makalah struktur aljabar

7/23/2019 makalah struktur aljabar

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-struktur-aljabar 1/12

8.1. Ring Faktor

Pada bab 7, telah kita pelajari mengenai Ideal, yang mirip dengan Subgrup

Normal dalam dalam Grup. Suatu Ring Faktor terdiri dari himpunan dari koset-

koset Ring tersebut yang diantaranya adalah ideal- ideal.

Definisi 8.1 :

isalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R. R!S

"#S $ a % a R& adalah Ring dengan 'S $ a( $ 'S $ b( " S $ 'a $b( dan 'S $ a( . 'S

$ b( " S $ 'a . b(. Ring sema)am ini disebut Ring Faktor atau Ring *oisen.

Sekarang akan kita buktikan bah+a R!S " #S $ a % a R& membentuk

suatu Ring, yaitu dengan memperhatikan syarat-syarat dari suatu struktur aljabar

dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan '$( dan terhadap

perkalian '.( yang membentuk suatu Ring 'R!*,$,.(. dapun syarat-syarat suatu

struktur aljabar yang mempunyai dua operasi biner membentuk suatu Ring

adalah sebagai berikut

. /ertutup terhadap penjumlahan '$( di R!S

isalkan a, b R dan a $ b Raka

0ntuk setiap 'S $ a(, 'S $ b( R!S

berlaku 'S $ a( $ 'S $ b( " S $ 'a $b(

yang berarti S $ 'a $ b( R!S

Sehingga S $ 'a $ b( R!S, tertutup terhadap penjumlahan di R!S



1. ssosiati3 terhadap penjumlahan '$( di R!S

isalkan a, b, ) R

maka 'a $ b( $ ) " a $ 'b $ )(

Sehingga

0ntuk setiap 'S $ a(, 'S $ b(, 'S $ )( R!S

4'S $ a( $ 'S $ b(5 $ 'S $ )( " 'S $ a( $ 4'S $ b( $ 'S $ )(5 4S $ 'a $

b(5 $ 'S $ )( " 'S $ a( $ 4S $ 'b $ )(5

S $ 4'a $ b( $ )5 " S $ 4a $ 'b $ )(5 S $ 4a $

'b $)(5 " S $ 4'a $ b( $ )5

'S $ a( $ 4S $ 'b $ )(5 " 4S $ 'a $ b(5 $ 'S $ )(

'S $ a( $ 4'S $ b($'S $ )(5 " 4'S $ a($'S $ b(5 $ 'S $ )(

6. danya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan '$( di R!S

isalkan a R

maka a $ e " e $ a " a

Sehingga

0ntuk setiap 'S $ a( R!S

'S $ 2( $ 'S $ a( " S $ '2 $ a( " S $ a

'S $ a( $ 'S $ 2( " S $ 'a $ 2( " S $ a

⇒ 'S $ 2( $ 'S $ a( " 'S $ a( $ 'S $ 2( " S $ a

. danya unsur balikan atau in8ers terhadap penjumlahan '$( di R!S

isalkan a R

maka a $ '-a( " '-a( $ a " e " 2

Sehingga


'S $ a( $ 'S $ '-a(( " S $ 'a $ '-a(( " S $ 2 " S 'S $ '-

a(( $ 'S $ a( " S $ ''-a( $ a( " S $ 2 " S

⇒ 'S $ a( $ 'S $ '-a(( " 'S $ '-a(( $ 'S $ a( " S $ 2 " S



9. *omutati3 terhadap penjumlahan '$( di R!S

isalkan a,b R

maka a $ b " b $ a

Sehingga


'S $ a($'S $ b( " 'S $ b( $ 'S $ a( S $ 'a

$ b( " S $ 'b $ a(

S $ 'b $ a( " S $ 'a $ b(

'S $ b( $ 'S $ a( " 'S $ a($'S $ b(

:. /ertutup terhadap perkalian '.( di R!S

isalkan a, b R dan a . b R

aka


berlaku 'S $ a( . 'S $ b( " S $ 'a . b( yang

berarti S $ 'a . b( R!S

Sehingga S $ 'a . b( R!S, tertutup terhadap perkalian di R!S

7. ssosiati3 terhadap perkalian '.( di R!S

isalkan a, b, ) R

maka 'a . b( . ) " a . 'b . )(

Sehingga


4'S $ a( . 'S $ b(5 . 'S $ )( " 'S $ a( . 4'S $ b( . 'S $ )(5 4S $ 'a .

