Faktorisasi 1`

  • View
    490

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Teori Graf

Text of Faktorisasi 1`

faktor-1isasi NurulHanifah 1000057 Eka Arifani Putri 1002444 Ghea Novani 1002514 Putri Noviyandari 1003399 Ishma Fadlina Urfa 1005324 Ogi Jayaprana 1006667 Isi Pendahuluan Teorema 9.1 Teorema 9.2 Teorema 9.3 Teorema 9.4 faktor MisalkanGmerupakanGrafteratur. Faktor adalah subgraf merentang dari G yang tidak selalu terhubung. SyaratagarGrafGmempunyaifaktor yaituGgrafteraturdanmempunyai sebanyak 2n simpul faktor-1 himpunansisidimanasetiapsimpul diGdihubungkantepatdengansatu sisi Faktorisasi-1darigrafGmerupakan gabungan dari faktor-1 faktor-1 Gi. Jika himpunan sisi E(G) dari graf G didekomposisikankedalamsisi sisiyangtidakjointkgrafteratur sebagai Dimana NF F F G E= ... 2 ) (1| = J IF Fj i = MenurutMardiyono(1997:6) faktor-1darigrafGadalahgraf bagianteraturdanberderajatsatu yang memuat semua simpul G. Dengandemikianjikasuatugraf memilikifaktor-1atauperfect matching,makabanyaknyasimpul harusgenap.Tetapihalinitidak menjaminberlakusebaliknya.Suatu grafGyangbanyaknyasimpulgenap tidak menjamin adanya faktor-1. Karena faktor-1 tidak mengandung sisi rangkap maupun loop, batasan graf yang dipakai di sini adalah graf sederhana faktor-1 pertama kali dicetuskan oleh W.T Tutte Tujuanmempelajarifaktorisasiini salahsatunyaadalahuntukmelakukanpewarnaanterhadap sisi Atau juga dalam skema pertandingan olahraga atau sebagainya Lemma Misalkan G graf umum dan S V(G). Maka odd(G-S) + |S| |G| (mod 2) Jika G berorder genap, maka odd(G-S) |S| (mod 2) dan odd(G-v) 1, v V(G) Bukti: Misal C1, C2, ..., Cm adalah komponen-komponen ganjil dari G-s, danD1, D2, ..., Dr adalah komponen-komponen genap dari G-s dengan m = odd(G-s). Maka |G|=|S|+|C1|+...+|Cm|+|D1|+...+|Dr||S|+m(mod 2) Jadi, terbukti bahwa odd(G-S) + |S| |G| (mod 2) danodd(G-S) |S| (mod 2) adalah akibat langsung. Teorema SebuahgrafsederhanaGberordergenap mempunyaifaktor-1jikadanhanyajikauntuk setiapsubsetSdariV(G),banyaknyakomponen faktor-kritikaldari(G-S)kurangdariatausama dengan |S| Bukti: () Terbukti menurut Teorema Faktor-1 (Tutte) karena setiap komponen faktor-kritikal dari G-S adalah komponen ganjil dari G-S. () Misalkan G graf sederhana berorder genap dan berlaku untuk setiap subset S dari V(G), banyaknya komponen faktor kritikal dari G-S kurang dari/sama dengan |S|; namun G tidak mempunyai faktor-1. Maka menurut Teorema Faktor-1, terdapat subset X V(G), X sedemikian sehingga odd(G-X) > X, yang artinya X V(G). Ambil subset maksimal S V(G), S sedemikian sehingga odd(G-S)>|S|. Maka odd(G-Y)|Y|, SYV(G) .... () Pertama-tama harus ditunjukkan bahwa G-S tidak mempunyai komponen genap, karena jika punya, untuk sebuah titik v dari sebuah komponen genap G-S, kita dapatkan (dari Lemma 1.4.1) odd(G-(S{v})) odd(G-S)+1 > |S| + 1 = |S{v}| yangmana bertentangan dengan () Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa setiap komponen ganjil dari G-S adalah faktor-kritikal. Misal C sebuah komponen ganjil dari G-S dan v sebarang vertex dari C. Maka untuk setiap T V(C-v), berdasarkan () |S|+1+|T| odd(G-(S {v} T)) = odd(G-S) 1 + odd(C-({v}T)) > |S| 1 + odd((C-v)-T) Oleh karena itu odd((C-v)-T) < |T|+2, yang artinya odd((C-v)-T) < |T| menurut Lemma. Ini berarti pula C-v mempunyai faktor-1 (menurut Teorema Faktor-1) dan C adalah faktor-kritikal. Akibatnya kita peroleh: Banyaknya komponen faktor kritikal dari G-S = odd(G-S) > |S|. Kontradiksi dengan pemisalan. Jadi, teorema terbukti. Teorema 9.1 Eksistensi faktorisasi-1 dalam graf lengkap K2n telah ditunjukkan oleh Wallis (Wallis, 1987, hal : 117). Eksistensi faktorisasi-1 tersebut disajikan pada Teorema 9.1 berikut ini . Graf sempurna K2n mempunyai faktorisasi-1 BUKTI Misal graf G memiliki simpul-simpul yang dinotasikan dengan dan himpunan-himpunan dari garis(sisi)

