1

Hvorforproblemløsing?AvIngvillMereteStedøyogSveinTorkildsen

Theonlywaytolearnmathematicsistodomathematics.PaulHalmos

Utdanningsdirektoratetstartetenprosessmedfagfornyelsesomresulterteienbeskrivelseav

Kjerneelementerforfagi2018.Imatematikkerkjerneelementene

- Utforskingogproblemløsing

- Modelleringoganvendelser

- Resonneringogargumentasjon

- Abstraksjonoggeneralisering

- Matematiskekjerneområder

Nårviskalarbeidemedproblemløsing,måvibrukekompetanserinnenforalledeandre

kjerneelementene.Derforerproblemløsingsværtsentraltforålærematematikk.Detførste

kjerneelementetbeskrivesslik:

Utforskingogproblemløsing-Utforskinghandleromateleveneleterettermønstreogfinner

sammenhenger.Eleveneskalleggemervektpåstrategieneogframgangsmåteneennpåløsningene.

Problemløsinghandleromateleveneutviklerenløsningsmetodepåetproblemdeikkekjennerfra

før.Algoritmisktenkingerviktigiprosessenmedåutviklestrategierogfremgangsmåterog

innebæreråkunnebrytenedetproblemidelproblemsomkanløsessystematisk.

Forskerefremheverogsåbetydningenavproblemløsingforeleveneslæringogforståelsei

matematikk:

Problemløsingbørværearenaenderalletråderavmatematiskkunnskapkonvergerer.Detbørgi

muligheterforelevenetilåvevesammenkunnskapstrådeneogforlæreretilåvurdereelevenes

arbeid(performance)medalletrådene(Kilpatrick,Swafford&Findell,2001,oversattav

artikkeforfatterne).

Arbeidmedproblemløsinggirelevenemulighetertilåutvikleseginnenforallekjerneelementene,og

lærerenfårmulighettilåvurdereeleveneskompetanseogfåinnsiktihvordanderesonnerer.

Arbeidmedproblemløsingertidkrevende,mendeterdetverdt:

Hvisvifokusererpååunderviseprosedyreriaritmetikkistedetforåutvikleinnsikt,kommervitilå

vektleggeindividuelleøvinger.Pressetlærerenfølerpå«åkommegjennomboka»førertilat

lærerensetteravforlitetidtilsamtaleogdiskusjon.Mendeternettoppdissesamtaleneog

2

diskusjonene–ogikkemengdenavløsteoppgaver–somsikrerdybdelæringenhoselevene(van

Galenetal.,2008).

Nårlærerenprioriterertidtilåarbeidemedproblemløsingsaktiviteter,bidrardettetiløktforståelse

ogdybdelæringhoselevene.

Problemogproblemløsing

Ifaglitteraturenmøterviulikedefinisjoneravproblem.Idenneartikkelendefinererjegetproblem

som«enoppgavederelevenikkeumiddelbartserhvordanhankankommeviderei

løsningsprosessen,ogingenkjentløsningsmetodekanbrukes»(Johnson,Herr&Kysh,2003;Leer,

2009).

Kongelf(2011)pekerpåatlandsomgjørdetgodtimatematikkharetsterktfokuspåproblemløsing.

RammeverketforlæreplaneniSingaporebetrakterproblemløsingsomkjerneni

matematikkundervisningen,oglærebøkeneiSingaporevierhelekapitlerpåproblemløsingmed

fokuspåheuristikk-spesifikkestrategierforproblemløsing.Inorskelærebøkerhardettilnåværtfå

problemløsingsoppgaver,ogmangelpåbeskrivelseavgenerellestrategierforproblemløsing.

Elevenebørlæreproblemløsing,ogopplæringenbørstartealleredeidetidligsteskoleårene.Deter

enkrevendeoppgaveforlærerensomsettersegambisiøsemålbådeforsinegenundervisningog

eleveneslæring.Pennant(2013)pekerpååtteaspektervedundervisningensomlærerenbør

reflektereover.Disseaspekteneersentraleforålykkesmedundervisningiproblemløsing.

1 Hvemsnakkermestidendelenavtimenheleklassenersamlet?

Somentommelfingerregeleretsterktmiljøforproblemløsingkjennetegnetvedatlærerenstårfor30%ogelevenefor70%avpraten.Hvordanerdennebalansenidittklasserom?Hvasierdunårduharordet?Forklarerhvordannoeskalgjøres?Stillerspørsmål?

2 Hvilkentypespørsmålstillerjeg?

Stillerjeglukkedespørsmålsom«kandusehvordansystemetfungerer?»elleråpnespørsmålsom«hvilkesystemfinnerviidetteproblemet?»

3 Hvemsvarerpåspørsmålene?

Erdetfordetmestedesammeelevene?Erdetdesomerivrigstogmesttaleføre?Erdetofteregutterennjenter?

4 Hvorgodthørerjegetterpåelevenessvarogprøveråforståhvadesier?

Respondererjegvedåfortelleheleklassenhvajegtrorenelevsierutenåsjekkemedelevenomdetstemmer?Omformulererjeglittpådetdesierforatdetskalværemerforståeligellerpassebedretilet«bedre/riktig»svar»?Stillerjegeleven«oppklarende»spørsmålsom«sådusierat…»eller«…erdetdetdumener»?