b(5 . 'S $ )( " 'S $ a( . 4S $ 'b . )(5

S $ 4'a . b( . )5 " S $ 4a . 'b . )(5 S $ 4a .

'b . )(5 " S $ 4'a . b( . )5

'S $ a( . 4S $ 'b . )(5 " 4S $ 'a . b(5 . 'S $ )(

'S $ a( . 4'S $ b( . 'S $ )(5 " 4'S $ a( . 'S $ b(5 . 'S $ )(



;. danya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian '.( di R!S

isalkan a R

maka a . e " e . a " a

Sehingga


'S $ ( . 'S $ a( " S $ ' . a( " S $ a

'S $ a( . 'S $ ( " S $ 'a . ( " S $ a

⇒ 'S $ ( . 'S $ a( " 'S $ a( . 'S $ ( " S $ a

<. =istributi3 perkalian '.( terhadap penjumlahan '$( di R!S

isalkan a, b, ) R

maka a . 'b $ )( " 'a . b( $ 'a . )( dan 'a $ b( . ) " 'a . )( $ 'b . )( Sehingga


'S $ a( . 4'S $ b( $ 'S $ )(5 " 4'S$a(.'S$b(5 $ 4'S$a(.'S$)(5 'S $ a( .

4S $ 'b $ )(5 " 4S $ 'a . b(5 $ 4S $ 'a . )(5

S $ 4a . 'b $ )(5 " S $ 4'a . b( $ 'a . )(5 S $ 4'a .

b( $ 'a . )(5 " S $ 4a . 'b $ )(5

4S $ 'a . b(5 $ 4S $ 'a . )(5 " S $ a( . 4S $ 'b $ )(5 4'S$a(.'S$b(5 $

4'S$a(.'S$)(5 " 'S $ a( . 4'S $ b( $ 'S $ )(5 dan

4'S $ a( $ 'S $ b(5 . 'S $ )( " 4'S$a(.'S$)(5 $ 4'S$b(.'S$)(5

4S $ 'a $ b(5 . 'S $ )( " 4S $ 'a . )(5 $ 4S $ 'b . )(5 S $ 4'a $b(

. )5 " S $ 4'a . )( $ 'b . )(5

S $ 4'a . )( $ 'b . )(5 " S $ 4'a $b( . )5

4S $ 'a . )(5 $ 4S $ 'b . )(5 " 4S $ 'a $ b(5 . 'S $ )( 4'S$a(.'S$)(5 $

4'S$b(.'S$)(5 " 4'S $ a( $ 'S $ b(5 . 'S $ )(



=engan kata lain, misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu

Ideal dari R, maka R!S disebut Ring Faktor jika

. 'R!S,$( merupakan suatu Grup *omutati3

1. 'R!S,.( merupakan suatu Semigrup!onoid

6. 'R!S,$,.( merupakan distributi3 perkalian terhadap penjumlahan

Contoh 8.1 :

>ila * " #2, 1, & adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 1 dalam ?:.

/unjukan ?:

!* adalah merupakan Ring Faktor.

Penyelesaian :

da dua koset ! Ideal dari Ring ?:, yaitu *

" #2, 1, &

* $ " #, 6, 9&

Sehingga ?:!* " #*, * $ &

Tabel 8.1.Daftar Cayley (?:!* " ?:!#2, 1, &, +) dan (?:!* " ?:!#2, 1, &, .)

