ufsm-RS-2008) Num jogo de futebol, um jogador faz um lançamento oblíquo de longa distância para o campo adversário, e o

atacante desloca-se abaixo da bola, em direção ao ponto previsto

para o primeiro contato dela com o solo.

Desconsiderando o efeito do ar, analise as afirmativas:

I - Um observador que está na arquibancada lateral vê a bola

executar uma trajetória parabólica.

II - O atacante desloca-se em movimento retilíneo uniformemente

variado para um observador que está na arquibancada lateral. III - O atacante observa a bola em movimento retilíneo

uniformemente variado.

Está(ão) CORRETA(S)

a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) apenas II e III.

24-(FUVEST-SP-2009) O salto que conferiu a medalha de ouro a uma atleta brasileira, na Olimpíada de 2008, está representado no

esquema ao lado, reconstruído a partir de fotografias múltiplas.

Nessa representação, está indicada, também, em linha tracejada, a

trajetória do centro de massa da atleta (CM). Utilizando a escala estabelecida pelo comprimento do salto, de 7,04

m, é possível estimar que o centro de massa da atleta atingiu uma

altura máxima de 1,25 m (acima de sua altura inicial), e que isso

ocorreu a uma distância de 3,0 m, na horizontal, a partir do início do

salto, como indicado na figura. Considerando essas informações, estime:

a) O intervalo de tempo t1, em s, entre o instante do início do salto e

o instante em que o centro de massa da atleta atingiu sua altura máxima.

b) A velocidade horizontal média, VH, em m/s, da atleta durante o

salto.

c) O intervalo de tempo t2, em s, entre o instante em que a atleta atingiu sua altura máxima e o instante final do salto.

NOTE E ADOTE: Desconsidere os efeitos da resistência do ar.

25-(ITA-SP-2009) Considere hipoteticamente duas bolas lançadas de

um mesmo lugar ao mesmo tempo: a bola 1, com velocidade para

cima de 30 m/s, e a bola 2, com velocidade de 50 m/s formando um

ângulo de 30° com a horizontal. Considerando g = 10 m/s£, assinale

a distância entre as bolas no instante em que a primeira alcança sua

máxima altura.

a) d = √6250 m. b) d = √2717 m c) d = √17100 m d) d = √19375 m e) d = √26875 m

26-(UDESC-SC-2009) Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está situado a

uma distância de 4,0 m da linha de lançamento e a uma altura de 3,0

m do solo, conforme a figura abaixo. A bola é lançada sempre a uma

altura de 2,0 m do solo.

No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de 5,0 m/s,

formando um ângulo de 30° com a horizontal, e não atinge a cesta. No segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade

desconhecida, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e atinge

a cesta.

Dados: cos 30° = 0,86; sen 30° = 0,50; tan 30° = 0,57; cos2 30° =

0,75.

a) Determine o instante em que a altura máxima é atingida pela bola

no primeiro lançamento. b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.

c) Determine a velocidade inicial da bola no segundo lançamento. 27-(CFT-MG-010) Uma pedra, lançada para cima a partir do topo de um edifício de 10 m de

altura com velocidade inicial

vo = 10m/s, faz um ângulo de 30° com a horizontal. Ela sobe e, em seguida, desce em direção ao solo. Considerando-o como referência, é correto afirmar que a(o) a) máxima altura atingida é igual a 15 m. b) intervalo de tempo da subida

vale 3,0 s. c) tempo gasto para chegar ao solo é 5,0 s. d) velocidade ao passar pelo nível inicial é 10m/s.

28-(PUC-RJ-010) Um superatleta de salto em distância realiza o seu salto procurando atingir o maior alcance possível. Se ele se

lança ao ar com uma velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo um ângulo de 45

o em relação

a horizontal, é correto afirmar que o alcance atingido pelo atleta no salto é de: (Considere g = 10

m/s2)

a) 2 m. b) 4 m. c) 6 m. d) 8 m. e) 10 m.