3

5 Hvagjørjegmedelevenessvar?

Roserjegdemforfantastiskesvar?Vurdererjegganskeenkeltsvarenederesmedkommentarersom«Bra»,«Godtgjort»,«Riktig»,«OK»,«Nei»,«Tenkomigjen»?Fortsetterjegpådetnestejeghaddetenktåsi?Berjegandreeleverkommenteredetsomblirsagt?Følgerjegoppmedspørsmålsom«erdusikker»ellerhvordanvetdudet»?

6 Hvordanleggerjegtilretteforlæring?

Forklarerjegnøyaktighvaelevenemågjøreogforsikrermegomatdeforstårdetsågodtsommuligførdesetterigangmedarbeidet?Pekerjegpåkritiskepunkter,girhintellerledetråderforåhjelpedem?Utnytterjegelevenestankerogideersomutgangspunktforåledeelevenesoppmerksomhetmotmåletfortimen?

7 Hvortryggeerelevenepååtasjanser,prøveutideerogågjørefeil?

Hvilketegnfinnerdupåatelevenevågeråbidramedsinetankeridiskusjonenellerideerdeprøverut?Hvilkekjennetegnserjegpåateleveneprøverutegnetankersnarereennågjenkalleminetanker?Nårerdetnyttigfordemågjenkalleminetenker?Hvagjørjegnårelevenegjørfeilellerkommerinnieiblindgate?

8 Hvakommunisererkroppsspråketmitt?

Kommunisererjeginteresse/aksept/frustrasjon/uenighet…?Hvordanendrerkroppsspråketmittsegiløpetavtimen?

Underviseiproblemløsing

Elevenebørsamarbeideomåløseproblemløsingsoppgaver,bådefordimankanlæreavålyttetil

andresideerogavåformidleegneideertilandre(Johnsonetal.,2003)(NCTM,2014).Iartikkelen

«Undervisning–planlegging,prosessogprodukt»1beskrivesenstrukturforenundervisningsøkt

sompassergodttilarbeidmedproblemløsing.Gruppearbeidspillerensentralrolleidenneformen

forundervisning.

Undervisningiproblemløsingkreveratelevenefårenutfordringdeikkeumiddelbartserhvordande

kanløse.Elevenemåderforfåtidtilåtenkeogå«leke»medproblemet.Demåprøveutideersom

kanskjeenderienblindveiogjustereretningenutfraerfaringenedegjorde,diskutereerfaringene

medandreogværevilligetilåtarisiko.Lærerenkanstøtteeleveneslæringvedåutvikleen

klassekultursomvektleggerinnsatsogstrev,ogderfeilerennaturligdelavlæringsprosessen

(Pennant,2013).

Eleversomfåreksplisittundervisningisentralematematiskeproblemløsingsstrategierblirbedre

problemløsereennelevenesomfårtradisjonellundervisning.Identradisjonelleundervisningener

fokuspåselveaktivitetenelleroppgaveneleveneskalarbeidemed.Strategien–måtenåangripe

problemetpå–blirikkegjenstandforspesielloppmerksomhet.Lærerengjørikkeelevene

1ArtikkelutarbeidettilMAM-prosjektet,MestreAmbisiøsMatematikkundervisninghttps://www.matematikksenteret.no/kompetanseutvikling-i-skolen/mam/om-mam-prosjektet

4

oppmerksommepåhvasomkjennetegnerstrategienognårdenkanværenyttig.Ideneksplisitte

undervisningeniproblemløsingermåletfortimenknyttettilstrategien(Amit&Portnov-Naaman,

2017).Detsetterkravtilvalgavproblemlærerenskalpresentere.Problemetmåværeslikatden

aktuellestrategienbliretnaturligvalg–iallefallfornoenavelevene(Johnsonetal.,2003).

Problemetbørogsåværeslikatelevenemedlittanstrengelsekantrengeinnidematematiske

utfordringeneproblemetrommer.Nårnyeproblemløsingsstrategierblirintrodusertvildetvære

naturligåhabådeetprosessmålogetfagligmatematiskmålfortimen.JoBoaleranbefaleråla

elevenearbeidemedproblemetførmetodenelevenebrukerblirgjenstandfordrøfting(Boaler).

Denneartikkelengirifortsettelseneksempelpåproblemsomnaturliginviterertilenellerflereav

problemløsingsstrategienenedenfor.Ioppsummeringenunderkanlærerenstyreklassediskusjonen

motdenellerdestrategienesomvisersegåværemesteffektiveforproblemet,ellersomlæreren

harsometprosessmålforøkten.Deterlikeviktigåløfteframprosessmåletsomdet

matematikkfagligemåletfortimen,slikatbeggedelerblirtydeligforelevene.Vipresentererforslag

tilløsningerpåproblemenesomkommer,mendetkanhendedineeleverfinnerandremetoder.La

allefåkommemedidéer,ogtaelevenesinnspillpåalvor.