/abel ;.. menunjukan penjumlah dan

perkalian unsur-unsur dari ?:!*. Selanjutnya

dari tabel, kita akan membuktikan bah+

?:!* dengan syarat- syarat suatu Ring

merupakan Ring Faktor dari ?:!*. dapun

syarat- syaratnya sebagai berikut

. K K +

1

K K K

K +

1

K K +

1

$ + 1

* * $

+ 1 * $ *



. /ertutup terhadap penjumlahan '$( di ?:!* *,

* $ ?:!* berlaku * $ '* $ ( " * $ '2 $ ( " * $

Sehingga * $ ?:!*

1. ssosiati3 terhadap penjumlahan '$( di ?:!* *,

* $ ?:!*

4* $ '* $ (5 $ '* $ ( " * $ 4'* $ ( $ '* $ (5 4* $

'2 $ (5 $ '* $ ( " * $ 4* $ ' $ (5

'* $ ( $ '* $ ( " * $ '* $ 2(* $ ' $ ( " * $ '2 $ 2( *

" *

Sehingga 4* $ '* $ (5 $ '* $ ( " * $ 4'* $ ( $ '* $ (5 " *

6. danya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan '$( di ?:!* * $

?:!*

'* $ 2( $ '* $ ( " * $ '2 $ ( " * $ '* $

( $ '* $ 2( " * $ ' $ 2( " * $ Sehingga '* $ 2( $ '* $ ( " '* $ ( $ '* $ 2( " * $

. danya unsur balikan atau in8ers terhadap penjumlahan '$( di ?:!* * $

?:!*

'* $ ( $ '* $ '-(( " * $ ' $ '-(( " * $ 2 " * '* $

'-(( $ '* $ ( " * $ ''-( $ ( " * $ 2 " *

Sehingga '* $ ( $ '* $ '-(( " '* $ '-(( $ '* $ ( " * $ 2 " *

9. *omutati3 terhadap penjumlahan '$( di ?:!* *,* $ ?:!*

* $ '* $ ( " '* $ ( $ * *

$ '2 $ ( " * $ ' $ 2( * $

" * $

Sehingga * $ '* $ ( " '* $ ( $ * " * $



:. /ertutup terhadap perkalian '.( di ?:!* *,

* $ ?:!* berlaku * . '* $ ( " * $ '2 . ( " * $ 2 " *

Sehingga * ?:!*

7. ssosiati3 terhadap perkalian '.( di ?:!*

*, * $ ?:!*

4* . '* $ (5 . '* $ ( " * . 4'* $ ( . '* $ (5 4* $

'2 . (5 . '* $ ( " * . 4* $ ' . (5

'* $ 2( . '* $ ( " * . '* $ (* $ '2 . ( " * $ '2 . ( *

" *

Sehingga 4* . '* $ (5 . '* $ ( " * . 4'* $ ( . '* $ (5 " *

;. danya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian '.( di ?:!* *

?:!*

'* $ ( . * " * $ ' . 2( " * $ 2 " * * .

'* $ ( " * $ '2 . ( " * $ 2 " * Sehingga '* $ ( $ * " * $ '* $ ( " * $ 2 " *

<. =istributi3 perkalian '.( terhadap penjumlahan '$( di ?:!* *, *

$ ?:!*

isalkan a " * , b " * $ dan ) " * $

a. 'b $ )( " 'a . b( $ 'a . )(

* . 4'* $ ( $ '* $ (5 " 4* . '* $ (5 $ 4* . '* $ (5 * . 4*

$ ' $ (5 " 4* $ '2 . (5 $ 4* $ '2 . (5 * $ 42 . ' $(5 " * $ 4'2 . ( $ '2 . (5

* $ '2 . 2( " * $ '2 $ 2( *

" *

Sehingga * . 4'* $ ( $ '* $ (5 " 4* . '* $ (5 $ 4* . '* $ (5 " * @adi,

!"# $ %, + 1& adalah 'erakan sat Ring Faktor



Sebenarnya dari tabel juga kita telah bisa mengetahui bah+a ?:!* adalah

merupakan Ring Faktor, karena hasil dari penjumlahan dan perkalian unsur-unsur ?:!*

menghasilkan unsur-unsur itu sendiri. @adi bila * adalah suatu Ideal dan R adalah suatu