29-(UNIFESP-SP-010) No campeonato paulista de futebol, um famoso jogador nos presenteou com um lindo gol, no qual, ao

correr para receber um lançamento de um dos atacantes, o goleador fenomenal parou a bola no

peito do pé e a chutou certeira ao gol. Analisando a jogada pela TV, verifica-se que a bola é chutada pelo armador da jogada a partir do chão com uma velocidade inicial de 20,0 m/s,

fazendo um ângulo com a horizontal de 45º para cima. Dados: g = 10,0 m/s2 e √= 1,4 a) Determine a distância horizontal percorrida pela bola entre o seu lançamento até a posição de

recebimento pelo artilheiro (goleador fenomenal). b) No instante do lançamento da bola, o artilheiro estava a 16,0 m de distância da posição em

que ele estimou que a bola cairia e, ao perceber o início da jogada, corre para receber a bola. A direção do movimento do artilheiro é perpendicular à trajetória da

bola, como mostra a figura. Qual é a velocidade média, em km/h, do artilheiro, para que ele

alcance a bola imediatamente antes de ela tocar o gramado? 30-(UEPG-PR-011) Um projétil quando é lançado obliquamente, no vácuo, ele descreve uma

trajetória parabólica. Essa trajetória é resultante de uma composição de dois movimentos independentes. Analisando a figura abaixo, que representa o movimento de um projétil lançado

obliquamente, assinale o que for correto.

01) As componentes da velocidade do projétil, em qualquer instante nas direções x e y, são

respectivamente dadas por, Vx = Vo . cosθ e Vy = Vo . senθ – gt 02) As componentes do vetor posição do projétil, em qualquer instante, são dadas por, x = Vo . cosθ. t e y = Vo . senθ – gt

2/2

04) O alcance do projétil na direção horizontal depende da velocidade e do ângulo de

lançamento. 08) O tempo que o projétil permanece no ar é t=(2Vosenθ)/g 16) O projétil executa simultaneamente um movimento variado na direção vertical e um

movimento uniforme na direção horizontal. (UERJ-RJ-011) Este enunciado refere-se às questões de números 31 e 32. Um trem em alta

velocidade desloca-se ao

longo de um trecho retilíneo a uma velocidade constante de 108 km/h. Um passageiro em

repouso arremessa horizontalmente ao piso do vagão, de uma altura de 1 m, na mesma

direção e sentido do deslocamento do trem, uma bola de borracha que atinge esse piso a

uma distância de 5 m do ponto de arremesso.

31-(UERJ-RJ-011) Se a bola fosse arremessada na mesma direção, mas em sentido

oposto ao do deslocamento do trem,

a distância, em metros, entre o ponto em que a bola atinge o piso e o ponto de arremesso

seria igual a:

(A) 0 (B) 5 (C) 10 (D) 15

32-(UERJ-RJ-011)O intervalo de tempo, em segundos, que a bola leva para atingir o piso

é cerca de:

(A) 0,05 (B) 0,20 (C)

0,45 (D) 1,00

33-(UFF-RJ-011) Após um ataque frustrado do time adversário, o goleiro se prepara para

lançar a bola e armar um contra ataque. Para dificultar a recuperação da defesa adversária, a

bola deve chegar aos pés de um atacante no menor tempo possível. O goleiro vai chutar a bola, imprimindo sempre a mesma velocidade, e deve controlar apenas o ângulo de lançamento. A

figura mostra as duas trajetórias possíveis da bola num certo momento da partida.

Assinale a alternativa que expressa se é possível ou não determinar qual destes dois jogadores receberia bola no menor tempo. Despreze o efeito da resistência do ar. (A) Sim, é possível, e o jogador mais próximo receberia a bola no menor tempo. (B) Sim, é possível, e o jogador mais distante receberia a bola no menor tempo. (C) Os dois jogadores receberiam a bola em tempos iguais. (D) Não, pois é necessário conhecer os valores da velocidade inicial e dos ângulos de

lançamento.

(E) Não, pois é necessário conhecer o valor da velocidade inicial.

Resoluções

01- O tempo que a bola permanece no ar está relacionado com a

altura --- maior altura, maior tempo de permanência no ar --- R- A

02- I – Falsa – a aceleração é constante e é a aceleração da

gravidade , sempre com direção vertical e sentido para baixo.

II – Correta – vide afirmação acima

III – Falsa – no ponto mais alto da trajetória a velocidade é mínima e

vale V=Vx

R- C

03- Se os dois ângulos de lançamento forem complementares entre si (α1 + α2=90o), e a velocidade inicial for a mesma, (no

caso, 20m/so alcance horizontal é o mesmo.