- Lageenvisualisering- Prøvesegfram,intelligentgjetting- Setteoppensystematisktabell- Tegneengraf,medellerutenhjelpemidler- Setteoppenlikning- Prøvenoenenkleretilfeller- Leteettermønster- Tenkebaklengs

Uansetthvilkeavstrategieneelevenevelger,vildehanytteavfølgende:

- Setteoppenhypotese- Tenkegjennomhvaslagsmatematikkproblemethandlerom- Tenkegjennomomenharsettetliknendeproblemellersammematematikkienannen

kontekst- Lageenplanforløsning- Værevilligtilåseproblemetpåennymåteogbegynnepånytt- Vurdereomløsningengirmening

Eksemplenevilviseatdetkanværenaturligåvelgeflereavstrategieneovenfor,selvomlærerenhar

enbestemtstrategiitankenenårprosessmåletvelges.Eksempleneerhentetfraforfatternesegen

erfaringiundervisningen,ellerfraforskningslitteratur.

Nårelevenehararbeidetmedproblemløsing,kandetværeveldignyttigfordemåreflektereog

gjøreenegenvurderingavarbeidsprosessen.Elevenekanskriveenslagsjournalderdesvarerpå:

5

- Hvagjordeduforåløseproblemet?

- Fungerermetodendinalltid?

- Kandutenkedegetannetproblemderdennemetodenkanbrukes?

- Hvaslagsmatematikkfikkdubrukfornårduskulleløseproblemet?Kandufinneandre

metoderåløseproblemetpå?

Lageenvisualisering

Visualiseringenkantaformaventegningelleretdiagram.Idennesammenhengkanviføyetilbruk

avkonkreter,selvomvisualiseringogkonkreter(fysiskegjenstander)oftekategoriseressomtoulike

representasjoner(NCTM,2014).Visualiseringenbidrartilåsesammenhengersomvirker

komplisertenårdepresenteressomentekst.Tekstentolkesgjennomenvisualisering,og

visualiseringengirstøttetilåuttrykkesammenhengeneietmerformeltmatematiskspråk.

Elevenestartetmedåtegnenoentrekanter.Dekomfortoppidiskusjoneromhvordandekunneseut.Kunnedeværerettvinklede?Likebeinte?Likesidete?Hvasomhelst?

Areal=½grunnlinjexhøyde,såhvisgrunnlinjaoghøydenerlik,såerarealetlikt.

Figurenesåomtrentsånnut:

Menomkretsenkanjobliveldigstorhvisviflytterdetenepunktetlangtbort!

Svaretmåværeatomkretsenkanblisåstorvibarevil!

Prøvesegfram,intelligentgjetting

Oftekandetværevanskeligforeleveneåvitehvordanetproblemskalangripes.Enløsningkandaværeå«bareprøvenoe»ogsehvordandetgår.Omforsøket«mislykkes»prøvermanpånytt.Menforsøkenebørikkeværetilfeldige.Ensystematiskutprøvingavmulighetervilledeframtilenellerflereløsningerpåproblemet.

Løsningsforslag/Metoder:

Totrekanterlikelanggrunnlinjeoglikestorhøyde.Hardesammearealogomkrets?

Summenavfireetterfølgendepartaller124.Bestemdefiretallene.(framatematikk.org)

6

- Finnegjennomsnittetavdefiretallene,ogsåfinnehveravdem.

Noenelevertenkerathvisdethaddeværtfireliketall,villetallenevære124:4=31

Damåtallenevileteretter,liggepåhversideav31.Toavdemkanvære30og32,fordeterpartall.

Påhversideavdemkommer28og34.Hvisenprøverdissefiretallene,blirdet:

28+30+32+34=124

Detpasser!

- Barebegynneetsted,ogsåjustere

Noeneleverbegynnerettilfeldigsted,menikkealtforsmåtall.Kanskje20+22+24+26?Detblir

92,somerforlite.Detkanikkeværedobbeltsåstort,menkanskje30+32+34+36?Detblir132.

Deter8formye.36–8=28.

Dapasserdetmed28+30+32+34=124

- Setteoppenlikning

Noengangererdetdeelevenesomtradisjoneltlikermatematikksombrukermeravanserte

metoder,selvomdetikkeernødvendig.Fordelenmeddet,eratdissemetodeneofteermer

generelle.Elevenekanselvvelgeomdevilladetminstetalletværex,elleretavdeandretallene.

Hvisdetminstetalleterx,blirdeandretretallenex+2,x+4ogx+6.

Likningenblir:x+x+2+x+4+x+6=124

Daer4x=124–2–4–6=112

x=28,såtalleneblir28,30,32,34.Enrasksjekkviseratdetstemmer28-+30+32+34=124

Noenelevertenkeratdetskalværepartall.Hvisdetminstetalleter2n,blirdeandre2n+2,2n+4

og2n+6.Enlikningmeddissetallenegirn=14,ogsvaretblir28,30,32og34.

Etterpåkanelevenediskuterehvilkemetodersomlarseggeneralisere.Hvahvisdeterflereennfire

tallforeksempel?Kanhvilkesomhelsttallværesummenavfireetterfølgendepartall?Hvilke

egenskapermåsummenha?

