Modul bentuk pangkat

MENGGUNAKAN ATURAN PANGKAT DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN

====================================================

1. BILANGAN BERPANGKAT

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Bentuk bilangan berpangkat ini merupakan salah satu cara untuk menyederhanakan penulisan bilangan-bilangan tersebut, terutama dalam kaitannya dengan perhitungan-perhitungan, misalnya mata pelajaran fisika, kimia, ekonomi dan sebagainya. Untuk lebih jelas tentang bilangan berpangkat, perhatikan pernyataan berikut ini, setelah anda mengetahui sifat-sifat dan aturannya diharapkan anda dapat menggunakan atau menerapkan dalam memecahkan permasalahan yang sedang dihadapi.

Pernyataan “ 2 x 2 x 2 x 2 “ diartikan perkalian berulang bilangan 2 sebanyak 4 faktor dan dinotasikan dengan “ 24 “ dibaca “ 2 pangkat 4 “

2 x 2 x 2 x 2 = 16 ... (1) ⇒ hasil perhitungan2 x 2 x 2 x 2 = 24 ... (2) ⇒ notasi perkalian berulang

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa nilai dari 24 = 16

Untuk sebarang bilangan real a dan bilangan bulat n, maka an didefinisikan sebagai

an = a x a x a x ... x a

sebanyak “ n “ faktor

an disebut bilangan berpangkat, dengan : a adalah bilangan pokok n adalah pangkat dari a

1

Kegiatan Belajar 1

1.1 Mengulang sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif dan nol

Jika a ∈ R dengan n dan m bilangan bulat positif , maka berlaku

Sifat 1 : an x am = a n + m

Contoh 1 : Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa

a. 24 x 23 = 27

b. 56 x 53 = 59

Penyelesaian :

24 x 23 = ( 2 x 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

= 27

Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh

56 x 53 = ( ... x ... x ... x ... x ... x ... ) x ( ... x ... x ... ) = ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... = ...

Jika a ∈R, a ≠ 0 dengan n > m bilangan bulat positif, maka berlaku

Sifat 2 : m

n

aa = an– m


a. 3

5

22 = 22 b. 4

7

55 = 53

Penyelesaian :

a. 3

5

22 = 2x 2x2

2x 2x2x2x2

= 2 x 2

2

= 22


b. 4

7

55 = ...x ...x...x...

...x ...x...x...x...x...x...

= ... x ... x ... = . . .

....

Jika a ∈ R dengan n dan m bilangan bulat positif , maka berlaku

Sifat 3 : ( an )m = a n m

Contoh 3 :

Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa

a. ( 23 )4 = 212 b. ( 52 )3 = 56

Penyelesaian :

a. ( 23 )4 = ( 23 ) x (23 ) x ( 23 ) x ( 23 ) = ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 212


b. ( 52 )3 = ( ... ) x ( ... ) x ( ... ) = ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ...) = ... x ... x ... x ... x ... x ... = ..... ....

Jika a,b∈R dengan n dan m bilangan bulat positif, maka berlaku

Sifat 4 : (a x b)n = an x bn


a. ( 2 x 5 )3 = 23 x 53 b. ( 3 x 7 )4 = 34 x 74

Penyelesaian :

a. ( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 )

3

= ( 2 x 2 x 2 ) x ( 5 x 5 x 5 ) = 23 x 53


b. ( 3 x 7 )4 = ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ... ) = ( ... x ... x ... x ... ) x ( ... x ... x ... x ... )

= .... ... x .... ...

Jika a,b∈R dan b ≠ 0 dengan n bilangan bulat positif , maka berlaku

Sifat 5 : n

ba

= nb

na


a. 3

25

= 3

3

2

5 b. 5

32

= 5

5

32

Penyelesaian :

a. 3

25

=

25 x

25 x

25

=

2x2x25x5x5

= 3

3

2

5


5

32

= ( )

...

... x ( )...... x ( )

...

... x ( )...... x ( )

...

...

=

...x...x...x...x...

...x...x...x...x...

= ......

Pangkat nol dari suatu bilangan

Sifat 6 : Untuk setiap a∈R dan a ≠ 0, berlaku a0 = 1

4

Contoh 6 :

Tunjukkan bahwa 4

4

33 = 30 = 1 ,

a. Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan

b. Dengan menggunakan sifat pembagian bilangan berpangkat

Penyelesaian :

a. 4

4

33 = 3x3x3x3

3x3x3x3 = 1

b. 4

4

33 = 3 4 – 4 = 30

Dari ( a ) dan ( b ) diperoleh bahwa : 30 = 1

Lengkapi jawaban di bawah ini, seperti contoh

a. 5

5

66 = ...x...x...x...x...