R- D

04- a) Como a resistência do ar é desprezada, a velocidade

horizontal inicial do projétil é constante e, em cada instante, a

mesma do caminhão. Assim, se ele partiu de um ponto P da

carroceria do caminhão, retornará ao mesmo ponto P e o

deslocamento horizontal em relação ao caminhão será zero. b) Vox=20m/s --- Vo=80m/s --- Vo

2=Vox2 + Voy

2 --- 6.400=400 +

Voy2 --- Voy=77.5m/s ---tempo de subida --- Vy = Voy – gts ---

0=77,5 – 10ts --- ts=7,75s --- tempo que demora para subir e

descer e se deslocar X na horizontal --- t=2.7.75 --- t=15,5s --- X=Vox.t=20,15,5 --- X=310m

05- (01) Falsa – é o tempo de subida mais o tempo de descida

(02) Verdadeira – veja (1)

(04) Verdadeira – veja teoria - Se a altura maxima (hmáx) é igual ao

alcance X --- tgα=4

(08) Ec=mV2/2 --- na altura máxima V é mínima, portanto Ec

também será mínima – Falsa

(16) Falsa – como não existe atrito, o sistema é conservativo e a

energia mecânica é sempre a mesma em todos os pontos da trajetória

Soma (02 + 04) = 06

06- Na altura máxima a velocidade vetorial não é nula, tem

intensidade mínima e é igual à componente horizontal, ou seja, .

Assim, Vox=20m/s --- Vox=Vocos60o --- 20=Vo.1/2 ---

Vo=40m/s --- R- E

07- Na altura maxima --- hmáx=20m e t=4/2 --- t=2s --- Y=Voyt

– gt2/2 --- 20=Voy.2 – 10.22/2 --- Voy=20m/s --- Y=Voyt – gt2/2 -

-- Y=20t – 5t2 --- R- A

08- No ponto mais alto --- V=Vx=Vox=20/2 --- Vox=10m/s --- Vo

2=Vox2 + Voy

2 --- 202=102 + Voy2 --- Voy

2=300 --- na altura

máxima hmáx --- Vy=0 --- Torricelli --- Vy2 = Voy

2 – 2ghmáx ---

02=300 – 20hmáqx --- hmáx=15m

09- a) Movimento na vertical --- no ponto A de altura máxima

Vy=0

S=So + Vot + at2/2 --- YB) = Y(A) + Vyt – 10t2/2 --- 4,2 = 5,0

+0.t -5t2 --- t=√0,16 --- t=0,4s

b) Queda livre da altura Yo=5m --- Vo=0 --- quando chega ao solo

Y=0 --- Y=Yo + Vot –gt2/2 --- 0=5 + 0t – 5t2 --- t=1s

Sendo o choque elástico, o tempo de subida é igual ao tempo de

descida --- t=2s

c) Movimento vertical --- a batida na parede não afeta o tempo de

queda (projeção na vertical) pois o choque é elástico --- t=1s --- Voy=0 --- velocidade com que chega ao solo --- Vy --- Vy=Voy –

gt --- Vy=0 -10.1 --- Vy=-10m/s --- se chega ao solo com

velocidade de -10m/s, sai do mesmo com velocidade de +10m/s ---

No movimento horizontal ela demora t=0,4s para percorrer X=6m

com velocidade constante Vx --- X=Vxt --- 6=Vx.0,4 --- Vx=15m/s --- +15m/s para a direita (movimento progressivo) e -

15m/s para a esquerda (movimento retrógrado)

10- Vox=Vocos45o --- Voy=Vosen45o --- Vox=Voy=0,7Vo --- tempo que o dardo demora para para percorrer 16m na horizontal ---

X=Voxcos45o.t --- 16=Vo.0,7.t --- t=16/0,7Vo --- Na altura

máxima Vy=0 e t=16/2.(0,7Vo)=16/1,4Vo --- Vy=Voy – gt ---

0=0,7Vo – 10t --- 0=0,7Vo – 10.16/1,4Vo --- Vo=√163,2=12,8m/s --- t=16/0,7Vo --- t=16/12,8=1,8s --- R-

B

11- a) A única força que age sobre a bola (a resistência do ar é

desprezada) durante todo o movimento é a força peso, vertical e para

baixo.

b) Cálculo do tempo que a bola demora a chegar até o goleiro percorrendo X=40m com velocidade horizontal constante e de valor