Eleveneserfortatdetmåværepartall.Videreserdeatdetmåværedeleligmed4.Menlikningene

viseratdetfaktiskmåværedeleligmed8.

Nåkaneleveneutfordrestilålageoppgavertilhverandre.

7

Setteoppensystematisktabell

Enendamersystematiskmåteåprøvesegframpå,eråsetteoppentabell.Tabellenvilgien

oversiktoverproblemet,entendeteråfinnebestemtekombinasjoner,ellermåleteråfinneet

mønster.

Metode:

Detseriførsteomganguttilåværealtforfåopplysninger,forelevenevetjohellerikke

husnummeret.Hvorforklarerdeåløseproblemetnårdevetatdeneldstelikeris?Hvavetviidet

heletatt?Hvavillevigjorthvisvivisstehusnummeret?

Davillevisetthvilketretallmultiplisertsammengirprodukt72,oghvilkeavdissetalleneharen

sumsomerlikhusnummeret.Detkanværelurtåprimtallsfaktorisere72foråsehvilke

kombinasjoneravtretallsomkanbrukes.

72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3

Detkanværelurtåsetteoppensystematisktabellmedproduktetavtretallsomblir72,ogfinne

summenavdem.Vimåhuskepåat1kanværeenfaktor,såvikanstartemedallemulighetermed

tallet1.Viutelukker1,1og72,fordetgårikkemed3søstre.Hellerikke1,2og36.

Tall1 Tall2 Tall3 Sum

1 4 18 23

1 8 9 18

1 6 12 19

1 3 24 28

2 2 18 22

2 4 9 15

Matematikklærerenhartredøtre.Elevenevilvitehvorgamledeer.Matematikklærerenville

selvsagtbenyttesjansentilågieleveneetproblem.Hansa:Produktetavaldernetildøtrenemine

er72.Summenavaldreneerdetsammesomhusnummeretvårt,ogdetvetderehvaer.

Elevenegikkigangmedåløseproblemet,menettermyejobbingsadetillærerenatdehaddefor

fåopplysningertilåløseproblemet.Dasalæreren:Mendeneldsteavdøtrenemineerveldigglad

iis!

Daklarteeleveneåløseproblemet.Kandereløsedet?(GeirBotten)

8

2 3 12 17

2 6 6 14

3 3 8 14

3 4 6 13

Dastårviigjenmed10muligheter.Menhviselevenevisstehvilkethusnummerlærerenhadde,så

vardetjobareåplukkeutdettallet!Hvisikkedetvarflereulikemulighetermedsammesumda!

Fratabellengårdetframat2,6,6og3,3,8beggegirsum14.Damålærerenboinummer14.

Dasereleveneatdethjelperåviteatenavjenteneereldst.Ibeggetilfelleneerdetetpartvillinger,

menmed2,6,6erdettojentersomereldst.

Detbetyratjentenetillærerenmåvære3år,3årog8år.

Tegneengraf

Hvisproblemetlarseguttrykkesomenfunksjonmedenvariabel,eventueltogsåmedenparameter,

kandetværenyttigåtegneengraf,ogbrukegrafentilåløseproblemet.Ieksempeletnedenfor,

kunnedetværtgjortmeravansertogmergenereltvedålaomkretsenværeenparameter.Detkan

værenyttigålaeleveneutfordresmedkjentomkretsiførsteomgang.Såkandeeventueltdiskutere

ommetodenkanbrukesforalleomkretser,ogomresultateneblirdesamme.

Løsningsforslag/metoder

Eleveneprøveråfinneenmåteåløseoppgavenpå.Deharløstliknendeoppgavermedrektangler.

Dablesvaretatarealeterstørstnårrektangeleteretkvadrat.Kanskjearealetblirstørstnår

trekantenerlikesidet?Daeritilfelleallesidenelik12,ogarealeter:

12∙ 12 ∙ 12 ∙ sin 60° = 6 ∙ 12 ∙

32= 36 3 ≈ 62,35

Enlikebeinttrekantharomkrets36.Hvaerdetstørstearealettrekantenkanha?Hvordanser

trekantenutda?Kantrekantenværerettvinklet?

9

Menkanviværesikre?

Kanskjevikantegneengrafsomviserarealetsom

funksjonav𝑥,der𝑥erlengdentildelikesidene?Såkan

vileseavtoppunktettilgrafen.

Foråkunnetegneengraf,måvihaetfunksjonsuttrykk.

Hvisdelikesideneer𝑥,såergrunnlinja(36 − 2𝑥).

Såmå9 < 𝑥 < 18foratdetskalværeentrekant.

DakanvibrukePytagorassetningtilåfinnehøyden:

ℎ = 𝑥8 − 18 − 𝑥 8 = 36𝑥 − 324 = 6 𝑥 − 9

Arealetergittvedfunksjonen:𝐴 𝑥 = ;836 − 2𝑥 ∙ 6 𝑥 − 9 = 6(18 − 𝑥) 𝑥 − 9

Tegnervigrafentil𝐴(𝑥)iGeoGebra,kanvileseavtoppunktet.