...x...x...x...x... = ...

b. 5

5

66 = .... .... – .... = ...

Dari ( a ) dan ( b ) diperoleh bahwa : 60 = 1

Catatan : 00 tidak terdefinisi

LATIHAN 1

5

1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat

a. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 c. (x – 2) x (x – 2)

b. n x n x n x . . . x n d. (a + b) x (a + b) x {–(a + b)} m faktor

2. Dengan menuliskan faktor-faktornya, nyatakan setiap soal di bawah ini dalam bentuk paling sederhana.

a. 33 x 35 c. 5c3 x 3c2

b. –23 x 22 d. –4y5 x 2y2

3. Bilangan manakah yang mempunyai nilai paling besar 2175 atau 575

4. Dengan menuliskan faktor-faktornya, nyatakan setiap soal di bawah ini dalam bentuk paling sederhana.

a. 2

5

3

3 c. 3

6

4

8

p

p−

b. 2

3

4

4− d. 2

3

3

9

c

c

−−

5. Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat di bawah ini.

a. ( 2a2 )4 e. {– (c2 d 3 )}2 i. 410

265

2

4

y

zy

b. 2(a 2 )4 f. (– 2 x 3 y2 )3 j. 3

2

2

3

2

b

a

c. (–3k 3 )2 g. 3

3

2

b

a k. 2

96

128

yx

yx

d. – ( 2k 3 )3 h. 33

65

ca

cal.

5

24

75

cb

ba

Apabila Anda telah selesai mengerjakan soal-soal latihan 1, cocokan jawaban Anda dengan kunci jawaban di bawah ini.

6

Catatan : jangan membaca/melihat jawabannya sebelum Anda mencoba menjawab.

JAWABAN LATIHAN 1

1. a. 56 2. a. 38 3. 2175 = ( 27 )25 = 12825

b. nm b. –25 575 = ( 53)25 = 12525

c. (x – 2)2 c. 15c5 Jadi nilai 2175 lebih besar

d. – (a + b)3 d. –8y7 dibanding nilai dari 575

4. a. 33 5. a. 16a 8 e. c4 d 6 i. y 2 z 2

b. – 41 = – 4 b. 2a 8 f. –8x 9y 6 j. 6

6

27

8

b

a

c. –2p 3 c. 9k 6 g. 9

6

b

a k. x 4y 6

d. 3c d. –8k 9 h. a2c3 l. 10

1525

c

ba

Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas ? Jika ya, berarti Anda paham, bagus ! Apabila pekerjaan Anda belum sama dengan jawaban di atas, segeralah samakan. Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman Anda atau tanyakan kepada guru pada saat tatap muka. Bangkitkan semangat belajar Anda.

1.2. Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya

7

Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif juga berlaku pada bilangan berpangkat bulat negatif atau berpangkat nol kecuali 0n = 0. Untuk bilangan bulat positif n , 0–n tidak terdefinisi

Untuk setiap a∈R, a ≠ 0 dan n bilangan bulat, berlaku

Sifat 7 : a– n = na1 atau a n = na −

1

Untuk pembuktian secara intuitif dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan dan menggunakan sifat operasi aljabar pembagian pada bilangan berpangkat, kita dapat menyatakan bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

Perhatikan operasi aljabar pembagian bilangan berpangkat berikut :

6

4

55 = 5x5x5x5x5x5

5x5x5x5 = 25

1 ... definisi bilangan berpangkat (1)

6

4

55 = 5 4 – 6 = 5– 2 ... sifat operasi bagi bil. pangkat (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa : 5– 2 = 251

Lengkapi jawaban di bawah ini, seperti contoh

4

3

66 = ...x...x...x...

...x...x... = ... ... (1)

4

3

66 = .... .... – .... = ... ... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa : ... ... = ...

Perhatikan barisan bilangan di bawah ini

... , 16 , 8 , 4 , 2 , 1 , 21 , 4

1 , 81 , 16

1 , ...

... , 24 , 23 , 22 , 21 , 20 , 2–1 , 2–2 , 2–3 , 2– 4 , ...

Untuk setiap suku dari barisan bilangan pecahan di atas, dapat dinyata kan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat negatif , sebagai berikut :

2–1 = 21

2– 2 = 22

1 = 41

8

2– 3 = 32

1 = 81

2– 4 = 421 = 16

1 dst.