Vox=Vocos25o=26.0,91 --- Vox=23,66m/s --- X=Vox.t ---

40=23,66.t --- t=1,69s --- cálculo da altura, na direção vertical,

que a bola estará ao chegar ao goleiro nesse instante (t=1,69s) --- Y=Voyt – gt2/2 --- Y=Vo.sen25o.t –gt2/2 --- Y=26.0,42.1,69 –

10.(1,69)2/2 --- Y=18,45 – 14,28 --- Y=4,17m --- esse valor é

maior que 3m e assim, o goleiro não consegue tocar a bola.

c) Cálculo do tempo que a bola demora para chegar à altura vertical de 1,5m --- Y=Vo.sen25o.t – gt2/2 --- 1,5=10,92t – 5t2 ---

5t2 -10,92t + 1,5=0 --- Δ=119,25 – 30=89,25 --- √Δ=9,5 ---

t=(10,92 ±9,5)/2.5 --- considera-se o tempo maior que ocorre

quando a bola já está descendo --- t=2,042s --- nesse instante a

distância horizontal da linha de gol será de X=Vocos25o.t ---

X=26.0,91.2,042 --- X=48,3m

12- O tempo que a gota de barro permanece no ar é o mesmo tempo que a roda demora para efetuar uma volta completa, ou seja,

percorrer ΔS=2πR com velocidade constante V, que é a velocidade de

translação e de rotação da roda (não derrapa) e que também é a

velocidade de lançamento da gota de barro --- V= ΔS/Δt --- V=2πR/t --- t=2πR/V --- a gota de barro atinge a altura máxima

hmáx na metade desse tempo, quando sua velocidade vertical Vy se

anula (Vy=0) --- Vy=Voy – gt --- 0=V – g(πR/V) ---

V2=πRg --- V=√(πRg)

13- a) Do gráfico --- distância vertical que percorre até atingir a

altura máxima --- ΔS=125 – 93,75=31,25cm --- ΔS=0,3125m ---

na altura máxima Vy=0 --- Torricelli --- Vy2 = Voy

2 + 2aΔS ---

02=Voy2 – 2.10.0,3125 --- Voy=2,5m/s --- função horária

vertical --- Y=Yo + Voyt – gt2/2 --- quando chega ao solo Y=0 ---

0=0,9375 + 2,5t – 5t2 --- 5t2 – 2,5t – 0,9375=0 --- √Δ=5 ---

t=(2,5 ±5)/10 --- t=0,75s

b) Na horizontal --- quando X=24m --- t=0,75s --- X=Vox.t ---

24=Vox.0,75 --- Vox=32m/s

c) sem efeito --- a força resultante sobre a bola é seu peso ---

P=mg --- a=g --- com efeito --- F=3P (para cima) e P (para

baixo) --- FR=3P – P=2P=2mg --- a’=2g --- como a aceleração é

proporcional à velocidade, ela também dobrará --- V’+2.32 --- V’=64m/s

14- a) Yo=0 --- quando t=0,3s --- Y=1,2m --- Y=Yo + Voyt +

at2/2 --- 1,2=0 + 0,3Voy= + a.(0,3)2/2 --- 0,3Voy + 0,045a=1,2 I

quando t=0,8s --- Y=1,2m --- Y=Yo + Voyt + at2/2 --- 1,2=0 + Voy.0,8 + a(0,8)2/2 --- 0,8Voy + 0,32a = 1,2 II --- resolvendo o

sistema composto por I e II --- a=-10m/s2=g e Voy=5,5m/s ---

tempo que demora para atingir a altura máxima onde Vy=0 ---

Vy=Voy + at --- 0=5,5 – 10t --- t=0,55s --- Ymáx= Yo + Voyt +

at2/2 --- Ymáx= 0 + 5,5.0,55 – 10(0,55)2/2 --- Ymáx=1,5125m

b) tempo total de movimento t=2.0,55 --- t=1,1s --- na

horizontal --- X=Vox.t --- 1,3=Vox.1,1 --- Vox=1,18m/s

c) Vo2=Vox

2 + Voy2 --- Vo

2 = (1,18)2 + ((5,5)2 --- Vo2=1,3924 +

37,91 --- Vo=6m/s

15- a) Vo=72km/h/3,6=20m/s --- Voy=Vosen20o=20.0,35 ---

Voy=7m/s --- Vox=Vocos20o=20.0,95 --- Vox=19m/s --- tempo

que a bola demora para chegar à barreira onde X=9,5m com

velocidade constante Vox=19m/s --- X=Vox.t --- t=9,5/19 --- t=0,5s --- nesse instante a barreira deverá ter uma altura vertical

de --- Y=Voyt – gt2/2=7.0,5 – 5.0,25 --- Y=3,5 – 1,25 ---

Y=2,25m

b) Tempo que a bola demora para chegar ao gol com velocidade de Vox=19m/s e distante X=19m do ponto de lançamento --- X=Voxt --