AlternativtkanvibrukeCAStilåløs𝐴´ 𝑥 = 0.Beggedelergir𝑥 = 12somløsning.

ViseratA(12)=6 18 − 12 12 − 9 = 36 3 ≈ 62,35.

10

Trekantenharstørstearealnårx=12.Daertrekantenlikesidet.

ViserdetogsåhvisvideriverermedCAS:

Kantrekantenværerettvinklet?

Damådenrettevinkelenværemellomdetolikebeina,slikatarealeter;8𝑥8.

Løservi𝐴 𝑥 = ;8𝑥8iCAS,fårvi𝑥 = 10,54.

𝐴(10,54) = 55,55

Nårtrekantenerrettvinklet,erarealet55,55.Dettearealethartrekantenogsånårsideneer13,75.

Dettekanogsåløsespågrafenetteratviharfunnet𝑥 = 10,54.Vitegnerlinja𝑥 = 10,34,finner

skjæringspunktetmellomdenlinjaoggrafentil𝐴. 𝑦-verdienipunkteterarealettiltrekantennården

errettvinklet.Daserviatdetfinnesenannen𝑥-verdisomgirdetsammearealet,mendakanikke

trekantenværerettvinklet.Daer𝑥 = 13,75.

11

Noenelevervelgergrunnlinjalikx.Dablirdelikesidenelik@ABC8

.

Høydenblir:

ℎ = (36 − 𝑥2

)8 −𝑥2

8= 3 2(18 − 𝑥)

Arealefunksjonenerda:

𝐴 𝑥 =32𝑥 2(18 − 𝑥)

Damå0 < 𝑥 < 18foratdetskalblientrekant.

Elevenetegnergrafentil𝐴iGeoGebraogleseravtoppunktet.

Arealeterstørstnår𝑥 = 12.Daertrekantenlikesidet,ogarealeter𝐴(12) = 36 3 ≈ 62,35

12

Defantdetsammevedderivasjon:

Betingelsenforattrekantenskalværerettvinkleteratdetolikesidenestårnormaltpåhverandre.

Daerarealetavtrekanten𝐴(𝑥) = ;8∙ (@ABC

8)8.

Sidenviharetannetuttrykkforarealetogså,kanlikningenløsedenmedCAS.Deretterfinnervi

arealetvedåleseavarealetforløsningsverdienav𝑥,ellerregneut𝐴(𝑥)fordenne𝑥-verdien.

13

Ilinje3sereleveneatgrunnlinjaer10,55,somdesomløsteoppgavenvedåsettegrunnlinjalik𝑥,

fikk.

Menvikanogsåtenkeatnårtrekantenerrettvinklet,såmåhøydenværelikhalvegrunnlinja,og

løselikningen

ℎ = 3 2(18 − 𝑥) =𝑥2

IbeggetilfellerviserCASat𝑥 = 14,91.𝐴(14,91) = 55,6.

Nåreleveneløserdettepågrafen,serdeatdetblirtoløsninger.Grunnlinjelik8,51ogdelikesidene

13,75.

14

Nåblirelevenenysgjerrigepååfinneuthvordantrekantenserutidetandretilfellet,oggårigang

medåberegnevinklenevedgrunnlinja.

Detenkeråfinnelengdenpådelikesidenenårx=8,51,somerdenandrex-verdienderarealeter

55,6somidenrettvinkledetrekanten,oghalvegrunnlinjaogbrukeinverscosinustilåbestemme

vinkelen.

Vinklenevedgrunnlinjaeromtrent72°.ElevenetegnettrekanteneiGeoGebra.

Nåfikkdenoenyttåtenkepå.Erdetalltidsånnatengyldentrekantogenrettvinklettrekantmed

sammeomkretsharsammeareal?

15

Setteopplikning

Løsningsforslag/Metode:

Elevenekanvelgeeteksempelåprøveførst.Deterspennendeomelevenevelgerlinjeogpunkt,så

blirdetforskjelligfordeulikegruppene.

HvisdegjørdetiGeoGebra,bliralgebrafeltetenfasit.Herereteksempel:

Lalinjavære𝑙:𝑦 = ;8𝑥 + 2,ogpunktet𝐴(10,2)utenforlinja.

Speilingspunktet𝐴´(𝑎, 𝑏)måoppfylletokrav:

1. Linjestykket𝐴𝐴´stårnormaltpålinja𝑙

2. Midtpunktetpålinjestykket𝐴𝐴´liggerpå𝑙.

Foråsetteoppenlikningsompassermedkrav1,brukereleveneatvektorenfra𝐴til𝐴´

skalarmultiplisertmedenretningsvektorlangs𝑙er0.

Detgir: 𝑎 − 10, 𝑏 − 2 ∙ 2,1 = 0,ogvidere

2𝑎 − 20 + 𝑏 − 2 = 0

𝑏 = 22 − 2𝑎

Polya:Gittetpunktutenforenbestemtrettlinje.Bestemtpunktetsomersymmetriskmeddet

gittepunktet,medlinjasomsymmetrilinje.

16

Krav2giratmidtpunktet(IJ;K8

, LJ88)måpasseinnilikningenforlinja𝑙.

