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Curso: Matemática Material Nー 38 GUヘA TEモRICO PRチCTICA Nコ 38 UNIDAD: GEOMETRヘA RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - チREAS Y VOLレMENES DE CUERPOS GEOMノTRICOS Determinación del plano: Un plano queda determinado por: Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 1). Tres puntos no colineales (fig. 2). Por una recta y un punto no perteneciente a ella (fig. 3). Por dos rectas paralelas (fig. 4). EJEMPLO 1. ソCuál de las siguientes alternativas es FALSA? A) Un plano está determinado por una recta y un punto perteneciente a la recta. B) Un plano está determinado por los cuatro vértices de un cuadrilátero. C) Un plano está determinado por dos rectas perpendiculares. D) Un plano está determinado por dos lados no consecutivos de un rombo. E) Un plano está determinado por los vértices de un triángulo rectángulo. L 1 L 2 P fig. 1 L 1 L 2 P fig. 4 A P B C fig. 2 L 1 A P fig. 3

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  • C u r s o : MatemticaMaterial N 38

    GUA TERICO PRCTICA N 38

    UNIDAD: GEOMETRARECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - REAS Y VOLMENES DE CUERPOS GEOMTRICOS

    Determinacin del plano:Un plano queda determinado por: Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 1).

    Tres puntos no colineales (fig. 2).

    Por una recta y un punto no perteneciente a ella(fig. 3).

    Por dos rectas paralelas (fig. 4).

    EJEMPLO

    1. Cul de las siguientes alternativas es FALSA?

    A) Un plano est determinado por una recta y un punto perteneciente a la recta.B) Un plano est determinado por los cuatro vrtices de un cuadriltero.C) Un plano est determinado por dos rectas perpendiculares.D) Un plano est determinado por dos lados no consecutivos de un rombo.E) Un plano est determinado por los vrtices de un tringulo rectngulo.

    L1

    L2

    Pfig. 1

    L1L2

    Pfig. 4

    APB C

    fig. 2

    L1A

    Pfig. 3

  • 2DEFINICIONESPOLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o ms polgonos donde cada polgono se denomina cara,sus lados son aristas y la interseccin de las aristas se llaman vrtices.

    PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polgonoscongruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).NGULO DIEDRO: Es el ngulo formado por dos semiplanos P1 y P2, que tienen una aristacomn y su medida es el ngulo formado por dos rectas L1 y L2 perpendiculares a la arista enun mismo punto, de modo que L1 pertenezca a P1 y L2 pertenezca a P2.

    EJEMPLOS1. Cunto mide el ngulo diedro formado por los planos P1 y P2 que se cortan

    perpendicularmente en la figura 1?

    A) 30B) 45C) 54D) 90E) 108

    2. Cunto mide el ngulo diedro formado por las caras laterales del prisma de la figura 2,cuya base es un pentgono regular?

    A) 30B) 45C) 54D) 90E) 108

    Arista

    P1

    Semiplanos

    P2

    fig. 1

    P1

    P2

    Arista

    Vrtice

    Cara

    fig. 2

    ngulodiedroP1

    P2

  • 3CUERPOS GENERADOS POR ROTACIN O TRASLACIN DE FIGURAS PLANASCUERPOS DE REVOLUCINLos cuerpos de revolucin se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje

    ESFERA CILINDRO CONO TRONCO DE CILINDRO CONCONO DOS CONOS

    TRASLACIN: Se generan por traslacin de una superficie plana:

    EJEMPLOS

    1. Dado un tringulo ABC, rectngulo en C (fig. 1). Cul es el cuerpo generado por larotacin de dicho tringulo en torno a su hipotenusa?

    A) B) C) D) E)

    2. En la figura 2, se muestra un cuerpo de revolucin. Este cuerpo puede ser generado por larotacin de la regin

    I) II) III)

    A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) Slo I y III

    fig. 2

    eje de giro

    fig. 1

    A B

    C

    Prisma pentagonalPrisma trapezoidal Prisma hexagonalPrisma triangular Cilindro circular recto

