7mo Foro

1. ¿Cómo hallar la ecuación de una recta que pasa por (a, k) usando el criterio de las derivadas (la

que incluso podría ser de una función exponencial?

Solución.

Si f:I R es una función derivable en el punto x=a, (a , entonces la ecuación de la recta

tangente a la grafica de f en el punto P(a, k) es dado por:

y−k=k '∗(x−a)

Si k’≠0,entonces la ecuación de la recta normal que pasa por el punto P(a,k), es dado por:

Ln : y−k=−1k '

∗(x−a)

Para el caso k’=0, la ecuación de la recta

normal es: x=a

Llamaremos longitud de la recta tangente, al

segmento de la tangente comprendida entre

el eje X y el punto de tangencia y

denotamos como:

Lt=d (A , P)

Llamamos longitud de la subtangente al

segmento AB que es la proyección

ortogonal del segmento AP sobre el eje x, al

cual denotamos como:

Lst=d (AB)

Llamaremos longitud de la subtangente al segmento BC que es la proyección ortogonal del

segmento PC sobre el eje OX.

De la ecuación de la recta tangente Lt : y−k=k'∗(x−a)

Calculamos el punto de la intersección A con el eje X, para y=0 , entonces:

x=a− kk '

A (a−k

k ',0)

Como el punto de tangencia es P(a,k)

Lt=d (A ,P )=|kk '|∗√1+(k ')2=Longitud de la recta tangente

Lst=d (A ,B )=| kk '|=Longitud de la subtangente

De la ecuación normal: Ln : y−k=−1k '

∗(x−a)

Calculamos el punto C, de la intersección con el eje X

Para y= 0 -> x=a+k∗k ' para C (a+k∗k ' ,0¿

Ln=d (P ,C )=|k|∗√1+(k ')2: Longitud de la Normal

Lsn=d (B ,C )=|k∗k '|=Longitud de la subtangente

2. ¿Cómo se interpreta la razón de cambio en economía?

El costo marginal, el ingreso marginal y la utilidad marginal, son...

Solución.

Las razones de cambio en el campo de la economía, no se miden con el respecto al tiempo; por

ejemplo los economistas se refieren al beneficio marginal, ingreso marginal y costo marginal, como

las razones de cambio de beneficio, ingreso y costo respecto al numero de unidades producidas o

vendidas.

La ecuación que relaciona estas tres cantidades es:P ( x )=R ( x )−C( x)

Donde: P ( x )=beneficio total , R ( x )=ingresototal ,C ( x )=costo total

Ahora la derivada de cada una de estas da los marginales usados en la economía.

dPdx

=beneficiomarginal , dRdx

=ingresomargianl , dCdx

=Costomarginal

Costo Marginal: El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidad

adicional de un producto o servicio.

Ingreso Marginal: De manera análoga a la definición de costo marginal se puede definir el ingreso

marginal, que es el ingreso adicional obtenido por la venta de una unidad más de un producto o

servicio.

Beneficio Marginal: La ganancia o beneficio marginal es la diferencia que existe entre el ingreso

marginal y el costo marginal.

3. ¿Cómo hallar la anti derivada de una función? recuerde las propiedades básicas y técnicas

elementales la antiderivada del costo, ingreso y utilidad marginal es....

Solución.

Los economistas sostienen que algunas veces es más fácil obtener los datos que reflejan los

incrementos ocacionados en los costos, ingresos y utilidades, obtenidos con la producción y venta

adicional de un determinado artículo, es por esta razón que no es posible determinar directamente

las funciones costo, ingreso y beneficio total a las que corresponden dichos datos, pero se pueden

conocer la funciones costo, ingreso y utilidad marginal a las que corresponden, de esta manera se

pueden determinar las funciones costo e ingreso total de la siguiente manera.

C (x)'=dCdx, I ( x)'=dI

dx,U (x )'=dU

dx

Luego al integral tenemos las siguientes funciones.

C ( x )=∫ dCdx +e :CostoTotal

I ( x )=∫ dIdx +e : IngresoTotal

U ( x )=∫ dUdx +e :Utilidad Total

Donde e: cosntante

4. ¿Cómo se concibe la integral definida? ¿Qué es lo que se calcula?

5. ¿Recuerda cómo lo asociamos al área limitada por dos rectas verticales, el eje horizontal y la

curva de la función?

Solución.

Sea f: [a,b] R, una función continua y positiva (f(x)≥0) en [a,b] sea R la región limitada por la

grafica de la curva y=F(x), por el eje x y las rectas x=a y x=b.

Una aproximación por defecto, se puede hallar el área usando una serie de rectángulos inscritos,

es decir:

Como f es un función continua en [a,b] podemos elegir una colección de puntos µ1,µ2, …µn en los

n rectángulos de la partición P={x0,x1,.., xn} tales como:

f(µ1) es el minimo valor de f en [x0,x1]

f(µ2) es el minimo valor de f en [x1,x2]

f(µ3) es el minimo valor de f en [x2,x3]

:

:

f(µn) es el minimo valor de f en [xn-1,xn]

Luego los n rectángulos construidos cuyas bases son los sub- intervalos de la partición P y cuyas

alturas son f(µ1), f(µ2), f(µ3),… f(µn) respectivamente.

Las áreas de estos rectángulos son:

f (µ1 )∗∆1x , f (µ2 )∗∆2 x , f (µ3 )∗∆3x ,…f (µn )∗∆n x

Respectivamente aproximamos por defecto el valor del Area A sumando las áreas de los n

rectángulos inscritos.

A≥∑i=0

n

f (µi )∗∆i x

A la suma que nos dio la aproximación por defecto el valor del área A se denomina suma inferior

de la función f correspondiente a la partición de la función f correspondiente a la partición P del

intervalo [a,b], ahora calculemos el área de la Región R en forma exacta, mediante el proceso de

limite, es decir:

Más que responder las preguntas, asegúrese de tener clara las ideas. Sin embargo haga el

comentario que le parece adecuado.

7ma Tarea

Una máquina de preparación de helados cuando tiene "x" años genera ingresos a razón de R(x) =

10000-40x2  dolares por año, y costos que se acumulan a razón de C(x) = 4000+20x2 dolares por

año.

a) ¿durante cuantos años es rentable el uso de la máquina?

b) ¿cuáles son las ganancias netas generadas por la máquina durante el periodo obtenido en la

pregunta anterior?

Aquí hay un modelo parecido para resolver pero no sé cómo sale esto :

a)