Nyatakan dalam bentuk pangkat tiap-tiap suku dari barisan bilangan di bawah ini dengan bilangan pokok 10... , 10.000 , 1.000 , 100 , 10 , 1 , 10

1 , 1001 , 000.1

1 , 000.101 , ...

... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ...

Bilangan positif kecil dan besar dengan pokok 10 , seperti :

10–1 , 10– 2 , 10– 3 , 10– 4 , ... disebut bentuk baku bilangan kecil

1 , 10 , 100 , 1.000 , 10.000, ... disebut bentuk baku bilangan besar

Bentuk umum bilangan baku ditulis : a x 10n , 1≤ a ≤ 10 dan n∈B

Contoh 7 : Nyatakan dalam bentuk baku dari bilangan-bilangan di bawah ini

a. 145.000.000 c. 5,25 x 0,0000064

b. 0,0000096 d. 750.000.000 : 15.000

Penyelesaian :

a. 145.000.000 = 1,45 x 108

b. 0,0000096 = 9,6 x 10–6

c. 525 x 0,0000064 = 5,25 x 102 x 6,4 x 10–6 = 33,6 x 10–4 = 3,36 x 10–3

d. 750.000.000 : 15.000 = 7,5 x 108 : 1,5 x 104 = 5 x 104

Pangkat Pecahan dari suatu bilangan

Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif , nol dan negatif juga berlaku pada bilangan berpangkat rasional pecahan.

Bentuk umum pangkat pecahan dari suatu bilangan ditulis

9

nm

a , untuk a ∈ R dengan m dan n bilangan bulat

Contoh 8 :

Nyatakan bilangan pangkat di bawah ini dalam bentuk paling sederhana

a. 21

16 c. 32

125 e. 32

63 )8( yx

b. 51

)243(− d. 21

62 )4( −ba

Penyelesaian :

a. 21

16 = 21

2 )4( = 4

b. 51

)243(− = 51

5 )3(− = – 3

c. 32

125 = ...... )5( = ...... = ...

d. 21

62 )4( −ba = 21

622 )2( −ba = .............

e. 32

63 )8( yx = .........32

......... .........).........( =

= ..............

3. OPERASI ALJABAR PADA BENTUK PANGKAT

10

Pada bagian ini akan dibahas berbagai persoalan yang berkaitan dengan bilangan berpangkat positif, nol, negatif dan pecahan. Dalam melakukan operasi aljabar pada bilangan berpangkat, kita dapat memilih dan menggunakan sifat-sifat mana yang cocok digunakan untuk menyelesaikan persoalan yang sedang dihadapi. Perhatikan beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya.

Contoh 9 :

Tentukan nilai x, y, z dari ( )

( ) 35

44

)12(.

.)75(

43

1615

= 2x 3 y 5z

Penyelesaian :

( )

( ) 35

44

)12(.

.)75(

43

1615

= 2x 3 y 5z

⇔ 3

5

44

)(.

.)(

4343

44

53253

x

x

xx

= 2x 3 y 5z

⇔ 32

5

2

4

442

)(.

.)(

232

3

2

5353

x

xx

= 2x 3 y 5z

⇔

10

635

16

4484

2

2

2

5353

33 xx

xxx

= 2x 3 y 5z

⇔

68

10

16

128

23

2

2

53

x

x = 2x 3 y 5z

⇔ .5.3.2 12012− = 2x 3 y 5z

Jadi nilai x = –12 , y = 0 dan z = 12

Contoh 10 :

Sederhanakan bentuk operasi aljabar bilangan berpangkat di bawah ini.

11

a. (– 2ab– 3 )2 ( 3a – 2b 7 ) c. 2

12222

:

)()(−

−+

nn

nn

aa

aa x

b.3

1

2

32

−

−

ba d. 22

11

−−

−−

−−

yx

yx, Jika x + y ≠ 0

Penyelesaian :

a. (– 2ab– 3 )2 ( 3a – 2b 7 ) = ( 4a 2b – 6 )( 3a – 2 b 7 )

= 12 a 2 – 2 b 7 – 6

= 12b

b. 3

1

2

32

−

−

ba = 33

63

3

2−

−

b

a = 3

6

27

8−

−

b

a = 6

3

27

8

a

b

c. 2

12222

:

)()(−

−+

nn

nn

aa

aa x = )2(

2442

−−

−+

nn

nn

a

aa x= 2

26

a

a n + = a6n

d. 22

11

−−

−−

−−

yx

yx=

2211

11

yx

yx

−

−

= 22

22

yx

xy

xyxy

−

−

=

−

−

22

22

xy

yxxy

xy

=

+−

−

))(()( 2

xyxyxy

xyxy

= yxxy+

LATIHAN 2

1. Tulislah dalam bentuk 3–n : 91 , 81

1 , 7291

2. Tulislah nilai bilangan berpangkat di bawah ini :

a. 40 , 4–1 , 4– 2 , 4– 3 c. 321

32

32

32 ,,

−−−

b. 20 , 2–4 , 221− , 52

1−

12

3. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif dan sederhanakan.

a. 4– 2 c. 2a– 5 e. 421

−x

b. x – 8 d. (2a)–2 f. 221 −x

4. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif dan sederhanakan

a. 32 x 3– 3 c. 5– 2 x 2– 4 e. ( 5x– 2 )– 3

b. 34 x 2– 3 d. 2–2 x 2– 3

5. Sederhanakan dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif

a.2

2

2

77

−

−b.

2

2

4

33

−

c.

3

3

2

54

−

yx d.

2

22

22

32

−−

−

ba

6. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam bentuk pangkat negatif

a. 63

25

yaya

b. 2610

25

24

zyy

c. 2

4

3

ba d. 26

24

2 yxyx −

7. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam bentuk pangkat positifa. ( 2– 2 + 2–1 + 20 ) –2 d. (–2ab– 3 )( 3a2b–2 )

b.5

:37

25

24

80

81

15

16x

e. 2531

yx−

c.2

4

3

−

−

ba

8. Nyatakan dalam bentuk baku dari bilangan-bilangan di bawah a. 25 : 6.250.000.000 b. 480.000.000 x 25.000.000

Apabila Anda telah selesai mengerjakan soal-soal latihan 2, cocokan jawaban Anda dengan kunci jawaban di bawah ini.

Catatan : jangan membaca/melihat jawabannya sebelum Anda mencoba menjawab.

JAWABAN LATIHAN 2

1. 3–2, 3–4 , 3–6

2. a. 1, 41 , 16

1 , 641 b. 1, 16

1 , 4, 32 c. 23 , 4

9 , 827

3. a. 241

= 161 b. 8

1x c. 5

2a

d. 2)2(1a = 24

1a e.

24x = 4

21 x f. 22

1x

13

4. a. 3– 1 = 31 b. 32

43 = 881 c. 2542

1= 400

1

d. 521

= 321 e. 35

6x =125

6x

5. a. 1 b. 431

c. 9612564

yx

d. 4

44342

a

b = 4

446

a

b

6. a. 42

ya = 2

4

−−

a

y b. 24 −− zy c. 6

8−−

ab

d. 2

42 −− yx

7. a. ( 41 + 2

1 +1)–2 = ( 47 ) –2 = 49

16 b. 2105123272

105123282 =

c. 68

ab d. –6a3b–5 = 5

36b

a− e. 23

5

yx

8. a. 4 x 10-8 b. 1,2 x 1016

Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas ? Jika ya, berarti Anda paham, bagus ! Apabila pekerjaan Anda belum sama dengan jawaban di atas, segeralah samakan. Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman Anda atau tanyakan kepada guru pada saat tatap muka. Bangkitkan semangat belajar Anda.

TUGAS 1

1. Tentukan nilai a,b,c,d dari

dcba 7532)125()42()14(

)28()234

42345( =××

×

2. Sederhanakan bilangan berpangkat di bawah ini

a. 2

)1213

31212

25

252.5

(

)(−−

+−

×

×nn

nnn

b. 2

2)

1212

311212

53

5353

(

))((−

×

××+−

+−+−

nn

nnnn

14

c. 3

1

22

2

11

1

1..

−

−

−

−−

− x

x

x

x

x

3. Nyatakan dalam bentuk baku

2

8

000.640

125128

000.1000.100

x

x

4. Berapa digitkah bilangan berpangkat di bawah ini apabila dituliskan dalam bentuk bilangan tidak berpangkat.

a. 210 x 1010 c. 50

4

1028

5

8

x

b. 418 x 5 29

5. Angka satuan manakah yang ditunjukkan oleh bilangan berpangkat a. 777333 b. 31001 x 71002 x 131003

c. 1183281

6. Diketahui bilangan berpangkat A=20022002 , B = 20012002+ 20022001

Bilangan manakah yang nilainya paling besar antara A dan B

15

Education

Modul bentuk pangkat