- t=19/19 --- t=1s --- nesse instante a bola terá uma altura

vertical de Y=Voyt – gt2/2=7.1 – 5.1 --- Y=2m (altura da bola ao

entrar no gol) --- altura da trave=2,4m --- a bola entra no gol

0,4m abaixo da trave.

c) Tempo que a bola demora para atingir a altura máxima onde Vy=0 --- Vy=Voy – gt --- 0=7 – 10t --- t=0,7s --- nesse

instante --- X=Voxt=19.0,7 --- X=13,3m --- Y=hmáx=V0yt –

gt2/2=7.0,7 – 5.0,49=4,9 – 2,45 --- hmáx= 2,45m --- o tempo

que ela

demora para retornar ao solo é o dobro do tempo que demora para atingir hmáx --- t=2.13,3 --- t=26,6s

16- a) Colocando o referencial no ponto de lançamento e aplicando

Torricelli no ponto de altura máxima onde vy=0 e h=1,8m ---

V2=Voy

2 – 2gh --- 02=(Vosenβ)2 -2.10.1,8 --- Vosenβ=√36 ---

Vosenβ=6 --- tempo que demora para atingir hmáx --- Vy = Voy – gt --- 0=Vosenβ – 10t --- 0=6 – 10t --- t=0,6s

b) eixo vertical --- Vosenβ=6 --- senβ=Vo/6 --- eixo horizontal --

- quando t=0,6s --- X=3,6m --- X=Voxt --- 3,6=Vocosβ.0,6 ---

Vocosβ=6 --- cosβ=Vo/6 --- tgβ=senβ/cosβ=Vo/6 x 6/Vo ---

tgβ=1 --- β=45o

17- a) Vox=Vocos53o=100.0,60 --- Vox=60m/s ---

Voy=Vosen53o=100.0,80 --- Voy=80m/s --- quando t=12s ---

X=Voxt=60.12 --- X=720m --- Y=Voyt – gt2/2=80.12 –

5.(12)2=960 - 720 --- Y=240m

b) A força resultante é o peso do projétil, de direção vertical e sentido

para baixo e de intensidade P=mg=0,1.10 --- P=1,0N

18- a) Observe a figura abaixo, onde você deve decompor V em suas componentes vertical Vy e horizontal Vx

Vx=Vcosβ --- Vx=Vcos(α + θ) --- Vy=Vsenβ --- Vy=Vsen(α + θ) -

-- equação horária segundo a horizontal X --- X=Voxt=Vxt ---

X=V.cos (α + θ).t --- Y=Vyt – gt2/2 --- Y=Vsen (α + θ).t –

gt2/2

b) Isolando t em X=Vcos(α + θ)t --- t=X/Vcos(α + θ) que,

substituída em Y=Vsen(α + θ)t – gt2/2 --- Y=Vsen(α + θ).X/Vcos(α

+ θ) – g(X/Vcos(α + θ))2/2 --- Y=tg(α + θ) – g.X2/2V2cos2(α +

θ)

19- Voy=Vosen45o --- Voy=√2/2Vo --- Vox=Vocos45o ---

Vox=√2/2Vo --- cálculo do tempo de subida que ocorre na altura

máxima quando Vy=0 --- Vy=Voy – gt --- 0=√2/2Vo – gt ---

t=√2.Vo/2g (tempo de subida) --- na horizontal --- X=s=Vox2t --- s=√2/2.Vo2(√2Vo/2g) --- s=Vo