  • 4CUADRO RESUMEN DE REAS Y VOLMENES DE CUERPOS GEOMTRICOS

    NOMBRE FORMA REA VOLUMEN

    PARALELEPPEDORECTANGULAR 2(ab + bh + ah) a b h

    CUBO 6a2 a3

    PRISMA RECTORECTANGULAR

    h(a + b + c)+ 2BB = rea basal Bh

    CILINDRO RECTOBASE CIRCULAR 2rh + 2r2 r2 h

    PIRMIDE RECTABASE CUADRADA

    2ag + a2g = apotema

    lateral21 a h3

    CONO RECTO BASECIRCULAR rg + r

    2

    g= generatriz21 r h3

    ESFERA 4r2 34 r3

    h

    ba

    aa

    a

    r

    Volumenrea de la basepor la altura

    Volumenrea de la basepor la altura

    dividido por tres

    rh

    cba

    hB

    aa

    gh

    rh g

  • 5EJEMPLOS

    1. El rea de la esfera cuyo radio mide 6 cm es

    A) 288 cm2B) 144 cm2C) 72 cm2D) 36 cm2E) 16 cm2

    2. Cul es el volumen del cono generado por la rotacin de un tringulo rectngulo issceles,en torno a uno de sus catetos de longitud 3 cm?

    A) 3 cm3B) 6 cm3C) 9 cm3D) 27 cm3E) Se requiere informacin adicional

    3. Cul es el rea y el volumen del prisma recto de base triangular de la figura 1, cuyasaristas miden 2 cm?

    rea Volumen

    A) 6 + 3 cm2 3 cm3B) 12 + 3 cm2 3 cm3C) 12 + 2 3 cm2 3 cm3D) 12 + 2 3 cm2 2 3 cm3E) 12 + 2 3 cm2 4 3 cm3

    fig. 1

  • 6 1 1 1A x ,y ,z 2 2 2B x ,y ,z

    PUNTOS EN EL ESPACIOEn la figura 1 observamos tres ejes X(abcisa), Y(ordenada), Z(cota) mutuamenteperpendiculares que generan tambin tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ.El paraleleppedo del dibujo, tiene tres de sus vrtices en los ejes, en tanto que el punto K esten el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A estsuspendido en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene coordenadas(a, b, c).

    Observaciones: Dados los puntos Distancia entre dos puntos:

    Coordenadas del punto medio: 1 2 1 2 1 2x x y y z z, ,2 2 2

    Vector AB: 2 1, 2 1, 2 1x x y y z z EJEMPLOS

    1. Cul es la distancia entre el origen de coordenadas y el punto (1, 1, 1)?A) 1B) 3C) 2D) 3E) 33

    2. En la figura 2, las coordenadas de los vrtices A, B y C del cubo son, respectivamente,(3,0,0), (3,3,0) y (0,0,3), entonces cul son las coordenadas del vrtice D?

    A) (3,3,0)B) (3,3,3)C) (3,0,3)D) (0,3,3)E) (0,0,3)

    Z

    Y

    XM

    Ac K

    L

    ba

    fig. 1

    212212212AB zzyyxxd

    Z

    Y

    XB

    DC fig. 2

    A

  • 73. Las coordenadas de los puntos P, Q y R de la figura 3 est representada porA) (5,0,4) , (0,4,7) , (5,7,0)B) (5,0,4) , (0,7,4) , (0,5,7)C) (5,0,4) , (0,7,4) , (5,7,0)D) (5,0,4) , (7,0,4) , (5,7,0)E) (0,4,5) , (0,7,4) , (4,0,0)

    4. En el cubo de la figura 4, la arista es 4 cm y un vrtice est en el origen (0, 0, 0). Si elpunto A tiene coordenadas (4, 2, 0) y cada arista se ha dividido en cuatro partes iguales,cules son las coordenadas del punto B?

    A) (3, 3, 3)B) (4, 3, 4)C) (3, 4, 3)D) (3, 4, 4)E) (4, 3, 3)

    5. En un cubo de arista a se inscribe un tringulo como muestra la figura 5. Entonces, eltringulo es

    A) equiltero.B) rectngulo issceles.C) rectngulo escaleno.D) issceles obtusngulo.E) escaleno no rectngulo.

    6. En la figura 6, el cubo tiene de arista 4 cm. Cules son las coordenadas del centro degravedad (punto de interseccin de las diagonales) del cubo?

    A) (0, 0, 0)B) (4, 4, 4)C) (2, 2, 0)D) (0, 0, 2)E) (2, 2, 2)

    B

    Ax

    y

    zfig. 4

    x

    y

    zfig. 6

    44

    4

    P

    R

    Q

    X

    4

    7

    5

    Z

    Y

    fig. 3

    fig. 5

  • 8RESPUESTAS

    DMTRMA38

    EjemplosPgs. 1 2 3 4 5 6

    1 A2 D E3 A E5 B C D6 D B7 C B A E

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