Ring, maka kita dapat menentukan Ring Faktor dari R!* dengan membuat tabel da3tar

Aayley terhadap penjumlahan dan perkalian unsur-unsur dari R!*, yang disebut tabel

Ring Faktor dari R!*.

Ring Faktor

Ring 3a)tor mempunyai kemiripan dengan grup 3aktor.

@ika I ideal dari ring R maka I subring dari R, berarti I juga merupakan ring, sehingga 'I,$(

merupakan subgrup normal dari 'R,$(.

Bimpunan semua koset kiri 'kanan( I dalam R, ditulis sebagai

R!I " #r $ I % r ∈ R&

Cperasi penjumlahan dan pergandaan pada R!I dide3inisikan

0ntuk setiap 'a $ I( , 'b $ I( R!I , dengan a, b R

'a $ I( $ 'b $ I( " 'a $ b( $ I

'a $ I('b $ I( " ab $ I

kan ditunjukkan dulu operasi-operasi tersebut +ell de3ined, artinya

mbil sembarang D $ I , y $ I , DE $ I , yE $ I R!I

jika D $ I " DE $ I ∧ y $ I " yE $ I maka adit

'D $ I( $ 'y $ I( " 'DE $ I( $ 'yE $ I( dan

'D $ I( 'y $ I( " 'DE $ I( 'yE $ I(

*kti :

mbil D $ I " DE $ I ∧ y $ I " yE $ I

*arena I ideal maka D DE, y yE∈ I 'kenapa( , Sehingga



'D DE( $ 'y yE( ∈ I⇔ 'D $ y( 'DE$ yE( ∈ I

⇔ 'D $ y( $ I " 'DE$ yE( $ I

⇔ 'D $ I( $ 'y $ I( " 'DE$ I( $ 'yE $ I(

'D DE(y, DE'y yE( ∈ I, DE, y ∈ R⇔ Dy DEy, DEy DEyE∈ I

⇔ 'Dy DEy( $ 'DEy DEyE( ∈ I

⇔ Dy DEyE∈ I

⇔ Dy $ I " DEyE$ I

⇔ 'D $ I( 'y $ I( " 'DE $ I( 'yE $ I(

/erbukti bah+a operasi penjumlahan dan pergandaan pada R!I tersebut +ell de3ined.

Selanjutnya ditunjukkan bah+a R!I adalah ring, sebagai berikut

. dit 'R!I, $( grup komutati3

a. /ertutup

ambil sebarang a $ I, b $ I ∈ R!I maka a, b ∈ R dan a $ b ∈ R 'kenapa( , sehingga 'a $ I( $

'b $ I( " 'a $ b( $ I ∈ R!I

b. ssosiati3

mbil sebarang a $ I, b $ I, ) $ I ∈ R!I

maka a, b, ) ∈R, dan 'a $ b( $ ) " a $ 'b $ )( 'kenapa(

diperoleh

4 'a$I($'b$I( 5 $ ')$I(

" 4'a$b($I5 $ ')$I(

" 4 'a$b($) 5 $ I

" 4 a$'b$)( 5 $ I

" 'a$I( $ 4 'b$I( $ ')$I( 5

). da elemen netral

mbil e2 $ I " I ∈ R!I dengan e2 elemen netral dalam R,

maka e2 $ I " I adalah elemen netral dalam R!I, sebab



'a $ I( $ I " a $ I dan I $ 'a $ I( " a $ I untuk ∀'a $ I( ∈ R!I

d. Setiap elemen dalam R!I mempunyai in8ers

∀a $ I ∈ R!I maka a, -a ∈ R maka -a $ a " a $ '-a( " e2 ∈ R,

dan a $ I ∈ R!I, sehingga '-a $ I($'a $ I( " '-a $ a($I " e2 $ I " I dan 'a $ I($'-a $ I( " 'a $ '-