2/g --- na vertical ---

Y=h==Voyt – gt2/2=√2/2.Vo(√2.Vo/2g) – g.(√2Vo/2g)2/2 ---

h=Vo2/2g – Vo

2/4g --- h=Vo2/4g --- s/h=Vo

2/g x 4g/Vo2 ---

s/h=4

20- a) Vox=Vocos30o=100.0,9=90m/s ---

Voy=Vosen30o=100.0,5=50m/s --- tempo para atingir hmáx o que

ocorre quando Vy=0 ---

Vy=Voy – gt --- 0=50 – 10t --- t=5s --- o alcance ocorre em

t=2.5 --- t=10s --- X=Voxt=90.10 --- X=900m b) hmáx segundo Simplício ---

tg30o=h/900 --- √3/3=h/900 --- 1,8/3=h/900 --- h=540m

c) hmáx segundo Salviati --- Voyt – gt2/2=50.5 – 5.25/2=250 - 125 -

-- hmáx=125m 21- I- Voy é a mesma (mesmo V0 e o mesmo ângulo) --- Na hmáx --

- Vy=0 --- Vy2 = Voy

2 – 2.g.hmáx --- 0 = Voy2 – 2ghmáx ---

hmáx=Voy2/2g --- se g diminui, hmáx aumenta --- Verdadeira

II – Correta --- a velocidade do projétil no aponto mais alto da

trajetória é nula na Terra e na Lua.

III – Vox é a mesma --- X=Vox.t --- o alcance horizontal X

independe de g, assim X é o mesmo na Terra e na Lua.

IV – Correta --- a velocidade vertical com que ele é lançado é a

mesma, veja I, quem varia é g. 22- Na altura máxima --- Vy=0 e h=3,2m --- Torricelli ---

Vy2=Voy

2 – 2gh --- 02=Voy2 – 2.10 3,2 --- Voy=8m/s --- R- D

23- I – Verdadeira --- vê uma composição de dois movimentos, um

na vertical e outro na horizontal. II – Falsa --- desloca-se em movimento retilíneo uniforme com

velocidade horizontal constante.

III – Correta – na vertical o movimento é uniformemente variado com

aceleração a=-g. R- D

24- a) Na hmáx --- Vy=0 --- hmáx=1,25m --- Torricelli ---

Vy2=Voy

2 – 2ghmáx --- 02 = Voy

2 -20.1,25 --- Voy=5m/s --- Vy=Voy

– gt --- 0=5 – 10t --- t1=0,5s

b) X=Voxt=Vox2t1 --- 6=Vox.1 --- Vox=6,0m/s

c) Trata-se do tempo que ele demora para percorrer na horizontal,

com velocidade de Vox=6ms a distância X=(7,04 – 3,0)=4,04m ---

X=Voxt2= --- 4,04=6t2 --- t2=0,67s

25- Bola 1 --- lançamento vertical --- tempo para atingir hmáx onde V=0 --- V=Vo – gt --- 0=30 – 10t --- t=3s --- hmáx= 30.3 –

5.9 --- hmax= 45m

Bola 2 --- lançamento oblíquo --- quando t=3s --- h’=Voyt –

gt2/2 --- h’=Vosen30o.t – gt2/2=50.1/2.3 – 10.9/2=75 – 45 --- -- h’=30m --- X=Vocos30o.t=50.√3/2.3 --- X=127,5m --- a

distância pedida é d, conforme figura abaixo

d2=(15)2 + (127,5)2 --- d=√225 + 16.256,25 --- d=√16.481,25

m --- R- D

26- a) Vy=Vosen30o – gt --- 0=5.0,5 – 10t --- t=0,25s

b) Cálculo da altura máxima --- Y=hmáx=Yo + Vocos30o – gt2/2=2 + 0,625 - 0,3125 --- hmáx=2,3125m que é menor que a altura da

cesta

c) na horizontal --- X=Vocos30ot --- 4=Vo.0,86t --- t=4,6/Vo ---

na vertical --- Y=Yo + Vosen30ot – gt2/2 --- 3=2 + 0,5Vo.(4,6/Vo)

– 5(4,6/Vo)2 --- 1,3=106/Vo

2 --- Vo=9,02m/s 27- Dados: vo = 10 m/s; ho = 10 m; = 30° --- as componentes horizontal (vox) e vertical (voy) da velocidade inicial são --- Vox = vo cos 30° = 10 (0,87) = 8,7 m/s --- voy = vo sem 30° = 10 (0,5) = 5 m/s. Verificando cada uma das opções: a) Altura máxima atingida em relação ao ponto de lançamento --- Vy

2=Voy

2 – 2gh --- 0

2= Voy

2

– 2gh --- h=Voz2g=5

2/10 ---

h=2,5m --- em relação ao solo --- H=2,5 + 10 --- H=12,5m b) Tempo de subida --- Vy=Voy – gt --- 0=5 – 10t --- t=0,5s c) Com referencial no solo e orientando a trajetória para cima, o tempo para chegar ao solo é calculado pela função horária do espaço --- h=ho + Voyt – gt