𝑏 + 22

=12∙𝑎 + 102

+ 2

𝑏 + 2 =12𝑎 + 9

Nårsetterinnforbfradenførstelikningen,fårvi22 − 2𝑎 + 2 = ;8𝑎 + 9

Somgir𝑎 = 6og𝑏 = 10.

Løsningeneraltsåpunktet𝐴´ = (6,10)somstemmermedGeoGebra-fasiten.

Nåkanelevenegeneralisereogsortereuthvasomerkjentoghvasomerdeukjentestørrelsene.

Vikjennerlinja𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞.Denharenretningsvektor[1, 𝑝]

Såerettpunktsomikkeliggerpålinjaoppgitt.Detkallervi𝐴(𝑐, 𝑑).

Detukjentepunkteter𝐴´(𝑎, 𝑏).

Vilardeukjentestørrelseneværerød.Damåviløsetolikningermedtoukjente.MidtpunktetpåAA´

er(IJS8, LJT8).VektorenfraAtilA´er 𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑 .

Likningeneblir:

1. 1 ∙ 𝑎 − 𝑐 + 𝑝 𝑏 − 𝑑 = 0

2. LJT8= 𝑝 ∙ IJS

8+ 𝑞

Disselikningenekanløsesihverttilfelle,oggirløsningenpåproblemet.

Prøvenoenenkleretilfellerogleteettermønster

Noenproblemkanværesåomfattendeatdetseruoverkommeligutåstartepådet.Dakan

strategienforenkleproblemetværetilhjelp.Manløserenenklereutgaveavsammeproblemogser

omdeteretmønstersomkanhjelpeossvidere.

17

Problemetmedde1000skap(lockers)erenavdemestbrukteproblemeneiamerikanskeskoler.Jeg

prøvdedeti8.klasseogi1T.Tilåbegynnemedvirkerdetumuligåfåoversiktover,menherhjelper

detåsepåenkleretilfeller.

Løsningsforslag/Metode:

Klassensamarbeidet.Eleveneblenummerertfra1til28.Vitegnet28skappåtavla,elevenestilte

segikøetternummer,oggikkiturogordenoppogskrevÅogLetterhvertsomskapbleåpnetog

lukket.

Etterhvertbegyntedeågjette:

- Erdetprimtallene?

- Nårnummer5starter,såskjerdetikkemermedde4førsteskapene!Daeriallefall

nummer1ognummer4åpne!

- Nåserviatallprimtallenekommertilåforblilukket,forditkommerbarenummer1ogden

elevenmedprimtallsnummer!

- 1,4og9eråpne!

Medkortkandetillustreresslik:

Problemetmedde1000skap:Påenskolevardet1000elevskapog1000elever.Endagbestemte

elevrådetatdeskullegjøreeteksperiment.Eleveneblenummerertfra1til1000,ogskapene

haddenummerfra1til1000.Daelevenekomtilskolenvaralleelevskapenelukket.Eleveneskulle

gjennomførefølgendeprosedyre:

Elevnummer1skulleåpnealleskapene.

Elevnummer2skullestartepåskapnummer2,oggåtilannenhvertskap.Disseskullehanlukke

Elevnummer3skullestartepåskapnummer3,gåtiltredjehvertskap.Lukkedesomvaråpne,og

åpnedesomvarlukket.

Slikfortsatteelevnummer4medhvertfjerdeskap,ogsåvidere,helttilalle1000elevenehadde

gjortsinjobb.

Hvilkeskapvaråpneoghvilkevarlukketnårallede1000elevenevarferdig?

Hvorforblirdetsånn?

18

- Kanskjedeterkvadrattallene?Vimåfortsettetilnummer16!Ja!!

- Menhvorforerdetsånn?Hvordankanvifinneuthvilkeeleversomkommerinnomdeulike

numrene?

Elevenesattigrupperogprøvdeåfinneenforklaringåproblemet.Desattoppentabellogmarkerte

hvilkeeleversomhaddeværtinnomskapene:

1

1

2

1,2

3

1,3

4

1,2,4

5

1,5

6

1,2,3,6

7

1,7

8

1,2,

4,8

9

1,3,9

10

1,2,

5,10

11

1,11

12

1,2,

3,4,

6,12

13

1,13

14

1,2,

7,14

15

1,3,

5,15

16

1,2,

4,8,

16

17

1,17

18

1,2,

3,6,

9,18

19

1,19

20

1,2,

4,5,

10,20

21

1,3,

7,21

22

1,2,

11,22

23

1,23

24

1,2,

3,4,

6,8

12,24

25

1,5,

25

26

1,2

13,26

27

1,3

9,27

28

1,2,

4,7,

14,28

Nyinnsiktoppsto:

- Deterfaktorenetiltallet!

- Menhvormangefaktorermådetværeforatskapeneskalendeoppsomåpneellerlukket?

- Etpartallsantalleleverinnom,detvilsifaktorer,elleretoddeantallfaktorer.

- Menhvorforerkvadrattallenedeenestetallenesomharetoddeantallfaktorer?