a(($I " e2 $ I " I

@adi '-a $ I( adalah in8ers dari 'a $ I(

e. *ommutati3

∀'a $ I(, 'b $ I( ∈ R!I maka a, b ∈ R dan a $ b " b $ a ∈ R sehingga

'b $ a( $ I ∈ R!I dan berlaku

'a $ I( $ 'b $ I( " 'a $ b( $ I " 'b $ a( $ I " 'b $ I( $ 'a $ I(

. 'R!I, . ( tertutup dan asosiati3

a. /ertutup

mbil sebarang 'a $ I(, 'b $ I( ∈ R!I maka a, b ∈ R dan ab ∈ R, sehingga 'a $ I( 'b $ I( " ab $ I

∈ R!I

b. assosiati3

mbil sebarang a $ I, b $ I, ) $ I ∈ R!I maka a, b, ) ∈R,

'a.b(.) " a.'b.)( 'kenapa(

4'a $ I(.'b $ I(5.') $ I( " 4' a.b( $ I 5.') $ I(

" 4'a.b(.)5 $ I " 4a.'b.)(5 $ I

" 'a $ I(. 4'b $ I(. ') $ I(5

1. 'R!I, $ , . ( distributi3



mbil sebarang a $ I, b $ I, ) $ I ∈ R!I maka a, b, ) ∈R, dengan 'a $ b(. ) " a.) $ b.) dan

a.'b $ )( " a.b $ a.)

4 'a $ I( $ 'b $ I( 5 .') $ I( " 4'a $ b( $ I5.') $ I(

" 4'a $ b(.)5 $ I

" 4a.) $ b.)(5 $ I

" 'a.) $ I( $ 'b.) $ I(

" 'a $ I(.') $ I( $ 'b $ I(.') $ I(5

'a $ I(. 4'b $ I( $ ') $ I(5 " 4'a $ I(. 4'b $ )( $ I5

" 4a .'b $ )(5 $ I " 4a.b $ a.)(5 $ I

" 'a.b $ I( $ 'a.) $ I(

" 'a $ I(.'b $ I( $ 'a $ I(.') $ I(5

=ari , 1, dan 6 terbukti bah+a R!I adalah ring , dan selanjutnya disebut ring 3aktor 'qoutient

rings(.

R!I terdiri dari koset-koset kiri 'kanan( dari ideal I dalam R.

=ari pembuktian di atas, tampak bah+a setiap ideal dari suatu ring R pastilah membentuk ring

3aktor R!I.

=e3inisi

isalkan I ideal dari suatu ring R, maka R!I " # r $ I % r ∈ R & merupakan suatu ring yang

disebut ring 3aktor 'qoutient rings( terhadap opersi penjumlahan dan pergandaan yang

dide3inisikan sebagai berikut

∀a $ I, b $ I ∈ R!I,

'a $ I( $ 'b $ I( " 'a $ b( $ I

'a $ I('b $ I( " ab $ I

Aontoh

?1 " #2, , 1, 6, H, & adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 1.

I=J RING F*/CR



P " # 2, : & ?1 ! P " # P, #,7&, #1,;&, #6,<&, #,2&, #9,& &

K " # 2, , ; & ?1 ! K " #K, #,9,<&, #1,:,2&, #6,7,&&

R " # 2, 6, :, < & ?1 ! R " #R,#,,7,2&, #1,9,;,&&

S " # 2, 1, , :, ;, 2 & ?1 ! S " #S, #,6,9,7,<,&&

Documents

makalah struktur aljabar