2/2 --- h=10 + 5t – 5t

2 --- quando

chega ao solo h=0 --- 0=10 + 5t – 5t2 --- t

2 – t – 5=0 --- resolvendo a equação --- t 2,8 s.

d) Correta. Ao passar novamente pela mesma altura a pedra possui a mesma energia potencial

inicial --- considerando o sistema

conservativo, então a pedra tem também a mesma energia cinética, portanto a mesma

velocidade, em módulo, ou seja, se ela é lançada com velocidade de 10m/s, ao retornar passará

por esse mesmo ponto com velocidade de -10m/s. R- D 28- Dados --- vo = 10 m/s; = 45°; g = 10 m/s

2.

Vox = vo cos 45° = 10.√2/2 --- Vox=5√2m/s --- voy = vo sen 45° = 5√2m/s --- no eixo y o movimento é uniformemente variado, com a = –g --- tempo de subida (tsub), notando que no

ponto mais alto vy = 0 --- vy = voy – g t --- 0 = 5√2 – 10 tsub --- Tsub =√2/2 s --- tempo de subida é igual ao de descida --- tempo total (tt) --- tt=2tsub ---

tt=√2s --- no eixo x o movimento é uniforme, com velocidade igual a vox --- alcance horizontal (D) --- D = vox tt = 5.√2.√2 --- D=10m --- R- E

29- Dados: g = 10 m/s2; √2= 1,4; = 45°; vo = 20 m/s.

a) Considere desprezível a resistência do ar e que, ao matar a bola, o pé do artilheiro esteja bem

próximo ao chão --- então você pode considerar o ponto de lançamento e o ponto de chegada

pertencente a um mesmo plano horizontal --- no ponto mais alto a componente vertical da

velocidade (vy) é nula --- vy = voy – g t 0 = vosen – g ts --- 0=20.sen45o – 10ts ---

ts=20.√2/2/10 -- ts=√2 s --- tempo total =tsubida + tdescida --- ttotal= √2 + √2 --- ttotal=2√2 s --- na horizontal o

movimento é uniforme --- velocidade Vx (constante) --- vx = vo cos = vo cos 45° = 20.√2/2 m/s --- Vx=10√2 m/s --- alcance horizontal --- x=Vx.t=(10√2).(2.√2) --- x=40m

b) A velocidade média (vm) do artilheiro pode ser calculada considerando que ele percorreu a

distância (S) de 16 m enquanto a bola esteve no ar --- Vm=ΔS/Δt=16/2√2 --- Vm=4√2=4.1,4 --- Vm=5,6m/s=20,16km/h 30- Analisando apenas a incorreta, que é a 02 --- a componente horizontal está correta, pois no eixo x o movimento é uniforme, porém, no eixo y, o movimento é uniformemente variado e a

equação correta é --- y = yo + voy t – gt2/2 --- yo=0 --- Voy=

Vo senθ --- Y=(Vosenθ)t – gt2/2

R- (01 + 04 + 08 + 16)=29 31- Para um observador no interior do trem que se desloca em movimento retilíneo e uniforme,

o alcance de um objeto lançado horizontalmente só depende da intensidade da velocidade do

objeto --- assim, caso a bola fosse arremessada em sentido oposto ao do deslocamento do trem, a distância entre o ponto de arremesso e o ponto de impacto também seria igual a 5 m --- não

haveria diferença, pois a queda só é influenciada por g --- logo, seria 5m ao contrário da

origem --- R- B 32- O tempo de queda é calculado exclusivamente pelo movimento vertical (queda livre da altura de 1m com a=g=10m/s

2 --- h=gt

2/2 --- 1=10t

2/2 --- t=√0,2 --- t=0,447s --- R- C

33- O tempo de subida é igual ao tempo de descida o que ocorre quando Vy=0 --- Vy=Voy –

gt --- 0=Vosenθ – gt --- t=Vosenθ/g --- tempo no ar --- ttotal=2t=2Vosenθ/g --- sendo 2Vo e g constantes, o tempo de permanência no ar depende apenas do ângulo θ com a horizontal ---

quanto menor θ, menor será senθ e, consequentemente menor ttotal --- R- B