Hvistalletharenfaktor,foreksempel18,somhar3somfaktor,såmå18:3=6ogsåværeenfaktor.

Såfaktorenekommetipar!Fortallet18,såerparene1–18,2–9og3–6.

19

Hvistalletern,ogderenfaktor,såerUTenannenfaktor,hvisikkeU

T= 𝑑.

Menkandethende?Jadetskjerhvis𝑛 = 𝑑8!Detgjelderforkvadrattallene.Forkvadrattallet16for

eksempel,såerparene1–16,2–8og4–4.Men4tellerbareéngang,så16har5faktorer.

Kvadratrotenavtalletenslagsdobbelfaktor,sådentellerbareéngang,menalledeandrekommeri

par.

Davarproblemetløstogforstått.

Tenkebaklengs

Mangeproblemerslikatmankanarbeidersegframgjennominformasjonensomgisfrabegynnelse

tilsluttioppgaven.Inoenproblemvilutgangspunktetværeukjent.Damåmanskiftefokus,starte

medinformasjonensomerkjent,ogdenstårkanskjeisluttenavteksten.Ellermankanrettogslett

tenkeatproblemeterløst,ognøstesegtilbaketilstart,fortilsluttågåfrastarttilslutt,somi

Polyaproblemetnedenfor.

Løsningsforslag/Metode:

Startmedåtenkeatproblemeterløst.Detvilsiatduhar6Lvannidenstørstebøtta,ogdenminste

ertom,sompåbilde1.

Bilde1 Bilde2 Bilde3 Bilde4 Bilde5

Hvakanhaværtsituasjonenrettførdette?Dakandenstørstehaværtfull,ogdenminsteinneholdt

1L.Dettekanværeetvanskeligsteg.

Førdetigjenkandenstørstehaværttom.Førdetigjenkandenminstehaværttom.

Menhvordankansituasjonenibilde4haoppstått?Damanglerdet8Lfradenvarfull.Mende8L

kunnemanhakvittetsegmedvedåhafyltdenminstefullogtømtut,toganger.

Polya:Hvordankanduhentenøyaktig6Lvannfraelva,nårduhartobøtterutenmerkerpå,og

vetatdenenerommer9Logdenandrerommer4L?

20

Løsningenkanvisenå:

- Vifyllerdenstørstefull.

- Heller4Loveridenminste,ogtømmerut.Daerdet5Ligjenidenstore.

- Heller4Loveridenminste,ogtømmerut.Daerdet1Ligjenidenstore.

- Heller1Loveridenlille.Daerdenstoretom.

- Fyllerdenstoreheltfull.Daerdet9Lidenstoreog1Lidenlille.

- Tømmer3Loveridenlilleogtømmerden.Daerdet6Lidenstore.Denlilleertom.

Detteerikkeenkelt,ogkanskjenoeneleversynesdeterlettereåikketenkebaklengs.

Baklengstenkingenkreverogsåatmanmåprøveseglittfram.

Lærerensrolle

Deterlettåundervurderebetydningenlærerensopptredenharforåetablereetmiljøfor

matematiskproblemløsingienklasse.Itilleggtilatlærerenleggervektpåeksplisittundervisningnår

eleveneskallærenyeproblemløsingsstrategier,børproblemløsingutgjøreensentraldelav

matematikkundervisningen.(NRICHPrimaryTeamandJennyEarl).Itilleggtildeåtteaspekteneved

kommunikasjonsomernevntinnledningsvis,erdetverdåtenkeoverfemandremomenterknyttet

tilimplementeringavproblemløsingsoppgaver(NCTM,2014).Deterlærerensoppgave

• åmotivereelevenesmatematikklæringvedågidemmulighettilåutforskeogløse

problemersombyggerpåogutviderdenmatematikkforståelsendealleredehar

• åvelgeproblemsomgirelevenemulighettilåvelgeflereulikestrategier,verktøyog

representasjoner

• åprioriterekognitivtkrevendeoppgaverfremforrutineoppgaver

• åstøtteelevenesomutforskerenproblemstillingutenåtaoverelevenestenking

• åoppfordreelevenetilbrukeuliketilnærmingerogstrategierforåforståogløseoppgavene

Oppgaveneieksempleneoverervalgtmedtankepåatmåletfortimenprimærteråløfteframen

problemløsingsstrategi.Deterallikevelviktigåværeåpenforatelevenekanvelgeheltandre

strategierenndetlærerenhaddeitankene.Hvisingenelevgruppervelgerdenstrategienlæreren

haddeitankene,kanlærerenunderoppsummeringen,etterateleveneharpresentertsine

strategier,foreksempelsi:«Ienannenklassevardetengruppesomgjordedetpådennemåten:

….».Tilsluttdiskutererklassenhvilkemetoderdesyneserenklest,hvilkesomkanbrukesiandreog

liknendesituasjoner,hvaslagsmatematikkdemåkunneforåbrukedeulikemetodene,også

videre.