Dimana dan dinyatakan sebagai salah satu bilanganmod (2n-1). Perhatikan bahwa mudah dilihat sebagai partisi-partisi yang tepat dari X nv v v2 2 1,..., ,{ } { } 1 ,..., 3 , 2 , 1 ;2 ==+ n j v v v v Xj i j i n i ij i + j i ) 1 2 ( ,..., 2 , 1 n{ }iX Maka penjumlahan dari subgrafyang didenotasikan denganmerupakan faktorisasi-1 dari K2niGiXK6 G1 G2 G3 G4 G5 Faktorisasi-1 dari K6 Teorema 9.2 Setiap graf bipartit teratur mempunyai faktor-1isasi Bukti:Diberikan G adalah sebuah graf bipartit teratur berderajat n. Akan dibuktikan Gadalah 1-factorable. Kita ketahui bahwa G memiliki 1faktor. Jika kita menghapus titik tersebut, maka akan terbentuk graf baru, G*, dimana G* juga merupakan graf bipartit teraturberderajat (n-1) dan kita dapat menemukan faktor-1 di G*. Lanjutkan hinggamembentuk graf bipartit teratur berderajat 1. Maka, graf tersebut adalah 1faktor.Lalu, jika kita menggabungkan semua 1faktor yang telah terbentuk, makaakan menjadi G. Dengan kata lain, G adalah faktor-1able. ( Terbukti ). Teorema Faktor critical G disebut faktor critical jika G-v mempunyai faktor-1 Faktor critical : mempunyai jumlah simpul ganjil, terhubung, dan bukan merupakan graf bipartit. Teorema Graf sederhana G dengan banyak simpul genap mempunyai faktor-1 jika dan hanya jika untuk setiap subset S dari V(G), banyaknya komponen faktor-critical dari G-S kurang dari sama dengan|S|. BUKTI 2-connected Grafterhubungyangtidak mempunyaititikpemotong. Disebutjuganon-separable atau block. Suatugrafyang2-connected dapatdisajikankedalam bentukdimanamerupakansiklus dan tiap merupakan lintasan rP P P G + + + = ...2 11PiP Yang menghubungkan dua titik yang berbeda dari dimana tidak memiliki titik yang sama dengan1 1...+ +iP P1 1...+ +iP PTeorema 9.3 Jika G merupakan 2-connected graf yang mempunyai faktor-1 maka G mempunyai setidaknya dua faktor-1 yang berbeda BUKTI Dari dua slide sebelumnya, dari teorema Kotzig dan Beineke & Plummer dimana kebanyakan graf tidak memiliki tepat satu faktor-1 Gambar block Teorema Tutte[138] Graf G mempunyai 1-faktor jika dan hanya jika Odd (G-S) Bukti: Kita asumsikan Graf tersebut merupakan graf sederhana Asumsikan G mempunyai 1-faktor dan = S V (G), dan C1, C2, . . ., Cm komponen ganjil dariG S,dimana m = odd(G S). Kemudian untuk setiap komponen ganjil Ci dari GS, ada setidaknya satu sisi di F yang menghubungkan Ci ke S odd(G S) = m eF (C1 C2 Cr, S) |S|. Kita akan membuktikan dengan induksi di |G|. Dengan S = , Kita punya odd(G) = 0, yang mengakibatkan tiap komponen di g adalah genap. Jika G tidak terhubung maka untuk setiap komponen di G memenuhi (1.10), dan G mempunyai faktor-1 yang didapat dari hipotesis induktif. and so it has a 1-factor by the inductive hypothesis. Hence G itself has a 1-factor. Therefore we may assume that G is connected and has even order. It follows from the above Lemma 1.4.1 and (1.10) that odd(G {v}) = |{v}| = 1. Let S be a maximal subset of V (G) with the property that odd(G S) = |S|. Then = S V (G) and Soal 9.1 cari banyaknya 1-faktorisasi dari K6! 9.2 Perlihatkan faktorisasi-1 dari K8!