21

Etterhvertsomelevenebeherskerflereproblemløsingsstrategier,børdematematiskeideenei

oppgavenværemålet.Oppgavermedlavinngangsterskelogstortakhøyde(LIST-oppgaver)ersærlig

egnettilbrukihelklasse.Slikeoppgavererenkleåkommeigangmedsamtidigsomdebæreriseg

mulighetertilutvidelsersomledertilinteressantematematiskesammenhenger.

Flereaveksemplenevihartattframher,kanføretilnyespørsmålogmerutforsking.Oppgavenmed

summenavfireetterfølgendepartall,kanutforskesvidere:

- Hvahvisdetvaroddetall?Hvilkesummerkunnefungereda?

- Hvahvisdetvartalli5-gangen?

- Hvahvisdetvarflereennfiretallsomskullesummeres?

Oppgavenmedtrekantenegainteressantespørsmål:

- Vardetvirkeligengyldentrekantsomgasammearealsomdenrettvinklede,ellervardet

barenestenengyldentrekant?

- Kandettenkesatengyldentrekantogenrettvinklettrekantmedsammeomkretsalltidhar

sammeareal?

- Erdetalltidsånnatnårmanharenmangekantmedengittomkrets,såvildetværeden

regulæremangekantensomharstørstareal?Kandetbevisesgenerelt?

Derproblemløsingerensentraldelavmatematikkundervisningenvilmatematiskeproblembåde

væreeninngangtilålærenymatematikkogtilåutvideogtrengedypereinnitemaerelevene

alleredeharenvissinnsikti

ReferanserAmit,M&Portnov-Naaman,Y.(2017).ExplicitTeaching’asanEffectiveMethodofAcquiringProblem

SolvingStrategies-TheCaseof"WorkingBackwards".InnleggpresentertvedCERME10,Dublin.

Botten,G.((1999).Meningsfyltmatematikk.CasparforlagISBN82-90898-23-1Kilpatrick,J.,Swafford,J.&Findell,B.(2001).Addingitup:Helpingstudentslearnmathematics.

Washington,DC:NationalAcademyPress.Kongelf,T.R.(2011).Whatcharacterizestheheuristicapproachesinmathematicstextbooksusedin

lowersecondaryschoolsinNorway.NordicStudiesinMathematicsEducation,16(4),5-44.Leer,L.G.(2009).Vurderingavmatematiskproblemløsning.(Masteroppgave),Instituttfor

matematiskefag,NTNU.vanGalen,F,Feijs,E,Figueiredo,N,Gravemeijer,K,vanHerpen,E&Keijzer,R.(2008).Fractions,

percentages,decimalsandproportions:Alearning-teachingtrajectoryforgrade4,5and6.Rotterdam:SensePublishersRotterdam.

Polya,G.(1945),renewed1985og1990avIanSteward.Howtosolveit.Theclassicintroductiontomathematicalproblem-solving.PrincetonUniversityPressinPenguinbooks.ISBN-13:978-0-14-012499-6

22

Flereoppgaver:

Kvadratitrekant

Tegnenvilkårligtrekant.Konstrueretkvadratsomerinnskrevetitrekantenmedtohjørnerpågrunnlinjaogdetoandrehjørnenepåhveravdeandresideneitrekanten.

Maksimaltareal

Etrektangelharomkrets100.Hvaerdetstørstearealetrektangeletkanha?

Tangenterogsirkel

DuhargitttorettelinjerogetpunktPmarkertpåenavdem.Vishvordandukankonstruere,medpasseroglinjal,ensirkelsomertangenttilbeggelinjene,ogsomharPsomtangeringspunktpådenenelinja.

Trekantogareal

DuhargittenbestemttrekantTmedgrunnlinjeB.VisatdetalltidermuligåkonstruereenrettlinjesomerparallellmedBogsomdelerTitodelermedsammeareal.

(CarlsonogBloom,2005,oversattavartikkelforfatteren).

Flaskeproblemet

Tenkdegatdenneflaskaskalfyllesmedvann.Lagenskisseavengrafsomviserhøydensomenfunksjonavmengdenvanniflaska.

23

Papirbretteproblemet

EtkvadratiskpapirABCDerhvittpådenenesidenogsvartpådenandre.Arealeter3.HjørneAbrettesovertiletpunktA´somliggerpådiagonalenAC,slikatavarealetsomersynligerhalvpartenhvittoghalvpartensvart.HvorlangterdetfrabrettekantentilA´?

Speilproblemet

Totaller«speiltall»hvisdetenetalletkandannesavdetandrevedåbytteomrekkefølgenpåsifrene(detvilsiat123og321erspeiltall).Finna)tospeiltallmedprodukt9256ogb)tospeiltallmedsum8768.

Polya-problemet

Hveravsideneifigurenharliklengde.Determuligålageetkuttlangsenrettlinjeslikatfigurendelesitobiter.Deretterkanenavbitenekutteslangsenrettlinjeitobiter.Detrebitenekansettessammenslikatdedannertolikekvadratersattinntilhverandre,detvilsietrektangelmedlengdelikdetdobbelteavbredden.Bestemdetonødvendigekuttene.

FlereoppgaveideermeddrøftingfinnerduforeksempeliBreiteig(2008).http://www.caspar.no/artikkel_pdf/35c_t2008-1.pdf.